Tema 1: Matrices, determinantes y sistemas de ecuacioneslineales

1 Matrices

Una matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K = R) consiste en una coleccin denmeros (o escalares) del cuerpo K ordenados por filas y columnas. Si la matriz tiene m filas y n

columnas se dir que es de orden m n.

Ejemplo 1.1 Las siguientes son matrices con coeficientes sobre R:

A =

0 1 33 0.5 6

!de orden 2 3 B =

3 7

de orden 1 2

C =

5 3 30 0 0

2 8 85 7 0

de orden 4 3 D =

0

2

8

de orden 3 1

E =

2 1

0 3

!de orden 2 2 F =

3 0 0

5 4 01 8 0

de orden 3 3

Sea A una matriz. Para indicar la fila y columna que ocupa cada elemento usaremos la notacin

A = (aij), donde el ndice i indica la fila y el ndice j la columna. De este modo estamos diciendo

que el elemento aij de la matriz A es el que ocupa la fila i y la columna j, considerando esto para

todos los posibles i y j. As los elementos de la matriz A = (aij) del ejemplo anterior son:

a11 = 0 a12 = 1 a13 = 3 a21 = 3 a22 = 0.5 a23 = 6

Recordemos que Rn est formado por todos los vectores de n coordenadas, todas ellas nmerosreales. Similarmente ocurre con Kn tomando esta vez escalares del cuerpo K en vez de nmeros de

R.Para una matriz A de orden mn denotaremos por Fi la fila i-sima de la matriz, la cual puede

interpretarse como un vector de Kn al que llamaremos vector-fila de A; igualmente denotaremospor Cj a la columna j-sima de la matriz, que puede interpretarse como un vector de Km al quellamaremos vector-columna de A.Una submatriz de otra es una matriz que se obtiene a partir de la inicial cogiendo unas cuantas

filas y unas cuantas columnas.

Se dice que una matriz es cuadrada si tiene el mismo nmero de filas que de columnas (como lamatriz E del ejemplo anterior). En esta situacin si la matriz tiene n filas y n columnas, podremos

decir que es de orden n n simplemente de orden n. Se llama diagonal principal de unamatriz (generalmente cuadrada) a los elementos de la forma aii para todo i posible, es decir, los

1

elementos que tienen el mismo ndice fila que columna (la diagonal principal de la matriz E del

ejemplo anterior est formada por el a11 = 2 y el a22 = 0). Una matriz cuadrada se dice que

es triangular inferior (respectivamente triangular superior) cuando todo elemento que estsituado por encima (respectivamente por debajo) de la diagonal principal es nulo (la matriz E del

ejemplo anterior es triangular superior, mientras que la matriz F es triangular inferior). A una matriz

cuadrada que es triangular tanto inferior como superior, es decir, si cumple que los elementos que no

estn en la diagonal principal son nulos, se le llama matriz diagonal. La matriz diagonal de ordenn que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1 se llama matriz identidad (omatriz unidad) de orden n, y la denotaremos por In, o simplemente por I si est claro el tamao.

La matriz nula es la matriz que tiene todos sus coeficientes son nulos. La matriz opuesta de unamatriz A se denota por A y consiste en cambiar de signo todos sus coeficientes. Veamos algunosejemplos:

5 33 55 7

es submatriz de

5 7 36 5 0

3 8 55 0 7

al coger las filas 1, 3 y 4 y las columnas 1 y 3

3 00 4

!es una matriz diagonal

1 0

0 1

!es la matriz identidad de orden 2

0 0 0

0 0 0

!es la matriz nula de orden 2 3

La opuesta de la matriz

0 4 3

1 2 0

!es

0 4 31 2 0

!

1.1 Operaciones con matrices

Fijados m y n, al conjunto de las matrices de orden m n con coeficientes sobre un cuerpo K lodenotaremos por Mmn(K).

1.1.1 Suma

Sean A = (aij) y B = (bij) dos matrices del mismo orden (m n). Se define la suma de las dosmatrices como la matriz A+B = (cij), tambin de orden m n, que cumple que

cij = aij + bij

para cada par de ndices i, j. Esto se traduce en que sumamos A y B coeficiente a coeficiente.

Observemos que esto slo tiene sentido si las dos matrices son del mismo orden. Por ejemplo0 1 3

1 5 6

!+

2 0 32 0 4

!=

2 1 0

1 5 10

!Propiedades:

2

Propiedad asociativa: A,B,C Mmn(K) se tiene que(A+B) + C = A+ (B + C)

(Propiedad conmutativa) A,B Mmn(K) se tiene queA+B = B +A

(Elemento neutro) La matriz nula 0 Mmn(K), cumple que dada cualquier otra matrizB Mmn(K) se tiene que

B + 0 = B

(Elemento opuesto) Dada A Mmn(K) se cumple queA+ (A) = 0

Entonces Mmn(K) es un grupo abeliano con la suma +, por cumplir estas propiedades.

1.1.2 Producto de una matriz por un escalar

Sea A = (aij) una matriz de orden m n y R. Se define el producto del escalar por la matrizcomo la matriz A = (dij) (o simplemente A, omitiendo el smbolo de multiplicar) de ordenmn,que cumple que

dij = aij

para todo i, j posibles. Por ejemplo

3

0 1 3

1 5 6

!=

0 3 9

3 15 18

! 4

2 1 39 0 8

!=

8 4 1236 10 32

!Propiedades

Pseudodistributivas:

1. A,B Mmn(K), K se tiene que

(A+B) = A+ B

2. A Mmn(K),, K se tiene que

(+ )A = A+ A

Pseudoasociativa: A Mmn(K),, K se tiene que( )A = (A)

Pseudoelemento neutro: A Mmn(K) se tiene que1 A = A

(donde 1 es el neutro para la multiplicacin en el cuerpo K).

Observacin 1.2 Como veremos en el Tema 2 el conjunto Mmn(K) est dotado, con la suma y elproducto por escalares que aqu se han detallado, de estructura de espacio vectorial.

3

1.1.3 Producto de matrices

Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij) de orden m n y n p, respectivamente, se define elproducto de ambas matrices como la matriz A B = (cij) (en adelante AB, sin punto) de ordenm p que cumple que

cij =nPk=1

aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + ...+ ainbnj

para todo i, j posibles. Recordando que el producto escalar (eucldeo) de dos vectores (a1, a2, ..., an), (b1, b2, ..., bn)

de Rn est dado por

(a1, a2, ..., an) (b1, b2, ..., bn) =nPk=1

akbk = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn

el producto matricial puede interpretarse del siguiente modo: para obtener el elemento delproducto AB que est situado en la fila i, columna j, hay que hacer el producto escalardel vector-fila Fi de A por el vector-columna Cj de B (esto vale tambin para matricesconsideradas sobre un cuerpo arbitrario K, no necesariamente R).Notemos que si m 6= p no tiene sentido hacer el producto BA. Incluso aunque m = p, y entonces

tenga sentido el producto en orden inverso, la matriz AB tendra orden mm y la matriz BA serade orden n n, luego ambas no podran ser iguales, ya que tendran distinto orden, si m 6= n. Esms, an ponindonos en la situacin en que n = m = p (as A,B,AB y BA son cuadradas de orden

n) el producto no tiene por qu ser conmutativo, es decir, es posible que AB 6= BA.Dada una matriz cuadrada A se define la potencia n-sima de A como la matriz

An =

n veces Az }| {A A ... A

es decir, el producto de n veces A. As A1 = A, A2 = A A, A3 = A A A, etc.

Ejemplo 1.3 1. Dadas

A =

1 20 3

!B =

3 1 04 2 1

!la matriz producto es

AB =

1 20 3

!3 1 04 2 1

!=

5 3 212 6 3

!

2. Para la matriz A anterior se tiene que

A4 = AAAA =1 20 3

!1 20 3

!1 20 3

!1 20 3

!=

1 4

0 9

!1 4

0 9

!=

1 40

0 81

!Propiedades

1. Asociativa: Dadas matrices A de orden m n, B de orden n p y C de orden p q se tiene

(AB)C = A(BC)

y entonces podremos escribir simplemente ABC.

4

2. Relacin con el producto por escalares: Dadas matrices A de orden m n y B de ordenn p y dado cualquier escalar se tiene

(AB) = (A)B = A(B)

y entonces lo escribiremos de cualquiera de las formas siguientes AB = AB = AB.

3. Distributivas:

Dadas matrices A,B de orden m n, C de orden n p y D de orden q m se tiene

(A+B)C = AC +BC y D(A+B) = DA+DB

4. Se tiene que

A 0 = 0 y 0 A = 0para cualquier matriz A, tomando la matriz nula del tamao correspondiente en cada caso.

5. Elemento neutro: Para cualquier matriz A se cumple que

IA = A y AI = A

tomando I la matriz identidad del tamao adecuado en cada caso.

6. No conmutativa: En general se tiene AB 6= BA, para matrices A y B de rdenes m n ynm, respectivamente.

1.1.4 Trasposicin de matrices

Dada una matriz A = (aij) de orden m n se llama matriz traspuesta de A, a la matriz At = (bij)de orden nm cuyos elementos son

bij = aji

para cada i, j. Observemos que cualquier matriz tiene traspuesta, no necesita ser cuadrada. En la

prctica para calcular la traspuesta de una matriz hay que tener en cuenta que las filas de A son las

columnas de At, o equivalentemente, las columnas de A las filas de At.

A =

2 0 32 0 4

! At =

2 2

0 0

3 4

Una matriz cuadrada A se dice que es simtrica si

A = At

Por ejemplo, es simtrica la matriz

1 3 03 0 40 4 2

5

1.2 Sistemas escalonados. Mtodo de Gauss

En toda la parte de lgebra Lineal nos van a aparecer con frecuencia (en matrices, sistemas de

ecuaciones, sistemas de vectores de algunos de los espacios Rn, espacios vectoriales....) sistemasescalonados. Estos sistemas se caracterizan porque se puede elegir una ordenacin en la que cadafila (ecuacin o vector) tiene ms ceros iniciales que la/el anterior, exceptuando las filas(ecuaciones o vectores) nulas que pudieran aparecer al final.

1 3 0 3 70 0 4 5 0

0 0 0 1 40 0 0 0 0

matriz escalonada

Ejemplo 1.4 El sistema de ecuaciones lineales

x1 + 2x2 = 3

2x2 = 4 x3 = 0

est escalonado, pues si representamos los coeficientes de modo matricial vemos que la matriz1 2 0 3

0 2 0 40 0 1 0

est escalonada.

Resolver un sistema de ecuaciones escalonado es bien sencillo. Para ste en concreto obtenemos

en la ltima ecuacin x3 = 0, de la segunda x2 = 2, y sustituyendo esto en la primera que x1 = 1.Nota: Un sistema de ecuaciones lineales se caracteriza porque las incgnitas del sistema (en

este caso x1, x2 y x3) aparecen en cada una de las ecuaciones del sistema sumando, restando o

multiplicadas por un nmero (no aparecen ni multiplicando ni dividiendo ni realizando otro tipo de

operaciones diferentes de la suma, resta o multiplicacin por nmeros).

Ejemplo 1.5 El sistema de vectores de R6

v1 = (0, 0, 3, 4, 5, 4) v2 = (0, 2, 3, 4, 5,3) v3 = (0, 0, 0, 0, 1,6) v4 = (0, 0, 0, 0, 0, 2)

es escalonado si se elige el orden v2, v1, v3, v4. Observemos la representacin matricial con esta

ordenacin de los vectores:

0 2 3 4 5 30 0 3 4 5 4

0 0 0 0 1 60 0 0 0 0 2

El mtodo de triangulacin o escalonacin de Gauss, que utilizaremos en estos temas, seutiliza para pasar de un estado inicial (sea en forma de matriz, de sistema de ecuaciones lineales, o

de sistema de vectores) a otro estado que se denomina la escalonacin del sistema inicial. Sehace uso de 3 tipos de transformaciones (denominadas transformaciones elementales) para laescalonacin. stas son:

6

1. Cambiar el orden de las filas, ecuaciones o vectores.

2. Aadirle a una fila, ecuacin o vector mltiplos de otras/os.

3. Multiplicar una fila, ecuacin o vector por algn escalar no nulo.

Observacin 1.6 Podemos utilizar las siguientes notaciones cuando realicemos alguna trasforma-cin elemental (usaremos preferentemente notacin para matrices):

1. Si intercambiamos las filas Fi y Fj pondremos

Fi Fj

2. Si le aadimos a la fila Fj veces la fila Fi pondremos

Fj + Fi

3. Si multiplicamos la fila Fi por pondremos

Fi

Observacin 1.7 Estas transformaciones tambin pueden hacerse sobre las columnas, al menos parael caso de matrices, sobreentendiendo las notaciones correspondientes (cambiando la F de fila por la

C de columna).

Ejemplo 1.8 Escalonemos (por filas) la matriz

2 1 1 01 0 3 1

1 1 2 1

En primer lugar cambiamos de orden las dos primeras filas:

F1 F2

1 0 3 12 1 1 0

1 1 2 1

Despus le aadimos la primera fila a la segunda y a la tercera (a la segunda multiplicada por 2 yla tercera por 1) y obtenemos

F2 2F1F3 + F1

1 0 3 10 1 5 20 1 5 2

Ahora nos fijamos nicamente en las dos ltimas filas y le sumamos a la tercera la segunda. Nos da

F3 + F2

1 0 3 10 1 5 20 0 0 0

Ya tenemos escalonada la matriz inicial.

7

Ejemplo 1.9 Escalonar el siguiente sistema de ecuaciones lineales

x1 + 2x2 + 5x3 = 3

3x1 + 6x2 + 15x3 = 9

2x2 + x3 = 6

Matricialmente se tiene 1 2 5 3

3 6 15 9

0 2 1 6

Le aadimos la primera fila multiplicada por 3 a la segunda y obtenemos

F2 3F1

1 2 5 3

0 0 0 0

0 2 1 6

Cambiando las dos ltimas llegamos a la matriz

F3 F2

1 2 5 3

0 2 1 60 0 0 0

que representa al sistema

x1 + 2x2 + 5x3 = 3

2x2 + x3 = 60 = 0

el cual est ya escalonado.

Ejemplo 1.10 Escalonemos el sistema de vectores

{(1, 0, 1, 1), (1, 0, 3, 2), (2, 1,1, 0)}Para ello hagamos operaciones sobre la matriz cuyas filas son estos vectores:

1 0 1 11 0 3 2

2 1 1 0

En primer lugar le aadimos la primera fila a la segunda (multiplicada por 1) y a la tercera (multi-

plicada por 2),

F2 + F1

F3 + 2F1

1 0 1 10 0 4 3

0 1 1 2

Despus cambiamos de orden la segunda y tercera filas y obtenemos la escalonacin

F2 F3

1 0 1 10 1 1 2

0 0 4 3

Entonces el sistema de vectores escalonado obtenido es

{(1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 2), (0, 0, 4, 3)}

8

Una variante del mtodo de Gauss es el de Gauss-Jordan, que consigue, adems de ceros por

debajo de la diagonal como lo hace el mtodo de Gauss, tambin ceros por encima y unos en la

misma diagonal.

Ejemplo 1.11 Escalonar el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el mtodo de Gauss-Jordan:

x1 + 2x2 + 5x3 = 3

3x1 + 6x2 + 14x3 = 9

2x2 + x3 = 4Le aadimos a la segunda 3 veces la primera y obtenemos

F2 3F1

x1 + 2x2 + 5x3 = 3

x3 = 0 2x2 + x3 = 4

Cambiando de orden las dos ltimas filas tenemos

F2 F3

x1 + 2x2 + 5x3 = 3

2x2 + x3 = 4 x3 = 0

sistema que ya est escalonado. Ahora le aadimos la tercera fila a la segunda y primera multiplicada

por 1 y 5, respectivamente y tenemos

F2 + F3

F1 + F5

x1 + 2x2 = 3

2x2 = 4 x3 = 0

Finalmente le sumamos la segunda ecuacin a la primera y tenemos

F1 + F2

x1 = 1 2x2 = 4

x3 = 0

Finalmente se multiplica la segunda ecuacin por 12y la tercera por 1 para quedar as:

12F2

F3

x1 = 1x2 = 2

x3 = 0

1.3 Rango

El rango de una matrizA es un nmero que ser denotado por r(A) R(A). Esto podemos calcularlo,aplicando el mtodo de Gauss para escalonar las filas (o columnas) de A, teniendo en cuenta que

r(A) es el nmero de filas (o columnas) no nulas que resultan despus de escalonar lamatriz. Esto se debe a que las transformaciones elementales que se realizan a las filas o columnasde una matriz no varan su rango.

9

Definicin 1.12 Se dice que un vector v es combinacin lineal (en adelante CL) de otros vectores{v1, v2, ..., vn} si

v =nPi=1

ivi es decir v = 1v1 + 2v2 + ...+ nvn

para ciertos nmeros 1,2, ...,n.

Ejemplo 1.13 En la situacin de una matriz A con cuatro filas si:

1. F2 = 1F1 + 3F3 + 4F4 se dira que F2 es CL de F1, F3 y F4.

2. F1 = 3F2 2F3 + F4 se dira que F1 es combinacin lineal (CL) de F2, F3 y F4.

3. F3 = F2 7F4 (observemos que 1 = 0) se dira que F3 es combinacin lineal (CL) de F1, F2y F4.

Definicin 1.14 Se dice los vectores {v1, v2, ..., vn} son linealmente dependientes (en adelanteLD), o que hay una relacin de dependencia lineal entre ellos, si alguno de los vectores del sistemaes CL de los dems. Esto significa que para uno de ellos, por ejemplo vi, sucede que

vi =Pj 6=i

jvj

para ciertos nmeros {j : j 6= i}.En caso contrario se dir que son linealmente independientes (LI).

En el proceso del clculo del rango de una matriz mediante el mtodo de escalonacin de Gauss

podemos, o bien dejar las filas nulas que nos vayan apareciendo al final (tal y como est concebido

inicialmente el mtodo de Gauss) o bien ir eliminando estas filas (pues luego stas no cuentan para

el rango). Lo mismo podemos hacer con las filas entre las que haya alguna relacin de dependencia

lineal, eliminando alguna que sea combinacin lineal de las dems

Ejemplo 1.15 Vamos a hallar el rango de la matriz

2 2 3 2 0

1 1 2 0 11 1 2 0 12 2 2 1 0

En primer lugar cambiamos de orden la primera y segunda filas, para as operar mejor con el 1

que tiene la segunda fila como primer coeficiente. Tendramos entonces

F1 F2

1 1 2 0 12 2 3 2 0

1 1 2 0 12 2 2 1 0

10

donde aadimos la primera fila a las restantes, multiplicndola por nmeros adecuados (a la segunda

y cuarta se la aadimos multiplicada por 2 y a la tercera por 1). Entonces tenemos

F2 2F1F3 F1F4 2F1

1 1 2 0 10 0 1 2 20 0 0 0 0

0 0 2 1 2

Ahora procederamos igual con las tres ltimas filas. En ellas es nulo el primer coeficiente (porque lo

hemos eliminado antes) y casualmente el segundo. Empezamos pues por el tercero. Esta vez no hace

falta cambiarlas de orden y lo nico que tenemos que hacer es aadir un mltiplo de la segunda fila

a las dems para hacer ceros. En este caso basta aadirle a la cuarta fila 2 veces la segunda paraobtener

F4 2F2

1 1 2 0 10 0 1 2 20 0 0 0 0

0 0 0 3 2

Ahora procedemos con la tercera y cuarta filas, donde nos interesa cambiarlas de orden:

F3 F4

1 1 2 0 10 0 1 2 20 0 0 3 20 0 0 0 0

As, tenemos la escalonacin final de la matriz, de donde obtenemos que el rango de nuestra matriz

es 3.

1.4 Inversa

Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible cuando existe otra matriz cuadrada delmismo orden B de modo que

AB = BA = In

En esta situacin la matriz B es nica cumpliendo lo anterior, y se llamar la matriz inversa de Ay escribiremos

B = A1

Observacin 1.16 Puede comprobarse que B es la inversa de A si y slo si AB = In si y slo siBA = In, es decir, es suficiente con que uno de los dos productos resulte la matriz identidad.

Propiedad: Una matriz cuadrada de orden n es invertible si y slo si tiene rango n.La inversa de una matriz invertible A puede calcularse de varias formas. Una de ellas es di-

rectamente, planteando un sistema de ecuaciones (que se puede resolver escalonndolo por Gauss),

obtenido a partir de la suposicin de que los coeficientes de A1 son indeterminados, y hacer el

producto AA1 = In ( A1A = In). Este mtodo no es muy adecuado, pues hay que resolver n

sistemas de n ecuaciones con n incgnitas. Es mejor el mtodo de Gauss-Jordan que se explica a

continuacin.

11

1.4.1 Mtodo de Gauss-Jordan para el clculo de la inversa

Este mtodo para el clculo de la inversa de una matriz es en general bastante eficiente. Supongamos

que tenemos una matriz A, cuadrada de orden n, que se sabe que es invertible. Pongamos la matriz

A y a continuacin, a la derecha, la matriz identidad de orden n. Usualmente se ponen ambas

formando una matriz de orden n 2n y se separan por una lnea vertical, quedando en la forma(A|In). Aplicamos a la matriz A el mtodo de Gauss-Jordan (variante del mtodo de Gauss),consistente en hacer operaciones por fila hasta obtener la matriz identidad. El resultado de aplicarle

a la matriz identidad que hay a la derecha deA esas mismas operaciones nos proporciona precisamente

A1.

Observacin 1.17 Si le aplicamos el mtodo de Gauss-Jordan a una matriz no invertible observa-remos que es imposible obtener la matriz identidad en la parte izquierda.

Ejemplo 1.18 Hallar la inversa de la matriz

A =

1 1 0

2 1 23 0 1

Pondramos entonces 1 1 0

2 1 23 0 1

1 0 00 1 00 0 1

y aplicamos transformaciones, por ejemplo por fila. Aadimos a la segunda fila 2 veces la primeray a la tercera fila 3 veces, y obtenemos

F2 2F1F3 3F1

1 1 0

0 3 20 3 1

1 0 02 1 03 0 1

Ahora le aadimos a la tercera fila 1 por la segunda:

F3 F2

1 1 0

0 3 20 0 1

1 0 02 1 01 1 1

Una vez que estamos con una matriz triangular superior, se hacen operaciones para hacerla diagonal.

Primero aadimos a la segunda fila 2 veces la tercera:

F2 + 2F3

1 1 0

0 3 00 0 1

1 0 04 1 21 1 1

Multiplicando la segunda fila por 13sale:

13F2

1 1 0

0 1 0

0 0 1

1 0 04

31323

1 1 1

12

finalmente aadimos a la primera fila 1 por la segunda:

F1 F2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

13 13 234

31323

1 1 1

Entonces la matriz inversa de A es

A1 =

1313

23

43

1323

1 1 1

Ejemplo 1.19 Hallar la inversa de la matriz

B =

1 0 1

2 1 03 2 6

Pondramos entonces

1 0 1

2 1 03 2 6

1 0 00 1 00 0 1

y aplicamos transformaciones, por ejemplo por fila. Aadimos a la segunda fila 2 veces la primeray a la tercera fila 3 veces y obtenemos

F2 2F1F3 3F1

1 0 1

0 1 20 2 3

1 0 02 1 03 0 1

Aadimos a la tercera fila 2 veces la segunda y llegamos a

F3 + 2F2

1 0 1

0 1 20 0 1

1 0 02 1 07 2 1

Una vez que estamos con una matriz triangular superior se hacen operaciones para hacerla diagonal.

Primero cambiamos el signo de las dos ltimas filas, por lo que tenemos

F2F3

1 0 1

0 1 2

0 0 1

1 0 02 1 07 2 1

Ahora aadimos a la segunda fila 2 veces la tercera y se obtiene que

F2 2F3

1 0 1

0 1 0

0 0 1

1 0 012 3 2

7 2 1

13

Finalmente a la primera fila le restamos la tercera y nos sale

F1 F3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

6 2 112 3 2

7 2 1

Entonces la matriz inversa de B es

B1 =

6 2 112 3 27 2 1

Recordemos los pasos que se siguen para transformar una matriz A en la matriz identidad:

1. Hacer ceros por debajo de la diagonal principal.

2. Convertir los elementos de la diagonal en 1.

3. Hacer ceros por encima de la diagonal principal.

Nota: Los dos ltimos pasos pueden entremezclarse.

2 Determinantes

La definicin rigurosa del concepto de determinante requiere una serie de herramientas matemticas

que no creemos necesario tratar. El determinante est englobado dentro de lo que se denominan las

aplicaciones multilineales.

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n con coeficientes sobre un cuerpo K es un

escalar del cuerpo. Lo vamos a denotar por |A| (reemplazando los parntesis usados para delimitarla matriz por lneas verticales), por det(A) o tambin por det(F1, F2, ...., Fn), donde se supone que

F1, F2, ..., Fn Kn son los vectores-fila de A (igualmente se podra usar la notacin det(C1, C2, ..., C2)a partir de los vectores-columna C1, C2, ..., Cn Kn). Diremos indistintamente que es el determinantede la matriz o de los vectores que estn en las filas o columnas.

La definicin exacta de determinante es un tanto tcnica y no se va a incluir aqu (aunque

puede verse en buena parte de los textos de lgebra). Vamos a dar las frmulas para el clculo

de los determinantes de orden 1, 2 y 3, y a continuacin enunciaremos algunas propiedades de los

determinantes que nos permiten calcular tambin los determinantes de orden superior.

Orden 1 |a| = a

Orden 2 a bc d

= ad bc

Orden 3

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=

14

= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 a13a22a31 a23a32a11 a33a12a21

Esta frmula se hace ms sencilla de recordar si tenemos en cuenta que aparecen 6 sumandos, 3 de

los cuales resultan de multiplicar los elementos que aparecen en la diagonal principal y los de cada

una de las 2 diagonales paralelas a sta, y los otros tres resultan de multiplicar los elementos que

aparecen en cada una de las 3 diagonales opuestas. Esto se conoce como Regla de Sarrus.

Ejemplo 2.1 2 3 01 1 42 3 5

=

= 2 (1) 5 + 1 3 0 + (2) (3) 4 0 (1) (2) 4 3 2 5 (3) 1 == 10 + 0 + 24 0 24 + 15 = 5

2.1 Propiedades de los determinantes

Sea A una matriz cuadrada de orden n, y supongamos que sus filas son F1, F2, ..., Fn Kn. Entoncesse cumplen las siguientes propiedades:

1. Si Fi = F 0i + F00i , para ciertas filas F

0i , F

00i Kn, entonces

det(F1, ..., Fi, ..., Fn) = det(F1, ..., F0i , ..., Fn) + det(F1, ..., F

00i , ..., Fn)

2. Para todo K se tiene que

det(F1, ...,Fi, ..., Fn) = det(F1, ..., Fi, ..., Fn)

3. Para todo i, j {1, 2, ..., n} (i 6= j) se tiene que

det(F1, ..., Fj, ..., Fi, ..., Fn) = det(F1, ..., Fi, ..., Fj, ..., Fn)

4. Para todo i, j {1, 2, ..., n} (i 6= j) se tiene que

det(F1, ..., Fi + Fj, ..., Fn) = det(F1, ..., Fi, ..., Fn)

para todo i, j {1, 2, ..., n} (i 6= j) y todo K.

5. det(F1, ..., Fn) = 0 si y slo si los vectores F1, F2, ..., Fn son LD. De esto se deduce que:

6. A es invertible si y slo si detA 6= 0. Adems en esta situacin

det(A1) =1

detA

7. Si A es una matriz triangular superior o inferior (en particular si es una matriz diagonal)

entonces detA es el producto de los elementos de la diagonal.

8. detA = det(At)

15

9. det(A B) = detA detB para toda matrizcuadrada B de orden n.

Observacin 2.2 Las 5 primeras propiedades pueden enunciarse tambin en trminos de las colum-nas de la matriz.

Ejemplo 2.3 Vamos a calcular el siguiente determinante1 0 2 3

2 3 2 50 2 2 31 1 2 4

Vamos a hacer ceros usando el elemento a11 = 1. As tenemos

F2 2F1F4 F1

1 0 2 3

0 3 2 10 2 2 30 1 0 1

(habindole aadido a la segunda, tercera y cuarta filas la primera multiplicada por 2, 0 y 1).Ahora cambiamos la segunda y cuarta filas para simplificar la eliminacin, y queda

F2 F4

1 0 2 3

0 1 0 1

0 2 2 30 3 2 1

Le aadimos ahora la segunda fila a la tercera y cuarta, multiplicada por 2 y 3 respectivamente, yllegamos a

F3 2F2F4 + 3F2

1 0 2 3

0 1 0 1

0 0 2 50 0 2 2

Finalmente le sumamos la tercera fila a la cuarta y tenemos

F4 + F3

1 0 1 3

0 1 0 1

0 0 2 50 0 0 3

con lo que el valor del determinante es [1 1 2 (3)] = 6.

En la siguiente seccin veremos que no es necesario escalonar la matriz para obtener el determi-

nante.

16

2.2 Menor, menor complementario, adjunto

Se llama menor de una matriz A (no necesariamente cuadrada) al determinante de cualquier sub-matriz cuadrada suya.

En una matriz cuadrada A de orden n se llama menor complementario del elemento aij aldeterminante de orden n 1 de la submatriz resultante de eliminar en A la fila i y la columna j, queson en las que est situado el elemento. Finalmente se llama adjunto del elemento aij a su menorcomplementario multiplicado por (1)i+j, es decir, se multiplica por 1 o por 1, dependiendo de quela suma de los ndices fila y columna del elemento sea par o impar. Al adjunto del elemento aij en la

matriz A lo denotaremos por Aij. En el ejemplo anterior el adjunto de a31 = 3 es A31 =

0 35 0

=

15 y el adjunto de

Algunos menores de la matriz A =

2 0 3 40 6 2 1

5 6 0 7

son

2 0 40 6 15 6 7

= 48 y 2 45 7

= 6

En la matriz

1 0 31 5 0

3 3 2

el menor complementario de a31 = 3 es

0 35 0

= 15 y su adjunto vale A31 =

0 35 0

= 15

Y el menor complementario de a21 = 1 es

0 33 2

= 9 su adjunto vale A21 =

0 33 2

= 9

2.2.1 Clculo del determinante desarrollando por adjuntos

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Entonces se tiene

detA =nPj=1

aljAlj = al1Al1 + al2Al2 + ...+ alnAln =nPi=1

aikAik = a1kA1k + a2kA2k + ...+ ankAnk

Lo anterior lo que nos dice es que mediante la Fl o la columna Ck podemos calcular el determinante de

la matriz sumando los productos de los elementos de esa fila o columna por sus respectivos adjuntos.

Por ejemplo si tenemos una matriz A = (aij) de orden 3 tendramos (fijndonos por ejemplo en la

primera fila o la segunda columna)

detA = a11A11 + a12A12 + a13A13 = a12A12 + a22A22 + a32A32

17

Es muy til esta regla a la hora de calcular determinantes grandes, sobre todo si aparece alguna

fila o columna con muchos elementos nulos (si es posible todos los elementos excepto uno). Por

ejemplo si queremos calcular el determinante

|A| =

3 0 42 0 15 2 4

vamos a desarrollar por los adjuntos de la segunda columna y tendremos

|A| = a12A12+a22A22+a32A32 = 0A12+0A22+(2)A32 = 2A32 = 2( 3 42 1

) = 2(38) = 10

Por supuesto no siempre estaremos en esta situacin de tener bastantes ceros, pero aplicando las

propiedades de los determinantes podremos llegar a una matriz con muchos ceros. Por ejemplo si

queremos calcular ahora el determinante

|A| =

4 2 41 3 42 0 6

le aadimos a la ltima columna 3 veces la primera y nos queda 4 2 161 3 12 0 0

determinante que puede calcularse ahora fcilmente desarrollando por los adjuntos de la tercera fila,

para obtener

|A| = a31A31 + a32A32 + a33A33 = 2 2 163 1

+ 0A32 + 0A33 = 2(2 + 48) = 100

2.2.2 Rango de una matriz utilizando menores

En el apndice estar explicado con ms detalle la relacin entre los menores de una matriz y su

rango. Lo que nos interesa fundamentalmente es la siguiente propiedad:

Proposicin 2.4 Sea A un matriz de orden m n (no necesariamente cuadrada). El rango deA es el mayor orden para el que existen menores no nulos de ese orden dentro de A. Enparticular se tiene que si encontramos un menor de orden r no nulo, entonces r(A) r.

2.3 Clculo de la inversa de una matriz mediante adjuntos

Vamos a dar otro mtodo para calcular la inversa de una matriz. Supongamos que A = (aij) es una

matriz cuadrada invertible. Sabemos que |A| 6= 0. Calculamos ahora lo que vamos a llamar matrizadjunta de A, y que la vamos a denotar por

Adj(A) = (bij)

18

cuyos coeficientes son los adjuntos respectivos de los elementos de A, es decir, bij = Aij para todo

i, j posible. Entonces se cumple que

A1 =1

|A|(Adj(A))t

De este modo la matriz inversa de A resulta de hallar la traspuesta de la adjunta y dividir por el

determinante. Da lo mismo tomar la traspuesta de la adjunta que la adjunta de la traspuesta, as

que tambin tendremos

A1 =1

|A|(Adj(At))

Ejemplo 2.5 Hallar la inversa de la matriz

A =

1 1 3

1 2 10 1 1

Como |A| = 5 y

Adj(A) =

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

=

2 11 1

1 10 1

1 20 1

1 31 1

1 30 1

1 10 1

1 32 1

1 31 1

1 11 2

=

3 1 12 1 1

7 4 1

tenemos que

A1 =1

|A|Adj(A)t =

1

5

3 2 71 1 41 1 1

=

35

2575

15

15

45

1515

15

3 Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones de la forma

()

a11x1 + a12x2 + ....+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ....+ a2nxn = b2

......

am1x1 + am2x2 + ....+ amnxn = bm

donde los aij y los bi son escalares del cuerpo K y los xj representan las incgnitas del sistema(tambin escalares del cuerpo K, en este caso, indeterminados), se llamar sistema de ecuacioneslineales o sistema lineal sobre el cuerpo K. Se dir que el sistema tiene m ecuaciones y n

19

incgnitas. A los aij se les llama coeficientes del sistema, a los bi trminos independientes.Agrupando los elementos anteriores tenemos

A = (aij) matriz de coeficientes, de orden m n

B =

b1

b2

...

bm

vector de trminos independientes, de orden m 1

X =

x1

x2

...

xn

vector de las incgnitas, de orden n 1

Definimos la matriz ampliada (A|B), de orden m (n + 1), como la que se forma aadiendo lacolumna B a la matriz A. Si ponemos el vector de trminos independientes y el de las incgnitas en

forma de columna obtenemos la forma matricial del sistema AX = B.Una solucin del sistema de ecuaciones lineales (*) es un vector S = (s1, s2, ..., sn) Kn tal

que al sustituir cada incgnita xj por el correspondiente sj se verifican todas las ecuaciones, o

equivalentemente, si se cumple la relacin matricial ASt = B (St denota el traspuesto del vector-fila

S, es decir, lo hemos puesto en forma de vector-columna).

Segn el nmero de soluciones los sistemas pueden ser compatibles (SC), si tienen algunasolucin, o incompatibles (SI), si no tienen ninguna solucin. Un sistema compatible puede tenersolucin nica, en cuyo caso se dice que es compatible determinado (SCD), o tener ms deuna solucin, en cuyo caso se dice que es compatible indeterminado (SCI). De hecho cuando elcuerpo es infinito (como ocurre con el caso K = R) los SCI no slo tienen ms de una solucin sinoque tienen infinitas.

En los SCI al conjunto de todas las soluciones se le llama solucin general y sta quedar enfuncin de una serie de parmetros. Al menor nmero de parmetros que se necesitan para expresarla solucin general lo llamaremos grado de indeterminacin o grados de libertad del sistema.Diremos que un sistema AX = B es homogneo si B es el vector nulo, es decir, si todos

los trminos independientes son nulos. stos siempre sern SC pues el vector nulo es siempre una

solucin (la solucin que se obtiene al coger todas las incgnitas con valor 0). Entonces un sistema

homogneo es SCI si y slo si tiene alguna solucin no nula.

Al conjunto de las soluciones de un sistema homogneo AX = 0 lo denotaremos por kerA y lo

llamaremos ncleo de la matriz A.

3.1 Sistemas equivalentes. Mtodo de Gauss para resolver sistemas li-neales

Llamaremos discutir un sistema a determinar si es SI, SCD o SCI. Por discutir y resolver se entender

que hay adems que dar la solucin o soluciones, si es SC. Para ello lo que podemos hacer es utilizar el

20

mtodo de Gauss que consiste en aplicar transformaciones elementales hasta escalonar el sistema.Recordemos las transformaciones elementales que utilizbamos sobre matrices, sistemas o vectores:

1. Cambiar de orden las ecuaciones.

2. Multiplicar una ecuacin por un escalar no nulo.

3. Sumar a una ecuacin un mltiplo de otra.

Adems, aqu es posible tambin:

4. Cambiar de orden las incgnitas.

Estas transformaciones convierten el sistema lineal inicial en otro equivalente, es decir, con lasmismas soluciones. Una vez escalonado el sistema se resuelve de forma sencilla, pues:

Si al final (o en algn momento previo) nos sale un absurdo, es decir, una ecuacin que no esposible que se cumpla (como 0 = 1, o algo similar) entonces estamos con un SI.

Si no estamos en la situacin anterior (podremos escalonar hasta el final), estaremos con unSC y puede ocurrir que:

Todas las incgnitas sean pivotes (se llaman pivotes a las incgnitas que quedanen primer lugar de cada ecuacin, una vez escalonado el sistema. De modo matricial

sus coeficientes se caracterizan porque se pueden poner en la diagonal principal de

la matriz, o de otro modo, porque cada uno de ellos es el primer coeficiente no nulo

de su fila). En definitiva lo que ocurrir es que, despus de escalonar y eliminar las

ecuaciones (o filas) nulas, tendremos igual nmero de ecuaciones que de incgnitas. En

tal caso tenemos un SCD en el que la solucin del sistema se puede hallar despejando

el valor de las incgnitas, de abajo hacia arriba.

Haya alguna incgnita del espacio que no sea un pivote. En este caso tenemosun SCI, y las incgnitas que no sean pivotes van a ser los parmetros del sistema.

El nmero de parmetros (que por el mtodo de Gauss son ya el nmero mnimo

necesario para expresar la solucin general del sistema) sern los grados de libertad

del sistema.

Durante este proceso tambin pueden ir eliminndose ecuaciones triviales de la forma 0 = 0

(porque estas ecuaciones siempre se cumplen y no aportan nada nuevo) o bien ecuaciones que sean

CL de otras.

Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 3.1 1. Discutir y resolver (en su caso) el siguiente sistema lineal

x y + 3z = 15x 3y + 10z = 2

2y 5z = 3

21

Aadindole a la segunda fila la primera multiplicada por 5 obtenemos

F2 5F1

x y + 3z = 12y 5z = 72y 5z = 3

Si ahora le restamos a la tercera la segunda se tiene

F3 F2

x y + 3z = 12y 5z = 70 = 4

En este caso hemos obtenido una ecuacin contradictoria (un absurdo) 0 = 4, con lo quededucimos que es un SI.

2. Discutir y resolver (en su caso) el siguiente sistema lineal

x z = 12x+ y + z = 54x y 3z = 3

Obtenemos que la matriz ampliada del sistema es

1 0 1 12 1 1 54 1 3 3

Le aadimos a la segunda fila la primera multiplicada por 2, y a la tercera multiplicada por 4y obtenemos

F2 + 2F1

F3 4F3

1 0 1 10 1 1 70 1 1 7

Eliminando entonces la tercera ecuacin (es proporcional a la segunda) llegamos a la matriz1 0 1 10 1 1 7

!que representa al sistema (

x z = 1y z = 7

que es equivalente al sistema inicial. Como ya est escalonado y no nos ha aparecido ningu-

na ecuacin contradictoria estamos con un SC. Adems slo hay 2 pivotes (x en la primera

ecuacion e y en la segunda), con lo que sobra un incgnita, z, que ser el nico parmetro en

este caso, de manera que tenemos un SCI (ya que hay algn parmetro). As, poniendo z = y despejando en las ecuaciones obtenemos que y = 7 + z = 7 + . Y en la primera ecuacintenemos que x = z 1 = 1. As la solucin general de este SCI es

x = 1y = 7 + z =

con R.

22

3. Discutir y resolver (en su caso) el siguiente sistema lineal

x1 + 2x2 + 5x3 = 3

3x1 + 6x2 + 14x3 = 9

2x2 + x3 = 4

De nuevo le aadimos a la segunda y tercera filas un mltiplo adecuado de la primera y obte-

nemos

F2 3F1

x1 + 2x2 + 5x3 = 3

x3 = 0 2x2 + x3 = 4

Cambiando de orden las dos ltimas filas tenemos

F2 F3

x1 + 2x2 + 5x3 = 3

2x2 + x3 = 4 x3 = 0

sistema que ya est escalonado. Como no hemos obtenido ninguna ecuacin absurda estamos

con un SC. Y como los pivotes son las tres variables (x1 en la primera ecuacion, x2 en la segunda

y x3 en la tercera), no va a haber ningn parmetro, de modo que tenemos un SCD. El valor de

las incgnitas se halla despejando de abajo a arriba las variables, o, si empleamos Gauss-Jordan

transformando previamente la matriz en una matriz diagonal. As, le aadimos la tercera

fila a la segunda y primera multiplicada por 1 y 5, respectivamente y tenemos

F2 + F3

F1 + 5F3

x1 + 2x2 = 3

2x2 = 4 x3 = 0

Finalmente le sumamos la segunda ecuacin a la primera y tenemos

F1 + F2

x1 = 1 2x2 = 4

x3 = 0

de donde obtenemos que x1 = 1, x2 = 2 y x3 = 0.

3.2 Teorema de Rouch-Frbenius

Teorema 3.2 Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y slo si el rango de la matriz decoeficientes coincide con el de la matriz ampliada. En este caso, el sistema es compatible determinado

si este rango coincide con el nmero de incgnitas del espacio. Cuando el sistema es compatible

indeterminado los grados de libertad se calculan como la diferencia entre el nmero de incgnitas y

el rango.

Como consecuencia del Teorema de Rouch-Frbenius obtenemos que un sistema homogneo

AX = 0 tiene solucin no nula (es decir, kerA 6= 0) si y slo si r(A) < n.

23

3.3 Mtodo de Cramer

Teorema 3.3 Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales AX = B con matriz decoeficientes A cuadrada de orden n, y del que se sabe que es SCD. Entonces la solucin del sistema

(x1, x2, ..., xn) cumple que xi =|Mi||A| para todo i, donde Mi es la matriz obtenida a partir de A

sustituyendo la columna i-sima por la columna de trminos independientes B.

El mtodo de Cramer tambin puede utilizarse para resolver un SCI del siguiente modo:

Supongamos que r(A) = r(A|B) = k < n y elegimos un menor no nulo de A de orden k. Se dejana la izquierda las incgnitas que forman parte del menor; el resto de incgnitas se pasarn a la derecha

y sern los parmetros. Las ecuaciones que no forman parte del menor pueden eliminarse pues son

CL de las restantes. La solucin general del sistema puede obtenerse por Cramer, imaginando que

tenemos el SCD en el que se consideran como incgnitas nicamente las que estn a la izquierda,

es decir, los pivotes (la matriz de coeficientes de este sistema ser de orden k k pues no formarnparte de ella los coeficientes de las incgnitas que van a ser ahora parmetros, ni tampoco los de las

ecuaciones que hemos eliminado).

El mtodo de Cramer es en general poco til en la prctica, pues cuando el orden del sistema es

relativamente grande hay que hacer demasiadas operaciones para resolverlo (ya cuando estamos con

3 ecuaciones y 3 incgnitas es ms recomendable el de Gauss).

Ejemplo 3.4 Discutir y resolver (en su caso) los siguientes sistemas lineales utilizando el mtodode Cramer:

1.

x1 + x2 x3 = 23x1 x2 + 2x3 = 2x1 x2 3x3 = 2

Como 1 1 13 1 21 1 3

= 16 6= 0

se tiene que el rango tanto de la matriz de coeficientes como el de la matriz ampliada valen 3.

Por ello estamos con un SCD. Entonces la solucin es

x1 =1

16

2 1 12 1 22 1 3

= 16

16= 1

x2 =1

16

1 2 13 2 21 2 3

= 16

16= 1

x3 =1

16

1 1 23 1 21 1 2

= 0

16= 0

24

2.

x1 x2 + 3x3 = 12x1 + x2 x3 = 23x1 + 2x3 = 1

Es fcil comprobar que el rango tanto de la matriz de coeficientes como de la matriz ampliada

es 2. Por ello estamos con un SCI. Como las dos primeras filas de la matriz ampliada son

LI la ltima es necesariamente CL de ellas dos. De este modo podemos eliminar la ltima y

quedarnos con el sistema (x1 x2 + 3x3 = 12x1 + x2 x3 = 2

que es equivalente al primero. Podemos quedarnos con un menor de orden dos no nulo (por

ejemplo el que corresponde a las dos primeras filas y columnas) y poniendo el sistema en la

forma (x1 x2 = 1 3x32x1 + x2 = 2 + x3

para el que imaginamos que tiene slo dos ecuaciones y dos incgnitas, y cuyas soluciones

podemos hallarlas en funcin de x3 por Cramer:

x1 =

1 3x3 12 + x3 1

1 12 1

=1 2x33

x2 =

1 1 3x32 2 + x3

1 12 1

=4 + 7x33

Ejemplo 3.5 Discutir y resolver (en su caso) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en funcindel parmetro a

x1 + 2x2 + 5x3 = 3

x1 + 3x2 + 8x3 = 5

2x2 + ax3 = 4Aadindole la primera fila a las dems obtenemos

x1 + 2x2 + 5x3 = 3

x2 + 3x3 = 2

2x2 + ax3 = 4

Le aadimos ahora la segunda fila a la tercera y tenemos

x1 + 2x2 + 5x3 = 3

x2 + 3x3 = 2

(a+ 6)x3 = 8

25

Entonces la discusin se hace teniendo en cuenta que el parmetro aparece en alguno de los pivotes

una vez que el sistema est escalonado. x1 y x2 son pivotes. El coeficiente a+ 6 puede ser nulo (si

a = 6) con lo que en ese caso la variable x3 no sera un pivote, es ms tendramos una ecuacinde la forma 0 = 8. As que en ese caso (a = 6) tenemos un SI. Y cuando a 6= 6 tendremosque la variable x3 s que es un pivote (pues su coeficiente a + 6 es no nulo) y estamos con un SC.

Adems al no sobrar ninguna variable, ya que todas son pivotes, tendramos un SCD, cuya solucin

(dependiente de a) se hallara despejando como hacemos habitualmente: x3 = 8a+6 , x2 = 2 38a+6

y

x1 = 3 2(2 3 8a+6) 58a+6.

Otro modo de discutir este sistema es utilizando el Teorema de Rouch-Froebenius, calculando los

rangos de las matrices asociadas. Para esto puede ser til el determinante (que en este caso tiene

sentido pues la matriz de coeficientes es cuadrada; en el caso de que sea cuadrada la matriz ampliada

tambin se puede utilizar; pero en cualquier otro caso no), hallando el de la matriz de coeficientes

|A| =

1 2 51 3 80 2 a

=

1 2 50 1 30 2 a

= 1 1 32 a

= a+ 6

Cuando |A| 6= 0 (para a 6= 6) el rango de la matriz A es 3, y como el rango de la matriz ampliada nopuede ser mayor (al tener 3 filas) tendramos r(A) = r(A|B) = 3 =nmero de incgnitas. Entoncestenemos que si |A| 6= 0 (a 6= 6) el rango de la matriz A es 3, y como el rango de la matriz ampliadano puede ser mayor (al tener 3 filas) tendramos r(A) = r(A|B) = 3 =nmero de incgnitas. En estecaso tendramos un SCD, cuya nica solucin, dependiente de cada valor a 6= 6, se podr hallarpor el mtodo anterior o utilizando la frmula de Cramer (ste es uno de los pocos casos en los que

puede resultar til este mtodo). Y en el caso en que |A| = 0 (a = 6) tenemos que hacerlo de formadirecta. Pero se ve fcilmente que r(A) = 2 y r(A|B) = 3, con lo que tendramos un SI.El resultado de la discusin ha sido entonces: Si a 6= 6 SCD y si a = 6 SI.

26