Sistema de Control de un péndulo Simple

Profesor:

Gerardo Bonilla Mota

Materia:

Teoría de control

Alumno:

Hans Alexander Luna Eisermann

Id:

00012332

Sistema de Control de un péndulo Simple

Introducción:

En este trabajo analizaremos un péndulo simple, de manera que con su análisis podamos

controlarlo utilizando un control PID (Proporcional Integral Derivativo).

El péndulo simple lo podemos representar como en la figura 1.1

Marco Teórico:

Para este proyecto es muy importante saber que es un control PID y como es su

funcionamiento.

Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: proporcional (P),

integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados P, I, PI, PD y PID y su

representación en diagrama de bloques es como la que se muestra en la figura 1.2

PID: acción de control proporcional-integral-derivativa, esta acción combinada reúne las

ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un

controlador con esta acción combinada se obtiene mediante:

���� � �� ∗ ��� ����

������

� ����

������

Donde su función de transferencia está definida por la siguiente ecuación:

����� � �� �1 1��� ����

Segundo método de sintonización Ziegler-Nichols:

Este método nos dice que a partir de la función de transferencia del PID, tomamos �� � ∞

y �� � 0, usando solo la parte proporcional, se incrementa �� de “0” hasta un valor crítico

��� en el cual la salida exhiba por primera vez las oscilaciones sostenidas.

Donde en nuestro diagrama de bloques como se muestra en la figura 2.1

En donde:

����� � �� �1 1��� ����

Y nuestra planta es nuestra función de transferencia de nuestro sistema.

En donde tomamos �� � ∞ y �� � 0 y nuestra ecuación (2) se simplifica a:

����� � ��

Y nos queda nuestro diagrama de bloques como indica la figura 2.2

(2)

Y con este diagrama de bloques tenemos que simplificar para sacar nuestra función de

transferencia (figura 2.3) y sacar el valor de ��, en donde el denominador (figura 2.4) de

esta función de transferencia lo analizaremos utilizando el criterio de estabilidad de

ROUTH.

Función de transferencia:

Denominador:

El criterio de estabilidad de Routh permite determinar la cantidad de polos en lazo

cerrado que se encuentran en el semiplano derecho del plano s (raíces positivas) sin tener

que factorizar el polinomio. Este criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con

una cantidad finita de términos.

El criterio de estabilidad de Routh- Hurwitz plantea que el número de raíces de la ecuación

con partes reales positivas es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la

primera columna del arreglo.

La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren

en el semiplano izquierdo del plano s es que todos los coeficientes de la ecuación sean

positivos y que todos los términos de la primera columna del arreglo tengan signo

positivo.

Una vez aplicando el criterio de ROUTH y sacando las regiones para las cuales �� es válido,

definimos que ��� es el valor grande o máximo que puede tener ��.

Una vez conociendo el valor de ��, sustituimos en el denominador de nuestra función de

transferencia y con esto es posible obtener nuestro polinomio característico de nuestra

función.

Una vez obtenido el polinomio característico de nuestra función, nos percatamos que nos

queda en función del operador “s” y que sabemos que “s=ω*ј”, por lo que es necesario

sustituir nuestros valores para sacar nuestra frecuencia.

Una vez que se obtuvo nuestro valor de ω, despejamos nuestro periodo de la siguiente

fórmula:

� � 2�f En donde:

f � 1/T

Por lo tanto:

� � 2��

Despejando el Periodo:

� � 2��

Y con esta última ecuación obtenemos nuestro periodo que es igual a #��.

Una vez obteniendo este periodo, sabemos que el segundo método de sintonización

Ziegler-Nichols, nos indican la siguiente tabla:

CONTROLADOR $% &' &(

P .5*��� ∞ 0

PI .45*��� 1/1.2*#��. 0

PID .6*��� .5*#�� .125*#��

Y como ya conocemos los valores de #�� y de ���, sustituimos en la ecuación (2):

����� � �� �1 + 1��� + ����

Y esto nos da nuestra función de transferencia de nuestro control.

APLICANDO AL PENDULO SIMPLE

Antes de que nada es necesario sacar el comportamiento del péndulo de la siguiente

forma:

Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange:

ℒ � � − +

En donde K representa la energía cinética y V la energía potencial.

+ � −, ∗ - ∗ ℓ ∗ Cos�ϴ�

� � 12,�ℓ ∗ cos�3�3´�5 + 12,�−ℓ ∗ sin�3�3 ´�5

Simplificando:

� = 12,ℓ53´5

Tabla 1.1

Uniendo:

ℒ = 12,ℓ53´5 +, ∗ - ∗ ℓ ∗ Cos�ϴ�

Sabemos que:

���

8ℒ�3´

− 8ℒ�3 � �

En donde:

���

8ℒ�3´

� , ∗ ℓ53´´

8ℒ�3 � −, ∗ - ∗ ℓ ∗ sin�3�

Por lo tanto:

���

8ℒ�3´

− 8ℒ�3 � , ∗ ℓ53´´ , ∗ - ∗ ℓ ∗ sin�3� � �

Modelo matemático:

, ∗ ℓ53´´ , ∗ - ∗ ℓ ∗ sin�3� � �

Despejando 3´´:

3´´ � � 1, ∗ ℓ5� �� − , ∗ - ∗ ℓ ∗ sin�3��

Representando en variables de estado:

9: = 3 95 = 3´ 9:´ = 3′ � 95

95´ � 3´´ � � 1, ∗ ℓ5� �� − , ∗ - ∗ ℓ ∗ sin�3�� Sustituyendo 9: y 95: ;: = 95 ;5 = � 1, ∗ ℓ5� �� − , ∗ - ∗ ℓ ∗ sin�9:��

Linealizando mediante series de Taylor:

Función 1: 8;:89: ∣�=:,=5,�,��= 0 8;:895 ∣�=:,=5,�,��= 1

Función 2: 8;589: ∣�=:,=5,�,��= −-?

8;5895 ∣�=:,=5,�,��= 0

Entrada: 8;58� ∣�=:,=5,�,��= 0

8;:8� ∣�=:,=5,�,��= 1, ∗ ?5

Para linealizar tenemos las siguientes ecuaciones:

Sustituyendo nuestros valores en las ecuaciones anteriores tenemos:

@´��� = A 0 1B−-ℓC 0D ∗ E9:´95´F + G01, ∗ ?5H ∗ �

I��� = J1 0K ∗ E9:95F

Sabemos que nuestra función de transferencia está dada por:

���� = L ∗ �MN − O�P: ∗ Q

En donde:

�MN − O�P: = 1det MN − O ∗ O�U�MN − O�V

�MN − O�P: = 1�5 + -ℓ ∗ A� −1B-ℓC � D

V

�MN − O�P: = 1�5 + -ℓ ∗ A� 1B−-ℓC �D

�MN − O�P: =WXXXXY ��5 + -ℓ

1�5 + -ℓ− B-ℓC�5 + -ℓ

��5 + -ℓZ[[[[\

Una vez resolviendo todo nos queda nuestra función de transferencia de la siguiente

manera:

���� = ] ���5 + -ℓ��, ∗ ?5�^

Representando en diagrama de bloques:

�� = ∞ y �� = 0 nuestro diagrama de bloques se simplifica a:

Aplicando Algebra de Bloques:

Haciendo la retroalimentación nos queda:

Donde la función de transferencia es:

���� = A ��,?5�5 +,?5 -ℓ + ���D El siguiente paso es aplicar el criterio de estabilidad de Routh, pero primero necesitamos

simplifcar nuestra denominador dándole valores a las constantes:

Suponiendo: ℓ = 1; m=1;

Nuestro polinomio se ve de la manera:

�5 + ��� + 981100

Ya al tener este polinomio aplicamos el criterio de estabilidad de Routh:

�5 1 981100 �: �� 0 �� 981/100

Para que el sistema sea estable �� debe ser mayor a 0 �� > 0Por lo que le damos un valor superior a 0 en este caso le damos el valor de 1

�� = 1

Por lo tanto decimos que: ��� = 1

Volviendo al polinomio y sustituyendo �� c��� = �5 + ��� + 981100

c��� = �5 + 1� + 981100

Sustituyendo s=ω*ј

c��� � U�5 1U� + 981100

Separando parte real y parte imaginaria:

Real:

−�5 + 981100 = 0

Imaginaria:

1U� = 0

Tenemos que:

� = �981100�:5

Simplificando:

� = � 310� (109):5

Sabemos que:

� = 2 ∗ � ∗ ;

Y

; = 1�

Sustituyendo:

� = 2 ∗ ��

Despejando el periodo T

� = 2 ∗ ��

Sustituyendo el valor de ω:

� = 2 ∗ �B 310C (109)

:5

Simplificando:

#�� = � = 20 ∗ �(327) (109)

:5

Sustituyendo��� y #�� en la tabla 1.1 y utilizando el controlador PID:

CONTROLADOR $% &' &(

PID .6*��� .5*#�� .125*#��

Tenemos que:

�� = .6(1) = 6

�� = .5 ∗ 20 ∗ �(327) (109):5 = 1.00303

�� = .125 ∗ 20 ∗ �(327) (109):5 = .250758

Por lo que nuestra función de transferencia del controlador nos queda:

����� = 6 �1 11.00303 ∗ � .250758 ∗ ��

����� = �6 61.00303 ∗ � 1.504548 ∗ ��

����� = j1.509106�5 6.01919� 61.00303 ∗ � k

Grafica de la función de transferencia sin control

Utilizando la función step en MATLAB

Utilizando el siguiente arreglo en simulink

Utilizando Simulink con un tiempo de 100

Grafica de la función de transferencia con control

Sistema con control

Sistema sin control

Conclusiones:

Al hacer el modelado de un péndulo y aplicarle un control nos dimos cuenta que sin el

control el péndulo estará oscilando hasta que las condiciones del ambiente lo frenen, en

cambio con el mismo sistema aplicándole un control PID, nos dimos cuenta que el péndulo

va a poder ser controlado en un tiempo muy rápido el cual nos sirve para poder

manipularlo.

Bibliografía Escuela de ingenieria electronica. (s.f.). Recuperado el 28 de marzo de 2011, de

http://www.eie.fceia.unr.edu.ar/~con2/CapituloIII_parte2.pdf

mazzone, V. (Marzo de 2002). Control Automático. Controladores PID. Quilmes, Argentina.

Mota, G. B. (28 de Marzo de 2011). Apuntes de la clase de teoría de control. Segundo metodo de

Ziegel-Nichols. D.F., México.

Ogata. (1998). ingenieria de control moderna. En k. ogata, ingenieria de control moderna.