ADIVINANZAS

Conteste, Don Serafín,en prosa, canción o verso,¿qué cosa tiene comienzo,y nunca llega su fin?

Empiezan con uno,prosiguen con dos,y el fin de la cuentala conoce Dios.

ADIVINANZAS

Redondo soy y es cosa anunciada que a la derecha algo valgo, pero a la izquierda nada.

De miles de hijos que somosel primero yo nací,y soy el menor de todos, ¿cómo puede ser así?

ADIVINANZAS

De dos nadas me formaron,aunque bien valioso soy,sin nacer en Inglaterraentre los pares estoy.

Soy más de uno sin llegar a tres,y llego a cuatrocuando dos me des.

NÚMEROS, NUMERALES

Y SISTEMAS

DE NUMERACIÓ

N

PROF. ELLIOT J. ALBELOMATE 0701

28 DE OCTUBRE DE 2010

¿Te imaginas el mundo sin números? Si fuera así:

¿Cómo expresarías tu edad, tu peso o estatura?

¿Cómo expresarías la cantidad de habitantes de Puerto Rico?

Como puedes apreciar:¡VIVIMOS RODEADOS DE NÚMEROS!

Angel dijo: “La mitad de ocho es tres”

y, para probarlo, escribio esto:

8 3

¿Quién tenía razón?

Andrea, replicó: “ No, la mitad de ocho es cuatro”.

Andrea hablaba de los números y Ángel de los numerales.

¿Quién tenía razón?

¿Cuál es la diferencia entrenúmero y numeral?

Números y numerales

Un numeral es algo que escribimos. Es un símbolo o colección de símbolos para representar a un número.

Un número es una idea que se tiene de cantidad.

5

Número y Numeral

Idea que se tiene de cantidad.

Representación de un número por medio de símbolos.Número:

Numeral:

V

El concepto de número surge de la necesidad de contar, por ejemplo:

- Contar el número de cabezas de ganado.

- Contar el número de guerreros de una tribu.

- Contar el número de cestas de grano, etc.

Inicialmente se contaba con la ayuda de los medios disponibles, por ejemplo:

- Dedos

- Piedras

- Nudos de una cuerda

- Marcas con palitos (“tally”)

Cada civilización ha desarrollado sus propios sistemas de numeración, no sólo en los símbolos, sino en los criterios usados para contar.

Hoy estudiaremos distintos sistemas de numeración para compararlos con el sistema que usamos actualmente:

El Sistema de Numeración Decimal.

Los números en diferentes

civilizaciones

Elen diferentes culturas

Sistema de Numeración Babilonia

(1900 a. C.) Solo utilizaban dos símbolos:

= 10 = 1

Este sistema es posicional, es decir, que importa la posición en que se colocan los símbolos.

Es un sistema de base sexagesimal, es decir, usa agrupaciones de 60 en 60.

Ejemplos

60 · 60

60 Equivalencia

= 10 + 1 = 11

= 30 + 5 = 35

= 60 + (30 + 2) = 92

= (60 · 60 ) = 3.600

= (60 · 60) + 60 + (10 + 2) = 3.672

= (60 · 2) + (40 + 4) = 164

Sistema de Numeración Egipcio

El sistema de numeración egipcio es no posicional; los símbolos se pueden colocar en cualquier posición sin que cambie su valor.

Es sumativo; se suman los valores de los símbolos que se utilizan.

Tercer Milenio A.C.

Ejemplos

1,000,000

100,000

10,000

+ 1,000

1,111,000

200

30

+ 3

233

Se suman los valores de los Se suman los valores de los símbolos dadossímbolos dados

Sistema de Numeración Romano

3000 A.C. Está basado en cuatro símbolos fundamentales

(I, X, C, M) y tres secundarios (V, L, D), con las siguientes equivalencias:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1,000

Los símbolos fundamentales (I, X, C, M) se pueden repetir hasta un máximo de tres veces. Los símbolos secundarios (V, L, D) no se repiten. Corresponde a un sistema de numeración posicional.

Colocando un trazo sobre el símbolo, aumenta mil veces su valor; con dos trazos se representan los millones, y con tres trazos, billones.

Ejemplos

MX = 1,000 + 10 = 1,010

CM = 1,000 – 100 = 900

CCXII = 200 + 10 + 2 = 212

MDC = 1,000 + 500 + 100

= 1,600

67 = LXVII

99 = XCIX

789 = DCCLXXXIX

3,512 = MMMDXII

Sistema de Numeración Maya

Los mayas crearon un sistema de numeración que consistía en contar de 20 en 20. Tenían un sistema posicional y un símbolo para el número cero.

Con estos símbolos formaban los primeros 19 números.

(siglo IV D. C.)

¿ Qué es un Sistema de Numeración ?

Un Sistema de Numeración es un conjunto de reglas y principios, que se utilizan para representar correctamente los números.

Entre estos principios tenemos:

1. Principio de Orden

2. Principio de la Base3. Principio posicional

Toda cifra en un numeral, tiene un orden, por convención, el orden se cuenta de derecha a izquierda.

Ejemplo:568

1. Principio de Orden

1er. Orden

2do. Orden

3er. Orden

No confundir el lugar de una cifra, con el orden de una cifra, el lugar se cuenta de izquierda a derecha.

Observación:

Todo sistema de numeración, tiene una base, que es un número entero mayor que la unidad, el cual nos indica la forma como debemos agrupar.Ejemplo:

2. Principio de la Base

En el Sistema Senario (Base 6), debemos agrupar las unidades de 6 en

6, veamos:

23(6)

Grupos Unidades que

sobran

=15

¿ Cómo se representa Veinte en el Sistema Quinario ( Base 5 ) ?

40(5)

Grupos Unidades que

sobran

=20

En el sistema “Quinario”, debemos agrupar de 5 en 5.

En un numeral toda cifra tiene un ”valor posicional”, veamos un ejemplo:

457

3. Principio posicional:

UnidadesDecenas

Centenas

La suma de los valores posiciónales, nos da el número.

Observación:

= 7.1 = 7

= 5.10 = 50

= 4.100 = 400

400 + 50 + 7 = 457

Para representar un número en un sistema diferente al decimal, se emplea el método de:

“Divisiones Sucesivas”

¿ Cómo representar un número en otra base ?

Ejemplo:

Representar 243 en el sistema heptal ( Base 7 )

243 7

345

7

46

Entonces:

243 =465(7)

La Base de un sistema de numeración también nos indica cuantas cifras pueden usarse en el sistema, veamos:Base

Sistema Cifras que emplea

2 Binario 0; 13 Ternario 0; 1; 24 Cuaternar

io0; 1; 2; 3

5 Quinario 0; 1; 2; 3; 46 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 57 Heptal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 68 Octal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 79 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 810 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

Sistema de Numeración Decimal

Está organizado en agrupaciones de 10 (base 10), a diferencia de, por ejemplo, el maya cuya base es 20(vigesimal). Además, es posicional, Ya que cada símbolo tiene un valor dependiendo de su posición en el número, lo que se conoce como valor posicional.

Posee 10 símbolos o dígitos, los que permiten representar los demás números.

Estos dígitos son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Además cada uno de ellos tiene un valor dependiendo de la posición que tengan en el número, la que corresponde sucesivamente a una potencia de 10.

Nuestro sistema proviene de la India (siglo V), aunque fueron los árabes quienes lo introdujeron en Europa, extendiéndose luego a los demás continentes gracias a los sucesivos descubrimientos y conquistas.

Ejemplo:

El número 162,958 se puede escribir como:

012345 108105109102106101

100,000 60,000 2,000 900 50 8

1 100,000 6 10,000 2 1,000 9 100 5 10 8 1

Los numerales que utilizamos generalmente se llaman numerales indoarábigos porque fueron los hindúes los primeros que los utilizaron. Luego, los árabes los introdujeron en Europa. La siguiente figura muestra la evolución de estos numerales.

Tiene diez dígitos

0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9

Es posicional ya que dependiendo del lugar en que se encuentre el dígito dentro de un número, es el valor que tendrá.

Por ejemplo:

En el número 2, el valor del 2 es 2 (unidades).En 25, el 2 ocupa las decenas por lo que su valor es 20 (2 decenas)En 246, el 2 ocupa el lugar de las centenas y su valor es 200.¿Qué valor tiene el 3 en 2,670?

Sistema base 10

La cifra que se encuentra a la izquierda de otra vale 10 veces más.

CM DM UM C D U

100.000 10.000 1.000 100 10 1

¿Qué yo sé?

¿Qué quiero aprender?¿Qué aprendí?