Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sea el sistema donde A es la matriz de coeficientes y b el vector columna(de la mano derecha RHS)

bAx

nnnmnn

m

m

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

Para el intervalo existen técnicas como las de :1. Eliminación Gaussiana simple2. Eliminación Gaussiana con pivoteo3. Eliminación Gauss-Jordan4. Iteración de Jacobi5. Iteración de Gauss-Seidel

1. Eliminación de Gauss

Tiene dos fases:

• Eliminación hacia adelante por medio de operaciones elementales(Forward).

• Sustitución hacia atrás (Backward)

• Ejemplo: aplicar la eliminación de Gauss con pivoteo al siguiente sistema.

-8=x-2x+x- x:E 43211

-20=3x-3x+2x-2x:E 43212

-2=x+x+ x:E 3213

4=3x+4x+x- x:E 43214

Solución:La matiz aumentada es:

Al efectuar las operaciones elementales

Obtenemos:

Como es el pivote y es cero(0), no se puede continuar el procedimiento.¿Qué hacemos?

42

208

3411011133221211

~~ )1(AA

144

133

122 2

EEEEEEEEE

12648

4200112011001211

~ )2(A

)2(22a

La operación es permitida por ello buscamos en y un elemento diferente de cero y encontramos para obtener la nueva matriz

Ya hemos eliminado X2 de E3 y E4 ahora será y realizando obtenemos:

ji EE

)2(32a

)2(42a

32 EE

124

68

42001100

11201211

'~ )2(A

)3(~A '~ )2(A

344 2EEE

44

68

20001100

11201211

'~ )4(A

El paso final es aplicar la sustitución hacia atrás

El vector solución es:

71

)1(2)1(8

32

)1(6

21

)1(422/4

2341

342

43

4

xxxx

xxx

xx

x

Tx 2237

Ejercicio: Resolver mediante eliminación de Gauss los sistemas:A.

B.

¿A y B tienen solución única?

62622

4

321

321

321

xxxxxx

xxx

62422

4

321

321

321

xxxxxx

xxx

A. La matriz aumentada

Se hacen las siguientes operaciones:

Donde:

Tiene solución única

664

211122111

133

122 2EEEEEE

22

4

100100

111

202

1

2

3

xxx

B. La matriz aumentada

Se hacen las siguientes operaciones:

Donde:

No tiene solución única

644

211122111

133

122 2EEEEEE

204

100100

111

420

02

1

2

3

xxx

2. Método de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan es una variante del método de eliminación de Gauss. La variación consiste en que cuando una incógnita es eliminada esto se hace no solo en las subsecuentes sino también en las anteriores

Ejemplo: Aplicar el método de Gauss-Jordan para resolver el sistema

4336425294

321

321

321

xxxxxxxxx

Solución:1. La matriz aumentada

2. Eliminar debajo de la primera fila

3. Intercambiamos la fila 3 con la fila 2

4. Sumando la 2da fila multiplicada por a la 1ra fila y la 2da fila multiplicada por a la 3ra se obtiene:

5.075.25

55.005.225.10

294

))25.1/9((

)25.1/25.0(

435

311642294

75.25.0

5

5.225.1055.00294

5. Sumando la 3ra fila multiplicando por a la 1ra fila y a la 3ra multiplicada por

De donde:

6.075.2

8.24

4005.225.10

2004

)4/20(

)4/5.2(

6.0125.3

8.27

400025.10004

6.04125.325.1

8.274

3

2

1

xx

x

15.05.2

95.6x

Vectores y Normas Matriciales

Vectores y Nomas Matriciales

Una norma es una función de valor que proporciona una medida del “tamaño o longitud” de las entidades multicomponentes, tales como los vectores y matrices

Norma Euclidiana:

Para un vector n-dimensional se tiene: , la norma euclidiana se escribe como:El concepto se extiende a una matriz

Esta ultima es conocida como la Norma de Frobenius, al igual que los vectores proporciona una medida o cuantificación de la matriz A.

222 zyxVe

nxxxxx ...,, 321

n

iinexxxxV

1

2222

21 ...

n

i

n

jijaA

1 1

Otras Normas:Existen alternativas a las Normas de Frobenius y Euclidiana y estas son:a.Normas de un Vector

Uniforme:

Es decir el elemento máximo en valor absoluto se toma como la norma

b. Norma de una matriz uniforme o “norma suma-fila”

Es decir la suma en valor absoluto mas grande es la que se toma como la norma

ini xx 1max

n

jijaA

1

max

Propiedades de las Normas:1. Y si y solo si

2.

3. Desigualdad triangular

4.

0A 0A 0A

AkkA

BABA

BABA

Números de CondiciónEl estudio de condicionamiento de un sistema reviste suma importancia puesto que con el se puede prevenir errores de redondeo en los cálculos de la solución del sistema. De allí que se hable de sistema “bien” o “mal” condicionado.El numero de condición suele definirse como el producto de dos normas matriciales:

1)( AAAcondicion

Cuando el resultado del numero de condición es grande muy grande, se dice que el sistema es mal condicionado, por el contrario si es pequeño (cercano a la unidad), se dice que es sistema es bien condicionado

Ejemplo:Considere la matriz:

Aplicando normas matriciales se tiene el número de condición de A

El numero de condición de A es bastante grande por tanto se concluye que A es mal condicionado

47.154.083.078.156.033.4

53.205.102.3A

9.2556.10285.769.6693.2685.200

55.18273.7661.51A

7595)7.1138)(67.6(1 AA

Síntomas para un Sistema mal Cond.

1. , calculando se aparta de 12. calculada es diferente de A3. calculada se aparta de la matriz

identidad4. calculada se aparta de la matriz

identidad de forma mas significativa que

)det(),det( 1AA11)( A

1AA

111 )( AA

1AA

Sistemas mal condicionadosConsidere el sistema Ax=b de 2 ecuaciones y 2 incógnitas

La solución es obvia

Supóngase que el lado derecho se modifica tan solo un poco:

La solución es:

Por ultimo hacemos una nueva modificación en b

La solución es:

0.20.2

01.199.099.001.1

yx

11 yx

98.102.2

01.199.099.001.1

yx

02 yx

02.298.1

01.199.099.001.1

yx

20 yx

Es un sistema mal condicionado “Para cambios pequeños en la entrada, se

tienen grandes cambios en la salida”

bAx b1b2b3

x1x2x3

Métodos Iterativos

1. Método de iteración de Jacobi

Ejemplo:

Sol:Mediante la iteración en las dos variables, podemos resolver una ecuación para x y otra para y

Ahora se generan nuevas aproximaciones sucesivamente mediante:

0420537

yxyx 22/2/)4(

7/)53(

xxy

yx

27

53

121

1

1

kk

kk

xy

yx

Tabla de resultados

m

0 0 0

1 0.7142857 2.357142857

2 1.724489796 2.86224498

3 1.940962099 2.97048105

4 1.987349021 2.993674511

5 1.997289076 2.998644538

6 1.999419087 2.999709544

)(mkx

)(mky

Existe convergencia hacia

3999.22999.1

yx

Ejercicio:Resolver mediante Jacobi (5 iteraciones) el sistema

Sol:

m

0 0 0 0

1 -0.5 -0.25 0.375

2 -0.625 -0.125 0.4375

3 -0.5625 -0.0625 0.46875

4 -0.53125 -0.03125 0.484375

5 -0.515625 -0.015625 0.492187

1202

12

32

321

21

xxxxx

xx

21

2

21

1213

31112

211

kk

kkk

kk

xx

xxx

xx

)(1mkx

)(2mkx

)(3mkx

5.00

5.0

3

2

1

xxx

2. Iteración de Gauss-Seidel

Si la iteración de Jacobi converge, la iteración de Gauss-Seidel lo hará mas rápido. Un criterio para aplicar Gauss-Seidel es reordenar las ecuaciones de manera que el sistema sea “diagonalmente dominante”.

Ejemplo: Resolver el sistema

Sol: Para aplicar Gauss-Seidel se debe tener el sistema diagonalmente dominante

1. Reordenando se tiene:

2. Resolviendo para x se tiene

02537444

432

zyxzyxzyx

4320253

7444

zyxzyxzyx

324

523

47

yxz

zxy

zyx

3. Planteando las formulas de iteración

4. Tabla de resultados Empezando con el vector [0,0,0]

m

0 0 0 0

1 1.75 1.05 0.05

2 0.65 0.37 0.87

3 0.51 -0.042 1.19133

4 0.60067 -0.116133 1.21053

5 0.655599 -0.0908521452 1.17536843

6 0.6654837 -0.0708571428 1.158743529

7 0.66211361 -0.066229243 1.156781624

10 0.65893921 -0.068255616 1.159190674

324

523

47

111

11

1

kkk

kkk

kkk

yxz

zxy

zyx

)(mkx

)(mky

)(mkz

1592.106826.0

6589.0

zyx

1. Resolver por Gauss-Seidel

a. Comenzar con solución inicial(0,0,0)

b. Comenzar con solución inicial(2,2,-1)

c. ¿Cuál de los dos converge mas rápido?

Ecuaciones iterativas:

La tabla de resultados son:

6545

95

32

321

21

xxxxx

xx

56

54

59

1213

31112

211

kk

kkk

kk

xx

xxx

xx

m

0 0 0 0

1 1.8 1.16 0.968

2 2.032 1.0128 -0.99744

3 2.00256 1.001024 -0.99979

4 2.000205 1.000082 -0.999983

5 2.0000164 1.0000067 -0.999999

m

0 2 2 -1

1 2.2 1.04 -0.992

2 2.008 1.0032 -0.99936

3 2.00064 1.000256 -0.999949

4 2.0000512 1.0000205 -0.999999

)(1mkx

)(2mkx

)(3mkx

)(1mkx

)(2mkx

)(3mkx

112

3

2

1

xxx

112

3

2

1

xxx

Cuando la solución inicial es (2,2,-1) converge más rápido

2. Resolver el sistema

a. Por Gauss-JordanLa matriz aumentada es:

Efectuando operaciones básicas, la matriz es:

Donde:

4336425294

321

321

321

xxxxxxxxx

6.004.3

2.27

2.400025.10004

435

311642294

15.05.295.6

3

2

1

xxx

b. Por Gauss-Seidel

Las ecuaciones iterativas son:

m

0 0 0 0

1 1.25 -2.75 -1.75

2 -4.0775 -13.3275 -7.02583

364243

5294

321

321

321

xxxxxxxxx

642334

4295

121113

31112

3211

kkk

kkk

kkk

xxx

xxx

xxx

)(1mkx

)(2mkx

)(3mkx

Las soluciones no convergen

Descomposición LU

1. Supóngase que A se puede descomponer en A=LU donde L es una matriz triangular inferior(Lower) y U una matriz triangular superior(Upper) de allí que AX=b puede representarse como

)1(bLUx

2. Si z es la matriz columna de n filas resultante del producto Ux, se tiene que LUx=b se puede reescribir como:

A partir de (1) y (2) se puede plantear un algoritmo para resolver el sistema de ecuaciones en dos etapasObtener z aplicando el algoritmo de sustitución regresiva o sustitución hacia atrás en una ecuación:

)2(bLz

zUx

Ejemplo: Sea el sistema Ax=b

Sol:Los multiplicadores para hacer ceros en la 1ra columna de A,son 2 y 1 respectivamente y se tiene:

Ahora el multiplicador para hacer cero al final de la 2da columna de A es 3, por ello

Dando:

312811

17421034312

101012001

1L

1430410312

11 ALA

130010001

2L

200410312

12122 ALLALAU

Por último:

Así la solución del sistema

Implica en primer lugar la aplicación al sistema de la sustitución hacia adelante

De donde:

Ahora aplicamos sustitución hacia atrás

Para obtener:

131012001

130010001

101012001

12

11LLL

312811

bLUx

312811

131012001

3

2

1

zzz

2)6(3)11(1316)11(228

11

3

2

1

zzz

26

11

200410312

3

2

1

xxx

123

x

Factorización de Crout

La factorización de A en las matrices generales de orden 3 L y U se expresa como:

Para determinar L y U se multiplican :

333231

232221

131211

33

2322

131211

333231

2221

11

0000

00

aaaaaaaaa

uuuuuu

lllll

l

a. 1 fila de L por las 3 columnas de U

b. 2 fila de L por las 3 columnas de U

c. 3 fila de L por las 3 columnas de U

Se tiene un sistema de 9 ecuaciones y 12 incógnitas. Para resolver se puede establecer tres condiciones arbitrarias.Tomando Se tiene el método de Crout

131311

121211

111111

aulaulaul

2323221321

2222221222

211121

aululaulul

aul

33333323321331

3222321231

311131

aulululaulul

aul

1332211 lll

Desarrollo de la factorización tomando

Se tiene de a

De b

De c

1332211 lll

1313

1212

1111

auauau

1311

212313212323

1211

212212212222

1121112121 //

aaaaulau

aaaaulau

aaual

]][[

//

1311

2123

1211

2122

1211

3132

1311

3133

233213313333

1211

2122

1211

3132

22

12313232

1131113131

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

ululau

aaaa

aaaa

uulal

aaual

Ejemplo:Aplicar Crout para resolver el sistema

Sol:Con se procede al calculo de la 1 fila de U

Calculo de la 1 columna de L

Calculo de la 2 fila de U

Calculo de la 2 columna de L

4336425294

321

321

321

xxxxxxxxx

1332211 lll

29

4

13

12

11

uuu

25.04/15.04/2

1

31

21

11

lll

5)2)(4/2(65.0)9)(4/2(4

0

23

22

21

uuu

5.2))9)(4/2)(4/()9)(4/1(1(10

32

22

12

lll

Calculo de la 3 fil de U, o mas bien los elementos faltantes

Aquí finaliza la factorización!Las matrices L y U obtenidas

El producto de LxU=ASe resuelve el sistema Lc=b, donde b es el vector de términos independientemente del sistema original.

10))2)(42(6(

))9)(42(4(

)9)(41(1(

)2)(41(3

0

33

3231

u

uu

100055.00294

15.225.0015.0001

UL

435

15.225.0015.0001

3

2

1

ccc

5.1)5.0(5.2)5(25.045.0)5(5.03

5

3

2

1

ccc

Finalmente resolvemos el sistema Ux=c para obtener la solución del sistema original Ux=b

Donde

5.15.0

5

100055.00294

3

2

1

xxx 95.6

4)15.0(2)5.2(95

5.25.0

)15.0(55.015.0

3

2

3

x

x

x

15.05.2

95.6x