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Sistemas de ecuaciones lineales

1º) Resuelve, si es posible, cada uno de los siguientes sistemas:

a) b) c)

Solución

a) Sistema incompatible b) Sistema compatible indeterminado:

c) Sistema compatible indeterminado:

2º) La suma de las tres cifras de un número es 18, siendo la cifra de las decenas igual a la media de las otras dos. Si se cambia la cifra de las unidades por la de las centenas, el número aumenta en 198 unidades. Calcula dicho número.

Solución

El número buscado es 3º) Un alumno de 2º de Bachillerato emplea en la compra de tres lápices, un sacapuntas y dos gomas de borrar, tres euros. El doble del precio de un lápiz excede en cinco céntimos de euro a la suma de los precios de un sacapuntas y de una goma de borrar. Si cada lápiz costara cinco céntimos de euro más, entonces su precio duplicaría al de una goma de borrar. Determina el precio de un lápiz, de un sacapuntas y de una goma de borrar.

Solución

Lápiz: Sacapuntas: Goma de borrar: 4º) Julia, Clara y Miguel reparten hojas de propaganda. Clara reparte el 20% del total, Miguel reparte 100 hojas más que Julia. Entre Clara y Julia reparten 850 hojas. Plantea un sistema de ecuaciones que permita saber cuántas hojas reparte cada uno. Sabiendo que la empresa paga 1 céntimo por cada hoja repartida, calcula el dinero que ha recibido cada uno de los tres.

Solución

Julia: Clara: ; Miguel:

5º)

a) Discute el sistema siguiente según los valores del parámetro real :

b) Resuélvelo para el valor de que lo haga indeterminado.

Solución

a) sistema compatible determinado. sistema compatible indeterminado.

sistema incompatible

b) :

2

6º) Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real :

a) Discute el sistema para los distintos valores de . b) Resuelve el sistema para . Selectividad; Madrid Junio 2007 Opción A

Solución

a) sistema compatible determinado : sistema incompatible

b la solución del sistema es: 7º) Dado el siguiente sistema dependiente del parámetro real :

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para . Selectividad; Madrid Septiembre 2009 Opción B

Resolución

a) Matriz de coeficientes de las incógnitas:

Matriz ampliada con la columna de términos independientes:

Caso 1 Por tanto

Caso 2 . En este caso .

Matriz de coeficientes Matriz ampliada

Calculemos el rango de la matriz :

Como en hay un menor de orden 2 no nulo y

Calculamos el rango de la matriz ampliada

Orlamos el menor , que nos ha dado el rango de A, con la tercera fila y cuarta columna de

Por tanto .

Caso 3 En este caso .

Matriz de coeficientes Matriz ampliada

Como en hay un menor de orden 2 no nulo y, por tanto

3

Calculamos el rango de la matriz ampliada

Orlamos el menor que nos ha dado el rango de con la primera fila y cuarta columna de

0 (tiene dos filas iguales). Por tanto

b) Resolvemos para .

Observando el menor que nos ha dado el rango de la matriz el sistema equivalente viene

dado por las ecuaciones cuyos coeficientes forman parte de dicho menor, esto es

Las incógnitas principales del sistema son aquellas cuyos coeficientes forman parte de las columnas

del menor que nos ha dado el rango de la matriz , es decir e . La incógnita actúa como

incógnita no principal o parámetro. Así, tenemos:

de donde

La solución viene dada por

c) Resolvemos el sistema para : siendo

Estamos en el caso 1 estudiado; por tanto el sistema es compatible determinado, tiene una única solución. Aplicando la regla de Cramer obtenemos:

; ;

8º) Dado el siguiente sistema dependiente del parámetro :

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para . Selectividad: Madrid Junio 2010 Fase Específica Opción B

Resolución

a) Vamos a utilizar el método de Gauss. Transformamos la matriz ampliada del sistema:

El sistema escalonado es

Caso 1 [ son los valores que anulan los coeficientes de e Sistema Compatible Determinado (solución única) Resolviendo desde la tercera ecuación hasta la primera obtenemos:

4

Caso 2 La tercera ecuación del sistema escalonado queda . Sistema Incompatible (No tiene solución)

Caso 2

El sistema escalonado es Sistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)

b) Solución:

c) : Sustituyendo en las expresiones del caso 1, la solución es

9º] Se considera el sistema

a) Discútase según los valores del parámetro real . b) Resuélvase cuando sea compatible indeterminado. Resolución

a) Matriz de coeficientes de las incógnitas:

Matriz ampliada con la columna de términos independientes:

Caso 1 Por tanto

Caso 2 . En este caso .

Matriz de coeficientes Matriz ampliada

Calculamos el rango de la matriz :

Como en hay un menor de orden 2 no nulo y

Calculamos el rango de la matriz ampliada

Orlamos el menor , que nos ha dado el rango de A, con la tercera fila y cuarta columna

de

; Por tanto

: Sistema Compatible Indeterminado.

Resolvemos para .

Observando el menor que nos ha dado el rango de la matriz el sistema equivalente viene

dado por las ecuaciones cuyos coeficientes forman parte de dicho menor, esto es

Las incógnitas principales del sistema son aquellas cuyos coeficientes forman parte de las columnas

del menor que nos ha dado el rango de la matriz , es decir e . La incógnita actúa como

incógnita no principal o parámetro. Así, tenemos:

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de donde y

La solución viene dada por

10º) Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real :

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de . b) Resuélvase el sistema en el caso en el que tiene infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema en el caso . Selectividad: Madrid Junio 2012 Opción A

Resolución

a) Matriz de coeficientes de las incógnitas:

Matriz ampliada con la columna de términos independientes:

Caso 1 y Por tanto

Caso 2 . En este caso .

Matriz de coeficientes Matriz ampliada

Calculemos el rango de la matriz :

Como en hay un menor de orden 2 no nulo y

Calculamos el rango de la matriz ampliada

Orlamos el menor , que nos ha dado el rango de A, con la primera fila y cuarta columna

de

Por tanto .

.: Sistema Compatible Indeterminado. Caso 3 . En este caso .

Matriz de coeficientes Matriz ampliada

Calculemos el rango de la matriz :

Como en hay un menor de orden 2 no nulo y

6

Calculamos el rango de la matriz ampliada

Orlamos el menor , que nos ha dado el rango de A, con la tercera fila y cuarta columna de

Por tanto .

: Sistema Incompatible (No tiene solución).

b) Resolvemos el caso en el que el sistema tiene infinitas soluciones, esto es, para .

En este caso, hemos visto (caso 2) que el menor nos ha dado el rango de la matriz y, por

tanto, el sistema equivalente viene dado por las ecuaciones cuyos coeficientes forman parte de dicho

menor, esto es

Las incógnitas principales del sistema son aquellas cuyos coeficientes forman parte de las columnas

del menor que nos ha dado el rango de la matriz , es decir e . La incógnita actúa como

incógnita no principal o parámetro. Así, tenemos:

de donde y

La solución viene dada por

c) Resolvemos el sistema para

Este valor del parámetro corresponde al caso 1 y, por tanto, el sistema es Compatible Determinado. Lo podemos resolver fácilmente por la regla de Cramer o por el método de Gauss:

El sistema escalonado es

Resolviendo, de abajo hacia arriba, se obtiene la solución:

11º) Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, dependiente del parámetro real

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de . b) Resuélvase el sistema para . c) Resuélvase el sistema para . Selectividad: Madrid Septiembre 2012 Opción B

12º) Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real :

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de . b) Resuélvase el sistema en el caso en el que tenga infinitas soluciones.

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c) Resuélvase el sistema para . Selectividad: Madrid Junio 2011 Opción A

13º) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaclones, dependiente del parámetro real :

a) Discútase el sistema según los diferentes valores de . b) Resuélvase el sistema para el valor de para el cual el sistema tiene infinitas soluciones. c) Resuélvase el sist