SISTEMAS DE AMORTIZACION
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Matemática Financiera
Facultad de Ciencias Económicas y
Sociales
Facultad de Ciencias Económicas y
Sociales
SISTEMAS DE AMORTIZACION
Matemática FinancieraMatemática Financiera
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Am
ort
izació
nA
mort
izació
nSistema Alemán
Cuota del periodo k
Rk
RkSíSí Tasa de interés del
préstamoTasa de interés del préstamo
Ik Ik Intereses del período k
Ck Ck Amortización de capital del período k
Dk Dk Saldo de la deuda al pagar la cuota k
Sk
Sk
Suma amortizada al pagar la cuota k
IAkIAkIntereses pagados hasta el período k
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nSistema Alemán
n
1k
kk i1RD
=
Deuda = Valor actual de los pagos
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nSistema Alemán
En cada periodo, la cuota es igual al pago de amortización
de capital mas el pago de intereses
Rk =CK+ IK
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nSistema Alemán
La cuota periódica de pago (Rk) es variable y decreciente
La amortización de la deuda (C) es constante y se calcula como la enésima parte del capital tomado en préstamo.
El pago de intereses (I) está calculado sobre el saldo del préstamo
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nSistema Alemán
R decrece C es constante
I decrece
R1
D
R2
1 2 3 ..... K ..... n
I1 I2 I3 InIk
C CCCC
D = C*nR3
.................. Rk........ Rn
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nSistema Alemán
Un préstamo de 100.000 debe ser cancelado por el método de amortización constante en 5 cuotas anuales vencidas al 60% de interés anual.
Elaborar el cuadro de amortización correspondiente
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nSistema Alemán
Periodo D. Inicial Cuota Intereses Amortización D.Final ( k) (Dk-1) (RK) (Ik) (C ) (Dk)
1
2
3
4
5
TOTALES: 280.000 = 180.000 + 100.000
CUADRO DE AMORTIZACION CONSTANTE
100.000,00
80.00060.00080.000 20.000
40.000 20.000 24.00044.000 20.000
40.000 0 12.00032.000 20.000
60.000 40.00036.00056.000 20.000
80.000 60.00048.00068.000 20.000
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nSistema Alemán
Periodo D. Inicial Cuota Intereses Amortización D.Final ( k) (Dk-1) (R) (Ik) (Ck ) (Dk)
1
2
3
4
5
TOTALES: 331.626,35 = 231.626,35 +100.000
100.000,00
93.674,73
60.00066.325,27
6.325,27
67.361,60
41.453,29
38.016,9666.325,27
25.908,31
41.453,29
0,00
24.871,98
66.325,27
41.453,29
83.554,29
67.361,60
50.132,58
66.325,27
16.192,69
93.674,73
83.554,29
56.204,84
66.325,27
10.120,43
COMPARACION CON EL SISTEMA FRANCES
Matemática FinancieraMatemática Financiera
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nSistema AlemánFórmulasFórmulas
i = Tasa de interés del período n = nº de períodosD0 = Deuda Inicial
Rk = Cuota periódica del período k.
Ik = [Do -(k-1)C]*i
Ik = Intereses del período
Rk = C+ Ik
nD
C 0C = Cuota de amortización del período
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nSistema AlemánFórmulasFórmulas
Dk =(n-k)*C
Dk =Deuda pendiente después de pagar la cuota k
C*k Sk
Sk=Suma amortizada después de cancelar k cuotas
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nSistema AlemánFórmulasFórmulasIAk = Total de Intereses pagados hasta el período k = Doi+(Do-C)i+(Do-2C)i+...+[Do-(k-1)C]i
ki2
C)1k(D2IA o
k
I = Total de Intereses pagados
ni2
CDI o
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nSistema Alemán
Se contrajo una deuda de 800.000 para cancelarla en10 años al 38% anual, mediante amortizaciones anuales constantes de capital e intereses sobre saldos deudores. Determine:
a) Cuota de amortización anual. (80.000)b) Intereses del tercer año (243.200)c) Cuota periódica del cuarto año (292.800)d) Saldo después de ocho pagos (160.000)
Ejercicio Nº1
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nSistema Alemán
Se ha venido cancelando una deuda de 180 cuotas por el sistema francés, mediante pagos mensuales de 5.000 al 3% de interés efectivo mensual. Al cancelar la cuota 120 se decide pagar el saldo por el sistema alemán en 5 cuotas anuales. Determine la 1ª cuota periódica.
R: 86.596,84
Ejercicio Nº2
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nSistema AlemánUn préstamo P se amortiza en 8 años, empezando con cuotas anuales vencidas de amortización constante. Cuando se han pagado ¾ P se decide amortizar el saldo en el período que falta en cuotas mensuales vencidas de amortización progresiva. Se sabe que la tercera amortización mensual de capital de este sistema fue de 30.816,4036 y la tasa de interés que rige para el pago de la última parte del préstamo es de 3% efectivo mensual. Calcule: a) El préstamo P. b) Si usted sabe que la tercera cuota anual fue de 740.000, ¿cuál es la tasa de interés que se aplicó en esa primera etapa? . R: 4.000.000; 8%
Ejercicio Nº3
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nSistema AlemánUn préstamo se cancela en 5 años mediante cuotas mensuales constante, a razón de una tasa de 36% n.a.c.m. Se sabe que el total amortizado en el tercer año es de 530.807,62. A partir del inicio del cuarto año la tasa de interés cambia y decidimos pasar al sistema alemán, pagando cuotas semestrales de amortización e intereses. Se sabe que los intereses pagados en los dos últimos años son de 1.147.371,08 .¿cuál es el valor del préstamo?,¿cuál es la tasa de interés de los dos últimos años?,¿cuál es el total de intereses pagados? R: 3.000.000; 50%nacs; 3.885.524,36
Ejercicio Nº4
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nSistema AlemánSolución Nº1a) Cuota de amortización = C = 800.000/10 = 80.000
b) Intereses del 3er año = I3. I3= (800.000 – 2*80.000)0,38 = 243.200
c) Cuota periódica del 4º año = R4. R4 = C + I4 = 80.000+(800.000-240.000)0,38 =292.800
d) D8 = Saldo de la deuda después de 8 pagos
D8 = 2*80.000 = 160.000
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nSistema AlemánSolución Nº2Saldo de la deuda al pasar al sistema
alemán D120 = Valor actual de las 60 cuotas restantes
82,377.138)03,0()03,1(
1)03,1(000.5D
60
60
120
Tasa anual para la segunda etapa (1,03)12=1+i i = 42,58%
27.675,565
138.377,82C
84,596.86R 28,921.58)4258,0(*82,377.138I 11
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nSistema AlemánSolución Nº3C=P/8 en el sistema alemán.Saldo de la deuda al pasar al sistema francés es P/4
En el sistema alemán C =500.000R3 = C + I3 740.000 = 500.000+(4.000.000-2*500.000)*i i = 8 %
000.000.4P
4P
000.000.1)03,0(
1)03,1(42,047.29
)03,0(1)03,1(
CS
416,047.29C)03,1(C4036,816.302424
124
12
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nSistema AlemánSolución Nº4
000.000.3)03,0()03,1(
1)03,1(88,398.108P
88,398.108R
)03,0()03,1(1)03,1(
R)03,0()03,1(
1)03,1(R62,807.530
60
60
24
24
36
36
En el sistema francés
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nSistema AlemánSolución Nº4 (Continuación)En el sistema
alemán
nacs 50% semestral; 25,0i
i*42
44,948.45874,793.835.108,371.147.1
44,948.4584
74,793.835.1C
74,793.835.1)03,0()03,1(
1)03,1(88,398.108D
24
24
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nSistema AlemánSolución Nº4 (Continuación)I = Intereses en el sistema francésD = Deuda amortizada en el sistema francésIT = Intereses totales
36,524.885.3IT
08,371.147.128,153.738.2IT
283,153.738.2I
26,206.164.1)36*88,398.108(I
26,206.164.174,793.835.1000.000.3D