RITEORÍA DE COLAS

INTRODUCCIÓN

El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Krarup

Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de

tráfico telefónico con el objetivo de cumplir con la demanda incierta de

servicios en el

sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una

nueva teoría llamada Teoría de Colas o de Líneas de Espera. Esta teoría es

ahora una herramienta de valor en negocios debido a que muchos de sus

problemas se caracterizan, como de congestión llegada -salida. Una Cola es

una línea de espera y la Teoría de Colas es una colección de modelos

matemáticos que describen sistemas de líneas de espera. Los modelos sirven

para encontrar una buena relación entre los costos y los tiempos promedio en

la línea de espera para un sistema dado.

Los problemas de “Colas” se presentan permanentemente en la vida

diaria un estudio de EE.UU. concluyó que un ciudadano medio pasa 5 años de

su vida esperando en distintas Colas, y de ellos casi 6 meses parado en los

semáforos. La Teoría de Colas se utiliza también para analizar redes en las

1

cuales hay alguien (persona o cliente) o algo (productos, señales eléctricas,

etc) que deben esperar en una cola para ser atendido.

DEFINICIÓN

Teoría de Colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de

espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar"

demandando un servicio a un "servidor" el cual tiene cierta capacidad de

atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide

esperar, entonces se forma en la línea de espera.(Fig.1)

MARCO DE REFERENCIA

Muchas empresas de servicio utilizan la Teoría de Colas, entre ellas podemos

mencionar:

Los supermercados

•Restaurantes de autoservicio.

•Compañías de luz

2

•Compañías de teléfonos

•Compañías de agua

•Registro civil

•Expedición de pasaportes

•Bancos

•Compañías de espectáculos

•Expendios de autoservicio

•Etc.

Otras empresas dedicadas a la manufactura también hacen uso del

recurso de la teoría de colas, para resolver problemas de tiempo y de costo en

la elaboración de productos entre ellas se encuentran:

•Industrias maquiladoras

•Industrias transformadoras

•Industrias ensambladoras

•Etc.

Para utilizar esta técnica, primero se deben conocer las características

del sistema para posteriormente clasificarlo en un tipo de modelo

predeterminado y, finalmente, evaluarlo.

LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Esta distribución es muy frecuente en los problemas relacionados con la

investigación operativa, sobre todo en el área de la gestión de colas. Suele

describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a

una central telefónica, la llegada de autos a un túnel de lavado, etc. Todos

estos casos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene

valores no-negativos enteros.

3

LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

La distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo y la

distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas.

Si las llegadas son de Poisson, el tiempo entre ellas es exponencial. La

distribución de Poisson es discreta, mientras que la distribución exponencial

es continua, porque el tiempo entre llegadas no tiene por qué ser un número

entero. Esta distribución se usa mucho para describir el tiempo entre eventos,

específicamente, la variable aleatoria que representa el tiempo necesario para

servir a una unidad de llegada. Un ejemplo típico puede ser el tiempo que un

médico dedica a un paciente.

1ª Ley de Harper

No importa en qué cola se sitúe: La otra siempre avanzará más rápido.

2ª Ley de Harper

Y si se cambia de cola, aquélla en que estaba al principio empezará a ir

más deprisa.

4

CONCEPTOS BÁSICOS

Clientes: Término usado en un sistema de colas para referirse a:

Gente esperando líneas telefónicas desocupadas.Máquinas que esperan ser reparadas.Aviones esperando aterrizar.

Instalaciones de Servicio: Este término se usa para referirse a:

Líneas telefónicas.Talleres de reparación.Pistas de aeropuerto.

Llegadas: Es el número de clientes que llegan a las instalaciones de servicio.

Tasa de Servicio: Este término se usa para designar la capacidad de servicio,por ejemplo:

Un sistema telefónico entre dos ciudades puede manejar 90 llamadas por minuto.

Una instalación de reparación puede, reparar máquinas arazón una cada 8 horas.

Una pista de aeropuerto en la que aterrizan dos aviones por minuto.

Número de servidores: Es la cantidad de servidores de que disponemos:

Número de conmutadores telefónicos.(Central Telefónica).Número de puestos de reparación.Número de pistas de aterrizaje de un aeropuerto.

5

COSTOS ASOCIADOS A UN SISTEMA DE COLAS

Normalmente existen dos tipos de costos:

a) Los costos asociados a la espera de los clientes

Por ejemplo, el valor del tiempo perdido o la gasolina malgastada en los

congestionamientos o los semáforos. Estos costos de espera decrecen

conforme aumenta la capacidad de servicio del sistema.

b) Los costos asociados a la expansión de la capacidad de servicio

Con la reducción anterior de costos de espera, los costos asociados a

incrementar la capacidad de servicio crecen con alguna proporcionalidad en

relación a esta capacidad.

c) Los costos totales del sistema de servicio

La suma de los dos costos anteriores proporcionan una función de costos

totales del sistema en función de la capacidad.

OBJETIVOS DE LA TEORÍA DE COLAS

Dada la función de costos anterior, los objetivos de la Teoría de Colas

consisten en:

Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el

costo total.

Evaluar las posibles alternativas de modificación, y el costo total de las

mismas.

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Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones

cuantitativas de costos y las cualitativas de servicio. Hay que prestar atención

al tiempo de permanencia en el sistema o en la Cola: la “paciencia” de los

clientes depende del tipo de servicio considerado y eso puede hacer que un

cliente “abandone” el sistema.

TIPOS DE COLAS

a) Una línea,_un servidor El primer sistema que se muestra en la figura 2

se llama sistema de un servidor y una cola. Ej. una entrevista de empleo

con un gerente.

b) Una línea,_ múltiples servidores El segundo, una línea con múltiples

servidores, es típico de una peluquería o una carnicería en donde los

clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando les llega el

turno.

c) Varias líneas,_ múltiples servidores El tercer sistema, en que cada

servidor tiene una cola, es característico de los grandes supermercados. Para

este tipo de servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemas

independientes de un servidor y una cola. Esto sería válido sólo si hubiera

muy pocos intercambios entre las colas. Cuando ocurre el intercambio la

separación no es válida.

7

Figura 2

8

Desarrollo

Los problemas relacionados con sistemas de colas se clasifican en dos grupos

básicos:

1. Problemas de análisis. Para saber si un sistema dado está funcionado

satisfactoriamente. Es necesario responder una o más de las siguientes

preguntas:

a. ¿ Cuál es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la cola

antes de ser atendido?

b. ¿Qué fracción de tiempo ocupan los servidores en atender a un cliente o

en procesar un producto?

c. ¿Cuáles es el número promedio y el máximo de clientes que esperan en

la cola.

Basándose en estas preguntas, se tomarán decisiones tales como: emplear

más gente, agregar una estación de trabajo adicional para mejorar el

nivel de servicio, o si es necesario aumentar el tamaño del área de espera.

2. Problemas de diseño. Diseñar las características de un sistema que

logre un objetivo. implica el planteamiento de preguntas como las

siguientes:

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a. ¿Cuántas personas o estaciones deben emplearse para proporcionar un

servicio aceptable?

b. ¿Deberán los clientes esperar en una sola fila (como se hace en muchos

bancos) o en diferentes filas (como en el caso de los supermercados)?

c. ¿Deberá haber una estación de trabajo separada que maneja las

cuestiones “especiales”.

d. ¿Qué espacio se necesita para que los clientes o los productos puedan

esperar? Por ejemplo, en un sistema de reservaciones por teléfono, ¿qué

tan grande debe ser la capacidad de retención? Es decir, ¿cuántas

llamadas telefónicas se deben mantener en espera antes de que las

siguientes obtengan la señal de ocupado?

Las decisiones de diseño se toman mediante la evaluación de los méritos de

las diferentes alternativas, respondiendo a las preguntas de análisis anterior y

luego seleccionando la alternativa que cumpla con los objetivos fijados.

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El proceso de llegada

El proceso de llegada es la forma en que los clientes llegan a solicitar un

servicio. La característica más importante del proceso es el tiempo entre llegadas,

que es la cantidad de tiempo entre dos llegadas sucesivas. Este lapso es

importante porque mientras menor sea el intervalo de tiempo con más frecuencia

llegan los clientes, lo que aumenta la demanda de servidores disponibles.

Características claves

Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas:

Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de

tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en

donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo

(conocido como ciclos de tiempo)

Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y

variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una

distribución de probabilidad.

En el caso probabilístico, la determinación de la distribución real, a menudo,

resulta difícil. Sin embargo, la distribución exponencial, ha probado ser

confiable en muchos de los problemas prácticos. En general, un proceso de

llegadas puede obedecer a cualquier otra distribución.

11

El proceso de servicio

El proceso de servicio define cómo son atendidos los clientes. En

algunos casos, puede existir más de una estación en el sistema en el cual se

proporcione el servicio requerido. Los bancos y los supermercados, son

buenos ejemplos de lo anterior. Cada ventanilla y cada registradora son

estaciones que proporcionan el mismo servicio. A tales estructuras se les

conoce como sistemas de colas de canal múltiple. En dichos sistemas, los

servidores pueden ser idénticos, en el sentido en que proporcionan la misma

clase de servicio con igual rapidez, o pueden no ser idénticos. Por ejemplo, si

todos los cajeros de un banco tienen la misma experiencia, pueden

considerarse como idénticos.

Al contrario de un sistema de canal múltiple, en un proceso de

producción con una estación de trabajo, todos los productos deben pasar por

esa estación de trabajo; en este caso se trata de un sistema de colas de canal

sencillo. Es importante hacer notar que incluso en un sistema de canal sencillo

pueden existir muchos servidores que, juntos, llevan a cabo la tarea necesaria.

Por ejemplo, un negocio de lavado a mano de automóviles, que es una sola

estación, puede tener dos empleados que trabajan en un auto de manera

simultánea

12

Otra característica del proceso de servicio es el número de clientes

atendidos al mismo tiempo en una estación. En los bancos y en los

supermercados (sistema de canal sencillo), solamente un cliente es atendido a

la vez. Por el contrario, los pasajeros que esperan en una parada de autobús

son atendidos en grupo, según la capacidad del autobús que llegue.

Otra característica de un proceso de servicio es si se permite o no la

prioridad, esto es ¿puede un servidor detener el proceso con el cliente que está

atendiendo para dar lugar a un cliente que acaba de llegar? Por ejemplo, en

una sala de emergencias, la prioridad se presenta cuando un médico, que está

atendiendo un caso que no es crítico es llamado a atender un caso más crítico.

Cualquiera que sea el proceso de servicio, es necesario tener una idea de

cuánto tiempo se requiere para llevar a cabo el servicio. Esta cantidad es

importante debido a que cuanto más dure el servicio, más tendrán que esperar

los clientes que llegan. Como en el caso del proceso de llegada, este tiempo

pude ser determinístico o probabilístico. Con un tiempo de servicio

determinístico, cada cliente requiere precisamente de la misma cantidad

conocida de tiempo para ser atendido. Con un tiempo de servicio

probabilístico, cada cliente requiere una cantidad distinta e incierta de tiempo

de servicio. Los tiempos de servicio probabilísticos se describen

matemáticamente mediante una distribución de probabilidad. En la

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práctica resulta difícil determinar cuál es la distribución real, sin embargo, una

distribución que ha resultado confiable en muchas aplicaciones, es la

distribución de Poisson.

El proceso de colas

Parte del proceso de colas tiene que ver con la forma en que los clientes

esperan para ser atendidos. Los clientes pueden esperar en una sola fila, como

en un banco, éste es un sistema de colas de una sola línea. Al contrario, los

clientes pueden elegir una de varias filas en las que deben esperar para ser

atendidos, como en las cajas de un supermercado

Otra característica del proceso de colas es el número de espacios de espera en

cada fila, es decir, el número de clientes que pueden esperar (o que esperarán )

para ser atendidos en cada línea. En algunos casos, como en un banco, ese

número es bastante grande y se considera infinita. En contraste, un sistema

telefónico puede mantener un número finito (es decir limitado) de llamadas,

después del cual las subsecuentes no tienen acceso al sistema. Las condiciones

de espacio de espera infinito y finito requieren análisis matemáticos diferentes

A DE COL

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ANÁLISIS DE LOS DIFERENTES MODELOS DE COLAS

Definición de términos y nomenclatura a utilizar

Análisis de problemas de colas con población infinita

Análisis de problemas de colas con población finita

Modelos de autoservicio

Modelos que no obedecen a la distribución de Poisson

Definición de términos

Prioridad : Método de decidir cual será el próximo cliente atendido. La

suposición más frecuente consiste en que el primero que llegue es el

primero que se atiende.

Tamaño de la línea de espera admisible: Clientes o unidades que

esperan en la cola para ser atendidos, se considera Finita,: menor o

igual a 30 ; Infinita mayor de 30.

Distribución de la tasa de llegada (servicio) : Las más frecuentes son

la de Poisson y la Exponencial (Markovianas) que requieren que los

eventos de llegada o servicio sean independientes.

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Número esperado en la cola (Lc) : Número estimado de clientes o

unidades que esperan para ser atendidos.

Número esperado en el Sistema (Ls) : Número estimado de clientes o

unidades ya sea esperando en la línea y/o siendo atendidos.

Tiempo esperado en la cola (Wc) : Tiempo estimado que emplea un

cliente o unidad en la cola.

Tiempo esperado en el sistema (Ws) : Tiempo estimado que emplea

un cliente o unidad esperando en la cola más el que emplea siendo

atendido.

Probabilidad de hallar el Sistema vacío (Po) : Probabilidad de que en

el sistema esté sin clientes o unidades en el momento de una llegada.

(Sistema Ocioso).

Probabilidad de hallar “n” clientes en el sistema(Pn) : Probabilidad

de encontrar determinado número de clientes en el sistema en el

momento de una llegada.

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(Probabilidad de que una unidad de llegada tenga que esperar

servicio) o la Probabilidad de haya “K” o más unidades de servicio

en el sistema (Pk) : Esta probabilidad se refiere a los servidores que

pudieran prestar servicio en el sistema.

Nomenclatura a utilizar.

Lambda (λ) : Tasa promedio a la cual llegan los clientes para ser

atendidos. (unidades / min.) (clientes / hora.) etc.

Miú (μ) : Tasa promedio a la cual la unidad de servicio puede atender

al cliente. (Unidades / min.) (Clientes /hora.).etc.

Notación de Kendall – Lee. : Notación utilizada para clasificar la

amplia diversidad de los diferentes modelos de cola que se han

desarrollado, es la siguiente:

(a / b / c ) : (d / e / f)

Donde los símbolos (a, b, c, d, e, f) representan los elementos básicos

del modelo de la siguiente forma.:

a = Indica la distribución de probabilidad de las llegadas.

b = Indica la distribución de probabilidad de tiempo de servicio

c = Indica el numero de servidores en paralelo

d = Disciplina de servicio ( Fifo, Lifo, Siro).

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Fifo (first in first out)Lifo (Last in first out)Siro (service in Risky order)

e = Número máximo admitido en el sistema (cola + Servicio)

f = Población de la cual se surte el sistema.

La Notación estándar reemplaza los símbolos “a” y “b” por los

códigos siguientes:

M para denotar que los tiempos entre llegadas son probabilísticos y

siguen una distribución de Poisson o exponencial.

D para denotar que el tiempo entre llegadas o servicio es determinístico.

G para denotar que los tiempos entre llegadas son probabilísticos y

siguen una distribución general diferente a la exponencial.

Reemplaza el símbolo “c” por los códigos:

1 si el sistema tiene un solo servidor

S (several) si el sistema tiene varios servidores

Reemplaza el símbolo “d” por los códigos:

DG disciplina general (Fifo, Lifo, Siro)

NP disciplina de no prioridad.

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Reemplaza el símbolo “e” por los códigos:

N si el sistema permite un máximo de N clientes.

∞ si el sistema permite un número indeterminado de clientes.

Reemplaza el símbolo “f ” por los códigos :

∞ cuando la población de la cual se surte el sistema es numerosa.

K cuando se conoce al total de esta población

De acuerdo a la notación de Kendall – Lee los modelos que se

analizarán son:

(M/M/1) : (DG/∞/∞) Un solo servidor con Población Infinita

(M/M/S) : (DG/∞/∞) Varios servidores con población Infinita

(M/M/1) : (DG/N/∞) Un solo servidor con población Finita.

(M/M/S) : (DG/N/∞) Varios servidores con población Finita.

(M/M/∞) : (DG/∞/∞) Modelo de autoservicio

(M/G/1) : (DG/∞/∞). Colas que no obedecen la distr. Poisson.

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TEORIA DE COLAS (MODELOS Y SUS FORMULAS).

MODELO # 1 (M/M/1):(FIFO/∞/∞)

Factor de utilización del sistema.

Po

Probabilidad de hallar “n” clientes en el sistema.

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Ejemplo: La empresa Láctea Carabobo dispone en sus instalaciones una

estación (Romana o Báscula ) para el pesado de sus camiones, provenientes de

varias zonas lechera del país .La gerencia desea analizar el desempeño del

sistema durante las horas pico. Por lo tanto determina la tasa promedio de llegada

y de servicio de dicha estación cuyo valores son:

λ = número promedio de camiones que llegan por hora = 60

μ = Número promedio de camiones que pueden ser pesados por hora = 66.

Análisis :

Cálculo de las medidas de rendimiento:

= 0.909 Más cerca esté ρ de 1 más cargado estará el

sistema lo que tiene como resultado colas más largas y tiempos de espera mayores.

Po

= 1- 0.909

= 0.0909. Este valor indica que aproximadamente 91%

del tiempo , un camión que llega tiene que esperar.

= 9.0909 camiones En estado estable (¿) en promedio la

estación puede esperar tener nueve camiones esperando por el servicio.

21

= 0.1515 Este valor indica que, en promedio, un camión

tiene que esperar 0.1515 horas (aprox. 9 minutos) en la fila antes que

empiece el proceso de pesado.

= 0.1667 Este valor indica que, en promedio, un camión

invierte 0.1667 horas (aprox. 10 min.) desde que llega hasta que

sale.

= 10 Este valor indica que , en promedio existen un

total de 10 camiones en la estación de pesado ya sea en la bascula o

esperando a ser atendidos.

Se puede concluir que muchas medidas de rendimiento están dentro de los

intervalos aceptables por ejemplo un tiempo de 10 minutos para que pueda pasar

al proceso de pesado es razonable.

22

MODELO # 2 (M/M/S):(FIFO/ / )

Probabilidad de que un

cliente que llega tenga que esperar

23

Ejemplo : En el problema anterior se coloca una segunda Romana en la estación

de pesado y se tiene como resultado un sistema con dos servidores con las

siguientes estimaciones:

λ = 70 camiones por hora μ = 40 camiones por hora en cada romanaK = 2 servidores.

Analisis

Algunas Medidas de rendimientos.

= 0.06667 Este valor indica que el 7% del tiempo la estación esta vacía.

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= 5.7167 La estación de pesado puede tener aprox. 6 camiones esperando a ser atendidos ( sin incluir el que esta en la báscula ).

= 0.81667 Este valor indica que aprox.. 82% de las veces un camión que llega tiene que esperar o aproximadamente 18% de las veces un camión que llega es pesado sin que tenga que esperar.

25

MODELO # 3 (M/M/1):(FIFO/N/ )

Cuando se conoce el valor de “M” (Población de clientes o unidades disponibles o que van a ser atendidos) se utilizan las siguientes formulas.

Ejemplo : Un mecánico atiende cuatro máquinas. Para cada una, el tiempo medio

entre requerimientos de servicio es de 10 horas y se supone que tiene una

distribución exponencial. El tiempo de reparación sigue la misma distribución y

tiene un tiempo promedio de 2 horas.

Análisis : Para determinar los valores de ( λ y μ ) hay que considerar que ambos

tienen distribución exponencial y vienen dados en Tiempo / unidades, por lo tanto

hay que realizar la transformación a unidades / tiempo.

26

Algunas Medidas de rendimientos.

El número de máquinas que no funcionan en el sistema es 1(uno). ¿ Está

Ud. de acuerdo ¿ ¿Cómo se obtiene este valor?.

CONTINUACIÓN DEL MODELO # 3

Cuando no se conoce el valor de “M” (Población de clientes o

unidades disponibles o que van a ser atendidos) las formulas a

utilizar son:

27

Se utilizan en ambos casos descritos

Ejemplo : Una pizzería tiene una capacidad máxima de asientos para 50

personas. Las cuales llegan a un flujo de Poisson a la tasa de 10 por hora y son

atendidas a la tasa de 12 por hora , suponga que los clientes son atendidos uno a

la vez por el mesero.¿Cuál es la probabilidad que el próximo cliente no coma en la

pizzería porque se encuentra llena?

Análisis : Número de clientes que están en el sistema de colas ( N=n= 50)

λ = 10 clientes /horas

μ = 12 clientes /horas

ρ = 10/12

= 0,833

28

=

=0.00002

29

MODELO # 4 (M/M/S):(FIFO/N/ )

Cuando se conoce el valor de “M” (Población de clientes o unidades disponibles o que van a ser atendidos) se utilizan las siguientes formulas.

0 < n

Ejemplo : Un grupo de arquitectos tienen disponibles dos computadoras para

realizar sus operaciones . El trabajo a realizar en promedio requiere de 20 minutos

Y cada arquitecto necesita realizar sus operaciones en promedio una vez cada 2

horas. (Estas solicitudes están distribuidas según una Exponencial. Si hay seis

arquitectos en el grupo determine el número de ellos que esperan utilizar una

computadora.

30

Análisis : El número de arquitectos disponibles M= 6

Canales de servicio K = 2

operaciones / hora

Operaciones / hora

Sustituyendo en la ecuación de Lc los valores obtenidos se obtiene:

Arquitectos, esperando utilizar una computadora.

31

CONTINUACIÓN DEL MODELO # 4

Cuando no se conoce el valor de “M” (Población de clientes o

unidades disponibles a ser atendidos) las formulas a utilizar son:

Se utilizan en ambos casos descritos

MODELO # 5 (M/M/∞):(DG/∞/∞) de Autoservicio

32

En este modelo, el número de servidores es ilimitado porque el cliente es el

servidor; el caso de los autoservicios.(No se consideran en este caso cajeros

automáticos, ni las estaciones de servicio).¿por qué?

λn = λ

μn = nμ

n = 0,1,2,.....

Ls= ρ

Lc = Wc = 0 ¿Porqué ?

33

MODELO # 6 (M/G/1) : (FIFO/ / )

SISTEMAS DE COLAS QUE NO SIGUEN LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Los modelos de colas donde los procesos de llegadas y/o salidas no

siguen la distribución de Poisson, conducen a resultados complejos y poco

manejables para los cuales es aconsejable el uso de la Simulación como

herramienta de análisis.

Una de las pocas líneas de espera que no siguen la distribución de

Poisson y pueden obtenerse resultados analíticos es la del modelo:

(M/G/1) : (FIFO/ / )

es decir : llegadas de Poisson y tiempo de servicio con distribución general

(G).

Para este tipo de modelo no se proporcionan las formulas para las

probabilidades de Pn solo las asociadas con Ls, Lq, Ws, Wq.. (Investigar el

Porqué).

La Tasa de Servicio (µ) está dada por μ = 1/E(t) cuando el tiempo de

servicio es aproximadamente constante la var.(t) = 0 .

Por lo tanto para este modelo, dada la tasa de llegada ( λ ) y dadas E(t)

y Var.(t) para la distribución del tiempo de servicio se obtiene la expresión :

34

Esta expresión se denomina Fórmula de Pollaczeck- Khintchine de la cual se

obtienen las medidas de desempeño:

Cuando el tiempo de servicio es aproximadamente constante la fórmula de

P-K se reduce a:

donde (ρ) = y (μ) es la tasa constante de servicio.

Ejemplo:

En las instalaciones de un auto lavado la información que se tiene es

que los autos llegan para ser atendidos según una distribución de Poisson con

media de 4 por hora el lavado lo realizan máquinas automáticas de manera que

el tiempo de servicio se puede considerar el mismo y constante para todos los

autos. La máquina lavadora tarda 10 minutos.

35

Análisis :

λ = 4 autos /hora

Tiempo de servicio constante E(t) = 10/60

Var.(t) = 0

Ls = autos

Lq = autos

Ws = horas

Wq = . horas.

Modelos a investigar:

Modelo de Servicio de Máquinas (M/M/R):(DG/K/K).

Colas con prioridad de servicio.

Modelos en serie con líneas de espera cero.

Modelos en serie con líneas de espera infinitas

Proyectos 1 : Seleccionar un estacionamiento (mayor de 30 autos).

Modelar el sistema de colas a fin de determinar el número de espacios

disponibles y las medidas de rendimiento más importantes.

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Proyecto 2 : Analizar un cajero automático con el fin de determinar la

posibilidad de instalar un cajero adicional y calcular las medidas de

rendimiento.

Proyecto 3 : Investigar el sistema Q-Matic su funcionamiento y

aplicaciones.

Proyecto 4 : Seleccionar una tienda por departamentos (múltiples

servidores) con el fin de reducir el tiempo de espera de los clientes en la líneas

de espera. (Estudio completo incluyendo costos asociados).

Proyecto 5 : Investigar las ecuaciones de flujo de John D. C. Little sus

aplicaciones y ventajas.

37

COSTOS ASOCIADOS CON LAS LINEAS DE ESPERA

Las notaciones que se emplearán para desarrollar un modelo de costo total de

una cola son las siguientes:

Cw = costo de espera por periodo de cada unidad

Ls = número promedio de unidades en el sistema

CSr = costo de servicio por periodo de cada canal

K = numero de servidores o canales de servicio

C.T. = costo total por periodo.

El costo total es la suma del costo de espera más el de servicio:

C.T. = Cw∙Ls+CSr∙K

El costo de espera se basa en el número promedio de unidades en el

sistema, por lo tanto incluye el tiempo esperando en la cola más el tiempo

esperando siendo atendido.

El costo de servicio es el relacionado con la operación de cada uno de

los canales de servicio.

Al incrementar los canales de servicio, mejoran las operaciones de la

línea de espera reduciéndose el costo de espera por otro lado se incrementa el

costo de servicio . El análisis económico intenta minimizar el costo total al

equilibrar el costo de espera con el costo de servicio.

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FORMA GENERAL DE LAS CURVAS DE COSTO EN LINEAS DE ESPERA

FIGURA 3

La figura 3 muestra la forma general de las curvas de costos en el

análisis económico de líneas de espera. El costo de servicio aumenta a medida

que se incrementas el número de canales. El servicio se mejora, el tiempo y el

costo de espera se reducen.

Evaluando el costo total de varias alternativas se puede determinar el

mínimo óptimo

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N Ú M E R O D E C A N A L E S D E S E R V I C I O “K”

COSTO

ESPERADO

POR

HORA

C O S T O D E E S P E R A

C O S T O D E L S E R V I C I O

C O S T O T O T A L

Ejemplo 1 : En un restaurante de comida rápida con un solo servidor se

determinó que el número de clientes en el sistema es (Ls=3). El costo de

servicio (CSr) que incluye el sueldo y los beneficios sociales del empleado se

estima en (7 $/hora). El restaurante realiza un estudio y determina que el costo

del tiempo de espera del cliente es de (10 $/hora).

El costo total aplicando la ecuación es el siguiente:

C.T. = Cw∙Ls+CSr∙K

= 10*3 + 7*1

= 37 $/hora

Con dos canales de servicio (LS = 0,8227) y el costo total es:

C.T. = Cw∙Ls+CSr∙K

= 10*0,8227 + 7*2

= 22,73 $/hora.

Con base a los costos proporcionados, el sistema con dos canales de servicio

ofrece la solución más económica.

40

Ejemplo 2 : La industria “C.J.” manufacturera de telas, tiene en su planta un

gran número de maquinas tejedoras que se atascan con frecuencia. Estas son

reparadas de acuerdo a la disciplina (FIFO) por 7 técnicos . La Gerencia de

Producción ha observado que, en promedio, de 10 a 12 máquinas en cualquier

momento están fuera de servicio por encontrarse atascadas. El departamento

de Investigación de Operaciones realiza el estudio de colas correspondiente y

obtiene la siguiente tabla de medidas rendimiento con diferente números de

técnicos.(tiempo en horas).

ρ 89,28 78,13 69,44 65,5 56,9

LC 5,85 1,5 0,54 0,21 0,083

LS 12,1 7,75 6,79 6,46 6,33

PK 0,70 0,42 0,24 0,13 0,063

WC 0,23 0,06 0,022 0,0084 0,0033

WS 0,48 0,31 0,27 0,26 0,253

Se requiere el estudio económico de costos para determinar el número

de técnicos adicionales que deben contratarse con el fin de optimizar los

recursos.

Análisis : A medida que se incrementa el número de técnicos, el número de

máquinas fuera de servicio disminuye de 12,1 a 6,33.

El tiempo promedio de una máquina fuera de servicio disminuye de

0,48 a 0,2563 (aprox. 15 min.)

Número de Técnicos

7 8 9 10 11

41

En función de costos, se necesita determinar la alternativa que proporciona el

menor costo por hora.

Como datos adicionales se conocen: El costo por hora de cada técnico

(CSr= 50 $/hora) . El costo por hora de una máquina fuera de operación

(CW=100 $/hora).

Con los datos de la tabla de rendimiento y los costos anteriores se

determina el costo total con los diferentes técnicos utilizando la ecuación:

Costo total = (costo de espera) + (costo del personal)

C.T. = Cw∙Ls+CSr∙K

= 100*12,1+50*7

=1560 $/hora.

Realizando cálculos para cada número de técnicos se tiene como resultado los

costos por hora en la siguiente tabla:

Número de técnicos

Número esperado

En el sistemaLS

Costos$/hora

7 12,1 (100*12,1)+(50*7) =1560

8 7,75 (100*7,75)+(50*8) =1175

9 6,79 (100*6,79)+(50*9) =1129

10 6,46 (100*6,46)+(50*10)=1146

11 6,33 (100*6,33)+(50*10)=1133

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De los resultados anteriores la alternativa que tiene el menor costo por hora es

1129 correspondiente a Nueve (9) técnicos, en consecuencia la

recomendación a la Gerencia de Producción es contratar dos (2) técnicos

adicionales los cuales tendrán un costo extra de 100 $/hora cada uno pero

estará justificado por el ahorro que se tendrá con menos máquinas fuera de

servicio, esta alternativa reducirá el costo por hora de 1560 a 1129 un ahorro

aproximado de 431$/hora que es mayor a los honorarios de los técnicos a

contratar.

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