Sistema de ecuaciones algebraicas. Descomposición...

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Sistema de ecuaciones algebraicas.Descomposicion LU.

Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM

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Introduccion Descomposicion LU Eliminacion de Gauss usando la descomposicion LU Programas MATLAB

Topicos

1 Introduccion

2 Descomposicion LU

3 Eliminacion de Gauss usando la descomposicion LU

4 Programas MATLABA=LULU Gauss SimpleLU Gauss con Pivoteo Parcial

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Topicos

1 Introduccion

2 Descomposicion LU

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Sistemas de ecuaciones algebraicosUn sistema de ecuaciones lo podemos representar enforma matricial como:

AX = B,

Existen problemas para los cuales se necesitan evaluarmuchos vectores B para una sola matriz A,La eliminacion de Gauss como ha sido presentada, serıamuy ineficiente para resolver estos problemas.

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AX = B,

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AX = B,

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Tecnica de descomposicion LUEl paso de eliminacion se puede formular de tal maneraque involucre solo operaciones con la matriz de loscoeficiente A,A = LU , donde L es una matriz triangular inferior (Lower)y U es una matriz triangular superior (Upper),Mostraremos como se puede implementar la eliminacionde Gauss como una descomposicion LU .

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1 Introduccion

2 Descomposicion LU

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Revision de la descomposicion LU

Dado el sistema:AX = B,

se puede reordenar como:

AX −B = 0.

Supongamos que podemos expresarlo como un sistematriangular superior: u11 u12 u13

0 u22 u230 0 u33

x1x2x3

d1d2d3

Esto es similar a la manipulacion que ocurre con la eliminacionde Gauss.

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AX −B = 0.

0 u22 u230 0 u33

x1x2x3

d1d2d3

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AX −B = 0.

0 u22 u230 0 u33

x1x2x3

d1d2d3

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En notacion matricial:

U X −D = 0,

Tambien se podrıa obtener una matriz triangular inferior connumeros 1 en la diagonal:

1 0 0l21 1 0l31 l32 1

Se demuestra que si pre-multiplicamos la matriz L al miembroizquierdo de la ecuacion matricial anterior llegamos a:

L (U X −D) = AX −B ⇒ LU X − LD = AX −B.

Por tanto, LU = A, LD = B.

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U X −D = 0,

1 0 0l21 1 0l31 l32 1

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U X −D = 0,

1 0 0l21 1 0l31 l32 1

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U X −D = 0,

1 0 0l21 1 0l31 l32 1

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Una estrategia en dos pasos para resolver el sistema deecuaciones es:Paso de descomposicion La matriz A se descompone en las

matrices triangulares inferior L y superior U ,Paso de sustitucion L y U se usan para determinar una

solucion X para una B,Primero: Se determina el vector D usando laexpresion

LD = B

(sustitucion hacia adelante),

di = bi −i−1∑j=1

lijdj para i = 2, · · · , n

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LD = B

di = bi −i−1∑j=1

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LD = B

di = bi −i−1∑j=1

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Paso de sustitucion L y U se usan para determinar unasolucion X para una B,

Segundo: El resultado anterior se sustituyeen la expresion

U X −D = 0

(sustitucion hacia atras),

xn =dnunn

di −n∑

j=i+1uijxj

uii, para i = n− 1, · · · , 2, 1

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Topicos

1 Introduccion

2 Descomposicion LU

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Eliminacion de GaussDado el sistema: a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

x1x2x3

b1b2b3

La eliminacion de Gauss conduce a una matriz triangularsuperior U :

a11 a12 a13

0 a(1)22 a

0 0 a(2)33

En la creacion de la matriz triangular superior U , tambien secrea la matriz triangular inferior L.

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Eliminacion de GaussDado el sistema: a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

x1x2x3

b1b2b3

La eliminacion de Gauss conduce a una matriz triangularsuperior U :

a11 a12 a13

0 a(1)22 a

0 0 a(2)33

En la creacion de la matriz triangular superior U , tambien secrea la matriz triangular inferior L.

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Eliminacion de Gauss a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

x1x2x3

b1b2b3

Recordemos los pasos de la eliminacion de Gauss para elsistema de 3 ecuaciones:

1 Multiplicar la fila 1 por el factor: a21a11

= f21 y restar elresultado a la fila 2 para eliminar a21

2 Multiplicar la fila 1 por el factor: a31a11

= f31 y restar elresultado a la fila 3 para eliminar a31

3 Multiplicar la fila 2 modificada por el factor: a(1)32

a(1)22

= f32 y

restar el resultado a la fila 3 para eliminar a(1)32

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Eliminacion de GaussFinalmente,

A = LU

a11 a12 a13

0 a(1)22 a

0 0 a(2)33

1 0 0f21 1 0f31 f32 1

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A = LU

a11 a12 a13

0 a(1)22 a

0 0 a(2)33

1 0 0f21 1 0f31 f32 1

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A = LU

a11 a12 a13

0 a(1)22 a

0 0 a(2)33

1 0 0f21 1 0f31 f32 1

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1 Introduccion

2 Descomposicion LU

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Programa MATLAB

function lugaussv1 (A)[m, n ] = size (A) ;i f m˜=n , error ( ’ Ma t r i z A debe ser cuadrada ’ ) ; endU = A;for j =1:n

L ( j , j ) =1 .0 ;end% El im inac ion hacia adelantefor k = 1:n−1

for i = k +1:nf a c t o r = U( i , k ) /U( k , k ) ;U( i , k : n ) = U( i , k : n )−f a c t o r∗U( k , k : n ) ;L ( i , k ) = f a c t o r ;

endenddisp ( ’ Ma t r i z U ’ ) ;Udisp ( ’ Ma t r i z L ’ ) ;Ldisp ( ’ Ma t r i z L∗U ’ ) ;L∗U

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LU Gauss Simple

Programa MATLAB

function lugaussv2 (A,B)[m, n ] = size (A) ;i f m˜=n , error ( ’ Ma t r i z A debe ser cuadrada ’ ) ; endU = A;for j =1:n

L ( j , j ) =1 .0 ;end% Paso 1: Descomposicion LU−>El im inac ion hacia adelantefor k = 1:n−1

for i = k +1:nf a c t o r = U( i , k ) /U( k , k ) ;U( i , k : n ) = U( i , k : n )−f a c t o r∗U( k , k : n ) ;L ( i , k ) = f a c t o r ;

endend% Paso 2: Determinacion de l vec to r D−>S u s t i t u c i o n hacia adelanteD = zeros ( n , 1 ) ;D( 1 ) =B( 1 ) ;Sal ida1 =[ ’D1 ’ , ’ = ’ ,num2str (D( 1 ) ) ] ;disp ( Sal ida1 )for i = 2 : n

D( i ) = B( i )−L ( i , 1 : i −1)∗D( 1 : i −1) ;Sal ida2 =[ ’D ’ ,num2str ( i ) , ’ = ’ , num2str (D( i ) ) ] ;disp ( Sal ida2 )

enddisp ( ’ ’ ) ;% Paso 3: Soluc ion f i n a l−>S u s t i t u c i o n hacia a t ras

x = zeros ( n , 1 ) ;x ( n ) = D( n ) /U( n , n ) ;Sal ida3 =[ ’ x ’ ,num2str ( n ) , ’ = ’ , num2str ( x ( n ) ) ] ;disp ( Sal ida3 )for i = n−1:−1:1

x ( i ) = (D( i )−U( i , i +1:n )∗x ( i +1:n ) ) /U( i , i ) ;Sal ida4 =[ ’ x ’ ,num2str ( i ) , ’ = ’ , num2str ( x ( i ) ) ] ;disp ( Sal ida4 )

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LU Gauss Simple

Programa MATLAB

% Paso 3: Soluc ion f i n a l−>S u s t i t u c i o n hacia a t rasx = zeros ( n , 1 ) ;x ( n ) = D( n ) /U( n , n ) ;Sal ida3 =[ ’ x ’ ,num2str ( n ) , ’ = ’ , num2str ( x ( n ) ) ] ;disp ( Sal ida3 )for i = n−1:−1:1

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LU Gauss Simple

Problema

3x1 − 0.1x2 − 0.2x3 = 7.850.1x1 + 7x2 − 0.3x3 = −19.30.3x1 − 0.2x2 + 10x3 = 71.4

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LU Gauss Simple

Problema

2x2 + 3x3 = 84x1 + 6x2 + 7x3 = −32x1 + x2 + 6x3 = 5

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LU Gauss con Pivoteo Parcial

Programa MATLAB

function lugaussv3 (A,B)[m, n ] = size (A) ;i f m˜=n , error ( ’ Ma t r i z A debe ser cuadrada ’ ) ; endU = A;L = zeros ( n , n ) ;% Paso 1: Descomposicion LU−>El im inac ion hacia adelantefor k = 1:n−1

% Pivoteo p a r c i a l[ mayor , i ]=max( abs (U( k : n , k ) ) ) ;i p = i +k−1;i f i p ˜= k

U( [ k , i p ] , : ) =U( [ ip , k ] , : ) ;B ( [ k , i p ] ) =B ( [ ip , k ] ) ;L ( [ k , i p ] , : ) =L ( [ ip , k ] , : ) ;

endfor i = k +1:n

f a c t o r = U( i , k ) /U( k , k ) ;U( i , k : n ) = U( i , k : n )−f a c t o r∗U( k , k : n ) ;L ( i , k ) = f a c t o r ;

endendfor j =1:n

L ( j , j ) =1 .0 ;endLU% Paso 2: Determinacion de l vec to r D−>S u s t i t u c i o n hacia adelanteD = zeros ( n , 1 ) ;D( 1 ) =B( 1 ) ;Sal ida1 =[ ’D1 ’ , ’ = ’ ,num2str (D( 1 ) ) ] ;disp ( Sal ida1 )for i = 2 : n

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LU Gauss con Pivoteo Parcial

Programa MATLAB

% Paso 2: Determinacion de l vec to r D−>S u s t i t u c i o n hacia adelanteD = zeros ( n , 1 ) ;D( 1 ) =B( 1 ) ;Sal ida1 =[ ’D1 ’ , ’ = ’ ,num2str (D( 1 ) ) ] ;disp ( Sal ida1 )for i = 2 : n

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