Sistemas de Controle IIIN8SC3

Prof. Dr. Cesar da Costa

5.a Aula: Matriz de Transição de Estado (2.a parte)

Computação da Matriz de Transição de Estado

Determine a matriz de transição de estado . . Dada a matriz A.

Exercício 5 (lista):

Ate

5 7 50 4 12 8 3

A

Computação da Matriz de Transição de Estado

Primeiro calcula-se os autovalores da matriz A:

Solução Exercício 5 (lista):

3 2

5 7 5det[ ] det 0 4 1 0

2 8 3

6 11 6 0

A I

Computação da Matriz de Transição de Estado

Calculando-se os autovalores da matriz A com a função roots(p) do

MATLAB:

Solução Exercício 5 (lista):

3 26 11 6 0

Computação da Matriz de Transição de Estado

Solução Exercício 5 (lista):

1 2 3λ =1; λ =2; λ =3

Autovalores:

Uma vez que a matriz A é 3 x 3, utilizamos os três primeiros termos da

Equacao (6):

20 1 2

Ate a I a A a A

Computação da Matriz de Transição de Estado

Solução Exercício 5 (lista):

Obtemos a0, a1 e a2 das seguintes relacoes:

1

2

3

20 1 1 2 1

20 1 2 2 2

20 1 3 2 3

t

t

t

a a a e

a a a e

a a a e

0 11 2

20 1 2

30 1 2

2 4

3 9

t

t

t

a a a e

a a a e

a a a e

Substituindo-se os valores de lambda:

Computação da Matriz de Transição de Estado

Solução Exercício 5 (lista):

Calculando-se os coeficientes a0, a1 e a2 no MATLAB:

Computação da Matriz de Transição de Estado

Solução Exercício 5 (lista):

Ordenando os coeficientes, tem-se:

0

1

2

a = 3*exp(t) - 3*exp(2*t) exp(3*t) a = - (5*exp(t))/2 4*exp(2*t) - (3*exp(3*t))/2 a = exp(t)/2- exp(2*t) + exp(3*t)/2

2 30

2 31

2 32

3 - 3 5 3 - 4 - 2 2

1 1 - 2 2

t t t

t t t

t t t

a e e e

a e e e

a e e e

Computação da Matriz de Transição de Estado

Solução Exercício 5 (lista):

Calculando-se a Matriz de Transição no MATLAB:

Computação da Matriz de Transição de Estado

Solução Exercício 5 (lista):

Então:

2 3 2 3 2 3

2 3 2 3 2 3

2 3 2 3 2 3

2 2 6 5 4 32 3 5 2 3

3 4 9 10 6 6

t t t t t t t t t

At t t t t t t t t t

t t t t t t t t t

e e e e e e e e ee e e e e e e e e e

e e e e e e e e e

Computação da Matriz de Transição de Estado (2.o Caso) Neste caso, existem n raízes e m raízes são iguais.

Os coeficientes ai podem ser calculados pelas seguintes Equações:

1 2 3 1... , , m m n

1

1

1

1

2 10 1 1 2 1 1 1

2 10 1 1 2 1 1 1

1 1

2 22 1

0 1 1 2 1 1 12 21 1

1 12 1

0 1 1 2 1 1 11 11 1

20 1 1 2 1 1

...

( ...

( ...

...

( ...

...

tnn

tnn

tnn

m mtn

nm m

m m n

a a a a ed da a a a ed d

d da a a a ed d

d da a a a ed d

a a a a

111

2 10 1 2 1

...

...

m

n

tnm

tnn n n n

e

a a a a e

Computação da Matriz de Transição de Estado

Determine a matriz de transição de estado . . Dada a matriz A.

Exercício 6 :

Ate

1 02 1

A

Computação da Matriz de Transição de Estado

Solução.

Exercício 6 :

Primeiro calculamos as raízes (autovalores) da matriz A:

2

1 2

1 0det[ ] det 0

2 1( 1 )( 1 ) 0

( 1) 01

A I

Computação da Matriz de Transição de Estado

Solução.

Exercício 6 :

Uma vez que a matriz A é de ordem 2 x 2, necessitamos dos dois

primeiros termos da matriz de transição de estado:

0 1Ate a I a A

Encontramos ao e a1 das relações para raízes iguais:

1

1

0 1 1

0 1 11 1

( )

t

t

a a ed da a ed d

Computação da Matriz de Transição de Estado

Solução.

Exercício 6 :

Calculando-se a derivada da segunda equação, tem-se:

1 10 1 1 1

1 1

( ) t td da a e a ted d

Rearrumando-se as equações:

1

1

0 1 1

1

t

t

a a e

a te

Computação da Matriz de Transição de Estado

Solução.

Exercício 6 :

Substituindo-se os valores de lambda:

0

1

t t

t

a e te

a te

A matriz de transição de estado:

1 0 1 0( )

0 1 2 1At t t te e te te

02

tAt

t t

ee

te e

Usando o MATLAB para encontrar os autovalores de uma Matriz n x n

Comando eig(x)

Exemplo 1:

Dada a matriz A, calcule as suas raízes (autovalores lambda):

2 10 1

A

Usando o MATLAB para encontrar os autovalores de uma Matriz n x n

Exemplo 2:

Dada a matriz B, calcule as suas raízes (autovalores lambda):

5 7 50 4 12 8 3

B

Usando o MATLAB para encontrar os autovalores de uma Matriz n x n

Exemplo 3:

Dada a matriz C, calcule as suas raízes (autovalores lambda):

1 02 1

C

Análise de Circuito com Variáveis de Estado

Dado o circuito RLC série. Determine a sua Equação de Estado e a sua Matriz

de transição.

Dados:

Corrente no indutorTensão no capacitor

L

C

iv

0 ( ) 111/ 44 / 3

S

S

S

S

V t VRL HC F

Análise de Circuito com Variáveis de Estado

Inicialmente determinamos a Equação de Estado.

0 ( )

L

LL C

i idiRi L v tdt

Substituindo os valores dados e rearranjando as equações:

1 ( 1) 14

4 4 4

LL C

LL C

di i vdt

di i vdt

Análise de Circuito com Variáveis de Estado

Escolhendo-se as variáveis de estado:

1

2

L

C

x ix v

.

1

.

2

L

C

dixdtdvxdt

CL

dvi Cdt

Do circuito RLC:

Análise de Circuito com Variáveis de Estado

Então:

Equação de Estado:

. .

1 2 2

..

2 1

43

34

CL

dvx i C C x x

dt

x x

.

1 1 2

.

2 1

4 4 434

x x x

x x

.

1 10.

22

4 4 4( )

3 / 4 0 0x x

txx

Análise de Circuito com Variáveis de Estado

Matriz de Transição : Ate

2

1

2

4 4det[ ] det 0

3 / 4

4 3 013

A I

Análise de Circuito com Variáveis de Estado

Calculando-se os coeficientes a0 e a1 a partir das relações conhecidas:

1

2

0 1

0 1 1

0 1 2

At

t

t

e a I a A

a a e

a a e

Análise de Circuito com Variáveis de Estado

Substituindo-se os valores de lambda:

0 1

30 13

t

t

a a e

a a e

Calculando-se os coeficientes a0 e a1:

30

31

1.5 0.5

0.5 0.5

t t

t t

a e e

a e e

Análise de Circuito com Variáveis de Estado

Matriz de Transição :

3 21 0 ` 4 4(1.5 0.5 ) (0.5 0.5 )

0 1 3 / 4 0At t t t te e e e e

3 3

3 3

` 0.5 1.5 2 23 3 1.5 0.58 8

t t t t

Att t t t

e e e ee

e e e e