Sistema Planetario En Miniatura

Robles Romero Luis and Espinoza Bernardo Robert

Facultad de Ciencias FısicasUniversidad Nacional Mayor de San Marcos

3 de agosto de 2007

Resumen

En el presente trabajo se propone realizar el calculo numerico, de las orbitas que describenlos planetas de nuestro sistema planetario, tomando como referencia a las Leyes de: Isaac

Newton y Johannes Kepler. Solucionando las ecuaciones que describen este movimiento,empleando el metodo de Diferencias Finitas. Los resultados numericos seran almacenadosen diferentes archivos, para luego realizar las respectivas graficas, el cual nos facilitara visualizarlas trayectorias que describen los planetas alrededor del sol, sujeta a la interaccion que sufrecon los demas planetas. Las respectivas graficas son realizadas con el programa gnuplot, “Esto

sera ejecutado desde el programa como una subrutina”.

1. Ley de la Gravitacion Universal de Newton

Dos partıculas con cualquier masa como por ejemplo: m1 y m2, que se encuentran separadas unadistancia ~r, cada una atrae a la otra con una fuerza ~F [1, 2], donde:

~F = −Gm1m2

r2r1 (1)

Donde el valor de G es una constante llamada como la costante gravitacional1

2. Johannes Kepler

Kepler transformo los datos astronomicos geocentricos obtenidos por Tycho Brahe[3] al modeloheliocentrico. Al hacerlo, encontro ciertas regularidades en el movimiento planetario, que resumio en

1Esta constante toma el valor de 1,068x10−9p3/lb − seg2 ≈ 6,673x10−8cm3/g.seg2

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los tres enunciados que constituyen las hoy denominadas leyes de Kepler. Desde un punto de vistahistorico, son leyes empıricas que describen la realidad sin explicar el porque, es decirası es porque ası se observa.[4]

2.1. Leyes de Kepler

2.1.1. Primera Ley de Kepler

Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol, siguiendo una trayectoria elıptica, es decir unaelipse, donde en uno de los focos se encuentra ubicado en el Sol [5].Kepler obtuvo esta ley de forma empırica, mediante la observacion de los movimientos aparentesde los planetas. Es valida, pues para objetos de gran tamano orbitando alrededor del Sol siguiendoorbitas cerradas como por ejemplo: planetas, asteroides, etc..., pero si se tiene en cuenta el movimien-to general de los cuerpos celestes, habrıa que enunciar esta primera ley Kepleriana de la siguientemanera:

Bajo la fuerza de atraccion gravitacional de un objeto astronomico el movimiento de otro objetoa su alrededor sigue una trayectoria conica (cırculo, elipse, parabola, hiperbola)[6].

2.1.2. Segunda Ley de Kepler

El radio vector de origen en el Sol y extremo en el punto de posicion de cada planeta, recorreareas iguales en tiempos iguales.[5] Esto indica que los planetas mas cercanos al sol se desplazan masrapidamente, o sea, tardan menos tiempo en dar una vuelta completa a la elipse[6].

Sea ~F la fuerza central de atraccion gravitacional hacia un objeto de masa M , suprida por un objetode masa m que revoluciona a su alrededor. Sean sus dos componentes cartesianas a lo largo de losejes x e y: Fx, Fy. Por tratarse de una fuerza central, existe la proporcionalidad: Fx/x = Fy/y, y setendrıa:

~Fx = md2x

dt2, ~Fy = m

d2y

dt2

multiplicando por y y por x, respectivamente, y restando ambas expresiones, se cumplira

x~Fy − y ~Fx = m

(d2x

dt2− y

d2x

dt2

)= m

d

dt

(xdy

dt− y

dx

dt

)

siendo ~Fx/x = ~Fy/y, sera x~Fy − y ~Fx = 0, por lo que resulta:

md

dt

(xdy

dt− y

dx

dt

)= 0 → x

dy

dt− y

dx

dt= constante

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Esto quiere decir, en definitiva, que el area recorrida por el radio vector en cada unidad de tiempoes constante.

2.1.3. Tercera Ley de Kepler

Los cuadrados de los periodos siderales de revolucion de los planetas alrededor del Sol, son propor-cionales a los cubos de los semiejes mayores de sus orbitas elıpticas[5]. Suponiendo un movimientoaproximadamente circular, la velocidad circular de un objeto que se desplaza alrededor del sol seria:

w =2π

T

y la aceleracion centrıfuga2 vendrıa dada por:

ac = w2r =4π2

Tr

siendo T el periodo de traslacion. Para que se equilibre con la fuerza de:

mw2r = GM + m

r2m →

4π2rm

T 2= G

(M + m)

r2m →

r3

T 2(M + m)=

G

4π2= constante

Si en lugar de considerar el movimiento circular, lo suponemos elıptico, la expresion anterior serıala misma, solo que ~r representarıa al semieje mayor de la elipse. Supongamos entonces, dos objetosde masas m1 y m2, que se mueven orbitando en trayectoria elıptica alrededor del sol de masa M . Setendrıan:

r31

T 21 (M + m1)

=G

4π2;

r31

T 21 (M + m2)

=G

4π2

por lo que, igualando y ordenandose tiene:

r31

T 21(M + m1)

=r32

T 22(M + m2)

→T 2

2 (M + m2)

T 21(M + m1)

=r32

r31

Esta es ya la tercera ley de Kepler de forma general, y si hacemos la aproximacion de que lamasa del objeto que orbita es despreciable en comparacion con la del Sol, se obtiene exactamente laexpresion deducida por Kepler [6]:

T 22

T 21

=r32

r31

2Tener en cuenta que esta fuerza solo es ficticia[5], es decir no existe, pero bueno eso es otra historia

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3. Solucion Numerica

3.1. Movimiento Traslacional

Consideremos la interaccion entre el sol y un planeta (fig. 1).

Figura 1: Sistema planeta sol para un tiempo t

Para un tiempo posterior tenemos que el vector posicion cambia, como se muestra en la (fig. 2).

Figura 2: Sistema para un tiempo posterior t + ∆t

Devido a nuestra experiencia con los cursos de fısica basica, que se cursan en en los primerosanos de la universidad, sabemos que la derivada del vector posicion ~r(t) con respecto al tiempoes igual a la velocidad ~v(t), i.e:

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d~r

dt= ~v(t)

luego dicha expresion la podemos escribir de la siguiente forma, gracias a la definicion de laderivada:

lım∆t→0

~r(t + ∆t) − ~r(t)

∆t= ~v(t)

Puesto que el computador no puede tener cantidades continuas, solo tenemos cantidades discre-tas, entonces podemos discretizar las propiedades fısicas sin falsear nuestros resultados, entoncesvamos a suponer que, para un intervalo de tiempo lo suficientemente pequeno (∆t), la velocidaddel cuerpo se mantiene constante (mientras mas pequeno, mas verdad es esto)[11]. ası que enespiritu de esto “discretizamos” al tiempo, lo cual nos permitira quitar el limite de nuestraecuacion, ya que el ∆t ya no tiende a 0, i.e:

~r(t + ∆t) − ~r(t)

∆t= ~v(t)

el cual sospechosamente queda de la siguiente forma:

~r(t + ∆t) = ~v(t).∆t + ~r(t)

que representando en funcion de sus componentes resulta como:

x(t + ∆t) = vx(t).∆t + x(t)

y(t + ∆t) = vy(t).∆t + y(t)(2)

Como ya se menciono, gracias al conociminto de la fısica basica, la segunda Ley de Newton,nos dice como cambia el movimiento de un objeto, o como el mismo Newnton lo explicaria “elcambio del movimiento es proporcional a la fuerza aplicada” y se hace en la direccion de larecta que se aplica dicha fuerza[4], entonces dado esta definicion tenemos que:

md~v

dt= ~F →

d~v

dt=

~F

mp

, mp = masa del planeta

como ya se dijo anteriormente, gracias a la definicion de la derivada, esta ecuacion puede serrepresentada de la siguiente manera:

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lım∆t→0

~v(t + ∆t) − ~v(t)

∆t=

~F

mp

ahora recordando el paso anterior, de la discretizacion tendremos:

~v(t + ∆t) − ~v(t)

∆t=

~F

mp

que luego de realizar una ecuacion muy complicada, el de despejar la velocidad para un tiempoposterior, esto resulta:

~v(t + ∆t) = ~v(t) +~F

mp∆t (3)

Por otro lado, sabemos por la ecuacion (1), que la fuerza de interaccion para nuestro sistemaesta dada por:

~F = −GMmp

r3~r, donde ~r = xi + yj (4)

Ahora si remplazando la ecuacion (4) en (3), obtendermos las componentes para las velocidades,i.e :

Vx(t + ∆t) = v(t) − GMr3 x∆t

Vy(t + ∆t) = v(t) − GMr3 y∆t

(5)

Ahora si implementamos las eciaciones: (2) y (5) en el computador, obtendremos la trayectoriade un planeta, esto es:

program sol

double precision X,Y,Fx,Fy,Vx,Vy,Ec,Ep,Em,r

open(unit=70,file="plane1.dat")

GM = -1

X = 20

Y = 0

Vx = 0

Vy = 0.15

dt = 2

do t=dt,420,dt

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X = X + Vx*dt

Y = y + Vy*dt

r = sqrt(x**2+y**2)

Fx = GM*X/(r**3)

Fy = GM*Y/(r**3)

Vx = Vx + Fx*dt

Vy = Vy + Fy*dt

* calculando la norma de la velocidad

Vel = sqrt(Vx**2+Vy**2)

* para el caso de la energia cinetica,potencial y mecanica

Ec = (Vel**2)/2

Ep = GM*1/r

Em = Ec + Ep

write(70,’(7F10.5)’)X,Y

end do

close(70)

stop

end

Se especifica que este programa fue escrito en el lenguaje fortran 77, teniendo en cuenta que, ellenguaje que se este empleando no tiene mucha importancia, es decir, esto es a gusto del cliente,seguimos con nuestro proposito. En el codigo fuente se observa que los datos se guardan en el archivo“plane1.dat”, ahora pasamos a graficarlo lo cual nos resulta, como se muestra en la grafica (fig. 3).

-10

-5

0

5

10

-5 0 5 10 15 20

Eje Y

Eje X

Sistema Planeta Sol

Tierra

Figura 3: Sistema de la tierra alrededor del sol

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Bueno recordando nuestro proposito principal, es decir lo que se trata de realizar es de generalizarlas ecuaciones para poder describir la trayectoria de todos los planetas que se encuentran en nuestrosistema planetario.Entonces empezaremos, por simplicidad consideramos que todos los planetas inicialmente se en-cuentran alineadas, esto nos facilitara la parte del calculo, esto se muestra en la siguinete grafica (fig.4).

Figura 4: Planetas coliniales

Donde Pi y mi, donde i = 1, 8 indica el nombre y masa de cada planeta respectivamente.Algo que se debe de tener muy en cuenta es, que las posiciones iniciales estan descritas por “unidadesastronomicas”, las cuales seran leidas desde el programa que se realizara y se encuentran almacenadasen el arcrivo: “inicio.dat”.

Ahora tenemos por condiciones iniciales las posiciones ~ri y velocidades ~vi que estan descritas por:

~ri = (xoi, yoi) y ~vi = (voxi, voyi)

De la misma forma la fuerza ~F que actua sobre cada planeta esta representada por:

~Fi = −GMmi

r3i

~ri −8∑

j 6=i

Gmimj

|~ri − ~rj|3(~ri − ~rj) (6)

8

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Asi, de esta forma, la ecuacion para la posicion y velocidad de los planetas usando la ec. (2) y laec. (5), estan descritas por:

Posicion:

xi(t + ∆t) = xi(t) + vxi∆t

yi(t + ∆t) = yi(t) + vyi∆t

(7)

Velocidad:d~vi

dt=

~F′

i

mi

→ ~vi(t + ∆t) = ~v(t) +~F

′

i

mi

∆t

sea:

~Fi =~F

′

i

mi= −

GM

r3i

−

8∑

j 6=i

Gmj

|~ri − ~rj|3(~ri − ~rj)

Entonces en componentes tendrıamos:

Vxi(t + ∆t) = vxi(t) − Fxi∆t

Vyi(t + ∆t) = vyi(t) − Fyi∆t

(8)

Donde:

Fxi = −[

GMr3

i

xi +∑

8

j 6=iGmj

|~ri−~rj |3(xi − xj)

]

Fyi = −[

GMr3

i

yi +∑

8

j 6=iGmj

|~ri−~rj |3(yi − yj)

] (9)

Ası implementando las ecuaciones de la posicion ec. (7) y de la velocidad ec. (8) en el compu-tador, se obtiene la trayectoria de los planetas, que se encuentran en nuestro sistema planetario.

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4. Programa

Estos son los datos inicales que se toman para nuestro sistema, los cuales estan almacenados enel archivo: “inicio.dat”

Eje X 0.3870000 0.7230000 1.0000000 1.5240000 5.2030000 9.5390000 19.1820000 30.0580000Eje Y 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000

~Vx 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000~Vy 10.3537000 7.3272000 6.2841000 5.1156000 2.7596000 2.0377000 1.4362000 1.1460000

Gmp -0.0000071 -0.0000972 -0.0001185 -0.0000130 -0.0376830 -0.0112694 -0.0017301 -0.0020382

PROGRAM Planetas

IMPLICIT NONE

INTEGER :: i,j,k,m,m2,mm,mj,mmax

REAL :: dt,t,GM,s,w

REAL(KIND=4) :: RX(8),RY(8),VX(8),VY(8),GMP(8),FX(8),FY(8),R(8)

INTEGER, DIMENSION(8)::npmax

REAL, DIMENSION(8,8) :: RP,RXP,RYP

REAL, DIMENSION(5,8) :: E

!----------------------------------------------------------------

npmax(1)=18

npmax(2)=34

npmax(3)=56

npmax(4)=104

npmax(5)=644

npmax(6)=1589

npmax(7)=4526

npmax(8)=8848

!----------------------------------------------------------------

OPEN(unit=50,file="inicio.dat",action="read",status="unknown")

OPEN(unit=51,file="r1",action="write",status="unknown")

OPEN(unit=52,file="r2",action="write",status="unknown")

OPEN(unit=53,file="r3",action="write",status="unknown")

OPEN(unit=54,file="r4",action="write",status="unknown")

OPEN(unit=55,file="r5",action="write",status="unknown")

OPEN(unit=56,file="r6",action="write",status="unknown")

OPEN(unit=57,file="r7",action="write",status="unknown")

OPEN(unit=58,file="r8",action="write",status="unknown")

!Lectura del archivo inicio.dat

DO i=1,5

READ(50,*) E(i,:)

END DO

!------------------------------------------------------------

GM = -39.23

dt = 0.0188

!Condicion Inicial Posicion y Velocidad, se encuentran en "inicio.dat"

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RX = E(1,:)

RY = E(2,:)

VX = E(3,:)

VY = E(4,:)

!El valor de "GMP" de cada planeta y con signo (-) en la fila 5 de "inicio.dat"

GMP = E(5,:)

!------------------------------------------------------------

mm=50

DO i=1,8

m=1

mj=mm+i

DO t=dt,170,dt

!****************************************

RX(i)=RX(i)+VX(i)*dt

RY(i)=RY(i)+VY(i)*dt

!****************************************

R(i)=SQRT(RX(i)**2+RY(i)**2)

DO j=1,8

IF (i.NE.j)THEN

RXP(i,j)=RX(i)-RX(j)

RYP(i,j)=RY(i)-RY(j)

RP(i,j)=SQRT(RXP(i,j)**2+RYP(i,j)**2)

END IF

END DO

!****************************************

s=0

w=0

DO k=1,8

IF(i.NE.k)THEN

s=s+GMP(k)*RXP(i,k)/(RP(i,K)**3)

w=w+GMP(k)*RYP(i,k)/(RP(i,K)**3)

END IF

END DO

!*****************************************

FX(i)=GM*RX(i)/(R(i)**3)+s

FY(i)=GM*RY(i)/(R(i)**3)+w

!*****************************************

VX(i)=VX(i)+FX(i)*dt

VY(i)=VY(i)+FY(i)*dt

!*****************************************

mmax = npmax(i)

IF (m .LE. mmax) THEN

WRITE(mj,60)m,RX(i),RY(i),t

END IF

m=m+1

END DO

END DO

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60 FORMAT(2X,1I6,1F15.9,2X,1F15.9,2X,1F12.9)

DO i=50,58

CLOSE(i)

END DO

!**************************************************************************

! Esta parte es una subrutina que permite graficar en gnuplot desde fortran

CALL SYSTEM("gnuplot planetotal.gnu")

!**************************************************************************

END PROGRAM

como ya es conocido por el curso que, el programa debe de ser compilado:

user@anton: ifort programa.f90 -o ok

Para luego poder ejecutarlo de la forma

user@anton: ./ok

el cual nos genera los archivos con los datos necesarios para realizar las graficas para cada planeta,tambien se pone incapie en la subroutina que se implementa en el programa que nos permitira graficarautomaticamente a la hora de ejecutar nuestro programa[12].

5. Resultados

Los resultados se guardan en los archivos: r1, . . . , r8. estos datos no se imprimen en el presentetrabajo, debido a su extenso contenido, que harian muy aburrida su visualizacion, por lo tanto, solose imprimen sus respectivos graficos, como se muestran en la siguiente seccion.

6. Graficos

Una vez guardados los datos procedemos a graficar con el programa “gnuplot”[12], bueno debidoal tiempo, se implemento una subroutina[11] en el programa como ya se describio esto nos facilitara lavida, o sea el programa realizara todo el trabajo por nosotros es decir “genera los archivos, graficara yguardara” cada una de las graficas con sus respectivos nombres, las cuales se implementaran en estearchıvo.

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6.1. Mercurio y Venus

Como se puede observar en la primera grafica la trayectoria no llega a cerrar por completo, estoes debido al metodo que se esta empleando, tambien esto es debido al numero de puntos que se estanempleando como se nota con los demas graficos.

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Eje

Y

Eje X

Sistema Planetario En Miniatura

Mercurio

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Eje

Y

Eje X

Sistema Planetario En Miniatura

Venus

6.2. Tierra y Marte

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

Eje

Y

Eje X

Sistema Planetario En Miniatura

Tierra

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Eje

Y

Eje X

Sistema Planetario En Miniatura

Marte

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6.3. Jupiter y Saturno

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2 4 6

Eje

Y

Eje X

Sistema Planetario En Miniatura

Jupiter

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10E

je Y

Eje X

Sistema Planetario En Miniatura

Saturno

6.4. Urano y Neptuno

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Eje

Y

Eje X

Sistema Planetario En Miniatura

Urano

-30

-20

-10

0

10

20

30

-30 -20 -10 0 10 20 30

Eje

Y

Eje X

Sistema Planetario En Miniatura

Neptuno

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6.5. Todos Los Planetas

-30

-20

-10

0

10

20

30

-30 -20 -10 0 10 20 30

Eje

Y

Eje X

Sistema Planetario En Miniatura

MercurioVenusTierraMarte

JupiterSaturno

UranoNeptuno

Ahora si le dedicamos un poco mas de tiempo al trabajo realizamos un Zoom a los sectores dondellegan a cerrar o por lo menos llegan a aproximarse, nos referimos al inicio y final de las trayectorias,esto es:

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6.6. Verificando Si Cierran o No Las Trayectorias

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Eje

Y

Eje X

Sistema Planetario En Miniatura

MercurioVenusTierraMarte

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

5 10 15 20 25 30

Eje

Y

Eje X

Sistema Planetario En Miniatura

JupiterSaturno

UranoNeptuno

Figura 5:

Como ya se menciono anteriormente, esto es debido al metodo que se este empleando y hastadonde se llego a entender el programa es debido al numero de puntos que se estan empleando paracerrar la trayectoria como se puede notar mientras mayor sea la cantidad de puntos a emplearsemayor sera la aproximacion de nuestra trayectoria.

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6.7. Adios Pluton

Figura 6: Solo Tenemos Ocho Planetas en Nuestro Sistema Planetario

Bueno debido a que pluton no cuenta con ciertas caracterısticas que tienen los demas planetasnuestro sistema planetario se encuentra con un planeta menos pues pluton ya no es considerado comotal[9].

Bueno Adios Pluton

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Referencias

[1] R. O. Barrachina, Las leyes de Newton, Instituto Balseiro, Bariloche Rio Negro Argentina.

[2] www.fisica.ru

[3] Murray R. Spiegel ,”Serie de Compendios Schaum - Teoria y Problemas de Mecanica Teorica”,McGraw-Hill, Mexico, 1976, pag. 116 .

[4] www.acienciasgalilei.com

[5] Raymond A. Serway, “Physics for Scientists and Engineers”, McGraw-Hill,2001, pag. 396

[6] David L. Goodstein and Judith R. Goodstein, “Feynman’s Lost Lecture. The Motion of thePlanets Around the Sun”, Tusquets Editores, Espana, s1999

[7] B. Yavorsky and A. Detlaf , “Handbook of Physics”, Editorial Mir, Moscu, 1980, pag. 56.

[8] Bakulin-E. V. Kononovich and V. I. Moroz,”Curso de Astronomia Gegeneral”, Editorial Mir-Rubinos.

[9] R. O. Barrachina, La Ley de la Gravitacion Universal, Instituto Balseiro, Bariloche Rio NegroArgentina.

[10] Ernesto N. Martınez, Como Organizar un artıculo Cientıfico, Instituto Balseiro, 8400 Bariloche,Agosto de 1996

[11] Shoichiro Nakamura, “Metodos Numericos Aplicados Con Software”, Mexico, 1992.

[12] www.gnuplot.info

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