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10. SINCRONIZACIN

10.1. INTRODUCCIN

10.1.1. Sincronizacin definida

En casi cada discusin del desempeo de un receptor o demodulador, se asume algn

nivel de sincronizacin de seal, aunque esta suposicin es a menudo no establecida

explcitamente. Por ejemplo, en el caso de demodulacin de fase coherente (PSK), se asume que

el receptor es capaz de generar seales de referencia cuyas fases son idnticas (excepto quizs

por un offset constante) a aquellas del alfabeto de sealizacin en el transmisor. Estas seales

de referencia son comparadas con las seales entrantes en el proceso de hacer decisiones de

smbolos de mxima verosimilitud.

Para ser capaz de generar estas seales de referencia, el receptor tiene que estar en

sincronizacin con la portadora recibida. Esto significa que tiene que haber concurrencia de fase

entre la portadora entrante y una rplica de ella en el receptor. En otras palabras, si no hubiera

informacin modulada en la portadora entrante, la portadora entrante y la rplica en el receptor

deberan pasar a travs de cero simultneamente. Esto es lo que se conoce como enganche en

fase (phase lock) y es una condicin que debe ser aproximada de manera muy cercana para que

las seales moduladas coherentemente sean desmoduladas de manera precisa en el receptor.

Estar en enganche de fase significa que el oscilador local del receptor est sincronizado tanto en

frecuencia como en fase con la seal recibida. Si la seal que porta informacin no es modulada

directamente en la portadora sino indirectamente a travs del uso de una subportadora, tanto

la fase de la portadora como la de la subportadora deben ser determinadas. Si la portadora y la

subportadora no son mantenidas en sincronismo de fase por el transmisor (tpicamente no),

esto requerir la generacin de una rplica de la subportadora por el receptor, donde la fase de

la rplica de la subportadora es controlada separadamente de aquella de la rplica de la

portadora, lo cual habilitar al receptor para alcanzar un enganche de fase tanto para la

portadora como para la subportadora. (Ej. La portadora de canal y la subportadora de color en

TV)

Se asume tambin que el receptor tiene un conocimiento preciso de cuando un smbolo

entrante arranca y cuando termina. Este conocimiento es requerido para saber el intervalo

apropiado de integracin del smbolo- el intervalo sobre el cual la energa es integrada antes de

hacer decisiones sobre el smbolo. Claramente si el receptor integra sobre un intervalo de

longitud inapropiada, o sobre un intervalo que barre dos smbolos, la habilidad de hacer

decisiones precisas de smbolo ser degradada.

Puede verse que la sincronizacin de smbolo y fase son similares en que ambos envuelven la

produccin de una rplica en el receptor de una porcin de la seal transmitida. Para

sincronizacin de fase, se debe producir una rplica precisa de la portadora. Para sincronizacin

de smbolo se debe lograr una onda cuadrada a la rata de transmisin de smbolo. El receptor

debe, en efecto, ser capaz de producir una onda cuadrada que har transicin a travs de cero

simultneamente con las transiciones de la seal de entrada entre smbolos. Un receptor que es

capaz de hacer esto puede decirse que tiene sincronizacin de smbolo o que est en enganche

de smbolo. Debido a que hay tpicamente un gran nmero de ciclos de portadora por periodo

de smbolo, este segundo nivel de sincronizacin es mucho ms grueso (coarser) que la

2

sincronizacin de fase y es usualmente realizada con circuitera diferente que aquella usada para

la sincronizacin de fase.

En muchos sistemas de comunicacin se requiere un nivel an ms alto de sincronizacin. Este

es usualmente llamado sincronizacin de trama. La sincronizacin de trama se requiere cuando

la informacin es organizada en bloques, o mensajes de algn nmero uniforme de smbolos.

Esto ocurrir, por ejemplo, si un cdigo bloque es usado para control de errores hacia adelante,

o si el canal de comunicaciones est siendo compartido en tiempo, en una base regular, por

varios usuarios (TDMA). En el caso de la codificacin de bloques, el decodificador necesita saber

la localizacin de fronteras entre palabras de cdigo para decodificar el mensaje correctamente.

En el caso de un canal compartido en tiempo, es necesario saber dnde estn las localizaciones

de las fronteras entre usuarios del canal, para encaminar la informacin apropiadamente.

Similar a la sincronizacin de smbolo, la sincronizacin de trama es equivalente a ser capaz de

generar una onda cuadrada a la rata de trama, con los cruces por cero coincidentes con las

transiciones de una trama a la siguiente.

La mayora de los sistemas de comunicacin digitales que usan modulacin coherente requieren

todos los tres niveles de sincronizacin: fase, smbolo y trama. Los sistemas que usan tcnicas

de modulacin no coherente requerirn tpicamente sincronizacin de smbolo y trama, pero

debido a que la modulacin no es coherente, no se requiere enganche preciso de fase. En vez

de esto, los sistemas no coherentes requieren sincronizacin de frecuencia. La sincronizacin de

frecuencia difiere de la sincronizacin de fase en que a la rplica de la portadora que es generada

por el receptor se le permite tener un offset constante y arbitrario de fase de la portadora

recibida. Los diseos del receptor pueden ser simplificados removiendo el requerimiento de

determinar el valor exacto de la fase de la portadora entrante. Desafortunadamente, como se

muestra en la discusin de las tcnicas de modulacin, esta simplificacin lleva una penalizacin

en trminos de degradacin del desempeo versus la relacin seal a ruido. Los compromisos

relativos entre niveles de sincronizacin versus desempeo y versatilidad del sistema son

discutidos posteriormente en la prxima seccin.

Toda la discusin hasta aqu ha estado orientada hacia el extremo receptor de un enlace de

comunicaciones. Hay casos, sin embargo, donde el transmisor asume el papel ms activo en la

sincronizacin- variando la temporizacin y la frecuencia de sus transmisiones para

corresponder a las expectativas del receptor. Un ejemplo de esta situacin es una red de

comunicaciones satelitales, donde muchas terminales terrestres estn radiando seales hacia

un solo receptor en el satlite. En la mayora de los casos el transmisor confa en una trayectoria

de retorno desde el receptor para determinar la precisin de su sincronizacin. As, la

sincronizacin del transmisor a menudo implica comunicacin de dos vas o una red para ser

exitosa. As, la sincronizacin del transmisor es a menudo llamada sincronizacin de red. La

sincronizacin del transmisor o de la red es discutida posteriormente en este captulo.

10.1.2. Costos versus beneficios

Hay un costo asociado con la necesidad de sincronizacin del receptor. Cada nivel adicional de sincronizacin implica ms costo. El costo ms obvio est en la necesidad de hardware adicional o software en el receptor para la adquisicin y el rastreo (tracking). Posiblemente un costo menos obvio yace en el tiempo extra requerido para alcanzar la sincronizacin antes de

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comenzar la comunicacin, o en la energa gastada por el transmisor en las seales a ser usadas en el receptor como ayudas en la adquisicin y el seguimiento. De cara a estos costos al sistema, uno debera preguntarse porque un diseador de un sistema de comunicaciones debera considerar un diseo de un sistema que requiera un alto grado de sincronizacin. La respuesta: desempeo mejorado y versatilidad.

Considere un radio AM anlogo comercial estndar. Este radio puede considerarse parte de un

sistema de comunicacin radiado que envuelve un transmisor central y muchos receptores. Este

sistema de comunicaciones no envuelve sincronizacin. Sin embargo, la banda de paso del

receptor debe ser lo suficientemente amplia para acomodar no solamente la seal que porta la

informacin, sino tambin cualquier fluctuacin en la portadora, debido quiz al corrimiento

Doppler1 o deriva en la referencia de frecuencia del transmisor. Este requerimiento en la banda

pasante significa que pasa energa adicional de ruido al detector, por encima de la cantidad que

se requiere tericamente por el ancho de banda de la informacin. Un receptor ms complicado

de alguna forma que emplea un lazo de rastreo de frecuencia de portadora debera ser capaz de

mantener un filtro pasa banda estrecho centrado alrededor de la portadora, reduciendo

sustancialmente de ese modo la energa de ruido detectada y mejorando la relacin seal a

ruido recibida. As, aunque un radio estndar puede ser perfectamente adecuado para

recepcin de seales de grandes transmisores a distancias de unas pocas decenas de kilmetros,

puede probar ser totalmente inadecuado bajo condiciones menos benignas.

Para comunicaciones digitales, ejemplos de compromisos entre el desempeo y complejidad del

receptor se pueden ver a menudo en la escogencia de la modulacin. Entre estas los receptores

digitales ms simples son aquellos diseados para ser usados con FSK binaria detectada no

coherentemente. Los nicos requisitos de sincronizacin son la temporizacin de bit y el

seguimiento de frecuencia. Sin embargo, la misma probabilidad de error de bit podra alcanzarse

con aproximadamente 4 dB menos en la relacin seal a ruido si la modulacin es BPSK

coherente. La desventaja de BPSK es que el receptor requiere rastreo preciso de la fase, la cual

puede presentar un problema complejo de diseo si las seales experimentan ratas altas de

Doppler2 o desvanecimiento (ver captulo 15).

Un tercer compromiso entre costo vs desempeo envuelve el uso de codificacin con control de

errores. Como se estableci en captulos previos, hay ventajas sustanciales en el desempeo con

el uso de tcnicas de codificacin con control de errores apropiadas. El costo, sin embargo,

medido en la complejidad del receptor, puede ser alto. Para que un decodificador de bloque

opere apropiadamente requiere que el receptor logre sincronismo de bloque, mensaje o trama.

Este es un procedimiento que pone altibajos al procedimiento de decodificacin usual, aunque

1 Un offset en frecuencia como lo percibe el receptor, de la frecuencia nominalmente transmitida causada por el movimiento relativo entre el transmisor y el receptor. Ignorando efectos de segundo y ms alto orden el valor del

offset de frecuencia , esta dado por 0/, donde es la velocidad relativa (positiva cuando la distancia relativa

entre el transmisor y el receptor est siendo reducida). 0 La frecuencia nominal y la velocidad de la luz.

2 La rata de cambio del desplazamiento Doppler. Esta rata pone los requisitos en la habilidad de enganche (tracking)

del lazo de rastreo de fase.

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algunos cdigos correctores de error han sido diseados con ayudas de sincronizacin de bloque

construidas internamente (1). Los cdigos convolucionales tambin requieren algn grado de

sincronismo adicional para proveer un desempeo ptimo. Aunque el anlisis de desempeo de

cdigos convolucionales a menudo hace la suposicin de que la secuencia de datos de entrada

es infinitamente larga, en la prctica no lo es. Para proveer la mnima probabilidad de error, el

decodificador debe saber el estado de inicio (beginning state) (usualmente todos ceros) cuando

la secuencia comenzar, el estado final eventual, y cuando es alcanzado el estado final. Saber

cundo el estado de inicio fue abandonado y cuando el estado final es alcanzado, sin embargo,

es equivalente a tener sincronizacin de trama. Adicionalmente, el decodificador debe saber

cmo agrupar los smbolos de canal para hacer decisiones de rama (branch decisions). Esto

tambin es un requerimiento de sincronizacin.

Los compromisos discutidos hasta aqu han estado en trminos de desempeo vs complejidad

de enlaces individuales y receptores. La habilidad para sincronizar tiene una consecuencia

potencial grande en trminos de eficiencia del sistema y tambin de versatilidad. La

sincronizacin de trama permite el uso de tcnicas de acceso mltiple avanzadas y verstiles ,

tales como la variedad de esquemas de acceso mltiple por asignacin de demanda (DAMA), las

cuales han llegado a ser cada vez ms populares a medida que los recursos del canal de

comunicaciones llegan a ser cada vez ms escasos. En adicin, el uso de tcnicas de espectro

disperso -para esquemas de acceso mltiple y para rechazo de interferencia- requieren un nivel

alto de sincronizacin de sistema. Estas tcnicas proveen el potencial para muchsima

versatilidad del sistema, lo cual es una caracterstica valiosa si el sistema encuentra condiciones

cambiantes o inestables, tales como los efectos de interferencia intencional o no intencional

desde fuentes externas.

10.1.3. Aproximacin y suposiciones

Este captulo nico no intentar el tratamiento de un texto de longitud completa. La meta es

proveer aqu un entendimiento intuitivo amplio de los asuntos, ms bien que el intento de

describir un catlogo de mtodos de diseo de sincronizadores. As, seguiremos generalmente

un desarrollo anlogo tradicional sabiendo que estos principios aplican igualmente bien a

sistemas de datos muestreados, aun si la implementacin de los sincronizadores difiere. Los

lazos de enganche de fase estn disponibles comercialmente como chips de un nmero

relativamente pequeo de compuertas, o como una parte de un dispositivo ms grande de

procesamiento de la seal. Se asume que el lector interesado en implementaciones de diseo

modernas ser capaz de hacer la transicin razonablemente directa desde los principios

presentados aqu a las representaciones de datos muestreados bsicos.

10.2. Sincronizacin del receptor

Todos los sistemas de comunicacin digitales requieren algn grado de sincronizacin con las

seales de entrada en los receptores. En esta seccin se discuten los fundamentos de varios

niveles de sincronizacin del receptor. La discusin comienza con los niveles bsicos de

sincronizacin requeridos para recepcin coherente - sincronizacin de frecuencia y fase- y una

discusin breve de los principios de diseo y operacin del lazo de enganche de fase (PLL). La

discusin entonces se ampla al tpico de sincronizacin de smbolo. Se requiere algn grado de

sincronizacin de smbolo para todos los receptores en las comunicaciones digitales, sean

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coherentes o no coherentes. Los tpicos finales en la seccin son la sincronizacin de trama del

receptor y las tcnicas para alcanzarla y mantenerla.

10.2.1. Sincronizacin de frecuencia y fase

En el corazn de casi todos los circuitos de sincronizacin esta alguna versin de lazo de

enganche de fase (PLL). En los receptores digitales modernos este lazo puede ser difcil de

reconocer, pero el equivalente funcional est siempre presente. Un diagrama esquemtico del

PLL bsico est dado en la ilustracin 1. Los lazos de enganche de fase son lazos de servo control

cuyo parmetro controlado es la fase de una rplica generada localmente de la seal portadora

de entrada. Los lazos de enganche de fase tiene tres componentes bsicas: un detector de fase,

un filtro de lazo y un oscilador controlado de voltaje (VCO).

El detector de fase es un dispositivo que produce una medida de la diferencia de fase entre

la seal de entrada y la rplica local. A medida que la seal de entrada y la rplica local

cambian una con respecto a la otra, la diferencia de fase(o error de fase) llega a ser una

seal variante en el tiempo en el filtro de fase.

El filtro de lazo gobierna la respuesta del PLL a estas variaciones en la seal error. Un lazo

bien diseado debera ser capaz de encarrilar cambios en la fase de la seal de entrada pero

no ser demasiado sensible al ruido del receptor.

El VCO es el dispositivo que produce una rplica de la portadora. El VCO, como su nombre

lo indica, es un oscilador sinusoidal cuya frecuencia es controlada por un nivel de voltaje en

la entrada del dispositivo.

En la ilustracin 1 el detector de fase se muestra como un multiplicador, el filtro de lazo es

descrito por su funcin respuesta al impulso (), con transformada de Fourier (), y el VCO

es as indicado.

Ilustracin 1: Diagrama esquemtico de un PLL

Un VCO es un oscilador cuya frecuencia de salida es una funcin lineal de su voltaje de entrada

sobre algn rango de entrada y de salida. Un voltaje de entrada positivo causar que la

frecuencia de salida del VCO sea ms grande que su valor no controlado, 0, mientras que un

voltaje negativo causar que esta sea menor. El enganche de fase se alcanza al alimentar con

una versin filtrada de la diferencia de fase (o sea el error de fase) entre la seal entrante ()

y la seal de salida del VCO, (), realimentada a la entrada del VCO, ().

6

En el caso de receptores digitales modernos, el detector de error puede ser

matemticamente mucho ms complicado que un multiplicador simple como el mostrado

en la ilustracin 1. Por ejemplo, el detector de error puede ser un conjunto de correladores

de filtro acoplado, cada uno acoplado a un offset de fase ligeramente diferente alimentando

una funcin de ponderacin o decisin. La salida de la funcin de ponderacin debera ser

un estimado del error de fase. Tal funcin podra ser matemticamente muy compleja, pero

sera fcilmente aproximada usando una tecnologa digital moderna.

El VCO puede no ser un oscilador sinusoidal, sino que puede estar implementado como una

memoria de solo lectura cuyos apuntadores son controlados por una combinacin de reloj

y la salida del estimador de error.

La realimentacin puede no ser continua (como se muestra en la ilustracin 1), sino que las

correcciones de fase pueden ser solamente aplicadas una vez por trama, o una vez por

paquete, dependiendo de la estructura de la seal. Un encabezado (header) especial o una

secuencia conocida de smbolos puede ser insertada en la tira de informacin para el

propsito expresado de ayudar en el proceso de estimacin. No obstante estas diferencias,

los principios bsicos son aun iluminados por el modelo simple de la ilustracin 1.

Considere una seal de entrada normalizada de la forma

() = (0 + ()) (10.1)

Donde 0 es la frecuencia nominal de la portadora y () es una fase que vara lentamente.

Similarmente, considere una salida normalizada del VCO de la forma

() = 2 (0 + ()) (10.2)

Estas seales producirn una seal de error a la salida del detector de fase de la forma

() = 2 (0 + ()) (0 + ())

= (() ()) + (20 + () + ()) (10.3)

Asumiendo que el filtro de lazo es un pasa bajos, el segundo trmino del lado derecho de la

ecuacin (10.3) ser filtrada y puede ser ignorada. Esta suposicin pasa bajas es una decisin de

diseo de lazo razonable. Un filtro pasa bajas provee una seal de error que es solamente un

funcin de la diferencia en fase entre la entrada [ecuacin (10.1)] y la salida del VCO [ecuacin

(10.2)]. Esta es exactamente la seal de error que se necesita.

La frecuencia de salida del VCO es la derivada en el tiempo del argumento de la funcin seno

en la ecuacin (10.2). Si hacemos la suposicin de que 0 es la frecuencia no controlada del VCO

(la frecuencia de salida cuando el voltaje de entrada el voltaje de entrada es cero), podemos

expresar la diferencia en la frecuencia de salida del VCO desde 0 como el diferencial en tiempo

del termino de fase (). La frecuencia de salida del VCO es una funcin lineal del voltaje de

entrada. Por lo tanto, debido a que un voltaje de entrada cero produce una frecuencia de salida

0 , la diferencia en la frecuencia de salida con 0 ser proporcional al valor del voltaje de

entrada () , o

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() =[ ()]

= 0 ()

= 0() () (10.4)

0[() ()] ()

Donde () denota la diferencia de frecuencia, la notacin indica la operacin de

convolucin, y la aproximacin de ngulo pequeo [o sea, () = [() ()]

[() ()] ha sido usada en la ltima lnea de la ecuacin (10.4). La aproximacin de ngulo

pequeo ser precisa cuando el error de fase de salida es pequeo (el lazo est cerca del

enganche de fase). Esta ser la situacin cuando el lazo est operando normalmente. El factor

0 es la ganancia del VCO (Hz/V), y () es la respuesta al impulso del filtro de lazo. Esta

ecuacin diferencial lineal en () (utilizando la aproximacin de ngulo pequeo) se conoce

como la ecuacin de lazo linealizada. Es la nica relacin til para determinar el comportamiento

durante la operacin normal (donde el error de fase es pequeo).

Ejemplo 1: Ecuacin de lazo linealizado

Muestre que para un valor de 0 y () escogidos apropiadamente la ecuacin linealizada

(10.4) demuestra una tendencia hacia enganche de fase- o sea, la diferencia de fase entre la

seal de entrada y la salida del VCO tiende a decrecer.

Solucin:

Considere el caso donde la fase de la seal de entrada, (), varia lentamente con el tiempo. Se

puede ver que si la diferencia de fase en el lado derecho de la ecuacin (10 4) es positiva (o

sea que () > ()), entonces con una escogencia apropiada de 0 y (), la derivada

temporal de () ser positiva, tal que () crecer con el tiempo, lo que tender a reducir la

magnitud de la diferencia () (). Por otra parte, si la diferencia de fase es negativa, ()

decrecer con el tiempo, lo que tambin reducir la magnitud de la diferencia de fase.

Finalmente, si () = (), entonces la ecuacin (10-4) indica que () no cambiar con el

tiempo y se mantendr la igualdad.

Considere la transformada de Fourier de la ecuacin (10.4),

() = 0[() ()]() (10.5)

Donde las funciones en mayscula de son las transformadas de Fourier de las funciones de

en minscula en la ecuacin (10.4) o sea, () (), () (), () ().

Reorganizar la ecuacin (10.5) provee

()

()=

0()

+0()= () (10.6)

El trmino () se conoce como la funcin de transferencia de lazo cerrado del PLL. Este

trmino es muy til en la caracterizacin de la respuesta transiente de un PLL. El orden de un

PLL est definido como el orden del trmino ms alto en del denominador de (). La

ecuacin (10.6) indica que este es siempre uno ms que el orden del filtro de lazo () . Esto

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se debe a que cuando () se expresa analticamente como () = ()/(), El

denominador de () expresado como un polinomio de tendr el trmino (), el cual

es de un orden ms alto que el trmino de ms alto orden en () solo. El orden de un PLL es

crtico para determinar la respuesta en estado estable a una entrada de estado estable. Esto

ser discutido en la prxima seccin.

10.2.1.1. Caractersticas de encarrilamiento (tracking) de estado estable

Reorganizando la ecuacin (10.6) podemos obtener una expresin de la transformada de Fourier

del error de fase

() = {()}

= () () = [1 ()]()

=()

+ 0()

(10.7)

La ecuacin (10.7) puede usarse conjuntamente con el teorema del valor final de la

transformada de Fourier para determinar la respuesta del error en estado estable de un lazo a

una variedad de posibles entradas caractersticas. El error en estado estable es el error residual

despus que todos los transitorios han muerto, y provee una medida de la habilidad del lazo

para enfrentar varios tipos de cambios en la entrada. El teorema del valor final establece que

lim

() = lim0

() (10.8)

Combinar las ecuaciones (10.7) y (10.8) produce

lim

() = lim0

()2()

+ 0() (10.9)

Ejemplo 2: Respuesta a un escaln de fase

Considere una respuesta en estado estable del lazo a un escaln de fase a la entrada.

Solucin:

Asumiendo que el PLL estaba originalmente enganchado en fase, un escaln de fase lanza al lazo

fuera del enganche. Habiendo cambiado abruptamente, sin embargo, la fase de entrada vuelve

otra vez al estado estable. Este sera el tipo ms fcil de perturbacin con el que tendra que

tratar un PLL. La transformada de Fourier de un escaln de fase ser

() = {()}

=

(10.10)

Donde es la magnitud del escaln y () es el escaln unitario

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() = {1 > 00 < 0

= ()

En el cual () es la funcin delta de Dirac. De las ecuaciones (10-9) y (10-10)

lim

() = lim0

+ 0()= 0

Asumiendo que (0) 0. Por lo tanto el lazo enganchar eventualmente cualquier escaln de fase que aparezca en la entrada si el filtro de lazo tiene una respuesta DC diferente de cero. Esto

significa que para cualquier filtro de lazo con la propiedad de que () = ()

() y (0)

0, el PLL tender automaticamente a recuperar el enganche de fase si se desplaza la fase de entrada en una cantidad constante. Esto es claramente una caracterstica muy deseable del lazo.

A continuacin se simula en Simulink un sistema basado en PLL con una entrada PSK.

Ilustracin 2: Esquema para la simulacin de la respuesta a un escaln de fase del PLL usando simulink.

El VCO tiene las siguientes caractersticas:

Ilustracin 3: Parmetros del VCO usado en el lazo de realimentacin del PLL

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El filtro de lazo se simul con las siguientes caractersticas:

Ilustracin 4: Parmetros del filtro de lazo usado en el lazo de realimentacin del PLL

Los resultados obtenidos en la simulacin se muestran a continuacin, en donde la primera

figura es el tren de datos de entrada, la segunda corresponde a la seal modulada (amarilla) y a

la seal de salida del VCO (roja), la tercera seal corresponde a la seal modulada con ruido, la

cuarta seal es la seal de salida del detector de fase, la quinta seal corresponde a la seal de

control del VCO obtenida a la salida del filtro de lazo y por ltimo se muestra la misma seal

pasada por un filtro pasa bajos.

Ilustracin 5: Resultados de la simulacin del comportamiento de un PLL ante cambios bruscos de fase.

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La figura siguiente muestra los resultados previos pero en un periodo de tiempo ms pequeo

para mostrar como efectivamente la fase relativa entre la seal de entrada y la seal del VCO se

mantiene constante a pesar de los cambios bruscos de fase a la entrada.

Ilustracin 6: Resultados de la simulacin del comportamiento de un PLL ante cambios bruscos de fase.

Ejemplo 10.3 Respuesta a un escaln de frecuencia

Considere la respuesta en estado estable a un escaln de frecuencia en la entrada.

Solucin

Un escaln de frecuencia puede aproximar el efecto de un desplazamiento Doppler en la

frecuencia de la seal entrante debida al movimiento entre el transmisor y el receptor. As, este

es un ejemplo importante para sistemas con terminales mviles, Debido a que la fase es la

integral de la frecuencia, la fase de entrada cambiar linealmente como una funcin del tiempo

para un offset constante de la frecuencia de entrada. La transformada de Fourier de la

caracterstica de fase ser la transformada de la integral de la caracterstica en frecuencia.

Debido a que la caracterstica en frecuencia es un escaln, y la transformada de una integral es

la transformada del integrando dividido por el parmetro , se sigue que

() = { ()

}

=

()2

(10.11)

12

Donde es la magnitud del escaln de frecuencia. Sustituyendo la ecuacin (10-11) en la

ecuacin (10-9) se tiene

lim

() = lim0

+ 0()=

0(0) (10.12)

El resultado de estado estable en este caso depende de ms propiedades del filtro de lazo que

meramente de la respuesta DC diferente de cero. Si el filtro es pasa-todo, entonces

() = 1 (10.13)

Si es un filtro pasa bajas, entonces

() =

+ (10.14)

O si es un filtro de atraso-adelanto, entonces

() = (2

) + 2 +

(10.15)

La ecuacin (10-12) indica que el lazo enganchar la rampa de fase de entrada con un error de

estado estable constante cuyo valor depender del termino de ganancia 0 y la magnitud del

escaln de frecuencia. Usando cualquiera de los filtros anteriores en la ecuacin (10-12) da

lim

() =

0

Observe que un producto de varios filtros con las caractersticas dadas por las ecuaciones (10-

13) a (10-15) aun producirn este resultado. Este error en estado estable, llamado error de

velocidad, existir a pesar del orden del filtro, a menos que el denominador de (), contenga

como factor [ = 0 en el denominador de la ecuacin (10-14) o (10-15) con la re

normalizacin apropiada en los numeradores]. Tener como factor de () es equivalente a

tener un integrador perfecto en el filtro de lazo. No es posible construir un integrador perfecto,

pero uno puede aproximarlo digitalmente o usando circuitos integrado activos. As si el diseo

del sistema requiere el enganche del desplazamiento Doppler con un error de estado estable

cero el filtro de lazo debe contener una aproximacin a un integrador perfecto. Debe observarse

que aun con un error de velocidad diferente de cero, la frecuencia an sigue enganchada: hay

aplicaciones importantes donde enganchar con error de fase cero no es importante. La

sealizacin no coherente, tal como el uso de modulacin FSK estndar es un ejemplo. Para la

sealizacin no coherente realmente lo que se requiere es el enganche en frecuencia y el valor

absoluto de la fase no es importante.

El siguiente esquema simula la modulacin de un PLL trabajando con una entrada con

modulacin FSK.

13

Ilustracin 7: Esquema usado para simular la respuesta de un PLL ante cambios bruscos de frecuencia.

El VCO de la entrada tiene los siguientes parmetros:

Ilustracin 8: Parmetros del VCO usado para generar la seal FSK de entrada al PLL

La modulacin resultante produce una frecuencia de corrida libre de 1500 Hz cuando la entrada

es un cero y 2500 Hz cuando la entrada es un uno como se aprecia en las siguientes graficas:

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Ilustracin 9: Resultados de la simulacin del PLL ante cambios bruscos de frecuencia a su entrada.

La siguiente grafica muestra ms en detalle la respuesta del PLL cuando hay un cambio brusco

en la frecuencia de entrada. Se observa que el VCO sigue bien el cambio de frecuencia aunque

la fase relativa entre las dos seales cambia. Tambin se observa que la seal de control del VCO

se puede utilizar para recuperar los datos de entrada.

Ilustracin 10: Resultados de la simulacin del comportamiento del PLL ante cambios bruscos de frecuencia.

15

Ejemplo 4: Respuesta a una rampa de frecuencia:

Considere la respuesta en estado estable del lazo cuando la frecuencia de entrada est

cambiando linealmente con el tiempo (una funcin rampa de frecuencia).

Solucin:

Este ejemplo corresponde al efecto de un cambio en escaln en la derivada temporal de la

frecuencia de entrada. Esto aproximara un cambio en la rata Doppler, la cual podra modelar la

aceleracin en el movimiento entre un satlite o un avin y un receptor en tierra. En este caso,

la transformada de Fourier en la caracterstica de fase est dada por

() =

()3

(10.16)

Donde es la magnitud de la rata de cambio de frecuencia. En este caso la ecuacin (10-9) da

lim

() = lim0

+ 0()= lim

0

0(0) (10.17)

Si el lazo tiene un error de velocidad no cero- o sea, si el lado derecho de la ecuacin (10-

12) no es igual a cero- la ecuacin (10-17) muestra que el error de estado estable de fase no

est limitado debido a una rampa de frecuencia. Esto dice que un PLL con filtros de lazo

dados por cualquiera de las ecuaciones (10-13) a (10-15) no ser capaz de enganchar una

rampa de frecuencia.

Para enganchar una rampa de frecuencia, el denominador de la transformada del filtro de

lazo () debe tener un factor . De la ecuacin (10-17) se puede ver que un filtro de lazo

con una funcin de transferencia del tipo () = ()

() le permitir al lazo

enganchar una rampa de frecuencia con un error de fase constante. Esto implica que

enganchar una seal con un desplazamiento Doppler cambiante linealmente (aceleracin

relativa constante), el receptor debe tener un PLL de segundo orden o mayor.

Para enganchar una rampa de frecuencia con error de fase cero, el filtro de lazo debe cumplir con el requisito de tener una funcin de transferencia con ()2 como factor de su

denominador, () = ()

()22() . Esto implica un PLL de tercer orden o superior.

As un avin de alto desempeo que necesita enganchar la fase de manera precisa a travs

de maniobras violentas puede requerir PLL de tercer o ms alto orden.

En todos los casos, el enganche de frecuencia se puede alcanzar con un lazo que tenga un

orden inferior en uno al requerido para el enganche de fase. El anlisis de error de estado

estable es entonces un indicador til de la complejidad requerida de los filtros de lazo.

En la prctica, la vasta mayora de diseos de PLL son de segundo orden. Esto es debido a

que un lazo de segundo orden puede ser hecho para ser incondicionalmente estable [5]. Los

lazos Incondicionalmente estables siempre tratarn de enganchar la entrada. Ningn

conjunto de caractersticas de entrada- sin importar que tan extremas sean- causaran que

el lazo responda en la direccin inapropiada a cambios en la entrada. Los lazos de segundo

orden engancharn el efecto de un paso en frecuencia (desplazamiento Doppler), y son

relativamente fciles de analizar, dado que los resultados de forma cerrada obtenidos para

16

lazos de primer orden son una buena aproximacin para el desempeo de los lazos de

segundo orden.

Los lazos de tercer orden son usados para algunas aplicaciones especiales (por ejemplo

algunos receptores de navegacin en sistemas de posicionamiento global (GPS) y algunos

receptores de aviones], pero su desempeo es relativamente difcil de determinar, y tanto

estos como los de orden superior son condicionalmente estables solamente.

A menudo si la dinmica de la seal se espera que sea tal que se requieran los lazos de alto

orden se usa demodulacin no coherente en vez de demodulacin coherente.

El siguiente esquema simula el comportamiento del PLL en presencia de una seal chirp y ruido.

Ilustracin 11: Esquema usado para la simulacin del comportamiento del PLL ante una rampa de frecuencia de entrada.

La seal chirp se program de tal manera que incremente su frecuencia entre 0 Hz y 3500 Hz de

manera lineal en un tiempo de 0.03 segundos.

Ilustracin 12: Parmetros del generador de la seal chirp de entrada al PLL

17

Los resultados obtenidos en la simulacin se muestran abajo. Se observa que el PLL se engancha

con la seal de entrada a partir de una frecuencia aproximada de 1 = 0.005 3500

0.03= 583

y se desengancha en una frecuencia aproximada de 2 = 0.0235 3500

0.03= 2741 .

Ilustracin 13: resultados de la simulacin del comportamiento del PLL ante cambios en rampa de la seal de entrada

Se repiti la simulacin programando la seal chirp para que cambiara su frecuencia de

manera lineal pero decreciendo de 3500 Hz a 0 Hz en el mismo intervalo de tiempo.

Ilustracin 14: Parmetros del generador de la seal chirp de entrada al PLL

18

Los resultados obtenidos se muestran abajo. Se observa que en este caso el PLL se engancha

en una frecuencia aproximada de 3 = 3500 0.011 3500

0.03= 2217 y se desengancha

en una frecuencia aproximada a 4 = 3500 0.027 3500

0.03= 350 .

De estos resultados se concluye que el rango de captura de este PLL es

= 2217 583 = 1634

Y que el rango de enganche es

= 2741 350 = 2391

Ilustracin 15: resultados de la simulacin del comportamiento del PLL ante cambios en rampa de la seal de entrada

10.2.1.2. Desempeo en ruido

El anlisis de estado estable de la seccin precedente asumi tcitamente que la seal de

entrada estaba libre de ruido. En algunas situaciones esto puede ser aproximadamente correcto,

pero como en otras partes del anlisis de las comunicaciones, el caso ms general sera incluir

los efectos de ruido.

Reconsidere la seal de entrada normalizada de lazo de la ecuacin (10.1) y la ilustracin 1. Con

la inclusin de ruido gaussiano aditivo normalizado de banda estrecha (), la expresin de la

entrada se convierte en

() = (0 + ) + () (10.18)

19

Donde, por el momento, consideramos el offset de fase de entrada, como una constante. El

proceso de ruido (), asumido como un proceso Gaussiano de banda estrecha y de media cero,

puede expandirse en componentes en cuadratura alrededor de la frecuencia de la portadora

como [6]

() = ()(0) + ()(0) (10.19)

Donde tanto () como () son procesos gaussianos de media cero y son estadsticamente

independientes. Ahora la salida del detector de fase puede escribirse como [ver ecuacin (10.3)]

() = ()()

= ( ) + ()() + ()() + ( 0 )(10.20)

Como antes, el filtro de lazo elimina los trminos del doble de la frecuencia de la portadora.

Denotando el segundo y el tercer trmino de la ecuacin (10.20) como

() = ()() + ()() (10.21)

Se puede verificar que la varianza de () es idntica a la varianza de (). Esta varianza ser

denotada por 2.

Considere la funcin de auto correlacin de ()

(1, 2) = {(1)

(2)}

= {(1)(2)}2() + {(1)(2)}

2()

+[{(1)(2)} + {(1)(2)}] sin() ()

(10.22)

Donde {} denota el valor esperado. Los trminos cruzados del lado derecho de la ecuacin

(10.22) son iguales a cero porque y son mutuamente independientes y tienen media cero

[6]. Con la suposicin de estacionaridad en sentido amplio [7], tenemos

() = ()2() + ()

2() (10.23)

Donde = 1 2. Tomando la transformada de Fourier, la densidad espectral de potencia de

() resulta ser

() = [()]

= ()2() + ()

2()(10.24)

Donde y son las transformadas de Fourier de y , respectivamente. Pero de la

ecuacin (10.19), se puede ver que el espectros y son hechos de versiones desplazadas

del espectro del proceso original de ruido (). Luego, debido a nuestra construccin [8],

() = () = ( 0) + ( + 0)

Donde () es la densidad espectral del proceso original pasa banda de ruido (). La

ecuacin (10.24) puede rescribirse como

() = ( 0) + ( + 0) (10.25)

20

Para el caso especial de ruido blanco, tenemos que () = 0/2 Watt/Hz, donde 0 es la

densidad espectral unilateral de ruido blanco. Asi, de la ecuacion (10.25), para este caso especial

importante,

() = 0 (10.26)

El valor en este desarrollo es que para las mismas aproximaciones de ngulo pequeo que se

hicieron en la seccin precedente, la densidad espectral de la fase del VCO, , esta relacionada

a la densidad espectral del proceso de ruido a travs de la funcin de transferencia de lazo

[ecuacin (10.6)]. O sea

() = ()|()|2 (10.27)

Donde () es como se da en la ecuacin (10.25) y () como se defini en la ecuacin (10.6).

La varianza de la fase de salida es entonces

2 =

1

2 ()|()|2

(10.28)

Para el caso especial de ruido blanco

2 =

02

|()|2

(10.29)

La integral de la ecuacin (10.29) (Re normalizada a la frecuencia natural) es llamada el ancho

de banda bilateral de lazo . El ancho de banda unilateral de lazo se llama . Las definiciones

de este trmino son

= 2 =1

2 |()|2

(10.30)

As, si el proceso de ruido es blanco y se mantiene la aproximacin de ngulo pequeo (en otras

palabras, el lazo est enganchando la fase de entrada exitosamente), la varianza de fase est

dada por

2 = 20 (10.31)

La varianza de fase es una medida de la cantidad de nerviosismo (jitter) o de temblor (wobble)

en la salida del VCO debida a ruido en la entrada. Las ecuaciones (10.31) y (10.7) resaltan uno

de los muchos compromisos en la teora de la comunicacin. Claramente, uno deseara que

2

fuera pequea, lo cual para un nivel dado de ruido implica un ancho de banda pequeo, , el

cual de la ecuacin (10.30) implica un () estrecho.

() = {()}

= () () = [1 ()]()

=()

+ 0()

(10.7)

21

Sin embargo, se puede inferir de la ecuacin (10.7) que mientras ms estrecho sea el ancho de

banda efectivo de () , ms pobre ser la habilidad del lazo para enganchar los cambios de

fase de la seal de entrada (). As un diseo de lazo debe balancear la respuesta al ruido con

la respuesta deseada a la fase de entrada. El dilema del diseador es disear un lazo que

responda apropiadamente a los cambios de la seal de entrada, mientras no sea demasiado

responsivo a los cambios aparentes, los cuales son realmente solo artefactos del proceso de

ruido.

10.2.1.3. Anlisis de lazo no lineal

Toda la discusin en las secciones previas han utilizado lo que se llama el modelo linealizado del

PLL. Este modelo es mostrado esquemticamente en la ilustracin 2.

Ilustracin 16: Diagrama esquemtico de un PLL linealizado.

El modelo hace uso de la aproximacin de ngulo pequeo

( ) ( ) (10.32)

El cual es preciso cuando el lazo esta enganchado y desempendose como se desea (o sea

con pequeos errores de fase). Claramente, estas condiciones forman solamente parte del

cuadro. Un anlisis completo del desempeo del PLL debe permitir los tiempos cuando la

ecuacin (10.32) no es precisa. Cuando la aproximacin de ngulo pequeo no es precisa, un

modelo apropiado es el mostrado esquemticamente en la ilustracin 17.

Ilustracin 17: Modelo esquemtico de un PLL no lineal

De las ecuaciones (10.4), (10.20), y (10.21) y la ilustracin 17, el modelo puede describirse por

la ecuacin diferencial

22

[]

= 0()[() ()] + 0()

() (10.33)

Donde, como antes, denota la operacin de convolucin. A pesar de los mejores esfuerzos de

muchos investigadores, esta ecuacin diferencial ha resistido una solucin general por muchos

aos. Sin embargo, Viterbi [8] deriv una solucin de forma cerrada para un caso especial

importante.

Considere el caso donde (), la fase de entrada como una funcin del tiempo, es una constante

. Podemos ahora definir una nueva variable de fase

() = [() ()] 2 (10.34)

Debido a que es una constante, la ecuacin (10.33) se puede re escribir como

[()]

= 0()(()) + 0()

() (10.35)

Desde que, de la ecuacin (10.35), () es una funcin del proceso aleatorio (), () en s

misma es un proceso aleatorio. Debido a que () est definido en modulo 2, se puede

mostrar [5] que () es estacionaria en el lmite cuando todos los efectos transitorios han

muerto (o sea, es una constante). Viterbi [8] determino que para un PLL de primer orden (o

sea que el filtro de lazo es un cortocircuito, o equivalentemente () = ()), la funcin

densidad de probabilidad de es de la forma

() =

20() || (10.36)

Donde = 1/(2) [ver ecuacin (10.31)] es la razn seal a ruido de lazo normalizada (a energa

de seal unitaria), y 0() es la funcin modificada de Bessel de orden cero de primera clase,

evaluada en . La varianza de fase, modulo 2 , puede calcularse usando la ecuacin (10.36). El

valor resultante de la varianza de fase es exacto para lazos de primer orden, y es una

aproximacin extremadamente til para el comportamiento de muchos lazos de segundo orden

[5]. Se puede mostrar tambin que es una forma exacta de lazos de ms alto orden bajo una

definicin modificada de [9].

El cambio de variable desde una fase que puede tomar cualquier valor real a una fase que es

modulo 2 resulta en el concepto de deslizamientos de ciclo de lazo. Un deslizamiento de ciclo

ocurre cuando la magnitud del error de fase original, [ ()], excede 2 radianes. Esto

causara que el valor de [ecuacin (10.34)] cambie abruptamente desde cerca de 2 a cerca

de cero. Este evento puede ser pensado como una perdida momentnea de enganche con una

readquisicin casi inmediata. La estadstica de deslizamiento de ciclos puede ser tan importante

indicador del desempeo del PLL como la varianza de fase- especialmente a razones seal a

ruido de lazo bajas, cuando los deslizamiento de ciclos pueden ocurrir frecuentemente.

Al manipular sus resultados de distribucin de fase, Viterbi [8] deriv una expresin para el

tiempo promedio al primer deslizamiento de ciclo, , comenzando en algn tiempo de

referencia arbitrario:

23

=20

2()

2 (10.37)

Para grandes, esta expresin se puede aproximar por

(2)

4 (10.38)

Como ocurri con la funcin densidad de probabilidad de la ecuacin (10.36), estos resultados

fueron derivados para lazos de primer orden, pero son aproximaciones tiles para el

comportamiento de lazos de segundo orden, y proveen un lmite superior para el desempeo

de lazos de segundo orden en razones seal a ruido de lazo medias y grandes. Adicionalmente,

las simulaciones de computador y medidas de laboratorio [5] indican que el tiempo entre

deslizamientos de ciclo esta exponencialmente distribuido:

() = 1

(10.39)

Esto para decir que la probabilidad que un lazo se deslizara en un ciclo dentro del tiempo ,

arrancando desde un error de fase cero, est dado por la ecuacin (10.39)

10.2.1.4. Lazos de portadora suprimida

La discusin del PLL hasta este punto ha presumido que la portadora de entrada es una sinusoide

bastante estable con alguna energa promedio positiva conocida. En el caso de sistemas de

comunicacin moduladas en fase, si la variacin de fase de la portadora debida a la modulacin

es menor que /2 radianes, habr energa positiva en la frecuencia de la portadora. Este se

llama un diseo de sistema que tiene una componente de portadora residual, y toda la discusin

de un desarrollo de PLL hasta este punto aplicara directamente a esta componente residual. Un

diagrama del espacio de seal para un sistema binario modulado en fase con una componente

de portadora residual esta dado en la ilustracin 18 para un ngulo modulante de /2.

Ilustracin 18: Modulacin residual de fase binaria de portadora

En un tiempo, la mayora de los sistemas modulados en fase fueron diseados de esta forma.

Sin embargo, la componente de portadora residual es, en un sentido, energa desechada en el

sentido que la energa en la portadora residual no est siendo usada para transmitir informacin,

24

solamente para transmitir la portadora. As la mayora de los sistemas modernos modulados en

fase son sistemas de portadora suprimida. Esto significa que no hay energa promedio

transmitida en la frecuencia de la portadora. Toda la energa transmitida va en la modulacin.

Desafortunadamente, esto significa que no existe ms alguna seal para enganchar en el PLL

bsico de la ilustracin 1

Considere, como un ejemplo, una seal BPSK

() = ()(0 + ) + () (10.40)

Donde () = 1 con igual probabilidad. Esto es una transmisin de portadora suprimida- la

energa promedia en la frecuencia 0 [/] es cero. Esta situacin est representada

grficamente en la ilustracin 18, cuando = /2. La figura indica que para este caso la

componente de portadora vertical desaparecer. Para adquirir y encarrilar la fase de la

portadora, los efectos de la modulacin deben ser eliminados. Una manera de eliminar la

modulacin es elevar al cuadrado la seal:

2() = 2()2(0 + ) + 2() + 2()()(0 + )

=1

2

1

2(20 + 2) +

2() + 2()()(0 + ) (10.41)

Aqu, hicimos uso del hecho de que 2() = 1. El segundo trmino de lado derecho de la

ecuacin (10.41) es un trmino relacionado con la portadora (al doble de su frecuencia) que

puede ser adquirido y encarrilado con un PLL bsico del tipo mostrado en la ilustracin 1. Tal

arreglo se muestra en la ilustracin 19.

Ilustracin 19: Diagrama esquemtico de un lazo bsico que eleva al cuadrado

Cuando la forma de onda de portadora suprimida a la entrada es elevada al cuadrado, la

componente resultante del doble de la frecuencia puede ser adquirida y encarrilada por un PLL

de diseo estndar.

El esquema mostrado en la ilustracin 20 simula la forma en que se puede recuperar la

portadora usando un sistema de ley de cuadrtica y un PLL a partir de una seal PSK.

25

Ilustracin 20: esquema utilizado para simular la recuperacin de portadora usando un dispositivo de ley cuadrtica.

Los resultados de la simulacin se muestran en la ilustracin 21.

Ilustracin 21: resultados obtenidos en la simulacin de un sistema para recuperar la portadora basado en el dispositivo de ley cuadrtica

Algunos de los problemas con este procedimiento pueden ser inferidos de la ecuacin (10.41):

El primer problema es simplemente que todos los ngulos de fase han sido doblados. As, el

ruido de fase y el nerviosismo (jitter) de fase han sido doblados, y la varianza del error de

26

fase (relativos al ruido de fase elevado al cuadrado) es ms grande por un factor de 4 que

aquel de la seal original. Este doblaje de ngulo es compensado por el circuito divisor por

2 en la salida del VCO, y, por lo tanto, no afecta directamente la precisin de la seal de

salida del lazo que es usada por el demodulador de datos. Sin embargo, esta variacin

interna grande causar que el PLL requiera una razn seal a ruido 6 dB ms grande que un

sistema de portadora residual para mantener el enganche de fase.

En adicin, ahora hay dos trminos de ruido efectivo que interfieren con la operacin del

lazo, debidos al trmino de correlacin cruzada entre el ruido y la seal en la ecuacin

(10.41). Para los casos de relacin seal a ruido de lazo bajas o medias, estos dos trminos

de ruido reducirn an ms la relacin seal a ruido disponible relativa a la portadora no

modulada original. Esta prdida adicional debida a los productos de seal por ruido y ruido

por seal es llamada la perdida por elevar al cuadrado el lazo (loop squaring loss) .

Gardner [5] muestra que si el proceso de ruido de entrada () es de banda estrecha y

gaussiano de ancho de banda , las perdidas por elevar al cuadrado tienen una cota

superior dada por

1 + 0 (10.42)

Donde, como antes, 0 es la densidad espectral de potencia unilateral del proceso pre filtrado

normalizado de ruido blanco gaussiano. La ecuacin (10.42) es una cota superior porque el

ancho de banda del filtro se asume tcitamente que es lo suficientemente amplio para pasar

la seal sin distorsin. En un diseo real, la distorsin de la seal puede ser negociada por

prdidas de elevar al cuadrado, como se muestra en [10].

Debido a que la normalizacin en la ecuacin (10.42) es con respecto a las potencias de la seal,

el segundo trmino es proporcional a la razn seal a ruido

=1

20 (10.43)

Donde es la relacin seal a ruido en el ancho de banda del filtro de entrada. Para razones

seal a ruido grandes, la varianza de fase de salida ahora puede expresarse como

2 = 20 = 20 (1 +

1

2) (10.44)

El trmino delantero del lado derecho de la ecuacin (10.44) puede verse como idntico a aquel

de la ecuacin (10.31), la varianza de fase del PLL estndar. Tambin puede verse que para

grandes razones seal a ruido de entrada, el segundo trmino en las prdidas por elevar al

cuadrado desaparece, y quedamos con la varianza de fase del PLL estndar.

Otro problema potencialmente serio, asociado principalmente con lazos de portadora

suprimida, es aquel de falso enganche [5,11-13]. Este puede ser un problema especialmente

durante la adquisicin o la readquisicin de la fase de la portadora. La interaccin de la tira de

datos con las no linealidades del lazo (especialmente el circuito que eleva al cuadrado) y los

filtros de lazo producirn bandas laterales en el espectro que es la entrada al detector de fase.

Estas bandas laterales pueden contener componentes de frecuencia estables. Se debe tener

cuidado que estas componentes estables no se les permita capturar el lazo de encarrilamiento.

27

Si el lazo es capturado parecer que est operando correctamente: la seal de control del VCO

() ser pequea pero la salida del VCO estar desajustada en frecuencia de la componente

de portadora correcta. Este es un falso enganche. El lazo esta encarrilado con una componente

de frecuencia de banda lateral, y el filtro de lazo est filtrando la portadora real. El enganche

falso es un problema de implementacin de Hardware que tpicamente pone un lmite efectivo

ms bajo en el ancho de banda del filtro de lazo. Debido a que ellos tienen ms pocos elementos

no lineales, el enganche falso no es usualmente un problema con lazos de portadora residual.

10.2.1.5. Lazos de Costas

Una forma importante de lazo de portadora suprimida es el lazo de Costas, mostrado

esquemticamente en la ilustracin 22.

Ilustracin 22: Lazo de costas

Este diseo de lazo es importante porque elimina el dispositivo de ley cuadrtica el cual puede

ser difcil de implementar en frecuencias portadoras, y lo remplaza con un multiplicador y filtros

pasa bajas relativamente simples.

La ilustracin 23 muestra el arreglo usado para simular el comportamiento del lazo de costas.

28

Ilustracin 23: arreglo usado para simular el lazo de costas

Los resultados obtenidos en la simulacin se muestran en la ilustracin 24.

Ilustracin 24: Resultados obtenidos en la simulacin del lazo de costas.

En la ilustracin 25 se observa un retraso en la adquisicin de la portadora debido a que hay

un desfase relativo inicial entre el oscilador del transmisor y el oscilador del receptor.

29

Ilustracin 25: resultados obtenidos en la simulacin del lazo de costas con un desfase inicial entre el oscilador del transmisor y del PLL.

Aunque la apariencia de los circuitos mostrados en las ilustraciones 19 y 22 es muy diferente,

su desempeo terico es el mismo [5]. El problema de implementacin principal con el lazo de

costas es que para alcanzar el desempeo optimo terico, los dos filtros pasa bajos de los brazos

deben estar perfectamente acoplados. Este requerimiento puede ser solo aproximado en

cualquier implementacin de hardware anlogo. Si los filtros de brazo son implementados

digitalmente, no habr problema en mantenerlos acoplados, pero el diseador confrontara los

asuntos usuales del diseo de datos muestreados.

As la decisin de si implementar un lazo de costas o el diseo clsico de la ilustracin 19

equivale a la decisin de diseo entre la dificultad de implementar el dispositivo que eleva al

cuadrado y la dificultad de implementar filtros de brazo perfectamente acoplados. Esta decisin

de diseo depender de los parmetros y requerimientos del sistema receptor particular, y no

puede ser generalizada ac.

10.2.1.6. Lazos de portadora suprimida de alto orden

La manipulacin por desplazamiento de fase binaria (BPSK) no es el nico tipo de modulacin

de portadora suprimida. En efecto, asumiendo que todas las seales son igualmente probables

a priori, cualquier esquema de modulacin cuya amplitud promedia, promediada sobre el

conjunto de seales, es cero no tendr energa promedio en la portadora transmitida. Quizs la

modulacin de portadora suprimida no binaria ms comn es la manipulacin por

desplazamiento de fase en cuadratura, o QPSK ( 4_). Si una seal QPSK es elevada al

cuadrado, el resultado luce como una seal BPSK. As, para seales QPSK igualmente

probables, la portadora es aun suprimida. Sin embargo, elevando al cuadrado la seal una

30

segunda vez- equivalente a elevar la seal original a la cuarta potencia- puede verse que produce

un trmino con una componente portadora a cuatro veces la frecuencia de la portadora

transmitida. Como en el caso binario, operando en la seal de entrada con un dispositivo de ley

de potencia produce productos cruzados entre los trminos de ruido y de la seal, e introduce

el equivalente de una prdida de elevar al cuadrado. Bajo la suposicin de que el ancho de

banda de ruido pasara la seal sin distorsin, la prdida por los lazos de cuarta potencia est

acotada por encima por [5]

1 +9

+

6

2+

3

23 (10.45)

Como fue el caso con el lazo que eleva al cuadrado, para razones seal a ruido suficientemente

altas, , la ecuacin (10.45) indica que los trminos adicionales de prdidas se desvanecen, y el

desempeo del lazo se aproxima al del lazo bsico. Como tambin fue el caso para el lazo que

eleva al cuadrado, hay diseos de lazo de costas equivalentes a lazos de cuarto orden [5, 14, 15]

que pueden exhibir ventajas de implementacin en hardware. Su desempeo terico, sin

embargo, es el mismo que aquel del diseo sencillo de cuarta potencia.

Ejemplo 10.5 limites en las perdidas de elevar al cuadrado (squaring loss bounds)

Compare los lmites dados de las prdidas por elevar al cuadrado dadas por las ecuaciones

(10.42) y (10.45) para lazos de segunda y cuarta potencia respectivamente para una razn seal

a ruido de entrada de lazo de 10 dB.

Solucin

Una razn seal a ruido de 10 dB es tambin 10 en trminos de su razn de potencia. Adems,

de las ecuaciones (10.42) y (10.44), para el lazo cuadrtico

= 1 +1

2= 1.05 = 0.2

De la ecuacin (10.45) para el lazo de cuarta potencia

= 1 + 0.9 + 0.06 + 0.0015 = 2.9

As, mientras que una razn seal a ruido de 10 es adecuada para mantener las prdidas

pequeas para el lazo de segunda potencia, la misma relacin seal a ruido puede permitir

prdidas significativas para el lazo de cuarta potencia.

10.2.1.7. Adquisicin

En la mayora de la discusin hasta aqu, la suposicin ha sido que el PLL est enganchado. Esta

fue la justificacin para asumir el error de fase | | era pequeo. En un tiempo u otro, sin

embargo, cada lazo debe adquirir el enganche -o sea, l debe ser trado al enganche. La

adquisicin puede ser cumplida con la ayuda de circuitos o seales externos (adquisicin

ayudada) o en algunos casos por un PLL no ayudado (auto adquisicin) [5].

La adquisicin es inherentemente una operacin no lineal y por lo tanto es difcil de analizar en

general. Sin embargo, alguna intuicin puede ser obtenida al considerar un lazo libre de ruido

31

de primer orden. Tal lazo se muestra esquemticamente en la ilustracin 3. Donde () = 0

(libre de ruido) y () = 1 (primer orden). Denotemos la fase de entrada como

() =

Y la fase de salida como

() = 0 + 0(()) + (0)

0

(10.46)

Donde y son las frecuencias [/] de las seales de entrada y salida,

respectivamente. As el error de fase est dado por

() = () ()

= ( 0) + 0(()) + (0)

0

(10.47)

Derivando ambos lados y haciendo = se llega a

= 0() (10.48)

Donde la dependencia del tiempo de la funcin () ha sido suprimida para facilitar la notacin.

Esta ecuacin diferencial describe el comportamiento del PLL de primer orden libre de ruido. El

lazo que est siendo enganchado requiere que

= 0 (10.49)

La ecuacin (10.49) es una condicin necesaria pero no suficiente para el enganche de fase.

Esto puede verificarse al observar el diagrama en el plano de fase de la ilustracin 26.

Ilustracin 26: Grafico en el plano de fase de un lazo de primer orden

32

Esta figura es obtenida al dividir ambos lados de la ecuacin (10.48) por el termino de ganancia

0, y dibujando los resultados. Primero observe el punto a. si el error de fase es desplazado un

poco a la izquierda o a la derecha del punto a, el signo del trmino de la derivada es tal que el

error de fase e, ser llevado atrs hacia a. As, el punto a es un punto estable del sistema donde

el enganche de fase puede obtenerse y ser mantenido. Ahora considere el caso del punto b. si

el error de fase est exactamente en b, la ecuacin (10.49) ser satisfecha. Sin embargo, si hay

cualquier offset leve de , el signo del trmino de la derivada ser tal que el error se alejara de

. As el punto es un punto de estabilidad marginal para el lazo, un punto donde la ecuacin

(10.49) es satisfecha, pero no un punto de enganche estable.

La cantidad de tiempo requerido para que un lazo llegue al enganche puede ser una

consideracin muy importante en el diseo del sistema. Observando la ecuacin (10.48),

podemos ver que el requisito de la ecuacin (10.49) para el enganche de fase no puede ser

cumplido a menos que

||

|0| 1 (10.50)

Esto se debe a que las funciones sinusoidales tienen una amplitud mxima de la unidad. Este

rango de diferencia de frecuencias, 0 < < 0, es llamado algunas veces el rango de

enganche de fase del lazo. Asumiendo que la ecuacin (10.50) se cumple, Gardner [5] da una

regla de la experiencia de 3/0 segundos para el tiempo requerido para la adquisicin del lazo.

Los valores reales pueden ser obtenidos de la ecuacin (10.47) para un conjunto bien definido

de condiciones iniciales, o por simulacin extensa en un computador. Puede verse de la grfica

de fase de la ilustracin 7 que el tiempo requerido variar ampliamente como una funcin del

error de fase inicial. Para errores de fase muy cercanos al punto , la fuerza motriz (

/0) ser

pequea. As, para este error de fase de peor caso, el error podra quedarse (linger) en la

vecindad de por un tiempo largo. Este fenmeno es llamado el cuelgue terminal del lazo

(terminal loop hang up) [16] y puede ser un problema serio para los diseos de sistemas que

dependen de la auto adquisicin.

Quiz la diferencia operacional ms importante entre los lazos de primer orden y de ms alto

orden es la habilidad de los lazos de ms alto orden de recoger (pull in) las diferencias de

frecuencia que son ms grandes que el rango de enganche. Un lazo de primer orden con un error

de frecuencia ms grande que el rango de enganche derivara hacia el enganche pero nunca se

enganchara completamente. Por Qu? Lazos de segundo y ms alto orden pueden empujar y

alcanzar enganche en fase por sus ms complicados caractersticas del plano de fase. (Lectores

interesados deberan consultar a Viterbi [8] y otros textos sobre PLL para ms detalles [5, 9, 17-

19].)

El estudio de la adquisicin automtica para lazos de enganche por fase es ms de inters

acadmico. Gardner [5] establece que los lazos que usan auto adquisicin pueden garantizarse

que adquieran en un tiempo razonable bajo circunstancias muy benignas. Esto,

desafortunadamente, es raramente el caso en la prctica.

33

La ayuda en la adquisicin conduce al lazo a travs de la regin del espacio de fase que se espera

contenga la regin de enganche por medio de alguna seal de manejo externo. Este es el medio

ms comn de alcanzar la adquisicin. La ayuda puede implementarse aplicando simplemente

una rampa de voltaje a la entrada del VCO. Esta seal manejadora causara que la frecuencia de

salida del VCO vare linealmente con el tiempo. Como fue mostrado previamente [ecuacin

(10.17)], los lazos con filtros de lazo que no contienen como factor de su denominador de la

funcin de transferencia no pueden enganchar una rampa de frecuencia con error de fase finito.

Por eso, si el barrido de frecuencia va a ser empleada con un lazo de primer orden o un lazo de

segundo orden sin esta caracterstica de la funcin de transferencia, la rata de barrido de

frecuencia debe ser lo suficientemente lenta tal que cuando el lazo alcance el enganche, la

presencia del enganche de fase pueda ser detectada y la seal de barrido sea removida antes de

que conduzca al lazo fuera del enganche de fase. Con lazos que contiene como un factor de

(), puede no ser necesario remover la seal de barrido del todo, porque, al menos en teora,

el lazo ser capaz de encarrilar la rampa de frecuencia. En cualquier caso, la rata de barrido no

debe ser demasiado grande, o el lazo ser manejado a travs del punto de enganche tan rpido

que l fallar en la adquisicin. Para un lazo de segundo orden con funcin de transferencia [ver

ecuacin (10.6)]

() =1

(

)2

+ 2 (

) + 1

(10.51)

Gardner [5] indica que la rata mxima de barrido, , debe estar en la vecindad de

1

2

2(1 2) (10.52)

Donde se define en la ecuacin (10.31) y , implcitamente definido en la ecuacin (10.51),

es llamada la frecuencia natural de un PLL de segundo orden y est relacionado con el ancho de

banda de lazo y el factor de amortiguamiento del lazo [9] por

=8

42 + 1

Blanchard [17] da resultados ms detallados para adquisicin de fase ayudada.

10.2.1.8. Errores en el encarrilamiento de fase y desempeo del enlace

Si el lazo es incapaz de encarrilar todos los errores de fase, la probabilidad de error de smbolo

recibido ser degradada en relacin con lo que es tericamente alcanzable. El anlisis requerido

para determinar la cantidad de degradacin es muy complicado, pero para la mayora de los

sistema de sealizacin coherente estndar, las curvas estn disponibles [14, 15,20]. La

ilustracin 27 es un ejemplo de tal curva de desempeo para un sistema de lazo de

encarrilamiento de fase de portadora residual en una seal con modulacin BPSK en ruido

gaussiano aditivo.

34

Ilustracin 27: Probabilidad de error de bit versus / para BPSK con sincronizacin imperfecta de portadora.

Se puede ver que para razones seal a ruido de valor moderado, errores de fase pequeos

producen degradacin muy pequea. Es solamente cuando la desviacin estndar del error de

fase excede 0.3 que las degradaciones se hacen significativas. Esto significa que la degradacin

inherente en desempeo causada por un lazo bien diseado operado en condiciones benignas

puede generalmente ser ignorada. La curva tambin indica que si las condiciones son tales que

la variancia de fase es grande, incrementar la razn de seal a ruido gaussiano de los datos

puede no ser efectivo en reducir la probabilidad de error detectada. Debera notarse que la

presencia de un error irreducible en estas situaciones es una caracterstica de los diseos de

portadora residual con razones seal a ruido constantes, . Los lazos de enganche de portadora

suprimida tienden a no tener errores irreducibles, porque un incremento en la razn seal a

ruido de datos incrementara la razn seal a ruido del lazo de encarrilamiento de portadora

suprimida, reduciendo el error de encarrilamiento.

Ejemplo 10.6 Razn seal a ruido del PLL

Desarrollar una expresin integral para el efecto en la probabilidad de error de bit de enlace de

errores de enganche de fase variantes lentamente para un enlace BPSK con portadora residual.

Compare el efecto de una razn seal a ruido normalizada ( = 1/2) de 20 con una de

10 sobre el desempeo de error a una probabilidad de error deseada de 105 usando la

ilustracin 27.

35

Solucin

La probabilidad de error de bit tericamente posible para un enlace en presencia de ruido blanco

gaussiano aditivo con densidad espectral de potencia unilateral 0 Watt/Hertz esta dada por

= (20

)

Donde es la energa recibida por tiempo de bit. De la derivacin de esta expresin de

probabilidad de error, se puede mostrar que si hay un error de encarrilamiento de fase que vara

lentamente (con respecto a la rata de datos) de radianes, la probabilidad de error resultante

estar dada por

() = (2()

0)

Ahora si el error de fase es el resultado de errores de encarrilamiento causados por ruido de

sistema, ser descrito estocsticamente por alguna funcin densidad de probabilidad ().

Luego la probabilidad de error de bit esperada est dada por

= ()()2

0

Para el caso especial del lazo de primer orden, la funcin densidad de probabilidad est dada

por la ecuacin (10.36). Entonces la expresin final para la probabilidad de error esperada est

dada por

= (2()

0)

20()

2

0

Una razn seal a ruido de lazo () de 20 corresponder a una desviacin estndar de ruido

de fase de = 0.1 . De la ilustracin esta pequea cantidad de ruido de fase no

produce una degradacin apreciable en la probabilidad de error de bit. Un de lazo de 10 ,

sin embargo, corresponde a una desviacin estndar de ruido de fase de = 0.32 . Se

puede ver de la ilustracin 27 que para una probabilidad de error de 105, esta desviacin

estndar de ruido de fase requerir una SNR de datos de algo ms que 11 (10.4 ), ms bien

que una SNR de datos de 9.1 (9.6 ) para un encarrilamiento perfecto de fase. As esta

relacin seal a ruido de lazo causar una degradacin de desempeo del error de algo ms de

0.8 , a una probabilidad de error de 105. Debera observarse que para SNR de lazo menor

que cerca de 10 , la degradacin en desempeo se incrementa rpidamente. As, 10 es

algo as como un umbral para un desempeo de sistema razonable para diseos de portadora

residual. Los diseos de portadora suprimida, al no tener problemas con el error irreducible,

pueden hacerlo mejor.

36

10.2.1.9. Tcnicas de anlisis espectral

Las tcnicas que hemos considerado hasta aqu pertenecen a una clase de sincronizadores

algunas veces llamada tcnicas de lnea espectral. Estas tcnicas todas usan una lnea espectral

existente en la frecuencia portadora o producen tal lnea a una frecuencia de portadora o

mltiplo de la misma, como una parte crucial de la determinacin del error. Hay otro conjunto

de tcnicas que son especialmente tiles en la estimacin de la frecuencia de la portadora o

encarrilamiento que utilizan la forma del espectro pasa banda de la seal. Estas tcnicas tienen

races solidas en la teora de estimacin de mxima verosimilitud [4], pero ellas tambin son

atractivas intuitivamente y sern aproximados aqu desde la direccin intuitiva.

Posiblemente la tcnica ms intuitiva en esta clase es un banco simple de filtros acoplados, con

cada filtro acoplado a la seal esperada con un offset de frecuencia de portadora diferente. Tal

banco de filtros podra ser implementado directamente, o por realizar una operacin pesada y

combinada en la salida de una transformada Rpida de Fourier. En cualquier caso, el filtro con

la mxima salida se asocia con el offset de frecuencia de seal. Tal detector de frecuencia es

mostrado tericamente en la ilustracin 28. Dependiendo del diseo de la seal y su sensibilidad

a errores de frecuencia, y en la densidad de los diferentes offsets de frecuencia, se podra tomar

la salida ms grande como el estimado de frecuencia directamente o se podra realizar un

procesamiento adicional para refinar el estimado. En ambos casos, es claro que un banco de

filtros que barre el rango de posibles offsets de frecuencia podra ser diseado en concepto, y

que tal diseo proveera un estimado rpido y confiable del offset de frecuencia de portadora.

Ilustracin 28: Estimador de frecuencia mediante un banco de filtros acoplados

37

Una ventaja de la aproximacin de banco de filtros discutido previamente es el ancho de

incertidumbre de frecuencia que puede ser fcilmente acomodado. Una desventaja es la

granularidad del estimado inicial.

Una segunda tcnica espectral, algunas veces llamada filtrado de borde de banda, puede proveer

un estimado ms preciso, al costo de reduccin en la incertidumbre inicial de frecuencia que

puede ser acomodada. La idea puede ser fcilmente vista a travs de un ejemplo grfico.

Ilustracin 29: Ejemplo de filtro de borde de banda

En el grafico superior mostrado en la ilustracin 29, el espectro pasa banda de la seal se

muestra como la regin sombreada amplia, centrada en la frecuencia nominal de portadora, 0.

Tambin mostrado en este grafico estn dos filtros pasa bandas ms estrechos en los bordes, o

regiones de roll-off del espectro de la seal. Si, como se muestra en el segundo grfico, la seal

detectada en los dos filtros de borde de banda es igual, el espectro de la seal debe estar

centrado entre ellos, y el error de la frecuencia nominal de portadora es cero. Sin embargo, si,

como se muestra en el tercer y cuarto grfico, el espectro de la seal de entrada esta desplazado

en relacin a los filtros de borde de banda, uno de los filtros tendr ms seal detectable, y se

puede realizar una medida del error. Esta medida de error podra usarse para manejar un lazo

de control o para calcular una correccin de frecuencia directamente. La ventaja primaria de

esta clase de tcnica es que no se requiere una no linealidad que ample el ruido. Las desventajas

son que se requiere ms conocimiento del espectro de la seal, y la implementacin de dos

filtros estrechos con caractersticas pasa bandas bien acopladas. Los filtros estrechos bien

acoplados tales como estos podran representar un reto de diseo si se hace con circuitera

anloga, pero, en concepto, podran ser fcilmente realizados con tcnicas digitales.

10.2.2. Sincronizacin de smbolos- modulaciones de smbolo discretas

Todos los receptores digitales necesitan estar sincronizados con las transiciones de los smbolos

digitales de entrada para alcanzar una demodulacin ptima. En la discusin que sigue

consideraremos varios de los tipos bsicos de diseos de sincronizadores de smbolo o datos. La

38

discusin se centrar en una seal aleatoria de banda base binaria, por facilidad de terminologa

y notacin, pero la extensin a seales no binarias banda base debera ser obvia.

En la presentacin de esta seccin se asume que nada es conocido acerca de la secuencia real

de datos. Esta clase de sincronizadores son llamados sincronizadores no ayudados por datos

(Non data aided: NDA) hay otra clase de sincronizadores de smbolos que usan una informacin

conocida acerca de la tira de datos. Este conocimiento puede obtenerse al realimentar

decisiones sobre los datos recibidos, o porque una secuencia conocida ha sido inyectada en la

tira de datos. Las tcnicas ayudadas por datos (Data aided: DA) han llegado a ser ms

importantes y prevalentes con el uso creciente de modulaciones eficientes en ancho de banda.

Esto es especialmente cierto con la clase de modulaciones continuas de fase. Tcnicas DA sern

consideradas con algo de ms detalle en la seccin siguiente.

Los sincronizadores de smbolos que sern considerados aqu pueden ser clasificados en dos

grupos bsicos. El primer grupo consiste en sincronizadores de lazo abierto. Estos circuitos

recuperan una rplica de la salida de reloj de datos del transmisor directamente desde

operaciones en la tira de datos de entrada. El segundo grupo comprende los sincronizadores de

lazo cerrado. Los sincronizadores de datos de lazo cerrado intentan enganchar un reloj de datos

local a la seal entrante por el uso de medidas de comparacin entre las seales local y de

entrada. Los mtodos de lazo cerrado tienden a ser ms precisos, pero son ms costosos y

complejos.

10.2.2.1. Sincronizadores de smbolo de lazo abierto

Sincronizadores de smbolo de lazo abierto son tambin ocasionalmente llamados

sincronizadores de filtro no lineal [20], un ttulo muy descriptivo. Esta clase de sincronizadores

genera una componente en frecuencia a la rata de smbolo operando en la secuencia banda base

de entrada con una combinacin de filtrado y dispositivo no lineal. La operacin es anloga a la

recuperacin de la portadora en un lazo de encarrilamiento de portadora suprimida. En el caso

presente, la componente de frecuencia deseada, en la rata de smbolo de datos, es aislada con

un filtro pasa banda, y conformada (shaped) con un amplificador saturado de alta ganancia,

con lo que recupera la apariencia de onda cuadrada de la seal de reloj de datos.

En la ilustracin 30 se muestra el primer ejemplo:

Ilustracin 30: Sincronizador de lazo abierto con filtro acoplado y alinealidad de segundo orden

La salida del filtro acoplado ser la funcin de auto correlacin de la forma de la seal de

entrada. Para una sealizacin de onda cuadrada, por ejemplo, la salida ser la familiar forma

de onda de triangulo issceles. La secuencia de formas de onda de auto correlacin de bit es

entonces rectificada por algn tipo de no linealidad de ley par sin memoria- un dispositivo de

ley cuadrtica, por ejemplo. La forma de onda resultante tendr picos de una amplitud positiva

39

que corresponden, con un retardo de tiempo, con las transiciones de smbolos de entrada. Esta

secuencia de procesos es ilustrada en la ilustracin 31.

Ilustracin 31: sincronizador de bit de lazo abierto

As la forma de onda de salida del dispositivo de ley par contendr una componente de Fourier

a la frecuencia fundamental del reloj de datos. Esta componente de frecuencia ser aislada de

sus armnicos con un filtro pasa banda (BPF) y conformada con un amplificador saturado ideal,

con funcin de transferencia

() = {1 > 0

1 (10.53)

Una simulacin en Simulink se hizo con el siguiente esquema:

Ilustracin 32: esquema usado para la simulacin del sincronizador de bit de ley par

Los resultados obtenidos en esta simulacin fueron los siguientes:

Ilustracin 33: resultados obtenidos en la simulacin del sincronizador de bit de ley par.

40

El segundo ejemplo en la ilustracin 34 produce una componente de Fourier en la frecuencia de

reloj de datos por medio de un retraso y producto.

Ilustracin 34: Otro sincronizador de lazo abierto

El retraso mostrado en la ilustracin 34 es la mitad de un periodo de bit, el cual es el mejor

valor porque provee la componente de Fourier ms fuerte [20]. La forma de onda () ser

siempre positiva en la segunda mitad de cada periodo de bit, pero tendr una primera parte

negativa si ha habido un cambio de estado en la tira de bit entrante, (). Esto produce una

seal de forma de onda cuadrada con componentes espectrales en la rata de datos y todos sus

armnicos, como en la ilustracin 11. Como antes, la componente espectral apropiada puede

ser aislada con un BPF y conformada.

Se simul este esquema en simulink usando el siguiente arreglo:

Ilustracin 35: esquema para simular un sincronizador de bit con retraso

El resultado de la simulacin es el siguiente:

41

Ilustracin 36: Resultado dela simulacin usando un sincronizador con retardo.

El ejemplo final (ilustracin 37) cuenta para un detector de borde. Las operaciones principales

son aquellas de derivacin y rectificacin (por el uso de un dispositivo de ley cuadrtica). Para

una entrada de onda cuadrada, el derivador producir unos picos positivos o negativos en todas

las transiciones de smbolos. Cuando se rectifica, la secuencia resultante de picos positivos

tendr una componente de Fourier a la rata de smbolos de datos.

Ilustracin 37: Otro sincronizador de lazo abierto

Un problema potencial con este esquema particular es que los diferenciadores son tpicamente

muy sensitivos a ruido de banda ancha. Esto hace necesario el filtro pasa bajas (LPF) que precede

el diferenciador en la ilustracin 37. El LPF, sin embargo, remover tambin las componentes

de alta frecuencia de los smbolos de datos, causando que ellos pierdan su forma de onda

rectangular original. Esto causar que la seal diferencial resultante tenga tiempos finitos de

subida y cada, ms bien que ser un conjunto de impulsos.

Se simul el comportamiento de este sistema con el siguiente esquema:

42

Ilustracin 38: simulacin de un sincronizador de bit con derivador.

Se obtuvo los siguientes resultados:

Ilustracin 39: resultados obtenidos en la simulacin del sincronizador con derivador.

Claramente, habr algn retardo de hardware asociado con los pasos de procesamiento de la

seal mostrados en las ilustraciones 30,34 y 36. Wintz y Luecke [21] han mostrado que para un

BPF que promedia efectivamente smbolos de entrada ( = 1/). La

magnitud del tiempo de error fraccional (retardo) est aproximado por

||

0.33

0

0

> 5, 18 (10.54)

Donde es el periodo de bit, la energa detectada por bit, y 0 la densidad espectral

unilateral de potencia de ruido recibida. Wintz y Luecke tambin han mostrado que a razones

seal a ruido altas la desviacin estndar fraccional del error de temporizacin est dado por

43

0.411

0

0 > 1 (10.55)

As, para un BPF dado, cuando la razn seal a ruido es lo suficientemente grande todas las

tcnicas mostradas en las ilustraciones anteriores proveern temporizacin de bit precisa.

10.2.2.2. Sincronizadores de smbolo de lazo cerrado

La desventaja primaria de los mtodos de sincronizacin de smbolo de lazo abierto es que hay

un error de encarrilamiento medio no cero inevitable. Este error puede hacerse pequeo para

grandes razones seal a ruido, pero debido a que la seal de sincronizacin depende

directamente de la seal entrante, el error nunca desaparece.

Los sincronizadores de smbolos datos de lazo cerrado usan medidas comparativas entre la seal

de entrada y una seal de reloj de datos generada localmente para llevar la seal generada

localmente a sincronizacin con las transiciones de datos de entrada. El procedimiento es

esencialmente el mismo que se usa para encarrilamiento de portadora de lazo cerrado.

Entre los sincronizadores ms populares de lazo cerrado est el sincronizador de compuerta

temprano/tarde (/ ). Un ejemplo de tal sincronizador se muestra

esquemticamente en la ilustracin 40. El sincronizador realiza dos integraciones separadas de

la energa de la seal de entrada sobre dos porciones de ( ) segundos diferentes de un

intervalo de smbolo. La primera (la compuerta temprana) comienza la integracin en el mejor

estimado del comienzo de un periodo de smbolo (el cero de tiempo nominal) e integra por los

prximos ( ) segundos. La segunda (la compuerta tarde) retarda el arranque de su

integracin por segundos, y luego integra hasta el fin de un periodo de smbolo (el tiempo

nominal ). La diferencia en los valores absolutos de las salidas de estas dos integraciones, 1 y

2, es una medida del error de temporizacin de smbolo, y puede ser realimentado para que la

referencia de temporizacin del lazo corrija la temporizacin de lazo.

Ilustracin 40: Sincronizador de datos de compuerta temprano-tarde

La accin del sincronizador temprano/tarde puede entenderse refirindose a la ilustracin 41.

44

Ilustracin 41: a) Temporizacin de receptor correcta, b) Temporizacin adelantada

En el caso de sincronizacin perfecta, la ilustracin 41 a muestra que ambas compuertas estn

completamente en un intervalo de seal smbolo. En este caso, ambos integradores acumularan

la misma cantidad de seal, y su diferencia (la seal error e, en la ilustracin 40) es cero. As,

cuando el dispositivo est sincronizado, es estable- no hay tendencia a dirigirse por s solo lejos

de la sincronizacin. El caso mostrado en la ilustracin es para un receptor cuyo reloj de

datos esta adelantado con respecto a los datos de entrada. En este caso la primera porcin de

la compuerta temprana cae en el intervalo de bit previo, mientras la compuerta tarde esta aun

enteramente dentro del smbolo corriente. El integrador de compuerta tarde acumulara seal

sobre su intervalo de integracin completo ( ), como en el caso de la ilustracin ; pero

el integrador de compuerta temprano terminara con energa acumulada solamente sobre [(

) 2], donde es la porcin del intervalo de la compuerta temprano que cae en el intervalo

de bit previo. As, para este caso, la seal de error ser = 2, el cual bajar el voltaje de

entrada al VCO en la ilustracin 40. Esto reducir la frecuencia de salida del VCO y retardar la

temporizacin del receptor para llevarlo atrs hacia la temporizacin de bit de la seal de

entrada. Usando la ilustracin 41 como una gua, puede verse que si la temporizacin del

receptor ha sido tarde, las cantidades de energa integradas en la compuerta temprana y tarde

sern reversadas, como lo ser el signo de la seal de error. As, la temporizacin de receptor

tarde produce un incre