SINTAXIS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL 2010

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Lic. Marco Antonio Alberca Balarezo. Maria y Juan ju egan al mus Ma ^Ju Ni Maria ni Juan juegan al mu s ~ Ma ^ ~ Ju O Maria o Juan juegan al mus M a v Ju M aria juega al mus sin embargo Juan no Ma ^ ~ J u Al menos Maria o Juan juegan al mus Ma v Ju N o sucede que Maria ju egue al mus y Juan no ~(Ma ^ ~ J u) No sucede que M aria y Juan jueguen al mus ~ (Ma ^ Ju ) No suced e que Maria o Juan ju eguen al mus ~( Ma v Ju)

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Lic. Marco Antonio Alberca Balarezo.

Maria y Juan juegan al mus

Ma ^JuNi Maria ni Juan juegan al mus

~ Ma ^ ~ Ju

O Maria o Juan juegan al mus

Ma v JuMaria juega al mus sin embargo Juan no

Ma ^ ~ JuAl menos Maria o Juan juegan al mus

Ma v JuNo sucede que Maria juegue al mus y Juan no

~(Ma ^ ~ Ju)

No sucede que Maria y Juan jueguen al mus

~(Ma ^ Ju)

No sucede que Maria o Juan jueguen al mus

~(Ma v Ju)

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LENGUAJE FORMALIZADO

La formalización es el proceso en el que se traducen proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simbólico.

Formalización

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VARIABLES Y CONSTANTES

• El lenguaje lógico se denomina formalizado porque su propiedad más importante es la de revelar la forma o estructura de las proposiciones e inferencias.

• El lenguaje formalizado de la lógica de proposiciones consta de dos clases de signos: variables proposicionales y constantes u operadores (o conectores) lógicos.

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VARIABLES PROPOSICIONALES Y METAVARIABLES

• Las variables proposicionales representan cualquier proposición atómica.

• Son letras minúsculas del alfabeto castellano ‘p’, ‘q’, ‘r’, ‘s’, etc.

• Las metavariables representan cualquier fórmula o proposición compuesta.

• Son las letras mayúsculas del alfabeto castellano ‘A’, ‘B’, ‘C’, ‘D’, etc. Por ejemplo:

• A=(pq) ↮2 (r↮s)

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CONSTANTES MONÁDICAS Y DIÁDICAS

• También llamados operadores lógicos. Ellos, además de enlazar o conectar proposiciones, establecen determinadas operaciones entre ellas. Son de dos clases: diádicos y monádicos.

• Los operadores diádicos tienen un doble alcance: hacia la izquierda y hacia la derecha, es decir, afectan a dos variables. Y son los siguientes:

• El conjuntivo (), el disyuntivo (inclusivo () o exclusivo(), el condicional (→), el bicondicional (↔)

• El operador monádico único es la negación. Tiene un solo alcance: hacia la derecha, por lo que afecta a una sola variable. Representa el adverbio negativo ‘no’. Su símbolo es ‘~’.

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SIGNOS DE AGRUPACIÓN• La puntuación en el lenguaje común es indispensable para precisar

el significado de las expresiones; sobre todo, para asegurar el sentido del enunciado. Si no se usara debidamente los signos de puntuación se incurriría en una ambigüedad insalvable. Por ejemplo:

• Mientras dormían, los centinelas vigilaron el campamento• Mientras dormían los centinelas, vigilaron el campamento • En lógica importa mucho el uso de los signos de puntuación o

agrupación. Ellos son los siguientes: paréntesis (“(”, “)”), corchetes (“[”, “]”), llaves (“{”, “}”) y barras.

• Gracias a ellos se establece una jerarquía del alcance de los conectores u operadores lógicos que permite anular toda posible ambigüedad. Por ejemplo:

• w↔[t{(p→q) (rs)}]• En la anterior fórmula el símbolo de mayor jerarquía será el bi-

condicional.

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PASOS PARA LA SIMBOLIZACIÓN• Formalizar una proposición significa abstraer su forma

lógica, es decir, revelar su estructura sintáctica a través del lenguaje formalizado de la lógica. En términos más sencillos, formalizar una proposición equivale a representarla simbólicamente.

• Toda proposición tiene su forma lógica y su fórmula. La forma lógica de la proposición es otra proposición equivalente a la primera con la diferencia de que en ella toda su estructura sintáctica está completamente explicitada.

• A partir de aquí su fórmula no es otra cosa que la que resulta de sustituir toda proposición atómica distinta por una variable proposicional también distinta, toda conjunción gramatical por el operador lógico correspondiente y el adverbio ‘no’ por el operador negativo.

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PASOS PARA LA SIMBOLIZACIÓN• La técnica de la formalización comprende los siguientes

pasos:• 1. Se explicita su forma lógica empleando las conjunciones

gramaticales y el adverbio ‘no’ en sustitución de expresiones equivalentes. Podemos empezar determinando las proposiciones simples, y los nexos y/o negaciones.

• 2. Se halla su fórmula reemplazando cada proposición atómica por una variable proposicional, las conjunciones gramaticales por sus operadores lógicos correspondientes y el adverbio ‘no’ por el operador negativo.

• 3. Los signos de agrupación se usan para establecer jerarquía entre los operadores de una fórmula lógica, pero solo cuando su omisión la hace ambigua.

• 4. Se determina si la fórmula resultante es una fórmula bien formada (fbf)

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Simbolización• Ejemplos

– Vamos en bicicleta o vamos a pie.

p : “Vamos en bicicleta”.

q : “Vamos a pie”

Simbolización: p v q– No es cierto que Juan llegó temprano

p = “Juan llegó temprano”.

Simbolización : ~ p

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Simbolización• Ejemplo

–Matías aprobó el examen pero Lucas no.p = “Matías aprobó el examen”.

q = “Lucas aprobó el examen”

Simbolización : p ^ ~q

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SINTAXIS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

• La sintaxis se refiere a la construcción de las formulas, de manera correcta, así como a su adecuado uso.

• Existen diferentes notaciones simbólicas, pero pueden reducirse a tres: la de Scholz, la de Peano-Russell y la de Lukasiewicz.

• Las tablas siguientes muestran las correspondencias entre las principales notaciones simbólicas:

sistemas Negación Conjunción Disyunción Inclusiva

Disyunción Exclusiva

Condicional Bicondicional Jerarquía

Scholz ~p pq pq p q p→q p↮q ( ). [], etc.

Peano-Russell

~p p. q pq p≢q pq p≡q . . , : : , etc.

PRINCIPALES NOTACIONES SIMBÓLICAS

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FÓRMULAS BIEN FORMADAS (FBF)

• Una fórmula bien formada es una cadena de símbolos construida según las reglas establecidas por la sintaxis lógica. Puede ser atómica o molecular.

• La sintaxis lógica es una disciplina metalógica que estudia el lenguaje de la lógica desde el punto de vista formal, es decir, sin interesarse más que por las relaciones entre los símbolos.

• Las siguientes son reglas de la sintaxis lógica que posibilitan la construcción de fórmulas bien formadas.

• Regla 1: Toda variable proposicional es una FBF• Regla 2: Si ‘p’ es una FBF, entonces ‘~p’ es también una FBF.• Regla 3: Si ‘p’ y ‘q’ son FBF, entonces ‘pq’, ‘pq’, ‘pq’, ‘p→q’ y

‘p↮q’ son FBF• Regla 4: Una cadena de símbolos es una FBF si y solo si se sigue

de la aplicación de R1, R2 y R3.

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REGLAS AUXILIARES• Regla 5: Una fórmula lógica está bien formada si y sólo si existe una jerarquía

claramente establecida entre sus operadores; en caso contrario, la fórmula carece de sentido.

• Regla 6: Una FBF tiene nombre y éste depende de su operador de mayor jerarquía

• Regla 7: El operador de mayor jerarquía es aquél que está libre de los signos de agrupación: ‘()’, ‘{}’ y ‘[]’.

• Regla 8: Los signos de agrupación se usan sólo cuando su omisión hace ambigua una fórmula, es decir, cuando una fórmula es susceptible de una doble (o triple, o cuádruple, etc.) interpretación.

• Regla 9: Los operadores diádicos tienen mayor jerarquía que el operador monádico.

• Regla 10: El operador negativo se escribe antes y no después de una fórmula.

• Regla 11: El operador negativo no se escribe entre dos fórmulas, sino inmediatamente a la izquierda de una variable proposicional o de un signo de agrupación, es decir, así: ~p.

• Regla 12: Si un operador negativo antecede a otro operador igualmente negativo, entonces el de la izquierda tendrá mayor jerarquía. Por ejemplo, en la siguiente fórmula el operador negativo más externo es el de mayor jerarquía ~{~[(~pq) r]}

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Negación

p ~p

VF

FV

Observamos aquí que al valor V de p, la negación le hace corresponder el valor F, y viceversa.

Negativa simple: Si niega una proposición simple.Ej. Es falso que Juan sea peruano

Negativa compuesta: Si niega una proposición compuesta.Ej. No es cierto que sea utilitarista y naturalista a la vez

Es falso que, no es verdad que, no ocurre que, no es el caso que…

Funciones veritativas: valores (verdaderos o falsos) que va a tener el esquema molecular, en función de los valores de los componentes de dicho esquema

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Conjunción

• Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:

p q p q

VVFF

VFVF

VFFF

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.

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Disyunción Débil

Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p q cuya tabla de valor de verdad es:

p q p q

VVFF

VFVF

VVVF

Es verdadera cuando por lo menos una de las proposiciones componentes es verdadera, y falsa sólo si las dos son falsas

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la disyunción en sentido excluyente de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee "p o q en sentido excluyente") cuya tabla de valores de verdad es:

p q p q

VVFF

VFVF

FVVF

Disyunción exclusiva

Es falsa cuando los dos componentes tienen igual valor veritativo y es verdadero cuando tienen diferente valor veritativo

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Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p → q (si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es:

p q p → q

VVFF

VFVF

VFVV

La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Implicación o Condicional

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Bicondicional

Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p ↮ q (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es

p q p ↔ q

VVFF

VFVF

VFFV

La bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

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p q p → q

VVFF

VFVF

VFVV

Arreglos Matriz o resultado final

Cuerpo

Fórmula compuestaCuerpoMargen

Variables

Valores parciales

TABLAS DE VERDAD

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Construcción de tablas

Formula: 2n

2 : se refiere a los dos estados posibles n: se refiere al número de variables en la formula

1 variable

p

V

F

2 variable

p q

V V

V F

F V

F F

3 variable

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

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NombreOperador

Significado o interpretación

Expresiones Verbales EquivalentesSimbolización

ConjuntorEs un conector binario (Diádico) que enlaza dos proposiciones simples, cuya función es compatibilizar dos proposiciones.

Λ*&•

“Y”

Incluso, aunque, pero, además, sino, tambien, así mismo, no obstante, tal como, así como, sin embargo, a pesar, aun cuando, del mismo modo, de la misma forma, también, así igual que, al mismo tiempo, es compatible con .

p y q.

p Λ qp * qp & qp • q

Disyuntor Inclusivo (Débil)Conector binario, de función inclusiva, es decir se da la posibilidad de que se den ambas proposiciones a la vez.

V+

“O”

A menos que, o bien , o también , salvo que, o en todo caso, o de lo contrario, o en su defecto, y/o

p o q p V qp + q

Disyuntor Exclusivo (Fuerte)Conector binario, de función exclusiva, es decir excluye la posibilidad que se den ambas proposiciones a la vez. Es la negación del biimplicador

∆ “O…O…”

O...o…, o bien…o bien…, o tan solo, o únicamente, o (en sentido excluyente).

o p o qp ∆ q

CondicionalConector binario, cuya función es conectar a una proposición compuesta que es el antecedente(hipótesis) con otra que es el consecuente(tesis)

“Si…entonces...”

Implica, por consiguiente, por cuanto, por lo tanto, luego, en conclusión, en consecuencia, de manera que, por ende, de ahí que, se concluye, solo si, en efecto, es obvio que, es condición suficiente para. Si p entonces q

p q

ReplicadorConector que indica que la operación de implicación esta invertida.

← “… si…”

Dado que, puesto que, porque, ya que, siempre que, cuando, si, cada vez que, en vista que, de modo que.Estas expresiones se indican entre dos variables proposicionales.

p si q

p ← q

BicondicionalConector binario ,que desempeña la función de doble implicador, es decir, es la conjunción de la condicional y su reciproca.

≡“si y sólo si”

Si y solo si, siempre y cuando, es equivalente, se define lógicamente como, es idéntico, es lo mismo que

p si y sólo si q p qp ≡ q

NegadorOperador monádico, por que afecta mayormente a una proposicion cambiando su valor de verdad.

˜─

“No”…

No ,Es falso que ,es inconcebible que, Jamás, Nadie que sea, es absurdo que, es imposible que, es mentira que, no es innegable que, de ninguna forma se da.

˜ p─ pp