Sistemas de Cargas

8/17/2019 Sistemas de Cargas

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Capítulo 2

EQUILIBRIO, INDETERMINACIÓN Y GRADOS DE LIBERTAD

1. EQUILIBRIO

Decimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio estático cuando permanece en

estado de reposo ante la acción de unas fuerzas externas.

El equilibrio estático se aplica a el cuerpo en sí como a cada una de las partes.

Decimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio dinámico cuando responde con

un movimiento o vibración (aceleración) controlada de sus partes (deformación)

mas no de su soportes ante la acción de las car!as !eneradas por sismo viento

motores " en !eneral aquellas excitaciones dinámicas producidas por la car!a

viva.

1.1 Ecuaciones bsicas !e e"ui#ib$io

#as ecuaciones que describen el equilibrio estático son planteadas en la

primera le" de $e%ton " controlan los movimientos del cuerpo en traslación "

rotación.

"

Dos ecuaciones vectoriales que se convierten en seis ecuaciones escalares

tres de traslación " tres de rotación.

estas tres corresponden a tres posibles

formas de desplazamiento es decir tres !rados de libertad del cuerpo

" corresponden a tres !rados de libertad de

rotación.

En total representan seis formas de moverse seis !rados de libertad para todo

cuerpo en el espacio.

&ara estructuras planas basta con plantear tres ecuaciones que representen los

tres !rados de libertad del cuerpo dos desplazamientos " una rotación'


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1.% Ecuaciones a#&e$nas !e e"ui#ib$io

En el plano se puede verificar el equilibrio por medio de dos ecuaciones de

momento " una de fuerzas o por medio de ecuaciones de momento'

a) na ecuación de traslación " dos

momentos' siempre " cuando se cumpla

que los puntos a " b no coincidan ambos con el e*e + o en una línea paralela

a +.

,i colocamos a -a " -b sobre + en nin!una de las ecuaciones estaríamos

involucrando las fuerzas paralelas o coincidentes con +.

b) /res ecuaciones de momento' .

&ara que estas ecuaciones involucren todas las fuerzas los puntos a b " c no

pueden ser colineales.

&ara aplicar las ecuaciones de equilibrio se debe construir un dia!rama de cuerpo

libre de la estructura en el cual se representen todas las fuerzas

externas aplicadas a ella.

#as reacciones en los soportes crecen o decrecen a medida que las car!as varían

pero para el análisis consideraremos los apo"os rí!idos e infinitamente

resistentes. Cabe aclarar que los apo"os pueden ser elásticos esto es apo"os quese pueden modelar como resortes cu"as reacciones son proporcionales a los

desplazamientos o rotaciones sufridas.

Cuando definimos el equilibrio mencionamos dos condiciones una para el

cuerpo en !eneral que corresponde al equilibrio externo " otra para cada una de

sus partes que corresponde al equilibrio interno sin tener en cuenta los apo"os

(estabilidad interna).

%. ESTABILIDAD Y DETERMINACIÓN E'TERNAS

la estabilidad se lo!ra si el n0mero de reacciones es i!ual al n0mero de

ecuaciones de equilibrio independientes que se puedan plantear siempre "

cuando las reacciones no sean concurrentes ni paralelas.

#as ecuaciones de equilibrio independientes corresponden a las ecuaciones de

equilibrio !eneral mas las ecuaciones de condición adicional en las uniones de las

partes de la estructura (rótulas o articulaciones internas) por e*emplo'


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• Caso de reacciones concurrentes

$o restrin!en la rotación !enerada por fuerzas externas que no pasen el punto de

concurrencia de las reacciones.

• Caso de reacciones paralelas

$o restrin!en el movimiento perpendicular a ellas.

%.1 Con!iciones !e e"ui#ib$io ( !e&e$)inaci*n en es&$uc&u$as +#anas

,i 1 reacciones 1 ecuaciones estáticas más ecuaciones de condición3 4a"

estabilidad.

,i 1 reacciones 5 1 ecuaciones3 es inestable .

,i 1 reacciones 6 1 ecuaciones3 es estáticamente indeterminado o 4iperestático "

su !rado de indeterminación estática externa se determina por'

78 externo 1 reacciones 9 1 ecuaciones

%.% Es&abi#i!a! ( !e&e$)inaci*n in&e$na

na estructura es determinada internamente si despu:s de conocer las reacciones

se pueden determinar sus fuerzas internas por medio de las ecuaciones de

equilibrio.

na estructura es estable internamente si una vez analizada la estabilidad

externa ella mantiene su forma ante la aplicación de car!as.

#a estabilidad " determinación interna están condicionadas al cumplimiento de

las ecuaciones de equilibrio de cada una de las partes de la estructura.

&ara analizar las fuerzas internas se usan dos m:todos'

El m:todo de las secciones " el m:todo de los nudos.

En el m:todo de los nudos se aplican las ecuaciones

(armaduras planas) a cada nudo en sucesión " en el m:todo de las secciones se

aplican las ecuaciones a cada una de las partes de la

estructura " se obtienen las fuerzas internas en los elementos interceptados por

una línea de corte trazada adecuadamente.


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%. A$)a!u$as

Este tipo de estructuras está construido por uniones de articulación donde cada

uno de sus elementos sólo traba*a a car!a axial.

&or cada nudo se tienen dos ecuaciones estáticas.

,i n es el n0mero de nudos m es el n0mero de miembros " r es el n0mero de

reacciones necesarias para la estabilidad externa tenemos'

$0mero de ecuaciones disponibles' 2 x n

$0mero de incó!nitas o fuerzas a resolver m una fuerza por cada elemento

note que aquí se pueden incluir las reacciones externas necesarias para mantener

el equilibrio.

Entonces si'

2.n = m + r la estructura es estáticamente determinada internamente "

m = 2.n–r representaría la ecuación que define el n0mero de barras mínimas

para ase!urar la estabilidad interna. Esta ecuación es necesaria pero no suficiente

"a que se debe verificar tambi:n la formación de la estructura en !eneral por

e*emplo al 4acer un corte siempre deben existir barras de tal manera que !eneren

fuerzas perpendiculares entre sí (caso de corte " axial) " posibles pares de

momento resistente.

,i m > 2 n – r la armadura es estáticamente indeterminada internamente

r sólo inclu"e aquellas reacciones necesarias para la estabilidad externa "a que

sólo estamos analizando determinación interna.

E-e)+#os

;.

Determinación interna'


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m ; m < r 2n

n = ; < 2 x = Cumple

r

2.

.

>.

Es&abi#i!a! ( !e&e$)inaci*n &o&a# en a$)a!u$as

,implemente se aplica la ecuación'

m 2 n ? r donde r en este caso se considera el n0mero de reacciones totales

consideradas.

&ara el e*emplo anterior tenemos'


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m @ n > r >

@ 6 = ? >

78 total es @ ? > 2

%./ Ma$cos ( +*$&icos&ara el análisis de la determinación " estabilidad internas se usa el m:todo de las

secciones.

En este caso cada elemento traba*a como elemento tipo vi!a sometido a tres

fuerzas internas' Corte Axial " Bomento.

,e inicia partiendo la estructura en varias partes de tal manera que en cada corte

se solucionen las fuerzas internas de cada elemento.

En el caso de pórticos que formen anillos cerrados los cortes deben ser tales que

aíslen esos anillos.


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Estructura estable. Análisis externo'

;2 reacciones 6 ecuaciones

78 ext

78 int "a que al cortar por al!uno de los

elementos se !eneran incó!nitas con tres

ecuaciones estáticas disponibles para la parte de la

estructura analizada.


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externamente'

reacciones 6 3 78 ext 2

Estable externamente

8nternamente'

1 incó!nitas @ en cada corte por elementocortado.

1 ecuaciones estáticas

78 int

78/


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%.0 Sis&e)as es&$uc&u$a#es "ue co)binan e#e)en&os &i+o ce$ca cone#e)en&os &i+o 2i3a en uniones a$&icu#a!as.

&ara la determinación interna se recomienda separar la estructura en sus partes

4acer el dia!rama de cuerpo libre de cada una " contar incó!nitas " ecuaciones

disponibles.

Cada parte de la estructura debe estar en equilibrio.

#a determinación " estabilidad externa se encuentran por los m:todos usados

para las otras estructuras.


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En el análisis externo tenemos'

reacciones ecuaciones estáticas3 entonces es estáticamente determinado "

estable. $ote que la estructura no necesita de sus reacciones para mantener su

forma por lo tanto no se cuentan ecuaciones de condición.

8nternamente partiendo en las uniones'

$0mero de incó!nitas' @. $0mero de ecuaciones' 9 de la estática externa@.

Estable " estáticamente determinado internamente.

,i una de las barras está sometida solamente a las fuerzas de sus uniones :sta

barra traba*a como cerc4a " se eliminan dos incó!nitas pero tambi:n sus

ecuaciones de equilibrio se reducen a una sola en vez de tres.

. GRADOS DE LIBERTAD

,e define como !rados de libertad el n0mero mínimo de parámetros necesarios

para describir de manera 0nica la fi!ura deformada de la estructura. Estos

parámetros corresponden a las rotaciones " traslaciones libres en cada uno de los

nudos de la estructura.

&ara el análisis de estructuras podemos usar dos m:todos que varían de acuerdocon las incó!nitas a resolver en uno se encuentran fuerzas " en el otro se

encuentran deformaciones.

En este curso solo analizáremos estructuras reticulares donde un elemento queda

totalmente determinado si conocemos las deformaciones " rotaciones de sus

extremos ( m:todo de las deformaciones) o las fuerzas " momentos de sus

extremos (m:todo de las fuerzas).

&ara estructuras estáticamente determinadas el m:todo de las fuerzas resulta mas

apropiado "a que las fuerzas como incó!nitas quedarían resueltas al aplicar lasecuaciones estáticas. En el caso de tener estructuras con !rados de

4iperestáticidad altos resulta mas venta*oso usar el m:todo de las deformaciones

debido a que se cuenta con menos !rados de libertad libres que n0mero de

fuerzas por determinar.


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En estos casos el !rado de indeterminación se mide por el n0mero de !rados de

libertad libres (posibles formas de moverse la estructura en sus uniones) " se

denomina indeterminación cinemática de la estructura.

&ara un elemento tipo vi!a sin nin!una restricción tendríamos @ !rados de

libertad libres tres en cada extremo'

,i la vi!a se le colocan apo"os de tal manera que queda estáticamente

determinada " estable ella quedaría con un !rado de indeterminación cinemática

de .

/. A4LICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Determinación de reacciones por proporciones'

&ara determinar las reacciones en vi!as sometidas a car!as puntuales podemos

aplicar la si!uiente re!la'

,iempre la reacción de un lado será i!ual a la car!a puntual multiplicada por la

distancia de la car!a al apo"o contrario dividido la lon!itud del elemento.

&ara determinar las reacciones debidas a momentos siempre aplicamos que el

momento externo debe ser compensado por un par de fuerzas en los apo"os cu"a

ma!nitud es el momento externo dividido por la separación entre las fuerzas " su

dirección es tal que produzca un momento contrario al aplicadoexternamente. Estas dos reacciones cumplen con la ecuación de sumatoria de

fuerzas verticales i!ual a cero.


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Estas dos re!litas *unto con el principio de superposición nos a"udarán bastante

en la determinación de las reacciones en vi!as simplemente apo"adas.

&ara el análisis de arcos triarticulados con sus apo"os al mismo nivel se

recomienda partir el arco por la articulación " tomar momentos de las fuerzas

internas de la articulación con respecto a los apo"os. En este caso obtendremos

un sistema de 2 ecuaciones con 2 incó!nitas. ,i los apo"os están a diferentes

niveles se toma el arco como un todo " toma momentos con respecto a uno de los

apo"os por e*emplo el apo"o A despu:s parte el arco por la articulación " toma

momentos de la parte que inclu"e el apo"o F con respecto a la articulación "queda un sistema de dos ecuaciones con dos incó!nitas.

Explicación del tema 6

MecánicaTema 6. Análisis de armaduras planas (método de secciones)

6.1 Aspectos generales del método de secciones

El método de las secciones se usa para determinar las cargas que actúan dentro de un cuerpo.

Este método se basa en el principio de que si un cuerpo está en equilibrio, entonces cualquierparte del cuerpo está también en equilibrio.

El método de las secciones puede usarse también para “cortar” o seccionar los miembros de todauna armadura. Si la sección pasa por la armadura y se traza el diagrama de cuerpo libre decualquiera de sus dos partes, entonces puedes aplicar las ecuaciones de equilibrio o esa partepara determinar las fuerzas del miembro en la “sección cortada”. omo sólo tres ecuacionesindependientes de equilibrio ! "# $ %, "& $ %, '% $ %( pueden ser aplicadas a la parte aisladaƩ Ʃ Ʃde la armadura, trata de seleccionar una sección que, en general, pase por no más de tresmiembros en que las fuerzas sean desconcentradas.

Se basa en el )ec)o de que si una armadura es tomada como un con*unto y está en equilibrio,cualquier parte de ella lo estará. Entonces si se toma una porción de la estructura mediante un

corte, de tal manera que no tenga más de tres incógnitas, es posible mediante las tres ecuacionesindependientes disponibles en el caso de fuerzas coplanares, determinar las fuerzas en losmiembros in+olucrados en el corte para obtener la solución.

l aplicar las ecuaciones de equilibrio, debes considerar maneras de escribir las ecuaciones enforma tal que den una solución directa para cada una de las incógnitas, en +ez de tener queresol+er ecuaciones simultáneas.

Esta capacidad de terminar directamente las fuerzas de un miembro particular de una armadura


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es una de las +enta*as principales del método de las secciones.

6.2 Método de secciones

Diagrama de cuerpo lire

-as fuerzas en los miembros de una armadura pueden ser determinadas a partir del método ysecciones usando el siguiente procedimiento

6.! Aplicación del método de secciones

Ecuaciones de e"uilirio

/. -os momentos deben sumarse con respecto a un punto que se encuentre en laintersección de las l0neas de acción de dos fuerzas desconocidas y las fuerzas internasserán determinadas directamente a partir de la ecuación de momento.

1. Si dos de las fuerzas desconocidas son paralelas, las otras fuerzas pueden ir sumadasperpendicularmente a la dirección de esas incógnitas para determinar directamente latercera fuerza desconocida.

E#emplo

2etermina la fuerza en los miembros $E, $%, y &% de la armadura mostrada en la figura. 3ndica


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si los miembros están en tensión o en compresión.

4ara fines educati+os.5ibbeler !1%%6(.

'olución

-a sección que muestra la figura )a sido seleccionada ya que corta a tra+és de los tresmiembros cuyas fuerzas deben de ser determinadas. Sin embargo, para usar el método de lassecciones, es necesario determinar primero las reacciones e7ternas en A o en D. 84or qué9 :ndiagrama de cuerpo libre de toda la armadura se muestra en la figura. plicando las ecuacionesde equilibrio, tienes lo siguiente

Diagrama del cuerpo lire


El diagrama de cuerpo libre de la porción izquierda de la armadura seccionada se muestra en lafigura. Este diagrama será usado para efectuar el análisis ya que implica el menor número defuerzas.

Ecuaciones de e"uilirio


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Sumando momentos con respecto al punto $ se eliminan $E y $% y se obtiene una solución

directa para &%.

2e la misma manera, sumando momentos con respecto al punto % obtienes una solución directapara $E.

omo &% y $E no tienen componentes +erticales, sumando fuerzas en la dirección y obtienesdirectamente $% esto es,

omo e*ercicio, obtén estos resultados aplicando las ecuaciones de equilibrio al diagrama decuerpo libre de la porción derec)a de la armadura seleccionada.

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