Sistema de ecuaciones lineales

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Cap´ ıtulo 1 Sistemas de Ecuaciones Lineales 1. Introducci´ on Una gran variedad de problemas pr´ acticos conllevan a la soluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales. En casos en que el n´ umero de variables y de ecuaciones sea peque˜ no, no existe dificultad alguna al utilizar etodos del algebra elemental para resolver estos sistemas, pero a medida que se consideran m´ as variables o m´ as ecuaciones estos m´ etodos se tornan precarios. El ´ Algebra Lineal surgi´ o precisamente del estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, en cuanto a la existencia de soluciones y tipos de soluciones se re- fiere, y del intento de encontrar m´ etodos eficientes para determinar el conjunto soluci´ on de estos sistemas. Este cap´ ıtulo gira entorno al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales desde diversas perspecti- vas, haciendo ´ enfasis en encontrar soluciones a tres preguntas fundamentales: ¿Cu´ ando un sistema lineal tiene soluci´ on?, de tenerla ¿Cu´ antas soluciones existen y c´ omo determinarlas? y finalmente ¿C´ omo determinar la soluci´ on en forma eficiente? es decir, nos preocuparemos de problemas de existencia de soluciones, tipos de soluciones y desarrollo de algoritmos de c´ alculo 1 . La representaci´ on geom´ etrica de un sistema lineal es limitada, ya que s´ olo es posible realizarla en espacios de dimensi´ on 1, 2 y 3, sin embargo es de gran valor para la comprensi´ on e intuiciones futuras, nos permitir´ a comprender el problema de existencia y tipo de soluciones posibles de un sistema lineal. La representaci´ on algebraica de los sistemas utilizando matrices, nos permite representar en una pri- mera instancia un sistema lineal utilizando solo la data importante del sistema (coeficientes y t´ erminos independientes) y nos acerca a la soluci´ on de las preguntas fundamentales, anteriormente planteadas, por analog´ ıa a las operaciones algebraicas que realizamos con las ecuaciones del sistema, al ir reducien- do las variables de las ecuaciones que lo forman. Esta primera representaci´ on matricial nos facilita, en sistemas lineales de gran tama˜ no, la tediosa manipulaci´ on de las ecuaciones en los procesos de solu- ci´ on (que en ocasiones nos confunden y que es causa fundamental de equivocaciones), permiti´ endonos una f´ acil codificaci´ on del problema y un trabajo mucho m´ as sistem´ atico que conlleva a la construcci´ on de algoritmos de soluci´ on, al mismo tiempo que nos abre caminos para responder a los problemas de existencia y tipo de soluci´ on de un sistema. En una segunda instancia, utilizando el ´ algebra matricial un sistema ser´ a representado mediante una ecuaci´ on matricial, lo que nos dar´ a una nueva visi´ on al problema. La representaci´ on vectorial nos permitir´ a representar un sistema de ecuaciones lineales como una ecuaci´ on vectorial, introduci´ endonos naturalmente a conceptos propios del Algebra Lineal como son: subespacio, conjunto generador, dependencia e independencia lineal, bases y dimensi´ on de subespacios, que nos permitir´ an dar (o confirmar) respuestas a las preguntas fundamentales acerca de los sistemas. 1 En este libro no nos preocuparemos del an´alisis computacional de los algor´ ıtmos presentados, ni de la medici´on de su eficiencia. S´olo dirigir´ emos nuestra atenci´on al estudio de los algor´ ıtmos cl´ asicos y confiaremos en que constituyen una buena forma de determinar la soluci´ on de un sistema. 1

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Capıtulo 1

Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Introduccion

Una gran variedad de problemas practicos conllevan a la solucion de sistemas de ecuaciones lineales.En casos en que el numero de variables y de ecuaciones sea pequeno, no existe dificultad alguna al utilizarmetodos del algebra elemental para resolver estos sistemas, pero a medida que se consideran mas variableso mas ecuaciones estos metodos se tornan precarios. El Algebra Lineal surgio precisamente del estudiode los sistemas de ecuaciones lineales, en cuanto a la existencia de soluciones y tipos de soluciones se re-fiere, y del intento de encontrar metodos eficientes para determinar el conjunto solucion de estos sistemas.

Este capıtulo gira entorno al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales desde diversas perspecti-vas, haciendo enfasis en encontrar soluciones a tres preguntas fundamentales:

¿Cuando un sistema lineal tiene solucion?, de tenerla¿Cuantas soluciones existen y como determinarlas? y finalmente¿Como determinar la solucion en forma eficiente?

es decir, nos preocuparemos de problemas de existencia de soluciones, tipos de soluciones y desarrollo dealgoritmos de calculo1.

La representacion geometrica de un sistema lineal es limitada, ya que solo es posible realizarla enespacios de dimension 1, 2 y 3, sin embargo es de gran valor para la comprension e intuiciones futuras,nos permitira comprender el problema de existencia y tipo de soluciones posibles de un sistema lineal.

La representacion algebraica de los sistemas utilizando matrices, nos permite representar en una pri-mera instancia un sistema lineal utilizando solo la data importante del sistema (coeficientes y terminosindependientes) y nos acerca a la solucion de las preguntas fundamentales, anteriormente planteadas,por analogıa a las operaciones algebraicas que realizamos con las ecuaciones del sistema, al ir reducien-do las variables de las ecuaciones que lo forman. Esta primera representacion matricial nos facilita, ensistemas lineales de gran tamano, la tediosa manipulacion de las ecuaciones en los procesos de solu-cion (que en ocasiones nos confunden y que es causa fundamental de equivocaciones), permitiendonosuna facil codificacion del problema y un trabajo mucho mas sistematico que conlleva a la construccionde algoritmos de solucion, al mismo tiempo que nos abre caminos para responder a los problemas deexistencia y tipo de solucion de un sistema. En una segunda instancia, utilizando el algebra matricial unsistema sera representado mediante una ecuacion matricial, lo que nos dara una nueva vision al problema.

La representacion vectorial nos permitira representar un sistema de ecuaciones lineales como unaecuacion vectorial, introduciendonos naturalmente a conceptos propios del Algebra Lineal como son:subespacio, conjunto generador, dependencia e independencia lineal, bases y dimension de subespacios,que nos permitiran dar (o confirmar) respuestas a las preguntas fundamentales acerca de los sistemas.

1En este libro no nos preocuparemos del analisis computacional de los algorıtmos presentados, ni de la medicion desu eficiencia. Solo dirigiremos nuestra atencion al estudio de los algorıtmos clasicos y confiaremos en que constituyen una

buena forma de determinar la solucion de un sistema.

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2 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2. Las diferentes representaciones del problema

Antes de definir con precision los conceptos basicos de los sistemas de ecuaciones lineales, analicemosuna clasica y sencilla situacion en la que se utilizan sistemas lineales para su modelacion, que proba-blemente usted ha resuelto con algebra elemental, prestando atencion a las diferentes representacionesmatematicas que puede tener, a la forma que toman las preguntas fundamentales, anteriormente enun-ciadas, bajo cada una de estas representaciones y siempre con la vision de lograr una generalizacion alcaso de tener un numero mayor de variables.

Situacion

Supongamos que una compania fabrica tazas y platos de ceramica. Para cada taza o plato un traba-jador mide una cantidad fija de materia prima y la coloca en una maquina que los forma, a continuacionpasa al vidriado y por ultimo al secado automatico. Se ha podido determinar que en promedio un trabaja-dor necesita tres minutos para iniciar el proceso de una taza y dos minutos para un plato. El material parauna taza cuesta $125 pesos y el de un plato $100 pesos. Si se asignan un presupuesto determinado, porejemplo de $22,000 pesos diarıos para la materia prima de las tazas y platos, el fabricante estara intere-sado en saber cuantos platos y tazas se podran fabricar en un dıa de trabajo de 8 horas, suponiendo quesus obreros trabajan cada minuto y se gasta diariamente el total del presupuesto asignado para materiales.

Para la modelacion de esta situacion, elegimos como variables de entrada la cantidad de tazas y platosfabricadas en un dıa de trabajo y variables de salida el tiempo requerido diariamente para la producciony el costo diario de materiales, esto es:

x: Cantidad de tazas fabricadas en un dıa de trabajo.y: Cantidad de platos fabricados en un dıa de trabajo.t: Tiempo requerido diariamente para iniciar la produccion de x tazas e y platos.c: Costo diario de materiales para la produccion de x tazas e y platos.

2.1. Representacion Funcional.

El tiempo total requerido diariamente para iniciar el proceso de elaboracion de x tazas e y platoses de t = 3x + 2y minutos, el costo diario de materiales de las x tazas y los y platos esta dado porc = 125x+ 100y. Lo que define la funcion

f(x, y) = (t, c) = (3x+ 2y, 125x+ 100y)

la cual permite determinar el tiempo de produccion y los costos de materiales, necesarios para la produ-cion de las x tazas e y platos, y dar solucion a las preguntas que el fabricante se formule.

Observe que la funcion f actua sobre vectores de la forma v = (x, y) (es una funcion de variablevectorial) y sus valores son tambien vectores w = (t, c) ( es una funcion de valor vectorial). Este tipo defunciones son denominadas en general campos vectoriales.

Por otra parte, note que x ∈ N0 e y ∈ N0 al representar cada una cantidades de objetos, lo quesignifica que el dominio de f es el conjunto N2

0 ⊂ R2.2

La pregunta a responder, planteada bajo esta representacion funcional, sera: (( ¿Existe un vectorv = (x, y) con coordenadas enteras positivas o cero, tal que f(v) = (480, 22000) ? )),

lo que equivale a dos problemas: determinar la preimagen del vector b = (480, 2200) bajo la funcion f , yelegir las preimagenes que tienen coordenadas enteras positivas, es decir, determinar todos los vectores deldominio de f que son enviados por la funcion al vector b y de ellos seleccionar los que tengan coordenadas

2Recuerde que, N0 = N ∪ {0} y N20 denota el producto cartesiano N0 × N0.

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2. LAS DIFERENTES REPRESENTACIONES DEL PROBLEMA 3

positivas y enteras.

El Algebra Lineal se preocupa principalmente en dar respuesta a la primera cuestion, ya que lasegunda depende de las restricciones de la situacion particular que se desee analizar. Esto implica quese daran solucion a los problemas considerando que las variables toman sus valores en el cuerpo de losnumeros reales (o en el de los complejos) y a continuacion se utilizaran las restricciones que la situacionconsiderada amerite.

Pensando en general, dada cualquier funcion f , resulta obvio que hay solo dos posibilidades: que ftome el valor b o que no lo tome, segun b este o no en el recorrido de la funcion. Si f toma el valor b, elproblema tiene solucion y la pregunta natural es, ¿Cuantos vectores del dominio de f se van en el vectorb al aplicar la funcion?. Pasarıamos del problema de existencia, al problema de decidir el tipo de solucionque se tendrıa: si existe un solo vector cuya imagen por f es b, el problema tendra solucion unica. Losorprendente en este tipo de problemas es que cuando hay solucion, existen unicamente dos posibilidades:la solucion es unica o es infinita 3.

Esto se debe a que las funciones que se utilizan para modelar estos problemas son campos vectorialesmuy particulares: son transformaciones lineales.

El problema del tipo de solucion, bajo la representacion funcional, dependera de las propiedades dela transformacion lineal f que se tenga, concretamente de su inyectividad. Esta representacion funcionalsera estudiada con todo detalle en el capıtulo 4: Transformaciones lineales.

2.2. Representacion Algebraica y Geometrica.

Otra forma de abordar la situacion considerada, es generar a partir de los datos del problema lasecuaciones que x e y deben satisfacer y utilizar las propiedades algebraicas de los numeros reales, con elfin de encontrar una solucion. Para facilitar la construccion de las ecuaciones, es util anotar los datos enuna tabla:

Tazas Platos Total

Tiempo 3 2 480

Costo 125 100 22,000

Note que, x e y deben satisfacer simultanemente las siguientes ecuaciones:

{3x+ 2y = 480

125x+ 100y = 22000con x, y ∈ N0

que al ser consideradas en conjunto, forman lo que se denomina un sistema de ecuaciones. Como cadaecuacion del sistema es lineal (termino que precisaremos mas adelante, pero informalmente significa quelas variables en cada una de estas ecuaciones es de grado 1) diremos que el sistema es un sistema deecuaciones lineales.

Observe, que apartir de la representacion fucional se puede obtener esta representacion algebraica (elsistema de ecuaciones lineales), utilizando el algebra vectorial,

3Esto no contradice el hecho de que la solucion de una situacion real contenga un numero finito de elementos, por

ejemplo 2, 3 o n elementos n 6= 1, ya que cuando se habla de infinitas soluciones se hace referencia a la solucion matematicadel problema, anterior a la consideracion de las restricciones de las variables utilizadas en la modelacion de la situacion, son

estas restricciones precisamente las que transforman el conjunto solucion en uno finito.

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4 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

f(x, y) = (480, 22000)⇔ (3x+ 2y, 125x+ 100y) = (480, 22000)⇔{

3x+ 2y = 480125x+ 100y = 22000

.

Dado un sistema de ecuaciones lineales, antes de invertir recursos en buscar una solucion, la posturaadecuada sera determinar si es necesario usarlos, lo que se traduce en determinar si el sistema tiene o nosolucion.

En nuestro caso particular, la respuesta a esta pregunta puede ser encontrada con el solo hechode considerar la representacion geometrica de cada una de las ecuaciones del sistema. Note que, larepresentacion geometrica de cada una de estas ecuaciones es una recta.

L1 : 3x+ 2y = 480L2 : 125x+ 100y = 22000

.

El querer determinar los valores de x e y que satisfagan ambas ecuaciones, se traduce geometrica-mente en determinar la interseccion entre estas rectas, es decir el conjunto L1 ∩ L2.

Al calcular la pendiente de cada recta se tiene que, la pendiente de L1 es m1 = − 32 y la de L2 es

m2 = − 54 . Puesto que m1 6= m2 las rectas no son paralelas y por tanto se cortan en un solo punto.

Concluyendose, que el problema tiene solucion unica. La solucion se puede estimar graficamente, comose muestra en la figura siguiente,

Solucion x = 80, y = 120

Cuando se tiene un sistema lineal con dos o mas ecuaciones, en el que intervienen unicamente dosvariables, para determinar si el sistema tiene o no solucion y el tipo de solucion que posee (en el caso detenerla), basta con pensar en general, en las posibles posiciones de las rectas en el plano: Todas las rectaspueden ser paralelas y por tanto no existira un punto de interseccion o se intersectan dos a dos en puntosdistintos formando una configuracion poligonal (lo que se traduce en que el sistema no tiene solucion);o todas las rectas pueden intersectarse en un solo punto (lo que significa que el sistema tiene solucionunica); o todas las rectas puedan coincidir (que corresponde a que el sistema tiene infinitas soluciones),como se observa en los graficos siguientes:

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2. LAS DIFERENTES REPRESENTACIONES DEL PROBLEMA 5

Los sistemas no tiene solucion.

Los sistemas tienen solucion: unica e infinitas respectivamente.

Por supuesto, en este caso el problema de existencia y tipos de solucion se resuelve facilmente, porquetenemos la forma de determinar la pendiente de cada una de las rectas del sistema, pero ¿que sucede enel caso de tener mas de dos variables?. Por ejemplo, si se tienen tres variables, sabemos que una ecua-cion lineal de tres variables tiene como representacion geometrica un plano y el sistema serıa entoncesla representacion algebraica del problema de intersectar dos o mas planos en el espacio. ¿Como puedenintersectarse estos planos en el espacio?, serıa ahora la pregunta.

A pesar de que hasta este nivel (tres variables) podemos representar geometricamente las ecuacionesde un sistema lineal, la representacion geometrica es de gran utilidad ya que le da significado al sistema,ahora es facil imaginar que es lo que se desea determinar cuando se busca la solucion de un sistema lineal:el punto de interseccion de los hiperplanos 4 que cada ecuacion representa.

Al saber que un sistema lineal tiene solucion, es el momento de preguntarse ¿como determinar lao las soluciones de un sistema?. Si el sistema tiene pocas variables, podemos recurrir a todo nuestroconocimiento del algebra de los numeros reales y el tratamiento de ecuaciones, y con toda seguridad no sepresentara ningun problema. Las dificultades comienzan cuando el numero de variables y de ecuacionesva aumentando: es usual que con tantas ecuaciones alguna se traspapele (lo que es fatal cuando se quieredeterminar una interseccion), o nos quedemos dando vueltas sin poder hallar la solucion del sistema. Surgeentonces la necesidad de generar procedimientos sistematicos (algorıtmos) que nos permitan soslayar estasdificultades.

En el caso que estamos considerando, no deberıa existir dificultad alguna al aplicar directamente losprocedimientos algebraicos que conocemos, aun mas, los aplicamos en forma automatica, el desafıo sera enprestar especial atencion en los procedimientos que usamos y en la forma en que los realizamos, con elobjetivo de clarificar lo que se hace, de buscar la mejor forma de hacerlo ( en el sentido de evitar que sepresenten las dificultades anteriormente planteadas) y de como generalizarlo al caso de tener sistemas degran tamano.

2.3. Representacion Matricial.

En el trabajo algebraico de las ecuaciones de un sistema surge la necesidad de abstraer los elementosrelevantes que diferencian cada una de las ecuaciones que lo forman, su data numerıca: los coeficientes delas variables y los terminos independientes. De esta abstraccion nace una primera representacion matricialde un sistema lineal.

Ilustremosla con el sistema que estamos considerando,

4Un hiperplano es un subconjunto H de vectores en Rn el cual esta definido por:

H = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn | a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b, b ∈ R, ai ∈ R, i = 1, 2, . . . , n}.

Observe que si se tienen dos variables, el hiperplano H coincide con una recta y cuando se tienen tres variables H coincide

con un plano. Por eso es usual decir, que un hiperplano es la generalizacion del concepto de recta al espacio n-dimensional

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6 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

{3x+ 2y = 480

125x+ 100y = 22000

Si consideramos la matriz A = (aij)2×2, donde aij representa el coeficiente de la variable j en la ecuacion i,

A =

[3 2

125 100

]

denominada matriz de coeficientes del sistema y designamos por

b =

[480

22000

]la matriz de orden 2 × 1, de los terminos independientes en cada ecuacion, el sistema queda codificadoen forma matricial mediante la matriz

[A | b ] =

[3 2 480

125 100 22000

]denominada la matriz aumentada del sistema.

Note que con esta representacion cada operacion realizada con las ecuaciones del sistema se trans-formara en una operacion entre las filas de la matriz, lo que permitira analizar el problema algebraico dela busqueda de soluciones, con la seguridad de no cometer errores en la manipulacion de las ecuacionesy nos permitira sistematizar la busqueda de las mismas. El objetivo principal en este caso, sera poderresponder a las preguntas fundamentales de existencia y tipo de solucion, observando los cambios en lamatriz aumentada, los cuales son un reflejo de la manipulacion algebraica de las ecuaciones.

Una segunda representacion matricial de un sistema lineal se obtendra, al interpretar el sistema ha-ciendo uso del producto matricial y la igualdad. En este contexto, un sistema lineal no es mas que unaecuacion matricial del tipo AX = b.

En nuestro caso, para lograr esta representacion basta con considerar, la matriz A de coeficientes delsistema y designar por,

X =

[xy

]la matriz de variables del sistema. Note que,

AX =

[3 2

125 100

] [xy

]=

[3x+ 2y

125x+ 100y

]es la representacion conjunta del lado izquierdo de las ecuaciones del sistema. Haciendo uso de la igualdadmatricial, el sistema queda finalmente descrito por:

[3 2

125 100

]︸ ︷︷ ︸

A

[xy

]︸︷︷︸X

=

[480

22000

]︸ ︷︷ ︸

b

.

Las soluciones de una ecuacion matricial AX = b dependera de las propiedades de la matriz de coefi-cientes A, en particular, como se mostro en el capıtulo anterior, la ecuacion AX = b tiene solucion unica

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2. LAS DIFERENTES REPRESENTACIONES DEL PROBLEMA 7

cuando la matriz A es una matriz invertible. ¿Que podemos decir cuando la matriz A no es invertible?,¿Que caracterısticas de la matriz A hacen que un sistema tenga o no solucion? seran algunas de laspreguntas de interes bajo esta representacion.

2.4. Representacion Vectorial.

Por ultimo, si utilizamos el algebra vectorial, el sistema lineal que estamos considerando

{3x+ 2y = 480

125x+ 100y = 22000

puede ser representado mediante la ecuacion vectorial[3

125

]x+

[2

100

]y =

[480

22000

].

Si v1 =

[3

125

], v2 =

[2

100

]y b =

[480

22000

]la ecuacion anterior se transforma en

xv1 + yv2 = b donde x, y ∈ R.

En este caso, el problema se transforma en determinar si el vector b de R2 se pueda expresar comola suma de dos multiplos escalares de los vectores v1 y v2.

Las preguntas fundamentales, bajo esta nueva representacion, seran:

Dado un conjunto de s vectores, {v1, v2, . . . , vs} de Rn, ¿Cuando sera posible expresar un vector b de Rnmediante la ecuacion vectorial

b = x1v1 + x2v2 + · · ·+ xsvs

donde xi son numeros reales (o escalares) para i = 1, 2, . . . , s ?.

Dado que un vector b en Rn es de la forma b = x1v1 + x2v2 + · · ·+ xsvs, ¿esta representacion es unica?,¿que condiciones deben satisfacer los vectores v1, v2, . . . , vs para que lo sea?.

¿Que condiciones deben satisfacer los vectores v1, v2, . . . , vs, para que cualquier vector b de Rn puedaexpresarse como suma de multiplos escalares de los vectores v1, v2, . . . , vs?.

Sin duda, la expresion vectorial de un sistema de ecuaciones lineales nos dara una solida vision sobrelo que es un sistema lineal y nos abrira nuevos caminos para explorar las preguntas fundamentales deeste capıtulo.

Finalmente, no podemos continuar, sin observar que la represetacion matricial y vectorial de unsistema lineal, permiten precisar el tipo de funciones que intervienen en su representacion funcional. Noteque si un sistema lineal esta representado funcionalmente por f(X) = b, matricialmente por AX = b yvectorialmente por b = x1v1 + x2v2 + · · ·+ xsvs, entonces

f(X) = AX

o equivalentemente

f(X) = x1v1 + x2v2 + · · ·+ xsvs.

Page 8: Sistema de ecuaciones lineales

8 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Por una parte, el campo vectorial f esta determinado por una matrız A, el cual se puede interpretarcomo el efecto de aplicar una matriz A a los vectores de Rn. Por otra, la funcion f determina todas lassumas de los multiplos escalares de un determinado conjunto de vectores fijos en Rn, que correspondenprecisamente a los vectores columnas de la matriz A.

El estudio detallado de cada una de las representaciones de un sistema lineal, nos permitira darrespuesta a los interrogantes planteados, desde diferentes puntos de vista. Usted notara en el transcursode este estudio, el enrriquecimiento que se obtiene con el cambio oportuno de una representacion a otra.Este capıtulo se dedicara al estudio de la representacion algebraica y matricial. Por extension se dedicara elcapıtulo 3: Espacios vectoriales de dimension finita, al estudio de la representacion vectorial.

Ejercicios 2.1.

1. En un taller de electromecanica se dispone de dos maquinas A y B que elaboran dos productosP1 y P2. Por razones de mantenimiento de las maquinas, A puede operar unicamente 50 horassemanales y B solo 60 horas semanales. Cada unidad de producto P1 debe procesarse 7 horas en lamaquina A y 8 horas en la maquina B, mientras que una unidad del producto P2 necesita 4 horasen la maquina A y 6 horas en la maquina B. Se desea determinar el numero de unidades de cadaproducto que deben producirse semanalmente para lograr la plena ocupacion de las maquinas.

a) Encuentre una funcion f , que permita determinar el tiempo de operacion semanal de cadauna de las maquinas para la elaboracion de los dos productos. En terminos de f , reformulela pregunta que se quiere responder.

b) Determine un sistema de ecuaciones que modele la situacion planteada. Utilice la represen-tacion geometrica de cada una de las ecuaciones del sistema, para responder a las preguntas:¿El sistema tiene solucion?, ¿Que tipo de solucion tiene?. Resuelva el sistema utilizando elalgebra de los numeros reales. Si existe solucion, ¿Es adecuada esta solucion, para responderla pregunta de la situacion real?

c) Determine una ecuacion matricial que modele la situacion planteada. Utilice algebra matri-cial, para responder la pregunta siguiente, ¿ La ecuacion tiene solucion unica?.

d) Determine una ecuacion vectorial que modele la situacion. Reformule la pregunta que sequiere responder a este contexto. Represente geometricamente los vectores utilizados, pararesponder a la pregunta: ¿La ecuacion tiene solucion?

2. En una fabrica textil los requerimientos tecnicos de insumo por unidad de producto para laelaboracion de dos artıculos son: Para el artıculo A1, 15 horas hombre y 1 hora maquina porunidad de producto, para el artıculo A2, 2 horas hombre y 17 horas maquina por unidad deproducto. Si se ha estimado que en el mes siguiente se podra disponer de 790 horas hombre y 390horas maquina, se quiere determinar cual sera el plan de produccion para ese mes: el numero deunidades que se podran producirse con los requerimientos tecnicos que se disponen.

a) Determine un sistema de ecuaciones que modele la situacion planteada. Utilice la represen-tacion geometrica de cada una de las ecuaciones del sistema, para responder a las preguntas:¿El sistema tiene solucion?, ¿Que tipo de solucion tiene?. Resuelva el sistema utilizando elalgebra de los numeros reales. Si existe solucion, ¿Es adecuada esta solucion, para responderla pregunta de la situacion real?

b) Determine una ecuacion matricial que modele la situacion planteada. Utilice algebra matri-cial, para responder la pregunta siguiente, ¿ La ecuacion tiene solucion unica?.

c) Encuentre una funcion f , que permita determinar el tiempo de operacion semanal de cadauna de las maquinas para la elaboracion de los dos productos. En terminos de f , reformulela pregunta que se quiere responder.

d) Determine una ecuacion vectorial que modele la situacion. Reformule la pregunta que sequiere responder a este contexto. Represente geometricamente los vectores utilizados, pararesponder a la pregunta: ¿La ecuacion tiene solucion?

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2. LAS DIFERENTES REPRESENTACIONES DEL PROBLEMA 9

3. Se han tomado los siguientes datos de los registros de una empresa:

Mes 0 2 4 6 8Produccion (miles de dolares) 0 2.9 14.8 39.7 74.3

Para modelar la produccion dependiendo del tiempo, el encargado del departamento de produc-cion basado en su experiencia, supone que la funcion de produccion es del tipo:

P (t) = at4 + bt3 + ct2 + dt+ e.

a) Para determinar la funcion P el encargado genera un sistema de ecuaciones ¿Cual serıa?.b) Represente este sistema matricialmente. ¿ Puede ser que el sistema tenga solucion unica?

¿De que dependerıa?c) Represente el sistema vectorialmente. En este contexto ¿Que se desea determinar?

4. La ecuacion de demanda para cierto artıculo esta dada por 2p+4x = 50 y la ecuacion de la ofertaes 3p−9x = 15, en donde p representa el precio y x la cantidad demandada o suministrada, segunsea el caso. Se desea determinar los valores de x y p en el punto de equilibrio.

a) Encuentre un sistema de ecuaciones que describa la situacion dada. Utilice la representaciongeometrica de cada una de las ecuaciones del sistema, para responder a las preguntas: ¿Elsistema tiene solucion?, ¿Que tipo de solucion tiene?. Si existe solucion, ¿Es adecuada estasolucion en la realidad?

b) Use la representacion matricial, para responder la pregunta siguiente, ¿ La ecuacion tienesolucion unica?.

c) Determine una ecuacion vectorial que modele la situacion. Represente geometricamente losvectores utilizados, para responder a la pregunta: ¿La ecuacion tiene solucion?

5. En cada caso, utilice argumentos geometricos para dar respuesta a las preguntas, ¿El sistematiene solucion? ¿Que tipo de solucion posee?

a)

{2x+ 3y = 4x+ 4y = −1

b)

{2x+ 4y = 54x+ 8y = 7

c)

{2x+ y = 14x+ 2y = 2

d)

{x+ 3y − z = 12x+ y − z = 4

6. Dado el sistema {ax+ by = rcx+ dy = s

Utilizando su representacion matricial, determine condiciones sobre a, b, c, , d ∈ R, para que elsistema tenga solucion unica y determine su solucion.

7. Dado el sistemax1 +3x2 +x3 = 02x1 −x2 +5x3 = 13x1 −3x2 −x3 = −14x1 −2x2 −2x3 = 3

a) Determine su representacion matricial.b) Determine su representacion vectorial.c) Determine su representacion funcional.

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10 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

8. Dado el sistemax +y −z +w = 03x −y +2z +2w = 33x −3y −w −4z = −1

a) Representelo matricialmente.b) Representelo vectorialmente.c) Representelo funcionalmente.

9. Dada la ecuacion matricial 1 −1 32 1 −14 3 1

xyz

=

102

a) Determine su representacion algebraica.b) Determine su representacion funcional.c) Determine su representacion vectorial.

10. Dada la ecuacion matricial 1 12 3−1 1

t srt

=

[01

]

a) Determine su representacion algebraica.b) Determine su representacion funcional.c) Determine su representacion vectorial.

11. Dada la ecuacion vectorial

α

12−1

+ β

101

=

110

a) Determine su representacion algebraica.b) Determine su representacion matricial.c) Determine su representacion funcional.

12. Dada la ecuacion vectorial

α

103

+ β

111

+ δ

02−1

=

000

a) Determine su representacion algebraica.b) Determine su representacion matricial.c) Determine su representacion funcional.

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3. SISTEMAS LINEALES: REPRESENTACION ALGEBRAICA 11

3. Sistemas lineales: Representacion algebraica

Las definiciones y algorıtmos presentados en esta secccion no varıan si en lugar de considerar el cuerpode los numeros reales R, se considera el cuerpo de los numeros complejos C (o cualquier otro cuerpo) yen lugar de utilizar el algebra de numeros reales se utiliza el algebra de los numeros complejos.

Definicion 3.1. Dados a1, a2, . . . , an ∈ R y b ∈ R una ecuacion de la forma

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b

se denomina ecuacion lineal de orden n.

Los numeros fijos, a1, a2, . . . , an que acompanan las variables, se denominan coeficientes de la ecua-cion y b termino independiente.

En general, podemos decir que una ecuacion de la forma

a1f1(x1) + a2f2(x2) + · · ·+ anfn(xn) = b

donde a1, a2, . . . , an son numeros reales y f1, f2, . . . , fn son funciones reales, es una ecuacion lineal si ysolo si fi(xi) = xi para cada i = 1, . . . , n.

Las ecuaciones

2x+ 3y = 1,√

2s+ 3t = π, (3 + 2i)z + 3iw = 2,

son ecuaciones lineales de orden 2 (las dos primeras son ecuaciones lineales en R y la tercera es unaecuacion lineal en C), mientras que las ecuaciones

2√x+ 3y = 1,

√2x+ 3ey = π

no lo son, puesto que en la primera ecuacion f1(x) =√x 6= x y en la segunda f2(y) = ey 6= y.

Observe que, por la conmutatividad de la adicion de los numeros reales, el orden de los terminos enuna ecuacion no es relevante. Sin embargo, para el estudio de las ecuaciones lineales se conviene establecerun orden, lo que se ve reflejado en los subindices que aparecen en la definicion. Ası por ejemplo, en laecuacion

3x− 2y + z − 5w = 2

la variable x1 es la variable que aparece en el primer sumandose la ecuacion, esto es x1 = x, la variablex4 = w ya que es la variable del cuarto sumando de la ecuacion y ası sucesivamente. Esta distincion esimportante para poder referirse en forma precisa a las soluciones de una ecuacion lineal.

Definicion 3.2. Dada una ecuacion lineal a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b de orden n, decimos que unvector (s1, s2, . . . , sn) ∈ Rn es una solucion de la ecuacion si y solo si

a1s1 + a2s2 + · · ·+ ansn = b

es una proposicion verdadera.

Al conjunto de todos los vectores de Rn que verifican la ecuacion lineal se le denomina conjuntosolucion y se denota por: Cs.

Ejemplo 3.1. Dada la ecuacion lineal de orden 2, 3x + y = 4, el vector (0, 4) ∈ R2 es una solucionde la ecuacion, ya que si x1 = x = 0 y x2 = y = 4 se tiene que la proposicion 3 · 0 + 4 = 4 es verdadera.

Mientras que el vector (1, 3) ∈ R2 no es solucion de la ecuacion, debido a que si x = 1 e y = 3 laproposicion 3 · 1 + 3 = 4 es falsa.

Page 12: Sistema de ecuaciones lineales

12 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Para que un vector (x, y) de R2 pertenezca al conjunto solucion de la ecuacion lineal 3x + y = 4 esnecesario que,

y = 4− 3x

donde x toma cualquier valor en R. Utilizando la suma de vectores de R2 y el producto por un escalar,este conjunto queda expresado mediante la ecuacion vectorial,

(x, y) = (x, 4− 3x) = (0, 4) + x(1,−3), x ∈ R.

De este modo, el conjunto solucion de la ecuacion lineal 3x+ y = 4 es,

Cs = {(0, 4) + x(1,−3) | x ∈ R}

cuya representacion geometricamente es una recta: la recta que pasa por el punto P = (0, 4) en la direcciondel vector v = (1,−3).

Es usual que el conjunto solucion de una ecuacion lineal se exprese en forma vectorial.

Ejemplo 3.2. Para determinar el conjunto solucion de la ecuacion lineal de orden 3,

x+ 2y − z = 3

despejamos cualquiera de las variables de la ecuacion, por ejemplo x

x = 3− 2y + z.

Observe que en este caso las variables y y z son variables libres o parametros, lo que significa que puedentomar cualquier valor en el conjunto de los numeros reales, y x depende de los valores asignados a estasdos variables. El conjunto solucion en este caso dependera de dos parametros.

Utilizando la suma de vectores y el producto escalar de R3, se tiene que un vector (x, y, z) ∈ R3

pertenece al conjunto solucion si y solo si

(x, y, z) = (3− 2y + z, y, z) = (3, 0, 0) + y(−2, 1, 0) + z(1, 0, 1), y, z ∈ R.

Concluyendose que el conjunto solucion de la ecuacion lineal dada es

Cs = {(3, 0, 0) + y(−2, 1, 0) + z(1, 0, 1) | y, z ∈ R},

el cual representa geometricamente un plano en R3: el plano que pasa por el punto P = (3, 0, 0) yesta generado por los vectores v = (−2, 1, 0) y u = (1, 0, 1).5

Definicion 3.3. Un sistema de ecuaciones lineales de orden m× n es un conjunto de m ecuacioneslineales de orden n, el cual se representa explicitamente por,

S :

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

donde aij ∈ R, para todo i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n, y bk ∈ R para todo k = 1, 2, . . . ,m.

5Para un repaso del algebra y geometrıa vectorial, ver el apendice: Geometrıa vectorial.

Page 13: Sistema de ecuaciones lineales

3. SISTEMAS LINEALES: REPRESENTACION ALGEBRAICA 13

Los numeros aij se denominan los coeficientes del sistema lineal y los bk terminos indepen-dientes. Los xi son las variables del sistema.

Observe que para nombrar los coeficientes del sistema se hace referencia a dos subındices: i, j, queindican respectivamente la ecuacion lineal a la cual pertenece y la variable que acompana. Ası, aij sera elcoeficiente de la variable j en la ecuacion i del sistema.

Ejemplo 3.3. Dado el sistema lineal de orden 2× 3{3x+ 2y + 3z = 1

4x+ 3y − 5z = −1

el coeficiente a23 = −5, que es el numero que en la ecuacion 2 del sistema acompana a la variable 3 (lavariable z).

Definicion 3.4. Un vector (s1, s2, . . . , sn) ∈ Rn es una solucion del sistema S si y solo si es solucionde cada una de las ecuaciones lineales del sistema.

Al conjunto de todas las soluciones de un sistema lineal se le denomina conjunto solucion delsistema y se denota por: CS .

Un vector (s1, s2, . . . , sn) ∈ Rn sera una solucion del sistema S si al darle a cada variable xi el valor si,para todo i = 1, 2, . . . n, en cada una de las ecuaciones del sistema, se obtienen proposiciones verdaderas.Lo que equivale a que el vector (s1, s2, . . . , sn) pertenece a la interseccion de los conjuntos soluciones delas ecuaciones lineales que forman el sistema. Por tanto

CS = Cs1 ∩ Cs2 ∩ · · · ∩ Csmdonde Csk , k = 1, 2, . . . ,m, representa el conjunto solucion de la k − esima ecuacion del sistema S deorden m × n. De este modo, determinar el conjunto solucion de un sistema lineal es encontrar la inter-seccion de los conjuntos soluciones de las ecuaciones lineales del sistema.

Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene solucion se dice que es inconsistente y si tiene sedice que es consistente. Por tanto, dado un sistema lineal S, si CS = ∅ el sistema es inconsistente, y siCS 6= ∅ el sistema es consistente.

Definicion 3.5. Diremos que dos sistemas lineales S1 y S2 son equivalentes si tienen el mismoconjunto solucion. En tal caso escribimos: S1 ≈ S2. Ası,

S1 ≈ S2 si y solo si CS1= CS2

.

Ejemplo 3.4. Los sistema lineal de orden 2× 2

S1 :

{3x+ 5y = 1

2x+ 10y = 4S2 :

{3x+ 5y = 1

x+ 5y = 2

difieren en la segunda ecuacion, pero una ecuacion se puede obtener de la otra multiplicando a amboslados de la igualdad por un numero: por 1

2 si se considera el sistema S1 o por 2 si se considera S2. Comoal multiplicar una ecuacion por un numero real distinto de 0, el conjunto solucion de la ecuacion linealno cambia, se tiene que la interseccion de los conjuntos solucion de las ecuaciones del sistema S1 y lainterseccion de los conjuntos solucion de las ecuaciones del sistema S2 es la misma, luego CS1 = CS2 yS1 ≈ S2.

Page 14: Sistema de ecuaciones lineales

14 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3.1. Operaciones elementales.

Dado un sistema S de orden m × n, utilizando las propiedades algebraicas de los numeros reales,podemos darnos cuenta que existen tres tipos de operaciones que permiten obtener sistemas equivalentes,las cuales denominaremos operaciones elementales. Estas son:

1. Intercambio de ecuaciones.2. Multiplicar una ecuacion por un numero distinto de cero.3. Multiplicar una ecuacion por un numero y sumarlo a otra ecuacion.

Determinar el conjunto solucion de un sistema lineal S es construir una sucesion de sistemas equi-valentes, S1, S2, . . . , Sr, cada vez mas simples, de forma tal que las soluciones del sistema se puedandeterminar a partir del sistema Sr por sustitucion o por simple inspeccion, como se puede observar en elejemplo siguiente.

Ejemplo 3.5. Determine el conjunto solucion del sistema lineal de orden 3× 3

S :

x+ y − z = 1

3x+ y + z = 2

5x+ y + 3z = 3

Solucion

De acuerdo a lo anterior, para encontrar las soluciones del sistema S determinamos sistemas equiva-lentes utilizando operaciones elementales.

Si se multiplica la primera ecuacion del sistema S por −3 y se suma termino a termino con la segundaecuacion, se obtiene el sistema S1 el cual es equivalente a S

S ≈ S1 :

x+ y − z = 1

−2y + 4z = −1

5x+ y + 3z = 3

.

Si ahora se multiplica por −5 la primera ecuacion del sistema S1 y se suma miembro a miembro con latercera ecuacion, se tendra un sistema S2 equivalente a S1, que por transitividad es a su vez es equivalentea S,

S ≈ S1 ≈ S2 :

x+ y − z = 1

−2y + 4z = −1

−4y + 8z = −2

.

Si a continuacion, se multiplica la tercera ecuacion del sistema S2 por 12 , se obtiene un sistema S3

equivalente a S2 y a todos los anteriores,

S ≈ S1 ≈ S2 ≈ S3 :

x+ y − z = 1

−2y + 4z = −1

−2y + 4z = −1

.

Note que las dos ultimas ecuaciones del sistema S3 son iguales, lo que significa geometricamente, que delos tres planos que forman el sistema S dos son iguales, como la interseccion de dos planos no puede serun punto, se concluye que si el sistema S tiene solucion esta no es unica.

Si se multiplica por −1 la segunda ecuacion de S3 y se suma con la tercera, se tiene el sistema S4,

Page 15: Sistema de ecuaciones lineales

3. SISTEMAS LINEALES: REPRESENTACION ALGEBRAICA 15

S ≈ S1 ≈ S2 ≈ S3 ≈ S4 :

x+ y − z = 1

−2y + 4z = −1

0 = 0

.

en el cual ya no aparecen tres ecuaciones si no dos, en total coherencia con lo observado geometricamen-te: hay dos planos y no tres. Preste atencion al significado de las dos ecuaciones de S4. Observe que losdos planos representados por las ecuaciones son diferentes y no paralelos, debido a que tienen vectoresnormales no paralelos: (1, 1,−1) y (0,−2, 4) respectivamente, lo que permite concluir que su intersecciones una recta, lo que corresponde algebraicamente a que el sistema tiene infinitas soluciones las cualesdependeran de una variable: el parametro que sirve para describir vectorialmente la recta interseccion.

Finalmente, multiplicando la segunda ecuacion del sistema S4 por 12 obtenemos el sistema S5,

S ≈ S1 ≈ S2 ≈ S3 ≈ S4 ≈ S5 :

x+ y − z = 1

y − 2z = 12

0 = 0

.

Utilizando el sistema S5, se puede determinar el conjunto solucion del sistema S, de la siguiente manera:

Se despeja la variable y en la ecuacion dos para obtener y en terminos de z,

y =1

2+ 2z,

la variable y se sustituye en la ecuacion 1 y se determina x en terminos de z

x = 1− y + z = 1−(

1

2+ 2z

)+ z =

1

2− z.

Los valores de las variables x e y dependen de los valores de la variable z, esto da origen a una distin-cion entre estos dos tipos de variables:en general, las variables dependientes se denominaran variablesbasicas y las variables independientes variables libres o parametros. En el caso del sistema que seesta considerado x e y son las variables basicas y z el parametro.

Un vector (x, y, z) de CS es de la forma

(x, y, z) =

(1

2− z, 1

2+ 2z, z

)=

(1

2,

1

2, 0

)+ z(−1, 2, 1) donde z ∈ R.

El conjunto solucion del sistema S esta dado por:

CS =

{(1

2,

1

2, 0

)+ z(−1, 2, 1) | z ∈ R

}y representa la recta de R3 que pasa por el punto Q = ( 1

2 ,12 , 0) en la direccion del vector v = (−1, 2, 1).

Ejemplo 3.6. Suponga que dos productos P1 y P2 compiten. La demandas d1 y d2 de estos productosestan relacionadas a sus precios p1 y p2 por las ecuaciones de demanda

d1 = 17− 2p1 +1

2p2 y d2 = 20− 3p2 +

1

2p1.

Las ecuaciones de la oferta son

p1 = 2 + d1 +1

3d2 y p2 = 2 +

1

2d2 +

1

4d1.

Page 16: Sistema de ecuaciones lineales

16 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

que dan los precios a los cuales las cantidades d1 y d2 estaran disponibles en el mercado. En el punto deequilibrio del mercado, las cuatro ecuaciones deben satisfacerse, ya que la demanda y la oferta deben seriguales.

Para determinar los valores de equilibrio para d1, d2, p1 y p2, es necesario resolver un sistema de ecua-ciones.

Ordenando las ecuaciones, se obtiene el sistemad1 + 2p1 − 1

2p2 = 17d2 − 1

2p1 + 3p2 = 20−d1 − 1

3d2 + p1 = 2− 1

4d1 − 12d2 + p2 = 2

Multiplicando la tercera ecuacion por −1 y la cuarta ecuacion por −4, se tiene el sistema equivalented1 + 2p1 − 1

2p2 = 17d2 − 1

2p1 + 3p2 = 20d1 + 1

3d2 − p1 = −2d1 + 2d2 − 4p2 = −8

Manteniendo fija la primera ecuacion, y restandola a la tercera y cuarta se obtiene el sistema equivalented1 +2p1 − 1

2p2 = 17d2 − 1

2p1 + 3p2 = 2013d2 − 3p1 + 1

2p2 = −192d2 − 2p1 − 7

2p2 = −25

.

Manteniendo fija las dos primeras ecuaciones, restandole a la tercera ecuacion la segunda ecuacion mul-tiplicada por 1

3 y restandole a la cuarta la segunda ecuacion multiplicada por −2 se tiene, el sistemaequivalente

d1 +2p1 − 12p2 = 17

d2 − 12p1 + 3p2 = 20

− 176 p1 − 1

2p2 = − 776

−p1 − 192 p2 = −65

.

Multiplicando la cuarta ecuacion por −1 e intercambiandola por la tercera se tiene,d1 +2p1 − 1

2p2 = 17d2 − 1

2p1 + 3p2 = 20p1 + 19

2 p2 = 65− 17

6 p1 − 12p2 = − 77

3

.

Multiplicando la ecuacion 3 por 176 y sumandola a la 4, se obtiene el sistema triangular

d1 +2p1 − 12p2 = 17

d2 − 12p1 +3p2 = 20p1 + 19

2 p2 = 6531712 p2 = 317

2

Para obtener el valor de p2 basta multiplicar la cuarta ecuacion de este sistema por 12317 . Utilizando

sustituciones regresivas en el sistemad1 +2p1 − 1

2p2 = 17d2 − 1

2p1 +3p2 = 20p1 + 19

2 p2 = 65p2 = 6

Page 17: Sistema de ecuaciones lineales

3. SISTEMAS LINEALES: REPRESENTACION ALGEBRAICA 17

se obtienen los valores d1 = 4, d2 = 6, p1 = 8 y p2 = 6, que seran las soluciones para el punto de equilibriodel mercado.

Es conveniente, que antes de seguir adelante, se resuelvan algebraicamente varios sistemas de ecuacio-nes lineales de orden cada vez mayor, con el proposito de que se puedan experimentar las dificultades delos tratamientos algebraicos de los sistemas y que se genere la necesidad de encontrar un procedimientosistematico mas eficiente para determinar su conjunto solucion.

Ejercicios 3.1.

1. Determine si las ecuaciones dadas, son lineales o no en las variables x, y, z. Justifique con preci-sion.

a) 3x+ 2y = 5− z + 2x

b)√

2x+ y = πzc) x+ y−1 − z = 0d) (ln 2)x+ ln 2y = 3z − 2

e) (arctan 1)x+ y cosπ =√

3z + 2π

2. En cada caso, encuentre el conjunto solucion de cada una de las ecuaciones lineales. ¿Que repre-senta geometricamente?

a) 2x+ 3y = 3− 2yb) 3x− 2y = y − xc) 3x = 3x− y + 1d) z − 5x− y = 4− ze) x+ 2y + 3z = 0f ) x+ 3y + 2z = 2− w

3. Utilizando un cambio de variable y determinando las restricciones sobre las variables que hacenvalido este cambio, transforme cada una de las ecuaciones no lineales, a una ecuacion lineal quetenga el mismo conjunto que la ecuacion no lineal dada.

a) x+ 1y = z−1

b) sinx+ 3 cos y = 1c) 2

x + 3y + 3z = 1

d) x2 + y2 + z2 = 10e) x2 − 2x+ y2 − 4x− 4 = 0f ) cosx+ 2 sin y − z2 − 2z = 0

4. Compruebe que, todo vector (x, y, z) ∈ R talque, x = −2 − 2z, y = 3 + z y z ∈ R satisface elsistema {

x+ y + z = 12x+ 3y + z = 5

5. ¿Todo vector de la forma(

23 ,

23 , 0, 0

)+z(

43 ,−

13 , 1, 0

)+w (0, 0, 0,−1) con z, w ∈ R, es una solucion

del sistema {x− y + z − w = 02x+ y + 3z + w = 2

?

Page 18: Sistema de ecuaciones lineales

18 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

6. Sin resolver los sistemas, demuestre que son equivalentes x1 − x2 + x3 = 12x1 + 2x2 − 3x3 = −23x1 − 4x2 − 4x3 = 1

2x1 + 2x2 − 3x3 = −24x1 − 4x2 + 4x3 = 45x2 + 2x3 = −2

7. ¿Para que valores de a ∈ R el sistema{ax1 + x2 = 1x+ ax2 = −2

tiene solucion unica?

8. Determine el conjunto solucion de cada uno de los sistemas lineales dados

a)

x− y + z = 22x+ y − 3z = 1x− 2y + z = 0

b)

{x− y + 3z − 2w = 12x− 3y + z + w = 0

c)

x+ y − z = 0

−x− 3y + z = 1

x+ y + z = 2

d)

2x+ 4y + 6z = 18

4x+ 5y + 6z = 24

2x+ 7y + 12z = 30

e)

2y + 3z = 4

2x− 6y + 7z = 15

x− 2y + 5z = 10

9. Demuestre que el sistema

x1 − 4x2 + 9x3 = r

x1 + 2x2 − x3 = s

2x1 + x2 + 3x3 = t

tiene solucion para todo r, s, t ∈ R que satisfacen r = 2t− 3s.

10. Encuentre un sistema lineal de orden 2× 2 cuyo conjunto solucion sea

{(0, 3) + t(1,−2) | t ∈ R} .

11. Encuentre un sistema lineal de orden 3× 3 cuyo conjunto solucion sea

{(0, 1, 2) + t(1, 1,−1) | t ∈ R}

12. Por sustitucion, determine las soluciones de cada uno de los sistemas triangulares dados

Page 19: Sistema de ecuaciones lineales

3. SISTEMAS LINEALES: REPRESENTACION ALGEBRAICA 19

a)

x+ y + z = 102y + z = 1

z = 2

b)

{x− 2y + z = 3

y + z = −1

c)

a+ b− c− d = 1

b+ c+ d = 0c− d = 0

d = 1

d)

2u− 3v + w + t = 0

v + w + t = 12w − 3t = 0

2t = 1

e)

x = 12x+ y = 2

3x+ 4y − z = 0

f )

a = −212a+ b = 3

− 32a+ 1

2b+ 2c = 5

13. Determine, si existe, la interseccion de las rectas de ecuacion x+ 2y = 2 y 2y − x = 4.

14. La senora Rodrıguez esta mudando su biblioteca, al empacar los libros observa que si coloca 7libros en cada caja, dejara uno afuera. Por otro lado, si pone 8 libros en cada caja, la ultima cajasolo contendra un libro. ¿Cuantas cajas y cuantos libros hay en la biblioteca?

15. Nicolas y Claudia estan jugando a las cartas. Al inicio cada uno tiene la misma cantidad decartas. Durante la primera ronda Nicolas gano 20 cartas, pero durante la segunda ronda perdio 2

3de las que tenıa al comenzar. Al final de la segunda ronda, Claudia tiene tres veces las cartas quetiene Nicolas. ¿Cual era la cantidad total de cartas que se tenıan?

16. Determine la ecuacion de una parabola con eje vertical en el planlo XY, que pasa por los puntosP (1, 1), Q(−1, 3) y R(2, 5).

17. Determine la ecuacion del plano que contiene los puntos P (1, 1, 2), Q(0, 1, 2) y R(−1, 0, 1).

18. Determine la ecuacion del hiperplano de R4 que contiene los puntos: P (1,−1, 1,−1), Q(0, 3, 1, 1)y R(2, 3, 1, 0) y pasa por el origen.

19. Determine constantes A y B tales que

1

(x− 2)(x+ 4)=

A

x− 2+

B

x− 4

20. La demanda semanal del mercado de un determinado producto esta expresada por la funcionlineal: q = 16− p y el suministro semanal al mercado por la funcion lineal: q = −4 + 2p.

a) ¿Cual es el precio de equilibrio del mercado?

Page 20: Sistema de ecuaciones lineales

20 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

b) Si el exceso de demanda esta definido como la diferencia algebraica entre la cantidad deman-dada y la cantidad suministrada a un precio de mercado dado, ¿cual es el exceso de demandacuando el precio es de 3 unidades monetarias?

c) Si el exceso de suministro esta definido como la diferencia algebraica entre la cantidad sumi-nistrada y la demanda a un precio de mercado dado, ¿cual es el exceso de suministro cuandoel precio es de 5 unidades monetarias?

d) Grafique las dos funciones indicando los valores pedidos en los items anteriores.

21. La demanda de cierto producto agrıcola esta dada por p + 5q = 21, y el suministro proyectadoes, p− 2q = 7.

a) ¿ Cuales son el precio y la cantidad de equilibrio?b) ¿Cual es el precio mas bajo en que no se vendera unidad alguna?c) Si el gobierno comprase todo lo que se le ofreciera a $ 16, ¿cuanto se suministrarıa a ese

precio y cuanto serıa pedido por los consumidores?

22. Las ecuaciones de la oferta y la demanda de cierto artıculo son: 3p + 5x = 200 y 7p − 3x = 56,respectivamente.

a) Determine los valores de x y p en el punto de equilibrio del mercado.b) Si se impone un impuesto sobre las ventas de 12 % en cada artıculo. Determine los nuevos

valores de equilibrio e interprete geometricamente.

23. La interseccion de los tres hiperplanos x+y+z+w = 6, x+z+w = 4 y x+z = 2 de R4 ¿Es unarecta, un punto o un conjunto vacıo? ¿Cual es la interseccion si se incluye el hiperplano x = −1.

24. ¿ Que condiciones deben cumplirse para que los puntos (0, a), (1, b) y (−1, c) esten en lınea recta?

25. ¿Para que valores de α ∈ R, el conjunto solucion del sistema{αx+ 3y = 03x+ αy = 0

representa una recta?

26. En cada caso, encuentre un cambio de variable que transforme el sistema no lineal dado en unolineal y utilıcelo para determinar las soluciones del sistema no lineal.

a)

1x −

1y = −1

3x −

1y = 3

b)

{2x2 − 4y2 = 23x2 − y2 = 3

c)

{ln(xy) = 2

ln(xy

)= 1

d)

{2x+1 − 3y = 1

2x+2 − 3y+1 = 0

e)

tanx− sin y + cos z = 2tanx− 2 sin y = 2sin y − cos z = −1

Page 21: Sistema de ecuaciones lineales

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PRIMERA REPRESENTACION MATRICIAL 21

4. Sistemas de ecuaciones lineales: Primera representacion matricial

Para sistematizar el procedimiento de busqueda de soluciones de un sistema, es conveniente hacer uncambio en la forma en que se representa. El primer paso, consiste en abstraer su data numerica y utilizarmatrices para su representacion.

Dado el sistema S de orden m× n

S :

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

se construye una matriz A = (aij)m×n con los coeficientes del sistema, en donde aij representa el coefi-ciente en la ecuacion i de la variable j, explicitamente

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

......

am1 am2 · · · amn

.Esta matriz es denominada matriz de coeficientes del sistema S y es una completa representacion dela informacion del lado izquierdo (antes de los signos de igualdad) de las ecuaciones del sistema.

Si a la matriz A se le adiciona una columna, y en ella se coloca el vector columna

b =

b1b2...bn

formado por los terminos independientes de cada ecuacion, el sistema S queda representado por la matriz

[A | b ] de orden m× (n+ 1) dada por,

[A | b ] =

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2...

......

......

am1 am2 · · · amn bm

la cual se denomina matriz aumentada del sistema S. Esta matriz contiene toda la data relevante delsistema S: las filas contienen la data numerica de las ecuaciones del sistema. Observe que se ha utilizadouna linea vertical para separar los coeficientes de las ecuaciones de sus terminos independientes, esto noes necesario y solo se hace para facilitar el paso a la representacion algebraica de los sistemas.

Ejemplo 4.1. En el sistema

S :

x+ y − z = 1

3x+ y + z = 2

5x+ y + 3z = 3

la matriz de coeficientes del sistema es la matriz

Page 22: Sistema de ecuaciones lineales

22 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

A =

1 1 −13 1 15 1 3

,el vector de terminos independiente es el vector b =

123

y el sistema S quedara representado por la

matriz ampliada

[A | b ] =

1 1 −1 13 1 1 25 1 3 3

.Ejemplo 4.2. Si la matriz aumentada de un sistema es

1 −1 2 1 −3 20 2 1 1 −1 32 −1 3 −2 4 11 5 1 1 0 3

su representacion algebraica esta dada por

x1 −x2 +2x3 +x4 −3x5 = 22x2 +x3 +x4 −x5 = 3

2x1 −x2 +3x3 −2x4 +4x5 = 1x1 +5x2 +x3 +x4 = 3

Puesto que la matriz aumentada de un sistema representa fielmente todas sus ecuaciones, de inme-diato se puede observar que toda operacion elemental aplicada sobre un sistema S, se transforma en unaoperacion sobre las filas de su matriz ampliada, operacion que denominaremos Operacion elementalde fila.

4.1. Operaciones elementales de fila.

Las operaciones elementales de fila pueden ser definidas en forma general para cualquier matrizA ∈Mm×n(R)6 , sea que represente o no a un sistema de ecuaciones lineales.

Existen tres operaciones elementales de fila: Intercambio de fila, escalamiento y reduccion.

Si representamos la matriz A = (aij)m×n por medio de sus vectores fila,

A =

F1

F2

...Fi...Fj...Fm

las operaciones elementales de fila quedan definidas de la siguiente manera:

6Las operaciones que se van a definir, no cambian si considera A ∈Mm×n(C)

Page 23: Sistema de ecuaciones lineales

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PRIMERA REPRESENTACION MATRICIAL 23

Intercambio de filas. Un intercambio de filas es la funcion ρ : Mm×n(R) → Mm×n(R) definidapor:

ρ(A) =

F1

F2

...Fj...Fi...Fm

Esta operacion consiste en permutar (intercambiar) dos filas en una matriz.

Si en una matriz se intercambia la fila i con la fila j se escribe: Fi ↔ Fj para indicar la operacionrealizada.

Escalamiento. Dado α ∈ R − {0} un escalamiento es la funcion ρ : Mm×n(R) → Mm×n(R)definida por:

ρ(A) =

F1

F2

...αFi

...Fm

.

Esta operacion consiste en multiplicar una fila de A por un numero distinto de cero.

Si la fila i de una matriz se multiplica por α 6= 0, para indicar esta operacion, se escribe: αFi.

Reduccion. Dado α ∈ R una reduccion es la funcion ρ : Mm×n(R)→Mm×n(R) definida por:

ρ(A) =

F1

F2

...Fi...

Fj + αFi...Fm

Esta operacion consiste en un escalamiento, la suma de dos filas y una sustitucion.

Si el vector fila Fi de A se multiplica por α, se obtiene el vector αFi; si a continuacion estevector se suma con el vector fila Fj se genera el vector Fj + αFi el cual sustituye al vector Fjde A para obtener la matriz B = ρ(A) que es una reduccion de la matriz A. Esta operacion sedenota por: Fj + αFi, (indicando explicitamente cual fila es multiplicada por el escalar α y cuales la fila sustituida).

Page 24: Sistema de ecuaciones lineales

24 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definicion 4.1. Dos matrices A y B en Mm×n(R) se dicen equivalentes por filas, si existe unasucesion de operaciones elementales de fila ρ1, ρ2, . . . , ρs tal que,

B = (ρs ◦ ρs−1 ◦ · · · ◦ ρ2 ◦ ρ1)(A) = ρs(ρs−1(· · · (ρ2(ρ1(A))))).

Dos matrices seran equivalentes por filas, si una se obtiene a partir de la otra aplicando sucesiva-mente operaciones elementales de fila. Si las matrices A y B son equivalentes por filas se escribira: A ≈ B.

En los ejemplos siguientes se determinara la solucion de un sistema lineal mediante su representacionmatricial y la aplicacion sucesiva de operaciones elementales de fila. Preste especial atencion a las carac-terısticas de la matriz con la cual se puede determinar si el sistema es o no consistente.

Ejemplo 4.3. Determine el conjunto solucion del sistemax+ 2y + z = 1

−x− y − z = 0

x+ 5y + 2z = 2

Solucion

A partir de la matriz aumentada del sistema:

[A | b ] =

1 2 1 1−1 −1 −1 01 5 2 2

aplicamos operaciones elementales de fila de la siguiente forma: 1 2 1 1

−1 −1 −1 01 5 2 2

≈F2 + F1

1 2 1 10 1 0 11 5 2 2

Note que la operacion de fila aplicada, equivale algebraicamente a haber eliminado la variable x de lasegunda ecuacion del sistema. Es conveniente ir indicando en cada paso las operaciones elementales defila realizadas, ya que esto facilita el proceso de revision de los calculos numericos.

1 2 1 10 1 0 11 5 2 2

≈F3 + (−1)F1

1 2 1 10 1 0 10 3 1 1

≈F3 + (−3)F2

1 2 1 10 1 0 10 0 1 −2

en este punto, podemos darnos cuenta que es el sistema tiene solucion unica. Cambiando a la represen-tacion algebraica se tiene que S es equivalente al sistema

x+ 2y + z = 1

y = 1

z = −2

.

Por sustitucion se obtiene: x = 1, y = 1 y z = −2.

Por tanto, el conjunto solucion del sistema contiene un solo elemento,

CS = {(1, 1,−2)}.

Page 25: Sistema de ecuaciones lineales

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PRIMERA REPRESENTACION MATRICIAL 25

La interpretacion geometrica de este resultado es la siguiente: los planos que forman el sistema seintersectan en un punto.

La etapa de sustitucion, puede ser reemplazada por la aplicacion de operaciones elementales de lamanera siguiente,

1 2 1 10 1 0 10 0 1 −2

≈F1 + (−1)F3

1 2 0 30 1 0 10 0 1 −2

≈F1 + (−2)F2

1 2 1 10 1 0 10 0 1 −2

F1 + (−1)F3

1 2 1 10 1 0 10 0 1 −2

≈F1 + (−1)F3

1 0 0 10 1 0 10 0 1 −2

Directamente de la ultima matriz, se tiene x = 1, y = 1 y z = −1.

Observe que, si el interes es solo analizar si un sistema es consistente o no, el proceso terminara alobtener la matriz 1 2 1 1

0 1 0 10 0 1 −2

.Ejemplo 4.4. Determine el conjunto solucion del sistema lineal de orden 3× 3

S :

x+ y − z = 1

3x+ y + z = 2

5x+ y + 3z = 3

Solucion

El conjunto solucion de este sistema fue encontrado anteriormente, utilizando su representacion al-gebraica. Ahora se resolvera mediante la aplicacion de operaciones elementales de fila con el proposito deobservar la simplificacion que se obtiene con la representacion matricial.

[A | b ] =

1 1 −1 13 1 1 25 1 3 3

≈F2 + (−3)F1

F3 + (−5)F1

1 1 −1 10 −2 4 −10 −4 8 −2

≈F3 + (−2)F2

1 1 −1 10 −2 4 −10 0 0 0

En este momento, se puede afirmar que el sistema tiene solucion. Que la ultima fila de la matriz sea nula,significa que el sistema tiene infinitas soluciones, note que su solucion dependera de la variable z ¿Deque depende esto?.

Continuando con la aplicacion de las operaciones elementales de fila se tiene,

1 1 −1 10 −2 4 −10 0 0 0

≈(− 1

2 )F2

1 1 −1 10 1 −2 1

20 0 0 0

≈F1 + (−1)F2

1 0 1 12

0 1 −2 12

0 0 0 0

.

Page 26: Sistema de ecuaciones lineales

26 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Por tanto,

x =1

2− z, y =

1

2+ 2z, z ∈ R

y

CS =

{(1

2,

1

2, 0) + z(−1, 2, 1) | z ∈ R

}.

Ejemplo 4.5.

Determine si el sistema lineal y − 4z = 8

2x− 3y + 2z = 1

5x− 8y + 7z = 1

tiene solucion.

Solucion Aplicando operaciones elementales del fila a la matriz aumentada del sistema se tiene

0 1 −4 82 −3 2 15 −8 7 1

≈F1 ↔ F2

2 −3 2 10 1 −4 85 −8 7 1

≈( 1

2 )F1

1 − 32 1 1

20 1 −4 85 −8 7 1

≈F3 + (−5)F1

1 − 32 1 1

20 1 −4 80 − 1

2 2 − 32

≈F3 + ( 1

2 )F2

1 − 32 1 1

20 1 −4 80 0 0 5

2

Si se representa algebraicamente la fila inferior de la ultima matriz obtenida, se llega a la contradiccion0 = 5

2 , lo que indica que el sistema no tiene solucion.

4.2. Formas escalonadas y algoritmos para la solucion de un sistema lineal.

En los ejemplos anteriores, para analizar la consistencia de un sistema lineal, se han aplicado ope-raciones elementales a la matriz aumentada del sistema hasta obtener una matriz con una forma biendeterminada, de escalon

1 − 32 1 1

2

0 1 −4 8

0 0 0 52

motivo por el cual son denominadas: formas escalonadas.

Definicion 4.2. Se dice que una matriz A ∈ Mm×n(R) se encuentra en forma escalonada porfilas, si satisface las condiciones siguientes:

1. Las filas nulas, si existen, estan en la parte inferior de la matriz.2. El primer elemento distinto de cero (de izquierda a derecha) en una fila no nula es un uno,

denominado uno principal.

Page 27: Sistema de ecuaciones lineales

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PRIMERA REPRESENTACION MATRICIAL 27

3. Cada uno principal, esta a la derecha de los unos principales de las filas anteriores.

Si adicionalmente A satisface la propiedad:

4. Cada columna que tiene un uno principal, tiene nulos los demas elementos

se dice que A esta en forma escalonada reducida.

El primer elemento, de izquierda a derecha, distinto de cero en una fila se denomina un pivote. Todopivote en una fila puede ser convertido en un 1 principal. La columna en la cual se encuentra un pivotese suele llamar columna pivote.

Las siguientes matrices se encuentran en forma escalonada,1 0 3 −1 4

0 1 0 8 2

0 0 0 1 20 0 0 0 00 0 0 0 0

1 2 3 −1

0 0 1 2

0 0 0 1

0 1 0 0 3 2

0 0 0 1 −1 0

0 0 0 0 0 1

.

Las siguientes matrices estan en forma escalonada reducida,1 0 3 0 6

0 1 0 0 −14

0 0 0 1 20 0 0 0 00 0 0 0 0

1 2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 1 0 0 3 0

0 0 0 1 −1 0

0 0 0 0 0 1

.

y son equivalentes por filas, respectivamente a las formas escalonadas anteriores.

Mientras que las matrices siguientes, no se encuentran en forma escalonada ni en forma escalonadareducida,

0 1 0 0 3 00 0 0 0 0 10 0 0 1 −1 0

1 3 1 −1 2 00 0 0 0 0 00 0 1 0 −1 30 0 0 1 −1 0

Teorema 4.1. Dada A ∈Mm×n(R) existe una forma escalonada B ∈Mm×n(R) talque A ≈ B.

Demostracion (Algorıtmo de Gauss)

Debido a que se trata de una demostracion de existencia, basta con determinar un algorıtmo quepermita, dada cualquier matriz A, obtener una forma escalonada equivalente a ella. Este algorıtmo esdenominado Algorıtmo de reduccion Gaussiana o simplemente Algorıtmo de Gauss

Si A = 0, no hay nada que demostrar ya que A se encuentra en forma escalonada. Si A 6= 0, entonces,

Paso 1. De izquierda a derecha, determine la primera columna de A con elementos distintos de cero, esdecir la primera columna pivote.

Page 28: Sistema de ecuaciones lineales

28 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Paso 2. Intercambie filas, si fuera necesario, para que el primer elemento distinto de cero (el pivote) dela columna pivote, quede en la fila mas arriba de la matriz. Supongamos que el pivote es a y quela fila mas alta en la que se puede colocar es la fila j.

Paso 3. Realice la operacion 1aFj , para obtener el 1 principal en la columna pivote.

Paso 4. Transforme todos los elementos de la columna pivote que se encuentran bajo el 1 principal en 0,utilizando operaciones elementales del tipo Fk + αFj .

Paso 5. No considere la fila Fj y todas las fila por encima de ella, ası como la columna pivote y todas lascolumnas que se encuentran a su izquierda. Con la submatriz resultante, repita los pasos 1 a 5,hasta que no sea posible obtener columnas pivote.

Como en este procedimiento solo se utilizan operaciones elementales por filas, la matriz resultante Bes una forma escalonada equivalente por filas a A, como se queria demostrar.

Ejemplo 4.6. Dada la matriz

A =

1 1 1 62 1 −1 33 1 0 6

determine una forma escalonada equivalente por filas a A. ¿Es esta unica?

Solucion Utilizando operaciones elementales de fila se tiene

A =

1 1 1 62 1 −1 33 1 0 6

≈F2 − 2F1

F3 − 3F1

1 1 1 60 −1 −3 −90 −2 −3 −12

≈(−1)F2

1 1 1 6

0 1 3 90 −2 −3 −12

≈F3 + 2F2

1 1 1 6

0 1 3 90 0 3 6

≈13F3

1 1 1 6

0 1 3 9

0 0 1 2

.Por tanto, una forma escalonada equivalente por filas a A es:

U1 =

1 1 1 6

0 1 3 9

0 0 1 2

.Basta con darse cuenta que si antes de aplicar el algorıtmo de Gauss, se intercambian dos filas, la formaescalonada equivalente por filas a A, sera distinta a la encontrada anteriormente. En efecto,

A =

1 1 1 62 1 −1 33 1 0 6

≈F2 ↔ F3

1 1 1 63 1 0 62 1 −1 3

≈F2 − 3F1

F3 − 2F1

1 1 1 60 −2 −3 −120 −1 −3 −9

≈− 1

2F2

1 1 1 6

0 1 32 6

0 −1 −3 −9

≈F3 + F2

1 1 1 6

0 1 32 6

0 0 − 32 −3

≈− 2

3F3

1 1 1 6

0 1 32 6

0 0 1 2

.A es equivalente por filas a la forma escalonada,

Page 29: Sistema de ecuaciones lineales

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PRIMERA REPRESENTACION MATRICIAL 29

U2 =

1 1 1 6

0 1 32 6

0 0 1 2

.Como U1 6= U2, se tiene que A no es equivalente por filas a una unica forma escalonada.

Ejemplo 4.7. Dada la matriz

B =

0 −2 0 11 2 3 11 1 1 0

determine dos formas escalonadas, diferentes, equivalentes por filas a B.

Solucion

B =

0 −2 0 11 2 3 11 1 1 0

≈F1 ↔ F2

1 2 3 10 −2 0 11 1 1 0

≈F3 − F1

1 2 3 10 −2 0 10 −1 −2 −1

≈− 1

2F2

1 2 3 1

0 1 0 − 12

0 −1 −2 −1

≈F3 + F2

1 2 3 1

0 1 0 − 12

0 0 −2 − 32

≈− 1

2F3

1 2 3 1

0 1 0 − 12

0 0 1 34

Una forma escalonada equivalente a B es U1 =

1 2 3 1

0 1 0 − 12

0 0 1 34

.

Note que al inicio de las reducciones se eligio como primer pivote el 1 que se encontraba en la fila 2de B. Si se elige el 1 que se encuentra en la fila 3 de B como primer pivote se tiene,

B =

0 −2 0 11 2 3 11 1 1 0

≈F1 ↔ F3

1 1 1 01 2 3 10 −2 0 1

≈F2 − F1

1 1 1 0

0 1 2 10 −2 0 1

≈F3 − 2F2

1 1 1 0

0 1 2 10 0 4 3

≈14F3

1 1 1 0

0 1 2 1

0 0 1 34

Otra forma escalonada equivalente a la matriz B es

U2 =

1 1 1 0

0 1 2 1

0 0 1 34

.�

Observe que a pesar que una matriz A puede ser equivalente a mas de una forma escalonada, lo quese mantiene invariante en ellas es:

Posicion de los pivotes y por ende de los unos principales,

Page 30: Sistema de ecuaciones lineales

30 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Cantidad de unos principales yCantidad de columnas pivotes.

Si A es la matriz de coeficientes de un sistema lineal y b el vector de terminos independientes delsistema, el metodo de reduccion Gaussiana para determinar la solucion del sistema, consiste enencontrar una forma escalonada equivalente por filas a la matriz aumentada del sistema [A | b ] y a con-tinuacion realizar sustituciones regresivas, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 4.8. Determine si el sistema linealx+ 2y + z = 5

2x− 3y − z + w = 8

x+ 2y − 3z + 2w = −1

es consistente. En el caso de serlo determine el conjunto solucion del sistema.

Solucion

De acuerdo con el metodo de reduccion Gaussiana, se debe determinar una forma escalonada equi-valente por filas a la matriz aumentada del sistema.

[A | b ] =

1 2 1 0 52 −3 −1 1 81 2 −3 2 −1

≈F2 − 2F1

F3 − F1

1 2 1 0 50 −7 −3 1 −20 0 −4 2 −6

≈− 1

7F2

− 14F3

1 2 1 0 5

0 1 37 − 1

727

0 0 1 − 12

32

.Observe que la matriz de coeficientes del sistema A, es equivalente por filas a la forma escalonada 1 2 1 0

0 1 37 − 1

7

0 0 1 − 12

la cual tiene tres columnas pivotes, que coinciden no solo en numero sino en posicion, con las columnaspivote de la forma escalonada equivalente a la matriz aumentada del sistema [A | b ]. Esta doble coin-cidencia nos indica, por una parte, que el sistema tiene solucion, debido a que la ultima columna de laforma escalonada equivalente a [A | b ] no es una columna pivote, y por otra, que el sistema tiene infini-tas soluciones que dependen de la variable libre w. Note ademas, que w es la variable que correspondeprecisamente a la columna no pivote y que las variables x, y y z las cuales corresponden a las columnaspivotes dependeran de w.

En general, las variables que corresponden a las columnas pivotes se denominan variables basicasy las que corresponden a las columnas no pivotes variables libres o parametros.

Para determinar el conjunto solucion del sistema, utilizamos la representacion algebraica de la formaescalonada equivalente a la matriz aumentada, 1 2 1 0 5

0 1 37 − 1

727

0 0 1 − 12

32

Page 31: Sistema de ecuaciones lineales

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PRIMERA REPRESENTACION MATRICIAL 31

para obtener el sistema x + 2y + z = 5y + 3

7z − 17w = 2

7z − 1

2w = 32

denominado sistema triangular por analogıa a la forma que presenta.

De la ultima ecuacion, se obtiene

z =3

2+

1

2w.

Ahora se inicia la etapa de sustituciones regresivas (o hacia atras). De la segunda ecuacion se tiene,

y =2

7− 3

7z +

1

7w =

2

7− 3

7

(3

2+

1

2w

)+

1

7w = − 5

14− 1

14w,

y de la primera,

x = 5− 2y − z = 5− 2

(− 5

14− 1

14w

)−(

3

2+

1

2w

)=

19

14− 5

14w.

De esta forma se tiene que, (x, y, z, w) pertenece a CS si y solo si

(x, y, z, w) =

(19

14− 5

14w,− 5

14− 1

14w,

3

2+

1

2w,w

)=

(19

14,− 5

14,

3

2, 0

)+ w

(− 5

14,− 1

14,

1

2, 1

).

Por tanto,

CS =

{(19

14,− 5

14,

3

2, 0

)+ w

(− 5

14,− 1

14,

1

2, 1

)| w ∈ R

}.

Teorema 4.2. Dada cualquier matriz A ∈ Mm×n(R) existe una forma escalonada reducida R ∈Mm×n(R) talque A ≈ R.

Demostracion (Algorıtmo de Gauss-Jordan7)

Si A = 0, no hay nada que demostrar, A esta en forma escalonada reducida. Si A 6= 0 entonces,

Paso 1. Utilice el algorıtmo de Gauss para determinar una forma escalonada equivalente por filas a A.

Paso 2. De derecha a izquierda, utilice operaciones elementales de fila del tipo Fk + αFj , para convertiren 0, los elementos de las columnas pivote que se encuentran arriba del 1 principal de la columnapivote.

7Wilhelm Jordan fue un geodesista aleman conocido no solo por sus trabajos en topografıa, sino por ser el fundador delJournal of Geodesy. En 1873 Jordan publica su libro Handbuch der Vermessungskunde cuya primera seccion esta dedicada al

estudio del metodo de mınimos cuadrados, por ser uno de los metodos mas utilizados en topografıa. En esa seccion presenta

en forma detallada el metodo de eliminacion de Gauss, para convertir un sistema lineal dado en un sistema triangular.En la cuarta edicion del Handbuch presenta un algorıtmo explıcito para resolver un sistema de ecuaciones con matriz de

coeficientes simetrica, metodo que en la actualidad es concido como algorıtmo de Gauss-Jordan. A pesar que Jordan no

utilizo matrices, si explico como realizar transformaciones de filas sobre tablas que contenian los coeficientes del sistema.La diferencia del algorıtmo presentado en el Handbuch y el que actualmente se utiliza, es que no se transforman los pivotes

a unos principales.

Page 32: Sistema de ecuaciones lineales

32 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Cuando se halla aplicado el paso dos a todas las columnas pivote de A, se ha determinado la matrizR.

Puesto que las columnas pivotes en cualquier forma escalonada equivalente a la matriz A son lasmismas, al aplicar el algorıtmo de Gauss-Jordan no sera posible obtener diferentes formas escalonadas,es dicir la matriz R obtenida es unica. Es por este motivo, que se dice la forma escalonada reducida y nouna forma escalonada reducida.

Ejemplo 4.9. Dada la matriz

A =

2 4 2 0−1 3 1 31 0 −1 1

determine la forma escalonada reducida equivalente por filas a A.

Solucion

Utilizando el algorıtmo de Gauss-Jordan se tiene que,

A =

2 4 2 0−1 3 1 31 0 −1 1

≈F1 ↔ F3

1 0 −1 1−1 3 1 32 4 2 0

≈F2 + F1

F3 − 2F1

1 0 −1 10 3 0 40 4 4 −2

≈F2 ↔ F3

1 0 −1 10 4 4 −20 3 0 4

≈14F2

1 0 −1 1

0 1 1 − 12

0 3 0 4

≈F3 − 3F2

1 0 −1 1

0 1 1 − 12

0 0 −3 112

≈− 1

3F3

1 0 −1 1

0 1 1 − 12

0 0 1 − 116

≈F2 − F3

F1 + F3

1 0 0 − 56

0 1 0 43

0 0 1 − 116

.Por tanto, la forma escalonada reducida de A es la matriz

R =

1 0 0 − 56

0 1 0 43

0 0 1 − 116

.�

El metodo de Gauss-Jordan para la solucion de un sistema lineal S, consiste en determinar laforma escalonada reducida de la matriz aumentada del sistema [A | b ] y por simple inspeccion determi-nar las soluciones del sistema. Note que, la etapa de sustituciones regresivas, del metodo de reduccionGaussiana, es reemplazada por operaciones elementales de fila.

Ejemplo 4.10. Utilice el metodo de Gauus-Jordan para determine el conjunto solucion del sistemalineal

x1 + x2 + x3 + x4 = 6

2x1 + x2 − x3 = 3

3x1 + x2 + 2x4 = 6

.

Page 33: Sistema de ecuaciones lineales

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PRIMERA REPRESENTACION MATRICIAL 33

Solucion

De acuerdo a la observacion anterior, se debe determinar la forma escalonada reducida equivalente ala matriz aumentada del sistema, 1 1 1 1 6

2 1 −1 0 33 1 0 2 6

.

1 1 1 1 62 1 −1 0 33 1 0 2 6

≈F2 − 2F1

F3 − 3F1

1 1 1 1 60 −1 −3 −2 −90 −2 −3 −1 −12

≈(−1)F2

1 1 1 1 6

0 1 3 2 90 −2 −3 −1 −12

≈F3 + 2F2

1 1 1 1 6

0 1 3 2 90 0 3 3 6

≈13F3

1 1 1 1 6

0 1 3 2 90 0 1 1 2

≈F2 − 3F3

F1 − F3

1 1 0 0 4

0 1 0 −1 3

0 0 1 1 2

≈F1 − F2

1 0 0 1 1

0 1 0 −1 3

0 0 1 1 2

.De donde se obtiene

x1 = 1− x4

x2 = 3 + x4

x3 = 2− x4

, con x4 ∈ R.

(x1, x2, x3, x4) ∈ CS ⇔ (x1, x2, x3, x4) = (1− x4, 3 + x4, 2− x4, x4) = (1, 3, 2, 0) + x4(−1, 1,−1, 1).

Por tanto,

CS = {(1, 3, 2, 0) + x4(−1, 1,−1, 1) | x4 ∈ R}.

�Dada una matriz A ∈ Mm×n(R) y U cualquier forma escalonada equivalente por filas a A, el al-

gorıtmo de Gauss-Jordan garantiza que a partir de U es posible obtener R, la forma escalona reducida deA. Debido a que no hay intercambio de columnas, resulta obvio, que si R es la forma escalonada reducidade A, la caracterıstica comun entre todas las matrices U y la matriz R es la posicion y la cantidad deunos principales (columnas pivotes). Por tanto, la cantidad y posicion de los unos principales (columnaspivote) es una caracterıstica de la matriz A.

Definicion 4.3. El rango de una matriz A ∈Mm×n(R) es el numero de unos principales (columnaspivotes) en una forma escalonada equivalente por filas a A.

Este numero es denotado por: rang(A).

Page 34: Sistema de ecuaciones lineales

34 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Note que, dada cualquier matriz A ∈Mm×n(R) el rango de A, es menor igual al numero de columnasde A,

(∀A ∈Mm×n(R))(rang(A) ≤ n).

Ejemplo 4.11. Determine el rango de la matriz

B =

0 1 0 −1 32 2 4 6 4−1 1 0 2 13 2 1 5 1

Solucion Para determinar el rango de la matriz B, basta con determinar una forma escalonada

equivalente por filas a B. Utilizando el algorıtmo de Gauss, el lector puede verificar que

B =

0 1 0 −1 32 2 4 6 4−1 1 0 2 13 2 1 5 1

1 −1 0 −2 −1

0 1 0 −1 3

0 0 1 16 −11

0 0 0 1 − 1925

.Por tanto, rang(B) = 4.

El concepto de rango de una matriz, aplicado a las matrices asociadas a un sistema de ecuacioneslineales, permite dar una primera respuesta a las preguntas fundamentales de existencia y tipo de solucionde los sistemas lineales.

Teorema 4.3. (Teorema de Rouche- Frobenius)

Sean A ∈ Mm×n(R) la matriz de coeficiente de un sistema lineal S de orden m× n y b ∈ Mm×1(R)la matriz de terminos independientes de S.

1. Si rang(A) < rang([A | b ]) entonces S no tiene solucion (es inconsistente).2. Si rang(A) = rang([A | b ]) = r entonces S tiene solucion (es consistente). Ademas,

a) Si r = n entonces S tiene solucion unica.b) Si r < n entonces S tiene infinitas soluciones con n− r parametros.

Demostracion

Si U es una forma escalonada equivalente por filas a la matriz A, existe una sucesion de operacioneselementales tales que [A | b ] ≈ [U | b1 ] y claramente rang(A) ≤ rang([A | b ]).

rang(A) < rang([A | b ]), implica que b1 es una columna pivote y tiene un 1 principal en algunaposicion. Si suponemos que el 1 principal de b1 se encuentra en s-esima posicion, la fila s de la matriz[U | b1 ] sera de la forma

[0 0 · · · 0 1

], lo que conduce algebraicamente a la contradiccion 0 = 1,

concluyendose que el sistema S no tiene solucion.

Si rang(A) = rang([A | b ]) = r entonces r ≤ n, por tanto b1 no contiene un 1-principal y claramenteel sistema S tiene solucion.

Si r = n, toda columna de U tiene un 1-principal (es una columna pivote), lo que significa queninguna variable podra expresarse en terminos de las otras. Por tanto, el sistema tiene solucion unica.

Page 35: Sistema de ecuaciones lineales

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PRIMERA REPRESENTACION MATRICIAL 35

Finalmente, si r < n las variables correspondientes a los unos principales de U (a las columnaspivotes), quedaran expresadas en terminos de las n− r variables restantes (las que no tienen unos prin-cipales) que seran las variables libres del sistema. Esto significa que S tiene infinitas soluciones con n− rparametros.

El teorema anterior, permite un analsis de las posibles soluciones de un sistema.

Ejemplo 4.12. Analizar segun sean los valores de k y p en R, las posibles soluciones del sistema{2x+ (k − 1)y = 4

kx+ y = p

Solucion Para poder aplicar el teorema de Roche-Frobenius, se debe obtener una forma escalonadade la matriz aumentada del sistema

[A | b ] =

[2 k − 1 4k 1 p

]..

Utilizando el algorıtmo de reduccion de Gauss se obtiene,

[2 k − 1 4k 1 p

]≈

12F1

[1 1

2 (k − 1) 2k 1 p

]≈

F2 − kF1

[1 1

2 (k − 1) 20 1− 1

2k(k − 1) p− 2k

].

Observe que, rang(A) ≥ 1.

rang(A) = 2 si y solo si 1− 12k(k − 1) 6= 0.

Puesto que,

1− 1

2k(k − 1) = 0⇔ k2 − k − 2 = 0⇔ (k − 2)(k + 1) = 0⇔ k = 2 o k = −1

se tiene que,

rang(A) = 2 si y solo si k 6= 2 o k 6= −1 y

rang(A) = 1 si y solo si k = 2 o k = −1.

Por tanto,

1. El sistema lineal dado no tiene solucion, para todos los valares de k y p para los cuales,

rang(A) < rang([A | b ]).

Esto es, cuando rang(A) = 1 y rang([A | b ]) = 2. Por tanto, el sistema es inconsistente para

a) k = −1 y p 6= −2 o

b) k = 2 y p 6= 4.

2. El sistema tiene solucion cuando

rang(A) = rang([A | b ])

en este caso existen dos posibilidades

Page 36: Sistema de ecuaciones lineales

36 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

a) Solucion unica, para todos los valores de k y p para los cuales rang(A) = rang([A | b ]) = 2.Lo cual se cumple para k 6= 2 o k 6= −1, en ambos casos p puede tomar cualquier valor en R.

b) Infinitas soluciones, dependiendo de un paramero, para todos los valores de k y p para loscuales rang(A) = rang([A | b ]) = 1. Esto se cumple,

1) Cuando k = −1 y p = −2 o

2) Cuando k = 2 y p = 4.

El determinar si un sistema tiene o no solucion, cuando depende de valores no determinados, comoen el ejemplo anterior de k y p, no es un problema que este alejado del mundo real, por el contrario, esun problema importante en el analisis de situaciones reales, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.13. Motos Aguila es una pequena empresa dedicada a la venta de motos Suzuki. En laactualidad desea adquirir motos de tres modelos diferentes: M1, M2 y M3, las cuales puede vender a unprecio unitario de 1 millon, 3 millones y 6 millones de pesos respectivamente. El encargado de compras,esta interesado en determinar la cantidad de motos de cada modelo que debe adquirir, que le asegurenun ingreso por ventas de exactamente 27 millones de pesos. Para esto, escoge las siguientes variables,

x: Cantidad de motos del modelo M1,y: Cantidad de motos del modelo M2,z: Cantidad de motos del modelo M3,N : Cantidad total de motos de los modelos M1, M2 y M3.

Con esta asignacion de variables, obtiene el sistema lineal{x+ 3y + 6z = 27

x+ y + z = N.

Matematicamente el problema no difiere del ejemplo anterior, ya que consiste en determinar todoslos valores de N para los cuales el sistema tiene solucion. Aplicando reducccion a la matriz aumentadadel sistema se tiene,

[A | b ] =

[1 3 6 271 1 1 N

]≈

F2 − F1

[1 3 6 270 −2 −5 N − 27

]≈− 1

2F2

[1 3 6 270 1 5

2 − 12 (N − 27)

]

≈F1 − 3F2

[1 0 − 3

212 (3N − 27)

0 1 52 − 1

2 (N − 27)

].

Como rang(A) = rang([A | b ]) = 2 < 3, por el teorema de Roche-Frobenius, el sistema tiene infinitassoluciones dependiendo de un parametro para cualquier valor de N . Esto significa matematicamente,que sin importar el valor asignado a N , es posible determinar los valores de x, y, z. Obviamente estasolucion, dista mucho de la solucion del problema del encargado, ya que las variables del problema tie-nen restricciones en la realidad: deben ser positivas y enteras. Esto suele ser usual, cuando se utiliza unateorıa matematica para determinar soluciones a situaciones reales, despues de encontrar una solucion ma-tematica se deben tener en cuenta las restricciones de las variables que surgen del problema en la realidad.

De acuerdo a la forma escalonada reducida de la matriz aumentada del sistema,

Page 37: Sistema de ecuaciones lineales

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PRIMERA REPRESENTACION MATRICIAL 37

{x = 1

2 (3N − 27) + 32z

y = − 12 (N − 27)− 5

2z, z ∈ N.

x > 0⇔ 1

2(3N − 27) +

3

2z > 0⇔ z > 9−N

y > 0⇔ −1

2(N − 27)− 5

2z > 0⇔ z <

1

5(27−N)

Como se requiere que z exista, necesariamente, 9−N < 15 (27−N), por tanto N > 9

2 .

Debido a que z > 0 se obtiene, 92 < N < 27.

Puesto que 9 − N < z < 15 (27 − N) y z ∈ N, para que existan valores enteros de z es necesario que

15 (27−N) > 1, lo que permite restringuir aun mas los posibles valores de N , 9

2 < N < 22

Utilizando la restriccion N ∈ N, los valores factibles para N son: N = 5, 6, . . . , 21. El valor N = 5, noproduce valores enteros para z puesto que no hay ningun entero entre 4 < z < 4,4 , por tanto se eliminadel analisis.

La tabla siguiente muestra para cada valor factible de N , los valores que puede tomar la variable z,

N 9−N 15 (N − 27) z

6 3 4,2 47 2 4 38 1 3,8 2 o 39 0 3,6 1, 2 o 310 -1 3,4 1, 2 o 311 -2 3,2 1, 2 o 312 -3 3 1 o 213 -4 2,8 1 o 214 -5 2,6 1 o 215 -6 2,4 1 o 216 -7 2,2 1 o 217 -8 2 118 -9 1,8 119 -10 1,6 120 -11 1,4 121 -12 1,2 1

Para cada uno de los valores de N y los correspondientes valores factibles de z, se debe analizar si esposible que existan valores enteros positivos para las variables x e y. Ası por ejemplo, en el caso N = 6y z = 4, utilizando x = 1

2 (3N − 27) + 32z e y = − 1

2 (N − 27) − 52z, se obtiene x = 1,5 e y = 0,5 lo que

conduce a descartar el valor N = 6.

La tabla siguiente muestra todos las posibilidades que tiene el encargado de obtener un ingreso de exac-tamente 27 millones de pesos.

Page 38: Sistema de ecuaciones lineales

38 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

N z x y

8 3 3 29 2 3 410 1 3 610 3 6 112 1 6 513 2 9 214 1 9 415 2 12 116 1 12 318 1 15 220 1 18 1

Ahora su decision dependera de las otras variables economicas que le sean relevantes.

El siguiente ejemplo muestra que si un sistema tiene infinitas soluciones, la forma de elegir los parame-tros para expresar el conjunto solucion no es unica.

Ejemplo 4.14. El sistema x+ 2z − w + 4t = 1

−x+ y − 3z + w − 2t = −2x+ y + z + 6t = 0

y − z + 2t = −1

tiene infinitas soluciones dependiendo de dos parametros. En efecto,

[A | b ] =

1 0 2 −1 4 1−1 1 −3 1 −2 −21 1 1 0 0 00 1 −1 0 0 −1

1 0 2 0 4 1

0 1 −1 0 2 −1

0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0

como rang([A | b ]) = rang(A) = 3, el teorema de Roche-Frobenius asegura que el sistema tiene infinitassoluciones con 5− 3 = 2 parametros.

Utilizando la forma escalonada reducida de la matriz [A | b ], una manera natural de expresar lasolucion del sistema es:

x = 1− 2z − 4ty = −1 + z − 2tw = 0

z, t ∈ R

CS = {(1,−1, 0, 0, 0) + z(−2, 1, 1, 0, 0) + t(−4,−2, 0, 0, 1) | z, t ∈ R}

donde las variables z, t son parametros. En general, al determinar la forma escalonada reducida de lamatriz ampliada de un sistema, las columnas no pivotes (las que no tienen unos principales), nos propor-cionan la forma natural de elegir los parametros para expresar la solucion del sistema: las variables quecorresponden a las columnas no pivote.

Sin embargo, al escribir el sistema de ecuaciones que la forma escalonada representa x+ 2z + 4t = 1y − z + 2t = −1

w = 0

Page 39: Sistema de ecuaciones lineales

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PRIMERA REPRESENTACION MATRICIAL 39

se observa que no solo x e y se pueden expresar en terminos de las variables z, t, si no que tambien, esposible determinar x y z en terminos de y, t, lo que permite expresar el conjunto solucion del sistemadado utilizando ahora como parametros las variables y, t, en lugar de z, t. Para esto, se despeja la variablez de la segunda ecuacion y se sustituye en la primera x+ 2z + 4t = 1

y − z + 2t = −1w = 0

x = −1− 2y − 8tz = 1 + y + 2tw = 0

y, t ∈ R

Cs = {(−1, 0, 1, 0) + y(−2, 1, 1, , 0, 0) + t(−8, 0, 2, 0, 1) | y, t ∈ R}.

Observe que, analogamente es posible expresar el conjunto solucion del sistema utilizando las variablesy, z como parametros: despejando t de la segunda ecuacion en vez de z y sustituyendola en la primera.Lo que no es posible, es expresar el conjunto solucion utilizando la variable w como parametro, debido aque esta variable toma un valor fijo, w = 0.

Surge entonces la pregunta, ¿De cuantas formas se pueden elegir los dos parametros para expresar la so-lucion del sistema considerado?. El sistema tiene cinco variables, de las cuales w es fija, por tanto existen(

42

)= 6 formas de elegir los dos parametros. En general si, A ∈Mm×n(R) y rang(A) = rang([A | b ]) =

r < n y ninguna variable toma un valor fijo, existen

(n

n− r

)formas diferentes de elegir los n−r parame-

tros; si s de las n variables toman un valor fijo, los n− r parametros se pueden elegir de

(s

n− r

).

Cuando se desea encontrar la solucion de un sistema no es necesario determinar todas las formasposibles de expresar el conjunto solucion, basta con encontrar una, y generalmente se utiliza la natural: ladada por la forma escalonada reducida de la matriz aumentada del sistema, en la cual los parametros (silos hay) corresponden a las variables de las columnas no pivotes. Sin embargo, para algunas aplicacionesse requiere expresar el conjunto solucion de los sistemas a resolver en terminos de variables especıficas,las cuales no corresponden a las columnas pivote. En el ejemplo estudiado se mostro la forma algebraicade hacerlo, mas adelante se estudiara un procedimiento mas adecuado.

4.3. Sistemas Lineales Homogeneos.

Existe una clase de sistemas de ecuaciones lineales que es de gran importancia en los estudios teoricos,ellos son los denominados sistemas lineales homogeneos.

Definicion 4.4. Un sistema de ecuaciones lineales se denomina homogeneo si los terminos inde-pendientes de todas las ecuaciones del sistema son iguales a cero, es decir es un sistema de la forma

S :

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0

.

Observe que todo sistema lineal homogeneo es consistente, ya que el vector (x1, x2, . . . , xn) =(0, 0, . . . , 0) ∈ Rn es solucion de cada una de las ecuaciones del sistema. Nos referiremos a esta solu-cion como la solucion trivial y en el caso en que el sistema tenga solucion unica (esta debe ser la trivial)diremos que el sistema lineal homogeneo tiene solucion trivial.

En el contexto de los sistemas lineales homogeneos, la pregunta a responder sera: ¿Cuando un sistemalineal homogeneo tiene soluciones distintas de la trivial?. La respuesta a esta pregunta la proporciona elteorema de Roche-Frobenius. Primero observe que la matriz aumentada de un sistema lineal homogeneo

Page 40: Sistema de ecuaciones lineales

40 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

esta dada por: [A | 0 ].

Debido a que la ultima columna de la matriz aumentada de un sistema lineal homogeneo, esta formadaunicamente por ceros, todas las matrices equivalentes por filas a ella conservan esta caracterıstica, serande la forma

[A | 0 ] ≈ [A1 | 0 ] ≈ · · · ≈ [R | 0 ].

Por tanto, la solucion de un sistema lineal homogeneo, depende unicamente del rango de su matriz decoeficientes.

Si A ∈Mm×n(R) denota la matriz de coeficientes de un sistema lineal homogeneo y rang(A) = r, elteorema de Roche-Frobenius permite afirmar que,

1. Si r = n el sistema lineal homogeneo tiene solucion trivial, y

2. Si r < n el sistema lineal homogeneo tiene infinitas soluciones con n− r parametros.

Recuerde que, en general se tiene que r = rang(A) ≤ m. En el caso en que un sistema lineal homo-geneo tenga mas variables que ecuaciones, es decir m < n , de la proposicion 2 se concluye que el sistematiene infinitas soluciones. Por tanto

Todos sistema lineal homogeneo con mas variables que ecuaciones tiene infinitas soluciones.

El ejemplo siguiente, muestra que el reciproco de esta afirmacion no es cierto: si un sistema linealhomogeneo tiene infinitas soluciones, no necesariamente debe tener mas variables que ecuaciones.

Ejemplo 4.15. Dado el sistema lineal homogeneo x− 2y − z = 0x− 3y − 2z = 0

2x+ 4y + 6z = 0

para determinar si tiene soluciones distintas de la trivial, es suficiente determinar el rango de la matriz

A =

1 −2 −11 −3 −22 4 6

de coeficientes del sistema,

1 −2 −11 −3 −22 4 6

≈F2 − F1

F3 − 2F1

1 −2 −10 −1 −10 8 8

≈F3 + 8F2

1 −2 −10 −1 −10 0 0

≈(−1)F2

1 −2 −10 1 10 0 0

Como rang(A) = 2 < 3, el sistema tiene infinitas soluciones con 1 parametro. Para encontrar el conjuntosolucion del sistema, determinamos la forma escalonada reducida de A,

A ≈

1 0 10 1 10 0 0

.Para hacer una lectura adecuada, tenga presente que la forma escalonada reducida de la matriz aumentadadel sistema lineal homogeneo es 1 0 1 0

0 1 1 00 0 0 0

.Por tanto, x = −z e y = −z. De donde

Page 41: Sistema de ecuaciones lineales

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PRIMERA REPRESENTACION MATRICIAL 41

Cs = {(−1,−1, 1)z | z ∈ R}.

Observe que Cs representa geometricamente una recta que pasa por el origen. Esto no es una coinciden-cia, se debe a que siempre el conjunto solucion de un sistema lineal homogeneo siempre contiene al vector 0.

Senalamos que no es necesario explicitar la forma escalonada reducida de [A | 0] para determinar lasoluciones de un sistema lineal homogeneo, es suficiente recordar su forma y hacer el calculo directamenteutilizando la forma escalonada reducida de A.

Ejemplo 4.16. Dado el sistema lineal homogeneo x1 + 2x2 + ax3 = 02x1 − 4ax2 − 2x3 = 0ax1 − 2x2 + x3 = 0

Analice las posibles soluciones del sistema, dependiendo de los valores de a ∈ R.

Solucion

El problema es equivalente a determinar los posibles valores del rango de la matriz de coeficientesdel sistema

A =

1 2 a2 −4a −2a −2 1

dependiendo de los valores de a ∈ R.

1 2 a2 −4a −2a −2 1

≈F2 − 2F1

F3 − aF1

1 2 a0 −4(a+ 1) −2(a+ 1)0 −2(a+ 1) 1− a2

≈− 1

2F2

1 2 a0 2(a+ 1) (a+ 1)0 −2(a+ 1) 1− a2

≈F3 + F2

1 2 a0 2(a+ 1) (a+ 1)0 0 −(a+ 1)(a− 2)

.Para a = 2 se tiene rang(A) = 2, lo que implica que el sistema tiene solucion no trivial dependiendo deun parametro. En el caso en que a = −1, rang(A) = 1 y el sistema tiene solucion no trivial dependiendode dos parametros. Finalmente, para todo a 6= 2 y a 6= −1, rang(A) = 3 y el sistema tiene soluciontrivial.

Ejercicios 4.1.

1. Determine una forma escalonada equivalente por filas a la matriz dada y su forma escalonadareducida.

a)

1 2 −1 1 43 1 2 3 0−1 5 1 4 14 2 3 1 −3

Page 42: Sistema de ecuaciones lineales

42 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

b)

2 0 15 −3 23 4 −13 9 2

c)

1 2 −1 4 32 1 0 −1 −23 2 1 0 −14 3 2 1 05 4 3 2 1

d)

1 1 1 01 1 0 01 0 0 00 1 1 10 0 1 1

e)

1 2 −1 −2 22 3 0 −1 21 1 1 0 2

2. Determine dos formas escalonadas diferentes, para cada una de las matrices dadas

a)

−1 0 01 −1 10 1 −1

b)

−2 0 0 −11 −2 1 00 1 −2 1

3. Demuestre que si ad−bc 6= 0, la forma escalonada reducida de la matriz A =

[a bc d

], es la matriz

identidad I2.

4. Demuestre que la forma escalonada reducida de la matriz R =

[cos θ − sin θsin θ cos θ

], es la matriz

identidad I2.

Determine el rango, de cada una de las matrices dadas

5. A =

2 0 41 −1 3−1 −3 1

6. B =

1 2 −3−2 0 40 4 −22 4 6

7. C =

2 5 6 −81 2 −4 30 1 14 −143 6 −12 9

Page 43: Sistema de ecuaciones lineales

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PRIMERA REPRESENTACION MATRICIAL 43

8. D =

1 0 6 6 40 1 4 3 21 −1 2 3 2

9. Sea A =

1 1 −1 21 a b 21 1 c 2a

, determine los valores de a, b, c ∈ R para que

a) rang(A) = 1b) rang(A) = 2c) rang(A) = 3

10. Sea B =

1 −1 4a2 + 1 b0 1 3− a 02 −1 7− a −2

,

a) Determine los valores de a, b ∈ R para que: rang(B) = 1, rang(B) = 2 o rang(B) = 3.b) Suponga que B es la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales de orden 3× 3.

Determine los valores de a, b ∈ R, para que el sistema sea inconsistente, tenga solucion unicao infinitas soluciones.

11. Sea C =

1 −a −b b1 −1 −2 2−1 1 4− b −a+ b− 21 −a −2 −a

,

a) Determine los valores de a, b ∈ R para que: rang(C) = 1, rang(C) = 2, rang(C) = 3o rang(C) = 4.

b) Suponga que C es la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales de orden 4× 3.Determine los valores de a, b ∈ R, para que el sistema sea inconsistente, tenga solucion unicao infinitas soluciones.

12. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Si es verdadera demuestrelo y si esfalsa de un contraejemplo

a) Si A ∈Mn(R), entonces rang(A2) = (rang(A))2.

b) Sea A ∈Mn(R). Si rang(A) = 0 entonces tr(A) = 0.

c) Sea A =

[a 11 b

]. Si rang(A) = 1 entonces ab = 1.

d) Sean A,B ∈M2(R) tales que AB = AC. Si rang(A) = 2 entonces B = C.

Determine el conjunto solucion de cada uno de los sistemas dados

13.

x− y + z − w = 02x− y − z + w = 1x+ y − 3z − w = 2

14.

x+ y + z − w = 3

2x− y + 2z + w = 8x− y + z = 1

x+ y − z − w = −1

15.

x+ z + w = 5x− z + w = 1

x+ y + z + w = 32x+ 2z = 2

Page 44: Sistema de ecuaciones lineales

44 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

16.

a− b+ c+ 2d = 0

a+ d = −1b− c− d = 1a+ 2b+ c = −3

17.

x+ 2y + 3z − 4w = 0

2x+ 2y + 3z + 4w = 03x+ 3y + 3z + 4w = 04x+ 4y − 4z − 4w = 0

En cada caso, determine los valores de los parametros k, a, b, c ∈ R (segun corresponda), paraque el sistema dado sea inconsistente, tenga solucion unica o infinitas soluciones. Justifique susrespuestas utilizando el teorema de Roche-Frobenius.

18.

ax+ y + z = 1

x+ y − z = 2

2x− y + z = a

19.

2x− 5y + 3z = 0

x− y + z = 0

3x+ by + z = 0

20.

x+ ay = 0

ax− ay + 2z = 0

2x+ az = 0

21.

kx+ y + z = 1

x+ ky + z = 1

x+ y + kz = 1

22.

ax+ y + z = a

x+ ay + z = 1

x+ y + az = −1

23.

x+ 2y − 2z = 0

2x− y + az = b

2x− 2y + 3z = 1 + b

24.

(1 + k)x+ (1 + k)y + z = 2

x+ (1 + k)y + z = 3

2x− y + z = 1 + k

25.

2x+ (2− b)y = 0

(2b+ 2)x+ by + 2z = 2b− 2

(b+ 1)x+ (b+ 1)z = b− 1

26. Demuestre que si el orden de una matriz es m × n, la cantidad de columnas pivote es menor oigual a m y menor o igual a n.

Page 45: Sistema de ecuaciones lineales

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PRIMERA REPRESENTACION MATRICIAL 45

27. Muestre que si el sistema cuya matriz aumentada es [A | b] tiene solucion unica, entonces cual-quier sistema de matriz aumentada [A | c] tambien tiene solucion unica.

28. Indicando los valores de a, b ∈ R, determine el conjunto solucion del sistema dado, en todos loscasos posible x1 + x2 = 2

x1 + x3 = ax1 + 2x2 + bx3 = 1

29. Dado el sistema 2x− 3y + z − w = a

4x− 7y + 2z = b−2x+ y − z + 25w = c

2y − 2w = d

.

Demuestre que es consistente si a+ c+ d+ 0 y 2b+ 4c+ 5d = 0.

30. Dado el sistema x1 − ax2 − x3 + x4 = bx1 + bx2 + 2x3 − x4 = c

−x1 + cx2 − 2x3 + 2x4 = ax1 + x2 − x3 − x4 = a+ b+ c

a) Determine los valores de a, b y c para que el sistema dado admita como solucion a

(1, 2, 0, 1) + t(−1, 0, 1, 2), para un valor fijo del parametro t

b) Determine condiciones entre a, b y c para que el sistema dado tenga solucion dependiendode un parametro.

31. Dado el sistema x− 2y − z = 2

x− αy − βz = α2x− 4y − 2βz = 4β

2x+ (α− 6)y − (β + 1)z = γ

Determine los valores de α, β, γ ∈ R para que el sistema sea consistente y tenga infinitas solucio-nes. Resuelva el sistema para el caso en que el cojunto solucion dependa de un parametro.

32. Dado el sistema 2x+ y + 3z + w = 64x+ y − 3z + w = −52x+ y + az + w = b

a) Determine los valores de a, b ∈ R para que el sistema tenga infinitas soluciones.b) Resuelva el sistema de modo que su solucion dependa de dos parametros.c) ¿Es posible resolver el sistema considerando a z como unico parametro?. Justifique con pre-

cision

Page 46: Sistema de ecuaciones lineales

46 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

33. Dado el sistema lineal {x1 + x2 + x3 = 6

2x1 + x2 − x3 = 4

Determine todas las soluciones posibles del sistema, si se supone que x1, x2, x3 ∈ N ∪ {0}.

34. Sea X = (1,−2, 0, 3) + t(a, b, 1, c) con t ∈ R, una solucion del sistemax1 + 3x3 + 2x4 = α3x1 − 2x2 − x4 = β

x1 − x2 + x3 − 2x4 = γ3x1 − x2 + 2x3 + 3x4 = δ

Determine los valores de α, β, γ, δ, a, b y c.

35. Un nutricionista esta preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada onza dealimento A contiene 2 unidades de proteına, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos.Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de proteına, 2 unidades de grasa y 1 unidad decarbohidratos. Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de proteına, 3 unidades de grasa y 2unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de proteına, 24unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos, ¿Cuantas onzas de cada comida se necesitan?

36. En una heladerıa, por una copa de helado, dos pasteles y cuatro jugos, le cobran $3.400 un dıa.Otro dıa, por cuatro copas de helado y cuatro pasteles, le cobran $4.400 y, un tercer dıa, le piden$2.300 por un pastel y cuatro jugos. ¿Tiene motivos para pensar que alguno de los tres dıas lehan presentado una cuenta incorrecta?

37. (El problema de Fibbonacci) Tres hombres poseen una sola pila de monedas y sus aportacionesson 1

2 , 13 y 1

6 . Cada uno toma algo de dinero de la pila, hasta que no queda nada. A continuacion

el primer hombre regresa 12 de lo que tomo, el segundo 1

3 y el tercero 16 . Cuando el total de

lo que regresaron se divide por igual entre ellos, se descubre que cada hombre posee lo que lecorresponde por su aportacion.a) ¿Cuantas monedas habıa en la pila y cuanto tomo cada uno?. Designe por x, y, z la cantidad

de dinero que tomaron los tres hombres de la pila de monedas y por M la cantidad total demonedas de la pila.

b) La solucion dada por Fibonacci a este problema fue: M = 47, x = 33, y = 13 y z = 1. Enrelacion con la solucion encontrada en a), ¿Porque es correcta esta solucion?

38. Un padre deja todo su dinero a sus hijos herederos con las siguientes condiciones: al mayor le dejala media de lo que les deja a los otros dos mas $30.000.000; al mediano, exactamente la media delo de los otros dos; y al pequeno, la media de lo de los otros dos menos $30.000.000. Conociendoestas condiciones solamente, ¿pueden los hijos saber cuanto dinero ha heredado cada uno?

39. Construya un polinomio cuadratico p(x) = ax2 + bx+ c que satisfaga las siguientes condiciones:p(1) = f(1), p′(1) = f ′(1) y p”(1) = f”(1), donde f es una funcion , f ′ y f” denotan su primeray segunda derivada, respectivamente. Para,

a) f(x) = e2x.b) f(x) = xex−1.

40. Una persona invirtio un total de 20 mil dolares en tres inversiones al 6 %, 8 % y 10 %. El ingresoanual total fue de $1624 y el ingreso de la inversion al 10 % fue dos veces el ingreso de la inversional 6 %. ¿De cuanto fue cada inversion?

Page 47: Sistema de ecuaciones lineales

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PRIMERA REPRESENTACION MATRICIAL 47

41. Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones A, B y C. Los camiones estanequipados para el transporte de maquinaria pesada: Horquillas y rodillos rompe hielo. Cadacamion A puede transportar 2 horquillas, cada camion tipo B puede transportar una horquillay un rodillo rompe hielo, cada camion tipo C una horquilla y dos rodillos rompe hielo. La firmaconsigue una orden para transportar 32 horquillas y 10 rodillos rompe hielo.a) Determine el numero de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden, asu-

miendo que, cada camion debe estar completamente cargado y el numero exacto de maquinaspedidas es el que se debe despachar.

b) Si la operacion de cada tipo de camion tiene el mismo costo para la firma ¿Cual es la solucionmas economica?

42. Una empresa fabrica tres modelos de guitarras electricas, stratocaster, telecaster y FIV. El costode produccion de cada unidad del modelo stractocaster es de $60.000 pesos, del modelo telecasteres de $40.000 pesos y del modelo FIV es de $90.000 pesos. Ademas la fabricacion de cada modelo(por unidad) requiere la utlizacion de 2 tipos de materia prima como se muestra en la tablasiguiente:

Modelo Unidades materia prima 1 Unidades materia prima 2Stratocaster 1 2Telecaster 3 5FIV 4 7Materia prima disponible 40 77

a) Determine la funcion que permite calcular el costo total de producir x unidades del modelostratocaster, y unidades del modelo telecaster, z unidades del modelo FIV.

b) Si se debe ocupar toda la materia prima disponible del tipo 1 y del tipo 2, plantee un sistemaque permita calcular la cantidad guitarras de cada modelo que deben producirse. Resuelvael sistema.

c) Determine la cantidad de guitarras que deben producirse de cada modelo para que el costototal sea mınimo, si se deben producir al menos una guitarra de cada modelo.

43. Una companıa de inversiones vende tres tipos de fondos de inversion, estandar (E),de lujo (D) yGolden (G). Cada unidad de E tiene 1 accion tipo A, 2 tipo B y 3 tipo C. Cada unidad de Dtiene 4 acciones tipo A, 1 tipo B y 2 tipo C. Cada unidad de G tiene 5 acciones tipo A, 3 tipoB y 5 tipo C. Suponga que un inversionista desea comprar exactamente 10 acciones tipo A, 13acciones tipo B y 20 tipo C, comprando unidades de los tres fondos.

a) Determine las combinaciones posibles de fondos tipo E, D y G que satisfagan los requeri-mientos del inversionista.

b) Si cada unidad de E, D y G le cuesta al inversionista $300, $400 y $600 pesos respectiva-mente ¿Cuales de las combinaciones encontradas anteriormente minimizara el costo total delinversionista?

44. Una pequena empresa fabrica tres productos. Si se venden x1, x2 y x3 unidades de cada producto,se obtiene una ganancia neta por venta segun la funcion

G(x1, x2, x3) = 20x1 − 5x2 + 10x3.

Las perturbaciones del mercado indican que dicha ganancia esta sujeta a las siguientes restric-

ciones:

x1 + 2x2 + 8x3 = 502x1 + 3x2 + 11x3 = 80

x1, x2, x3 ≥ 0

a) Resuelva el sistema, considerando que las soluciones deben ser enteras.b) ¿Cual sera la ganancia maxima que se puede obtener?

Page 48: Sistema de ecuaciones lineales

48 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

c) Si se introduce la restriccion 7x1 + 13x2 + kx3 = p, determine los valores de k y p adecuadosde modo que la solucion obtenida en a) se mantenga.

5. Sistemas Lineales: Segunda representacion matricial

Hasta el momento se han utilizado matrices solo para codificar la data relevante de un sistema deecuaciones lineales, al utilizar el producto matricial, se obtiene una segunda representacion matricial deun sistema lineal. Esta nueva representacion, no solo nos servira para dar respuesta a las preguntas deconsistencia de los sistemas, nos permitira representar adecuadamente los algorıtmos de solucion estudia-dos anteriormente y enrriquecera nuestro conocimiento sobre las matrices mismas.

En general, dado un sistema lineal de orden m× n,

S :

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

denotando por,

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

......

am1 am2 · · · amn

la matriz de coeficientes del sistema, por

b =

b1b2...bn

la matriz de terminos independientes (como se ha hecho anteriormente) y definiendo la matriz X por,

X =

x1

x2

...xn

matriz de variables del sistema, al utilizar el producto matricial, el sistema S se transforma en la ecuacion

matricial

AX = b.

Esta ecuacion, es usualmente denominada forma matricial del sistema S.

Si S es un sistema de ecuaciones de orden n× n (con igual numero de ecuaciones que de variables),la matriz de coeficientes del sistema A es una matriz cuadrada de orden n y AX = b es una ecuacion enMn(R), que es un conjunto en el cual el producto matricial es una operacion. Como se vio en el capıtulo1, la solucion de la ecuacion AX = b en Mn(R) se facilita cuando A es una matriz invertible. En tal caso,la solucion de la ecuacion Ax = b esta dada por,

X = A−1b.

Debido a que la inversa de la matriz A es unica, el valor de X determinado es unico.Traduciendo esto en el lenguaje de los sistema, diremos que un sistema lineal de orden n× n tiene solu-

Page 49: Sistema de ecuaciones lineales

5. SISTEMAS LINEALES: SEGUNDA REPRESENTACION MATRICIAL 49

cion unica si la matriz de coeficientes del sistema A es invertible y sera inconsistente o tendra infinitassoluciones en el caso en que A no sea invertible. Esto nos conduce a las preguntas ¿Cuando una matrizcuadrada de orden n es invertible? y si es invertible, ¿ Como calcular su inversa?, que son precisamente losinterrogantes que quedaron abiertas en el capitulo 1. Es el momento de dar solucion a estos interrogantes.

Antes de abordar las preguntas anteriores, veamos como la forma matricial de los sistemas linealesnos facilita la demostracion de algunas propiedades de los sistemas, que bajo la representacion algebrai-ca resultan un poco mas difıciles de hacer. De ahora en adelante se hara referencia a un sistema linealmediante su forma matricial.

Teorema 5.1. Sea Xp una solucion partıcular del sistema lineal AX = b. Toda solucion de AX = bes de la forma

X = Xp +Xh

donde Xh es una solucion del sistema lineal homogeneo AX = 0. En otras palabras, lo que se afirma esque si denotamos por CS el conjunto solucion del sistema AX = b y por CH el conjunto solucion delsistema lineal homogeneo Ax = 0 se tiene

CS = Xp + CH = {Xp +Xh | Xh ∈ CH}.

Demostracion

Sean Xh una solucion del sistema lineal homogeneo AX = 0 y Z = Xp+Xh ∈ {Xp+Xh | Xh ∈ Ch}.Puesto que,

AZ = A(Xp +Xh) = AXp +AXh = b+ 0 = b

se tiene que Z es una solucion del sistema AX = b. Por tanto,

{Xp +Xh | Xh ∈ Ch} ⊆ CS .

Por otra parte, dada cualquier solucion X ′ de AX = b, sea V = X ′ −Xp. Al efectuar el producto AV seobtiene

AV = A(X ′ −Xp) = AX ′ −AXp = b− b = 0

lo que significa que V ∈ CH .

Esto demuestra que, dada cualquier solucion X ′ del sistema AX = b, existe un vector V que es soluciondel sistema homogeneo AV = 0 que permite expresar

X ′ = Xp + V.

Por tanto,

CS ⊆ {Xp +Xh | Xh ∈ CH}.

Lo que finalmente demuestra,

CS = Xp + CH = {Xp +Xh | Xh ∈ CH}.�

En la practica, el teorema afirma que dado un sistema compatible AX = b y una solucion particularXp, para determinar todas las soluciones del sistema AX = b, basta con resolver el sistema lineal ho-mogeneo asociado AX = 0 y sumar cada vector de este conjunto solucion, con la solucion Xp de AX = b.Puesto que la solucion del sistema lineal homogeneo es un hiperplano que pasa por el origen, en terminosgeometricos, el teorema establece que la solucion del sistema AX = b, se obtiene trasladando este hiper-plano a una solucion particular de AX = b.

Page 50: Sistema de ecuaciones lineales

50 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

El expresar el conjunto solucion de un sistema AX = b en forma vectorial, permite distinguir conclaridad cual es la solucion particular a la que hace referencia el teorema y cual es la solucion del sistemalineal homogeneo asociado, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 5.1. El sistema linealx+ 2z − w + 4t = 1

−x+ y − 3z + w − 2t = −2x+ y + z + 6t = 0

y − z + 2t = −1

tiene infinitas soluciones, como se demostro en el ejemplo 4.14, su conjunto solucion esta formado portodos los vectores X de R5 que satisfacen

X =

xyzwt

=

1−1000

+ z

−21100

+ t

−4−2001

, z, t ∈ R.

Luego, una solucion partıcular del sistema es

Xp =

1−1000

y toda solucion del sistema lineal homogeneo asociado

x+ 2z − w + 4t = 0−x+ y − 3z + w − 2t = 0

x+ y + z + 6t = 0y − z + 2t = 0

es de la forma

Xh = z

−21100

+ t

−4−2001

z, t ∈ R.

Es decir,

CH = {z[−2 1 1 0 0

]t+ t[−4 −2 0 0 1

]t | z, t ∈ R}.

Observe que para escribir este conjunto se ha utilizado la trasposicion de matrices, esto solo se ha hechocon el proposito de ahorrar un poco de espacio y que el conjunto solucion se vea mejor.

Ejemplo 5.2. Si Xp =[1 2 0 2 1

]tes una solucion del sistemax+ 2z − w + 3t = a

−x+ 2y − 2z + 3w + t = b3x− 4y − z + t = c

5x− 6y + 3z − 4w + 3t = d

Determine los valores de a, b, c, d ∈ R y encuentre todas las soluciones del sistema.

Page 51: Sistema de ecuaciones lineales

5. SISTEMAS LINEALES: SEGUNDA REPRESENTACION MATRICIAL 51

Solucion

Si Xp es una solucion particular del sistema, al remplazar los valores x = 1, y = 2, z = 0, w = 2 yt = 1 en cada una de las ecuaciones del sistema, estas se deben satisfacer. Es decir,

1 + 2 · 0− 2 + 3 · 1 = a−1 + 2 · 2− 2 · 0 + 3 · 2 + 1 = b

3 · 1− 4 · 2− ·0 + 1 = c5 · 1− 6 · 2 + 3 · 0− 4 · 2 + 3 · 1 = d

.

Luego, a = 2, b = 10, c = −4 y d = −12.

De acuerdo al teorema anterior, para determinar el conjunto solucion del sistema dado, basta con deter-minar las soluciones del sistema lineal homogeneo asociado,

x+ 2z − w + 3t = 0−x+ 2y − 2z + 3w + t = 0

3x− 4y − z + t = 05x− 6y + 3z − 4w + 3t = 0

.

Para esto, buscamos la forma escalonada equivalente por filas a la matriz de coeficientes1 0 2 −1 3−1 2 −2 3 13 −4 −1 0 15 −6 3 −4 3

1 0 0 1 30 1 0 1 20 0 1 −1 00 0 0 0 0

.De donde, x = −w − 3t

y = −w − 2tz = w

w, t ∈ R.

Las soluciones del sistema lineal homogeneo estan dadas por,

XH = w

−1−1110

+ t

−3−2001

w, t ∈ R.

Por el teorema anterior, las soluciones del sistemax+ 2z − w + 3t = 2

−x+ 2y − 2z + 3w + t = 103x− 4y − z + t = −4

5x− 6y + 3z − 4w + 3t = −12

son de la forma

X = Xp +Xh =

12021

+ w

−1−1110

+ t

−3−2001

w, t ∈ R.

Page 52: Sistema de ecuaciones lineales

52 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ejemplo 5.3. Dado el sistema lineal AX = b, donde A es una matriz cuadrada de orden 4 y lassoluciones del sistema lineal homogeneo asociado son

XH = t1

102−1

+ t2

0134

t1, t2 ∈ R

1. ¿ Es posible que A ≈ I4 ?

Observe que las soluciones del sistema lineal homogeneo asociado, dependen de dos parametros,lo que significa que rang(A) = 4 − 2 = 2. Si R es la forma escalonada reducida equivalente porfilas a la matriz A, R necesariamente debe tener dos filas iguales a cero. Por tanto, no es posibleque A ≈ I4.

2. Si una solucion particular del sistema dado es

Xp =

0046

determine las soluciones de AX = b. ¿Es posible determinar la matriz A?, en caso afirmativo,encuentrela.

Las soluciones del sistema AX = b son

X =

0046

+ t1

102−1

+ t2

0134

t1, t2 ∈ R.

Primero observe que la matriz A no es unica ¿Porque ?. Se determinara una de ellas.

De la solucion anterior,

X =

x1

x2

x3

x4

=

0046

+ t1

102−1

+ t2

0134

=

t1t2

4 + 2t1 + 3t26− t1 + 4t2

x1 = t1x2 = t2x3 = 4 + 2t1 + 3t2x4 = 6− t1 + 4t2

.

Luego, x1, x2, x3, x4 satisfacen el sistema{−2x1 − 3x2 + x3 = 4x1 − 4x2 + x4 = 6

.

Representando matricialmente este sistema y recordando que A es una matriz cuadrada de orden4, se obtiene

−2 −3 1 01 −4 0 10 0 0 00 0 0 0

x1

x2

x3

x4

=

4600

.Ası, una posible matriz es,

A =

−2 −3 1 01 −4 0 10 0 0 00 0 0 0

.

Page 53: Sistema de ecuaciones lineales

5. SISTEMAS LINEALES: SEGUNDA REPRESENTACION MATRICIAL 53

Note que, si aplicamos operaciones elementales a la matriz aumentada del sistema AX =

4600

,

se obtiene un sistema equivalente lo que implica que es posible elegir una matriz A diferente a laencontrada. Ası, por ejemplo, puesto que

−2 −3 1 0 41 −4 0 1 60 0 0 0 00 0 0 0 0

2 3 −1 0 −41 −4 0 1 6−4 5 1 −2 −81 −4 0 1 6

otra posibilidad para A es,

A =

2 3 −1 01 −4 0 1−4 5 1 −21 −4 0 1

.

3. Resolver el sistema, considerando como parametros las variables x3 y x4. Considere la solucionparticular dada en el item anterior.

Utilizando operaciones elementales de fila se tiene,−2 −3 1 0 41 −4 0 1 60 0 0 0 00 0 0 0 0

1 0 − 411

311

211

0 1 − 111 − 2

11 − 1611

0 0 0 0 00 0 0 0 0

Por tanto,

X =

211− 16

1100

+ x3

41111110

+ x4

− 3

1121101

, x3, x4 ∈ R

4. Si al sistema dado se le agrega la ecuacion 2x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = k, determine el valor de laconstante k, para que se conserve la solucion del sistema encontrada en 2.

Una forma de determinar k, es exigir que la solucion dada en 2. satisfaga la ecuacion dada, esdecir

2t1 + 3t2 − (4 + 2t1 + 3t2) + 5(6− t1 + 4t2) = k

−5t1 + 20t2 + 26 = k

Como se supone que k es constante, esta relacion contradice la naturaleza de k. Por tanto, noexiste un k ∈ R de modo que se mantenga la solucion del sistema.

5. ¿ Es tambien XH =

2−3−52

una solucion del sistema lineal homogeneo asociado?

Page 54: Sistema de ecuaciones lineales

54 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Para que XH =

2−3−52

, sea una solucion del sistema lineal homogeneo asociado, deben existir t1,

t2 en R tales que

t1

102−1

+ t2

0134

=

2−3−52

de donde, t1 = 2, t2 = −3, 2t1 + 3t2 = −5 y −t1 + 4t2 = 2, lo cual es imposible, ya que si sesustituyen los valores de t1 y t2 en la ultima ecuacion se llega al absurdo −14 = 2. Por tanto,XH no es una solucion del sistema lineal homogeneo.

5.1. Matrices Invertibles.

Esta seccion esta dedicada a resolver el problema de determinar condiciones para que una matrizA ∈Mn(R) sea invertible y en caso de serlo, como poder determinar su inversa.

Si A ∈Mn(R), se desea determinar condiciones para que exista una matriz X ∈Mn(R) que satisfagalas ecuaciones matriciales

AX = In y XA = In.

Si se representa la matriz X por medio de sus columnas,

X =[C1 C2 · · · Cn

]el producto

AX = A[C1 C2 · · · Cn

]=[AC1 AC2 · · · ACn

].

Al representar la matriz identidad In mediante sus vectores columnas,

In =[e1 e2 · · · en

]donde ek, para todo k = 1, 2, . . . , n, es el vector cuya k-esima componente es 1 y sus demas componentesson todas iguales a 0, la ecuacion AX = In se transforma en[

AC1 AC2 · · · ACn]

=[e1 e2 · · · en

].

Utilizando la igualdad de matrices se obtiene,

AC1 = e1 AC2 = e2 · · · ACn = en.

Como se desea que cada uno de los n sistemas anteriores tenga solucion unica, por el teorema de Roche-Frobenius, el

rang(A) = n.

Por otra parte, como XA = In implica que AtXt = In, representando Xt mediante sus vectorescolumnas,

Xt =[F1 F2 · · · Fn

]donde Fk es la k-esima fila de la matrix X, para k = 1, 2, . . . , n, se tiene que XA = In si y solo si sesatisfacen las ecuaciones matriciales

AtF1 = e1 AtF2 = e2 · · · AtFn = en.

Page 55: Sistema de ecuaciones lineales

5. SISTEMAS LINEALES: SEGUNDA REPRESENTACION MATRICIAL 55

Debido a que cada uno de los n sistemas anteriores deben tener solucion unica, por el teorema de Roche-Frobenius, se tiene que rang(At) = n.

Puesto que, en general rang(A) = rang(At), las dos condiciones anteriores se reducen a una sola

rang(A) = n.

Note que para que A tenga inversa es necesario que cada uno de los 2n sistemas tengan solucionunica, lo que implica que cualquier sistema de la forma AX = b debe tener igualmente solucion unicay por tanto el sistema lineal homogeneo asociado AX = 0 tiene solucion trivial. El teorema siguienteresume todas las conclusiones que surgen del procedimiento expuesto anteriormente.

Teorema 5.2. Dada una matriz A ∈Mn(R), las proposiciones siguientes son equivalentes,

1. A es invertible.2. La ecuacion AX = b tiene solucion unica para todo b ∈ Rn.3. La ecuacion AX = 0 tiene solucion trivial.4. La forma escalonada reducida de A es la matriz identidad, In.5. rang(A) = n.6. Existe una unica matriz B ∈Mn(R) talque AB = In.

Demostracion

Para demostrar que las seis proposiciones son equivalentes, se utilizara un metodo cıclico, se mos-trara que: 1⇒ 2⇒ 3⇒ 4⇒ 5⇒ 6⇒ 1.

1⇒ 2: Si A ∈Mn(R) es invertible, existe una unica matriz A−1 ∈Mn(R) talque

A−1A = A−1A = In.

Dado cualquier sistema AX = b, multiplicando a izquierda por A−1 ambos lados de la igualdad,se tiene

A−1AX = A−1b

InX = A−1b

X = A−1b.

Por tanto, el sistema AX = b tiene solucion unica X = A−1b, para todo b ∈ Rn.

2⇒ 3: Si AX = b tiene solucion unica para todo b ∈ Rn, en particular para b = 0, lo que significaque el sistema lineal homogeneo AX = 0 tiene solucion unica X = 0.

3⇒ 4: Sea R la forma escalonada reducida de A. Si R 6= In, la matriz R necesariamente debe teneruna fila de ceros. Puesto que R es una matriz cuadrada de orden n, rang(A) < n. El teorema deRoche-Frobenius, asegura que el sistema lineal homogeneo AX = 0 tiene infinitas soluciones, loque contradice la hıpotesis. Por tanto, R = In.

4⇒ 5: Si A es equivalente por filas a la matriz identidad In, claramente rang(A) = n.

5⇒ 6: Sea In =[e1 e2 · · · en

]donde los ek representan los vectores columna de In. Como

rang(A) = n, se tiene que para cada k = 1, 2, . . . , n, el sistema AX = ek tiene solucion unica unvector Bk ∈ Rn. Entonces, para cada k = 1, 2, . . . , n, Bk es el unico vector de Rn que satisface:ABk = ek .

Sea B =[B1 B2 · · · Bn

]la matriz cuyas columnas estan formadas por los vectores Bk,

efectuando la multiplicacion AB se obtiene

Page 56: Sistema de ecuaciones lineales

56 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

AB = A[B1 B2 · · · Bn

]=[AB1 AB2 · · · ABn

]=[e1 e2 · · · en

]= In.

Lo que demuestra que existe una unica matrix B ∈Mn(R), talque AB = In.

6⇒ 1: Supongamos que existe una unica matriz B ∈ Mn(R) talque AB = In. Si se considera elsistema lineal homogeneo BX = 0, puesto que X se expresa en forma unica como X = InX e Incomo In = AB se tiene,

X = InX = (AB)X = A(BX) = A0 = 0.

Lo que muestra que X = 0, es la unica solucion posible para BX = 0.

Como se ha demostrado que, 2⇒ 3⇒ 4⇒ 5⇒ 6 y que el sistema BX = 0 tiene solucion trivial,se asegura la existencia de una unica matriz B1 ∈Mn(R), tal que BB1 = In, ya que 2⇒ 6.

Como

A = AIn = A(BB1) = (AB)B1 = InB1 = B1,

se tiene que,

BA = BB1 = In.

De esta ultima igualdad y de la hipotesis AB = In se concluye que A es una matriz invertible.

El teorema anterior sera de gran importancia para los desarrollos que se haran a lo largo de todo eltexto, ası que le sugerımos que lo tenga presente, ya que no solo sera aplicado con frecuencia, si no quele sera util en cursos futuros. En este momento nos servira para determinar un procedimiento para elcalculo de la inversa de una matriz A ∈Mn(R).

Primero observe que, al demostrar que 6 ⇒ 1, se mostro que si existe una unica matriz X talqueAX = In, necesariamente XA = In. Lo que significa que las matrices A y X son inversas una de la otray por tanto

X = A−1.

Este hecho, simplifica la tarea del calculo de la inversa de una matriz: sera suficiente asegurar la existenciade una unica matriz que satisface AX = In, para tener la certeza que X = A−1.

Por otra parte, si se supone que A ∈Mn(R) es una matriz invertible, 6 asegura que existe una unicamatriz X talque AX = In. Expresando X e In mediante sus columnas,

X =[C1 C2 · · · Cn

]y In =

[e1 e2 · · · en

]y efectuaando la multiplicacion, como se ha hecho anteriormente,

AX =[AC1 AC2 · · · ACn

]=[e1 e2 · · · en

]se tiene que cada uno de los sistemas

AC1 = e1 AC2 = e2 · · · ACn = en

tiene solucion unica.

Page 57: Sistema de ecuaciones lineales

5. SISTEMAS LINEALES: SEGUNDA REPRESENTACION MATRICIAL 57

Ahora si se piensa en detalle como se resuelven cada uno de estos sistemas utilizando el algorıtmo deGauss-Jordan, surge naturalmente el metodo que se busca. Recuerde que lo primero que se hace esconstruir las matrices aumentadas de cada sistema,

[A | e1 ], [A | e2 ], · · · , [A | en ],

a continuacion se determina la forma escalonada reducida de cada una de ellas. Puesto que A ≈ In, lamisma sucesion de operaciones elementales que hacen A equivalente a In, sirven para determinar cadauna de las formas escalonadas reducidas que se requieren. Ademas, como para cada k = 1, 2, . . . , n, elk-esimo sistema tiene a Ck por solucion, se tiene que

[A | e1 ] ≈ [In | C1 ], [A | e2 ] ≈ [In | C2 ], · · · , [A | en ] ≈ [In | Cn ].

Debido a que, sobre cada matriz aumenta se utilizan las mismas operaciones elementales, resultaimpractico (por no decir absurdo) repetir n veces por separado, el mismo procedimiento. Lo adecuadoserıa, ingeniarnos la manera de realizar estas operaciones en paralelo. ¿Como se podrıa hacer?. Constru-yendo la matriz

[A | e1 e2 · · · en ] = [A | In ]

de orden n× 2n, y determinando su forma escalonada reducida R.

Finalmente, observe que

[A | In ] ≈ R = [In | C1 C2 · · ·Cn] = [In | A−1 ]

lo que permite en n pasos (en lugar de n2 pasos) determinar A−1. El metodo encontrado es uno de losmetodos mas efectivos para el calculo de la matriz inversa.

El metodo anterior, se puede extender al problema de determinar si una matriz A es o no invertible. Deacuerdo al teorema anterior, para decidir si una matriz es invertible, es suficiente con calcular su rango.Note que, el rango de la matriz A se puede obtener a partir de la matriz

[A | In ],

buscando una forma escalonada equivalente. Si A no es invertible, no es necesario continuar el procesopara hallar la forma escalonada reducida. Pero si A es invertible y se desea determinar su inversa, eltrabajo se ha adelantado bastante. Por supuesto, si unicamente se quiere determinar si A es invertible,resulta impractico utilizar [A | In ] en lugar de A, pues conlleva mayor cantidad de calculos. Ası, que seaconseja utilizar la matriz [A | In ] unicamente cuando se quiere saber si A es invertible y se requieredeterminar A−1.

Los ejemplos siguientes ilustran el uso de este metodo.

Ejemplo 5.4. Decida si la matriz

A =

−1 4 02 3 12 2 1

es invertible. Si lo es, determine su inversa.

Solucion

Como se desea, determinar si la matriz A es invertible y en caso de serlo, calcular A−1. Se utiliza lamatriz [A | In ].

[A | In ] =

−1 4 0 1 0 02 3 1 0 1 02 2 1 0 0 1

≈F1 ↔ F2

1 −4 0 −1 0 02 3 1 0 1 02 2 1 0 0 1

Page 58: Sistema de ecuaciones lineales

58 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

≈F2 − 2F1

F3 − 2F1

1 −4 0 −1 0 00 11 1 2 1 00 10 1 2 0 1

≈111F2

1 −4 0 −1 0 00 1 1

11211

111 0

0 10 1 2 0 1

≈F3 − 10F2

1 −4 0 −1 0 00 1 1

11211

111 0

0 0 111

211 − 10

11 1

≈11F3

1 −4 0 −1 0 00 1 1

11211

111 0

0 0 1 2 −10 11

Puesto que rang(A) = 3, se concluye que A es invertible.

Para calcular la matriz inversa de A, se continua con la reduccion para determinar la forma escalonadareducida.

[A | In ] ≈

1 −4 0 −1 0 00 1 1

11211

111 0

0 0 1 2 −10 11

≈F2 − 1

11F3

1 −4 0 −1 0 00 1 0 0 1 −10 0 1 2 −10 11

≈F−4F2

1 0 0 −1 4 −40 1 0 0 1 −10 0 1 2 −10 11

= [In | A−1 ]

Luego,

A−1 =

−1 4 −40 1 −12 −10 11

.�

Ejemplo 5.5. ¿Es la matriz

B =

1 0 1 −12 −1 1 02 3 1 21 −4 1 −3

invertible?

Solucion

Puesto que lo unico que se requiere saber es si B es o no una matriz invertible, utilizamos directamenteB para determinar su rango. El lector puede verificar

B =

1 0 1 −12 −1 1 02 3 1 21 −4 1 −3

1 0 1 −10 1 1 −20 0 −4 100 0 0 0

.Como rang(B) = 3 6= 4, se tiene que B no es una matriz invertible.

Ejemplo 5.6. Sea A = (aij)n×n la matriz definida por

aij =

{1 + xi si i = jxi si i 6= j

donde, los xi ∈ R para cada i = 1, 2, . . . , n son tales que: x1 + x2 + · · ·+ xn = 1. ¿A es invertible?.

Page 59: Sistema de ecuaciones lineales

5. SISTEMAS LINEALES: SEGUNDA REPRESENTACION MATRICIAL 59

Solucion

Por definicion la matriz A esta dada por,

A =

1 + x1 x1 x1 · · · x1

x2 1 + x2 x2 · · · x2

x3 x3 1 + x3 · · · x3

......

......

...xn xn xn · · · 1 + xn

.

Al realizar la sucesion de operaciones elementales: F1 + Fi para i = 2, 3, . . . , n se obtiene

A =

1 + x1 x1 x1 · · · x1

x2 1 + x2 x2 · · · x2

x3 x3 1 + x3 · · · x3

......

......

...xn xn xn · · · 1 + xn

1 +∑nk=1 xk 1 +

∑nk=1 xk 1 +

∑nk=1 xk · · · 1 +

∑nk=1 xk

x2 1 + x2 x2 · · · x2

x3 x3 1 + x3 · · · x3

......

......

...xn xn xn · · · 1 + xn

.

Utilizando la hipotesis, x1 + x2 + · · ·+ xn = 1 se tiene,

A ≈

1 + 1 1 + 1 1 + 1 · · · 1 + 1x2 1 + x2 x2 · · · x2

x3 x3 1 + x3 · · · x3

......

......

...xn xn xn · · · 1 + xn

=

2 2 2 · · · 2x2 1 + x2 x2 · · · x2

x3 x3 1 + x3 · · · x3

......

......

...xn xn xn · · · 1 + xn

1 1 1 · · · 1x2 1 + x2 x2 · · · x2

x3 x3 1 + x3 · · · x3

......

......

...xn xn xn · · · 1 + xn

Aplicando las operaciones, Fk − xkF1 para k = 2, 3, . . . , n, se obtiene finalmente que,

A ≈

1 1 1 · · · 10 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · 1

.

De donde se deduce que rang(A) = n. Por tanto A es invertible.

5.2. Matrices Elementales.

La idea fundamental de esta seccion, es utilizar la multiplicacion de matrices para expresar cada unade las operaciones elementales de fila y ası describir de mejor forma los algorıtmos de reduccion que hansido utilizados hasta el momento.

Suponga que se tienen la matriz

A =

[a11 a12 a13

a21 a22 a23

]y la matriz B la cual es obtenida a partir de A por la aplicacion de la operacion elemental: F1 ↔ F2,

Page 60: Sistema de ecuaciones lineales

60 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

B =

[a21 a22 a23

a11 a12 a13

].

La pregunta es: ¿Es posible determinar una matriz E talque B = EA?

Primero determinemos el orden de la matriz E. Puesto que E y A deben ser compatibles para el pro-ducto EA, el orden de E debe ser s×2. Como EA = B, las dos matrices deben tener igual orden. Debido aque el orden de EA es s×3 y el de B es 2×3, se concluye que E debe ser una matriz cuadrada de orden 2.

Si E = (εij)2×2, el problema se reduce a determinar una matriz E talque,[ε11 ε12

ε21 ε22

] [a11 a12 a13

a21 a22 a23

]=

[a21 a22 a23

a11 a12 a13

]Efectuando el producto se obtiene,[

ε11a11 + ε12a21 ε11a12 + ε12a22 ε11a13 + ε12a23

ε21a11 + ε22a21 ε21a12 + ε22a22 ε21a13 + ε22a23

]=

[a21 a22 a23

a11 a12 a13

].

Por tanto,

ε11a11 + ε12a21 = a21 ε11a12 + ε12a22 = a22 ε11a13 + ε12a23 = a23.

Para que estas ecuaciones se satisfagan simultaneamente, ε11 = 0 y ε12 = 1. Analogamente, comparandolas segundas filas, se tiene finalmente que

E =

[0 11 0

].

Note que si a la matriz identidad I2 =

[1 00 1

], se le aplica la misma operacion elemental de la cual

se obtuvo B a partir de A: F1 ↔ F2, se obtiene la matriz E. Lo interesante es que esto siempre es ası.

Definicion 5.1. Se dice que una matriz E ∈Mn(R) es una matriz elemental, si se obtiene a partirde la identidad In por la aplicacion de una y solo una operacion elemental de fila. Lo que equivale a que,si ρ es una operacion elemental de fila, entonces E = ρ(In) se denomina matriz elemental.

Como existen tres tipos diferentes de operaciones elementales de fila, existen tres tipos diferentes dematrices elementales. Ası por ejemplos, en M2(R) se tienen los tres tipos de matrices elementales:

Matriz de Intercambio de Fila: E =

[0 11 0

].

Matrices de Escalamiento: E1 =

[α 00 1

]y E2 =

[1 00 β

]con α, β ∈ R− {0}.

Matrices de Reduccion: E1 =

[1 0α 1

]y E2 =

[1 β0 1

]con α, β ∈ R.

Teorema 5.3. Sea A ∈ Mm×n(R) y sea E ∈ Mm(R) la matriz elemental obtenida a partir de Impor aplicacion de la operacion elemental ρ. Si se aplica sobre A la operacion elemental ρ, entonces

ρ(A) = EA.

Demostracion

Denotemos la matriz A y la matriz Im por medio de sus vectores filas,

Page 61: Sistema de ecuaciones lineales

5. SISTEMAS LINEALES: SEGUNDA REPRESENTACION MATRICIAL 61

A =

F1

F2

...Fm

, Im =

e1

e2

...em

..Distinguimos tres casos segun el tipo de matriz elemental E que se tenga.

Matriz de Intercambio de fila: Sea ρ una operacion elemental del tipo Fi ↔ Fj y E = ρ(Im) .

Si se denotan las filas de E por Filk(E) con k = 1, 2, . . . ,m, se tiene

Filk(E) =

ek si k 6= i y k 6= jej si k = iei si k = j

.

Analogamente, si las filas de EA se denotan por Filk(EA), se tiene

Filk(EA) =

ekA si k 6= i y k 6= jejA si k = ieiA si k = j

=

Fk si k 6= i y k 6= jFj si k = iFi si k = j

.

Por tanto, EA = ρ(A).

Matriz de Escalamiento: Si ρ es una operacion elemental del tipo αFi con α 6= 0 y E = ρ(Im),utilizando la misma notacion del item anterior, se tiene ahora que

Filk(E) =

{ek si k 6= iαei si k = i

de donde,

Filk(EA) =

{ekA si k 6= iαeiA si k = i

=

{Fk si k 6= iαFi si k = i

.

Por tanto, EA = ρ(A).

Matriz de Reduccion: Finalmente, si ρ es una operacion elemental del tipo Fj+αFi y E = ρ(Im),se tiene

Filk(E) =

{ek si k 6= jej + αei si k = j

de donde,

Filk(EA) =

{ekA si k 6= j(ej + αei)A si k = j

=

{Fk si k 6= jFj + αFi si k = j

.

Por tanto, EA = ρ(A).

De este teorema, se deduce que los algoritmos de Gauss y de Gauss-Jordan pueden ser interpretadoscomo multiplicaciones a izquierda por matrices elementales. Ası por ejemplo, si U es una forma escalonadaequivalente por filas a una matriz A ∈Mm×n(R), la cual es obtenida a partir de A, aplicando la sucesionde operaciones elementales ρ1, ρ2, . . . , ρs y E1, E2, . . . , Es son las matrices elementales correspondientesa cada una de estas operaciones, se tiene que

A ≈ A1 ≈ A2 ≈ A3 ≈ · · · ≈ U

Page 62: Sistema de ecuaciones lineales

62 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

corresponde a la sucesion de matrices

A1 = ρ1(A) = E1AA2 = ρ2(ρ1(A)) = E2E1AA3 = ρ3(ρ2(ρ1(A))) = E3E2E1A...As = U = ρs(· · · (ρ2(ρ1(A))) = Es · · ·E2E1A.

Observe que si, se denota por G = Es · · ·E2E1 el algorıtmo anterior puede resumirse en la igualdad

U = GA.

Como G = Es · · ·E2E1Im, el teorema anterior asegura que G se puede obtener a partir de la identi-dad Im, aplicando las mismas operaciones elementales ρ1, ρ2, . . . , ρs que fueron aplicadas sobre A.

Por tanto, si una sucesion de operaciones elementales cualesquiera transforma la matriz A en GA, lamisma sucesion de operaciones elementales transforma la identidad Im en G. Ilustremos esto medianteun ejemplo.

Ejemplo 5.7. Determinar una forma escalonada U de la matriz

B =

[2 1 41 −1 2

],

y hallar una matriz G, talque GB = U .

Solucion

Hay dos formas de proceder para determinar G.

La primera, consiste en determinar una forma escalonada de la matriz B. A medida que se van apli-cando las operaciones elementales se van registrando las matrices elementales correspondientes. Como Ges el producto de las matrices elementales, el problema esta resuelto. El cuidado que hay que tener es enrealizar la multiplicacion en el orden adecuado y tener presente que las matrices elementales se obtienena partir de la matriz identidad, aplicando una sola operacion elemental (si se aplican dos operacioneselementales a la identidad, la matriz resultante ya no es una matriz elemental).

La segunda, consiste en utilizar en lugar de la matriz B, la matriz A = [B | I2]. El resultado se obtienedirectamente al determinar cualquier forma escalonada equivalente a A, puesto que

A = [B | I2] ≈ [U | G].

El calculo de las matrices elementales se justificara solo en el caso en que se quiera expresar la ma-triz G como producto de matrices elementales. Se aprovechara este ejemplo para determinar no solola factorizacion pedida U = GB, si no tambien para expresar la matriz G como producto de matriceselementales.

[2 1 4 1 01 −1 2 0 1

]︸ ︷︷ ︸

A

≈F1 ↔ F2

[1 −1 2 0 12 1 4 1 0

]︸ ︷︷ ︸

E1A

≈F2 − 2F1

[1 −1 2 0 10 3 0 1 −2

]︸ ︷︷ ︸

E2E1A

≈13F2

[1 −1 2 0 10 1 0 1

3 − 23

]︸ ︷︷ ︸

E3E2E1A

Page 63: Sistema de ecuaciones lineales

5. SISTEMAS LINEALES: SEGUNDA REPRESENTACION MATRICIAL 63

donde

E1 =

[0 11 0

], E2 =

[0 11 0

]y E3 =

[0 11 0

].

Note que los productos: E1A, E2E1A , E3E2E1A estan dados por:

E1A = [E1B | E1I2], E2E1A = [E2E1B | E2E1I2], E3E2E1A = [E3E2E1B | E3E2E1I2]

De donde se obtiene que,U = E3E2E1B y G = E3E2E1I2.

Por tanto [1 −1 20 1 0

]︸ ︷︷ ︸

U

=

[1 113 − 2

3

]︸ ︷︷ ︸

G

[2 1 41 −1 2

]︸ ︷︷ ︸

B

Por otra parte, observe que G queda factorizada como[1 113 − 2

3

]︸ ︷︷ ︸

G

=

[1 00 1

3

]︸ ︷︷ ︸E3

[1 0−2 1

]︸ ︷︷ ︸

E2

[0 11 0

]︸ ︷︷ ︸E1

.

En general, si A = [B | Im], los productos: E1A, E2E1A , Es · · ·E2E1A estan dados por:

E1A = [E1B | E1I2], E2E1A = [E2E1B | E2E1I2], . . . , Es · · ·E2E1A = [Es · · ·E2E1B | Es · · ·E2E1I2]

De donde se obtiene,

U = Es · · ·E2E1B y G = Es · · ·E2E1I2.

Observe la similitud del procedimiento anterior con el algorıtmo para el calculo de la inversa de unamatriz: si B ∈Mn(R) es invertible, B ≈ In y se tiene que

In = (En · · ·E2E1)B.

Esto implica que,B−1 = En · · ·E2E1.

Como cada matriz elemental es equivalente por filas a In, se tiene que para cada i = 1, 2, . . . , n, la matrizEi es invertible. Aplicando las propiedades de las matrices invertibles, la igualdad anterior se convierteen

B = (En · · ·E2E1)−1 = E−11 E−1

2 · · ·E−1s .

Expresion que factoriza la matriz B como un producto de inversas de matrices elementales, lo que nosqueda por demostrar es precisamente que la inversa de una matriz elemental es una matriz elemental.Para finalmente obtener el siguiente resultado: Una matriz es invertible si y solo si es producto de ma-trices elementales.

Antes de continuar, observe que toda operacion elemental de fila ρ es invertible y

1. Si ρ es la operacion elemental Fi ↔ Fj entonces ρ−1 = ρ.2. Si ρ es la operacion elemental αFi, con α 6= 0, entonces ρ−1 es la operacion elemental 1

αFi.

3. Si ρ es la operacion elemental Fi + αFj , entonces ρ−1 es la operacion elemental Fi − αFj .

Page 64: Sistema de ecuaciones lineales

64 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

La demostracion de las afirmaciones anteriores se deducen directamente de la definicion de cada unade las operaciones elementales y se deja como ejercicio para el lector.

Teorema 5.4. Toda matriz elemental E ∈ Mn(R) es invertible. Ademas, si ρ es la operacion ele-mental talque E = ρ(In) entonces E−1 = ρ−1(In).

Demostracion La demostracion es inmediata ya que, si E = ρ(In) y E′ = ρ−1(In), se tiene

In = ρ(ρ−1(In)) = ρ(E′) = EE′

y

In = ρ−1(ρ(In)) = ρ−1(E) = E′E.

Por tanto, E es invertible y E′ = E−1.

Observe que, el teorema anterior afirma no solo que las matrices elementales son invertibles, si no que lainversa de una matriz elemental es ella misma una matriz elemental, la cual es obtenida a partir de laidentidad por la aplicacion de la operacion elemental inversa.

Teorema 5.5. A ∈Mn(R) es invertible si y solo si A es producto de matrices elementales.

Demostracion Si A es una matriz invertible, la forma escalonada reducida de A es In. Por tanto,existe una sucesion finita de matrices elementales E1, E2, . . . , Er tales que

In = ErEr−1 · · ·E2E1A.

Puesto que Ei es una matriz invertible para i = 1, 2, . . . , r, la matriz ErEr−1 · · ·E2E1 es invertible, y dela igualdad anterior se tiene,

A = (ErEr−1 · · ·E2E1)−1 = E−11 E−1

2 · · ·E−1r−1E

−1r

Como cada E−1i es una matriz elemental, A es producto de matrices elementales, como se queria demos-

trar.

La otra implicacion es inmediata, ya que si existen matrices elementales E1, E2, . . . , Es tales que

A = E1E2 · · ·ErA es invertible, por ser el producto finito de matrices invertibles.

Ejemplo 5.8.

Dada la matriz

A =

0 a 0b 0 cb 0 0

con a 6= 0, b 6= 0 y c 6= 0, demuestre que A es invertible y expresela como producto de matrices elementales.

Solucion

Para demostrar que la matriz A es invertible, basta demostrar que su forma escalonada reducida R esigual I3. Como ademas se requiere expresar A como producto de matrices elementales, una estrategia esir aplicando las operaciones elementales (una a la vez) y determinando en cada caso la matriz elementalcorrespondiente a dicha operacion. Tenga presente, que la aplicacion de una operacion elemental ρ auna matriz C cualquiera, es el producto a izquierda de la matriz elemental E = ρ(In), por C, esto es:ρ(C) = EC.

Page 65: Sistema de ecuaciones lineales

5. SISTEMAS LINEALES: SEGUNDA REPRESENTACION MATRICIAL 650 a 0b 0 cb 0 0

≈F2 ↔ F3

0 a 0b 0 0b 0 c

≈F1 ↔ F2

b 0 00 a 0b 0 c

≈F3 − F1

b 0 00 a 00 0 c

Como a 6= 0, b 6= 0 y c 6= 0, se tiene

≈1bF1

1 0 00 a 00 0 c

≈1aF2

1 0 00 1 00 0 c

≈1cF3

1 0 00 1 00 0 1

.

Como A ≈ In, A es invertible.

Si denotamos por, E1, E2, · · · , E6 las matrices elementales, correspondientes a cada una de las operacio-nes elementales aplicadas a la matriz A para obtener su forma escalonada reducida,

E1 =

1 0 00 0 10 1 0

, E2 =

0 1 01 0 00 0 1

, E3 =

1 0 00 1 0−1 0 1

, E4 =

1b 0 00 1 00 0 1

,E5 =

1 0 00 1

a 00 0 1

, E6 =

1 0 00 1 00 0 1

c

,

entonces, E6E5E4E3E2E1A = I3

Ası, A = E−11 E−1

2 E−13 E−1

4 E−15 E−1

6 .

Para determinar las matrices inversas de cada una de las matrices elementales, se utiliza la propiedad: siEi = ρ(I3), E−1

i = ρ−1(In), lo que facilita el calculo de la inversa de cada una de las matrices elementales.

E−11 =

1 0 00 0 10 1 0

E−12 =

0 1 01 0 00 0 1

E−13 =

1 0 00 1 01 0 1

E−14 =

b 0 00 1 00 0 1

E−15 =

1 0 00 a 00 0 1

E−16 =

1 0 00 1 00 0 c

, es decir,

A =

1 0 00 0 10 1 0

0 1 01 0 00 0 1

1 0 00 1 01 0 1

b 0 00 1 00 0 1

1 0 00 a 00 0 1

1 0 00 1 00 0 c

Para finalizar esta seccion presentaremos una de las aplicaciones economicas mas interesantes, quemuestran la habilidad del algebra matricial para simplificar el analisis de diversos fenomenos economicos.

El modelo que presentaremos fue introducido por Wassily Leontief, premio nobel de economıa en1973, en un estudio sobre la economıa de los Estados Unidos 8. Su analisis introduce el algebra matricialal tratamiento de los problemas del equilibrio general y desarrolla un modelo estatico, el cual resultaser de gran importancia para estimar los niveles productivos sectoriales y las relaciones intersectorialesen una economıa. El objetivo principal del modelo, es permitir a los economistas predecir los nivelesde produccion futuros de cada sector o industria, a fin de satisfacer las demandas futuras para diversosproductos.

8The Structure of American Economy, 1941

Page 66: Sistema de ecuaciones lineales

66 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

El analisis Insumo-Producto (Input-output) introducido por Leontief ha demostrado, a lo largo deltiempo, ser uno de los instrumentos mas utiles para describir y analizar la estructura productiva de unentorno economico determinado. Como parte de la Econometrıa, el analisis Insumo-Producto combinael uso de la Teorıa Economica, el Analisis Estadıstico y el Matematico. La construccion de matricesinsumo-producto se continuando haciendo actualmente. En Europa, por ejemplo, paises como Noruega,Espana, Dinamarca, Francia, Holanda, Alemanıa y el Reino Unido estiman matrices Insumo-Productoaproximadamente cada 5 anos y en latinoamerica lo hacen paises como Mexico, Chile9, Colombia, Cuba,Costa Rica y Puerto Rico. En Puerto Rico existen matrices de Insumo-Producto desde 1949, siendo elmismo Leontief junto con Amor Gosfield, quienes supervisaron directamente su construccion.

Para hacer su modelo de equilibrio general empıricamente manejable, Leontief introdujo ciertas sim-plificaciones y supuestos. En primer lugar, redujo el numero de mercancias (bienes economicos de todotipo destinados al intercambio) a unos pocos productos, uno por cada industria, el propio que lo caracte-riza y el cual no es producido por ninguna otra. Ası, por ejemplo, la industria automotriz, solo producevehıculos a motor y es la unica que lo hace, las demas industrias producen otros productos; en otraspalabras, Leontief hace un supuesto de identidad de la industria y el producto. En segundo instancia,considero que cada producto era uniforme, es decir hay un supuesto de homogeniedad de los productos,en el ejemplo anterior, esto significarıa considerar que todos los vehıculos a motor son los mismos. Eltercer supuesto que hace y el mas relevante, es declarar que en determinado perıodo, cada insumo esrequerido en una relacion fija a la produccion a la cual contribuye, supuesto conocido como, supuesto delos coeficientes fijos: la relacion expresada en terminos de cocientes, es independiente de los niveles deproduccion. La consecuencia inmediata del supuesto de coeficientes fijos es que cualquier cambio en losdatos, en el corto plazo, no conduce a una substitucion de los procesos productivos.

A lo largo del tiempo, cada uno de estos supuestos ha sido cuestionado por los economistas y se le hanhecho algunas modificaciones al modelo original para ir generalizandolo. Por ejemplo, el uso de la progra-macion lineal convierte el modelo de Insumo- Producto en un procedimiento de optimizacion, eliminandoalgunas de las restricciones del modelo simple de Leontief. En palabras de Chenery, la programacion linealofrece un medio para eludir el supuesto limitativo de coeficientes constantes de insumo en cado sector, almismo tiempo que retiene una formulacion que permite realizar la medida estadıstica 10. Los modelos deInsumo-Producto basados en matrices Commodity-by-Industry (mercancia-por-Industria) en los cualeslas mercancias y las industrias entran explicitamente en el modelo, evitando la necesidad de agregar laproduccion multimercancia de cada industria en una mercancia sintetizada (como lo hizo Leontief); eneste analisis se reconoce el hecho de que cada industria usa y produce muchos productos y algunos delos bienes es producido por mas de una industria 11. Ya sea en su forma original o con variacion ensus supuestos, el analisis Insumo-Producto, es actualmente aplicado a diferentes ramas de la economıacomo son, el comercio internacional, la planificacion economica, el analisis economico regional, la teorıade precios entre otras.

El modelo que estudiaremos, es el modelo Insumo-Producto de demanda, cuyo objetivo es per-mitir predecir los niveles de produccion futura de cada sector o industria a fin de satisfacer las demandasfuturas para diversos productos.

En una economıa hay un cierto numero de sectores de produccion o industrias, cuyos productos ofer-tados se destinan como materia prima para otras industrias (o sectores de produccion), o son destinadosa satisfacer la demanda final de los consumidores, como pueden ser los productos destinados al sectorpublico, a las familias o al comercio exterior. La economıa es dividida en sectores productivos y sectoresfinales, cada uno de los sectores productivos es constituido por diferentes empresas productivas con algunacaracterıstica en comun, por ejemplo, se podria considerar un sector agropecuario, conformado por lasempresas agrıcolas y ganaderas tales como: produccion de hortalizas, de cereales, forrajes, ganado lechero,ganado lanar, avıcola, porcinos, etc. La produccion de un sector, es requerida como insumo para la pro-duccion de otros sectores, e incluso para la produccion de ese mismo sector. El nivel correcto (sin deficit

9Ver Instituto Nacional de Estadısticas de Chile INE10Chenery, H.B; Clark, P.G. (1963). Economıa Interindustrial. Insumo-Producto y Programacion lineal.11Este tipo de modelos fueron generado por economistas miembros del Canada’s Dominion Bureau of Statistics-DBS.

Page 67: Sistema de ecuaciones lineales

5. SISTEMAS LINEALES: SEGUNDA REPRESENTACION MATRICIAL 67

ni excedente) de produccion en un sector dependera de los requerimientos de su producto como insumo delos sectores de la economıa y a su vez, la produccion de otros sectores entrara en el sector como insumo.En consecuencia, los niveles correctos de los otros productos dependeran de los requerimientos de insumodel sector, estableciendose una dependencia entre sectores: cualquier conjunto de niveles correctos de lossectores, debe ser consistente con los requerimientos de insumos en la economıa. Es natural pensar, quecuanto mayor sea el numero de sectores que se consideren, mas utilidad tendra el analisis; lo ideal serıa,considerar tantos sectores como bienes se producen en una economıa, pero eso resultarıa excesivamentecostoso, por la dificultad para recoger los datos necesarios para el analisis y por la complejidad de loscalculos necesarios para realizarlo, es tal el costo, que en la practica se han realizado a traves del tiempo,una disminucion en el numero de sectores productivos considerados, mas que un aumento.

Supongamos que la economıa de una region se ha dividido en n sectores, para su modelo Leontiefdistingue dos casos: cuando los n sectores constituyen el total de la economıa y sus productos son parael unico proposito de satisfacer la demanda de insumos de los mismos n sectores, o equivalentemente,cuando se considera que todos los insumos utilizados en la economıa, son insumos intermedios (los sumi-nistrados por los n sectores) el modelo se denomina cerrado. Cuando los productos deben satisfacer lademanda de insumos de los sectores productivos y de la demanda final ( la demanda de los consumidoresy no solo para la produccion), considerandose de este modo, un sector abierto fuera de la red de los nsectores productivos, los insumos intermedios (para la produccion) y los insumos primarios (que no sonproductos industriales, como podrıa ser la mano de obra) el modelo se denomina abierto. En este textose estudiara principalmente el modelo abierto, por ser uno de los mas utilizados.

Para comprender, la modelacion realizada por Leontief consideremos una economıa ficticia formadapor tres sectores A, I y S, donde A es el sector Agropecuario (formado por las empresas agrıcolas yganaderas), I el sector industrial (formado por todas las empresas que producen textiles, farmaceuticos,petroquımicos, alimentos, bebidas, papel y derivados, etc.) y S el sector servicios (formado por todaslas empresas que prestan algun tipo de servicio tales como bancos, transporte de carga, transporte depasajeros, comercio, servicios profesionales, servicios publicos, etc.). Para describir la interdependenciade los sectores, lo primero que Leontief propone es construir una tabla de transacciones intersectoriales,en la que se muestre como se interrelacionan todas las industrias, en el sentido de que cada una adquiereproductos fabricados por los demas sectores a fin de llevar acabo su propio proceso productivo. Supon-gamos, que la tabla para esta economıa es la dada a continuacion, la cual se obtiene utilizando inferenciaestadıstica, por medio de encuestas a las empresas representativas de cada uno de los sectores productivos,

I/O A I S Demanda Final Produccion Bruta

A 1200 800 2800 1200 6000I 3000 1600 1400 2000 8000S 600 3600 4600 5200 14000

La primera columna (con data numerica) de la tabla, se interpreta de la siguiente manera: el pri-mer elemento 1200, representa las compras que el sector agropecuario ha efectuado a otras empresasdel mismo sector, por ejemplo, semillas, abonos, ganado para engorde, follaje, etc. El segundo elemento,3000 representa las compras que el sector agropecuario ha efectuado al sector industrial, como puedenser, herramientas, fertilizantes, quımicos, insecticidas, tractores, tuberıas, etc. El tercer elemento, 600representa las compras que el sector agropecuario ha efectuado al sector servicios, tales como, servicio detransporte de carga, servicio de sanidad e inmunizacion, asesorıa legal, servicio de almacenaje, serviciode comercializacion, etc.

Por tanto, Las tres primeras columnas representan las demandas intermedias o la utilizacion interme-dia, ya que estas cifras corresponden a los insumos que los sectores adquieren para fabricar sus productos,y que corresponden a bienes que no llegan al consumidor final, si no que se utilizan en el proceso de pro-duccion.

La cuarta columna de la tabla, representa las compras que los consumidores finales efectuan a lossectores de produccion, por tanto corresponde a los bienes que son adquiridos por las familias, por las

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68 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

instituciones estatales, por otros paıses, etc., siendo utilizados en consumo (compra de vestuarios, alimen-tos, etc.) o en inversiones (compra de maquinaria, vehıculos, bienes de activo fijo, etc.). Esta columnarecibe el nombre de Demanda Final, ya que corresponde a bienes que no se utilizan como insumos in-termedios para la produccion de otros bienes, sino que satisfacen una necesidad de algun consumidor final.

Las filas, indican las cantidades vendidas por un sector dado a todos los sectores compradores, esdecir, el destino de la produccion. Observe que, mientras las filas indican como se distribuye el volumende produccion de un determinado sector, las columnas indican de donde provienen los insumos de bienesy servicios, necesarios para obtener la produccion en un sector especıfico. Esta matriz se conoce con elnombre de Matriz Insumo-Producto o Matriz de Demandas Intermedias o Matriz de Inter-cambio Intersectorial.

La ultima columna representa el valor bruto de produccion de cada sector, que se calcula sumandolas ventas que cada sector ha efectuado a cada uno de los sectores de la economıa considerada.

En la tabla de transacciones intersectoriales los resultados del proceso productivo no se expresan enunidades fısicas (se venden 100 millones de toneladas de...), debido a que serıa posible sumar los elemen-tos en las filas porque representan las ventas de un mismo sector y se expresan en las mismas unidadesfısicas, pero no tendrıa sentido sumar verticalmente (los elementos en las columnas) debido a que cadacifra representa una compra realizada a otro sector, y por tanto se expresan en diversas unidades, seestara sumando por ejemplo, x toneladas de cereal + y metros cubicos de acero + z horas de trabajo demano de obra +... lo cual carece de sentido. Por este motivo, es que las dimensiones en que se expresanlos insumos no deben ser fısicas sino monetarias.

Supongamos que la oficina de planeacion, ha determinado el incremento de la demanda final quepredeciblemente ocurrira en el proximo ano de actividad, y se pregunta: ¿Cual debe ser el valor de laproduccion bruta de cada sector, que se requerira para que se satisfaga esas necesidades?. Conviene dete-nernos en esa pregunta, para captar mejor la naturaleza del fenomeno de interrelacion entre los distintossectores. Supongamos que por una razon determinada, la demanda final del sector agropecuario se in-crementa en 100 unidades. ¿Que efecto producira este incremento de demanda final sobre el proceso deproduccion?. Por supuesto, un incremento de la produccion en el sector agropecuario en un monto igualal incremento de la demanda final, pero para producir estas unidades adicionales, el sector agropecuariose vera obligado a incrementar sus compras de productos intermedios, tanto del mismo sector (semillas,abonos,..) como del sector industrial (maquinaria, abonos quımicos..) y del sector de servicios (transportede carga, sanidad ..), esto es lo que indica la columna 1 de la tabla anterior. Pero, el proceso no paraahı, al efecto directo de la columna 1 se agrega una cadena de efectos indirectos que se transmiten a lasdemas columnas de insumos. La interdependencia de los sectores da origen a una cadena de reacciones decada uno de los sectores, que cada vez puede ir comprometiendo nuevos sectores. La magnitud de estosefectos va siendo cada vez mas debil, como lo veremos mas tarde.

Lo esencial del problema es, ¿Como cuantificar no solo los efectos directos, si no tambien todos losefectos indirectos que se derivan del incremento de la demanda final de un sector determinado?, o ¿Enque medida tendrıa que aumentar la produccion de todos y cada uno de los sectores de la economıa,para que pueda tener lugar una expansion de cierta magnitud en un sector determinado?. El modelo deinsumo-producto, ilustra la forma en que tiene que modificarse todo el flujo de transacciones interindus-triales y por tanto, los niveles de produccion bruta, para poder hacer frente a un cambio dado del nivelde la demanda final, y da herramientas de calculo que permiten cuantificar estas modificaciones.

Sean Xi la produccion bruta del sector i, di la demanda final del sector i y bij las ventas que el sectori ha efectuado al sector j por unidad de tiempo, en nuestro caso i, j = 1, 2, 3. Note que, bij = b significaque el sector i vende b unidades de su produccion por unidad de tiempo al sector j, o que el sector jrequiere como insumo b unidades del sector i.

En general, si la economıa se ha dividido en n sectores se tendrıa,

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5. SISTEMAS LINEALES: SEGUNDA REPRESENTACION MATRICIAL 69

X =

x1

x2

...xn

︸ ︷︷ ︸

Produccion Bruta

, D =

d1

d2

...dn

︸ ︷︷ ︸

Demanda Final

y B =

b11 b12 · · · b1nb21 b22 · · · b2n...

... · · ·...

bn1 bn2 · · · bnn

︸ ︷︷ ︸Matriz de demandas intermedias o

Matriz de Intercambio Intersectorial.

En el caso considerado,

X =

6000800014000

︸ ︷︷ ︸Produccion Bruta

, D =

120020005200

︸ ︷︷ ︸Demanda Final

, B =

1200 800 28003000 1600 1400600 3600 4600

︸ ︷︷ ︸Matriz de Demandas Intermedias

Una de las hipotesis del modelo es que, todos los insumos de cada sector se transforman en productosofertados por el y todos lo que produce son consumidos (van como insumos a otros sectores o al sectorfinal), lo que se traduce en que la produccion bruta de cada sector, es igual a la suma de las ventas ademanda intermedia, mas los valores de la demanda final. La relacion entre produccion y demanda sepuede expresar mediante las ecuaciones

b11 + b12 + · · ·+ b1n + d1 = X1

b21 + b22 + · · ·+ b2n + d2 = X2

...bn1 + bn2 + · · ·+ bnn + dn = Xn

.

Para seguir la cadena de reacciones directas e indirectas que tienden a modificar todo el flujo detransacciones interindustriales, se observa en primera instancia lo siguiente: en cada transaccion existendos sectores, el sector vendedor i y el sector comprador j. Relacionando las ventas que el sector i haefectuado al sector j: bij , con la produccion bruta del sector comprador j: Xj , se busca la proporcion deventa

bijXj

la cual representa los requerimientos de insumos del sector i, necesarios para producir una unidad deproducto del sector j.

Es en este punto, donde se toma encuenta el segundo supuesto del modelo: Existe proporcionalidaddirecta, entre la produccion bruta del sector j y el volumen total de insumos, que este sector adquierede los demas sectores proveedores. En otras palabras, los insumos que venden los sectores proveedores,varian en la misma proporcion en que se modifica la produccion bruta del sector que la adquiere.

Admitido este supuesto, se genera una matriz denominada Matriz Insumo-Producto o Matrizde coeficientes Tecnicos, cuyos elementos son las constantes de proporcionalidad, las cuales se les sueledenominar: Coeficientes Tecnicos.

Si A = (aij)n×n denota la matriz de coeficientes tecnicos, se tiene

aij =bijXj

, para todo i, j = 1, 2, . . . , n.

Para la economıa ficticia que se esta considerando donde,

Page 70: Sistema de ecuaciones lineales

70 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

B =

1200 800 28003000 1600 1400600 3600 4600

X =

6000800014000

se tendrıa que,

a11 =x11

X1=

1200

6000= 0,2 a12 =

x12

X2=

800

8000= 0,1 a13 =

x13

X3=

2800

14000= 0,2

a21 =x21

X1=

3000

6000= 0,5 a22 =

x22

X2=

1600

8000= 0,2 a23 =

x23

X3=

1400

14000= 0,1

a31 =x31

X1=

600

6000= 0,1 a32 =

x32

X2=

3600

8000= 0,45 a33 =

x33

X3=

4600

14000= 0,3286.

Por tanto, la matriz de coeficientes tecnicos para esta economıa es

A =

0,2 0,1 0,20,5 0,2 0,10,1 0,45 0,3286

.Si en las ecuaciones

b11 + b12 + · · ·+ b1n + d1 = X1

b21 + b22 + · · ·+ b2n + d2 = X2

...bn1 + bn2 + · · ·+ bnn + dn = Xn

se sustituye bij = aijXj , para cada i, j = 1, 2, . . . , n se obtiene,

a11X1 + a12X2 + · · ·+ a1nXn + d1 = X1

a21X1 + a22X2 + · · ·+ a2nXn + d2 = X2

...an1X1 + an2X2 + · · ·+ annXn + dn = Xn

.

Lo que conduce a la ecuacion matricial

AX +D = X

donde A es la matriz de coeficientes tecnicos, D la matriz de demanda final y X la matriz de produccionbruta.

Puesto que los coeficientes tecnicos, aij , no varian durante un cierto tiempo, la ecuacion AX+D = X,se utiliza para determinar el nivel de produccion bruta que se requiere en cada sector, para satisfacer unademanda final prevista para el perıodo siguiente. En el caso considerado, supongamos que se trata desatisfacer un aumento en la demanda final para el proximo periodo de 400 unidades en el sector agrope-cuario, de 200 unidades en el sector industria y 200 unidades en el sector servicios, la pregunta de interesserıa: ¿Cuales deben ser los valores de X1, X2 y X3 que permitan satisfacer estos incrementos?

Este problema, se resuelve expresando el sistema AX +D = X, como una relacion funcional entre laproduccion bruta y la demanda final, en la cual el vector X es la variable dependiente y el vector D esla variable independiente. Matematicamente esto se traduce en despejar de la ecuacion, X en terminosde D. Haciendo uso del algebra matricial,

Page 71: Sistema de ecuaciones lineales

5. SISTEMAS LINEALES: SEGUNDA REPRESENTACION MATRICIAL 71

AX +D = X

X −AX = D

(In −A)X = D

en donde In es la matriz identidad de orden n. Note que, X es la solucion de un sistema de ecuacioneslineales, con matriz de coeficientes In −A, el cual puede ser resuelto utilizando cualquiera de los algorit-mos estudiados en este capıtulo. A la matriz In − A se le denomina Matriz de Leontief o matriz derequerimientos directos.

En el caso en que, la matriz In−A sea invertible, el sistema tendra solucion unica, la cual se obtienemultiplicando a izquierda por la matriz (In − A)−1, la cual se denomina Matriz inversa de Leontiefo matriz de requerimientos indirectos. En tal caso, la solucion del sistema esta dada por,

X = (In −A)−1D.

Para la economıa considerada se tendrıa,

I3 −A =

1 0 00 1 00 0 1

−0,2 0,1 0,2

0,5 0,2 0,10,1 0,45 0,3286

=

0,8 −0,1 −0,2−0,5 0,8 −0,1−0,1 −0,45 0,6714

.Para determinar si I3−A es invertible, se calcula su rango. El lector puede verificar que: rang(I3−A) = 3,lo que garantiza que I3 − A es invertible. Utilizando el algorıtmo de Gauss- Jordan, para determinar laforma escalonada reducida de [I3 −A | I3] se obtiene que

(I3 −A)−1 =

1,6507 0,5271 0,57021,1596 1,7345 0,60371,0230 1,2410 1,9789

Antes de utilizar (I3 − A)−1 con fines de proyeccion, se debe verificar que los datos estan correctos

para el ano que se esta considerando,

(I3 −A)−1D =

1,6507 0,5271 0,57021,1596 1,7345 0,60371,0230 1,2410 1,9789

120020005200

=

6000800014000

= X

Tomamos en cuenta los incrementos previstos en la demanda final, se obtiene una nueva matriz dedemanda

D′ =

120020005200

+

400200200

=

160022005400

Para satisfacer la demanda proyectada: D′, se debe generar una produccion bruta X ′, dada por

X ′ = (I3 −A)−1D′ =

1,6507 0,5271 0,57021,1596 1,7345 0,60371,0230 1,2410 1,9789

160022005400

=

6880893115053

Comparando el vector X ′ y X se obtienen los incrementos de la produccion en cada sector, necesariospara satisfacer el incremento previsto en la demanda final.

∆X = X ′ −X =

8809311053

.

Page 72: Sistema de ecuaciones lineales

72 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Imagine que la demanda representada por D, se presenta a las distintas industrias al inicio del ano.Las industrias responden estableciendo sus niveles de produccion en X = D , lo cual satisfara la demandafinal. Conforme las industrias se preparan para producir D, emiten ordenes solicitando materia prima yotros insumos. Esto crea una demanda intermedia de insumos

D1 = AD.

Analogamente, para satisfacer la demanda adicional D1, las industrias necesitaran como insumos adicio-nales las cantidades

D2 = AD1 = A2D

Esto crea una segunda ronda de demandas intermedias D2, cuando las industrias deciden produciraun mas para satisfacer esta nueva demanda, se crea una tercera demanda intermedia,

D3 = AD2 = A3D

y ası sucesivamente. El nivel de produccion X, que satisface el total de la demanda, debe ser tal que

X = D +AD +A2D + · · ·+AmD + · · · = (In +A+A2 +A3 + . . .+Am + · · · )D = (

∞∑k=0

Ak)D.

Por otra parte, X debe satisfacer el sistema (In −A)X = D. En el caso en que la matriz In −A seainvertible, sabemos que existe un unico vector X que es solucion del sistema,

X = (In −A)−1D.

Puesto que, X = (∑∞k=0A

k)D se tiene,

(In −A)−1D = (

∞∑k=0

Ak)D con D 6= 0,

lo que implica que

(In −A)−1 =

∞∑k=0

Ak.

En las situaciones reales, en las que se utilizan los modelos de Insumo-Producto, las potencias dela matriz de coeficientes tecnicos se aproximan a la matriz cero con cierta rapidez, la formula anteriorproporciona una manera practica de calcular la matriz inversa de Leontief.

Nos quedan, algunas preguntas abiertas: ¿En que casos, la matriz de Leontief In −A es invertible? yde serlo ¿Como estar seguros que el vector de produccion X = (In−A)−1D tiene entradas no negativas?,esto es ¿Que nos garantiza que el vector de produccion sea asequible economicamente?. Para responder aestas preguntas, es necesario introducir el concepto de determinante de una matriz cuadrada, tema quese estudiara en la proxima seccion.

Page 73: Sistema de ecuaciones lineales

5. SISTEMAS LINEALES: SEGUNDA REPRESENTACION MATRICIAL 73

Ejercicios 5.1.

1. Sea X =

1−203

+

ab1c

t con t ∈ R, una solucion del sistema lineal

x1 + 3x3 + 2x4 = α3x1 − 2x2 − x4 = βx1 − x2 + x3 − 2x4 = γ3x1 − x2 + 2x3 + 3x4 = δ

Determine los valores de α, β, γ, δ, a, b y c.

2. El sistema AX = b tiene al menos dos soluciones diferentes U y V .a) Demuestre que Xk = U + k(U − V ) es solucion del sistema para todo k ∈ N.b) Demuestre que si Xk = Xm entonces k = m.c) Deduzca que AX = b tiene infinitas soluciones.

3. Sea X =

0−120

+ t

1210

+ s

0−101

solucion de un sistema lineal Ax = b de orden 3× 4

a) Determine la solucion del sistema homogeneo Ax = 0.b) Determine una matriz A.c) Indique el valor de k, si existe, de modo que al agregar al sistema Ax = b, la ecuacion

x1 + 2x2 + kx3 − 3x4 = −9, no cambie su conjunto solucion.

4. Sean

A =

1 1 −1 21 a b 21 1 c 2a

y α =

1d2

.a) Para que valores de a, b, c ∈ R, el sistema lineal homogeneo Ax = 0 tiene solucion con 2

parametros.b) Para que valores de a, b, c ∈ R, el sistema lineal homogeneo Ax = 0 tiene solucion con 3

parametros.c) Resuelva el sistema Ax = α para a = 1, b = −1 y c = 2, indicando el valor adecuado para

d ∈ R.

5. Dado el sistema Ax = b con A ∈ M4×4(R) cuya solucion del sistema lineal homogeneo asociadoes

X = µ

0134

+ β

102−1

, µ, β ∈ R

a) ¿Es A una matriz invertible?b) ¿ Se puede asegurar que el sistema AX = b tiene infinitas soluciones?

c) Resuelva el sistema dado si se sabe que el vector Y =

0046

es una solucion de Ax = b.

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74 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

6. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderos o falsas, si es verdadera demuestrela si esfalsa de un contraejemplo.

a) Si x1, x2, x3 son soluciones de un sistema Ax = b entonces x = x1 + λ(x2 − x1) + β(x3 − x1)con λ, β ∈ R es una solucion de Ax = b.

b) Si x1, x2, x3 son soluciones del sistema Ax = 0 entonces para todo α, β, γ ∈ R, el vectorw = αx1 + βx2 + γx3 es otra solucion de Ax = b.

c) Si Ax = 0 tiene infinitas soluciones con un parametro, entonces el sistema Ax = b tienesolucion infinita con un parametro para cada b ∈ R.

7. La solucion de un sistema lineal de orden 3×4 , Ax = b esta dado por las ecuaciones parametricas:x1 = 2 + t− 2sx2 = 5 + 2t− 3sx3 = tx4 = s

t, s ∈ R

a) Determine el rango de la matriz aumentada del sistema [A | b].b) Determine la solucion del sistema cuando b = 0c) Encuentre un sistema de orden 3× 4 que tenga la misma solucion que el sistema Ax = b.d) Determine otra solucion parametrica para el sistema Ax = b en la cual los parametros sean

las variables x1 y x3.

8. Si

B =

[−1 −2−2 2

]determine todos los valores de α ∈ R para que el sistema lineal homogeneo (B−αI2)x = 0 tenga

solucion no trivial.

9. Si A

1−11

= 0, A

210

= 0 y el sistema Ax = b tien una solucion xp =

3−12

a) Encuentre una familia de soluciones dependiendo de dos parametros para Ax = b.

b) Si A ∈M3×3(R) determine rang(A) y una matriz A talque Ax = b.

c) ¿Es posible que

−100

sea tambien una solucion de Ax = b.

10. Sea A ∈M2×3(R) definida por

aij =

{2i+ j si i < jj2 si i ≥ j

a) Calcule (AtA)t

b) Determine el valor de k ∈ R de modo que el sistema Atx = c con ct =[1 k 7

]tenga

solucion.

11. ¿Para que valores de a ∈ R la matriz A =

a −1 01 a2 1 + a3

2 2 2 + 2a

no es invertible?

Page 75: Sistema de ecuaciones lineales

5. SISTEMAS LINEALES: SEGUNDA REPRESENTACION MATRICIAL 75

12. Determine si las matrices dadas son o no invertibles, en caso de serlo calcule su inversa.

a)

1 1 0 0 00 1 1 0 00 0 1 1 00 0 0 1 11 0 0 0 1

b)

2 1 −1 1−1 4 1 0−14 2 8 0

1 5 0 1

c)

3 1 1 11 3 1 11 1 3 11 1 1 3

d)

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

13. Si A =

12 −1 11 1 1

232 0 1

2

muestre que el sistema Ax = b tiene solucion unica para todo vector b ∈ R3 .

14. Determine los valores de α ∈ R para que la matriz

3 α 0α 3 1α 3 α

sea invertible.

15. Determine los valores de α, β ∈ R para que la matriz

−1 0 0α 1 −1β 1 1

sea invertible.

16. Determine los valores de α, β ∈ R para que la matriz

1 1 α 0−2 −1 0 β0 0 1 10 0 −1 −2

sea invertible.

17. Determine los valores de a, b, c ∈ R para que la matriz

1 + a 1 11 1 + b 11 1 1 + c

sea invertible.

18. Sea A ∈ Mn(R) la matriz definida por: aij =

{0 si i = j1 si i 6= j

. Muestre que A es invertible y

calcule su inversa.

19. Determine los valores de x ∈ R para que la matriz

x 1 1 11 x 1 11 1 x 11 1 1 x

sea invertible.

En los ejercicios siguientes, calcule A−1 para todos los valores de a ∈ R para los cuales A seainvertible.

Page 76: Sistema de ecuaciones lineales

76 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

20. A =

1 a a2 a3

0 1 a a2

0 0 1 a0 0 0 1

21. A =

a+ 1 1 1 a

1 a+ 1 1 10 0 1 a0 0 0 a

22. A =

a 1 1 11 a 1 11 1 a 11 1 1 a

23. Sea A =

1 1 1a 1 a− 11 a 1

y B =

a 1a+ 1 2

1 1

.

Determine todos los valores de a ∈ R para que la ecuacion matricial AX = B tenga solucionunica y determınela.

24. Sea A =

[1 1 11 0 a

]y B =

[2 0 21 2 1

].

Determine todos los valores de a ∈ R para que la ecuacion matricial XA = B tenga solucionunica y determınela.

25. Suponga que a, b, c, d , e y f son numeros reales distintos de cero y A ∈M3(R) definida por

A =

abc

[d e f].

Muestre que A no es una matriz invertible.

26. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique adecuadamente surespuestaa) Sean A,B,C ∈Mn(R). Si AB = AC y rang(A) = n, entonces B = C.b) Si A,B ∈Mn(R) entonces, rang(A+B) = rang(A) + rang(B)c) Si A,B ∈Mn(R) tienen rango n, entonces rang(A+B) = nd) Si A,B ∈Mn(R) tienen rango n, entonces rang(A−B) < n

27. Demuestre que para todo numero real θ la matriz R =

sin θ cos θ 0cos θ − sin θ 0

0 0 1

es invertible y calcule

su inversa.

28. Dada la matriz A =

1 2−1 43 4

determine todas las matrices B tales que BA = I2.

29. Demuestre que una matriz triangular (ya sea superior o inferior) es invertible si y solo si cadauno de los elementos en su diagonal principal es diferente de cero.

Page 77: Sistema de ecuaciones lineales

5. SISTEMAS LINEALES: SEGUNDA REPRESENTACION MATRICIAL 77

30. Demuestre que una matriz diagonal D ∈ Mn(R) es invertible si y solo si cada elemento en sudiagonal principal es distinto de cero. ¿Como serıa D−1 en este caso?

31. Escriba la matriz elemental E de orden 4 × 4, correspondiente a la operacion elemental de filadada y calcule E−1.

a) F2 − 5F4

b) F1 − 2F3

c) F2 + F3

d) πF3

e) F1 ↔ F4

32. Para A =

9 4 −24 6 0−2 0 10

, encuentre una matriz triangular superior U , tal que A = BU .

33. Para B =

1 −1 24 −1 8−2 1 40 1 −1

, encuentre una matriz U , tal que B = CU .

34. Para A =

1 −3 3 10 −3 1 −11 0 1 4

, encuentre una matriz U , tal que A = BU .

35. Demuestre que toda matriz A ∈Mm×n se puede factorizar como A = BR donde B es una matrizinvertible y R se encuentra en forma escalonada reducida.

Demuestre que cada matriz es invertible y escrıbala como producto de matrices elementales.

36.

0 −1 00 1 −11 0 1

37.

3 0 0 00 2 0 00 0 −4 00 0 0 2

38.

5 5 10 2 31 1 1

39.

3 1 0 00 3 1 00 0 3 10 0 0 3

40.

−1 1 0 00 1 0 00 0 −4 10 0 0 2

Page 78: Sistema de ecuaciones lineales

78 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

41. Sea U =

a b c0 d e0 0 f

donde adf 6= 0. Escriba U como producto de seis matrices elementales y

concluya que U es invertible.

42. Demuestre que la factorizacion de una matriz invertible en forma de un producto de matriceselementales no es unica.

43. Sean E ∈Mn(R) una matriz elemental y A ∈Mn(R). ¿Cual es el efecto de la multiplicacion AE?

44. Si A−1 =

1 −2 12 1 10 −4 1

y B se obtiene a A intercambiando las filas 1 y 3, luego intercambian-

do las columnas 2 y 3 y finalmente sumando 3 veces la fila 2 con la fila 3, determine la matriz B−1

45. Sea A ∈Mm×n. Una matriz B se denomina inversa derecha de A si AB = In. Analogamente,Una matriz C se denomina inversa izquierda de A si CA = In.

a) Si una matriz A ∈ Mm×n tiene una inversa derecha B ¿Cual debe ser el orden de la matrizB?

b) Si una matriz A ∈Mm×n tiene una inversa izquierda C ¿Cual debe ser el orden de la matrizC?

c) Demuestre que si A ∈ Mm×n tiene una inversa derecha, entonces At tiene una inversa iz-quierda.

d) Demuestre que A tiene una inversa derecha si y solo si el sistema Ax = b es consistente paratodo b ∈ Rm.

e) Demuestre que A tiene una inversa izquierda si y solo si el sistema Ax = 0 tiene soluciontrivial.

46. En la actualidad, tres empresas A, B y C procesadoras de harina de trigo controlan el 50 %, 30 % y20 % del mercado, respectivamente. Cada empresa representa una marca de harina. El comporta-mineto de los consumidores durante un ano es el siguiente: A retiene el 60 % de sus consumidores,cede el 20 % a B y 20 % a C; B conserva el 50 % de sus consumidores y pierde 30 % con A y 20 %con C, mientras que C retiene el 70 % de sus consumidores, cede el 10 % a A y el 20 % a B. Supo-niendo que esta tendencia continua ¿que porcion del mercado tendra cada empresa a largo plazo?

47. El valor de cierta accion en la bolsa de valores puede ir al alza, a la baja o permanecer sin cambioen cualquier dıa. Mediante un estudio se ha podido determinar el siguiente comportamiento: Sila accion esta en alza un dıa, la probabilidad de que al dıa siguiente vaya al alza es 0.2, a labaja 0.7 y que permanezca estable es 0.1; si esta a la baja un dıa la probabilidad de que al dıasiguiente vaya al alza es 0.6, a la baja 0.2 y permanezca estable es 0.2 y finalmente, si permaneceestable la probabilidad de que al dıa siguiente vaya al alza es 0.2, a la baja 0.5 y continue estable0.3. Suponiendo que la tendencia se mantiene dıa a dıa ¿Cual es la probabilidad de que la accioneste a la baja a largo plazo, si hoy se encuentra estable?

48. Un grupo de personas compra automoviles, cada cuatro anos, con algunos de los tres fabricantesX, Y , Z. Las probabilidades de cambiar de un fabricante a otro se describen en la matriz0,4 0,6 0,5

0,4 0,3 0,30,2 0,1 0,2

Page 79: Sistema de ecuaciones lineales

5. SISTEMAS LINEALES: SEGUNDA REPRESENTACION MATRICIAL 79

Si en el 2009 el fabricante X vendio 1000 automoviles, el fabricante Y 800 y el Z 400. A largoplazo ¿alguno de los fabricantes dominara el mercado?

49. Suponga que tres industrias A, B y C son tales que toda la produccion de A es utilizada porB, toda la produccion de B es utilizada por C y toda la produccion de C es utilizada por A.Determine la posible estructura de precios de equilibrio.

50. La tabla de transacciones intersectoriales para una economıa con tres sectores productivos: Agra-rio y pesca (1), industrial (2) y Servicios (3), expresada en millares de millones de dolares y aprecio de salida de fabrica, esta dada por

I/O 1 2 3 Demanda Final Produccion Total

1 89.6 118.9 1.3 120.9 330.72 35.8 332 36.5 466.6 870.93 16.2 69.9 76.4 310.1 472.6

a) Calcular la matriz de coeficientes tecnicos.b) Calcular la matriz inversa de Leontief.c) Pronostique como debe comportarse cada sector productivo para abastecer una demanda

final proyectada para el ano proximo de 125 unidades monetarias para el sector Agrario y depesca, 738 unidades monetarias para el sector industrial y de 547 unidades monetarias parael sector servicios.

51. Suponga que para una economıa dividida en tres sectores la matriz de coeficientes tecnicos es

A =

0,1 0 0,10,5 0,2 0,20,0 0,0 0,1

a) Explicar el significado de los elementos a11 y a23 .b) Muestre que para cualquier vector de demandas finales D ≥ 0 fijado, existe un vector de

produccion P ≥ 0 que satisface dichas demandas.12.c) ¿Cuanto debe producir cada sector para satisfacer una demanda final de 10, 20 y 10 unidades

respectivamente?

52. Una matriz de coeficientes tecnicos A genera una economıa productiva si y solo si para cadamatriz D de demanda final no negativa, existe un vector X de produccion total no negativo talque se verifique la igualdad (I −A)X = D.

Considere la tabla de transacciones industriales en una economıa dividida en tres sectores pro-ductivos, expresada en millares de millones de dolares.

I/O 1 2 3 Demanda Final Produccion Total

1 75 160 0 65 3302 30 160 100 210 5003 48 64 80 448 640

a) Hallar la matriz inversa de Leontief y razonar, a partir de ella, si la matriz A genera unaeconomıa productiva.

b) Calcular los niveles de produccion total necesarios en cada sector para alcanzar una demanda

final D =[70 200 500

]t.

12Si A,B ∈Mm×n(R) decimos que A ≥ B si y solo si aij ≥ bij para cada i = 1, 2, . . . ,m y j = 1, 2, . . . , n.

Page 80: Sistema de ecuaciones lineales

80 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

6. Determinante de una matrız cuadrada.

Para completar nuestro estudio sobre matrices invertibles, introduciremos el concepto de determinantepara una matriz cuadrada de orden n > 2. Recordemos que si A es una matriz cuadrada de orden 2× 2,

A =

[a bc d

]A es invertible si y solo si, det(A) = ad−bc 6= 0. Este teorema es precisamente el que se quiere generalizarpara el caso n > 2.

En general, el determinante es una funcion que a cada matriz A ∈Mn(R) le asocia un numero real,esto es

det : Mn(R) → RA 7→ det(A).

Cuando no se preste a confusion, el determinante de una matriz A ∈ Mn(R) se denotara por:det(A) = |A|, colocando los elementos de la matriz entre dos barras verticales.

Puesto que el objetivo que tenemos para introducir el determinante es netamente practico, vamos apresentar la forma como se encuentran en cada Mn(R) los valores de la funcion determinante. Procedemosinductivamente.

Si n = 1, A = [a11] se define

det : M1(R) → RA 7→ det(A) = a11

.

Si n = 2, A =

[a11 a12

a21 a22

], sabemos que,

det : M2(R) → RA 7→ det(A) = a11a22 − a12a21

.

Para determinar el valor det(A) para n > 2, primero definiremos los cofactores de una matriz A.

Definicion 6.1. Dada una matriz A ∈Mn(R), el ij-esimo cofactor de A es el numero real, Cij(A)definido por:

Cij(A) = (−1)i+j det(Aij)

donde Aij es la submatriz de orden (n− 1)× (n− 1), obtenida a partir de A por eliminacion de su fila iy su columna j.

A la submatriz Aij se le denomina el ij-esimo menor de A y al numero (−1)i+j se le conoce como elsigno de la posicion ij de A. Ilustraremos la definicion anterior, mediante el ejemplo siguiente,

Ejemplo 6.1.

Dada la matriz A =

1 2 3−1 5 43 2 1

, el 11-cofactor de A (se lee el 1, 1 cofactor de A) es el numero

C11(A) = (−1)1+1 det(A11)

donde A11 es la matriz que se obtiene al eliminar la fila 1 y la columna 1 de la matriz A, esto es,

Page 81: Sistema de ecuaciones lineales

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 81

A11 =

[5 42 1

]

C11(A) = (−1)2 det

[5 42 1

]= −3.

Analogamente, el 12-cofactor de A (se lee el 1, 2 cofactor de A)es,

C12(A) = (−1)1+2 det(A12) = (−1)3 det

[−1 43 1

]= 13.

El lector puede calcular los restantes 7 cofactores de A, como ejercicio.

Ahora estamos en condiciones de definir los valores de la funcion determinante para el caso n > 2. Si

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a21 · · · a2n

......

......

an1 an2 · · · ann

y se supone que la funcion determinante esta definida en Mk(R) para k = 1, 2, . . . , (n−1), los valores

de la funcion det : Mn(R)→ R se obtienen de la siguiente manera,

det(A) = a11C11(A) + a12C12(A) + · · ·+ a1nC1n(A) =

n∑k=1

a1kC1k(A).

Note que, para calcular el valor det(A), se eligen los elementos de la primera fila de A, F1 =[a11 a12 · · · a1n

], cada elemento de F1, se multiplica por el cofactor correspondiente C1k(A), y

finalmente se suman estos resultados. Esta forma de calcular det(A), se conoce como el desarrollo porcofactores a lo largo de la primera fila o desarrollo de Laplace utilizando la fila 1.

Ejemplo 6.2.

Calcular el determinante de la matriz A =

1 2 10 1 32 1 1

.Solucion

Utilizando la definicion se tiene,

det(A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13C13

= 1 · (−1)1+1 det

[1 31 1

]+ 2 · (−1)1+2 det

[0 32 1

]+ 1 · (−1)1+3 det

[0 12 1

]= det

[1 31 1

]− 2 · det

[0 32 1

]+ det

[0 12 1

]= 8

Page 82: Sistema de ecuaciones lineales

82 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Lo que resulta asombroso, es que si se elige una fila cualquiera de A, Fi =[a11 a12 · · · a1n

]y

se realiza el mismo procedimiento anterior (se multiplica cada elemento de la fila por el cofactor corres-pondiente y se suma), el numero que se obtiene es el mismo. Mas extraordinario resulta ser el hecho deque este numero no varıa, si en lugar de elegir una fila se elige una columna. Esta propiedad se conocecomo el desarrollo o expansion de Laplace en honor al matematico frances Pierre-Simon Laplace, quienen 1772, en un artıculo sobre el estudio de las orbitas de los planetas planteo la resolucion de sistemas deecuaciones lineales, usando determinantes y enuncio una regla para el calculo de los mismos. 13 Esta reglase enuncia en el siguiente teorema.

Teorema 6.1. (Teorema de Expansion de Laplace)

Si A ∈Mn(R) entonces

det(A) = ai1Ci1(A) + ai2Ci2(A) + · · ·+ ainCin(A) =

n∑k=1

aikCik(A),

denominada la expasion por cofactores utilizando la fila i de A.

Ademas,

det(A) = a1jC1j(A) + a2jC2j(A) + · · ·+ anjCnj(A) =

n∑k=1

akjCkj(A),

denominada la expansion por cofactores utilizando la columna j de A.

La importancia, a nivel practico, del desarrollo de Laplace se hace evidente cuando una matriz tienefila o columnas con elementos iguales a cero, ya que al elegir esta fila o columna para el calculo deldeterminante, se logra reducir el numero de determiantes de orden inferior que se deben evaluar, comose ilustra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 6.3. Calcule el determinante de la matriz

A =

1 2 −1 00 −3 2 02 2 −1 31 0 1 0

Solucion

Primero observe que la columna 4 tiene unicamente una entrada diferente de cero. Si utilizamosla expansion de Laplace utilizando esta columna, el calculo del determinante de la matriz A se reduceconsiderablemente, ya que de los 4 determinantes de orden 3 × 3 que se deberıan calcular al elegir unacolumna o fila sin elementos nulos (por ejemplo, la fila 3 o la columna 3), utilizando la columna 4 solo secalcularıa uno.

Al desarrollar el determinante de A utilizando la columna 4 se tendrıa,

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 −1 00 −3 2 02 2 −1 31 0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a14C14(A) + a24C24(A) + a34C34(A) + a44C44(A)

13Segun algunos historiadores, no fue Laplace el que demostro esta propiedad, si no fue Cauchy quien en 1812 enuncio y

demostro la regla de expansion utilizada por Laplace.

Page 83: Sistema de ecuaciones lineales

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 83

= a34C34(A) = 3(− 1)7

∣∣∣∣∣∣1 2 −10 −3 21 0 1

∣∣∣∣∣∣Para el calculo del determinante de orden 3, observe que se obtiene la misma simplificacion en el

numero de determinantes de orden 2 a calcular, si se elige la columna 1 o la fila 3, solo para variarcalcularemos este determinante utilizando la fila 3.

∣∣∣∣∣∣1 2 −10 −3 21 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 1 · (−1)4

∣∣∣∣ 2 −1−3 2

∣∣∣∣+ 1 · (−1)6

∣∣∣∣1 20 −3

∣∣∣∣ = −2

Por tanto

det(A) = (−3)(−2) = 6.

Para verificar el resultado del teorema de Laplace, calculemos el determinante de A utilizando unafila o columna diferente a la elegida anteriormente. Por ejemplo, la fila 2.

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 −1 00 −3 2 02 2 −1 31 0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= a21C21(A) + a22C22(A) + a23C23(A) + a24C24(A)

= a22C22(A) + a23C23(A)

= (−3)(− 1)4

∣∣∣∣∣∣1 −1 02 −1 31 1 0

∣∣∣∣∣∣+ 2 · (−1)5

∣∣∣∣∣∣1 2 02 2 31 0 0

∣∣∣∣∣∣= −3

∣∣∣∣∣∣1 −1 02 −1 31 1 0

∣∣∣∣∣∣− 2

∣∣∣∣∣∣1 2 02 2 31 0 0

∣∣∣∣∣∣= −3 · 3 · (−1)5

∣∣∣∣1 −11 1

∣∣∣∣− 2 · 3 · (−1)5

∣∣∣∣1 21 0

∣∣∣∣= 9 · 2 + 6 · (−2) = 6

Donde los determinantes de orden 3 se han calculando mediante el desarrollo de Laplace utilizandola tercera columna.

�Observe que entre mas ceros tenga la matriz A, el calculo de su determinante se reduce considera-

blemente. En general si la matriz A ∈Mn(R) no tiene elementos iguales a cero, el desarrollo de Laplacepor medio de cualquier fila o columna (sin contar el calculo del signo de cada posicion), tendra n! su-mandos. Para el calculo de cada sumando se requieren n − 1 multiplicaciones, lo que significa que paracalcular cada sumando se deben efectuar un total de n!(n− 1) multiplicaciones. Finalmente para obtenerel determinante es necesario efectuar las sumas, que en total son n! − 1. De este modo, el numero totalde operaciones necesarias para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden n son:

n!(n− 1) + n!− 1 = n · n!− 1.

Imagine por un momento que se tiene una economıa dividida en 40 sectores y se desea determinar, sila matriz de Leontief es invertible. Para esto, se decide calcular su determinante utilizando el desarrollo

Page 84: Sistema de ecuaciones lineales

84 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

de Laplace. De acuerdo a los calculos anteriores, sera necesario realizar 40 ·40!−1 operaciones, aproxima-damente 3,26× 1049. Hasta junio del 2011, la computadora mas rapida que se conoce, es el ordenador Kjapones, que se encuentra en el instituto RIKEN en Kabe (japon) y es capaz de realizar mas de 8 billonesde operaciones por segundo: 8× 1012 operaciones. Supongamos que, fuera posible utilizar este ordenadoro una computadora que al menos sea capaz de procesar 8×1012 calculos por segundo, esto significarıa quepara hallar el determinante deseado, necesitarıamos aproximadamente: 4,08× 1036 segundos. Puesto queun ano de 365 dıas, tiene 31,536,000 segundos, necesitarıamos utilizar dicha computadora unos 13× 1028

anos: ¡130.000 cuatrillones de anos!, lo cual es imposible. La pregunta obvia es, si en situaciones practicases necesario trabajar con matrices de gran tamano (incluso de orden mayor de 40), entonces ¿como esposible calcular el determinante de estas matrices?. Para atisbar la solucion a esta pregunta, calculemosel siguiente determinante.

Ejemplo 6.4.

Cacular el determinante de la matriz

U =

3 10 2 5 −10 −1 4 3 80 0 2 3 200 0 0 −2 210 0 0 0 1

.Solucion

Si se utiliza el desarrollo de Laplace utilizando la primera columna se tiene,

det(U) = 3 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣−1 4 3 80 2 3 200 0 −2 210 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ .

Si se desarrolla el determinante de orden 4, utilizando la primera columna, se obtiene

det(U) = 3 · (−1) ·

∣∣∣∣∣∣2 3 200 −2 210 0 1

∣∣∣∣∣∣Finalmente, utilizando nuevamente la primera columna para el desarrollo del determinante de orden

3, y calculando el determinante de orden 2 que resulta, se completa el calculo del determinante.

det(U) = 3 · (−1) · 2 ·∣∣∣∣−2 21

0 1

∣∣∣∣ = 3 · (−1) · 2 · (−2) · 1 = 12.

�Observe la facilidad con que se calculo el determinante de la matriz U y el resultado que se obtuvo:

det(U) es el producto de los elementos de su diagonal principal. Esto se debe a que la matriz U es unamatriz triangular.

Teorema 6.2. Si A es una matriz triangular (superior o inferior), det(A) = a11a22 · · · ann

Demostracion Se deja como ejercicio para el lector.

Page 85: Sistema de ecuaciones lineales

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 85

Resulta natural pensar que una forma de calcular el determinante de una matriz A, consistirıa enhallar una forma escalonada U equivalente por filas a A, ya que al ser U una matriz triangular superior,todo el trabajo consistirıa en aplicar operaciones elementales a la matriz A para obtener U y luego multi-plicar los elementos de su diagonal principal. Esta intuicion es correcta, pero antes sera necesario analizarel comportamiento de la funcion determinante, bajo cada uno de los tipos de operaciones elementales defila que se pueden aplicar. El siguiente teorema resume este analisis.

Teorema 6.3. Sea A ∈Mn(R),

1. Si A tiene una fila nula, det(A) = 0.

2. Si ρ es la operacion elemental ρ : Fi ↔ Fj y B = ρ(A), entonces

det(B) = −det(A).

3. Si A tiene dos filas iguales, det(A) = 0.

4. Si ρ es la operacion elemental ρ : αFi, α 6= 0 y B = ρ(A), entonces

det(B) = α det(A).

5. Si α ∈ R,

det(αA) = αn det(A).

6. Si ρ es la operacion elemental ρ : Fi + αFj y B = ρ(A), entonces

det(B) = det(A).

Demostracion

1. Esta propiedad se obtiene directamente del desarrollo de Laplace utilizando la fila nula.

2. Supongamos en primer lugar, que las filas que se intercambian son filas consecutivas, esto es:

ρ : Fi ↔ Fi+1.

Si se desarrolla el determinante de la matriz B = ρ(A), utilizando la fila (i+ 1) se tiene,

det(B) = b(i+1)1C(i+1)1(B) + b(i+1)2C(i+1)2(B) + · · ·+ bi(i+1)nC(i+1)n(B)

=

n∑k=1

b(i+1)kC(i+1)k(B)

Puesto que B = ρ(A), se tiene Fi+1(B) = Fi(A). Por tanto,

b(i+1)k = aik, para todo k = 1, 2, . . . , n.

Por otra parte, observe que al eliminar en la matriz B la fila (i + 1) y cualquier columna k, seobtienen las mismas submatrices que al eliminar en A la fila i y cualquier columna k, lo quesignifica que,

B(i+1)k = Aik para todo k = 1, 2, . . . , n

Page 86: Sistema de ecuaciones lineales

86 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

De este modo,

det(B) =

n∑k=1

b(i+1)kC(i+1)k(B)

=

n∑k=1

b(i+1)k(−1)i+1+k det(B(i+1)k)

=

n∑k=1

aik(−1)i+1+k det(Aik)

=

n∑k=1

aik(−1)i+k(−1) det(Aik)

= −n∑k=1

aik(−1)i+k det(Aik)

= −n∑k=1

aikCik(A) = −det(A).

Para completar la demostracion, supongamos que i < j, y ρ : Fi ↔ Fj . La operacion ρ, se puederealizar utilizando intercambios consecutivos de las filas de A. Por ejemplo, si suponemos que ρes la operacion ρ : F2 ↔ F5, se deberıa realizar la siguiente sucesion de operaciones elementalesconsecutivas: ρ1 : F4 ↔ F5 , ρ2 : F3 ↔ F4 , ρ3 : F2 ↔ F3, ρ4 : F3 ↔ F4 y ρ5 : F4 ↔ F5. En efecto,si solo se consideran las filas 2 a 5 de A para ver el efecto de la aplicacion de esta sucesion deoperaciones elementales, se tiene:

F2

F3

F4

F5

≈ρ1

F2

F3

F5

F4

≈ρ2

F2

F5

F3

F4

≈ρ3

F5

F2

F3

F4

≈ρ4

F5

F3

F2

F4

≈ρ5

F5

F3

F4

F2

.

En general, observe que se necesitan j − i intercambios de filas consecutivos, para mover la filaj a la fila i. Con estos intercambios, la fila i quedara en la fila i + 1, y sera necesario realizarnuevamente j − i− 1 intercambios de fila consecutivos, para llevar la fila i a la posicion j.

De este modo, el numero total de intercambio de filas consecutivas es: (j − i) + (j − i − 1) =2(j − i) + 1. Puesto que, se realiza un numero impar de intercambios consecutivos de filas paraobtener la matriz B, se concluye que,

det(B) = −det(A).

3. Suponga que las filas m y r (m 6= r)de la matriz A son iguales. Note que si se realiza la operacionelemental ρ : Fm ↔ Fr se tiene, ρ(A) = A.

Por la propiedad 2, se sabe que

det(A) = −det(A)

De donde, det(A) = 0.

4. Si ρ es la operacion elemental ρ : αFi, α 6= 0 y B = ρ(A), utilizando el teorema de Laplace paracalcular el determinante de la matriz B utilizando la fila i, se tiene

det(B) = b(i1Ci1(B) + bi2Ci2(B) + · · ·+ binCin(B) =

n∑k=1

bikCik(B).

Page 87: Sistema de ecuaciones lineales

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 87

Debido a que la unica diferencia entre la matriz A y la B es la fila i, resulta evidente que paratodo k = 1, 2, . . . , n,

Cik(B) = Cik(A).

Por otra parte, B = ρ(A) implica Fi(B) = αFi(A). Utilizando estas dos observaciones, se obtiene:

det(B) =

n∑k=1

bikCik(B) =

n∑k=1

αaikCik(A) = α

n∑k=1

aikCik(A) = α det(A).

5. Para probar el resultado se utiliza la induccion matematica (se deja como ejercicio para el lector).Se observa que si B = α(A) aplicando sucesivamente las operaciones de fila ρi : αFi, i = 1, 2, . . . , na la matriz A para obtener B, se obtiene una sucesion de matrices B1 = ρ1(A), B2 = ρ2(B1), ...,Bn = ρn(Bn−1). Por la propiedad anterior se tiene,

det(B1) = α det(A)

det(B2) = α det(B1) = (α2) det(A)

Note que al aplicar la n-esima operacion de filaρn a la matriz Bn−1 se obtine B = ρn(Bn−1) =

αBn−1, de donde

det(B) = α det(Bn−1) = (α)n det(A)

6. Como ρ es la operacion elemental ρ : Fi + αFj y B = ρ(A), se calculara el det(B) utilizando lafila i.

det(B) = bi1Ci1(B) + bi2Ci2(B) + · · ·+ binCin(B) =

n∑k=1

bikCik(B).

Puesto que, A y B difieren solo en la fila i,

Cik(B) = Cik(A)

para todo k = 1, 2, . . . , n.

Ademas, B = ρ(A), implica

Fi(B) = Fi(A) + αFj(A).

Utilizando estas dos observaciones, se tiene

det(B) =

n∑k=1

bikCik(B)

=

n∑k=1

(aik + αajk)Cik(A)

=

n∑k=1

aikCik(A) + α

n∑k=1

ajkCik(A).

Observe que la primera sumatoria, es precisamente el determinante de A desarrollado a travesde su i-esima fila.

Page 88: Sistema de ecuaciones lineales

88 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

La segunda sumatoria, es el determinante de una matriz G, el cual ha sido desarrollado utilizandosu i-esima fila (esto es lo que indican los cofactores que aparecen) de donde, Cik(G) = Cik(A).La diferencia entre la matriz A y la G radica en los elementos de su i-esima fila, esto es

Fr(G) = Fr(A)

para todo r 6= i. En particular, en el caso r = j se tiene: Fj(G) = Fj(A).

Por otra parte, y referidos a la misma sumatoria, la expresion ajkCik(A) indica que los elementosde la fila i de G son los elementos de la fila j de A, es decir, Fi(G) = Fj(A).

De donde se deduce que, Fi(G) = Fj(A) = Fj(G). Puesto que G tiene dos filas iguales, det(G) = 0y

det(B) =

n∑k=1

aikCik(A) + α

n∑k=1

ajkCik(A) = det(A) + α det(G) = det(A).

Al tener claro, cual es el efecto sobre el determinate de una matriz al aplicar operaciones elementalesde fila, un metodo para poder calcular su determinante consistira en reducirla a una forma triangular,teniendo siempre presente que operacion elemental es aplicada y cual es el cambio que ocurre en el valordel determinante.

Ejemplo 6.5.

Calcular el determinante de la matriz

A =

0 1 2 −10 3 1 01 2 1 0−1 1 1 3

Solucion

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 2 −10 3 1 01 2 1 0−1 1 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =F1 ↔ F3

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 1 00 3 1 00 1 2 −1−1 1 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =F4 + F1

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 1 00 3 1 00 1 2 −10 3 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣=

F4 − F2

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 1 00 3 1 00 1 2 −10 0 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =F2 ↔ F3

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 1 00 1 2 −10 3 1 00 0 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =F3 − 3F2

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 1 00 1 2 −10 0 −5 30 0 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣=

(− 15 )F3

− 5

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 1 00 1 2 −10 0 1 − 3

50 0 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =F4 − F3

− 5

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 1 00 1 2 −10 0 1 − 3

50 0 0 18

5

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−5)(18

5) = −18

Posiblemente, la unica duda que se tenga en el ejemplo anterior, es si la propiedad del determinante

fue aplicada correctamente cuando se realizo la operacion elemental ρ : (−1

5F3). Varios anos dedicados a

la docencia del Algebra Lineal, nos han mostrado que es precisamente esta propiedad del determinante,la que tiene mayor dificultad de ser entendida y por ende, de ser aplicada en forma correcta. Prestemosatencion a las matrices que intervienen en ese paso del calculo del determinante de A, para esto denotemospor

Page 89: Sistema de ecuaciones lineales

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 89

C =

1 2 1 00 1 2 −10 0 −5 30 0 1 3

y por B =

1 2 1 00 1 2 −10 0 1 − 3

50 0 1 3

,

Puesto que ρ : − 15F3, se tiene ρ(C) = B. Aplicando la propiedad 4. del teorema anterior, se tiene

det(B) = −1

5det(C).

Note que, lo que se requiere es det(C), por tanto, det(C) = −5 det(B), tal cual se aplico en el ejemplo.

Ejemplo 6.6.

Demuestre que para cualquier a, b, c ∈ R∣∣∣∣∣∣1 a a2

1 b b2

1 c c2

∣∣∣∣∣∣ = (b− a)(c− a)(c− b)

Solucion

La propiedad se verifica si a = b o c = a o c = b, puesto que en cualquiera de los tres casos se tendrıael determinante de una matriz con dos filas iguales.∣∣∣∣∣∣

1 a a2

1 b b2

1 c c2

∣∣∣∣∣∣ = 0 = (b− a)(c− a)(c− b).

Si a 6= b, c 6= a y c 6= b, utilizando las propiedades de los determinantes se tiene,∣∣∣∣∣∣1 a a2

1 b b2

1 c c2

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣1 a a2

0 b− a b2 − a2

0 c− a c2 − a2

∣∣∣∣∣∣ (Porque se ha aplicando: F2 − F1 y F3 − F1)

= (b− a)(c− a)

∣∣∣∣∣∣1 a a2

0 1 b+ a0 1 c+ a

∣∣∣∣∣∣ (Porque se ha aplicando:1

b− aF2 y

1

c− aF3)

= (b− a)(c− a)

∣∣∣∣∣∣1 a a2

0 1 b+ a0 0 c− b

∣∣∣∣∣∣ = (b− a)(c− a)(c− b).

Ejemplo 6.7.

Determine todos los valores de x ∈ R que satisfacen∣∣∣∣∣∣∣∣1 x x2 x3

1 2 4 81 3 9 271 4 16 64

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Solucion

Denotemos por ∆ el valor del determinante. Aplicando las operaciones elementales: F2−F1, F3−F1

y F4 − F1, se obtiene

Page 90: Sistema de ecuaciones lineales

90 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 x x2 x3

1 2 4 81 3 9 271 4 16 64

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 x x2 x3

0 2− x 4− x2 8− x3

0 3− x 9− x2 27− x3

0 4− x 16− x2 64− x3

∣∣∣∣∣∣∣∣Observe que si x toma el valor 2, 3 o 4, se obtiene una matriz con determinante igual a 0, porque setendrıa una fila nula. Por tanto, x = 2, x = 3 y x = 4 satisfacen la ecuacion planteada.

Para determinar si existen otros valores, supongamos que x 6= 2, x 6= 3 y x 6= 4.

Realizando las operaciones elementales (1

2− x)F2, (

1

3− x)F3 y (

1

4− x)F4, se tiene

∆ = (2− x)(3− x)(4− x)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 x x2 x3

0 1 2 + x 4 + 2x+ x2

0 1 3 + x 9 + 3x+ x2

0 1 4 + x 16 + 4x+ x2

∣∣∣∣∣∣∣∣Aplicando F3 − F2 y F4 − F2,

∆ = (2− x)(3− x)(4− x)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 x x2 x3

0 1 2 + x 4 + 2x+ x2

0 0 1 5− x0 0 2 12 + 2x

∣∣∣∣∣∣∣∣Para terminar la reduccion, se realizan las operaciones elementales:

1

2F3 y F4 − F3,

∆ = (2− x)(3− x)(4− x)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 x x2 x3

0 1 2 + x 4 + 2x+ x2

0 0 1 5− x0 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 6= 0.

Concluyendose, que los unicos valores que satisfacen la ecuacion planteada son: x = 2, x = 3 y x = 4.

Utilizando las propiedades de los determinantes, resulta facil calcular el determinante de una matrizelemental. En efecto, si E ∈Mn(R) es una matriz elemental, entonces

a) Si ρ : Fi ↔ Fj y E = ρ(In), det(E) = −det(In) = −1.

b) Si ρ : αFi, α 6= 0 y E = ρ(In), det(E) = α det(In) = α.

b) Si ρ : Fi + αFj y E = ρ(In), det(E) = det(In) = 1.

Debido a que dada cualquier matriz A ∈Mn(R) y cualquier operacion elemental ρ : Mn(R)→Mn(R),se tiene que ρ(A) = EA donde E = ρ(In), el siguiente teorema se sigue de las propiedades anteriores.

Teorema 6.4. Sea A ∈Mn(R) y E una matriz elemental, entonces

det(EA) = det(E) det(A).

Page 91: Sistema de ecuaciones lineales

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 91

Demostracion

Se distinguen tres casos, segun el tipo de operacion elemental ρ de la cual provenga la matriz ele-mental E.

Suponga que, ρ : Fi ↔ Fj , E = ρ(In) y B = ρ(A) = EA. Por el teorema 6.3, se tiene det(E) = −1 y

det(EA) = det(B) = (−1) det(A) = det(E) det(A)

Analogamente, si α 6= 0, ρ : αFi, E = ρ(In) y B = ρ(A) = EA, aplicando el mismo teorema se tiene,det(E) = α y

det(EA) = det(B) = α det(A) = det(E) det(A).

Finalmente, si ρ : Fi + αFj , E = ρ(In) y B = ρ(A) = EA, como det(E) = 1, se tiene

det(EA) = det(B) = det(A) = det(E) det(A).

Utilizando induccion, se puede demostrar que para todo n ∈ N, si E1, E2,. . . , En son matrices elementales

det(EnEn−1 · · ·E1A) = det(En) det(En−1) · · · det(E1) det(A).

Teorema 6.5. Dada A ∈Mn(R), A es invertible si y solo si det(A) 6= 0.

Demostracion

Si A es invertible entonces A ≈ In. Por tanto, existen matrices elementales E1, E2,. . . , Es, tales que

EsEs−1 · · ·E1A = In

De donde

det(EsEs−1 · · ·E1A) = det(In) = 1.

Por la propiedad enunciada anteriormente,

det(Es) det(Es−1) · · · det(E1) det(A) = det(In) = 1.

Debido a que, para cada k = 1, 2, . . . , s, det(Ek) 6= 0, la igualdad anterior implica que det(A) 6= 0. Loque demuestra la primera implicacion.

Supongamos, ahora que det(A) 6= 0. Si R es la forma escalonada reducida de A, existe matriceselementales E′1, E′2,. . . , E′r tales que

E′rE′r−1 · · ·E′1A = R.

De donde,

det(E′r) det(E′r−1) · · · det(E′1) det(A) = det(R).

Observe que det(R) 6= 0, ya que det(E′k) 6= 0 para cada k = 1, 2, . . . , r y por hipotesis det(A) 6= 0. Puestoque R es una matriz triangular superior, se concluye que la diagonal de R no contiene elementos igualesa 0 y ası R = In. Como A es equivalente por filas a In, A es invertible.

Page 92: Sistema de ecuaciones lineales

92 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Dada una matriz A ∈Mn(R), el teorema anterior nos proporciona otra equivalencia sobre las matricesinvertibles. Hasta el momento se tienen las siguientes equivalencias:

A invertible ⇔ para todo b ∈ Rn, AX = b tiene solucion unica

⇔ AX = 0 tiene solucion trivial

⇔ A ≈ In⇔ rang(A) = n

⇔ Existe una unica matriz B tal queAB = In

⇔ A es producto de matrices elementales

⇔ det(A) 6= 0

Los siguientes ejemplos ilustran la aplicacion del teorema.

Ejemplo 6.8.

¿Es la matriz A =

1 −1 2 32 4 −1 23 −1 1 43 3 1 5

invertible?

Solucion

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 2 32 4 −1 23 −1 1 43 3 1 5

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 2 30 6 −5 −40 2 −5 −50 6 −5 −4

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Como det(A) = 0, A no es invertible.

Ejemplo 6.9.

Dada la matriz

A =

x c dc x dc d x

,con c, d ∈ R fijos, determine todos los valores de x ∈ R para los cuales A no es invertible.

Solucion

De acuerdo al teorema, determinar los valores de x para los cuales A no es invertible, equivale acalcular los valores de x para los cuales det(A) = 0.

Para calcular det(A), utilizaremos primero la operacion elemental, F3 − F2, F2 − F1 y a continuaciondesarrolaremos el determinante resultante, utilizando la primera columna.

det(A) =

∣∣∣∣∣∣x c dc x dc d x

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣x c dc x d0 d− x x− d

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣x c d

c− x x− c 00 d− x x− d

∣∣∣∣∣∣= x

∣∣∣∣x− c 0d− x x− d

∣∣∣∣− (c− x)

∣∣∣∣ c dd− x x− d

∣∣∣∣= x(x− c)(x− d)− (c− x)[c(x− d)− d(d− x)]

= x(x− c)(x− d) + (x− c)[c(x− d) + d(x− d)]

= x(x− c)(x− d) + (x− c)(x− d)(c+ d)

Page 93: Sistema de ecuaciones lineales

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 93

= (x− c)(x− d)(x+ c+ d)

El det(A) = 0 para x = c, x = d o x = −c− d.

La propiedad det(EA) = det(E) det(B) es valida aunque E no sea una matriz elemental.

Teorema 6.6. Si A ∈Mn(R) y B ∈Mn(R) entonces

det(AB) = det(A) det(B).

Demostracion

Si A no es invertible, entonces AB no es invertible. Por el teorema anterior, det(A) = 0 y det(AB) = 0.El teorema se cumple.

Si A es invertible, existen matrices elementales E1, E2, . . . , Er tales que A = E1E2 · · ·Er,

det(AB) = det(E1E2 · · ·ErB) = det(E1) det(E2) · · · det(Er) det(B) = det(E1E2 · · ·Er) det(B) = det(A) det(B).

El teorema anterior es conocido como el Teorema de Binet-Cauchy.

Ejemplo 6.10.

Si A ∈Mn(R) es invertible, encuentre det(A−1).

Solucion

Si A es invertible, se tiene det(A) 6= 0. Puesto que

AA−1 = In,

aplicando la funcion determinante, se tiene

det(AA−1) = det(In)

det(A) det(A−1) = 1

Por tanto,

det(A−1) =1

det(A).

Ejemplo 6.11.

Demuestre que si E ∈Mn(R) es una matriz elemental, entonces

det(E) = det(Et)

Page 94: Sistema de ecuaciones lineales

94 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Solucion

Como existen tres tipos de matrices elementales, se debe demostrar que la propiedad es cierta encada uno de ellos.

Si ρ : Fi ↔ Fj y E = ρ(In), E es simetrica. Como Et = E se tiene, det(E) = det(Et).

Si ρ : αFi, α 6= 0 y E = ρ(In), E es una matriz diagonal y por tanto simetrica, de donde det(E) = det(Et).

Si ρ : Fi+αFj y E = ρ(In), entonces det(E) = 1. En este caso, note que Et = ρ1(In) donde ρ1 : Fj +αFide donde det(Et) = 1 y se satisface det(Et) = 1 = det(E).

�El ejemplo anterior, puede ser generalizado a cualquier matriz A ∈ Mn(R). El teorema siguiente,

afirma que el determinante de una matriz A y de su transpuesta son iguales. Esto sera de gran utilidad yaque nos permitira extender todas las propiedades de los determinantes, que se refieren a las operacioneselementales de fila, a operaciones elementales de columna. Ası, para calcular el determinante de unamatriz A sera posible realizar operaciones de fila o de columna a A, segun convenga.

Teorema 6.7. Si A ∈Mn(R), entonces

det(A) = det(At)

Demostracion

Si A no es invertible, At tampoco lo sera y trivialmente se tiene, det(A) = 0 = det(At).

Si A es invertible, entonces existen matrices elementales E1, E2, . . . , Er tales que

A = E1E2 · · ·Er.Por tanto,

At = EtrEtr−1 · · ·Et2Et1.

Aplicando la funcion determinante, se obtiene

det(At) = det(Etr) det(Etr−1) · · · det(Et2) det(Et1) = det(Er) det(Er−1) · · · det(E2) det(E1).

Puesto que el determinante es una funcion de valor real, y la multiplicacion de numeros reales es conmu-tativa,

det(At) = det(E1) det(E2) · · · det(Er) = det(E1E2 · · ·Er) = det(A).

Hasta el momento, no hemos necesitado definir operaciones elementales de columna, debido a queno han sido de utilidad para la solucion de sistemas de ecuaciones lineales. Pero en vista de que el teo-rema anterior, nos da la posibilidad de realizar operaciones elementales de columna para el calculo deldeterminante, es el momento de aclarar su signficado. En primer lugar, observe que aplicar una operacionelemental de columna a una matriz A es equivalente a aplicar sobre la matriz At una operacion elementalde fila.

Sea A ∈ Mn(R) y suponga que sobre la matriz At, se ha aplicado la operacion elemental de fila ρ,para obtener la matriz B (equivalente por filas a At) B = ρ(At). Sabemos que, si E = ρ(In), entonces

B = ρ(At) = EAt

Page 95: Sistema de ecuaciones lineales

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 95

Esto implica que,

Bt = (EAt)t = AEt.

Observe que Bt es la matriz que se obtiene si a la matriz A, se le aplicara directamente una operacionanaloga a ρ pero cambiando fila por columna. Esto permite definir las operaciones de columna, poranalogıa a las operaciones de fila. Si Ck denota las columnas de la matriz A, k = 1, 2, . . . , n, entonces

1. Si ρ : Fi ↔ Fj , la operacion elemental de columna analoga serıa σ : Ci ↔ Ci.2. Si ρ : αFi con α 6= 0 la operacion elemental de columna analoga serıa σ : αCi .3. Si ρ : Fj + αFi la operacion elemental de columna analoga, serıa σ : Cj + αCi.

Con lo que podemos afirmar que, Bt = σ(A) donde σ es alguno de los tres tipos de operacionescolumnas anteriores.

Por otra parte, considerando la igualdad Bt = (EAt)t = AEt e nterpretandola en terminos de laoperacion columna σ, se tiene

σ(A) = AEt.

De donde se infiere que aplicar una operacion de columna a una matriz cuadrada, consiste en multi-plicar a derecha por una matriz elemental, esto es:

σ(A) = AF

Ademas, note en Mn(R), F = Et es la matriz elemental correspondiente a σ(In) = F .

En general, si A ∈ Mm×n, ρ(Im) = E y σ(In) = F , entonces ρ(A) = EA equivale a aplicar sobre Ala operacion de fila ρ, mientras que σ(A) = AF corresponde a aplicar sobre A la operacion columna σ,pero en este caso E ∈Mm(R) y mientras que F ∈Mn(R).

Ahora supongamos que sobre la matriz A ∈ Mn(R), se ha aplicado la operacion columna ρ paraobtener D = σ(A) y sea F = σ(In) ¿Como se relaciona det(D) con det(A)? en otras palabras, ¿Laspropiedades de los determinantes se conservan, si en lugar de aplicar operaciones elementales de fila, seutilizan operaciones de columna?.

Como,

det(D) = det(σ(A)) = det(AF ) = det(A) det(F ) = det(F t) det(At) = det(F tAt) = det(EAt) = det(ρ(A)),

donde ρ es la operacion de fila determinada por E = F t, se tiene

1. Si σ : Ci ↔ Cj , entonces ρ : Fi ↔ Fj y det(D) = det(ρ(A)) = − det(A)

2. Si σ : αCi, α 6= 0, entonces ρ : αFi y det(D) = det(ρ(A)) = α det(A)

3. Si σ : Ci + αCj , entonces ρ : Fi + αFj y det(D) = det(ρ(A)) = det(A).

Por tanto, la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa: Las propiedades de los determinantesson las mismas si en lugar de aplicar operaciones elementales de fila, se utilizan operaciones de columna.

Ejemplo 6.12.

Si a, e, c ∈ R− {0}, demuestre que

det

0 −a −b −ca 0 −d −eb d 0 −fc e f 0

= (af − be+ cd)2

Page 96: Sistema de ecuaciones lineales

96 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Solucion

Sea A =

0 −a −b −ca 0 −d −eb d 0 −fc e f 0

, aplicando operaciones de columna se obtiene,

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 −a −b −ca 0 −d −eb d 0 −fc e f 0

∣∣∣∣∣∣∣∣=

1

aec

∣∣∣∣∣∣∣∣0 −ac −b −acae 0 −d −aebe dc 0 −afce ec f 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ (σ1 : eC1;σ2 : cC2;σ3 : aC4)

=1

aec

∣∣∣∣∣∣∣∣ac −ac −b −acae 0 −d −ae

be− dc dc 0 −af0 ec f 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ (σ4 : C1 − C2)

=1

aec

∣∣∣∣∣∣∣∣ac −ac −b 0ae 0 −d 0

be− dc dc 0 be− dc− af0 ec f 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ (σ5 : C4 + C1)

Desarrollando este determinante, utilizando la columna 4, se tiene

det(A) = −be− dc− afaec

∣∣∣∣∣∣ac −ac −bae 0 −d0 ec f

∣∣∣∣∣∣=af − be+ dc

a2e2c2

∣∣∣∣∣∣ace −ace −beaec 0 −dc0 eca fa

∣∣∣∣∣∣ (ρ1 : eF1; ρ2 : cF2; ρ3 : aF3)

=af − be+ dc

a2e2c2

∣∣∣∣∣∣ace −ace −be0 ace be− dc0 eca fa

∣∣∣∣∣∣ (ρ4 : F2 − F1)

=af − be+ dc

a2e2c2

∣∣∣∣∣∣ace −ace −be0 ace be− dc0 0 af − be+ dc

∣∣∣∣∣∣ (ρ5 : F3 − F2)

=af − be+ dc

a2e2c2(ace)2(af − be+ dc) = (af − be+ dc)2.

�Para finalizar esta seccion, utilizaremos el concepto de determinante para encontrar otra forma de

calcular la inversa de una matriz A invertible. Para esto se definira lo que se entiende por la matrizcofactora de A y la matriz adjunta de A.

Definicion 6.2. Sea A ∈ Mn(R), la matriz cofactora de A , denotada por Cof(A) es la matrizde Mn(R) definida por:

Cof(A) = (Cij(A))n×n,

donde Cij(A) es el ij-esimo cofactor de A.

La matriz adjunta de A, es la matriz traspuesta de la matriz cofactora, la cual es denotada porAdj(A),

Page 97: Sistema de ecuaciones lineales

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 97

Adj(A) = [Cof(A)]t = (Cji(A))n×n

Por ejemplo, dada la matriz

A =

1 2 31 0 0−1 1 4

,para determinar la matriz cofactora de A se deben determinar los 9 cofactores de A,

C11 =

∣∣∣∣0 01 4

∣∣∣∣ = 0; C12 = −∣∣∣∣ 1 0−1 4

∣∣∣∣ = −4; C13 =

∣∣∣∣ 1 0−1 1

∣∣∣∣ = 1

C21 = −∣∣∣∣2 31 4

∣∣∣∣ = −5; C22 =

∣∣∣∣ 1 3−1 4

∣∣∣∣ = 7; C23 = −∣∣∣∣ 1 2−1 1

∣∣∣∣ = −3

C31 =

∣∣∣∣2 30 0

∣∣∣∣ = 0; C32 = −∣∣∣∣1 31 0

∣∣∣∣ = 3; C33 =

∣∣∣∣1 21 0

∣∣∣∣ = −2

Cof(A) =

0 −4 1−5 7 −30 3 −2

y Adj(A) =

0 −5 0−4 7 31 −3 −2

.Teorema 6.8. Si A ∈Mn(R), A(Adj(A)) = (Adj(A))A = det(A)In.

Demostracion

Si se denota por B = A(Adj(A)), utilizando la definicion de la multiplicacion matricial, se tiene

bij = Fi(A)colj(Adj(A)) = Fi(A)Fj(Cof(A))[ai1 ai2 · · · ain

]Cj1(A)Cj2(A)

...Cjn(A)

= ai1Cj1(A)+ai2Cj2(A)+· · ·+ainCjn(A).

Si i = j ,

bii = ai1Ci1(A) + ai2Ci2(A) + · · ·+ ainCin(A) = det(A).

Si i 6= j

bii = ai1Cj1(A) + ai2Cj2(A) + · · ·+ ainCjn(A) = det(G)

donde G es talque Fk(G) = Fk(A) cuando k 6= j y Fj(G) = Fi(A), luego det(G) = 0, ya queFi(G) = Fi(A) = Fj(G).

Por tanto, B es la matriz diagonal

B =

det(A) 0 · · · 0

0 det(A) · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · det(A)

= det(A)In.

La demostracion de la igualdad (Adj(A))A = In, es analoga a la anterior y se deja como ejercicio para ellector.

Page 98: Sistema de ecuaciones lineales

98 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Si A es una matriz invertible, det(A) 6= 0. Multiplicando por:1

det(A)ambos lados de la igualdad,

A(Adj(A)) = (Adj(A))A = det(A)In

se obtiene

A(1

det(A)Adj(A)) = (

1

det(A)Adj(A))A = In

lo que implica que

A−1 =1

det(A)Adj(A).

La relacion anterior, proporciona un metodo para calcular la inversa de una matriz A. Sin embargo,resulta obvio que no es una forma eficiente de hacerlo, ya que requiere determinar la matriz adjunta deA, la cual involucra n2 determinantes de orden n − 1. La utilidad de esta relacion es mas bien teorica,como lo muestra el ejemplo siguiente.

Ejemplo 6.13.

Si A ∈Mn(R) es una matriz invertible y b ∈Mn×1, determine la solucion del sistema AX = b.

Solucion

Puesto que A es invertible, el sistema AX = b tiene solucion unica, X = A−1b.

X = A−1b =1

det(A)Adj(A)b =

1

det(A)

C11 C21 · · · Cn1

C12 C22 · · · Cn2

......

. . ....

C1n C2n · · · Cnn

b1b2...bn

.La i-esima coordenada del vector X, esta dada por

xi =1

det(A)(C1ib1 + C2ib2 + · · ·+ Cnibn =

det(Ai)

det(A),

donde Ai es la matriz obtenida a partir de A reemplazando su i-esima columna por el vector b.

�El ejemplo anterior, nos da una regla para determinar la solucion de un sistema cuando se sabe que

la matriz de coeficientes es invertible. Esta regla es conocida como La Regla de Cramer.

Ejemplo 6.14. Dado el sistema x− 2y + 2z = 12x− y + 4z = 03x− y + 2z = 1

demuestre que tiene solucion unica y determine la tercera componente de la solucion del sistema.

Solucion

La matriz de coeficientes del sistema es la matriz

A =

1 −2 22 −1 43 −1 2

.Como det(A) = −12 6= 0, el sistema tiene solucion unica. Para determinar el valor de z en la solucion

del sistema, aplicamos la regla de Cramer,

Page 99: Sistema de ecuaciones lineales

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 99

z =1

det(A)det(A3) = − 1

12

∣∣∣∣∣∣1 −2 12 −1 03 −1 1

∣∣∣∣∣∣ = − 1

12· 4 = −1

4.

�Para finalizar este capıtulo, retornemos al modelo Insumo- Producto de Leontief estudiado en la

seccion 5, con el proposito de dar respuesta a la pregunta que quedo abierta: ¿Dado un modelo Insumo-

Producto X = AX +D, se puede asegurar que siempre existe una solucion X =[x1 x2 · · · xn

]tdel

sistema (In−A)X = D, para cualquier demanda final no negativa d y que dicha solucion es no negativa?

Para dar una solucion a esta pregunta, se utiliza el concepto de determinante. Hawkins y H.A. Si-mon en su artıculo Some condition of macroeconomic stability (1949), estudiaron el sistema planteado ygeneraron condiciones para la no negatividad de soluciones. Hukukane Nikaido en su texto Introductionto sets and mappings in modern Economics (1970), demuestra y generaliza las condiciones dadas porHawkins-Simons. Para no extendernos demasiado, demostraremos solo uno de los resultados encontradosy dejamos al lector el estudio de sus variaciones.

Definicion 6.3. Dada A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

......

an1 an2 · · · ann

∈Mn(R) los determinantes

∆1 = det[a11], ∆2 = det

[a11 a12

a21 a22

], ∆3 = det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, ...,

∆n−1 = det

a11 a12 · · · a1(n−1)

a21 a22 · · · a2(n−1)

......

......

a(n−1)1 a(n−1)2 · · · a(n−1)(n−1)

, ∆n = det

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

......

an1 an2 · · · ann

= det(A)

se denominan los menores principales de A.

Definicion 6.4. Se dice que una matriz

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

......

an1 an2 · · · ann

∈Mn(R)

verifica la Condicion de Hawkins-Simon si todos los menores principales de A son positivos.

Antes de continuar, observe que en el modelo de Insumo-Producto, se tiene un sistema de ecuaciones(In − A)X = D en donde la matriz de Leontief L = In − A = (lij)n×n es talque lij ≤ 0 para i 6= j,i, j = 1, . . . , n y D = (di)n×1 satisface di ≥ 0 para i = 1, . . . , n, por tanto el sistema (In − A)X = Dno es cualquier sistema de orden n× n, si no que esta determinado por dichas restricciones. El teoremasiguiente, nos acerca una solucion de la pregunta que queremos responder.

Teorema 6.9. Sea AX = B un sistema de ecuaciones, A ∈ Mn(R), D ∈ Mn×1, X ∈ Mn×1 queverifica las restricciones aij ≤ 0 para i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n y bi > 0 para i = 1, 2, . . . , n.

AX = B tiene una solucion X =[x1 x2 · · · xn

]tcon xi ≥ 0 para todo i = 1, 2, . . . , n si y solo

si A satisface la condicion de Hawkins-Simon.

Page 100: Sistema de ecuaciones lineales

100 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Demostracion

Supongamos que el sistema AX = B satisface las restricciones aij ≤ 0 para i 6= j i, j = 1, 2, . . . , n

y bi > 0 para i = 1, 2, . . . , n y que tiene una solucion X =[x1 x2 · · · xn

]tcon xi ≥ 0 para todo

i = 1, 2, . . . , n, y demostremos por induccion sobre el orden del sistema, que A satisface la condicion deHawkin-Simon (que todos los menores principales de A son positivos).

Si n = 1, A = (a11)1×1, el sistema AX = B, es la ecuacion real a11x1 = b1 donde b1 > 0, lo que implicaque a11x1 > 0. Como x1 ≥ 0 necesariamente a11 > 0. Puesto que el unico menor principal de A es∆1 = a11 y ∆1 > 0, A verifica la condicion de Hawkins-Simon.

Si n = 2, A =

[a11 a12

a21 a22

], B =

[b1b2

], con a12 ≤ 0, a21 ≤ 0, b1 > 0 y b2 > 0. El sistema AX = B, es el

sistema [a11 a12

a21 a22

] [x1

x2

]=

[b1b2

],

el cual tiene solucion X =

[x1

x2

], con x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0. De la primera ecuacion del sistema

a11x1 + a12x2 = b1

se tiene

a11x1 = b1 − a12x2.

Como x2 ≥ 0 y a12 ≤ 0 el sumando −a12x2 ≥ 0, luego a11x1 > 0 debido a que b1 > 0. De donde seconcluye, ∆1 = a11 > 0.

Utilizando reduccion sobre la matriz aumentada del sistema AX = B, se obtiene

[a11 a12 b1a21 a22 b2

]≈[

1 a12a11

b1a11

a21 a22 b2

]≈

[1 a12

a11b1a11

0 a22 − a21a12a11

b2 − a21b1a11

]

≈[

1 a12a11

b1a11

0 a22a11 − a21a12 b2a11 − a21b1

].

De donde,

det(A)x2 = b2a11 − a21b1 > 0,

ya que b2 > 0, b1 > 0, a21 ≤ 0. Como x2 ≥ 0, det(A) > 0. En este caso, los menores princiaples de Ason, ∆1 = a11 y δ2 = det(A), los cuales son positivos, portanto A satisface la condicion de Hawkins-Simon.

Supongamos que si A′ ∈ M(k−1)×(k−1)(R), B′ ∈ M(k−1)×1(R) y X ′ ∈ M(k−1)×1(R), satisfacen a′ij ≤ 0para i 6= j para i, j = 1, . . . , (k−1), b′i > 0 y x′i ≥ 0, i = 1, . . . , (k−1), entonces A′ satisface las condicionesde Hawkins-Simons (Hipotesis de Induccion) y demostremoslo para el caso en que el sistema AX = B seade orden k× k. Es decir, veamos que si A ∈Mk×k(R), B ∈Mk×1(R) y X ∈Mk×1(R), satisfacen aij ≤ 0para i 6= j i, j = 1, . . . , k, bi > 0 y xi ≥ 0 para cada i = 1, . . . , k, entonces A satisface las condiciones deHawkins-Simons.

De la primera ecuacion del sistema de orden k × k

Page 101: Sistema de ecuaciones lineales

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 101

a11 a12 · · · a1k

a21 a22 · · · a2k

...... · · ·

...ak1 ak2 · · · akk

x1

x2

...xk

=

b1b2...bk

,

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1kxk = b1

se tiene

a11x1 = b1 − a12x2 − · · · − a1kxk.

Como a1j ≤ 0 y xj ≥ 0, se tiene que cada sumando −a1jxj ≥ 0. Utilizando que b1 > 0, se tiene quea11x1 > 0, lo que implica que ∆1 = a11 > 0, por ser x1 ≥ 0.

Utilizando reduccion a la matriz aumentada del sistema AX = B, se tiene

a11 a12 · · · a1k b1a21 a22 · · · a2k b2...

... · · ·...

...ak1 ak2 · · · akk bk

1 a12a11

· · · a1ka11

b1a11

a21 a22 · · · a2k b2...

... · · ·...

...ak1 ak2 · · · akk bk

1 a12

a11· · · a1k

a11b1a11

0 a22 − a21a12a11

· · · a2k − a21a1ka11

b2 − a21b1a11

...... · · ·

...

0 ak2 − ak1a12a11

· · · akk − ak1a1ka11

bk − ak1b1a11

Denotemos por:

a′ij = aij −a1jai1a11

i, j = 2, 3, . . . , k y por b′j = bj −a1jb1a11

j = 2, 3, . . . , k

La matriz

A′ =

a′22 a′23 · · · a′2na32 a33 · · · a3n

......

......

a′k2 a′k3 · · · a′kk

es de orden (k−1)× (k−1). El sistema A′X = B′ de orden (k−1)× (k−1) satisface las condiciones paraaplicar la hipotesis de induccion. En efecto, si i 6= j, aij ≤ 0 y a1j ≤ 0 por ser elementos de A y j 6= 1,

i 6= 1, entonces a′ij = aij −a1jai1a11

≤ 0. Por otra parte, a11 > 0 y b1 > 0, implican b′j = bj −a1jb1a11

> 0.

Por tanto A′ satisface la condicion de Hawkins-Simon. Esto es

a′22 > 0, det

[a′22 a′23

a′32 a′33

]> 0, det

a′22 a′23 a′24

a′32 a′33 a′34

a′42 a′43 a′44

> 0, ... , det(A′) > 0.

De a′22 = a22 −a21a12

a11=a22a11 − a21a12

a11> 0, se tiene det

[a11 a12

a21 a22

]> 0.

Para demostrar que los demas menores principales de A son positivos, utilizamos las propiedades de losdeterminantes para expresarlos en terminos de los menores de A′, de la manera siguiente,

Page 102: Sistema de ecuaciones lineales

102 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= det

a11 a12 a13

0 a′22 a′23

0 a′32 a′33

= a11 det

[a′22 a′23

a′32 a′33

]> 0

En general

det

a11 a12 · · · a1k

a21 a22 · · · a2k

...... · · ·

...ak1 ak2 · · · akk

= det

a11 a12 · · · a1k

0 a′22 · · · a′2k...

... · · ·...

0 a′k2 · · · a′kk

= a11 det

a12 · · · a1k

a′22 · · · a′2k... · · ·

...a′k2 · · · a′kk

> 0

Lo que demuestra que todos los menores principales de A son positivos.Para la otra implicacion, supongamos que A satisface la condicion de Hawkins-Simon y demostremosque AX = B tiene una solucion X talque xi ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , n. La demostracion se realizara porinduccion sobre el orden de la matriz A.

Para n = 1 se tiene A = (a11)1×1, el sistema AX = B, se reduce a la ecuacion a11x1 = b1. Como el unicomenor principal de A es a11 y a11 > 0, se tiene x1 = b1

a11> 0.

Supongamos que si A′ ∈ M(k−1)×(k−1) satisface la condicion de Hawkins-Simon, entonces dado B′ ∈M(k−1)×1 existe una solucion X ′ de A′X ′ = B′ con x′i ≥ 0, para i = 1, . . . , (k− 1), y demostremos que elresultado se tiene para el sistema AX = B, con A ∈Mk×k y A ∈Mk×1.

Sea a11 a12 · · · a1k

a21 a22 · · · a2k

...... · · ·

...ak1 ak2 · · · akk

x1

x2

...xk

=

b1b2...bk

,

un sistema de orden k × k que satisface la condicion de Hawkins-Simon. Como a11 es uno de los meno-res principales de A, a11 > 0. Aplicando reduccion para determinar la solucion del sistema AX = B,obtenemos

a11 a12 · · · a1k b1a21 a22 · · · a2k b2...

... · · ·...

...ak1 ak2 · · · akk bk

≈a11 a12 · · · a1k b10 a′22 · · · a′2k b′2...

... · · ·...

...0 a′k2 · · · a′kk b′k

Considerando el sistema A′X = B′, bi > 0 y aij ≤ 0 para i 6= j (la justificacion es igual a la realizada

anteriormente). Ademas,

det

[a′22 a′23

a′32 a′33

]=

1

a11det

a11 a12 a13

0 a′22 a′23

0 a′32 a′33

= det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

> 0.

En general,

det

a′22 a′23 · · · a′2ka′32 a′33 · · · a′3k...

... · · ·...

a′k2 a′k3 · · · a′kk

=1

a11det

a11 a12 a13 · · · a1k

0 a′22 a′23 · · · a′2k0 a′32 a′33 · · · a′3k...

...... · · ·

...0 a′k2 a′k3 · · · a′kk

Page 103: Sistema de ecuaciones lineales

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 103

=1

a11det

a11 a12 a13 · · · a1k

a21 a22 a23 · · · a2k

a31 a32 a33 · · · a3k

......

... · · ·...

ak1 ak2 ak3 · · · akk

> 0

Luego, A′ satisface la condcion de Hawkins-Simon. Por hipotesis de induccion se tiene que existe unasolucion de A′X = B′ talque xi ≥ 0 con i = 2, 3, . . . , k.

Solo queda probar que x1 ≥ 0. En efecto,

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1kxk = b1 y a11 > 0,

entonces

x1 =1

a11(b1 − a12x2 − · · · − a1kxk).

Como b1 > 0, a1j ≤ 0 y xj ≥ 0 para j = 2, 3, . . . , k se tiene que x1 ≥ 0.

Por tanto, el sistema AX = B tiene una solucion X = (xi)n×1 con xi ≥ 0, siempre que bi > 0 parai = 1, . . . , n.

Una generalizacion, del teorema anterior es la siguiente.

Teorema 6.10. Sea AX = B un sistema de ecuaciones, A ∈ Mn(R), D ∈ Mn×1, X ∈ Mn×1 queverifica las restricciones aij ≤ 0 para i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n y bi ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , n.

AX = B tiene una solucion X =[x1 x2 · · · xn

]tcon xi ≥ 0 para todo i = 1, 2, . . . , n si y solo

si A satisface la condicion de Hawkins-Simon.

Estos dos teoremas nos permiten afirmar, que

Un modelo Insumo-Producto AX + D = X tiene solucion no negativa X para cualquier vector dedemanda final no negativo dado, si y solo si, la matriz de Leontief I−A verifica la condicion de Hawkins-Simon.

Diremos que una matriz de coeficientes tecnicos A genera una economıa productiva si y solo si, paracualquier matriz de demanda final D no negativa, existe un vector de produccion bruta no negativo talquese verifica la igualdad (I −A)X = D. En consecuencia,

Una matriz de coeficientes tecnicos A genera una economıa productiva si y solo si la matriz de Leon-tief, I −A verifica la condicion de Hawkins-Simon.

Ejemplo 6.15.

¿La matriz A =

[0,6 0,30,5 0,8

]genera una economıa productiva?

Solucion

I2 −A =

[0,4 −0,3−0,5 0,2

]∆1 = 0,4 > 0 y ∆2 = det(I2 −A) = −0,07.

Como I2 −A no satisface la condicion de Hawkins-Simon, no genera una economıa productiva.

Page 104: Sistema de ecuaciones lineales

104 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Page 105: Sistema de ecuaciones lineales

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 105

Ejercicios 6.1.

1. Determine los determinantes de cada una de las matrices dadas.

a) A =

[cosα − sinαsinα cosα

]α ∈ R.

b) A =

[cd c2

d2α cd

]c, d ∈ R.

c) A =

b c d0 a 0b 0 0

a, b, c, d ∈ R.

2. Determine el valor de los siguientes determinantes

a)

∣∣∣∣∣∣1 1 −22 1 −11 3 1

∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣2 0 11 1 −12 1 3

∣∣∣∣∣∣c)

∣∣∣∣∣∣1 0 −11 2 12 1 3

∣∣∣∣∣∣3. Verifique el teorema de expansion de Laplace en cada uno de los casos dados. Utilice el desarrollo

por la fila 1 y por la columna 3.

a)

∣∣∣∣∣∣1 1 13 −1 01 2 0

∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣2 −1 35 −3 01 2 −1

∣∣∣∣∣∣c)

∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 2 31 −2 0 21 −1 1 −13 2 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣4. Determine los valores de x ∈ R, que satisfacen cada una de las igualdades dadas.

a)

∣∣∣∣∣∣1 1 11 x 11 1 x2

∣∣∣∣∣∣ = 0

b)

∣∣∣∣∣∣1 2 42 x 83 6 x

∣∣∣∣∣∣ = 0

c)

∣∣∣∣∣∣1 1 −12 1 33 x 2

∣∣∣∣∣∣ = 0

Page 106: Sistema de ecuaciones lineales

106 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

5. Demuestre que det(In) = 1, para todo n ∈ N.

6. Segun el valor del determinante ∆1, calcule el determinante ∆2.

∆1 =

∣∣∣∣∣∣a b cx y zr s t

∣∣∣∣∣∣ y ∆2 =

∣∣∣∣∣∣2a 2b 2c2r 2s 2t2x 2y 2z

∣∣∣∣∣∣.7. Determine si las siguientes igualdades son verdaderas o falsa.

a) det

−2 2 −22 2 22 −2 2

= 0

b) det

a b ca2 b2 c2

a3 b3 c3

= (a− b)(a− c)(b− c

c) det

1 a 11 b −11 c 1

= − 1ab det

1 a2 11 ab −11 ac 1

d) det

x+ y y + z x+ zx y z1 1 1

= 0

8. Utilizando unicamente propiedades de los determinantes, demuestre que

det

1 a2 a3

1 b2 b3

1 c2 c3

= det

bc a a2

ca b b2

ab c c2

9. Determine el (o los valores) de x, si existen, que son solucion de cada una de las ecuaciones dadas.

a)

∣∣∣∣∣∣0 x xx 0 xx x 0

∣∣∣∣∣∣ = 0

b)

∣∣∣∣∣∣a a xm m mb x b

∣∣∣∣∣∣ = 0

c)

∣∣∣∣∣∣x 1 −12 0 13 2 −1

∣∣∣∣∣∣ = 2

d)

∣∣∣∣∣∣b+ x c+ x a+ xc+ x a+ x b+ xa+ x b+ x c+ x

∣∣∣∣∣∣ = 0

e)

∣∣∣∣∣∣x− 1 0 1−2 x+ 2 −10 0 x+ 1

∣∣∣∣∣∣ = 0

Page 107: Sistema de ecuaciones lineales

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 107

10. Calcular el determinante

det

a2 ab ab b2

ab a2 b2 abab b2 a2 abb2 ab ab a2

11. Calcule el determinante dado, utilizando propiedades.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−3 1 1 1 11 −3 1 1 11 1 −3 1 11 1 1 −3 11 1 1 1 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣12. Demuestre que ∣∣∣∣∣∣

1 sinα cosα1 sinβ cosβ1 sin θ cos θ

∣∣∣∣∣∣ = sin(β − θ) + sin(θ − α) + sin(α− θ)

13. Demuestre que, si α 6= 0,

∣∣∣∣∣∣x αx2 a−1

y αy2 a−1

z αz2 a−1

∣∣∣∣∣∣ = (x− y)(y − z)(z − x)

14. Si

∣∣∣∣∣∣a b cx y z1 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 3, calcular

a)

∣∣∣∣∣∣1 1 0x z ya c b

∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣2c b− c a2z y − z x2 −1 1

∣∣∣∣∣∣c)

∣∣∣∣∣∣x− 1 y z − 1

1 0 1a− 2 b c− 2

∣∣∣∣∣∣15. Si x, y, z, t son distintos de cero, demuestre que

∣∣∣∣∣∣∣∣1 + x 1 1 1

1 1 + y 1 11 1 1 + z 11 1 1 1 + t

∣∣∣∣∣∣∣∣ = xyzt(1

x+

1

y+

1

z+

1

t+ 1)

Page 108: Sistema de ecuaciones lineales

108 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

16. a) Demuestre que ∣∣∣∣∣∣1 x x2

x2 1 xx x2 1

∣∣∣∣∣∣ = (1− x3)2

b) Demuestre que ∣∣∣∣∣∣∣∣1 x x2 x3

x3 1 x x2

x2 x3 1 xx x2 x3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (1− x4)3

c) Utilizando a) y b) encuentre una formula para

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 x x2 · · · xn

xn 1 x · · · xn−1

xn−1 xn 1 · · · xn−2

......

......

...x x2 x3 · · · 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

17. a) Sea A =

[A11 0A21 A22

]una matriz por bloques de orden (p+ q)× (p+ q). Demuestre que

det(A) = det(A11) det(A22)

b) Sea A =

[A11 A12

0 A22

]una matriz por bloques de orden (p+ q)× (p+ q). Demuestre que

det(A) = det(A11) det(A22)

c) Realice una division por bloques, para calcular el determinante de cada una de las matricesdadas

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 −1 2 0 01 0 1 0 02 0 0 0 00 1 −1 3 11 0 1 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 −1 1 0 −11 0 1 0 0 −12 1 0 0 0 30 0 0 3 1 −20 0 0 1 −1 10 0 0 0 −2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣18. Demuestre que ∣∣∣∣∣∣∣∣

x −1 0 00 x −1 00 0 x −1a b c x+ d

∣∣∣∣∣∣∣∣ = a+ bx+ cx2 + dx3 + x4

19. Demuestre que∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 0 · · · 0 a1n

0 0 · · · a2(n−1) a2n

......

......

...0 a(n−1)2 · · · a(n− 1)(n− 1) an(n−1)

an1 an2 · · · an(n−1) ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1)ka1na2(n−1) · · · a(n−1)2an1

donde n = 2k o n = 2k + 1

Page 109: Sistema de ecuaciones lineales

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 109

20. Si A ∈Mn(R) es una matriz antisimetrica, muestre que det(A) = 0.

21. Demuestre que, si A ∈Mn(R), para todo n ∈ N se tiene det(An) = (det(A))n.

22. Demuestre que, si A ∈Mn(R) es invertible, para todo n ∈ Z se tiene det(An) = (det(A))n.

23. Demuestre que, si A ∈M40(R) y α ∈ R entonces det(αA) = α40 det(A).

24. Si A ∈ Mn(R) muestre que, la ecuacion Ax = λx tiene una solucion x 6= 0 si y solo sidet(In − λA) = 0.

Determine si las siguientes matrices son invertibles.

25. A =

2 2 20 2 35 5 1

26. B =

0 0 50 0 1−2 1 2

27. C =

1 2 2 42 3 2 84 2 4 132 8 4 11

28. D =

1 2 −1 21 1 1 11 −1 2 11 2 2 1

29. F =

−1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1

30. Si A es una matriz invertible y su inversa es la matriz B =

2 1 20 1 30 0 −1

determine A.

31. Si B = (bij)n×n, donde

bij =

{1 si i ≤ j0 si i > j

Muestre que B es invertible y calcule B−1.

32. Dada A ∈Mn(R), demuestre que A es invertible si y solo si At es invertible.

Page 110: Sistema de ecuaciones lineales

110 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

33. Sea A ∈Mn(R) la matriz definida por: aij =

{0 si i = j1 si i 6= j

. Use determinantes para demostrar

que A es invertible.

34. ¿ Para que valores de a ∈ R la matriz 1 2 3−a a− 1 a+ 1

2− a a+ 3 a+ 7

es invertible?

35. ¿ Para que valores de α, β ∈ R la matriz1 0 α0 −1 0α β 0

es invertible?

36. Si a+ b+ c = 0, determine los valores de x ∈ R que hacen que la matriza− x c bc b− x ab a c− x

no sea invertible?

37. ¿ Para que valores de z ∈ R la matriz1 z z2 z3

1 2 4 81 3 9 271 4 16 64

no es invertible?

38. Si a ∈ R, ¿ para que valores de x ∈ R la matrizx a a aa x a aa a x aa a a x

es invertible?

39. Muestre que para cualquier a, b, c, d ∈ R la matriz1 a a2 a3 + bcd1 b b2 b3 + acd1 c c2 c3 + abd1 d d2 d3 + abc

no es invertible.

Page 111: Sistema de ecuaciones lineales

6. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA. 111

40. Muestre que 1 cosα cosβcosα 1 cos γcosβ cos γ 1

es invertible si α+ β + γ 6= 0.

En cada uno de los items siguientes, determine cuando la matriz dada es invertible y calcule suinversa para todos los casos en que exista

41. A =

2 1 0 03 2 0 01 1 3 42 −1 2 3

42. B =

1 1 11 x x2

1 x2 x

con x ∈ R

43. C =

1 a a2 a3

0 1 a a2

0 0 1 a0 0 0 1

con a ∈ R.

44. B =

1 1 1 11 1 + a 1 11 1 1 + b 11 1 1 1 + c

donde a, b, c ∈ R− {0} .

45. Sea A =

0 −3 4−2 0 32 −1 0

, determine los valores de λ ∈ R para los cuales det(A− λI3) = 0.

46. Sea B =

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

, determine los valores de λ ∈ R para los cuales det(B − λI4) = 0.

En cada caso determine Adj(B) y B(Adj(B))

47. B =

1 3 2−1 1 00 0 3

.

48. B =

1 2 34 5 67 −1 1

.

49. B =

1 −1 1 −1−1 1 −1 11 −1 −1 1−1 −1 1 −1

.

Page 112: Sistema de ecuaciones lineales

112 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

50. De un ejemplo de una matriz A talque A 6= 0 pero Adj(A) = 0.

51. Demuestre que si A ∈Mn(R)

det(Adj(A)) = (det(A))n−1.

52. Sea A = (aij)3×3 talque a11 = −a33 = −1, a12 = −a32 = 2, a13 = −a32 = 2, a13 = a31 = 2,a21 = 5, a22 = 6 y a23 = 0. Determine

a) Adj(A)

b) det(A)

c) A−1

d) (Adj(Adj(A)))−1.

En los ejercicios 52 a 55, determine si la matriz de coeficientes tecnicos, genera una economıaproductiva. Justifique con precision.

53. La tabla de transacciones intersectoriales para una economıa con tres sectores productivos A, My E, esta dada por

I/O A M E Produccion Total

A 70 60 75 415B 45 70 105 500C 60 55 90 455

54. La tabla de transacciones intersectoriales para una economıa ficticia con tres sectores productivosA, B y C, expresada en millares de millones de dolares y a precio de salida de fabrica, esta dadapor

I/O A B C Demanda Final Produccion Total

A 89.6 118.9 1.3 120.9 330.7B 35.8 332 36.5 466.6 870.9C 16.2 69.9 76.4 310.1 472.6

55. Suponga que para una economıa dividida en tres sectores la matriz de coeficientes tecnicos es

A =

0,1 0 0,10,5 0,2 0,20,0 0,0 0,1

56. La tabla de transacciones industriales en una economıa dividida en tres sectores productivos,

expresada en millares de millones de dolares, esta dada por

I/O 1 2 3 Demanda Final Produccion Total

1 75 160 30 65 3302 30 160 100 210 5003 48 64 80 448 640