Sistema de medidas angulares (2)

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS

INTEGRANTES

ALEX BUSTAMANTE

JOHN VELASQUEZ

JAVIER TAINYS

DAVID ALTAMIRANDO

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

En este campo de la trigonometría para expresar la medida de los ángulos se emplean los siguientes sistemas:

1.- El sistema sexagesimal o sistema ingles

2.- El sistema centesimal o sistema francés

3.- El sistema radial o sistema circular

SISTEMA SEXAGESIMAL (S)

Llamado también ingles, es aquel sistema cuya unidad de medida angular es el grado sexagesimal (º) que es igual a la 360 ava parte de una vuelta ( circunferencia)

nciaCircunfere 360

1

O

A

B

1º

NOTACIÓN:1º: un grado sexagesimal1’: un minuto sexagesimal1’’: un segundo sexagesimal

Equivalencias: Una vuelta 360º1º 60’1’ 60’’1º 3600’’

Ejercicios de aplicación

1) Expresar 3945’ en grados sexagesimales

Resolución

''60

'1''30

Usando las equivalencias respectivas tenemos

º75,65

2) Expresar 45º25’30’’ a grados sexagesimales

Primero pasamos los 30’’ a minutos

'60

º1'3945

'5,0

Ahora tenemos 45º25,5’

'60

º1'5,25 º425,0

Sumamos: 45º + 0,425º

45,425º

45º25’30’’ 45,425º


3) Expresar 87,32º en grados, minutos y segundos sexagesimales

Resolución

º1

'60º32,0

87º + 0,32º

'2,19

87º + 19’ + 0,2’

'1

''60'2,0 ''12

87º +19’ + 12’’ 87,32º 87º19’12’’


4) Expresar 4058’’ en grados, minutos y segundos sexagesimales

Resolución

4058’’ 4058’’ 1º7’38’’60’’6458 7’

38’’

67’ 60’1º7’

5.- Expresa la medida de cada ángulo en grado, minutos y segundo

13,45º=

4600’’ =

7884’’ =

15,23º =

189º =

13º26’60’’

1º16’40’’

188º59’60’’

15º13’48’’

2º11’24’’

SISTEMA CENTESIMAL (C)

Llamado también sistema francés, es aquel sistema que tiene como unidad de medida angular el grado centesimal (g), que es igual a la 400 ava parte del ángulo de una vuelta

nciaCircunfere 400

1

NOTACIÓN:1g: un grado centesimal1m :un minuto centesimal1s :un segundo centesimal

Equivalencias: Una vuelta 400g

1g 100m

1m 100s

1g 10000s

O

A

B

1g


1) Expresar 50g 25m 45s a grados centesimales

Resolución

m

gm

100

125

g0045,0

Primero pasamos los 45s a grados centesimales

s

gs

10000

145

g25,0

La expresión 50g 25m 45s podemos escribirla

50g +25m +45s 50g +0,0045g +0,25g

50g +25m +45s 50,2545g


2) Expresar 20,3465g a grados , minutos y segundo centesimales

Resolución

g

mg

1

1003465,0

La expresión 20,3465g se puede escribir así

m65,34

La expresión 20,3465g podemos escribirla

20g +34m +65s 20g 34m 65s

20g + 0,3465g

m

sm

1

10065,0

s65

mm 65,034

SISTEMA RADIAL (R)

Llamado también sistema circular , es aquel sistema que tiene por unidad de medida el radián(rad), que es el ángulo en el centro de la circunferencia cuya longitud de arco es igual a la longitud del radio de la circunferencia.

Equivalencias: Una vuelta 2rad

1/2 /2 radO

A

B

1 ra

dr

r

r

RELACION ENTRE SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

Sean S,C y R los números que representan la medida de un mismo ángulo, en los sistemas sexagesimales, centesimal y radial respectivamente.

rad 2

R

400

C

º360

Sg

rad

R

200

C

º180

Sg

De la relación se deduce

g10

C

º9

S rad

R

º180

S

rad

R

º200

C


1) Convertir 72º a grados centesimales y radianes

Resolución

g10

C

º9

S g10

C

º9

º72 9

)10(72C g80C

rad

R

º180

S

rad

R

º180

º72

º180

)rad (º72R

rad5

2R


2) Convertir 120g a grados sexagesimales y radianes

Resolución

g10

C

º9

S g

g

10

120

º9

S g

g

10

)º9(120S º108S

rad

R

200

Cg

rad

R

200

120g

g

g

g

200

)rad (120R

rad5

3R


Resolución

rad

R

º180

S

rad

rad4

5

º180

S

rad

rad4

5º180

S

º225S

escentesimaly lessexagesima grados a rad4

5 Expresar )3

rad

R

º200

C

rad

rad4

5

º200

C

rad

rad4

5º200

S

g250S


4) Convertir 24,5g a grados sexagesimales y radianes

Resolución

g10

C

º9

S g

g

10

5,24

º9

S 10

)9(5,24S º5,22S

rad

R

º200

C

rad

R

200

5,24g

g

200

)rad (5,24R

rad400

49R


5) Hallar la medida de un ángulo expresado en radianes, si se cumple que: C – S = 4

Resolución

4SC 4rad

R180

rad

R200

rad5

R

rad

R

º200

C

rad

R200C

rad

R180S

rad

R

º180

S

4rad

R20

6) Calcular la medida de un ángulo expresado en radianes si:

Resolución

rad10

R

10

5x3

9

7x5

S = 5x - 7 C = 3x + 5y

Calculando el valor de “x”

g10

C

º9

S 45x2770x50

7045x27x50 115x23 5x S = 5x - 7

S = 18Calculando “R”

rad

R

º180

S

rad

R

º180

º18

S = 5(5) - 7

Ejercicios propuestos

1) Expresar el complemento de 30º en el Sistema Circular.

a) rad3

rad

6

rad4

rad

5

rad

8

c)b) d) e)

2) Determinar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que 2

8

CR

20

SR

a) rad6

rad

8

rad4

rad

5

rad

10

c)b) d) e)

3) Los ángulos congruentes de un triangulo isósceles son ( 8x – 3 ) º y ( 9x – 4 )g hallar la medida del ángulo desigual expresado en radianes

a) rad3

rad

5

2 rad10

rad

5

4rad

2

c)b) d) e)

Ejercicios propuestos

4) Hallar la medida de un ángulo expresado en radianes si se cumple que 3S – 2C = 14

a) rad9

rad

10

rad2

rad

5

rad

8

c)b) d) e)

5) Determinar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que

m

mg

1

11

'1

'1º1E

a) rad rad 2 rad4

rad 5 rad

10

c)b) d) e)

6) Calcular el valor de

a) 160 171 162 163 174c)b) d) e)

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