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Sistemas de Varios Grados de Libertad (MDOF)

Un edificio simple puede ser definido como un edificio que sometido aexcitaciones producen desplazamientos horizontales.

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Sistemas de Varios Grados de Libertad (MDOF)

Según la ecuación de movimiento

Reemplazando para la masa superior 

Reemplazando para la masa inferior 

En forma matricial

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Sistemas de Varios Grados de Libertad (MDOF)

Por lo tanto de la ecuación de movimiento, podemos denotar:

m es la matriz de masa

k es la matriz de rigidez

p(t) es la matriz de carga

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Frecuencias y modos naturales de vibración

Matricialmente la respuesta de desplazamiento puede representarse como:

Se observa que los desplazamientos son una combinación de lineal de los modos

naturales de vibración, cuyas amplitudes se pueden expresar como:

De esto se obtiene que los desplazamientos y aceleraciones son:

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Frecuencias y modos naturales de vibración

Sustituyendo en la ecuación de movimiento, tenemos:

Para encontrar las N (grados de libertad) frecuencias naturales se tendrá que

resolver la denominada ecuación característica (ecuación polinómica) siguiente:

Una vez calculadas las frecuencias naturales, los modos naturales se obtienen

reemplazando en la ecuación inicial:

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Ejemplo práctico Nº 1

Calcular las frecuencias y modos naturales de vibración de la viga

Las matr ices obtenidas fueron: 

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Ejemplo práctico Nº 1

Como sabemos, las frecuencias se ob t ienen resolv iendo la ecuación

carac terísti ca.

La ecuación polinóm ica a resolv er es: 

De don de obtenemos do s solucion es, las cuales son: 

Las frecuencias circulares q uedan como : 

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Ejemplo práctico Nº 1

Los m odo s se obt ienen reemp lazando las frecuencias en: 

PRIMER MODO:

SEGUNDO MODO: