Dibujo Tcnico II

Tema:Investigacin de Dibujo Tcnico

Alumno:Miguel Silva Risco

Profesor:Arq. Alberto Veintimilla

Periodo Lectivo 2015

ndice

Representacion de cuerpos

Sistema Americano:En el Sistema Americano el plano de proyeccin se coloca delante del objeto en el sentido de la proyeccin, siempre que se desee alguna proyeccin adicional el plano debe colocarse al mismo lado que la pieza, la proyeccin que se obtiene desde una direccin y un sentido es idntica en el Sistema Americano y en el Sistema Europeo.El abatimiento se hace siempre dejando al alzado como vista principal es decir las dems se abaten en torno del alzado. Estando el alzado delante de la pieza, las dems vistas deben girar como aparece en la pelcula.En el sistema Americano, cuando se proyecta mirando desde un lado la proyeccin que se obtiene se coloca deben el mismo lado contrariamente a cmo ocurra en el sistema europeo.En el sistema Americano1. El alzado o vista principal ocupa la posicin central

1. La planta que se obtiene mirando desde abajo el alzado, se coloca arriba del mismo

1. La vista derecha que se obtiene mirando desde la derecha del alzado, se coloca a la izquierda del mismo.

GENERALIDADES-Sistema Europeo:-El Sistema Europeo es ms intuitivo, el abatimiento se hace hacia el lado que corresponda. As si deseas abatir un objeto hacia la derecha, solamente has de mirar el objeto desde la izquierda hacia la derecha. Si deseas abatir hacia la izquierda, solamente has de mirar el objeto desde la parte derecha del mismo hacia la izquierda y as sucesivamente.

Se denominan vistas principales de un objeto, a las proyecciones ortogonales del mismo sobre 6 planos, dispuestos en forma de cubo. Tambin se podra definir las vistas como, las proyecciones ortogonales de un objeto, segn las distintas direcciones desde donde se mire.

Si situamos un observador segn las seis direcciones indicadas por las flechas, obtendramos las seis vistas posibles de un objeto.

Estas vistas reciben las siguientes denominaciones:VistaA: Vista de frente oalzadoVistaB: Vista superior oplantaVistaC: Vista derecha olateral derechaVistaD: Vista izquierda olateral izquierdaVistaE:Vista inferiorVistaF:Vista posterior

Para la disposicin de las diferentes vistas sobre el papel, se pueden utilizar dos variantes de proyeccin ortogonal de la misma importancia:

- El mtodo de proyeccin delprimer diedro, tambin denominadoEuropeo(antiguamente, mtodo E)

- El mtodo de proyeccin deltercer diedro, tambin denominadoAmericano(antiguamente, mtodo A)

En ambos mtodos, el objeto se supone dispuesto dentro de un cubo, sobre cuyas seis caras, se realizarn las correspondientes proyecciones ortogonales del mismo.

La diferencia estriba en que, mientras en el sistemaEuropeo, el objeto se encuentra entre el observador y el plano de proyeccin, en el sistema Americano, es el plano de proyeccin el que se encuentra entre el observador y el objeto.SISTEMA EUROPEOSISTEMA AMERICANO

Una vez realizadas las seis proyecciones ortogonales sobre las caras del cubo, y manteniendo fija, la cara de la proyeccin del alzado (A), se procede a obtener el desarroyo del cubo, que como puede apreciarse en las figuras, es diferente segn el sitema utilizado.

SISTEMA EUROPEOSISTEMA AMERICANO

CORRESPONDENCIA ENTRE LAS VISTASComo se puede observar en las figuras anteriores, existe una correspondencia obligada entre las diferentes vistas. As estarn relacionadas:a) El alzado, la planta, la vista inferior y la vista posterior, coincidiendo en anchuras. b) El alzado, la vista lateral derecha, la vista lateral izquierda y la vista posterior, coincidiendo en alturas. c) La planta, la vista lateral izquierda, la vista lateral derecha y la vista inferior, coincidiendo en profundidad. Habitualmente con tan solo tres vistas, el alzado, la planta y una vista lateral, queda perfectamente definida una pieza. Teniendo en cuenta las correspondencias anteriores, implicaran que dadas dos cualquiera de las vistas, se podra obtener la tercera, como puede apreciarse en la figura:

Tambin, de todo lo anterior, se deduce que las diferentes vistas no pueden situarse de forma arbitraria. Aunque las vistas aisladamente sean correctas, si no estn correctamente situadas, no definirn la pieza

Sistema axonomtrico

Elsistema axonomtricose desarrollo para suplir las desventajas del sistema didrico, es decir, poder visualizar un elemento mecnico de una forma rpida y sin conocimientos previos.Este sistema se subdivide en dos principales, el sistema axonomtrico ortogonal y el sistema axonomtrico oblicuo. La diferencia entre ambos es la direccin de los rayos de proyeccin respecto del plano en el que se proyectan, la cual ser perpendicular o con otro ngulo en cualquiera de ambos casos.

Laperspectiva axonomtricaes un sistema de representacin grfica, consistente en representar elementos geomtricos o volmenes en un plano, mediante proyeccin paralela o cilndrica, referida a tres ejes ortogonales, de tal forma que conserven sus proporciones en cada una de las tres direcciones del espacio: altura, anchura y longitud.

Perspectiva axonomtrica: proporcin de las medidas.Los tres ejes del plano proyectante se dibujan as: el referente a la altura suele ser vertical, y los referentes a longitud y anchura pueden disponerse con cualquier ngulo. Los ejes del plano proyectante guardan entre s 120 en laperspectiva isomtrica, un caso particular de la perspectiva axonomtrica. La perspectiva caballera es un tipo de axonometra oblicua en la cual el objeto a representar se sita con una de sus caras paralela al plano del cuadro (cara de verdaderas magnitudes) y las proyecciones de sus puntos siguen una direccin oblicua a ste. En la perspectiva militar (tipo particular de caballera) la cara de verdaderas magnitudes es la planta. Para que el dibujo se parezca ms a la realidad, se aplica a veces un coeficiente de reduccin(1/2,2/3...) para algunos de los ejes, es decir las medidas en la direccin de los ejes, que se suponene, no estn en verdadera magnitud.Proyeccin axonomtrica es un tipo deproyeccin paralelase utiliza para crear el dibujo de un objeto en perspectiva, donde el objeto se gira a lo largo de uno o ms de sus ejes con relacin al plano de proyeccin.Hay tres tipos principales de proyeccin axonomtrica: isomtrica , dimtrica y proyeccin trimtrica .SISTEMA AXONOMTRICO ORTOGONALSe divide en tres subsistemas : Isomtrico El ms utilizado por su comodidad. Los tres ejes forman los mismos ngulos. Dimtrico Dos de los ngulos entre ejes son iguales. Trimtrico Los tres ngulos son distintos.SISTEMA AXONOMTRICO OBLICUOTiene muchas variantes, y algunas de las ms conocidas son : Perspectiva caballera Muy cmoda para trabajar en verdadera magnitud con una de las caras Perspectiva militar Aquella en la que la planta es la que est en verdadera magnitud Perspectiva egipcia o de Hejduk En esta solo se aprecia dos de las tres caras de un cubo

PROYECCIN ISOMTRICA

Unaproyeccinisomtricaes un mtodo grfico de representacin, ms especficamente unaaxonometracilndricaortogonal. Constituye una representacin visual de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes ortogonales principales, al proyectarse, formanngulosde 120, y las dimensiones paralelas a dichos ejes se miden en una misma escala.El trmino isomtrico proviene delidioma griego: igual medida, ya que la escala de medicin es la misma en los tres ejes principales (x, y, z).Laisometraes una de las formas de proyeccin utilizadas endibujo tcnicoque tiene la ventaja de permitir la representacin a escala, y la desventaja de no reflejar la disminucin aparente de tamao -proporcional a la distancia- que percibe elojohumano.VISUALIZACIONLa isometra determina una direccin de visualizacin en la que la proyeccin de los ejes coordenadosx,y,zconforman el mismo ngulo, es decir, 120 entre s. Los objetos se muestran con una rotacin del punto de vista de 45 en las tres direcciones principales (x, y, z).Esta perspectiva puede visualizarse considerando el punto de vista situado en el vrtice superior de una habitacin cbica, mirando hacia el vrtice opuesto. los ejesxeyson las rectas de encuentro de las paredes con el suelo, y el ejez, el vertical, el encuentro de las paredes. En el dibujo, los ejes (y sus lneas paralelas), mantienen 120 entre ellos.En

Perspectiva dimtricaLa perspectiva dmtrica es una herramienta del Dibujo Tcnico, que forma parte a su vez de la Axonometra, para representar volmenes.El dibujo parte de dos ngulos con la misma amplitud y otro ngulo de amplitud diferente para formar los tres ejes que se utilizan para el trazado del objeto. Los ngulos ms usuales para esta perspectiva son 105 y 150. Esta perspectiva, o proyeccin es usual para representar piezas ms largas que anchas y altas.

PERSPECTIVA TRIMETRICA

La perspectiva trimtrica es unaproyeccinaxonomtrica, para representar volmenes en la cual los 3 ejes ortogonales forman 3 ngulos distintos.

La perspectivaTrimtrica, es aquella en la que cortamos el plano sobre el que vamos a realizar el dibujo en tres ejes trazados a distintas distancias sobre el punto de fuga o sobre el punto de origen, formamos en ste casotres tringulos todos desigualesInterseccin de planos.

La interseccin de dos planos P y Q, genera una recta I. El mtodo general para calcular la interseccin entre dos planos P y Q consiste en calcular las rectas interseccin R, S, T y F de estos con otros dos auxiliares W y X de fcil trazado. Unimos seguidamente los puntos de interseccin A y B de las rectas interseccin perteneciente a un mismo plano auxiliar y obtenemos de este modo la recta interseccin I buscada. Fig. 47Interseccin de dos planos oblicuos.Dados dos planos oblicuos P y Q, aplicaremos el mtodo general comentado siendo en este caso los planos auxiliares a tomar X y W los de proyeccin vertical y horizontal y las rectas interseccin de los auxiliares con los planos dados sus trazas correspondientes.As pues, la interseccin de las trazas homnimas o correspondientes al plano vertical y la interseccin de las trazas horizontales de ambos planos determinarn los puntos A y B anteriormente mencionados y que unidos definen como sabemos a la recta interseccin I entre P y Q buscada.Obsrvese que adems, A y B se corresponden con las trazas vertical v y horizontal h de la recta en cuestin. Fig. 48

Interseccin de plano oblicuo p con plano horizontal Q.La recta interseccin resultante a de pertenecer al plano horizontal Q dado luego ser horizontal. Tambin a de pertenecer al plano oblicuo P por lo que ser una horizontal de P. Como sabemos, los planos y las rectas horizontales no presentan traza horizontal pues son paralelos al plano horizontal de proyeccin.Empleamos el mismo mtodo que en el ejercicio anterior y obtenemos la traza vertical v de la recta solucin en la interseccin de P y Q, no podemos sin embargo operar de igual modo para calcular la traza horizontal de la recta horizontal solucin pues Q no presenta traza horizontal pero sabemos que la recta horizontal, por pertenecer a P tiene que ser paralela a la traza horizontal de este. Trazamos por tanto una recta horizontal de P que pase por v. La proyeccin vertical de I, i coincidir con la traza vertical de Q, Q pues este es proyectante vertical. Fig. 49.

Interseccin de plano oblicuo p con plano horizontal Q.Interseccin de planos proyectantes entre s.Interseccin de planos proyectantes horizontal y vertical.Se emplea el mtodo general estudiado. Donde se cortan las trazas homlogas de los planos, tenemos las trazas de la recta interseccin. Las proyecciones de la recta son coincidentes en este caso con las trazas de los planos por ser estos proyectantes. Fig.53Interseccin de proyectantes verticales entre s.La traza vertical de la recta v est en la interseccin de las trazas verticales de los planos. La recta resultante ser de punta siendo su proyeccin horizontal i perpendicular a la lnea de tierra. La proyeccin vertical i coincide con v. Fig. 54

Interseccin de proyectantes verticales entre s.Interseccin de proyectantes horizontales entre s.Este caso es similar al anterior. La proyeccin vertical de la recta ser perpendicular ahora a la lnea de tierra por ser I una recta vertical y su proyeccin horizontal ser un punto coincidente con la traza horizontal h por esta misma razn. Fig.55Interseccin de un plano oblicuo con uno paralelo a LT.Se procede segn el mtodo habitual y obtenemos v y h, trazas de la recta buscada. Fig.56

Interseccin de proyectantes horizontales entre s. Interseccin de plano oblicuo con paralelo a la lnea de tierra.

Interseccin de un plano con los planos bisectores.Por tener los planos bisectores sus trazas confundidas con LT, no podemos proceder segn el mtodo habitual. Sabemos que todos los puntos pertenecientes a un bisector equidistan de los planos de proyeccin, es decir, tienen igual cota que alejamiento.Para resolver este problema dibujaremos las proyecciones de un punto A perteneciente al plano bisector Q, primer bisector en el ejemplo y al propio plano P dado auxilindonos de una recta del plano, en el ejemplo horizontal. A es un punto de la recta interseccin solucin pues pertenece a ambos planos (pertenece a P por estar situado en una recta horizontal del plano P y al bisector por tener igual cota que alejamiento), calculamos otro punto B por el mismo procedimiento quedando determinada la recta. Para mayor simplicidad, el punto B tomado es el de concurrencia sobre la lnea de tierra de las trazas del plano P. B pertenece a P y al bisector. Fig. 59.

Interseccin de un plano oblicuo con un plano plano bisector.

Interseccin recta planoInterseccin de una recta con un plano oblicuo.La interseccin de una recta R y un plano Q es un punto A. Para saber dnde est situado este punto A, hacemos pasar por R, un plano cualquiera P auxiliar, generalmente proyectante y calculamos la interseccin S de este con el plano dado. El punto de corte de las rectas S obtenida y R dada, ser el punto buscado. Fig. 64. Por ser el plano auxiliar tomado proyectante horizontal, las proyecciones horizontales de las rectas R dada, S interseccin de los planos Q dado y auxiliar y el punto de interseccin I, estn contenidas en su traza horizontal P. Fig. 65

Interseccin de una recta con un plano oblicuo.Interseccin recta con plano que pasa por LT.Dado el plano Q definido por el punto A en l contenido, para determinar su interseccin con la recta R, trazamos un plano auxiliar F frontal que pase por A y uno proyectante horizontal P que contenga a R. El plano frontal F se corta con el plano Q dado generando la recta G frontal y con el plano P auxiliar la recta T vertical, ambas rectas pertenecen al plano frontal F y se cortan en el punto B. Uniendo el punto B hallado con el punto O perteneciente a los planos Q y P obtenemos la recta S perteneciente al plano P auxiliar y a Q dado. La recta S hallada, interseccin de los planos Q y P y la recta R dada son coplanarias, ambas pertenecen al plano auxiliar P y se cortan en el punto X, punto de interseccin buscado entre la recta R y el plano Q. Fig. 66.El mtodo para calcular puntos de interseccin entre una recta y un plano consiste, como hemos visto, en hacer pasar por la recta un plano auxiliar que genere una interseccin rpida sobre el plano dado, el punto de corte entre la interseccin obtenida y la recta dada es el punto de interseccin de la recta y el plano.Este ejercicio se resuelve de idntico modo que el ejercicio anterior, siendo P el plano auxiliar y S la recta interseccin obtenida.Su trazado se complica pues el plano dado pasa por la lnea de tierra teniendo por tanto sus trazas coincidentes con esta, es por esto por lo que y para calcular la recta interseccin S entre P y Q, tenemos que tomar el plano auxiliar frontal F y un punto O de la lnea de tierra perteneciente a P. (Vaseinterseccin de un plano con el primer bisectoren este mismo tema).

Interseccin recta con plano que pasa por LT.Interseccin de tres planos.La interseccin de tres planos es un puntocuando los planos no son paralelos entre s, un ejemplo lo es el propio ngulo triedro (ngulo formado por tres planos) formado entre los planos vertical, horizontal y de perfil del sistema didrico, se generan tres rectas de interseccin que concurren en un mismo punto, vrtice del ngulo.Para calcular el punto de interseccin de tres planos dados calculamos la recta interseccin entre dos de ellos y seguidamente el punto de interseccin de la recta as obtenida con el tercer plano.En el ejercicio de la figura 67, se calcula la interseccin de tres planos dados P oblicuo, T paralelo a la lnea de tierra y Q proyectante vertical. Para ello calculamos la recta R interseccin entre los planos P y T. Auxilindonos de un cuarto plano proyectante horizontal O, que contiene a R y genera la recta interseccin S sobre Q, calculamos el punto de interseccin A entre R y Q.

Proyecciones de figuras planasEn la perspectiva axonomtrica se utilizan planos frontales en los que la figura mantiene las dimensiones reales. Trasladamos los puntos correspondientes a los planos de proyeccin por un sistema de coordenadas

Representacin de figuras planas y de cuerpos.La representacin de cuerpos o superficies en este sistema resulta ms cmoda y gil cuando estos apoyan en uno de los planos del triedro de modo que sus principales lneas de referencia (ejes, aristas) son generalmente paralelas o perpendiculares a los ejes del sistema, resultan de ste modo de fcil trazado y sufren idnticas reducciones que estos.En ocasiones sin embargo, tendremos que resolver perspectivas de cuerpos situados sobre planos oblicuos respecto los planos del triedro, en estos casos tendremos que abatir dichos planos sobre el cuadro, como en Sistema Didrico Ortogonal, para trabajar as en VM lineal y angular. Al desabatir quedarn resueltas las reducciones de estos elementos.Dibujo isomtrico de un cuerpo a partir de sus proyecciones didricas.Los paralelogramos rectngulos paralelos a los ejes, sobre una de las caras del triedro, no representan ningn problema. Trazamos paralelas a los ejes con las mismas reducciones que estos sufren.Si representamos un prisma o cualquier otro poliedro con caras que no sean paralelogramos rectngulos o con truncamientos,podemos trabajar a partir de un paraleleppedo circunscrito que nos sirva de referenciapara trazar las rectas no axonomtricas.Por tratarse de undibujo isomtrico, no se aplican las reducciones que seran en cualquier caso idnticas para los tres ejes.En el ejercicio 1A se ha resuelto considerando el eje OX del sistema a la derecha y en la figura 1B considerndolo a la izquierda. En el primer caso se transcribe directamente de las vistas en didrico y en el segundo se es ms coherente con la vista de perfil dada en Sistema Didrico Ortogonal, esta ltima disposicin de los ejes es ms frecuente endibujo industrial.

Dibujo isomtrico de un cuerpo a partir de sus proyecciones didricas.

ngulosDefinicinSi sobre un plano se consideran dos semirrectas de origen comn, el plano queda dividido en dos regiones denominadas ngulos. ngulo es por tanto la parte del plano comprendida entre dos semirrectas de origen comn.Los lados del ngulo son las dos semirrectas, el vrtice, el origen comn de ambas.Se designan de tres formas: Por sus lados y vrtice, coronados por un sombrerete, en forma de acento circunflejo AB. Por su vrtice, con el sombrerete . Por letras griegas ,,. FIG. 13

ngulos. Figuras 13 y 14UnidadesLos ngulos se miden por los arcos que abarcan.Para establecer la unidad de medida, denominada grado, se divide un cuarto de circunferencia en un nmero determinado de partes iguales:1. Sistema Sexagesimal Si dividimos este cuarto de circunferencia en 90 partes. Es el sistema ms usual. La circunferencia completa tiene 360. Un grado se divide a su vez en 60 minutos (60), y estos en 60 segundos (60) por lo que un grado tiene 3600.2. Sistema Centesimal Si dividimos el cuarto de circunferencia en 100 partes. Un grado (1g) se divide a su vez, en este sistema, en 100 minutos (100m) y estos en 100 segundos (100s) por lo que un grado tiene 10000s. La circunferencia tiene 400gy el ngulo recto 100g.Tipos de ngulosLos ngulos pueden ser:1. Llanos: Si sus lados son dos semirrectas opuestas. Miden 180. FIG. 14.2. Convexos: Si son menores que un llano, se dividen en: Recto: Formado por dos rectas perpendiculares, mide 90. Agudo: Si es menor que un ngulo recto. Obtuso: Si es menor que un llano y mayor que un ngulo recto. FIG. 15.3. Cncavos: Si son mayores que un ngulo llano. FIG. 16.

Tipos de ngulos. Figuras 15 y 16Relaciones entre ngulosSegn la relacin existente entre los ngulos, se pueden establecer los siguientes tipos de ngulos:En funcin de la suma de ngulos. Complementarios: Dos ngulos son complementarios entre s cuando entre los dos suman 90 o forman un ngulo recto. Suplementarios: Dos ngulos son suplementarios entre s cuando entre los dos suman 180 o forman un ngulo llano. FIG. 17En funcin de la posicin de sus lados. Consecutivos: Dos ngulos son consecutivos cuando tienen un lado comn. Adyacentes: Dos ngulos son adyacentes cuando son consecutivos y sus lados no comunes forman un ngulo llano. Son adyacentes todos los suplementarios. FIG. 18

Relaciones entre ngulos. Figuras 17 y 18ngulos opuestos por el vrtice:Formados por dos rectas al cortarse, son iguales dos a dos. FIG. 19.Construcciones

ngulos opuestos por el vrtice. ngulo igual a otro. Figuras 19 y 201. Construccin de un ngulo igual a otro:Trazamos un arco de radio arbitrario y centro en el vrtice O, obtenemos A y B. Colocamos donde queramos transportar el ngulo una de las dos semirrectas, por ejemplo la OB y trazamos un arco de centro O y radio OB, sobre el arco y desde B trasladamos la distancia AB obteniendo A que uniremos con O. FIG.202. Suma de ngulos:Dados dos ngulos, trazamos arcos de igual radio en ambos y construimos uno sobre otro segn hemos visto. FIG. 21.3. Diferencia de ngulos. FIG. 22

Suma y diferencia de ngulos. Figuras 21 y 22BisectrizBisectriz de un ngulo. Es la recta que divide al ngulo en dos mitades o el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de los lados del ngulo. Construcciones:1ermtodo:Trazamos un arco con centro en el vrtice del ngulo y obtenemos A y B, calculando la mediatriz del segmento AB obtenemos la bisectriz buscada. FIG. 23.2 mtodo:Trazamos dos arcos de diferente radio y centro en el vrtice del ngulo dado (concntricos), obtenemos AB y CD. Unimos A con D y B con C, cortndose AD y BC en P, unimos P con O y obtenemos la bisectriz buscada. FIG. 24. P equidista de los lados del ngulo pues los segmentos AD y BC se cortan formando dos tringulos iguales (APC y BPD)3. Trazado de la bisectriz de un ngulo de vrtice desconocido:Trazamos paralelas r y s a los lados del ngulo hacia adentro y a igual distancia, la bisectriz de r y s de vrtice conocido es la misma que la del ngulo dado.FIG. 25.4. Bisectriz de un ngulo mixtilneo.Un ngulo mixtilneo es el formado entre un arco y una semirrecta.Para calcular su bisectriz, trazamos primero varios arcos concntricos y a igual distancia del arco dado trazando posteriormente rectas paralelas a la semirrecta del ngulo con distancias entre ellas iguales a las tomadas para los arcos. Se localizan los puntos de interseccin de los arcos concntricos y rectas paralelas correspondientes (el primer arco concntrico con la primera recta paralela a la semirrecta y as sucesivamente), obteniendo la bisectriz que es una curva equidistante al arco y semirrecta originales simultneamente. FIG.26.

Bisectriz y divisin de un ngulo. Figuras 23, 24, 25, 26 y 27Divisin de ngulos1. Divisin del ngulo en un nmero par de partes iguales.Se trazan sucesivas bisectrices.2. Divisin del ngulo recto en tres partes iguales.Con centro en el vrtice O del ngulo dado, se traza un arco de radio arbitrario obteniendo A y B. Con centro en A y B trazamos dos arcos de igual radio, obteniendo sobre el primero los puntos C y D que unidos con O dividen en tres partes al ngulo[1]. FIG. 273. Divisin de un ngulo cualquiera en tres partes iguales.Este problema no tiene solucin geomtrica exacta, podemos resolverlo de un modo aproximado de la siguiente forma. Por el vrtice B del ngulo dado trazamos un arco de radio r arbitrario que determina A y C en los lados del ngulo y N en la prolongacin del lado BA. Situamos una recta pasando por C que corte a D en el arco y a E en la recta BA de tal forma que la distancia DE sea igual al radio del arco trazado r. La paralela a la recta CE, trazada por B, define en el arco el punto F y este la tercera parte aproximada del ngulo, trazamos la bisectriz de CBF y quedar dividido en tres partes. FIG. 28

Divisin de ngulos en 3 partes y en un nmero impar cualquiera de partes iguales. Figuras 28 y 294. Divisin de un ngulo en un nmero cualquiera de partes iguales:Para dividir el ngulo en un nmero de partes iguales n, con centro en el vrtice trazamos un arco de radio arbitrario y dividimos su rectificacin (segmento recto de longitud igual a la del arco dado) en el mismo nmero de partes.Dado el ngulo de vrtice O, trazamos el arco y obtenemos A y B, lo rectificamos llevando sobre la semirrecta opuesta a BO y a partir de W, punto de corte de la prolongacin del arco con dicha semirrecta, partes del radio del arco, obteniendo C. Unimos C con A y prolongamos hasta cortar en D a la perpendicular trazada por B al segmento OB. El segmento BD es la rectificacin del arco[2].Dividimos BD en n partes iguales (ej: 5) que unimos con C obteniendo las divisiones del arco y por tanto del ngulo. FIG. 29.ESCALAS

Para el desarrollo de este tema se han tenido en cuenta las recomendaciones de la norma UNE-EN ISO 5455:1996.

CONCEPTO

La representacin de objetos a su tamao natural no es posible cuando stos son muy grandes o cuando son muy pequeos. En el primer caso, porque requeriran formatos de dimensiones poco manejables y en el segundo, porque faltara claridad en la definicin de los mismos.

Esta problemtica la resuelve la ESCALA, aplicando la ampliacin o reduccin necesarias en cada caso para que los objetos queden claramente representados en el plano del dibujo.

Se define la ESCALA como larelacin entre la dimensin dibujada respecto de su dimensin real, esto es:E = dibujo / realidadSi el numerador de esta fraccin es mayor que el denominador, se trata de una escala de ampliacin, y ser de reduccin en caso contrario. La escala 1:1 corresponde a un objeto dibujado a su tamao real (escala natural).

ESCALA GRFICA

Basado en el Teorema de Thales se utiliza un sencillo mtodo grfico para aplicar una escala.Vase, por ejemplo, el caso paraE 3:51) Con origen en un punto O arbitrario se trazan dos rectas r y s formando un ngulo cualquiera.2) Sobre la recta r se sita el denominador de la escala (5 en este caso) y sobre la recta s el numerador (3 en este caso). Los extremos de dichos segmentos son A y B.3) Cualquier dimensin real situada sobre r ser convertida en la del dibujo mediante una simple paralela a AB..

ESCALAS NORMALIZADAS

Aunque, en teora, sea posible aplicar cualquier valor de escala, en la prctica se recomienda el uso de ciertos valores normalizados con objeto de facilitar la lectura de dimensiones mediante el uso de reglas o escalmetros.

Estos valores son:

Ampliacin: 2:1,5:1,10:1,20:1,50:1 ...

Reduccin:1:2,1:5,1:10,1:20,1:50 ...

No obstante, en casos especiales (particularmente en construccin) se emplean ciertas escalas intermedias tales como:

1:25,1:30,1:40,etc...

EJEMPLOS PRCTICOS

EJEMPLO 1

Se desea representar en un formato A3 la planta de un edificio de 60 x 30 metros.

La escala ms conveniente para este caso sera1:200que proporcionara unas dimensiones de 30 x 15 cm, muy adecuadas al tamao del formato.

EJEMPLO 2:

Se desea representar en un formato A4 una pieza de reloj de dimensiones 2 x 1 mm.

La escala adecuada sera 10:1EJEMPLO 3:

Sobre una carta marina aE 1:50000se mide una distancia de 7,5 cm entre dos islotes, qu distancia real hay entre ambos?

Se resuelve con una sencilla regla de tres:si 1 cm del dibujo son 50000 cm reales7,5 cm del dibujo sernXcm realesX = 7,5 x 50000 / 1... y esto da como resultado 375.000 cm, que equivalen a 3,75 km.

USO DEL ESCALMETRO

La forma ms habitual del escalmetro es la de una regla de 30 cm de longitud, con seccin estrellada de 6 facetas o caras. Cada una de estas facetas va graduada con escalas diferentes, que habitualmente son:

1:100,1:200,1:250,1:300,1:400,1:500

Estas escalas son vlidas igualmente para valores que resulten de multiplicarlas o dividirlas por 10, as por ejemplo, la escala 1:300 es utilizable en planos a escala1:30 1:3000,etc.

Ejemplos de utilizacin:1) Para un plano aE 1:250, se aplicar directamente la escala 1:250 del escalmetro y las indicaciones numricas que en l se leen son los metros reales que representa el dibujo.2) En el caso de un plano aE 1:5000; se aplicar la escala 1:500 y habr que multiplicar por 10 la lectura del escalmetro. Por ejemplo, si una dimensin del plano posee 27 unidades en el escalmetro, en realidad estamos midiendo 270 m.Por supuesto, la escala 1:100 es tambin la escala 1:1, que se emplea normalmente como regla graduada en cm.

Escalas de ampliacion y reduccion (noveno, decimo)

SE define la escala como la relacin entre la dimensin dibujada respecto de su dimensin real, esto es:E = dibujo / realidad Si el numerador de esta fraccin es mayor que el denominador, se trata de una escala de ampliacin, y ser de reduccin en caso contrario. La escala 1:1 corresponde a un objeto dibujado a su tamao real (escala natural).Representacin de las Escalas:Las escalas se escriben en forma de fraccin donde el numerador indica el valor del plano y el denominador el valor de la realidad. Por ejemplo la escala 1:500, significa que 1 cm del plano equivale a 5 m en la realidad.Ejemplos: 1:1, 1:10, 1:500, 5:1, 50:1Tipos de escalasExisten tres tipos de escalas:Escala natural: Es cuando el tamao fsico de la pieza representada en el plano coincide con la realidad. Existen varios formatos normalizados de planos para procurar que la mayora de piezas que se mecanizan, estn dibujadas a escala natural, o sea, Escala 1:1Escala de reduccin: Se utiliza cuando el tamao fsico del plano es menor que la realidad. Esta escala se utiliza mucho para representar pie cerio (E.1:2 o E.1:5), planos de viviendas (E: 1:50), o mapas fsicos de territorios donde la reduccin es mucho mayor y pueden ser escalas del orden de E.1:50.000 o E.1:100000. Para conocer el valor real de una dimensin hay que multiplicar la medida del plano por el valor del denominador.Escala de ampliacin: Cuando hay que hacer el plano de piezas muy pequeas o de detalles de un plano se utilizan la escala de ampliacin en este caso el valor del numerador es ms alto que el valor del denominador o sea que se deber dividir por el numerador para conocer el valor real de la pieza. Ejemplos de escalas de ampliacin son: E.2:1 o E.10:1El Escalmetro:Un escalmetro es una regla especial cuya seccin transversal tiene forma prismtica con el objeto de contener diferentes escalas en la misma regla. Se emplea frecuentemente para medir en dibujos que contienen diversas escalas. En su borde contiene un rango con escalas calibradas y basta con girar sobre su eje longitudinal para ver la escala apropiada. Cuando se representa un objeto a escala es imprescindible utilizar determinadas lneas auxiliares para indicar distancias entre determinados puntos o elementos del objeto dibujado. Estas lneas especiales se denominan lneas de cota y la distancia que representan es la cota, en resumen, acotar es determinar las distancias existentes entre diversos puntos de un dibujo, utilizando lneas de cota.El valor de un dibujo depende de las cotas utilizadas en l. Mediante las cotas obtenemos ladescripcindel objeto dibujado: sus dimensiones y su forma. Para poder acotar es necesario conocer diversas tcnicas y simbologas; a saber:-Las lneas de cota deben ser de trazos finos y terminados, generalmente, en puntas de flecha que se acostumbra dibujar cuidadosamente y a mano alzada. La punta de la flecha puede ser rellena o sin rellenar.-El valor numrico de la cota, es decir, el nmero que mide la distancia existente entre dos puntos determinados del dibujo, debe colocarse, siempre que sea posible, en la mitad de la lnea de cota.-Las lneas de cota deben colocarse en forma ordenada, en partes visibles y que no interfieran con el dibujo, de manera que se facilite su interpretacin.-Entre una lnea de cota y una arista del dibujo debe mantenerse una distancia mnima de 10 mm.-Para acotar el dimetro de una circunferencia debe agregrsele, al valor numrico de la cota, el smbolo O.-Para acotar el radio de una circunferencia debe agregrsele, al valor numrico de la cota, el smbolo r. La lnea de cota slo lleva una punta de flecha.-Para acotar entre ejes de figuras stos se prolongan a manera de que sirvan como lneas auxiliares de cota.-Para acotar internamente se pueden utilizar las propias aristas del dibujo como lneas auxiliares de cota.-Para acotar ngulos frecuentemente es necesario trazar una lnea auxiliar de cota que sirva como uno de los lados del ngulo. La lnea de cota debe ser un arco de circunferencia.En el siguiente ejemplo nos damos cuenta que la escala 1:1 es la escala natural.La escala 1:2 es una escala de reduccin en este caso se reduce a la mitad del dibujo.La escala 2:1 es una escala de ampliacin en este caso ser el doble del dibujo.Planta (arquitectura)

Planta (abajo),alzado(a la izquierda) yseccin(a la derecha) delPanopticondeJeremy Bentham. Este reformador social atribua a su utpico diseo arquitectnico (especialmente al de su planta, que orienta las celdas hacia un punto de observacin central) la virtud de optimizar el control de los reclusos de una crcel. Las formas circulares u ovaladas deplazas de toros,estadiosyanfiteatros, y la semicircular de loshemiciclosenteatrosyparlamentos, tienen una funcin hasta cierto punto semejante.1

Planta de lacatedral de Amiens. Un pilar macizo soporta las torres del final del oeste; los cruceros son abreviados; siete capillas radiantes forman lagirolalocalizada en elbside. Las plantas de iglesias y catedrales muestran las secciones de lasparedesy lospilares, dando una idea de los perfiles de su su estructura. Lasventanas vidriadasse representan por lneas dobles iluminadas en las paredes de los permetros, mientras que lascarenaspor encima de labvedase representan con lneas punteadas. Por convencin, los planos eclesisticos son mostrados con el norte en la parte superior y elfin del este litrgicoen la parte derecha. Tal orientacin coincide habitualmente con la forma convencional de representar los puntos cardinales (este a la derecha), dado que la mayor parte de las iglesias cristianas tienen esa orientacin, que las hace recibir el sol naciente por la cabecera y despedir el sol poniente por los pies. Muchasabadastienen planos que son comparables a catedrales, aunque a veces con ms nfasis en los espacios delsantuarioy elcoro, que son reservados para la comunidad religiosa. Lasiglesiasms pequeas son similarmente planeadas, pero con simplificaciones.2

UnaPlanta, palabra proveniente delLatnplanta3, es larepresentacinde uncuerpo(un edificio, un mueble, una pieza o cualquier otro objeto) sobre unplanohorizontal. Se obtiene mediante unaproyeccinparalela,perpendicularal plano proyectante horizontal, por tanto, sinperspectiva. Es una de las representaciones principales delsistema didrico, junto con elalzado. Tambin se denomina planta a la representacin de laseccinhorizontal.En arquitectura, la planta es undibujo tcnicoque representa, enproyeccin ortogonaly aescala, una seccin horizontal de un edificio; es decir, la figura que forman losmurosytabiquesa una altura determinada (normalmente coincidente con losvanospuertas yventanas, para que se puedan apreciar), o bien utilizando recursos grficos para permitir la representacin de estos y otroselementos arquitectnicos(como lneas de menor grosor o discontinuas, que permiten la representacin de elementos sobre el corte, comoarcosytraceras).Losplanos de un edificio4constan en gran parte de planos de planta, generalmente uno por cadaaltura o niveldel mismo, incluyendo la planta decubiertas, que a diferencia de las dems, no secciona el edificio sino que lo muestra visto desde arriba, tal y como se vera al sobrevolarlo, pero sin distorsiones de perspectiva (vista de pjaro).Acompaando a las plantas o secciones horizontales, se utilizan tambin planos de seccin vertical (denominadosseccioneso "planos de seccin"), as como planos dealzado, que muestran el aspecto exterior de las distintasfachadasdel edificio, sin seccionarlo.Existen distintos tipos de planos de planta en funcin de lo que se quiera representar. Los principales son: plantas de arquitectura: muestran las divisiones interiores del edificio, las puertas, ventanas y escaleras. Suelen estar acotadas y pueden anotar tambin la superficie de cada recinto. plantas constructivas: reflejan los detalles constructivos de fachada y tabiquera interior, aunque suelen preferirse secciones. plantas de acabados: muestran los materiales de revestimiento o acabado de suelos, techos y paramentos verticales en cada una de las estancias o habitaciones. plantas de instalaciones: muestran el recorrido y ubicacin de los distintos elementos que componen las instalaciones del edificio. Normalmente hay una planta dedicada a cada tipo de instalacin (elctrica, fontanera, saneamiento, etc.). plantas de estructura: muestran los detalles de la estructura del edificio, generalmente de las vigas, pilares yforjadosy losas. A diferencia de las dems plantas, que suelen seccionarse justo por encima del suelo, las plantas de estructura suelen seccionarse justo por debajo, mostrando por tanto los elementos sobre los que se apoyan.

CORTES, SECCIONES Y ROTURAS (I)

INTRODUCCIN

En ocasiones, debido a la complegidad de los detalles internos de una pieza, su representacn se hace confusa, con gran nmero de aristas ocultas, y la limitacin de no poder acotar sobre dichas aristas. La solucin a este problema son los cortes y secciones, que estudiaremos en este tema.

Tambin en ocasiones, la gran longitud de determinadas piezas, dificultan su representacin a escala en un plano, para resolver dicho problema se har uso de las roturas, artificio que nos permitir aadir claridad y ahorrar espacio.

Las reglas a seguir para la representacin de los cortes, seciones y roturas, se recojen en la normaUNE 1-032-82, "Dibujos tcnicos: Principios generales de representacin", equivalente a la normaISO 128-82.

GENERALIDADES SOBRE CORTES Y SECCIONES

Un cortees el artificio mediante el cual, en la representacin de una pieza, eliminamos parte de la misma, con objeto de clarificar y hacer ms sencilla su representacin y acotacin.

En principio el mecanismo es muy sencillo. Adoptado uno o varios planos de corte, eliminaremos ficticiamente de la pieza, la parte ms cercana al observador, como puede verse en las figuras.

Como puede verse en las figuras siguientes, las aristas interiores afectadas por el corte, se representarn con el mismo espedor que las aristas vistas, y la superficie afectada por el corte, se representa con un rayado. A continuacin en este tema, veremos como se representa la marcha del corte, las normas para el rayado del mismo, etc..

Se denominaseccina la interseccin del plano de corte con la pieza (la superficie indicada de color rojo), como puede apreciarse cuando se representa una seccin, a diferencia de un corte, no se representa el resto de la pieza que queda detrs de la misma. Siempre que sea posible, se preferir representar la seccin, ya que resulta ms clara y sencilla su representacin.

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LNEAS DE ROTURA EN LOS MATERIALES

Cuando se trata de dibujar objetos largos y uniformes, se suelen representar interrumpidos por lneas de rotura. Las roturas ahorran espacio de representacin, al suprimir partes constantes y regulares de las piezas, y limitar la representacin, a las partes suficientes para su definicin y acotacin.

Las roturas, estn normalizadas, y su tipos son los siguientes:

a) Las normas UNE definen solo dos tipos de roturas (figuras 1 y 2), la primera se indica mediante una lnea fina, como la de los ejes, a mano alzada y ligeramente curvada, la segunda suele utilizarse en trabajos por ordenador.

b) En piezas en cua y piramidales (figuras 3 y 4), se utiliza la misma lnea fina y ligeramente curva. En estas piezas debe mantenerse la inclinacin de las aristas de la pieza.

c) En piezas de madera, la lnea de rotura se indicar con una lnea en zig-zag (figura 5).

d) En piezas cilndricas macizas, la lnea de rotura de indicar mediante las caracterstica lazada (figura 6).

e) En piezas cnicas, la lnea de rotura se indicar como en el caso anterior, mediante lazadas, si bien estas resultarn de diferente tamao (figura 7).

f) En piezas cilndricas huecas (tubos), la lnea de rotura se indicar mediante una doble lazada, que patentizarn los dimetros interior y exterior (figura 8).

g) Cuando las piezas tengan una configuracin uniforme, la rotura podr indicarse con una lnea de trazo y punto fina, como la las lneas de los ejes (figura 9).

IntroduccinSi disponemos de una pieza con una serie de mecanizados interiores (taladros, vaciados, etc), nos es imposible penetrar con la mirada en su interior y conocer cul es su configuracin, qu formas presentan, qu posiciones relativas guardan unos con otros, etc. La propiamateriadel cuerpo nos impide ver lo que alberga en su interior.Se plantea, pues, la necesidad de arbitrar un medio que facilite conocer la configuracin interior de una pieza y que proporcione una manera de expresarla de forma clara, inequvoca y sencilla. As surge laadopcinde un nuevo convencionalismo, aceptado universalmente, cual es el corte de los cuerpos para que al hacer aflorar al exterior su configuracin interior, sean de aplicacin los convencionalismos establecidos para representar los cuerpos en general.Debido a que muchas piezas son complejas o detalladas sobre todo en su parte interna, es difcil representarlas pues las aristas ocultas no pueden acotarse y en ocasiones tienden a ser muchas. La solucin a este problema son los cortes y secciones.

Un corte es una representacin de la parte de una pieza que fue dividida a travs de un plano de corte donde este ltimo crea una superficie que se representa en una vista junto con todo lo que se encuentra detrs de ella.El corte se representa en las vistas deldibujoa travs de una lnea fina de trazo y punto con dos lneas gruesas en los extremos, debajo de las cuales se colocan unas flechas que indican el sentido de visualizacin del corte y sobre ellas dos letras en mayscula que le dan un nombre al mismo.

Tipos de Cortes1. Por un solo plano

Cuando el plano de corte coincide con el eje de simetra no es necesario sealarlo porque es fcilmente deducible observando la vista.Si la pieza no es simtrica o el plano de corte no pasa por la mitad de la misma es necesario sealar el corte.2. Por planos paralelos

Se utiliza para piezas que tengan orificios y detalles en planos paralelos. Para representar el corte se considera que ambos planos se desplazan hasta coincidir en uno slo, es por esto que las intersecciones de corte no se dibujan en las vistas. Cada interseccin, incluyendo el inicio y final de corte recibe una letra, es por eso que el corte del ejemplo es A-B-C-D.3. Con giro

Se utiliza para piezas que tengan orificios y detalles en planos distintos que formen ngulos iguales o superiores a 90 grados. En este tipo de corte se dibuja la seccin como si las dos superficies seccionadas estuvieran en el mismo plano de tal forma que uno de los dos gira hasta coincidir con el otro. Por ello la vista del corte tiene una longitud distinta a la del cuerpo. El corte se lee A-0-B donde 0 es la interseccin de ambos planos.4. Semicorte o cuadrante:

Se utilizan en piezas que tienen un eje de sime- tra, representndose media pieza en seccin y la otra mitad en vista exterior. En este tipo de corte no se representarn aristas ocultas, con objeto de que la representacin sea ms clara. En ocasiones coincide una arista con el eje de simetra, en dicho caso prevalecer la arista. En este tipo de corte, siempre que sea posible, se acotarn los elementos exteriores de la pieza a un lado, y los interiores al otro.5. Parcial

Es un corte muy prctico donde los orificios se encuentran en un pequeo sector de la pieza por lo que no sera necesario hacer un corte total, sino que se delimita el corte en base a la zona y se demarca con una lnea de trazo fino hecha a mano, interrumpiendo el corte una vez que se abarca toda la parte que se necesita3. Secciones

Una seccin es la representacin de la zona de una pieza por donde pasa el plano de corte donde este ltimo crea una superficie que se representa en una vista. Las secciones normalmente llevan un rayado de lneas de trazo fino paralelas e inclinadas a 45 grados con respecto al eje o base de la pieza.3.1 Tipos de Secciones:1. Seccin Abatida

Son secciones cuyo plano de corte se gira 90 grados en relacin al plano de proyeccin para hacerlas coincidir con ste.2. Seccin Desplazada

Son secciones que se utilizan debido a que las mismas no pueden abatirse dentro del dibujo por las dimensiones de la pieza y se representan fuera de la vista.El contorno de la seccin se dibuja con lnea de trazo grueso y en este caso el plano de corte si semarcasobre la vista.

Leer ms:http://www.monografias.com/trabajos100/cortes-secciones-y-roturas/cortes-secciones-y-roturas.shtml#ixzz3efYXF2k1SISTEMA DIDRICO1.- Doble proyeccin ortogonal: Tambin llamada sistema didrico, la cual es la forma ms usada para representar un objeto sobre los planos de proyeccin vertical (PV) y horizontal (PH), perpendiculares entre s.Si queremos representar un punto (A) en la doble proyeccin ortogonal, la nomenclatura a utilizar ser (Fig. 3.1):1) PV = Plano vertical.2) PH = Plano horizontal.3) A = Punto en el espacio.4) Av= Proyeccin del punto (A) en el plano vertical de proyeccin.5) Ah= Proyeccin del punto (A) en el plano horizontal de proyeccin.6) LT = Lnea de tierra. Interseccin de los dos planos que forman 90 entre s.7) O = origen. Punto de partida donde se medirn las coordenadas.8) X = Eje de coordenadas en el cual se mide el ancho.9) Y = Eje de coordenadas en el cual se mide la profundidad.10) Z = Eje de coordenadas en el cual se mide la altura.Fig. 3.1.- Doble Proyeccin Ortogonal

Fig. 3.2.- Proyeccin Lateral As mismo, existe un tercer plano de proyeccin que est determinado por los ejes (Y) y (Z), llamado plano lateral (PL), el cual es utilizado cuando se requiere proyectar ortogonalmente los objetos, denominndose as: proyecciones laterales (Fig. 3.2):

2.- Diedros: Son las regiones o cuadrantes en el que se divide a los planos principales de proyeccin (PV) y (PH). Por lo tanto, el plano va a estar dividido por cuatro regiones que lo rodea (Fig.3.3):

Fig. 3.3.- Cuadrantes o Diedros

Es por ello: El primer cuadrantes est a la derecha superior y tiene coordenadas (X=+, Y=+, Z=+). El segundo cuadrante est a la izquierda superior y tiene coordenadas (X=+, Y=-, Z=+). El tercer cuadrante est a la izquierda inferior y tiene coordenadas (X=+, Y=-, Z=-). El cuarto cuadrante esta a la derecha inferior y tiene coordenadas(X=+, Y=+, Z=-).SISTEMA DIDRICO3.- Montea: Debido a que con una sola vista no se pueden conocer las dimensiones de un objeto, se van a utilizar tres vistas que son: Frente, Lateral y Superior. Estas vistas van a dar una descripcin ms exacta del largo, ancho y alto del objeto. Para hacer el dibujo de estas proyecciones se dispone de tres planos de la siguiente manera: un horizontal y dos verticales, llamados respectivamente planos horizontal, vertical y lateral, los planos forman ngulos entre ellos(Fig. 3.4). Se coloca el objeto entre estos tres planos para obtener las proyecciones ortogonales en ellos, usando las lneas de proyeccin. Debido a que es muy complicado estar trabajando con tres planos en tres dimensiones, se van a acomodar en otra forma que nos permita trabajar en una hoja de papel, es decir, dos dimensiones. Primero se definen dos lneas: la lnea de tierra (LT), y la lnea que une los planos lateral y horizontal. Supongamos que la lnea de tierra y la traza estn formadas por bisagras que sujetan los planos; si abrimos los planos horizontal y lateral (Fig. 3.4) y lo ponemos en el mismo plano que el plano vertical, tendremos tres planos en uno. De esta manera ya se pondrn las tres vistas en una hoja de papel. A este acomodamiento que se da de tres planos en uno, se le da el nombre deMontea(Fig. 3.4):

Fig. 3.4.- Montea

Si se quiere representar una pirmide en la montea, se va a dibujar primero la vista frontal que ir colocada en el plano vertical.Las lneas de referencia que se utilizarn para acotar la vista frontal se van a extender hacia la derecha y hacia abajo del plano vertical, cruzando los planos lateral y horizontal (Fig.3.5). La extensin de las lneas de referencia ayudar a dibujar la vista superior y lateral rpidamente. Se dibuja la vista superior que va a ir colocada en el plano horizontal, y las nuevas lneas de referencia que servirn para acotar, se van a extender hacia la derecha hasta llegar al lmite de este plano; de all se extiende a 45 hacia arriba hasta tocar el plano lateral. Por ltimo, se extiende verticalmente hasta cruzar este plano (Fig. 3.5):

Fig. 3.5.- Proyeccin de una Pirmideen Doble Proyeccin Ortogonal

SISTEMA DIDRICO4.- Valores coordenados. Posiciones de punto:4.1.- Concepto:Un punto en el espacio se representa por sus dos proyecciones ortogonales sobre los planos de proyeccin. En la Fig. 3.6, el punto A del espacio queda representado por las proyecciones Aven el plano vertical y Ahen el plano horizontal.Al realizar la montea, abatiendo el plano horizontal, alrededor de la lnea de tierra, sobre la vertical, la proyeccin del punto A se traslada con el plano, de manera que las proyecciones Avy Ahquedan situadas sobre la perpendicular a la lnea de tierra (Fig. 3.6), cuando hacemos coincidir los planos abatidos con el plano dl dibujo, slo nos queda la LT y las proyecciones del punto, pero no el punto del espacio.

Fig. 3.6.- Valores Coordenados. Posiciones de Punto

Cabe sealar que un punto se representa con letras maysculas o nmeros y para representarlo en los planos de proyeccin hay que hacer referencia a las coordenadas X o lnea de tierra, Y o profundidad (Plano Horizontal) y Z o altura (Plano Vertical). Por lo tanto, si queremos representar un punto A, tendr las siguientes coordenadas:A (X=30, Y=60, Z=45), por lo que en la proyeccin espacial y en la doble proyeccin ortogonal ser (Fig. 3.7):

Fig. 3.7.- Proyeccin de Punto

4.2.- Cota y Vuelo: La cota o altura, es la distancia del punto del espacio al plano horizontal, y se representa en el sistema didrico, como la distancia de la proyeccin vertical Av a la lnea de tierra.El vuelo o alejamiento, es la distancia al plano vertical y quedara representado por la distancia de la proyeccin horizontal a la lnea de tierra (Fig. 3.8):

Fig. 3.8.- Cota y Vuelo

Si un punto del espacio se encuentra por encima del plano horizontal, su cota es positiva y en el sistema didrico su proyeccin vertical estar por encima de la lnea de tierra. El alejamiento de un punto es positivo si el punto en el espacio se encuentra por delante del plano vertical, la proyeccin horizontal de un punto con alejamiento positivo siempre estar por debajo de la lnea de tierra. Si un punto del espacio se encuentra sobre uno de los planos de proyeccin, la cota o el alejamiento sern nulos y la proyeccin correspondiente se encontrar sobre la lnea de tierra.4.3- Posiciones particulares del punto: Un punto puede tener coordenadas con valor: positivo, cero o negativo, dependiendo de su ubicacin con respecto al cuadrante que estemos utilizando, sin embargo, debemos evitar a la coordenada X valores negativo. Con relacin a la doble proyeccin ortogonal en el sistema didrico, un punto puede ocupar diferentes posiciones segn sea el caso.4.3.1.- Punto pertenece al primer cuadrante o diedro: En este caso todas las coordenadas son positiva (Fig. 3.9): Ejemplo:

Fig. 3.9.- Punto en el Primer Cuadrante o Diedro

4.3.2.- Punto pertenece al segundo cuadrante o diedro: A (X=30, Y=-50, Z=25) (Fig. 3.10):

Fig. 3.10.- Punto en el Segundo Cuadrante o Diedro

4.3.3.- Punto pertenece al tercer cuadrante o diedro: A (X=30, Y=-50, Z=-25) (Fig. 3.11):

Fig. 3.11.- Punto en el tercer Cuadrante o Diedro

4.3.4.- Punto pertenece al cuarto cuadrante o diedro: A (X=30, Y=50, Z=-25) (Fig. 3.12):

Fig. 3.12.- Punto en el Cuarto Cuadrante o Diedro

4.3.5.- Punto sobre la lnea de tierra: Este es un caso particular en donde la cota y el vuelo tienen coordenadas cero (Fig. 3.13): A (X=0, Y=0, Z=0).

Fig. 3.13.- Punto Sobre la Lnea de Tierra

SISTEMA DIEDRICO.I.-FUNDAMENTOS DEL SISTEMA DIEDRICO.El sistema didrico de representacin surge por la necesidad de representar elementos tridimensionales en el papel, formato de dos dimensiones.En el sistema didrico el espacio queda dividido en cuatro partes iguales, por medio de dos planos perpendiculares entre s, llamados plano de proyeccin VERTICAL y plano de proyeccin HORIZONTAL. Estos dos, como cualquier par de planos que no presenten la particularidad de ser paralelos entre s, se cortarn en una recta, recta conocida por LINEA DE TIERRA (LT).

De modo que el espacio debido ha estos dos planos queda dividido en cuatro partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de DIEDRO CUADRANTE.Adems de estos dos planos existen otros dos, no menos importantes, que dividen los diedros mencionados en dos partes iguales. Estos planos forman 45 con los planos de proyeccin y se cortan entre ellos y a los planos de proyeccin en la LT. De este modo nuestro sistema queda dividido en ocho partes iguales a las que llamaremos OCTANTES, y a los dos nuevos planos causantes de esta segunda divisin planos BISECTORES.

Lo expuesto hasta el momento nos da una visin del sistema de representacin en el espacio. Pasemos, pues a continuacin a representarlo al plano, para ello tendremos que abatir el plano de proyeccin horizontal sobre el plano de proyeccin vertical utilizando como eje de giro la propia LT. De este modo, quedar como nico elemento de referencia la LT.

En ocasiones, es necesario realizar una tercera vista o proyeccin del elemento que estamos representando para su total definicin y comprensin, esta proyeccin se realiza sobre un tercer plano de proyeccin denominado plano de PERFIL.1.1.- CODIGOS HABITUALES DE NOTACIN.La LT se representar en el presente trabajo mediante una lnea llena fina con dos segmentos bajo sus extremos.La nomenclatura del punto a travs de letras maysculas, diferenciando si se trata de una proyeccin horizontal (mediante el subndice 1 (`)), de una proyeccin vertical( mediante el subndice 2 (`')) o de una tercera proyeccin, la de perfil( mediante el subndice 3 (`'')).La nomenclatura de las rectas mediante letras minsculas, diferenciando como en el caso del punto si se trata de una proyeccin horizontal, vertical o de perfil mediante los subndices 1, 2 y 3 respectivamente.Para la nomenclatura del plano utilizaremos el alfabeto griego en minscula, diferenciando como en los dos casos anteriores las tres proyecciones mediante los subndices 1, 2 y 3.2.-REPRESENTACIN DEL PUNTO.El sistema didrico de representacin consiste en obtener las distintas proyecciones de un elemento, en este caso un punto, mediante la proyeccin de haces proyectantes perpendiculares a los planos de proyeccin. De modo que proyectando perpendicularmente el punto A sobre el plano de proyeccin Horizontal obtendremos la proyeccin horizontal del punto A (A1). Repitiendo la misma operacin sobre el plano de proyeccin vertical obtenemos la proyeccin vertical del punto A, que es A2 y lo mismo con la tercera proyeccin o de perfil A3.

El punto A se puede definir mediante las distancias hasta los tres planos de proyeccin: A(d,a,c). La primera coordenada nos indica la distancia al plano de proyeccin de perfil (denominada como distancia), la segunda coordenada nos indica la distancia del punto A al plano de proyeccin vertical( denominada alejamiento) y la tercera coordenada nos indica la distancia del punto A al plano de proyeccin horizontal (denominada cota).2.1- ALFABETO DEL PUNTO.Obtendremos ahora en proyeccin las distintas posiciones que puede ocupar un punto en el espacio.

Caractersticas de los puntos segn los distintos diedros que ocupan:Los puntos situados en el 1er diedro tienen la caracterstica de tener su proyeccin horizontal por debajo de la L.T. o en ella y su proyeccin vertical por encima de la L.T. o en ella.Los puntos situados en el 2 diedro tienen la caracterstica de tener tanto su proyeccin vertical como la horizontal por encima de la L.T. o en ella.Los puntos situados en el 3er diedro tienen la caracterstica de tener su proyeccin horizontal por encima de la L.T. o en ella y su proyeccin vertical por debajo de la L.T. o en ella.Los puntos situados en el 4 diedro tienen la caracterstica de tener tanto su proyeccin horizontal como la vertical por debajo de la L.T. o en ella.3.- LA RECTA

La proyeccin de una recta sobre un plano, es otra recta. Esta recta est formada por la proyeccin de todos los puntos de la recta que se quiere proyectar. Una recta est definida cuando se conocen sus dos proyecciones, horizontal y vertical. Donde la recta corta a los planos de proyeccin, tenemos sus trazas H ( traza horizontal) y V (traza vertical).H1 es la proyeccin horizontal dela traza horizontal, se la conoce con el nombre de traza horizontal, y la proyeccin vertical de la traza horizontal H2 se encuentra sobre la L.T. Del mismo modo V2 es la proyeccin vertical de la traza vertical de la recta, se le denomina traza vertical y la proyeccin horizontal de la traza vertical V1 est sobre la L.T. De esta forma la proyeccin vertical de la recta r2 queda definida al unir V2 con H2 y la proyeccin horizontal r1 al unir H1 con V1.3.1- TIPOS DE RECTAS Recta horizontal: recta paralela al P.H. todos sus puntos deben de tener la misma cota.

Recta frontal: recta paralela al P.V. todos sus puntos deben de tener el mismo alejamiento.

Recta de punta al P.H. es una recta perpendicular al P.H. y slo tiene traza horizontal.

Recta de punta al P.V. es una recta perpendicular al P.V. y slo tiene traza vertical.

Recta paralela a L.T. sta recta es paralela a los dos planos de proyeccin P.H. y P.V.

Recta de perfil es una recta paralela al plano de perfil ( plano auxiliar).

4.- EL PLANOLas trazas de un plano son los vrtices en los que dicho plano corta a P.H y P.V. Un plano tiene dos trazas: vertical (2) y horizontal (1). Como se indica el figura las dos trazas del planosiemprese han de cortar en un punto y en la linea de tierra.

Para que una recta pertenezca a un plano, es decir est contenida en l, es necesario que la traza vertical de la recta v2 est sobre la traza vertical del plano 2 y del mismo modo la traza horizontal de la recta h1 deber estar sobre la traza horizontal del plano 1.

4.1.-FORMAS DE DEFINIR UN PLANOEn la geometra del espacio un plano lo podemos definir de cuatro formas diferentes: Mediante dos rectas que se cortan. Mediante tres puntos no alineados. Mediante una recta y un punto que no se pertenezcan.En realidad lostres casos anteriores son el mismo. En todos ellos debemos conseguir dos rectas que se corten un un punto, puesto que stas siempre formarn un plano. Partiendo de tres puntos no alineados, bastar con unir los puntos de dos en dos y as obtendremos dos rectas que se cortan en un punto. Partiendo de una recta y un punto que no est contenido en dicha recta, batar con hacer pasar otra recta por el punto dado y por un punto perteciente a la recta dada, obteniendo as el primer caso. Una vez reducidos los casos b) y c) al caso a) bastar con obtener las proyecciones horizontales de las trazas horizontales y las verticales de las rectas, para unir entre s las proyecciones horizontales de la traza horizontal de las rectas(H1) y obtener as la traza horizontal del plano 1, para obtener la traza vertical 2 del plano deberemos proceder del mismo modo con las proyecciones verticales de las trazas verticales de las rectas.

Mediante dos rectas paralelas.Obtener las proyecciones horizontales de las trazas horizontales de las rectas y unirlas entre s para obtener la traza horizontal del plano.Obtener las proyecciones verticales de las trazas verticales de las rectas y unirlas entre s para obtener la traza vertical del plano.

mediante la linea de mxima pendiente de mxima inclinacin.En el sistema didrico tenemos para cada plano dos tipos de lneas de mxima pendiente. Una con respecto al plano horizontal y otra con respecto al plano vertical (denominada tambin LINEA DE MXIMA INCLINACIN). En la figura se muestra un plano y contenida en l una recta m perpendicular a la traza 1. Al proyectar dicha recta sobre el plano horizontal, la proyeccin m1 ser perpendicular a 1. Esta recta ser l.m.p. del plano con respecto al plano horizontal y cualquier otra recta contenida en el plano formar con el plano horizontal un ngulo menor que sta.En la siguiente figura se muestran las proyecciones de la l.m.p. m (con respecto al plano horizontal) de un plano . La nica condicin que debe cumplir es que la proyeccin m1 sea perpendicular a la traza 1. Cualquier rectaparalela a m1 y contenida en el plano ser tambin l.m.p del plano con respecto al plano horizontal.

En la figura de la derecha se muestra el caso de la l.m.p. con respecto al plano vertical. En este caso m2 es perpendicular a la traza 2.4.2.-ALFABETO DEL PLANO

1. El plano es un plano oblicuo cualquiera.1. El plano es un plano proyectante horizontal: la proyeccin horizontal de todos los puntos y rectas que contiene coincide con su traza horizontal.1. El plano es un plano proyectante vertical: las proyecciones verticales de todos sus puntos y rectas que contiene coinciden con su traza vertical.1. El plano es un plano de perfil.1. El plano es un plano paralelo a la L.T: las trazas que contiene tambin son paralelas a la L.T. Si la cota y alejamiento es diferente existen diversas posiciones. Si la cota y el alejamiento es la misma entonces estaremos ante un plano perpendicular a su bisector.1. El plano es un plano paralelo al P.V: las rectas y puntos, sus proyecciones horizontales, coinciden con su traza horizontal. Las rectas y puntos en su proyeccin vertical va ha estar en verdadera magnitud.1. El plano es un plano paralelo al P.H: no existe traza horizontal. La proyeccin vertical coincide con la traza vertical. Las rectas y puntos en su proyeccin horizontal las vemos en verdadera magnitud.1. El plano es un plano que contiene a la L.T: si la cota y alejamiento del punto es igual pertenece al 1er bisector, en caso de que sea diferente estamos ante un plano que contiene a la lnea de tierra.5.- INTERSECCIONES5.1.-INTERSECCION DE DOS PLANOSSean dos planos 1-2 y 1-2 cuya interseccinIvamos a determinar.

Elijamos como plano auxiliar el horizontal de proyeccin PH, que al contener las trazas horizontales 11 nos da el punto H1H2, de la interseccin, eligiendo as mismo el plano vertical de proyeccin PV, con las trazas verticales 2-2, obtenemos el punto V1-V2, con lo cual queda definida la interseccinI, cuyas proyecciones i1-i2 sern las rectas de unin de las proyecciones homnimas H1V1 y H2V2 respectivamente.5.1.1.- METODO PARA HALLAR PUNTOS DE LA INTERSECCION DE DOS PLANOS Y . Trazo un plano auxiliar(el ms sencillo posible, paralelo al horizontal o al vertical etc). &= r r & s " o "I&= s 5.1.2.- INTERSECCION DE DOS PLANOS PROYECTANTES

Uno es un plano proyectante horizontal 1 - 2 y el otro proyectante vertical 1- 2.Es indudable que utilizando los planos de proyeccin como planos auxiliares, obtenemos dos puntos de la interseccin buscada, que son sus trazas H1-H2 y V1-V2, pudiendo por tanto anotar la interseccin i1-i2.Como se observa, las proyecciones de esta interseccin se confunden con las trazas de los planos; lo cual concuerda con las caractersticas de los planos en cuestin, que al ser proyectantes tienen la propiedad de que todo elemento que contengan se proyecta segn su traza.5.1.3.- INTERSECCION DE UN PLANO CUALQUIERA 1- 2 CON OTRO PARALELO A LA LINEA DE TIERRA 1-2.

Hallamos las trazas de la recta de interseccin: H1-H2 y V1-V2 que nos determinan i1-i2.5.1.4.- INTERSECCION DE DOS PLANOS PARALELOS A LA LINEA DE TIERRA(1er. Mtodo).El primer mtodo consiste en apoyarnos en el plano de perfil. Calcular u obtener las trazas de los planosyen el plano de perfil y obtener su interseccinI3. A continuacin deshabatirlo y obtener las rectasI1eI2.puestoque ya sabemos de antemano que la interseccin de dos planos paralelos a la lnea de tierra va ha dar una rectaItambin paralela a laL.T.5.1.5.- INTERSECCION DE DOS PLANOS PARALELOS A LA LINEA DE TIERRA(2 Mtodo).

El 2 mtodo consiste en utilizar el procedimiento general. Trazamos un plano cualquieraque corta a los planosy. A continuacin trazamos la recta de interseccin del planoconque serr.Despus trazamos la recta de interseccin del planoconque ess. Estas dos rectasrysse cortarn en un punto porque pasar la rectaIinterseccin de los planosy. Sabiendo que dicha rectaIdebe ser paralela aL.T.la trazamos.5.1.6.- INTERSECCION DE UN PLANO CUALQUIERA 1-2 CON OTRO PERPENDICULAR AL SEGUNDO PLANO BISECTOR 1-2.

5.1.7.- INTERSECCION DE LOS PLANOS 1-2 Y 1- 2 PERPENDICULARES AL 2 PLANO BISECTOR.

Al utilizar el plano horizontal de proyeccin, como plano auxiliar, obtenemos el puntoH1-H2y empleando el vertical, elV1-V2, resultando as determinadas las proyecciones de la recta de interseccinI1-I2, recta de perfil que podemos manejar pues conocemos sus puntos.5.2.- INTERSECCION DE UNA RECTA CUALQUIERA CON UN PLANO

El plano dado lo est por sus trazasP1-P2, y la rectarpor sus proyeccionesr1-r2. De todos los planos que pudiramos elegir pasando por la rectar, uno de los que nos dan solucin sencilla es el proyectante. Hemos elegido, en este caso, el proyectante vertical1-2que tendr por interseccin con el dadoPla rectai1-i2determinada por los puntosh1-h2yv1-v2. (i2confundida con2y, por tanto, conr2).Por hallarse en el mismo1-2, las rectasr1-r2ei1-i2nos dan el punto solucin a1-a2.6.- PARALELISMO6.1.- RECTAS PARALELAS ENTRE SSi dos rectasrysson paralelas en el espacio, sus proyecciones homnimasr1,s1yr2,s2tambin son paralelas. Recprocamente cuando dos rectas tienen sus proyecciones tanto horizontales como verticales paralelas, stas son paralelas en el espacio.&Pasar por un punto una recta paralela a otra dada.

Basta con trazar porP2una rectas2paralela ar2, y porP1una rectas1paralela ar1.&Pasar por un puntoP1-P2una rectas1-s2paralela a otra dadar1-r2, ambas de perfil.No basta con el paralelismo de sus proyecciones verticales y horizontales. Sabemos que la rectas1-s2paralela a la de perfilr1-r2ser una recta perpendicular a la L.T. y que pasa porP1-P2, es decir otra recta de perfil, pero no basta con esto, sino que hay que comprobar que ambas rectas tienen la misma inclinacin, y para ello nos vamos a basar en la tercera proyeccin o de perfil.En primer lugar trazamosr3. A continuacinP3. El siguiente paso es trazar porP3una rectas3paralela ar3. A continuacin llevamos las trazasV3syh3sa la rectas1-s2. Quedando as totalmente definida la rectas1s2paralela ar1r2.6.2.- RECTA PARALELA A UN PLANOUna recta es paralela a un plano cuando es paralela al menos a una recta contenida en dicho plano. Si la recta no cumple otra condicin hay infinitas soluciones.&Trazar por un punto dadoP1-P2la recta paralela a un plano dado(1-2).

Se dibuja una recta r1-r2 cualquiera contenida en el plano . Para que una recta est contenida en un plano las trazas de r1(h1) y la de r2(v2) deben estar en las trazas del plano 1-2 respectivamente.Una vez hecho esto se traza por P2 una recta s2 paralela a r2 y por P1 una recta s1 paralela a r1.&Si hay que trazar por un punto P una recta paralela a un plano definido por dos rectas s y t que se cortan, basta con trazar por el punto dado otra recta r paralela a cualquiera de las dos anteriores.

&Si queremos pasar por un puntoPun plano(1-2) paralelo a una rectar1-r2dada, hacemos pasar por el punto una rectas1-s2paralela a la anterior. Todo plano cuyas trazas pasen por las correspondientes de la rectas1-s2ser paralelo ar1-r2hay por tanto infinitas soluciones.

6.3.-PLANOS PARALELOSAl ser cortados dos planos paralelos por un tercer plano, las rectas de interseccin son necesariamente paralelas entre s.Condicin necesaria y suficiente para que dos planos sean paralelos, es que sus trazas diedricas sean paralelas respectivamente.& Trazar por un puntoPun plano(1-2) paralelo a otro dado.

Hay que recordar que las horizontales de plano tienen su proyeccin horizontal paralela a la traza horizontal del plano. Segn esto, se pasa por el punto dadoP1-P2la horizontalr1-r2, siendor1paralela a1, la traza vertical de la rectares el puntov2y por ste pasa la traza2, paralela a2. La traza horizontal paralela a1pasa por el punto donde2corta a la L.T.Si los planos son paralelos a la L.T., no basta con el paralelismo de sus trazas homnimas, por lo que para saber si son realmente paralelas en el espacio, es necesario hallar la tercera proyeccin y comprobar en ella si sus trazas mantienen el paralelismo.&Trazar un plano(1-2) paralelo a otro dado(1-2) (que es paralelo a su vez a la L.T.) por el puntoP(P1-P2).

Hay que obtener la tercera proyeccin del plano dado y del punto. En esta proyeccin dibujaremos el planopedido, paralelo ay pasando porP; por ltimo se vuelve a las proyecciones horizontal y vertical.Si el plano est definido por dos rectas que se cortanrys, y queremos pasar por un puntoPun plano paralelo al anterior, se traza por el punto dado dos rectas m y n, paralelas respectivamente a las anteriores.

7.- PERPENDICULARIDAD7.1.-RECTA PERPENDICULAR A UN PLANOPara trazar por un punto dado una recta perpendicular a un plano: por cada proyeccin del punto se traza la recta perpendicular a la traza homnima del plano. As siendo el puntoPy el plano, porP1perpendicular a1, y porP2perpendicular a2. La recta as obtenida es la solucin nica. Si el punto pertenece al plano, deber estar contenido en una horizontal o frontal de dicho plano, de ser exterior a dicho plano se resuelve de forma idntica. Trazando por sus proyecciones las perpendiculares a las trazas, aunque el punto dado ya no sera el de interseccin de la recta y el plano.

7.2.- RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO QUE ESTA DEFINIDO POR DOS RECTAS CUALESQUIERAEl plano dado est definido por las rectasr(r1-r2) ys(s1-s2); el plano 2, paralelo al horizontal de proyeccin, corta al anterior segn la horizontalh1-h2, que pasa por los puntos1(1'-1'') y2(2'-2''). La proyeccin horizontal de la recta buscada est1, perpendicular porP1ah1.

El plano1paralelo al vertical de proyeccin corta al dado segn la frontalf1-f2que pasa por los puntos3(3'-3'') y4(4'-4''). La proyeccin verticalt2es perpendicular af2trazada proP2. La rectat(t1-t2) es la pedida.7.3.- PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTATenemos la rectar(r1-r2) y hay que trazar el plano(1-2) perpendicular a ella. Para resolverlo, basta recordar que las trazas sern perpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta. Por ello, se hace pasar por un puntoP1-P2una recta del plano que se busca y de la cual sabemos la direccin; sta recta es la horizontalh1-h2, su proyeccin verticalh2pasa porP2y es paralela a L.T: yh1pasa porP1y es perpendicular ar1; se halla su traza verticalv2y por este punto pasa la traza2perpendicular ar2; la traza1pasa por el puntoNy es perpendicular ar1.

Igualmente se puede operar con una recta frontalf1-f2, siendof2perpendicular ar2.7.4.- RECTAS PERPENDICULARES ENTRE SILa perpendicularidad entre rectas no se manifiesta en sus proyecciones, salvo posiciones paralelas a los planos de proyeccin, debido a la deformacin angular que se experimenta en toda proyeccin por lo que hay que recordar que toda rectafoscontenida en un plano perpendicular a la rectardada, lo es tambin a ella, pase o no por su interseccin.

Para resolver el problema, basta con trazar un planoque sea perpendicular ary cualquier recta contenida en l es directamente perpendicular arsin ms condiciones.La propia rectam(m1-m2) frontal utilizada para obtener el planoperpendicular a la rectar(r1-r2) servira por estar contenida en(1-2).7.5.- PLANOS PERPENDICULARES ENTRE SIEste problema tambin admite infinitas soluciones, puesto que dos planos son perpendiculares cuando uno de ellos contiene, al menos, una recta que es perpendicular al otro. Dicho de otra forma: si una rectares perpendicular a un plano, todo planoque pase porr, o sea, paralelo a ella, ser perpendicular al.

Dado el plano1-2y el puntoP1-P2, se traza la rectar1-r2, perpendicular porPal plano; las trazas de esta recta son los puntosh1yv2y para trazar un plano cualquiera que pasa por la recta r, basta tomar un puntoMen la L.T: y unirla conh1yv2. Un plano solucin es el1-2.8.- DISTANCIAS8.1.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos A y B es el segmento rectilneo AB que los une. La proyeccin ortogonal de los puntos A1,B1 sobre el plano H determinan la proyeccin horizontal d1 y se forma el tringulo rectngulo B-A1-A, cuyos catetos son la proyeccin horizontal d1 del segmento AB y la diferencia de cotas h = A-A1 de los puntos A,B respecto al plano H. La hipotenusa de este tringulo es la distancia buscada.Para determinar la distancia entre dos puntos de proyecciones ortogonales conocidas, basta con determinar la hipotenusa de un tringulo rectngulo, cuyos catetos son, respectivamente, el segmento de proyeccind1y la diferencia de distancias de cada uno de los puntos al plano de proyeccin, o lo que es igual, la diferencia de cotas de los puntos dados.En el sistema didrico, para determinar la distancia se puede operar con la proyeccin horizontald1, en cuyo caso las proyecciones de los puntos son A1-A2 y B1-B2, la distancia d1-d2. Por B1 se traza la perpendicular ad1y sobre ella se lleva la diferencia de cotas h=B1N. El segmento A1N es D, verdadera magnitud de la distancia en el espacio.

Igualmente se puede operar con la proyeccin verticald2, en cuyo casohsera la diferencia de los alejamientos. En ambos casos el resultado es idntico.8.1.1.-DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS, SI ESTOS ESTAN EN DISTINTOS DIEDROS.Hay que considerar las cotas y los alejamientos con los dos signos. El punto B1-B2 es del primer diedro y el punto A1-A2 es del tercer diedro. La cota de B es positiva y la cota de A es negativa, por lo que la diferencia de cotas se transforma en una suma, es decir, en el segmento h. En este caso la distancia es el segmento D=B1N.

8.2.- DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTASegn el procedimiento general dado un punto P y la recta r por el punto se traza el plano perpendicular a r a la que corta en el punto I. El segmento IP es la distancia D, en verdadera magnitud, del punto a la recta.

En diedrico se resuelven siguiendo el mismo orden: por (P1-P2), perpendicular a r (r1-r2), por medio de la horizontal h1-h2, siendo h1 perpendicular a r1. El plano corta a la recta en I (I1-I2), que se obtiene empleando el proyectante vertical de la recta, 1-2, siendo i1-i2 la interseccin de ambos planos y sta corta a r en el punto I1-I2. La distancia IP tiene por proyecciones d1-d2 y la verdadera magnitud es D.8.3.- DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANOLa distancia D de un punto P a un plano , se determina trazando la perpendicular r por el punto P al plano;se halla el punto de interseccin I de la recta y del plano y el segmento PI es la distancia pedida.

Segn ello,si se trata de hallar la distancia de un punto del espacio P a un plano , se procede en primer lugar a trazar una perpendicular desde P al plano determinando su interseccin I por medio de un plano auxiliar que contenga a la recta perpendicular trazada por P y que puede ser, para mayor facilidad, un proyectante. La recta de interseccin de ambos planos al cortar a la perpendicular en I, nos determina el extremo de interseccin.En diedrico, sea el punto P (P1-P2) y el plano 1-2.Apoyndonos en un plano proyectante vertical que contenga a la recta perpendicular r trazada por P, obtenemos los puntos de corte de las trazas de los planos y de este modo la recta interseccin i1-i2 (que pertenece a y a ).

De este modo se observa que las rectas i y r se cortan en un punto I (interseccin entre r y el plano ).La distancia PI tiene por proyecciones d1-d2 y la verdadera magnitud es el segmento P1-I0 = D obtenido como en anteriores ocasiones.8.4.- DISTANCIAS ENTRE DOS RECTAS PARALELASLa distancia D entre dos rectas paralelas se determina trazando un plano perpendicular a ellas y hallando los puntos I e I1 de interseccin de ambas con el plano.

En diedrico tenemos dos rectas r (r1-r2) y s (s1-s2) paralelas.Trazamos el plano (1-2) perpendicular a ellas (por cualquier punto). Tenemos ahora que calcular el punto de corte del plano con r y s y uniendo esos puntos obtendremos la distancia D. Para ello utilizamos el procedimiento del caso anterior. Para la rectartrazo un plano proyectante auxiliar (1-2) que contenga a la recta r. Por la caracterstica de este plano sabemos que r1 estar contenido en 1 y que 2 es perpendicular a L.T. Por tanto obtenemos la recta interseccin i1-i2 entre los planos y . Como la recta i pertenece tanto a como ael punto dondeiyrse corten ser el puntoIde interseccin entrery.

Utilizamos el mismo procedimiento para la recta s, pero en esta ocasin nos ayudamos del plano proyectante w1-w2. Obteniendo en este caso los puntos I2s-I1s. Uniendo I2r con I2s obtengo la proyeccin vertical d2 de la distancia D y uniendo I1r con I1s obtengo d1. La verdadera magnitud D se obtiene como en casos anteriores.Para obtener en el plano horizontal la distancia h, se procede del siguiente modo. Se obtiene la diferencia de cotas I2r I2s y se lleva esa distancia sobre la perpendicular que pasa por I1r obteniendo el punto N. N I1s ser la distancia D en verdadera magnitud (en el esquema est mal trazado).8.5.- DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOSEl procedimiento general es trazar una recta r perpendicular a los planos y se hallan los puntos de interseccin de ella con los planos dados. La distancia es el segmento I-I1.En diedrico los planos son (1-2) y (1-2). Se traza la recta r (r1-r2) perpendicular a ambos (por cualquier punto). Empleando un plano auxiliar, proyectante vertical (w1-w2) que contenga a r y por tanto, por las caractersticas de dicho plano la proyeccin r2 estar sobre w2 y w1 ser perpendicular a L.T. El plano w cortar al y obtenemos como se indica en la figura la recta interseccin i (i1-i2), donde r corta a i tendr el punto I de interseccin. El procedimiento es el mismo para obtener el otro punto I pero con los planos w y . Por tanto uniendo I2 con I2 obtengo b2 y uniendo I1 con I1 obtengo d1 de forma que la verdadera magnitud D se obtiene como hemos indicado en el caso anterior y como se representa en la figura.

9.- ABATIMIENTOSAbatir un plano es hacer coincidir ste con otro que se considera de proyeccin, girndose alrededor de la recta interseccin de ambos. Esta traza alrededor de la cual se abate el plano recibe el nombre de charnela.Todos los elementos, puntos, segmentos, polgonos, etc., contenidos sobre el plano abatido, se sitan, tras el abatimiento, sobre el plano de proyeccin, por lo que se proyectan sin deformacin alguna, con lo cual se obtienen sus verdaderas magnitudes, tanto lineales como angulares. Siendo ste el motivo principal para el empleo del abatimiento. Siempre se abate un plano sobre otro y slo pueden abatirse planos. Las expresiones de abatir un punto o una recta carecen de exactitud, no obstante se emplean por sencillez de la expresin, entendindose por tal que el abatimiento se realiza con un plano que contenga a estos elementos.

El tringulo ABC situado en el plano P se proyecta segn abc.Si abatimos el plano P sobre el horizontal, tendremos el tringulo (a),(B),(C), que es la verdadera magnitud del tringulo citado.Se dice que un plano se abate sobre otro Q cuando hace coincidir el primero sobre el segundo, hacindole girar alrededor de su recta de interseccin, la cual recibe el nombre decharnela.Generalmente se tomar como plano de abatimiento uno de los planos de representacin o del dibujo, con lo cual se conseguir que venga sobre ste y su verdadera magnitud todo lo que contenga el plano abatido.9.1.- ABATIMIENTO DE UN PUNTOSupongamos que es el plano de abatimiento o plano de representacin, y que un punto A cuya proyeccin ortogonal sobre l esa, va a ser abatido; mejor dicho, se va a batir el plano (s) que pasa por el punto A tomando como eje de giro su traza s, que tambin llamaremos ch, por ser la charnela.

Sabemos que el punto A describe en el espacio una circunferencia cuyo plano es perpendicular a la charnela, siendo su radio r la distancia del punto de referencia a dicho eje de giro y su centro el punto t.Este artificio del abatimiento va a consistir en determinar las posiciones Aa-1 y Aa-2, que puede ocupar el punto A cuando se abate dicho plano (s), en funcin de los elementos determinativos del punto y del plano.Como el plano de la circunferencia que describe el punto tiene por traza la recta Aa-1 y Aa-2, perpendicular a la charnela, y la proyectante A-a es perpendicular tambin al plano , resulta que las rectas A-t y A-a se hallan tambin en el de la circunferencia ya citada; o lo que es lo mismo, los puntos a y t pertenecen a la traza Aa-1 - Aa-2.Conocida, por tanto, la situacin de la recta sobre la cual se van a encontrar las posiciones abatidas Aa-1 y Aa-2, nos ser preciso adems, conocer el radio de la circunferencia descrita. Este radio es la hipotenusa del tringulo A-t-a, rectngulo en A, que siempre podemos determinar cuando conozcamos la proyeccin ortogonal del punto A y su cota A-a=hA sobre el plano del abatimiento. El tringulo de referencia, hecho coincidir con el plano del dibujo, ocupa la posicin t-a-u y su hipotenusa ser el radio r que nos permitir situar los puntos Aa-1 y Aa-2, pudindose establecer la regla general siguiente:Para obtener el abatimiento de un punto se trazarn desde su proyeccin ortogonal sobre el plano del abatimiento la perpendicular y la paralela a la charnela; en la paralela se tomar la altura del punto sobre dicho plano de abatimiento para determinar el radio, y haciendo en el punto de interseccin de la charnela con su perpendicular se obtendrn en estas dos posiciones el punto abatido.9.1.1.- ABATIMIENTO DE UN PUNTO SOBRE EL HORIZONTAL

Se traza por a1 una paralela y una perpendicular a la charnela, sobre la paralela llevaremos la cota del punto obteniendo M. Con centro en O y abertura de comps OM se traza un arco que corta en (A) a la perpendicular inicial. El abatimiento puede realizarse tambin sobre el vertical.9.1.2.- ABATIMIENTO DE UN PUNTO SOBRE EL VERTICALEl abatimiento puede realizarse tambin sobre el vertical tomando como charnela la traza vertical del plano que le contiene. El procedimiento es idntico al anterior sin ms variacin que en este caso, ha de operarse con la proyeccin vertical del punto y ha de tomarse el alejamiento en sustitucin de la cota.

9.1.3.- ABATIMIENTO DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO PARALELO A UNO DE LOS DE PROYECCION

Puede ser til a veces, el artificio de tomar como plano de abatimiento, no ya uno de los de proyeccin, sino otro que sea paralelo, por ejemplo, un horizontal o un vertical, lo cual, a parte de la ventaja que trae consigo el simplificar las construcciones o de darnos puntos situados dentro de los limites del dibujo, tiene la propiedad de que el abatimiento viene proyectado en verdadera magnitud sobre el plano de proyeccin a que es paralelo, lo que equivale, en definitiva, a haber operado sobre l como plano de abatimiento.As, por ejemplo, en el caso de la figura, utilizamos como plano de abatimiento el horizontal (2), y entonces la regla sigue aplicndose; es decir, que la charnela en este caso es la ch (i1-i2), pero la altura del punto se medir desde la proyeccin vertical a2 a la traza vertical 2 del plano de abatimiento.9.2.- ABATIMIENTO DE UNA RECTALa recta tampoco se puede abatir, como ya hemos aclarado. Se entender que se abate un plano (s), que la contiene sobre el de representacin .

Como la recta est integrada por dos puntos, bastar conocer el abatimiento de dos de ellos para as tener el de la recta; pero si tenemos presente que todos los puntos del eje de giro, o sea de la charnela, permanecen invariables, la traza B de la recta R con la charnela ser punto que pertenecer a las posiciones abatidas Ra-1 o Ra-2, que se conseguirn conociendo el abatimiento de uno slo de sus puntos A que ocupa las posiciones Aa-1 o Aa-2, segn sea el sentido del giro del plano abatido.9.2.1.- ABATIMIENTO DE UNA RECTA EN DIEDRICOLa recta r est situada en el plano y vamos a abatirla sobre el plano horizontal considerndola que est en el citado plano abatir. La charnela de abatimiento es la traza horizontal 1.

Se abaten dos puntos de la recta. El punto H, traza horizontal de la recta coincide con su abatido por pertenecer a la charnela.Tomamos otro punto cualquiera de la recta, el a1-a2 y lo abatimos sabiendo su cota sobre el horizontal; obtenemos (A) que unido con (H) nos da la recta ( r), abatimiento de r.Si la traza horizontal H de la recta queda fuera del papel se abate otro punto de ella y se unen los abatimientos de los puntos para obtener la recta abatida.9.3.- ABATIMIENTO DE UN PLANODado el plano vamos a batirlo sobre el horizontal. Tomamos un punto A(a1-a2) de la traza vertical. La charnela es la interseccin de los dos planos, es decir, la traza horizontal 1. El punto N, de corte de las trazas, por ser de la charnela, coincide con su abatido; se abate el punto A, para lo cual por la proyeccin a1, se traza una paralela y una perpendicular con radio M-A0 se traza el arco que corta a la perpendicular en el punto (A), abatimiento del punto A sobre el plano H.La recta N(A) es (1) abatimiento de la traza vertical 1 del plano. El ngulo es la amplitud del plano, es decir, el ngulo de las trazas en el espacio.En la figura se observa que el tringulo Na2M, rectngulo en M1 y el tringulo NM(A) son iguales, por tener el cateto a2M=M(A) y el cateto NM comn; luego las hipotenusas tambin son iguales; es decir Na1 = N(A). Segn esto, se puede obtener el punto (A) haciendo centro en N y con abertura de comps Na2, cortan en (A) a la perpendicular a la charnela a1M.

Como se ve en la figura adjunta tambin podemos abatir el plano sobre el vertical de proyeccin. El proceso seguido es el mismo. La charnela es la traza vertical 2; el punto N es doble. Se toma un punto B(B1-B2) de la traza horizontal y se abate sobre el vertical. Unimos N con (B) y tenemos (2).

9.3.1.- ABATIMIENTOS DE PLANOS PROYECTANTESEn diedrico, la operacin de abatir un plano proyectante horizontal tomando como charnela su traza 2 se reduce a situar la traza 1 coincidente con L.T.

Se ha realizado abatimiento del mismo plano horizontal. La charnela es la traza horizontal 1 del plano. La traza 2 quedar, despus del abatimiento perpendicular a la charnela.

9.4.- ABATIMIENTO DE UNA FIGURA PLANASe desea hallar la verdadera magnitud del tringulo dado para lo cual se abate el plano 1-2 sobre el horizontal. Abatmos el punto A obteniendo (A).

Nos basamos en la afinidad existente entre la proyeccin horizontal de la figura plana y su abatida. El eje ser la traza 1 y la pareja de puntos afines A1 y (A). Hallando la afn del tringulo dado, se tiene el abatido, para lo cual se ha unido A1 con B1 mediante una recta que corta al eje (traza 1) en un punto que se une con (A) mediante una recta que corta a la paralela a A1(A) trazada por B1 en (B). Obtenemos el tringulo buscado.Proyeccin ortogonalEste artculo o seccin necesitareferenciasque aparezcan en unapublicacin acreditada, como revistas especializadas, monografas, prensa diaria o pginas de Internetfidedignas. Este aviso fue puesto el 29 de enero de 2013.Puedesaadirlaso avisaral autor principal del artculoen su pgina de discusin pegando:{{subst:Aviso referencias|Proyeccin ortogonal}} ~~~~

La proyeccin ortogonal del segmentoABsobre la rectaLes el segmentoPQ.Engeometra euclidiana,Proyeccin ortogonales aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de proyeccin (o a la recta de proyeccin), establecindose una relacin entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.En el plano, la proyeccin ortogonal es aquella cuyas lneas proyectantes auxiliares son perpendiculares a la recta de proyeccinL.As, dado un segmentoAB, bastar proyectar los puntos "extremos" del segmento mediante lneas proyectantes auxiliares perpendiculares aL, para determinar la proyeccin sobre la rectaL.Una aplicacin de proyecciones ortogonales son los teoremas de lasrelaciones mtricas en el tringulomediante las cuales se puede calcular la dimensin de los lados de un tringulo.El concepto de proyeccin ortogonal se generaliza a espacios euclidianos dedimensinarbitraria, inclusive de