SISTEMA DIÉDRICO. RELACIÓNS, DISTANCIAS E VERDADEIRAS MAGNITUDES

1. Puntos, rectas e planos. Pertenza e intersección2. Paralelismo e perpendicularidade3. Distancias e verdadeiras magnitudes4. Abatementos5. Xiros e cambios de plano

1. PUNTOS, RECTAS E PLANOS. PERTENZA E INTERSECCIÓN

Determinación de puntos, rectas e planos. Pertenzas

Punto que pertence a unha recta

Un punto A pertence a unha recta cando a proxección horizontal A1 do punto está sobre proxección horizontal da recta r1, e ao mesmo tempo, a proxección vertical A2 do punto está sobre a proxección vertical da recta r2.

Recta que pertence a un plano

Unha recta r pertence a un plano α cando a traza horizontal da recta Hr está sobre a traza horizontal do plano α1, e a traza verticalda recta Vr está sobre a traza vertical do plano α2.

Punto que pertence a un plano

Un punto P pertence a un plano α cando pertence a unha recta que pertenza ao plano α.

Determinación dunha recta a partir de dous puntos

Con dous puntos A e B determínase unha recta.Para debuxar dita recta procedemos do seguinte xeito:

-Unimos A2 con B2 dando lugar á proxección vertical da recta r2.

-Unimos A1 con B1 dando lugar á proxección horizontal da recta r1.

-Para calcular a traza horizontal Hr , trazamos a partir da intersección de r2 con LT unha perpendicular a esta última ata cortar r1, obtemos así a posición de Hr. Procedemos de modo análogo para calcular Vr.

1

Determinación dun plano a partir de dúas rectas que se cortan

Dúas rectas, r e s, que se corten nun punto A determinan un plano. Para debuxar as trazas dito plano procedemos do seguinte xeito:

-Calculamos as trazas das dúas rectas.

-Unimos Hr con Hs obtendo a traza horizontal do plano α1 .

-Unimos Vr con Vs obtendo a traza vertical do plano α2 .

- α1 e α2 teñen que intersectar sobre LT, sendo este punto o vértice do plano.

-Tendo esto último en conta chegaría con calcular tres das catro trazas das rectas, unha vez obtido o vértice mediante α1 unímolo con Vr ou con Vs para obter α2.

Determinación dun plano a partir de dunha recta e un punto

Unha recta r e un punto P exterior á recta determinan un plano. Para debuxar as trazas dito plano procedemos do seguinte xeito:

-Situamos sobre r un punto A arbitrario, para elo trazamos unha perpendicular a LT obtendo así A2 e A1 sobre as proxeccións da recta

-Debuxamos as proxeccións dunha recta s que pase polo puntos P e A. Dita recta será tamén do plano xa que os dous puntos pertencen ao plano. Unindo P2 con A2 obtemos s2 e unindo P1 con A1 obtemos s1.

-Unha vez que temos dúas rectas que se cortan no punto A, e que pertencen ao plano buscado, procedemos coma no apartado anterior para calcular α1 e α2.

Determinación dun plano a partir de tres puntos

Tres puntos A, B e C determinan un plano. Para debuxar as trazas dito plano procedemos do seguinte xeito:

-A partir de A e B determinamos a recta s. E con A e C damos lugar á recta r. As dúas rectas córtanse no punto A, e pertencen ao plano buscado.

-Determinamos agora as trazas plano α como se explicou en apartados anteriores.

2

Trazado de rectas horizontais e frontais nun plano

Recta horizontal h nun plano α :

-Trazamos unha recta paralela a α1, obtemos así a proxección horizontal darecta h1.

-Prolongamos h1 ata LT e levantamos unha perpendicular ata cortar a α2, obtemos así a traza da recta Vh.

-Por Vh trazamos unha recta horizontal obtendo así h2.

Recta frontal f nun plano α :

-Trazamos unha recta paralela a α2, obtemos así a proxección vertical da recta f2.

-Prolongamos f2 ata LT e baixamos unha perpendicular ata cortar a α1, obtemos así a traza da recta Hf.

-Por Hf trazamos unha recta horizontal obtendo así f1.

Debuxadas h ou f podemos situar un punto A, pertencente ao plano, sobre ditas rectas.

Intersección de dúas rectas

Dúas rectas córtanse cando teñen un mesmo punto en común. Así r1 intersecta con s1 nopunto A1, e r2 con s2 en A2, estando ambas proxeccións do punto A nunha mesmaperpendicular a LT, é decir trátase dun mesmo punto que pertence as dúas rectas. Polotanto, o punto A é o punto de corte ou de intersección das rectas r e s.

r e s córtanseno punto A

m e n nonse cortan,crúzanse

no espazo

No caso das recta m e n, non se cortan, xa que a proxección B2 non se corresponde cunhaúnica proxección B1 común a m1 e n1. Polo tanto as rectas non teñen ningún punto común ecrúzanse no espazo.

3

Intersección de dous planos

A intersección de dous planos é unha recta. As trazas da recta intersección atópanse ondese cortan as trazas dos dous planos. Así, as trazas horizontales dos planos, 1 e 1,

córtanse na traza horizontal, Hi, da recta intersección i, e as trazas verticales dos planos, 2

e 2 córtanse na traza vertical, Vi, da recta intersección i.

Unha vez obtidas as trazas da recta intersección i, podemos atopar as proxeccións vertical ehorizontal da recta intersección, i2 e i1. Para elo debuxamos perpendiculares a LT desde Hi eVi, obtendo as proxeccións Hi2 e Vi1 sobre a liña de terra, despois unimos ditas proxecciónscon Vi e Hi respectivamente, determinado as proxeccións da recta intersección i de ambosplanos e .

A continuación aparecen dous exemplos particulares de intersección entre dous planos.

No primeiro (a) temos un caso particular no que un dos planos é proxectante, o quesimplifica o problema, xa que a proxección horizontal da recta intersección coincide coatraza horizontal do plano proxectante, e a proxección vertical obtense unindo as proxecciónsverticais das trazas horizontal e vertical da recta.

No segundo (b) hai que recurrir á terceira proxección para resolver a intersección, xa que osplanos son paralelos á liña de terra.

4

b) Intersección de dous planos paralelos a LT

a) Intersección dun plano oblícuo cun plano proxectante en H

Intersección dunha recta e un plano

A intersección dunha recta e un plano é sempre un punto, que pertence tanto á recta como óplano. Partindo dun plano e unha recta r , para calcular o punto intersección de ambosprocedemos do seguinte xeito:

1- Debuxamos un plano proxectante que conteña a recta. Neste caso o plano é proxectante en V, facemos coincidir 2 con r2 , e 1 debuxámola perpendicular a LT.

2- Calculamos as proxeccións da recta intersección entre o plano e o plano , recta i. Hai que ter en conta que i2 coincide con 2, xa que todo o que está contido neste plano proxéctase en V sobre a súa traza vertical. Polo tanto 2, r2 e i2 coinciden na mesma liña. Calculamos i1 según o explicado en apartados anteriores.

3- O punto de corte das rectas r e i , ven a ser o punto de intersección entre a recta r e o plano , punto I. A intersección de r1 e i1 danos a proxección vertical do punto I1, e subindo unha perpendicular a LT ata 2 obtemos a proxección vertical I2.

No seguinte caso temos a intersección dunha recta r cun plano que é proxectante vertical(1 é perpendicular a LT e todo o que está contido no plano proxectase en V sobre 2 ).

Seguimos os pasos xa explicados:

-Facemos pasar un plano proxectante,neste caso de tipo vertical, pola recta r ( plano ).

-Calculamos a intersección de e de , rectai (recta de punta, sendo i2 un único punto quecoincide ca intersección das trazas verticais dos planos, e i1 unha liña perpendicular a LT).

-Finalmente a intersección entre r e i danos asproxeccións do punto buscado I2 e I1. Dito punto está no segundo diedro ou cadrante.

5

2. PARALELISMO E PERPENDICULARIDADE

Paralelismo entre dúas rectas

Se dúas rectas son paralelas no espazo as súas proxeccións homónimas serán taménparalelas.

Esta condición non se cumple coas rectas de perfil , onde será necesario atopar a 3ºproxección para saber se son paralelas ou non no espazo.

No exemplo vemos como as rectas de perfil r e s non son realmente paralelas, a pesar de ter as súas proxeccións en H e V paralelas, ao atopar as súas proxeccións no plano de perfil, r''' non é paralela a s'''.

Paralelismo entre dous planos

Se dous planos son paralelos no espazo, as súas trazas homónimas serán tamén paralelas.

6

Se r || s entón cúmprese que:

r' || s' e r'' || s''

Se α || β entón cúmprese que:

α1 || β1 e α2 || β2

Exceptúanse os planos paralelos a LT que teñen as súas trazas paralelas pero poden nonser paralelos no espazo.

Como se pode apreciar no exemplo, os planos α e β son paralelos a LT polo que as súas trazas son paralelas tamén entre sí. Para saber se son paralelos no espazo teremos que ir ao plano de perfil, onde pode observarse que neste caso non son paralelos, xa que α3 non é paralela a β3.

Paralelismo entre recta e plano

Unha recta é paralela a un plano cando é paralela a unha recta contida nese plano.

O problema de trazar por un punto, un plano paralelo a unha recta dada, ten infinitassolucións. O problema quedaría definido cunha única solución se tivésemos que trazar porunha recta dada, un plano paralelo a outra recta dada. A continuación estudiaremos estecaso.

Plano paralelo a unha recta r e que pase por outra recta s

O problema resólvese cortando a recta s cunha recta t que sexa paralela é recta r.

- Collemos un punto P calquera da recta r. Por P' trazamos t' paralela a r', e por P'' trazamos t'' paralela a r''. A recta t é paralela a r.

- Ao cortarse as dúas rectas, s e t, definen un plano α, que será paralelo á recta r.

- Calculamos as trazas das rectas s e t. Unindo as trazas horizontais obtemos α1 e unindo as trazas verticais obtemos α2

7

Perpendicularidade entre recta e plano

Unha recta perpendicular a un plano é perpendicular a todas as rectas contidas nese plano.

Sendo α un plano definido polas súas trazas α1 e α2, se unha recta r é perpendicular a ditoplano ( r α ), cúmprese que a proxección horizontal r' é perpendicular á traza horizontal α1

e que a proxección vertical r'' é perpendicular á traza vertical α2.

As trazas dun plano α perpendicular a unha recta r son perpendiculares ás proxeccións darecta.

Recta perpendicular ao plano α pasando por un punto P

- Por P' trazamos r' perpendicular á traza horizontal doplano α1.

- Por P'' trazamos r'' perpendicular á traza vertical do plano α2.

- A recta r é perpendicular ao plano α.

Plano perpendicular á recta r pasando por un punto Q

- Trazamos unha recta horizontal h que pase polo punto Q. A proxección vertical h'' paralela á LT e a proxección horizontal h' perpendicular a r'.

- Dita recta h será unha horizontal do plano que se busca perpendicular a r. Calculamos a súa traza vertical H.

- Pola proxección vertical da traza H'' trazamos a traza vertical do plano α2 perpendicular a r''.

- Pola proxección horizontal da traza H' trazamos a traza vertical do plano α1 perpendicular a r' e ao mesmo tempo paralela a h'.

- O plano α é perpendicular á recta r. O problema podería resolverse de xeito análogo utilizando unha recta frontal.

8

Perpendicularidade entre rectas

En xeral, as proxeccións homónimas de dúas rectas perpendiculares no espazo, son liñasrectas oblicuas. Únicamente, se unha das dúas rectas perpendiculares é paralela a un dosplanos de proxección, as proxeccións de ambas sobre dito plano serán perpendicularesentre sí.

As rectas r e s son perpendiculares no espazo e proxéctanse perpendiculares sobre PHpor ser a recta r paralela ao PH.

Recta perpendicular a r pasando polo punto P

- Trazamos polo punto P un plano α perpendicular a r. Para elo, debuxamos polo punto Punha recta horizontal de maneira que h' r' e h'' paralela a LT . A partir das trazas da rectahorizontal, trazamos α2 r'' e α1 r'.

- A continuación, atopamos o punto de intersección entre α e r , punto Q . Para isto,axudámonos dun plano proxectante horizontal β que conteña a recta r, a rectaintersección, i, de α con β córtase coa recta r no punto Q buscado.

- Unindo P con Q obtemos a recta s que é perpendicular a r ,xa que pertence ao plano α.

9

Perpendicularidade entre planos

Dous planos son perpendiculares entre sí cando un deles contén unha recta perpendicularao outro.

Como podemos ver todos os planos que pasan polarecta t, recta perpendicular a α, son perpendiculares aoplano α.

O problema de trazar un plano perpendicular a α por unpunto P, tería infinitas solucións, xa que unha vezdeterminada unha recta perpendicular ao planopasando polo punto, por dita recta pasarían infinitosplanos solución.

O problema quedaría definido cunha única solución, seo plano perpendicular buscado en vez pasar por unpunto ten que conter unha recta que non pertenza aoplano α.

Plano perpendicular a un plano α que conteña a unha recta m

Para encontrar o plano perpendicular temos en conta o indicado no apartado anterior.

- O problema resólvese trazando unha recta n que corte a recta m e que sexa perpendicularao plano α.

- Para obter dita recta n, collemos sobre m un punto calquera P. Polas proxeccións P' e P''trazamos as proxeccións n' e n'' perpendiculares a α1 e α2.

- As rectas n e m determinan o plano buscado β, perpendicular a α e que contén á recta m.As trazas de β obtéñense a partir das trazas das dúas rectas.

10

Plano perpendicular a outros dous planos e pasando por un punto M

Un plano é perpendicular a outros dous planos cando é perpendicular á recta deintersección de ditos dous planos.

- Primeiro calculamos a recta i , intersección dos planos e . Obtemos as proxeccións darecta partindo das súas trazas (puntos intersección das trazas dos planos).

- Polo punto M facemos pasar unha recta horizontal h do plano buscado, trazando h' perpendicular a i' e h'' paralela a LT.

- Debuxamos agora as trazas do plano α que se pide, de maneira que conteña á recta h e que sexa perpendicular a i. Para elo, a partir de Vh'' traza vertical da recta h, trazamos unha perpendicular a i'' dando lugar á traza vertical do plano α2. A traza horizontal α1

obtense trazando unha perpendicular á i' (ao mesmo tempo paralela a h') , partindo do punto intersección de α2 con LT.

11

3. DISTANCIAS E VERDADEIRAS MAGNITUDES

Un segmento contido nunha recta ou unha figura contida nun plano proxéctanse enverdadeira magnitude nun dos planos de proxección (H ou V), cando non se modifican assúas lonxitudes en relación as reais que teñen no espazo; para que isto teñen que estardispostos de xeito paralelo a un dos planos de proxección.

Cando as rectas ou figuras planas non son paralelas nin a H nin a V, para calculardistancias, ángulos ou formas en verdadeira magnitude procedemos segundo o que seexplica a continuación.

Distancia entre dous puntos

A distancia entre dous puntos dados non coincide coa distancia que hai entre as súasproxeccións, xa que o segmento que forman non se proxecta en verdadeira magnitude anon ser que sexa paralelo a un dos planos de proxección.

Para calcular a distancia entre dous puntos P e Q, lonxitude d, procedemos así:

- Partimos dunha das proxeccións do segmento, neste caso d', e por un dos seus extremos trazamos unha perpendicular, no exemplo por Q'.

- Sobre dita perpendicular levamos a diferenza de cotas (se partimos de d') ou de alonxamentos (se partimos de d''). No exemplo levamos a diferenza de cotas z.

- A hipotenusa do triángulo rectángulo que se forma é a distancia d , que hai entre os puntosP e Q.

12

Recta horizontal r (II a H)que contén ao segmento AB.A proxección A1B1 está en verdadeira magnitude, sendo d a lonxitude do segmento.

Recta frontal s (II a V)que contén ao segmento MN.A proxección M2N2 está en verdadeira magnitude, sendo e a lonxitude do segmento.

Plano horizontal que contén ao cadrado ABCD.A proxección A1B1C1D1,está en verdadeira magnitude.En PV proxéctase nunha única liña, sobre 2.

Distancia entre un punto e unha recta

Para determinar a distancia entre un punto P e unha recta r temos que trazar por P unplano perpendicular a r e atopar a intersección deste plano coa recta, punto Q. A distanciaentre os puntos P e Q é a distancia que hai entre o punto P e a recta r.

- Calculamos un plano α que pase por P e sexa perpendicular a r. Para elo facemos pasar unha recta horizontal h polo punto P con h' perpendicular a r'.

- Determinamos a intersección do plano α e a recta r, utilizando un plano proxectante β queconteña á recta . Obtemos así o punto Q, punto de corte entre as rectas i (intersección dosplanos α e β) e a recta r.

- Calculamos a distancia entre os puntos P e Q, lonxitude d, que ven a ser a distancia entre P e r.

Distancia dun punto a un plano

A distancia dun punto P a un plano α é a lonxitude do segmento PQ perpendicular a α.

- Trazamos por P unha recta r perpendicular ao plano α.

- O paso seguinte é determinar o punto Q de intersección entre a recta r e o plano α, facendo pasar por r un plano auxiliar β, proxectante vertical. Obtemos así o punto Q, puntode corte entre as rectas i (intersección dos planos α e β) e a recta r.

- Calculamos a distancia entre os puntos P e Q, lonxitude d, que ven a ser a distancia entre P e α.

13

Distancia entre dúas rectas paralelas

A distancia entre dúas rectas paralelas r e s será a lonxitude do segmento MN perpendiculara ambas.

- Resolvemos o problema trazando un plano perpendicular as dúas rectas, sendo 1 perpendicular a s' e r', e 2 perpendicular a s'' e r''.

- Despois atopamos a intersección deste plano coas dúas rectas dando lugar aos puntos Me N. Para elo utilizamos os planos auxiliares proxectantes horizontais Ω e ξ.

- Calculamos a distancia entre os puntos M e N, lonxitude d, que ven a ser a distancia entre r e s.

Distancia entre dous planos paralelos

A distancia entre dous planos paralelos α e β é a lonxitude do segmento MN perpendicular aambos.

- Trazamos unha recta r perpendicular aos dous planos.

- Determinamos os puntos M e N, intersección da recta r cos planos α e β, facendo pasar por r un plano auxiliar , proxectante vertical.

- As interseccións do plano auxiliar con α e β son dúas rectas paralelas i1 e i2.

- Obtemos os puntos M e N mediante a interseccións das rectas i1 e i2 coa recta r.

- Calculamos a distancia entre os puntos M e N, lonxitude d, que ven a ser a distancia entre α e β.

14

4. ABATEMENTOS

O abatemento é un procedemento empregado para obter formas planas en verdadeiramagnitude, cando falamos de verdadeira magnitude referímonos á obter as dimensiónspropias da figura no espazo, sen a deformación que se produce ao realizar as proxecciónssobre H ou sobre V.

Unha vez obtida a verdadeira magnitude dunha figura contida nun plano determinadomediante o seu abatemento, podemos realizar medicións sobre ela (distancias e ángulos) oufacer os trazados xeométricos que se necesiten.

Por outra parte, partindo da figura en verdadeira magnitude tamén podemos atopar as súasproxeccións sobre H e V, facendo un desabatemento.

Abater un plano consiste en xiralo ao redor dunha das súas trazas ata facelo coincidir coplano de proxección correspondente a dita traza. Se abatemos o plano sobre o PHxiraremos o plano pola súa traza horizontal e se o abatemos sobre PV, pola súa trazavertical. A traza ao redor da que xira o plano chámase charnela .

Abatemento de puntos e rectas contidos nun plano

Para abater puntos ou rectas contidos nun plano, primeiro realizamos o abatemento doplano, para logo obter o punto ou a recta abatidos, os cales se designan coa súa mesmaletra ou símbolo entre paréntese.

15

Consideremos un punto A contido nun plano α , para abatilo seguimos os seguintes pasos:

- Neste caso realizamos un abatemento sobre PH, polo tanto utilizamos como charnela a traza horizontal do plano α1.

- Trazamos polo punto A unha recta horizontal do plano α, recta h. Calculamos a traza vertical de dita recta Vh.

- Pola proxección horizontal da traza Vh' trazamos unha liña perpendicular á charnela α1.

- Con centro en N (vértice do plano sobre LT) e radio NVh'' trazamos un arco ata cortar á perpendicular anterior, obtemos así a traza vertical abatida (Vh).

- Unindo N con (Vh) obtemos a traza vertical do plano abatida (α2).

- Polo punto (Vh) da traza abatida, trazamos unha recta paralela a α1 que ven a ser a recta horizontal h abatida (h).

- Por A' trazamos unha liña perpendicular á charnela α1, cortando á charnela no punto M. Naintersección da perpendicular con (h), obtemos a posición do punto abatido (A), xa que ditopunto pertence á recta h.

- Outra posibilidade, sen necesidade de utilizar a recta horizontal, é obter a lonxitude do segmento MA sobre o plano α. Para elo levamos a cota z do punto A sobre unha perpendicular a partir de A', dando lugar ao triángulo rectángulo A'MA0. A hipotenusa de dito rectángulo é a verdadeira magnitude do segmento MA, levando a súa lonxitude a partirde M sobre a perpendicular que sae de A' (arco con centro en M e radio MA0), obtemos a posición do punto abatido (A).

Para abater unha recta contida nun plano, basta con abater dous dos seus puntos.O máisdoado é abater as súas dúas trazas (puntos intersección da recta cos planos de proxección),que ademáis están sobre as trazas do plano, o que simplifica o proceso. No exemploanterior xa se abateu unha recta de tipo horizontal, no seguinte abatemos unha recta oblicuar contida nun plano α.

- Partimos das proxeccións dunha recta r contida nun plano α. Calculamos as súas trazas Hr e Vr.

- Abatemos sobre PH a traza vertical Vr situada na traza vertical do plano α2. Para elo seguimosos mesmos pasos ca no exemplo anterior, cando se abateu a recta horizontal h utilizando a súa traza vertical Vh. Como resultado obtemos o punto (Vr).

- O punto abatido (Hr) coincide co propio punto Hr e coa súa proxección horizontal Hr'.

- Unindo as trazas abatidas (Hr) e (Vr) obtemos arecta abatida (r).

No abatemento dun plano o máis sinxelo é abater a traza correspondente a unha das súasrectas horizontais (abatemento sobre PH) ou frontais (abatemento sobre PV), ou o que é omesmo abater un punto situado sobre a traza do plano que non fai de charnela. O planoabatido queda definido pola charnela e pola outra traza do plano abatida, que se obtén aounir o punto anterior abatido co vértice do plano situado sobre LT.

16

Abatemento dunha figura plana

O procedemento xeral para abater unha figura plana é o de abater os puntos e rectas dafigura, realizando primeiro o abatemento do plano que os contén. Mediante rectashorizontais do plano podemos realizar o abatemento dos distintos puntos que dan lugar áfigura abatida.

Sexa a figura ABCDEFG dada polas súas proxeccións diédricas, queremos obter a súaverdadeira magnitude mediante o seu abatemento. O procedementno a seguir é o seguinte:

- Trazamos rectas horizontais polos distintos vértices ou puntos da figura.

- Abatemos α2 aproveitando unha destas horizontais, por exemplo a recta h. Facemos centro no vértice do plano, punto N, e con radio NVh'' trazamos arco ata cortar á perpendicular por Vh' , obtendo (Vh).

- Unindo (Vh) con N (vértice do plano) obtemos a traza abatida do plano (α2).

- Desde (Vh) trazamos unha recta paralela á charnela, ésta paralela é a recta horizontal abatida (h). Sobre ela obtemos os puntos abatidos (G), (F), (C) e (B), mediante perpendiculares á charnela desde as proxeccións horizontais G', F', C' e B' respectivamente.

- Da mesma maneira abatemos as demáis rectas horizontais e calculamos os outro puntos para completar a figura abatida.

No caso de que non se faciliten, o primeiro que temos que facer nun abatemento edeterminar as trazas do plano α que conten a figura. Para elo utilizamos dúas rectas queformen parten da mesmo, calculamos as súas trazas e unímolas entre sí dando lugar a α1 eα2.

Outro método empregado para abater figuras é a afinidade xa que axiliza moito o trazado.Entre a proxección horizontal dunha figura e o seu abatemento sobre o plano horizontal, ouentre a proxección vertical e o seu abatemento sobre o plano vertical, existe unha relaciónde afinidade ortogonal coas seguintes características:

17

- O eixo de afinidade: charnela (α1 ou α2)

- A dirección de afinidade: perpendicular a la charnela.

- Dous puntos afíns: a proxección en H ou V dun punto e o seu abatido, A' ou A'', e (A).

Para usar o procedemento de afinidade necesitamos abater un punto polo método xeral.Unha vez que temos un par de puntos afíns, podemos completar o trazado da figura abatidautilizando directamente a construcción xeométrica da afinidade.

Desabatemento dunha figura plana

Sexa o plano α que conten unha circunferencia da que coñecemos o seu centro O e o seuradio. Partindo das traza de α e da proxeccións do punto O, abatemos o plano, debuxamosa circunferencia e calculamos as proxeccións elípticas da circunferencia en H e V.

- Trazamos e abatemos unha recta horizontal por O obtendo (O) e (α2)

- Con centro (O) e o radio dado debuxamos a circunferencia abatida.

- Dividimos a circunferencia mediante diámetros, neste caso xa temos a recta h (recta horizontal) e engadimos a recta m perpendicular á charnela (recta de máxima pendente), arecta f (recta frontal) e a recta i (recta de máxima inclinación).

- Desabatemos utilizando o procedemento de afinidade. Comezamos unindo os puntos abatidos (3), (O) e (4) prolongando a liña ata intersectar coa charnela. O punto intersección unímolo co punto O', dando lugar á proxección horizontal da recta na que se encontrarán os puntos 3' e 4', que se obteñen trazando perpendiculares á charnela desde os seus afíns (3) e (4). O procedemento a seguir cos demáis puntos é igual.

- Unha vez debuxada a proxección elíptica horizontal da circunferencia debuxamos a vertical, para elo determinamos as proxeccións verticais dos distintos puntos trazando primeiros as proxeccións verticais das rectas que os conteñen.

18

5. XIROS E CAMBIOS DE PLANO

Tanto os xiros como os cambios de plano son métodos utilizados en sistema diédrico paracalcular verdadeiras magnitudes e facilitar a resolución de determinados problemas de tipoxeométrico. En moitas casos podemos escoller entre realizar un abatemento, facer un xiroou un cambio de plano.

Mediante os xiros movemos os elementos ou corpos arredor dun eixo ,que pode ser unharecta horizontal ou unha vertical, de maneira que modificamos as súas proxeccións sobre oplano H e V, coa intención de encontrar unha posición máis favorable do obxecto en relacióna ditos planos. Nalgún caso temos que realizar máis dun xiro para conseguir a posiciónrequerida.

Nos cambios de plano non se modifica a posición dos elementos ou obxectos que se estánrepresentados, o que se fai é cambiar a posición dun dos planos de proxección, de H ou deV, o que implica un cambio na disposición das proxeccións coa intención de encontrar outrasmáis convenientes. Podemos facer cambios de plano sucesivos, de H ou de V, pero nondous ao mesmo tempo.

Xiro dun punto A mediante eixo vertical, e eixo horizontal

Con eixo vertical

- A1 xira sobre o arco con centro en e1 eradio e1A1 ata a posición desexada A1' ,neste caso ata obter o mesmo alonxamentoca o eixo.

- A2 desprázase nunha paralela a LT,mantendo sempre a mesma altura, ata aposición A2', que se obten medianteperpendicular a LT desde A1'.

Con eixo horizontal

- A2 xira sobre o arco con centro en e2,

neste caso 180º ata obter A2' . A1 mantén oseu alonxamento sobre unha paralela a LTata a posición A1' que se obtén medianteperpendicular a LT trazada desde A2'.

Xiro dun segmento AB para obter a súa lonxitude

- Partimos do eixo de xiro vertical e. Desde e1 trazamosuna perpendicular á proxección A1B1 obtendo C1.

- Con centro en e1 xiramos C1 ata facelo coincidir sobrea perpendicular a LT polo mesmo centro de xiro. Destexeito o segmento xirado en planta quedará paralelo áLT. Obtemos así C1'.

- Polo punto C1' trazamos unha paralela a LT na que seencontrarán os extremos do segmento unha vezxirados. Con centro en e1 xiramos A1 e B1 ataintersectar coa paralela anterior, obtendo A1' e B1' epolo tanto o segmento xirado en planta.

- As proxeccións verticais A2 e B2 desprázanse sobreliñas paralelas a LT, obtendo A2' e B2' trazando liñasperpendiculares a LT desde as proxeccións A1' e B1'.

- A distancia A2'B2', da proxección vertical resultantedo xiro, é a lonxitude do segmento AB.

19

Cambio de plano vertical

Mantense o plano horizontal de proxección H, e modifícase a posición do plano vertical deproxección V dispoñendo unha nova liña de terra LT que se indica cun dobre trazo nos seusextremos. A proxección horizontal dos distintos elementos ou obxectos non varía, obténdoseunha nova proxección vertical na que se manteñen as mesmas cotas.

Cambio de plano vertical dun punto A

- Situamos a nova liña de terra LT (dobre trazo).

- A proxección A1 mantentese na mesma posición e trazamos perpendicular á nova LT sobre a que se encontrará a nova proxección vertical do punto.

- Sobre a perpendicular anterior e desde a nova LT levamos a cota do punto zA, dandolugar á posición A2'.

Cambio de plano vertical dun segmento AB , para determinar a súa lonxitude

- Situamos a nova liña de terra LT (dobre trazo) de modo paralelo á proxección horizontal do segmento.

- Determinamos as novas proxeccións verticais A2' e B2'.

- A distancia A2'B2', da nova proxección vertical , é a lonxitude do segmento AB.

Cambio de plano horizontal

Mantense o plano vertical de proxección V, e modifícase a posición do plano horizontal deproxección H dispoñendo unha nova liña de terra LT que se indica cun dobre trazo nos seusextremos. A proxección vertical dos distintos elementos ou obxectos non varía, obténdoseunha nova proxección horizontal na que se manteñen os mesmos alonxamentos.

Cambio de plano horizontal dun punto A

- Situamos a nova liña de terra LT (dobre trazo).

- A proxección A2 mantentese na mesma posición e trazamos perpendicular á nova LT sobre a que se encontrará a nova proxección horizontal do punto.

- Sobre a perpendicular anterior e desde a nova LT levamos o alonxamento do punto aA, dando lugar á posición A1'.

20

Cambio de plano horizontal dun segmento AB , para determinar a súa lonxitude

- Situamos a nova liña de terra LT (dobre trazo) de modo paralelo á proxección vertical do segmento.

- Determinamos as novas proxeccións horizontais A1' e B1'.

- A distancia A1'B1', da nova proxección horizontal , é a lonxitude do segmento AB.

Verdadeira magnitude dunha figura plana mediante cambios de plano

Para determinar a verdadeira magnitude dunha figura plana en posición oblicua respectoaos planos de proxección necesitamos realizar dous cambios de plano. No primeiro delesfacemos que a figura quede disposta perpendicularmente a un dos planos de proxección, eno segundo determinamos a súa verdadeira magnitude. A continuación, explícase o procesoa seguir para un triángulo ABC.

- Trazamos unha recta horizontal h do plano ABC por un vértice do triángulo: por A2

debuxamos h2 paralela a LT. Obtemos o punto intersección M co lado BC, baixamos aproxección M2 sobre B1C1 e determinamos á proxección M1. Unimos A1 con M1 obtemos h1.

- Primeiro cambio de plano, de tipo vertical: dispoñemos unha segunda liña de terra (dobretrazo nos extremos) perpendicular a h1, isto implica que o triángulo sexa proxectante sobre onovo plano V convertídose nunha única liña. Levando as cotas dos puntos A2, B2 e C2 sobrea segunda liña de terra para obter as novas proxeccións verticais A2', B2' e C2' (cota tipo a)

- Segundo cambio de plano, de tipo horizontal: dispoñemos unha terceira liña de terra (tripletrazo nos extremos) paralela á dirección C2'B2' .Levamos os alonxamentos dos puntos A1,B1 e C1 relativos á segunda liña de terra sobre a terceira liña terra, para obter as novasproxeccións horizontais A1', B1' e C1'(alonxamento tipo b).

- A proxección A1'B1'C1' é a verdadeira magnitude do triángulo ABC.

21