XIX CONGRESO INTERNACIONAL DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

Gestión de las Organizaciones rumbo al 3er milenio “De la Regionalización a la Globalización.”

Capítulo 1.- Administración de Operaciones

Ponencia

Sistema De Inventario Complementado. Estudio De Caso

Ana Elena Narro Ramírez,

Doctor en Investigación de Operaciones, Calzada del Hueso #1100, Col. Villa Quietud, C. P. 04960, Méxi-co, D. F., Tel. 54 83 71 10 y 11, Correo: anarro@correo.xoc.uam.mx

Vicente Ángel Ramírez Barrera,

Doctor en Estudios Organizacionales, Calzada del Hueso #1100, Col. Villa Quietud, C. P. 04960, México, D. F., Tel. 54 83 71 10 y 11, Correo: varbar@correo.xoc.uam.mx

Alberto Isaac Pierdant Rodríguez,

Candidato a Doctor en Ciencias Sociales. Especialidad: Sociedad y Educación. Calzada del Hueso #1100, Col. Villa Quietud, C. P. 04960, México, D. F., Tel. 54 83 71 10 y 11, Correo:

pierdant@correo.xoc.uam.mx

Cuerpo Académico de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales

Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco

21-24 de abril de 2014, Durango, Durango, México

Sistema De Inventario Complementado. Estudio De Caso

Resumen La situación económica actual obliga a las empresas mexicanas, que deseen sobrevivir a acudir a asesoría técnica para tomar mejores decisiones, evitando, en lo posible, exponerse a cometer errores que les resultarían fatales.

En este trabajo, además de introducir algunos de los modelos proporcionados por la Teoría de Inventarios (Hillier, 2014), se incorpora una innovación al utilizar las cadenas de Markov. Ello permite averiguar el estado de las existencias al que conducen los valores de los parámetros recomendados por cada modelo. Con esta información, se contrastan las alternativas que tiene la empresa, lo que le permite tomar una decisión más conveniente. La hipótesis por probar, es la utilidad del uso de ambos instrumentos juntos, modelos de in-ventario y cadenas de Markov. Formalmente no se prueba, sólo se comprueba la ventaja de esta utilización en el caso particular que se presenta.

El caso que aquí se analiza corresponde a la empresa MOMO, que ofrece entre sus productos personalizados, pijamas con diferentes diseños. Esta empresa pretende aprove-char el incremento en la demanda que se presenta en la temporada navideña y responder a ella, ofreciendo, al menos, un 98% de satisfacción al cliente. Este objetivo requiere determi-nar cuántas prendas se requieren en existencia, ya que el conservar inventarios inadecuados, significa inversión improductiva o pérdida de ventas.

Palabras clave: Control de inventarios, Cadenas de Markov, Toma de decisiones.

Introducción La situación económica actual es tal, que en el pasado las organizaciones no habían sentido la necesidad de buscar un apoyo técnico para mejorar sus posibilidades de éxito y evitar el excesivo costo de una decisión equivocada, como sucede ahora.

Los problemas a los que se enfrenta una empresa son numerosos y variados, entre ellos destaca el de “Control de Inventarios”, porque se presenta en casi todo tipo de nego-cio, sea cual sea su estructura y su ubicación sectorial. Así el almacén es un elemento es-tratégico que exige una correcta y eficiente gestión y un exhaustivo control del mismo. Es-tablecer la existencia aconsejable para cada artículo, cuando la empresa maneja muchos productos, con demandas desconocidas y costos diferentes, no es inmediato, para ello, es

fundamental la utilización de tecnologías precisas que hagan posible a la empresa reducir sus costes y ahorrar tiempo.

En este trabajo, además de echar mano de la Teoría de Inventarios que con sus mo-delos orienta sobre tal decisión1 (Hillier, 2014), se implementa una innovación, incluir la utilización de cadenas de Markov para averiguar a qué estado conduce cada modelo y con esta información tomar la decisión más conveniente.

Figura 1 Promocional de la empresa MOMO.

En MOMO cada producto tiene su propia demanda, independiente de las demandas de los demás, de manera que este sistema multiproductos se puede manejar como diferentes sistemas con un solo artículo, repitiendo el proceso para cada uno con sus valores corres-pondientes. Se ejemplifica la forma en que se apoya esta toma de decisiones con uno de los productos, primero se ajusta una función de distribución de probabilidad para explicar el

1 HILLIER FREDERICK & LIEBERMAN GERALD, 2010, “Investigación de Operaciones, McGrawHill 7ª Edición, pp

871-913

comportamiento de la demanda semanal, a continuación se construye una cadena de Mar-kov para representar el comportamiento del sistema de inventario, se calcula su matriz de transición a partir de la distribución ajustada; con esta matriz se estima la probabilidad de que al final de la temporada el almacén se encuentre en cada uno de los posibles estados y se calcula el estado estable; en seguida, se propone el uso de un primer modelo de inventa-rio para formular una política que ayude a mejorar la administración del inventario y propi-cie una relación eficiente con la administración financiera, este modelo se resuelve y con base en esta solución se hace la recomendación pertinente, después, se construye la cadena de Markov correspondiente y se encuentra la información que proporciona; a continuación se repite el ejercicio usando un nuevo modelo de sistema de inventario y se comparan los resultados de ambos modelos para seleccionar la recomendación que más convenga. Se re-salta que uno de los modelos conduce a un menor costo y el otro mejora el servicio al clien-te a un mayor costo, el decisor puede seleccionar la alternativa que a su juicio le sea más favorable.

Marco Teórico

Cadenas De Markov

Un proceso estocástico es la descripción del comportamiento de un sistema en operación, mediante una colección de variables aleatorias {xt}, de características cuantificables, donde el subíndice t toma valores de un conjunto T, que generalmente es parte del conjunto de los

números naturales N, T N2 (Hillier & Lieberman, 2014)

Una cadena de Markov es un proceso estocástico discreto que cumple con la propie-dad de Markov (Winston, 2008)3, que consiste en que si se conoce la historia del sistema hasta su instante actual, su estado presente resume toda la información relevante para des-cribir la probabilidad de su estado futuro. La cadena es una secuencia X1, X2, X3,... de va-riables aleatorias. El dominio de estas variables es llamado “espacio estado”; el valor de Xn es el estado del proceso en el tiempo n.

Los elementos mediante los cuales se describe una cadena de Markov son:

Etapas, intervalos de tiempo en los que se observa el comportamiento del sistema

Estados, los posibles escenarios en los que puede encontrarse el sistema

Probabilidad de transición, que es la probabilidad de pasar de un estado a otro de una etapa a la siguiente.

Figura 2. Representación gráfica de una cadena de Markov.

2 HILLIER S. FREDERICK & LIEBERMAN J. GERALD, 2014, “Fundamentos de Investigación de Operaciones, Pp327-

346, México.”, Mc GrawHill.. 3 WINSTON L. WAYNE, 2008, “Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos”, pp923-960, México, CEN-

GAGE Learning,

Matriz De Transición Es la matriz de probabilidad cuyo cuerpo son las probabilidades de que el sistema pase de un estado a otro de una etapa a la siguiente, incluyendo todos los posibles estados, (Hillier & Lieberman, 2010)4

Tabla 1 Matriz de Transición.

t \t+1 Estado 1 Estado 2 Estado 3

Estado 1 P11 P12 P13

Estado 2 P21 P22 P23

Estado 3 P31 P32 P33

pij = probabilidad de que el proceso se encuentre en el estado i, en la etapa t y pase al

estado j en la etapa t+1.

Cadena De Markov Del Modelo De Inventario

ELEMENTOS Etapas: semanas Estado: nivel de inventario al final de la semana, que coincide con la existencia con la que inicia la siguiente semana, se consideran como posibles estados, por su mayor frecuencia de aparición, de acuerdo con los datos proporcionados por la empresa: {0, 20, 40, 60, 80}. Matriz de transición

4 HILLIER S. FREDERICK & LIEBERMAN J. GERALD, 2010, “Introducción a la Investigación de Operaciones”, pp

673-707, México, McGrawHill

Tabla 2. .Forma de la matriz de transición de la pijama MOMO.

t \t+1 0 20 40 60 80

0 P11 P12 P13 P14 P15

20 P21 P22 P23 P24 P25

40 P31 P32 P33 P34 P35

60 P41 P42 P43 P44 P45

80 P51 P52 P53 P54 P55

Los datos que se trabajan corresponden a la pijama para niña talla 5, cuya demanda semanal se ajusta a una distribución de probabilidad Poisson usando el paquete SPSS ver-sión19, esta función se comporta, con aproximación aceptable a los valores que aparecen en la tabla Número 3.

Tabla 3. Demanda semanal pijama niña talla 5.

Demanda Probabilidad

0 0≤d<20 .0003

20 20≤d<40 .5415

40 40≤d<60 .4569

60 60≤d<80 .0012

80 80≤d .0001

Usando estos datos se construye la matriz de transición.

Tabla 4. Matriz de transición de niveles de inventario de una semana a la siguiente

t\ t+1 0 20 40 60 80

0 1 0 0 0 0

20 .9997 .0003 0 0 0

40 .4582 .5415 .0003 0 0

60 .0013 .4569 .5415 .0003 0

80 .0001 .0012 .4569 .5415 .0003

Los datos en la matriz indican, por ejemplo que, si el nivel de inventario en la semana t es 20, la probabilidad de que sea cero en la semana siguiente t+1 es de 0.9997 que corres-

ponde a la probabilidad de que la demanda sea de 20 pijamas o más. El nivel de inventario de una semana a la siguiente se obtiene a partir de la relación:

yt+1 = yt – dt +Q,

Donde yt es el nivel de inventario al final de la semana t, dt corresponde a la demanda que se requiere satisfacer en esa semana y Q es la cantidad de pijamas que se producen du-rante la semana, pero el tamaño de este lote de producción, aún no se ha determinado, se acostumbra establecer a partir de la política de inventario que se elija, esto es, se requiere averiguar cuánto y cuándo es recomendable producir. Para seleccionar la mejor política se recurre a un modelo de producción-inventario5 (Laniado & García, 2006).

Modelo Producción-Inventario El desempeño de las empresas que se dedican a la producción y comercialización de bienes involucra la administración eficiente de los productos, así como de las materias primas que se utilizan en su elaboración. La manipulación de la materia prima mediante procesos que le añaden valor hasta convertirla en un producto terminado implica una serie de actividades que se inician con el pedido de los insumos que se utilizan a lo largo del proceso. Para hacer este pedido es necesario tener claro cuánto pedir y cuándo hacerlo, pero esto no es fácil de-terminar debido a los múltiples factores que están involucrados.

Una empresa necesita tener insumos y/o productos terminados en existencia para sa-tisfacer o al departamento de producción o a los clientes que presentan una demanda. Pero es inoperante tener un almacén lleno, esto representa una inversión improductiva. La em-presa espera una recuperación de su inversión en un tiempo más bien corto. Estos hechos subrayan la importancia de determinar con cuidado el nivel de existencia conveniente en el almacén6 (Martínez & Aristizabal, 2008).

Se pretende recomendar la política de operación que conduce al menor costo en el control del sistema de inventario, propiciando de esta manera un mayor margen de ganan-cia. Se recurre a herramientas de Teoría de Inventarios que se usan para determinar el ta-maño del lote económico (Q = número de pijamas por producir) y el punto de reorden (s = número de pijamas en almacén en el momento de ordenar nuevamente la producción) para con el menor costo posible, “asegurar” la satisfacción de la demanda, (Bustos & Chacón, 2012)7

Figura 3. Gráfica del comportamiento del nivel de inventario en el almacén.

5 LANIADO RODIS HENRY & GARCÍA SUAZA F. ANDRES, 2006, “Modelo producción-Inventario”, Ingeniería y

Ciencia, Vol.2, No.3, pp 51-64. 6 MARTÍNEZ ALEXANDER FREDY & ARISTAZABAL ALEJANDRO, 2008, “Modelos de Inventario”, Bogotá, Uni-

versidad Autónoma de Colombia, 7 BUSTOS FLORES CARLOS ENRIQUE & CHACÓN PARRA GALIA BEATRIZ, 2012, “Modelos de Inventario para

Demanda Independiente”, Contaduría y Administración, Vol. 57, No. 3, Universidad de los Andes, Venezuela.

Variables manejadas en el modelo:

= tasa de producción, capacidad de producción (artículos /tiempo), tp = parte del ciclo dedicada a la producción

E(d) d= demanda esperada >d ( artículo / tiempo), para evitar el crecimiento del défi-cit

td = parte del ciclo sin producción, sólo con demanda Q = tamaño del lote por producir, T = duración del ciclo completo

Relaciones entre las variables que intervienen en el proceso8.

d

Q

d

Qd

QttT,

t

Qd

d

Qdaltura,

t

alturad,

Qt

dpd

pp

,

Se llama modelo de inventario a la ecuación de costo total (CT) por minimizar:

CT = costo por iniciar la producción + costo por inventario, se acostumbra incluir también el costo de producción.

8 Lewis C.D., 1998, “Scientific Inventory Control”, London. University of Birmingham, Haley,

Artículos en el almacén 2

Ψ

QdΨT

en un ciclo, en 1 / T ciclos 2

Qd

2Ψ

QdΨh

Q

dkQCT

Derivando para optimizar, usando las condiciones de Khun-Tucker

0Q

kd2"CT,

dh

kd2*Q0

2

dh

Q

dkQ'CT

32

Lo que significa que la función tiene un mínimo cuando Q* = )d(h

kd2

y el costo mínimo se calcula sustituyendo el valor de Q por el Q* encontrado.

dkdh2

2

dhkd

2

dkdh*QCT

---, )-1(2*

dkdhQCT

Sustituyendo los datos correspondientes al caso de estudio:

Tabla 5 Datos para encontrar los parámetros del Modelo Producción-Inventario.

K 65

H 5

100/semana

d = 40/semana

Cuando se produce un lote Q 40 el costo correspondiente resulta CT = 3,724.90, incluyendo el costo de material, con c = $90. La recomendación derivada de la aplicación del modelo es manejar la producción en lotes de 40 pijamas cada semana, el tiempo de pro-ducción es de 2.8 días, usando esta sugerencia, se construye una nueva matriz de transición, la política de producción sólo indica producir cada semana 40 pijamas.

Tabla 6 Matriz de transición de producir 40 pijamas a la semana.

semanad

QTdías

Qt

cdd

hdkCTdh

dk

p 1,8.24.

90.124)1(2,40)40100(5

)100(40)65(2

)(

2

t \ t+1 0 20 40 60 80

0409 .4582 .5415 .0003 0 0

2060 .0013 .4569 .5415 .0003 0

4080 .0001 .0012 .4569 .5415 .0003

60100 0 .0001 .0012 .4569 .5418

80120 0 0 .0001 .0012 .9987

En dos semanas, las probabilidades de transición se transforman en:

Tabla 7 Matriz de transición de producir 40 pijamas en 2 semanas.

En un mes:

Tabla 8 un mes, respectivamente, usando el modelo Producción-inventario.

t \ t+1 0 20 40 60 80

040 .04515 .2088 .3686 .2908 .08665

2060 .0007 .0453 .2086 .3682 .3772

4080 .00021 .00059 .0453 .2087 .7452

60100 .00003 .00004 .00067 .04616 .9531

80120 .000002 .00001 .000288 .0022 .9975

A la larga, en el estado estable, las probabilidades de los diferentes niveles de inventario son:

(0, 0, .0002, .0024, .9974). Lo que significa que la mayor probabilidad corresponde al nivel de inventario de 80

pijamas, esta política no toma en cuenta la existencia antes de producir, el almacén tiende a

9 El subíndice corresponde al nivel de inventario considerando la inclusión del lote de producción recomendado, en este

caso de 40 pijamas.

t \ t+1 0 20 40 60 80

040 .2106 .4956 .2934 .0003 0

2060 .00124 .2101 .4948 .2935 .00036

4080 .00014 .0012 .21006 .4948 .2938

60100 .000031 .00009 .0012 .2100 .7886

80120 .00002 .00003 .00015 .0018 .9980

permanecer lleno, lo que no es muy conveniente por la inversión sin movimiento, aunque este resultado no proporciona información sobre el nivel de satisfacción al cliente, por la existencia almacenada se deduce que la demanda queda rebasada por la producción. Una forma más clara de manejar la producción consiste en establecer el nivel de inventario al que conviene iniciar nuevamente la producción tratando de asegurar la satisfacción de la demanda, esta política de producción se conoce como (Q, s), consiste en que además de establecer el tamaño del lote Q se calcula el punto de reorden s, que permite, a partir de la existencia, tomar la decisión de producir o no, sin producir indiscriminadamente Q pijamas cada semana. Este punto de reorden se calcula a partir de la demanda durante el tiempo de entrega L, que es el tiempo que tarda en estar disponible la producción, s = E(d)L, en este caso, si L = .4, entonces, E(d)L = 40(.4) = 16 pijamas, con lo que la política de producción sería, si el nivel de inventario es de 16 o menos, producir 40 pijamas, de otra manera, no producir, lo que sugiere sólo producir cuando el almacén está vacío, hecho que transforma la matriz de transición en:

Tabla 9. Matriz de transición cuando el punto de reorden es de 16 pijamas.

Esta matriz conduce al estado estable:

(.6437, .3561, .0002, 0, 0)

Lo que indica que el estado más probable es el que mantiene el almacén vacío, o con

40 pijamas con probabilidad .3561. Como el mayor nivel de inventario Q)ψ

)d(E_ψ( es de

24 pijamas y la probabilidad de que la demanda sea mayor o igual a 20 es de 0.9997, la re-comendación es la misma que antes producir cada semana 40 pijamas, en realidad es el mismo modelo, sólo se ha calculado el punto de reorden, en lugar de manejar la producción con el tiempo tp., que parecía conducir a almacén excedido.

Para contrastar los resultados de este modelo con los de otro también adecuado, se utiliza el siguiente modelo estocástico.

Modelo De Inventario Estocástico

t\ t+1 0 20 40 60 80

040 .4582 .5415 .0003 0 0

20 .9997 .0003 0 0 0

40 .4582 .5415 .0003 0 0

60 .0013 .4569 .5415 .0003 0

80 .0001 .0012 .4569 .5415 .0003

La política generada a partir de este modelo con déficit (Arango, 2009)10se describe a conti-nuación.

Figura 4. Gráfica del comportamiento del nivel de inventario en el almacén.

La ecuación de costo correspondiente es CT = costo por iniciar la producción + co-sto por almacenamiento + costo por déficit; también se incluye el costo de producción.

Q

dy)s,Q(hy

Q

kdCT d + cQ

En donde:

Tabla 10. Datos para encontrar los parámetros del Modelo estocástico.

CT= Costo total

k =65 Costo por iniciar la producción

d=40 Demanda esperada

Q = Tamaño del lote de producción

h =5 Costo por almacenamiento

y Q/2 Nivel de inventario esperado11

=20 Costo por déficit

yd = 2%d Déficit esperado

s= Punto de reorden

c = 90 Costo de material

10 ARANGO MARTÍNEZ CARLOS A., 2009, “Metodología para determinar el Modelo de Inventario”, Bogotá, Universi-

dad Nacional de Colombia. 11 Estimación

r = 250 Precio de venta

r - c = 140 Costo de venta perdida

Cuando se maneja una distribución de Poisson con media > 36,12 (Allende & Gal-bati, 2009) como en este caso sucede, la distribución se puede aproximar mediante una dis-tribución normal con la misma media y misma desviación estándar que la distribución origi-

nal ),(N , con lo que se facilita el manejo del modelo de sistema de inventario estocásti-

co, para el que

2

h

Q

d

2

h

Q

d

L

d )s(F,h

d)y)cr(k(2*Q

Donde FL(s) es la distribución acumulada de la demanda durante el tiempo de entre-ga L, que como se mencionó anteriormente es el tiempo que transcurre entre la orden de producción y la entrega de los artículos terminados, durante el cual puede generarse un déficit13.

En este caso el déficit se calcula a partir de la integral de pérdida normal unitaria

due2

1)u(I 2

u2

usando la tabla correspondiente.

%9.36.0)0573(.4019.1I40s

Iy,4540)19.1(40s,19.1z

882.120

120)s(F,50

5

408).9020(652

h

dy)cr(k2Q

d

5040

5040

2h

Qd

2h

Qd

L

d*

CT = 65(40)/50 + 5(25) +16(.86) + cQ = 148.80 + 4,500 = 4,648.80

El valor de Q, que minimiza el costo es de 50 pijamas, (Díaz, 2012)14, con un punto de reorden de 45, para evitar el déficit, lo que significa que se producen 50 pijamas cuando el nivel de inventario sea de 45 o menos y no se produce en el caso en el que la existencia al final de la semana sea de más de 45 pijamas, se maneja un servicio al cliente de 99%, co-rrespondiendo a un costo total de $4,648.80

La matriz de transición correspondiente a esta política de inventario se calcula me-diante:

Tablas 11 y 12, Estructura y Matriz de transición para una semana,

12 ALLENDE HÉCTOR &GALBIATI JORGE, 2009, “Using Statistics and Statistical Thinking to Improve Organizational

Performance”, International Statistical, Review, vol. 5856, No.2, pp177-184. 13

Demanda no satisfecha 14 DIAZ CORREDERA YUSELIN, 2012, “Administración de Inventario”, Observatorio de la Economía Latino Americana.

No. 168, Centro Universitario Vladimir Ilch Lenin.

Usando el modelo de Inventario estocástico.

t\ t+1 0 20 40 60 80

05015

p(d≥50) p(30≤d<50) p(10≤d<30) 0 0

2070 p(d≥70) p(50≤d<70) p(30≤d<50) p(10≤d<30) 0

4090 p(d≥90) p(70≤d<90) p(50≤d<70) p(30≤d<50) p(10≤d<30)

60 .0013 ..4569 .5415 .0003 0

80 .0001 .0012 .4569 .5415 .0003

t\ t+1 0 20 40 60 80

050 .0058 .9884 .0058 0 0

2070 0 .0058 . .9884 .0058 0

4090 0 0 .0058 . 9884 .0058

60 .0013 ..4569 .5415 .0003 0

80 .0001 .0012 .4569 .5415 .0003

El estado estable que se alcanza es: (.000529, .186321, .406515, .404277, .002358), es

decir, a la larga los niveles de inventario más probables son de 40 y 60 pijamas.

Conclusión El uso de la cadena de Markov, acompañando a la aplicación de un modelo de inventario, permite conocer el nivel de existencia predominante en el almacén a la larga, si se mantiene la aplicación de la política seleccionada, esto significa que aumenta la información propi-ciando mejor selección de alternativas.

La utilización de un modelo de sistema de inventario sugiere una política de produc-ción que conduce a minimizar el costo de mantenimiento y control de inventario. El com-binar este instrumento con la construcción de una cadena de Markov, complementa la in-formación, lo que permite profundizar el análisis.

El modelo estocástico conduce a mejorar el nivel de servicio, aunque aumenta el co-sto de manejo de inventario. En cuanto al modelo de producción-inventario, con la política (Q,s) conduce a menor costo, mantiene el almacén prácticamente vacío, pero no se conoce con certeza el nivel de atención al cliente que se alcanza.

15

El subíndice corresponde al nivel de inventario considerando la inclusión del lote de producción, en este caso de 50 pija-

mas.

Bibliografía Consultada ALLENDE HÉCTOR & GALBIATI JORGE, 2009, “Using Statistics and Statistical Thinking to Improve

Organizational Performance”, International Statistical Review, vol. 5856, No.2, pp177-184.

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BUSTOS FLORES CARLOS ENRIQUE & CHACÓN PARRA GALIA BEATRIZ, 2012, “Modelos de Inventario para Demanda Independiente”, Contaduría y Administración, Vol. 57, No. 3, Univer-sidad de los Andes, Venezuela.

DÍAZ CORREDERA YUSELIN, 2012, “Administración de Inventario”, Observatorio de la Economía Latinoamericana. No. 168, Centro Universitario Vladimir Ilch Lenin.

GALBATI M. Jorge, Distribución Poisson.

HILLIER S. FREDERICK & LIEBERMAN J. GERALD, 2014, “Fundamentos de Investigación de Operaciones”, ,México. Pp327-346, Mc GrawHill

HILLIER S. FREDERICK & LIEBERMAN J. GERALD, 2010, “Introducción a la Investigación de Operaciones”, pp 673-707, México, McGrawHill

LANIADO RODIS HENRY & GARCÍA SUAZA F. ANDRES, 2006, “Modelo producción-Inventario”, Ingeniería y Ciencia, Vol.2, No.3, pp 51-64, Universidad EAFIT de Antioquía.

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MARTÍNEZ ALEXANDER FREDY & ARISTAZABAL ALEJANDRO, 2008, “Modelos de Inventa-rio”, Bogotá, Universidad Autónoma de Colombia.

WINSTON L. WAYNE, 2008, “Investigación de Operaciones. Aplicaciones y Algoritmos”, México, pp 923-960, CENGAGE Learning