Sincronización en la caída libre de objetos en el...

Pontificia Universidad Católica de ValparaísoInstituto de Física

Tesisentregada en cumplimiento parcial de los requisitos para optar al grado de

Magíster en Física

a presentar públicamente el 27 de Septiembre de 2018 por:

Mauricio HOUSSET BÚRQUEZ

Sincronización en la caída libre de objetos en el vacío

bajo la dirección de:Germán VARAS

delante de la comisión de exámen compuesto por:

Mónica García Instituto de Física, Pontificia Universidad Católica de ValparaisoLeonardo Gordillo Departamento de Física, Universidad de Santiago de ChileClaudia Trejo Instituto de Física, Pontificia Universidad Católica de ValparaisoGermán Varas Instituto de Física, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

Instituto de Física, Pontificia Universidad Católica de ChileAv. Universidad 330 (Curauma), Valparaíso - tel: (+56) 32 227 4884 / fax: (+56) 32 227 4886

Sincronización en la caída libre de objetos en el vacío Mauricio Housset

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Índice general

Agradecimientos vi

1. Introducción 11.1. Introducción general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Formación de cráteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Trabajos previos en formación de cráteres de impacto. . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Efecto del vacío en la caída libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Diseño y desarrollo experimental 152.1. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1. Variación del montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Sincronización de los electroimanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1. Imantación en las esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Circuito de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Resultados Experimentales 233.1. Descenso de un balón sin arrastre y con arrastre lineal o cuadrático . . . . . . . . 23

3.1.1. Trayectoria sin arrastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2. Arrastre lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.3. Arrastre cuadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. Trayectorias de las esferas y modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3. Análisis de imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4. Deformación de la capa granular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.1. Deformación superior: Evolución de la corona. . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.2. Deformación inferior: Formación de una campana . . . . . . . . . . . . . . 34

Conclusiones 37

A. Anexo: Elementos de electrónica 39

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Índice de figuras

1.1. Ejemplos de sistemas granulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Algunos fenómenos interesantes en los medios granulares . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Figuras de Chladni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Ejemplo de cráteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Secuencia de formación de cráter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Perfil de un cráter de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7. Velocidad de propagación de la corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8. Rangos de vacío parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.9. Chorro granular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.10. Chorro granular en caída libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2. Secuencia de formación de cráter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Gráfica del tiempo de caída de las esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4. Circuito de control electroimán superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5. Circuito de control electroimanes laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6. Conexión entre la tarjeta Arduino y la placa de relés . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1. Diagrama de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2. Datos de posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. Trayectoria esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4. Magnitud del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5. Magnitud del campo magnético para las tensiones mínimas . . . . . . . . . . . . 303.6. Magnitud del campo magnético y producto de este por su variación temporal . . 313.7. Modelo en Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.8. Fuerza de sujeción simulada en Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.9. Descenso de las esferas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.10. Identificación de los parámetros geométricos medidos . . . . . . . . . . . . . . . . 343.11. Diámetro mínimo, máximo y altura de la corona . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.12. Diámetro y profundidad del cráter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

A.1. Esquema de circuito de un electroimán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40A.2. Modelo electromecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41A.3. Corriente y tensión en el electroimán o solenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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Agradecimientos

Quiero agradecer a todos quien me han apoyado durante todo el proceso del desarrollo demi tesis. En especial agradezco al Dr. Germán Varas Siriany por su guía, buenos consejos yprofesionalismo. Agradezco de sobremanera a mi familia por el apoyo, paciencia y toda la ayudaque me han brindado. No puedo dejar de agradecer al personal técnico de los laboratorios deinvestigación del instituto de física.

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1Introducción

Resumen1.1. Introducción general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Formación de cráteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Trabajos previos en formación de cráteres de impacto. . . . . . . . . 9

1.4. Efecto del vacío en la caída libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1. Introducción general

Los materiales granulares se encuentran presentes en la vida cotidiana de las personas endiversas situaciones y lugares [1]. Las legumbres y las especias que se usan diariamente estánconstituidos por un gran número de fragmentos de materia, es decir, son materiales granulares(Fig. 1.1). Los materiales granulares están formados por un gran número de partículas ma-croscópicas y tienen propiedades tales que en determinadas condiciones los hacen similares alcomportamiento de la materia en fase sólida, líquida o gaseosa, según sean las fuerzas externasque actúan sobre ellos [2]. Son sistemas discretos de materia, tales como la sal, las lentejas yel trigo están formados por granos, partículas de materia en un rango de estados metaestable,por lo que pueden cambiar de estado si se aumenta levemente su nivel de energía. También enel entorno se observan materiales granulares como la arena en las playas y desiertos, que esen-cialmente está constituida por granos de Silicio cuyo tamaño promedio es de d = 100µm [3]. Elnúmero de granos de arena en una playa o un desierto es enorme aunque finito, en contraste unpuñado de lentejas contiene un numero finito de granos, esto muestra el amplio rango de valoresque puede tomar el número de granos de un sistema granular. Todos los ejemplos que se hanmencionado constituyen sistemas granulares secos, son aquellos en los que no existe un medio,es decir, el sistema esta constituido sólo por granos. La nieve también es materia granular peroel hecho de que en ella puedan coexistir las fases sólida y líquida del agua la hace más complejaes lo que se conoce como sistemas granulares húmedos, en ellos los granos están inmersos en unmedio.

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Figura 1.1: Ejemplos de sistemas granu-lares - (a) Dunas en el desierto, constituyenun gran sistema granular bajo la acción per-manente de la gravedad, además, del vientoy la lluvia entre otros. b) Muchos alimentosse encuentran en forma de materiales granu-lares como, por ejemplo, el trigo, diversas le-gumbres y cereales. c) Los anillos de Saturnoestán constituidos por rocas individuales, queforman un sistema granular en equilibrio gra-vitacional, aproximadamente, poseen un espe-sor de un kilómetro.

Los materiales granulares, son importantes en los procesos geológicos donde los deslizamientosde tierra y erosión determinan en gran medida la morfología de la tierra [2]. Debido a que enla superficie de la Tierra existen inmensos complejos urbanos e industriales que pueden serafectados por los fenómenos mencionados, su estudio es relevante, por las pérdidas humanasy económicas que se producen. Por otro lado, la materia granular está presente en distintasetapas de procesos industriales como en la manipulación, transporte, almacenamiento, mezcla yempaquetamiento de innumerables productos, tales como polvos, granos, harinas, sales, semillasy material de construcción. El tratamiento de la materia granular utiliza el 10 % de los recursosenergéticos del planeta [4]. En términos de cantidad, los materiales granulares son el segundo tipode material más usado, sólo después de los fluidos. Tiene una enorme repercusión en la economíamundial, por lo que se han incrementado las investigaciones sobre materiales granulares. Seinvestiga dinámica de atascos, compactación, flujos granulares, silos, vibraciones, entre otros. Enla industria farmacéutica los materiales para la confección de sus productos y estos mismos semanejan en forma granular.

Pese a las similitudes de los materiales granulares respecto a las distintas fases de la materia,su comportamiento es diferente. Cuando los granos están en reposo el comportamiento es similara un sólido. En estas condiciones cada grano es sostenido por las partículas que lo rodean, lasfuerzas de interacción entre el contenedor y el medio granular le dan soporte al material y lepermiten mantener una forma definida. Al aplicar una fuerza sobre la superficie del medio, éstase transmite hacia todos los granos vecinos distribuyendose entre ellos [4], como cuando alguiencamina por la playa. Al entregarles un bajo nivel de energía el material se comporta como unfluido y con mayores niveles de energía, comparativamente al caso anterior, su comportamientose asemeja a un gas. Por ejemplo, en una pila de arena en reposo formada al dejar caer los granossobre una superficie, con una pendiente, cuyo ángulo es menor al de reposo, ésta se comportacomo un sólido, el material permanece en reposo a pesar de que las fuerzas gravitacionales creantensiones macroscópicas en su superficie. En tanto, los granos que caen sobre una superficie dearena que esta inclinada algunos grados por encima del ángulo de reposo fluyen, sin que losgranos sufran algún tipo de modificación. Como ejemplo del comportamiento de los granos comogas podemos mencionar, el polvo que se levanta por el paso de un vehículo.

La escala de energía que es importante en los materiales granulares es la de energía potencialgravitatoria. Si un grano se mueve una distancia igual a su diámetro d impulsado por la gravedadsu energía será EP = mgd. Por ejemplo, para arena común esta energía es del orden de 1012

veces la energía térmica kBT a temperatura ambiente. Lo que muestra el hecho de que la energía

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térmica es irrelevante en el movimiento de los granos, por lo que, la termodinámica clásicano es útil para describir el movimiento de los materiales granulares. Existen dos aspectos departicular importancia que contribuyen a las propiedades únicas de los materiales granulares: (i)Las interacciones entre los granos son de tipo disipativas, a causa de la fricción estática y delas colisiones inelásticas y (ii) La temperatura en el sentido usual no juega ningún rol, ya que laenergía térmica ET = kBT no es suficiente para mover los granos. Una condición necesaria enel caso de materiales granulares secos, es que el tamaño de los granos sea mayor a una micra,ya que bajo una micra la agitación térmica es importante y es posible observar movimientoBrowniano [3]. La segregación de los granos por tamaño es un ejemplo de las propiedades únicasde los materiales granulares esta ocurre al entregar energía a un material granular heterogéneo,constituido por granos de diferente tamaño, por medio de agitación externa, estos tienden asegregarse en lugar de mezclarse como se esperaría al considerar la entropía [1].

Breve recuento histórico

La historia de los materiales granulares es muy antigua, se han realizado un gran número deexperimentos con materiales granulares. Ya en el año 55 A.C. el poeta romano Lucrecio en unode sus poemas habla de la similitud del agua y las semillas de amapola, haciendo una referenciaa estas semillas como material granular. Lucrecio señala que las semillas fluyen bajo la acciónde la gravedad, de forma similar a como lo hace el agua [4]. En el siglo XVIII Charles Coulomb(1736-1806) realizó experimentos de equilibrio de terraplenes y estructuras compuestas por rocas

Figura 1.2: Algunos fenómenos interesantes en los medios granulares - (a) Esquema que re-presenta el fenómeno de la nuez de Brasil. (b) Colapso de un silo con granos debido a la presión quedeben resistir las paredes, al no considerar el efecto Janssen; el cálculo de los esfuerzos que deben resistirlas paredes. (c) Flujo granular en un reloj de arena, su comportamiento es explicado mediante el efectoJanssen, dado que el flujo granular entre los compartimientos es constante el tiempo que toma el conjuntode granos en pasar de uno a otro es constante, este evento se usa como unidad temporal.

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Figura 1.3: Figuras de Chladni - No-dos de oscilación de una placa que vibra,observados mediante la acumulación demateriales granulares, los granos se con-centran en los sectores donde la oscilaciónes nula y se ausentan en aquellos en quela oscilación es máxima.

[5] constatando la estabilidad de algunas estructuras discretas, resaltando el comportamientocomo sólido de los materiales granulares. Ernst Chladni (1756-1827) observó el comportamiento,de materiales granulares livianos y de otros más pesados, sobre superficies vibratorias, descubriólas llamadas figuras de Chladni (Fig. 1.3) que son patrones geométricos que se forman sobre lasuperficie y dependen esencialmente de la frecuencia de la vibración, la amplitud de ésta y eltamaño de los granos [6]. Los granos se agrupan en aquellas zonas en la placa, en que la oscilaciónes nula y no están presentes en las zonas en que la oscilación es máxima, por lo que, los granosnos permiten ver los nodos de la oscilación en la superficie. En el estudio de las cargas mecánicasaplicadas a la capa superficial de la corteza terrestre, mecánica de suelos, William Rankine definiólos llamados estados activos de Rankine por medio de los cuales es posible conocer las tensionesmecánicas del terreno [7], que es en esencia un material granular.

Hace más de dos siglos algunos investigadores comenzaron estudios de medios granularescomo Leonard Euler, Michael Faraday, Osborne Reynolds, Charles Coulomb y muchos otros.Pero es a partir principalmente de la década de los noventa que se han desarrollado diversasinvestigaciones con el fin de entender la física de los sistemas granulares, ya que cada vez sonmás las aplicaciones que se encuentran para mejorar la vida diaria de las personas. Y dentro dela física el interés por este tema ha resurgido con Jaeger y Nagel, 1992; Behringer, 1993; Bideauy Hansen, 1993; Mehta y Barker, 1994; Hayakawa, Nishimori, Sasa y Taguchi, 1995, sólo pormencionar algunos que han realizado estudios al respecto. Por ejemplo, De Gennes en 1996, usóavalanchas en pilas de arena como un modelo macroscópico del movimiento de líneas de flujo ensuperconductores tipo II [2].

Este renovado interés entre los físicos en materiales granulares se ha visto estimulado, proba-blemente, por la idea de criticidad autoorganizada introducida por Per Bak, físico de Dinamarcaen 1987, asociado originalmente con el comportamiento de las pilas de arena. Desde una pers-pectiva teórica, la física granular representa un gran interés en dinámica de fluidos, teoría de laformación de patrones, mecánica, entre otros. En los últimos años, han aparecido muchos traba-jos enfocados a fenómenos reales y experimentos en lugar de conceptos teóricos. Esta ausencia dedesarrollos teóricos en parte se debe a que la física granular es una mezcla de diferentes conceptos,herramientas de modelado y teorías fenomenológicas [1]. Los resultados experimentales obtenidosson descritos por diferentes teorías, ya que una descripción unificada de todos los diferentes tiposde materiales granulares es un objetivo difícil de alcanzar. Existen artículos respecto al tema(por ejemplo, Jaeger et al 1996) pero muy pocos libros de texto, algunos ejemplos son Bagnold

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(1941), Brown y Richards (1970) y el libro de Duran, 1997 [2].

Fenómenos en materiales granulares

Ejemplos de algunos fenómenos físicos de gran importancia que se generan en medios gra-nulares son: (i) La disminución o bloqueo de las salidas de contenedores de granos, dada lageneración de cadenas de fuerzas con forma de arcos, que impiden el flujo granular. (ii) La se-gregación de los granos por tamaño al ser sometidos a vibraciones, debido a las interaccionesinelásticas disipativas entre granos [8], la que influye cuando se requieren mezclas homogéneas.Este fenómeno que es llamado efecto de las nueces de Brasil (Fig. 1.2 (a)) se observa en mediosgranulares heterogéneos, al ser sometidos a vibraciones las partículas de mayor tamaño tiendena subir a la superficie. En un recipiente con frutos secos las nueces de Brasil son las de mayortamaño por lo que emergen a la superficie, de aquí su nombre [9]. (iii) La aparición de fuerzashorizontales al aplicar presión de forma vertical en un material granular, debido a que las partí-culas del medio se encuentran en contacto unas con otras, de manera irregular. Los esfuerzos setransmiten de forma no homogénea por la red de contactos en el medio, a través, de cadenas defuerzas. Una aplicación de este fenómeno se observa en las vías férreas; bajo los durmientes sedeposita gravilla, lo que produce que durante el paso del tren la fuerza que este ejerce sobre losdurmientes se distribuye, a través, de las cadenas de fuerza, lo que evita el hundimiento de ellos.(iv) Algunos investigadores trataron el tema de los silos respecto a las fuerzas que actúan sobrelos granos almacenados en estos lugares. Por ejemplo, I Roberts estudió el comportamiento dela presión de los granos contra las paredes del silo las que en ocasiones colapsan (Fig. 1.2 (b)),y posteriormente, Janssen explicó satisfactoriamente lo que realmente ocurre en ellos, por mediodel efecto Janssen.

El efecto Janssen consiste en que la presión en la base de una columna granular aumenta conla altura de los granos siguiendo una curva exponencial satura,esdecir, tiende rápidamente a unvalor máximo. La presión aumenta con la altura de los granos. Esta altura es un poco mayor aldoble del diámetro del orificio de salida. Un ejemplo de este efecto son los relojes de arena, seobserva que los granos fluyen desde la parte superior a la inferior, dada la fuerza de gravedad,por lo que, para su funcionamiento sólo utiliza la energía potencial gravitacional. En estos relojeso en cualquier otra columna granular, se produce el efecto Janssen y, ya que en los relojes dearena el diámetro de salida es pequeño en comparación al diámetro del recipiente, el que poseeforma cónica, la altura a la que la presión en la salida satura es baja. Ya que, la presión esprácticamente constante con la altura, el flujo granular de salida es constante e independientedel peso del material (Fig. 1.2 (c)), por lo que, el tiempo que tardan los granos en pasar de uncompartimiento a otro es constante y se emplea para medir intervalos de tiempo.

En definitiva, la importancia de los sistemas granulares en diversos procesos productivos, in-cluso en nuestras casas, han contribuido a incrementar el número de estudios experimentales paraconocer los fenómenos que ocurren en estos medios. El objetivo es elaborar modelos que descri-ban su comportamiento y nos entreguen una mejor comprensión de la física de estos materiales,para diseñar procesos eficientes en la manipulación y control de los sistemas granulares.

1.2. Formación de cráteres

Los fenómenos de colisión son abundantes e importantes en la naturaleza tanto a nivel micros-cópico como macroscópico. A nivel microscópico destaca el fenómeno producido por los fotones,

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Figura 1.4: Ejemplo de cráteres - (a) El volcán Mauna Loa es uno de los cinco volcanes que seencuentran en la Isla de Hawai en el Océano Pacífico. Es considerado el volcán más grande de la Tierraen términos de volumen y superficie. En la cima se observa el cráter producto de la erupción, desde elinterior sale lava a gran temperatura, la que escurre por la ladera del volcán. b) Diversos cráteres porimpacto, que se generan en la superficie de la luna, ya que ésta no posee atmósfera (como la Tierra)queda expuesta a colisiones con meteoritos, asteroides y otros objetos que viajan por el espacio.

que son partículas de luz, que impactan con los electrones de una superficie de metal, transfierensu energía y cantidad de movimiento, dando origen a una corriente eléctrica. Este fenómeno es loque se conoce como efecto fotoeléctrico. Fue descubierto y descrito por Heinrich Hertz en 1887,pero fue Albert Einstein quien entregó una explicación teórica en 1905. A nivel macroscópicola colisión en la superficie de la Tierra con un asteroide forma un cráter por impacto. Estosasteroides no han podido ser detenidos por la atmósfera ni desviados por el campo magnético dela Tierra.

Es difícil observar la formación de cráteres directamente, y gran parte de nuestra comprensióndel proceso se deriva de las observaciones del producto final, es decir, los propios cráteres [10].Actualmente, en la Tierra se observan principalmente cráteres de tipo volcánico (Fig. 1.4 (a)) opor impacto (Fig. 1.4 (b)). Un cráter por impacto se define en forma general como, una depresióncon bordes semi-circulares provocado por la colisión de un asteroide, cometa u otro objeto enla superficie de algún cuerpo celeste (Fig. 1.4 (b)). Se sabe que los cráteres observados en lassuperficies lunares y planetarias fueron en su mayoría generados por impactos de meteoritos. Eldiámetro de un cráter es de 10 a 15 veces más grande que el asteroide que lo crea. El objetoimpacta con cierta velocidad y transfiere su energía y momentum a la superficie, el impactoorigina la formación de un cráter por impacto.

Aunque por muchos años la idea que predominaba respecto a la formación de cráteres era queestos tenían un origen volcánico [11], los geólogos y astrónomos propusieron diferentes hipótesispara explicar el origen de los cráteres lunares y planetarios. Aunque las teorías de impactoresurgieron a principios del siglo pasado, con el estudio de los cráteres terrestres, no se aceptaroncompletamente hasta la década de 1960.

La Tierra al estar protegida por la atmósfera y el campo magnético, presenta menos cráteresde impacto en comparación con los cráteres volcánicos dada la gran actividad geológica de laTierra. Los cráteres en volcanes se forman tras la erupción de estos (Fig. 1.4 (a)), los gasescalientes crean una gran presión con lo que aparece una abertura desde la cual puede salir lava,cenizas y gases piroclásticos. Una característica de los cráteres volcánicos es que son menos

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circulares que los de impacto [12]. Otro tipo de cráter es el denominado cráter por hundimiento,estos se forman por el colapso de la superficie en una cavidad subsuperficial, aunque las hipótesisacerca de los mecanismos de formación varían de planeta en planeta. Este tipo de cráter carece deun borde elevado y de depósitos de eyección como sucede con los cráteres de impacto; o flujos delava asociados a los cráteres volcánicos. En la Tierra se han encontrado estos cráteres en Hawaii,Israel, Jordania e Islandia [13].Las características de los cráteres se cuantifican típicamente mediante la profundidad, diámetroy el volumen. Se pueden identificar dos radios y dos profundidades para un cráter dado, en basea mediciones referidas a la superficie del terreno original o al borde del cráter. Se han formuladorelaciones generales entre la velocidad de impacto del proyectil y las dimensiones del cráter, paraproyectiles esféricos que impactan en una superficie plana, caracterizada por su resistencia ydensidad.

La formación de cráteres de impacto es un proceso extremadamente complejo, que dependede las propiedades materiales tanto de la superficie impactada como del proyectil, de los pará-metros de impacto, así como también, de efectos gravitacionales y atmosféricos [14]. Aunque casitodos los mapeos de cráteres recientes se describen como "depresiones con bordes circulares", lasmorfologías detalladas de los mapas de impacto muestran muchas variaciones. La morfología delos cráteres de impacto depende en gran medida de la energía de impacto [15], con característicastales como máximos centrales ascendentes, terrazas de depresión y múltiples anillos que apare-cen a medida que aumenta el tamaño del cráter [14]. Actualmente, se cree que esta diversidadmorfológica no es un resultado directo del proceso de excavación del cráter, sino que se desarrollasólo después de que la mayoría del material ha sido expulsado del cráter.

La energía del impacto se transfiere a la corteza del cuerpo celeste en forma de ondas dechoque que viajan a través de la superficie y ejercen presión sobre las rocas. La interacción delas ondas de choque con la superficie genera la excavación del cráter, eyectando el material de lasuperficie hacia afuera de la cavidad que se está formando. El proyectil en gran parte se destruyepor las ondas de choque. La energía cinética del impacto de un asteroide se distribuye en cincoprocesos: calentamiento, trituración, deformación, eyección de material y ondas sísmicas [16].

Dentro de los cráteres de impacto existen dos tipos: simples y complejos. Los cráteres simplestienen una forma sencilla con un cuenco circular. Sus bordes están bien definidos y su paredinterior es lisa. En la Tierra los cráteres menores a 4,2 km, son considerados simples, ya que nosufren ninguna modificación importante debido a la gravedad. Se denomina cráter complejo alos cráteres de impacto que poseen una elevación central [17] son causados por impactos a granvelocidad. La profundidad del cráter complejo suele ser menor que la de los cráteres simples ysu diámetro mayor. Sus bordes están formados por montículos discontinuos. En un comienzo elcráter simple y el complejo se forman de manera similar pero cuando la cavidad que se formacomienza a crecer y algunas de las rocas que están en el centro comienzan a subir, se genera uncráter complejo, el levantamiento de la cavidad del cráter forma una estructura central y llegaa ser casi la décima parte del diámetro final del cráter [18]. También suelen presentar sistemasde fallas y anillos concéntricos [19]. Las condiciones que se dan para la formación de un crátercomplejo dependen de la gravedad y de las características de la zona de impacto: si la gravedad esdébil, se necesita un asteroide de gran diámetro para que se forme un cráter complejo; lo mismosucede si el terreno donde se produce el impacto posee una alta resistencia mecánica [20]. Ladinámica de formación de cráter por impacto en medios granulares ha sido estudiada mediantediversas técnicas experimentales, así como también, de dintintos enfoques teóricos. Así, se hanidentificado ciertos eventos transitorios asociados a la formación del cráter. Para una importanteclase de eventos de cráter, como impactos de asteroides en medios granulares el proceso puededividirse en tres etapas [15]

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Figura 1.5: Secuencia de formación de cráter - Etapas principales en las que se divide el procesode formación de cráteres de impacto. Las dos primeras son comunes para el caso de cráteres simples ycomplejos: (a) Etapa de contacto y compresión esta etapa es la más breve, el proyectil penetra en elmaterial y entrega su energía y momentum. (b) Etapa de excavación: El material se comprime y eyecta.(c) Etapa de modificación: Para cráteres simples. Se colapsan las paredes del cráter y el fondo se levanta,para el caso de cráteres complejos. Su principal característica es la formación de un máximo central.

1. Etapa de contacto y compresión: Se refiere a la generación de ondas de choque en lasuperficie impactada y en el proyectil como resultado del impacto (Fig. 1.5 (a)). Medianteeste impacto la energía y el momentum del proyectil son transferidos al medio.

2. Etapa de excavación: Durante la etapa de excavación el material es removido princi-palmente mediante dos procesos: compresión del material debajo del impacto y eyecciónde material hacia el medio (Fig. 1.5 (a)). El proyectil aparta el material impactado, locomprime y lo acelera a una fracción de la velocidad de impacto. La eyección es de graninterés para los estudios de la física planetaria, ya que este contiene suelo de considera-ble profundidad, de este modo proveé información relacionada con las capas debajo de lasuperficie del medio granular [21].

3. Etapa de modificación: En general, los procesos de esta etapa dependen del tamañoque alcanza el cráter durante la etapa de excavación, el cráter transitorio, además de laresistencia de la superficie y la aceleración gravitatoria del cuerpo impactado. Aquí, es lagravedad la principal fuerza que produce el colapso del cráter transitorio produciendo unageometría del cráter menos profunda que es más estable en un campo gravitacional. Eldiámetro final del cráter es menor al del cráter transitorio del cual quedan evidencias en

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el borde del cráter. En el caso de cráteres simples (Fig. 1.5 (b)) la etapa de modificaciónconsiste en el derrumbe de las paredes hacia el interior de la cavidad del cráter y unadisminución en la profundidad de éste. En tanto, en los cráteres complejos (Fig. 1.5 (c)) estaetapa incluye el desmoronamiento, o caída de las paredes del cráter en forma de derrumbe,levantamiento del fondo del cráter y formación de máximos centrales. El movimiento delmaterial hacia adentro y hacia arriba durante la etapa de modificación genera una mezclacompleja de terrazas escalonadas y derretimiento por impacto dentro de la depresión delcráter.

Los fenómenos de colisión también son importantes en la teoría de creación de planetesi-males. Los planetesimales son cuerpos rocosos, que pueden contener Helio poseen un tamañoen el rango [0.1 − 100] km [22]. Mediante sucesivos choques entre planetesimales de diferentetamaño, lentamente se formaron los protoplanetas o embriones planetarios, en cada colisión seagrega materia al protoplaneta. Los protoplanetas también son impactados por planetesimales,y mediante la acreción de materia producto de colisiones, luego de cientos de años se crearon losplanetas. La acreción es el proceso mediante el cual la masa de un cuerpo aumenta por acumu-lación de materia, tanto en forma de gas como de pequeños cuerpos sólidos que colisionan y seadhieren al cuerpo mayor [22]. Todos los planetas, sus satélites, así como también asteroides ycometas provienen de una fase de acreción de pequeñas partículas sólidas que mayoritariamentecondensaron de la fase gaseosa en la llamada nebulosa solar, aunque también contendría granosde polvo formados en las envolturas de otras estrellas [23]. Particularmente, se han desarrolladoestudios experimentales relacionados a la formación de cráteres en medios granulares producidospor impacto con algún cuerpo. Dada la energía de impacto no es relevante el material que seuse. Estos estudios de colisión resultan de importancia, ya que permiten comprender la dinámicade formación de cráteres en medios granulares, por ejemplo, en el caso de cráteres en cuerposcelestes como la luna o la tierra.

1.3. Trabajos previos en formación de cráteres de impacto.

Recientemente se han desarrollado diversos estudios experimentales de generación de cráteresde impacto en medios granulares los cuales ayudan a comprender la dinámica de la formación decráteres. Esto por medio del análisis de las morfologías observadas en los cráteres, lo que permite,encontrar las relaciones entre el diámetro y la profundidad del cráter con la energía de impacto.

Figura 1.6: Perfil de un cráter de impacto - (a) Forma del cráter de impacto en un medio granularno-cohesivo digitalizado mediante el uso de un profilómetro laser, se observa un perfil casi hiperbólico.(b) Dinámica de evolución del radio del cráter de impacto en una capa granular.

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La forma más sencilla de realizar experimentos de impacto es mediante la liberación deesferas desde una altura determinada hacia objetivos granulares [11]. En la mayoría de ellos sedepositan los granos en un contenedor, posteriormente se libera la esfera la que colisiona con lacapa granular, de esta manera, se genera un cráter por impacto. Para analizar la dinámica de laformación del cráter se han utilizado diferentes técnicas experimentales. En estos experimentosse emplean granos de diversos tipos, tamaños, así como capas granulares de distinto espesor.Algunos centran su análisis en la evolución del diámetro del cráter, la forma de la corona, laprofundidad del impacto, la relación entre la energía de impacto y el tamaño del cráter, entreotros.

En la colisión de una esfera metálica sobre material granular no cohesivo [10] y sus colabo-radores observaron, que la forma del cráter posee un perfil aproximadamente hiperbólico (Fig.1.6 (a)). Los investigadores han concluido que el radio y la profundidad del cráter dependende la energía de impacto, la densidad y el tamaño del proyectil [10]. Se muestra que la energíarequerida para excavar el cráter es sólo una pequeña fracción (0.1− 0.5 %) de la energía cinéticadel proyectil [10]. Boudet y sus colaboradores, en el estudio del impacto de una esfera, metálicacon una fina capa granular, al interior de un recipiente transparente han empleado una cámararápida. Se ha concluido que; la apertura del cráter se puede modelar mediante una función ex-ponencial saturada (Fig. 1.6 (b)), además, una vez que se detiene el crecimiento del radio delcráter, se produce una disminución del mismo debido a un proceso de avalancha por efectosgravitacionales. Otro aspecto analizado es la formación de una corona [24, 10] sobre la superficiede la capa granular, esta es generada por los granos que son eyectados producto de la colisión.Al grabar desde un costado es posible ver como evoluciona la corona, la que emerge desde lasuperficie de la capa granular. Se observa (Fig.1.7 (b)) que la velocidad de los granos en la coronavaria de manera tal que en la cima es máxima y disminuye linealmente hacia la superficie, conuna pendiente dada, por la frecuencia característica, la que se define como Γ =

√g/d tal que

d es el diámetro de los granos [24]. La evolución temporal de la corona (Fig. 1.7 (a)) se puedeexplicar mediante un modelo balístico simple y una característica de ella es que el ángulo forma-do por su borde con la superficie granular, horizontal, permanece constante durante el procesode eyección [25]. Al evaluar el número y la energía cinética de los granos eyectados es posible elcálculo del coeficiente de restitución efectivo el que caracteriza el complejo proceso de colisión yse mantiene constante al variar los parámetros de control. En tanto, la perturbación causada porel impacto viaja horizontalmente por la superficie granular y tiene una velocidad de propagacióncaracterística [24].

Se ha visto que en la mayoría de los experimentos realizados es una esfera de acero la queimpacta al material granular, sin embargo, también se ha estudiado el impacto de un proyectilcon menos densidad como, por ejemplo, una gota de agua que cae sobre una capa granular [26].Aquí se consideraron los siguientes parámetros: la viscosidad del fluido, la tensión superficial delfluido, la velocidad de impacto, el tamaño y la forma de los granos, el tamaño de la gota y lafracción de volumen. Los diferentes regímenes observados han sido caracterizados por medio delbalance entre el tiempo de impregnación del agua en la capa granular y el tiempo de capilaridadresponsable de la recesión de la gota. Los resultados indican que al igual que en el caso de unproyectil sólido, la forma del cráter depende de la energía cinética en el momento en que la gotaimpacta al material granular. Cuando el tamaño de los granos es muy grande no se observarecesión, la energía entregada por el impacto no es suficiente para mover a los granos.

En el caso de impactos a baja velocidad de objetos sólidos en medios granulares, se haconsiderado un medio granular formado por esferas de vidrio, de diámetro micrométrico, (paraque el medio sea homogéneo y su superficie sea plana, este se ha fluidizado y gradualmentedesfluidizado mediante un flujo uniforme de gas N2, antes de cada impacto). La esfera llevapegada, en su parte superior, una barra vertical transparente graduada con finas líneas [27]. Con

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Figura 1.7: Velocidad de propagación de la corona - (a) Perfil de la corona de granos y ajustede curvas en diferentes instantes. (b) Perfil de velocidad de propagación de la corona como función dela distancia xθ, la magnitud de la velocidad es constante y está dada por la frecuencia característica. Elgráfico dentro de la figura (b) muestra la evolución de la apertura del cráter como función del tiempo.

el uso de la cámara se obtienen datos del desplazamiento del patrón de líneas entre dos imágenessucesivas y, con ello se deduce la velocidad instantánea y la aceleración de la esfera. Entre otrosresultados demostraron que la interacción entre el proyectil y el medio se puede descomponer en lasuma del roce inercial dependiente de la velocidad más la fricción dependiente de la profundidad[27].

Otros investigadores [28] trabajaron sobre el impacto de una esfera en una capa granularmuy compacta contrastando con un disco que cae sobre agua, aunque ambos casos son similaresexisten ciertas diferencias. Cuando un objeto interactúa con material granular experimenta unafuerza de arrastre, esto lleva a la generación de un cráter y a la creación de una cavidad transitoriaque luego colapsa en la formación de un chorro granular el cual emerge sobre la superficie delmaterial. La elevación se asocia con una burbuja de aire que queda atrapada durante el proceso yposteriormente sube lentamente a través de la capa granular [28]. En el agua se puede observar loque sucede dentro del sustrato; al impactar se crea una cavidad que se expande tras el proyectil,que luego colapsa por la presión hidrostática del líquido y en un punto del eje de simetría secrean dos chorros uno hacia arriba y el otro hacia abajo.

1.4. Efecto del vacío en la caída libre

El estudio de la caída libre de los cuerpos viene desde la antigüedad, Aristóteles en el siglo IVA.C sostenía, erróneamente, que la aceleración de los cuerpos en caída libre era proporcional a sumasa. Diecinueve siglos después Galileo Galilei afirmó que todos los cuerpos en la Tierra caen conla misma aceleración constante e independiente de su masa [29]. Sin considerar la resistencia delaire y el efecto de la rotación de la Tierra, experimentalmente se ha demostrado que los objetosque caen cerca de la superficie de la Tierra experimentan la misma aceleración constante dadala influencia de la gravedad. La magnitud de la aceleración gravitacional cerca de la superficiede la Tierra es de gt = 9.81 m/s2 aunque esta magnitud varia dependiendo del lugar, en la Lunala magnitud es de gl = 1.6 m/s2. Con el fin de minimizar la fuerza de arrastre que genera laatmósfera sobre un objeto que se desplaza cerca de la superficie de la Tierra, bajo la influenciade la gravedad, se utilizan cámaras de vacío. En diversos experimentos y aplicaciones se requiere

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Muy Alto Alto Medio Bajo

10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 1 101 102 103 104 105

10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 1 101 102 103

10−11 10−10 10−9 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 1

Torr

Pa

Atm

Figura 1.8: Rangos de vacío parcial - Escalas de vacío, en la unidades más usadas. En sombreado semuestra la zona de trabajo para el desarrollo de esta tesis.

Figura 1.9: Chorro granular - (a)Formación de un chorro de granos a pre-sión atmosférica. (b) En este caso se hadisminuido la presión de vacío a un nivelde ∆P = 2.7 kPa se observa una impor-tante disminución del tamaño del chorrogranular.

cierto nivel de vacío, por diversos motivos. Estos niveles se encuentran desde el bajo vacío quese ubica entre 225 a 7.501× 10−1 Torr 1 hasta el ultra alto vacío en el intervalo de 7.501× 10−8

a 7.501 × 10−13 Torr. Estos rangos se encuentran resumidos en la (Fig. 1.8). El nivel de vacíoo presión residual en el espacio es de 10−16 Torr (milimetros de Mercurio) correspondiente auna densidad de una molécula por centímetro cúbico [30]. Las bombas de vacío empleadas paraextraer a las partículas de la cámara de vacío, se clasifican principalmente en tres categorías:

1. Bombas mecánicas: operan contra la presión atmosférica y pueden alcanzar niveles de10−2 a 10−3 Torr.

2. Bombas de difusión molecular: capaces de alcanzar niveles de vacío del orden de 10−6

a 10−8Torr.

3. Bombas de iones: se utilizan para generar altos niveles de vacío de 10−8 a 10−10 Torr.Para niveles de alto vacío se utilizan técnicas criogénicas.

En el estudio experimental de la formación de cráteres en medios granulares se ha constatado1Es común utilizar el Torr como unidad para medir el nivel de vacío, un Torr se define como una presión

equivalente a un mm de Mercurio

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Figura 1.10: Chorro granular en caída libre - En este experimento se deja caer un fino chorrogranular al interior de una cámara de vacío. El chorro que en un principio posee un aspecto uniformecomienza a agruparse, estos grupos inicialmente están unidos por finos puentes granulares que luego serompen.

la formación de un chorro granular que emerge desde el interior del cráter, cuando este expe-rimento se realiza a presión atmosférica el chorro alcanza un gran tamaño, tanto en su alturacomo en el espesor de este (Fig. 1.9 (a)). Si se disminuye el nivel de vacío a ∆P = 2.7 kPa (20.25Torr) el chorro es más pequeño (Fig. 1.9 (b)), lo que esta relacionado con una menor penetracióndel objeto que impacta [28]. Otro caso en que el nivel de vacío ha mostrado ser determinante, escuando un fino chorro granular cae bajo la acción de la gravedad al interior de una cámara de va-cío, a un nivel de ∆P = 30 Pa (0.225 Torr), bajo estas condiciones el chorro granular se comportade manera similar a su contraparte hidráulica, formando grupos de granos los que en primerainstancias están unidos mediante puentes granulares, pero luego estos se rompen quedando losgrupos aislados unos de otros (Fig. 1.10).

El experimento de esta tesis se realiza al interior de una cámara de vacío, como se verá lascondiciones del montaje experimental requieren de un nivel de vacío, ya que de lo contrario noes posible producir la situación deseada. En este caso el experimento se realiza en un nivel debajo vacío.

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1.5. Objetivos

Como se ha presentado a lo largo de esta introducción, los fenómenos de colisión son de granimportancia tanto en la Tierra como en todo el Universo. Resulta esencial, entonces, comprenderla dinámica de formación de cráteres, identificar las etapas del proceso y, por sobretodo, losprincipios físicos involucrados. Debido a que es prácticamente imposible observar directamentela formación de un cráter por impacto, los estudios experimentales cobran gran importancia,ya que, permiten obtener información necesaria para verificar las hipótesis físicas relativas alcomportamiento del sistema. No siempre es posible acceder a todas las variables al mismo tiempo,incluso algunas permanecen ocultas, en ocasiones, debido a limitaciones técnicas. En la formaciónde cráter resulta difícil observar su evolución temporal sólo es posible ver su estructura una vezque este ya se ha formado.

El objetivo principal de esta tesis es diseñar e implementar un montaje experimental quepermita observar completamente la formación de un cráter por impacto con condiciones debordes libres. Esto es, considerando lo que ocurre en su deformación superior o corona, así comotambién lo que hasta el momento no ha sido posible observar: la deformación bajo el impacto.Se considerará el caso de cráteres que se forman producto de la colisión de una esfera metálicay un medio granular con condiciones de borde libre. Para lograr el objetivo principal se debenalcanzar los siguientes objetivos secundarios:

(i) Diseño e implementación del sistema electromecánico que permite obtener la condicióninicial para la geometría del material granular.

(ii) El sistema de control electrónico para el sistema electromecánico, para esto se ha utilizadola plataforma c©Arduino, la que requiere de la programación de un código que definelas acciones que debe realizar el sistema de control. Es de gran importancia identificar yminimizar cualquier situación que afecte la repetibilidad del experimento.

Finalmente, los datos asociados a la dinámica de la colisión serán grabados con una cámararápida. Mediante la observación de la secuencia de imágenes se obtendrán los datos que describenla evolución de la geometría del cúmulo granular. El montaje experimental nos permite observarla forma del cráter transitorio y, a la vez, la evolución de la corona. Con este nuevo dispositivoexperimental se tiene acceso a más información de la dinámica de formación del cráter y con estoa una mayor comprensión del fenómeno.

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2Diseño y desarrollo experimental

Resumen2.1. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1. Variación del montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Sincronización de los electroimanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1. Imantación en las esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Circuito de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1. Montaje experimental

El presente trabajo tiene como objetivo principal observar la dinámica de formación de uncráter por impacto en un cúmulo granular. Este último consiste en una fina capa granular conforma de disco, el impacto se produce con una capa granular con condiciones de bordes libres loque no es fácil de producir. Ha sido necesario el diseño de un novedoso dispositivo que permiteobtener la condición mencionada.

El experimento se realiza al interior de una cámara de vacío, ya que el método experimentalutilizado genera una diferencia de presión que perturba la capa granular, modificando su geo-metría. La cámara de vacío posee forma cilíndrica con paredes transparentes, para observar lacolisión. En su interior se ubica una estructura metálica, que consiste en una plataforma condos pilares y una viga superior (Fig. 2.1). La capa granular esta inicialmente sobre un disco deteflón el cual esta sujeto por dos solenoides que se ubican en los pilares de la estructura. Se haempleado teflón dado que este material posee un bajo coeficiente de roce. El disco, además, seencuentra sujeto a la plataforma inferior de la estructura metálica mediante una cinta elástica.Para realizar el experimento (Fig. 2.2) primero se depositan cuidadosamente los granos con unpequeño embudo en la base, sobre un anillo de altura δ, el que sirve para fijar la geometría inicial.El rango de anillos utilizados en los experimentos varia entre δ = [4− 10] mm. La superficie degranos es, posteriormente, nivelada para mantener una capa homogénea y regular. Al sacar elanillo se produce una pequeña avalancha en los bordes generando un disco de menor altura en

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Figura 2.1: Montaje experimental - El dispositivo experimental esta compuesto por un disco circulardonde se depositan los granos. La base esta unida a un elástico que se encuentra sujeto en el piso y sesostiene por dos electroimanes. Un tercer electroimán sujeta una esfera de acero en la parte superior.El sistema electrónico esta sincronizado de tal forma que al retirarse los electroimanes de la base éstaes rápidamente arrastrada consiguiendo que la capa de granos comience a caer con una velocidad inicialnula. Posteriormente, colisiona la esfera en el instante adecuado de manera que podemos observar ladinámica de la geometría de la superficie inferior y superior de la capa granular durante la colisión.

esa zona (ver primer cuadro en la (Fig. 2.2), se ha procurado que esto no perturbe la dinámicadel cráter, por lo que se emplean esferas de diámetro D tal que D < 1.3δ.

Mediante el uso de la bomba de vacío (Marca Busch, modelo R5) se fija el nivel de vacíoparcial, mediante un sensor de vacío (Marca Granville Phillips, modelo 275 Mini - Convection)se corrobora que el nivel alcanzado se encuentra dentro del rango ∆P = [0.7−4] kPa. Inicialmentela capa granular descansa sobre la base. A continuación se ubica la esfera de acero (diámetro D)en el electroimán superior a una distancia H de la base de la capa granular y, posteriormente,se cierra la cámara de vacío.

Se requiere controlar la diferencia de tiempo entre el inicio de la caída de la esfera y elcomienzo del descenso de la base, para que al momento de producirse la colisión la capa granularse encuentre levitando y la base no interfiera en el proceso de colisión. Asumiendo un vacío parcialse pueden emplear las ecuaciones de movimiento en vacío para determinar cuanto tardará la esferaen colisionar con la capa granular. Este es el tiempo de desfase δt entre los eventos mencionados.

Los solenoides y el electroimán se controlan por medio de una tarjeta electrónica Arduino,

Figura 2.2: Secuencia de formación de cráter - La secuencia muestra el proceso completo de colisión.El tiempo entre cada imagen corresponde a ∆t = 14 ms. La escala corresponde al diámetro de la esferad = 21 mm.

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el tiempo de desfase calculado se ingresa en la tarjeta la que envía diversas señales electrónicasa una placa de relé, lo que origina que se desenergice el electroimán que sostiene a la esferametálica, y ésta comienza a caer. Una vez transcurrido el tiempo de desfase, δt , los solenoideslaterales retroceden rápidamente liberando a la base, momento en el cual la cinta elástica, quesujeta el disco a la base, provee la fuerza necesaria para desplazar la base hacia abajo lejos delmaterial granular, con una mínima interacción inicial con la capa granular. La capa comienza acaer lentamente bajo la acción de la gravedad y sin perder, esencialmente, su geometría inicial. Enese momento, la esfera golpea la capa con una velocidad proporcional a su distancia v =

√2gh,

por lo tanto, la escala de tiempo característica de la capa granular que cae es mayor a cualquierotra escala de tiempo en el problema. Entonces, tenemos que la esfera golpea una capa granularque levita perfectamente libre, en estas circunstancias se genera la colisión.

El fenómeno es grabado con una cámara rápida (Phanton Miro M110) a 2000 cuadros porsegundo. El lente utilizado posee una distancia focal de 40 mm para capturar finos detallesen la geometría del cúmulo granular. Con anterioridad, se han ubicado un conjunto de lucesled, tipo SMD, frente a la cámara de vacío, para lograr un nivel de iluminación homogéneo ensu interior y obtener una imagen de calidad. Posteriormente, el análisis de imágenes se realizacon un código creado en el programa c©Matlab (ver sección 3.3). Con esta configuración, seobserva la deformación completa de la capa granular representada, no sólo por su parte superior(corona) sino también por la deformación inferior (cráter). El material granular utilizado, paraeste experimento, esta compuesto por esferas de silicio (Sovitec glass beads) cuyo diámetro d seencuentra en el rango d = 75− 300 µm

2.1.1. Variación del montaje experimental

El dispositivo experimental fue modificado con el fin de eliminar las partes móviles (mecáni-cas) que generaban pequeños errores de reproducibilidad. Particularmente, se cambio el electro-imán superior por uno de mayor potencia eléctrica, lo que permitió colgar esferas de mayor masa.En el caso de los solenoides estos fueron reemplazados por electroimanes. El cambio, además, haincluido una modificación del sistema de soporte de la base de la capa granular. Este sistemaconsiste en una nueva base que posee en su parte inferior una viga rectangular. En los extremosde ésta se han adosado a la superficie superior un par de placas metálicas, las que se fijan a loselectroimanes laterales. De modo que, al enegizarse estos últimos atraen a las placas metálicasdescritas y, con ello sostienen a la base.

2.2. Sincronización de los electroimanes

Para obtener un impacto perfecto, el tiempo de desfase, δt, que debe existir entre el iniciode la caída de la esfera y el comienzo del descenso de la base de la capa granular, se obtieneempleando las ecuaciones de movimiento en vacío, para esto se considera que la distancia h figura2.1 que debe recorrer la esfera viene dada por h = H − (D + δ). Para el cálculo del tiempo dedesfase se tiene que la caída libre de los cuerpos bajo la acción de la gravedad y en vacío vienedada por,

z(t) =1

2gt2 (2.1)

De aquí, se tiene que el tiempo de descenso requerido para recorrer la distancia h queda

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Cuadro 2.1: Distancias y tiempos de descenso con 12 volt

D (mm) H (mm) δt (ms) Impacto21.0 80 127.7 se produce30.0 71 120.31 no se produce

determinado por:

tdesc =

√2h

g(2.2)

Durante el desarrollo del experimento se encontró que en algunos casos, el tiempo de descensocalculado mediante la (Ec. 2.2), no permite obtener la colisión en el instante requerido. En latabla 2.1 se han resumido los datos de dos casos, en uno de ellos se logra la colisión y en el otrono. En ambos, la condición inicial para la geometría de la capa granular se fija usando un cilindrode bronce de radio r = 2.0 cm y altura δ = 4 mm. La presión de vacío es de 1.99 kPa. En elprimer caso la distancia que debe recorrer la esfera para lograr la colisión es de h = 80 mm, eltiempo que tarda la esfera en recorrer esta distancia es el desfase temporal, el que en este caso esde δt = 127.7 ms. Usando este valor, se obtiene la colisión en el instante óptimo para registrarlacon el uso de la cámara rápida. En el segundo caso, la distancia de descenso h es de 71 mm y eltiempo de descenso de 120.31 ms. Al fijar este tiempo en el programa implementado en Arduinose observa que la colisión no se produce, se han resumido los datos en la tabla 2.1. El tiempo quese ha calculado no es útil, esto se debe principalmente a un fenómeno de imantación en las esferas,observado de forma experimental, producto del campo magnético del electroimán que la sostiene.Se reitera el experimento anterior usando varios valores de tiempo en el intervalo comprendidoentre 110 y 120 ms. Usando un tiempo igual a 110 ms se obtiene la colisión deseada. Se debecomprender el por qué, en este caso, el cálculo teórico del tiempo difiere en, aproximadamente,10 ms del tiempo que se obtiene de manera experimental.

2.2.1. Imantación en las esferas

El tiempo de descenso de la esfera se puede calcular, sin embargo, el tiempo de separación dela esfera del electroimán no es instantáneo y se ve afectado por el campo magnético producidopor éste. Esto es debido a que las esferas se imantan levemente inducidas por el campo magnéticodel electroimán y, por consiguiente, siguen un tiempo pegadas una vez que en este ya no pasacorriente. De ésta forma, manteniendo un voltaje constante1 para todas las esferas, las de menortamaño se ven más afectadas consiguiendo mantenerse imantadas por varios segundos una vezdesconectado el sistema. Esto hace que el tiempo de sincronización necesario en la desconexiónpara los electroimanes laterales y superior no sea reproducible y, por sobretodo, cambie en funcióndel diámetro de la esfera. Para corregir esto y, con el fin de, estimar un tiempo de sincronizaciónmás exacto y que no se vea afectado por la imantación de las esferas es que se midió el voltajemínimo necesario para mantener fijas a las esferas. Así, se logra inducir una magnetizaciónmínima en las esferas y mantener un tiempo de sincronización más constante para todos losdiámetros.

El fenómeno de imantación se hace más importante a medida que disminuye el volumen de laesfera empleada. Para aquellas de menor volumen el campo magnético residual, es tal que la esfera

1En los primeros intentos se utilizó una fuente de 12 V.

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0

0.5

1.0

1.5

2.0

D (mm)15 20 25 30

tens

ión

min

ima

(V)

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

D (mm)15 20 25 30

(a) (b)

Figura 2.3: Gráfica del tiempo de caída de las esferas - (a) La gráfica muestra los promedios deltiempo de separación de las esferas versus su diámetro. (b) Dependencia de la tensión mínima necesariapara sostener la esfera.

permanece unida por más tiempo que aquellas esferas de mayor volumen. Se debe considerarque las esferas de mayor volumen poseen una masa mayor, por lo que su peso será mayor,y por consiguiente, requieren de un campo magnético residual más intenso para permanecerunidas al electroimán una vez que este último ha sido desenergizado. Se estudió en detalle elcomportamiento de las once esferas del conjunto con el objetivo de determinar el efecto de laimantación en la diferencia de tiempos de acción que deben tener los electroimanes. Para ello seubica una luz LED SMD justo encima del electroimán que sostiene a la esfera. Este LED estaconectado eléctricamente a un relé que lo controla de forma sincrónica con el relé que controlaal electroimán superior, que sostiene a la esfera. Mediante el pulsador electrónico se inicia laacción del sistema de control el cual en primera instancia desenergiza el electroimán superior yde manera conjunta se enciende el led SMD. El proceso es grabado con la cámara rápida a 2.000cuadros por segundo, lo que nos permite determinar con precisión la sincronización de los sucesos.De esta forma, se puede medir la diferencia temporal entre el instante en que se desenergiza elelectroimán, y de manera conjunta se enciende el led, y aquel en que la esfera efectivamente sedesprende de este, lo que define el tiempo de imantación ∆timan.

Ahora, se sabe que existe un tiempo entre la desenergización del electroimán y el inicio de lacaída libre de la esfera. Al ajustar un valor mínimo de la potencia eléctrica para cada esfera, seha obtenido que el tiempo que demoran las esferas en desprenderse del electroimán una vez queeste ha sido desenergizado quede acotado al intervalo [1− 2.5] ms. Así, para obtener la colisiónen el momento y lugar adecuados al tiempo calculado mediante la ecuación 2.7 se debe agregarla diferencia temporal ∆timan correspondiente y se obtiene la colisión. Dadas las once esferasde distinto diámetro y considerando tres muestras por esfera, excepto para las esferas de 28 y30 mm para estas se consideran dos muestras por cada una, en total se analizaron noventa ytres caídas libres. En la (Fig. 2.3) se observan los tiempos promedios de la caída de las distintasesferas y su desviación estandar.

2.3. Circuito de control

Para realizar el control de los electroimanes se ha utilizado un circuito electrónico basadoen Arduino. Para obtener la colisión en el momento requerido el electroimán que sostiene a laesfera metálica debe desconectarse en primera instancia. Posteriormente, se estima el tiempoque tarda la esfera en colisionar con la capa granular, mediante las ecuaciones de caída libre envacío (este tiempo se corrige de forma experimental) una vez transcurrido el tiempo de colisión

19


Referencia Mecánica

S1

S2

C

PS

Relé

CR

-+

E lectroimán

NPN Transistor Bipolar

-+

Fuente DC

Referencia Eléctrica

Referencia

Señal Arduino.

Masa_Esfera

R E

-+

R_b

-+

R_c

-+

R_e

-+

Fuente DC1

Figura 2.4: Circuito de control electroimán superior.- En el estado inicial el electroimán se encuentraenergizado lo que corresponde al circuito mostrado. Al iniciar el código la señal proveniente de Arduinocambia el estado del relé, así la tensión base-emisor es menor a la tensión de umbral del transistor y estepasa al estado de no conducción, de manera que el electroimán se desconecta de la fuente de tensión.

se deben desconectar los electroimanes laterales de manera tal que al momento del impactola capa granular levita. El control de los electroimanes se realiza por medio de relés, los queactúan como interruptores entre la fuente de tensión eléctrica y el electroimán. En el instanteinicial todos los electroimanes están energizados, ya que, las fuentes de tensión se encuentranconectadas al terminal normalmente cerrado del relé. En la (Fig. 2.4) se puede ver el circuitoelectrónico para el electroimán superior, el que sostiene a la esfera, en el estado inicial. En estecaso, el relé conecta a la fuente de tensión con el transistor,ya que la tensión base-emisor esmayor a la tensión de umbral del transistor este pasa al estado de conducción, lo que permite lacirculación de la corriente colector-emisor. Así, se conecta la fuente de tensión DC al eletroimán,generando la circulación de corriente y de flujo magnético. Se ha empleado el transistor, ya que,así la corriente que circula por el electroimán lo hace a través de él, y no por el relé, por el cualsólo circula la corriente de base del transistor, que es del orden de sólo 10−3 Amperes.

En las tarjetas electrónicas Arduino es posible escribir un algoritmo computacional al interiordel microprocesador, el que genera las señales de salidas deseadas a partir de las señales deentrada. La tarjeta posee un conjunto de entradas y salidas las que permiten obtener informaciónprovenientes de sensores (como luz, el estado de un interruptor, un mensaje de internet, entreotros) y, por otra parte, transmitir señales de actuación sobre los dispositivos a controlar talescomo motores, cambio en el estado de una luz o enviar mensajes por internet. Esta tarjeta seconecta a una placa de relés. Mediante un pulsador electrónico conectado a la tarjeta Arduinose inicia la ejecución del código. La primera instrucción genera una señal que va desde la tarjetaArduino a la placa de relés, esta primera señal cambia el estado del relé que controla el imánsuperior, con lo que se interrumpe la conexión eléctrica entre la fuente de Tensión y el transistorlo que conlleva la desconexión del electroimán. Una vez que la atracción gravitacional supera lafuerza de imantación de la esfera, esta inicia la caída libre.

20


Para los electroimanes laterales el circuito de control (Fig. 2.5) es similar al mostrado parael electroimán superior, excepto que para ellos no se ha empleado el transistor, por lo que, lacorriente que circula por los electroimanes circula también por sus respectivos relés. Se ha tomadoesta opción dado que la corriente es menor a la corriente nominal del relé. Se ha empleado unafuente de Tensión para el electroimán que sostiene a la esfera y otra fuente de Tensión para losdos electroimanes laterales. En la (Fig. 2.6) se aprecia el diagrama de conexiones entre la tarjetaArduino y la placa de relés. Se conectan las tres señales de control de la tarjeta Arduino a lasbobinas de control de los relés.

Referencia Mecánica

S1

S2

C

PS

Relé

CR

-+

Electroimán

-+

Fuente DC

Referencia Eléctrica

Señal Arduino.

Masa_Base

R E

-+

Resistor2

S1

S2

C

PS

Relé.

CR

-+

Electroimán1

Señal Arduino

Masa_Base.

-+

Resistor1

Figura 2.5: Circuito de control electroimanes laterales - Desde la tarjeta Arduino se envían dosseñales sincrónicas las que cambian el estado de los relés que controlan los electroimanes laterales, conesto se libera la base de la capa granular la que desciende rápidamente.

21


Figura 2.6: Conexión entre la tarjeta Arduino y la placa de relés - La placa contiene cuatrorelés cada uno cuenta con un contacto normalmente cerrado NC, un normalmente abierto NA y comúnC. La fuente de tensión DC se conecta a C y el electroimán se conecta a NC. La bobina de control delrelé es controlada por la tarjeta Arduino, si la señal posee un valor alto el relé cambia de estado.

22

3Resultados Experimentales

Resumen3.1. Descenso de un balón sin arrastre y con arrastre lineal o cuadrático 23

3.1.1. Trayectoria sin arrastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2. Arrastre lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.3. Arrastre cuadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. Trayectorias de las esferas y modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3. Análisis de imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4. Deformación de la capa granular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.1. Deformación superior: Evolución de la corona. . . . . . . . . . . . . . . 333.4.2. Deformación inferior: Formación de una campana . . . . . . . . . . . . . 34

3.1. Descenso de un balón sin arrastre y con arrastre lineal ocuadrático

Para analizar el movimiento de una esfera en un medio como, por ejemplo, una pelota lanzadaen aire o la esfera metálica que cae desde cierta altura h al interior de una cámara de vacío. Sedeben considerar las fuerzas a las que está sometida la esfera. En la (Fig. 3.1) se observa undiagrama de fuerzas constituido por: el peso, la flotación y la fuerza de arrastre. Si la fuerzade arrastre f(v) es cero, lineal o cuadrática en la velocidad, el problema físico admite soluciónanalítica. Los dos últimos casos corresponden a intervalos específicos del número de Reynolds yes posible obtener la expresión para la fuerza de arrastre de la siguiente fórmula general.

f(v) =1

2ρCdAv

2 (3.1)

donde Cd es el coeficiente de arrastre, ρ la densidad del medio, A el área de la sección transversalde la esfera y v la velocidad. El coeficiente de arrastre es función del número de Reynolds, el queviene dado por la siguiente expresión

Re =ρlv

η(3.2)

23


donde l es la escala de longitudes característica en el plano de la sección transversal del objeto,el diámetro, y η la viscosidad dinámica del medio.

Si el número de Reynolds pertenece al intervalo 0 < Re < 2× 105. Se puede definir la formaen que el coeficiente de arrastre depende de Reynolds, ésta es una expresión empírica.

Cd(Re) ≈24

Re+

6

1 +√Re

+ 0.4 (3.3)

Para Re < 1 el primer término en la (Ec. 3.3) es el que predomina. Empleando (Ec. 3.2) elcoeficiente de arrastre para este caso queda determinado por la expresión,

Cd(Re) ≈24

Re=

12η

ρrv(3.4)

Reemplazando el coeficiente de arrastre en la expresión para la fuerza de arrastre (Ec. 3.1)se tiene,

f(v) = 6πηrv (3.5)

Esta es la fórmula de Stokes. Para una esfera que se mueve muy lentamente, la fuerza dearrastre, es directamente proporcional a su velocidad [31]. Esta fórmula es válida desde un granode arena a un micro-organismo inmerso en agua, o una partícula diminuta de polvo flotando enel aire [31].

Si el número de Reynolds se encuentra en el intervalo [103−2×105] el coeficiente de arrastreserá Cd ≈ 0.4, ya que, los dos primeros términos en la (Ec. 3.3) tienden a cero. Con lo que lafuerza de arrastre toma la siguiente expresión,

f(v) = 0.2ρπr2v2 (3.6)

En este caso, el arrastre para la esfera es cuadrático en la velocidad. Por ejemplo, se aplica,a la caída de piedras desde una altura determinada o a un paracaídas.

Tanto para el caso de arrastre lineal como cuadrático el problema de lanzar verticalmente unaesfera admite una solución analítica. Ddo que el número de Reynolds depende de la velocidad de

g

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< l a t e x i t s h a 1 _ b a s e 6 4 = " + 8 6 F a Z r T U D y g T 7 m b y l o D A v I d w P o = " > A A A B 7 H i c b Z D L S s N A F I Y n 9 V b r r e r S z W A R K k h J p F C 7 K 7 h x W c F e I A l l M j 1 p h 0 5 m w s x E K K F v o S t R d z 6 N L + D b m K Z B v P 2 r b 8 7 / D 5 z / B D F n 2 t j 2 h 1 V a W 9 / Y 3 C p v V 3 Z 2 9 / Y P q o d H f S 0 T R a F H J Z d q G B A N n A n o G W Y 4 D G M F J A o 4 D I L Z 9 d I f 3 I P S T I o 7 M 4 / B j 8 h E s J B R Y r K R W / f U V F 5 4 Y M j 5 q F q z G 3 Y u / B e c A m q o U H d U f f f G k i Y R C E M 5 0 d p 1 7 N j 4 K V G G U Q 6 L i p d o i A m d k Q m 4 G Q o S g f b T f O U F P g u l w m Y K O H 9 / z 6 Y k 0 n o e B V k m I m a q f 3 v L 4 X + e m 5 j w y k + Z i B M D g m a R z A s T j o 3 E y + Z 4 z B R Q w + c Z E K p Y t i W m U 6 I I N d l 9 K n n 9 d i 6 8 g l a z g L b z V b 9 / 2 X D s h n P b r H W a x S H K 6 A S d o j p y U A t 1 0 A 3 q o h 6 i S K J H 9 I J e L W E 9 W E / W 8 y p a s o o / x + i H r L d P c n q O t w = = < / l a t e x i t >

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< l a t e x i t s h a 1 _ b a s e 6 4 = " / b c W / n R u 9 C 4 A z z M P m U Z D N X E r O r I = " > A A A B 4 n i c b Z D L S s N A F I Z P 6 q 3 W W 9 W l m 8 E i u C q J F N r u C m 5 c t m A v 0 I Y y m Z 6 0 Q y c X Z i Z C D X 0 B X Y m 6 8 5 F 8 A d / G a R r E 2 7 / 6 5 v z / w P m P F w u u t G 1 / W I W N z a 3 t n e J u a W / / 4 P C o f H z S U 1 E i G X Z Z J C I 5 8 K h C w U P s a q 4 F D m K J N P A E 9 r 3 5 9 c r v 3 6 F U P A p v 9 S J G N 6 D T k P u c U W 1 G n f t x u W J X 7 U z k L z g 5 V C B X e 1 x + H 0 0 i l g Q Y a i a o U k P H j r W b U q k 5 E 7 g s j R K F M W V z O s W h w Z A G q N w 0 W 3 R J L v x I E j 1 D k r 2 / Z 1 M a K L U I P J M J q J 6 p 3 9 5 q + J 8 3 T L T f c F M e x o n G k J m I 8 f x E E B 2 R V V 8 y 4 R K Z F g s D l E l u t i R s R i V l 2 l y l l N V v Z i J r q N d y a D p f 9 X t X V c e u O p 1 a p V X L D 1 G E M z i H S 3 C g D i 2 4 g T Z 0 g Q H C I 7 z A q z W x H q w n 6 3 k d L V j 5 n 1 P 4 I e v t E x g E i x U = < / l a t e x i t >

Figura 3.1: Diagrama de fuerzas - Diagra-ma de fuerzas para una esfera de diámetro Dque desciende en un fluido de densidad ρ yviscosidad dinámica η. La fuerza de arrastrees proporcional a la velocidad de la esfera.

24


la esfera, por lo que este no será constante. El movimiento experimentará en primera instanciaarrastre lineal y, posteriormente, arrastre cuadrático. Por ejemplo, para una bala disparada haciaarriba con un Re inicial de 106, este tomará todos los valores entre 106 y 0 siendo cero en la cimade la trayectoria [31]. Sin embargo, en ciertos casos el arrastre se mantiene lineal o cuadráticodurante casi toda la trayectoria.

3.1.1. Trayectoria sin arrastre

Inicialmente se analizará lo que ocurre cuando se deja caer una esfera en un medio sin arrastre.Se considerará el caso con velocidad inicial nula. La ecuación de movimiento para la esfera es,

mdv

dt= mg (3.7)

Integrando respecto al tiempo la (Ec. 3.7) se obtiene la velocidad de la esfera,

v(t) = gt (3.8)

con z(0) = 0 al integrar nuevamente, se obtiene la posición, como función del tiempo,

z(t) =1

2gt2 (3.9)

3.1.2. Arrastre lineal

La ecuación de movimiento, para una esfera que desciende verticalmente con arrastre lineales,

mdv

dt= g(m−m′)− f(v) (3.10)

donde m es la masa de la esfera, m′ la masa del medio que ha sido desplazada, por el paso dela esfera, m′

g es la fuerza de flotación. En este caso, la fuerza de arrastre f(v) viene dada por lafórmula de Stokes (Ec. 3.5) con lo que la ecuación de movimiento queda de la siguiente manera

dv

dt=

(1− m

′

m

)g − 6πηrv

m(3.11)

Si se define la aceleración gravitacional efectiva como

g̃ = (1−m′/m)g (3.12)

y considerando α = 6rπη/m, se puede escribir la (Ec. 3.11) de una forma más compacta como,

dv

dt= g̃ − αv (3.13)

dv

dt= −α

(v − g̃

α

)(3.14)

Al integrar esta última expresión respecto al tiempo,

ln

(v(t)− g̃

α

)∣∣∣∣v(t)v(0)

= − (αt)|t0 (3.15)

25


Con la condición inicial v(0) = 0,

ln

v(t)− g̃

αg̃α

= −αt (3.16)

v(t) =g̃

α

(1− e−αt

)(3.17)

En la ecuación de movimiento para arrastre lineal (ec. 3.14), se observa que cuando α → 0y g̃ → g la expresión para la velocidad tiende a la correspondiente al caso sin arrastre. Durantela trayectoria descendente la velocidad tiende asintóticamente a −g̃/α. Integrando la velocidadse tiene la distancia recorrida por la esfera z(t) Dada la condición inicial, es decir, z(0) = 0 setiene,

z(t) =g̃

α2

(1− e−αt

)− g̃

αt (3.18)

3.1.3. Arrastre cuadrático

Cuando la fuerza de arrastre es cuadrática, en la velocidad, se debe resolver una ecuación dife-rencial para la trayectoria ascendente y otra ecuación diferencial para la trayectoria descendente.Esto es así, debido a que la velocidad al cuadrado en la expresión para la fuerza de arrastre nocambia de signo al cambiar la dirección de la trayectoria, por lo que se debe definir, en cada caso,el signo que debe tener la fuerza de arrastre. Durante la trayectoria descendente de la esfera lafuerza de arrastre y la fuerza gravitacional actúan en direcciones opuestas, por lo que la ecuaciónde movimiento toma la forma,

mdv

dt= (m−m′

)g − f(v) (3.19)

Utilizando (Ec. 3.6) se llega a

mdv

dt= (m−m′

)g − 0.2ρπr2v2 (3.20)

Se define

γ =

√0.2ρπr2

mg̃(3.21)

Con lo que es posible escribir (Ec. 3.20) de manera más compacta como:

dv

dt= g̃(1− γ2v2) (3.22)

Integrando respecto al tiempo y con v(0) = 0,

v(t) =1

γtanh γg̃t (3.23)

La velocidad de descenso de la esfera no puede superar el límite dado por:

vterm =1

γ=

√mg̃

0.2ρπr2. (3.24)

26


datosajuste

R e

0

1000

2000

t (s)0 0.2

H (

cm)

0

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

t (s)0 0.1 0.2

(a) (b)

Figura 3.2: Datos de posición - (a) Diagrama espacio temporal de la caída de la esfera. (b) Trayectoriaesfera D = 15 mm y curva de ajuste. (Inset) Número de Reynolds en función del tiempo obtenido a partirde derivar la curva de ajuste a los datos de posición.

Integrando la expresión para la velocidad, se obtiene la posición para la trayectoria descen-dente. Con z(0) = 0, se tiene,

z(t) =1

g̃γ2ln [cosh(g̃γt)] (3.25)

En el experimento, para la esfera de acero en vacío parcial que colisiona con una capa granular,antes de la colisión se tiene una situación de caída libre en un medio, es decir, es una situaciónanáloga a la estudiada en la presente sección, para los casos; sin arrastre, con arrastre lineal y conarrastre cuadrático. Se analizará el modelo que se ajusta mejor a nuestros datos de trayectoria.Para esto se considerará el caso de una esfera metálica de D = 15 mm de diámetro, a presiónatmosférica. La esfera cae bajo la acción de la gravedad desde una altura de H = 20 cm. Enprimera instancia se calcula el número de Reynolds,

Re = 1074.56v , (3.26)

donde ρ es la densidad del aire a presión atmosférica, l es el diámetro de la esfera, v la velocidady η es la viscocidad del aire. Dado que el número de Reynolds depende de la velocidad, en la(Fig. 3.2) se muestran los datos de posición para el caso señalado junto a la curva z(t) = 6.2t2,la que se ha ajustado a los datos con el fin de estimar la velocidad y con ello el número deReynolds Al derivar respecto al tiempo la función de ajuste, se puede estimar la velocidad. En elrecuadro de la (Fig. 3.2 (b)) se observa como varía el número de Reynolds en función del tiempo.El número de Reynolds se encuentra en el intervalo [0− 2664]. Por lo que, inicialmente la fuerzade arrastre será lineal y, posteriormente, pasa a ser cuadrática en la velocidad. Los parámetroscorrespondientes al caso señalado tanto para el modelo lineal como para el cuadrático son lossiguientes.

g̃lineal = (1− ρaire/ρesf )g = 9.808m/s2 (3.27)

αlineal = 0.0000984 s−1 (3.28)

g̃cuad = g̃lineal (3.29)

γcuad = 1.882× 10−2 s/m (3.30)

En la (Fig. 3.3) se puede ver la posición correspondientes al caso citado, y la gráfica de losmodelos lineal, cuadrático y en vacío, con velocidad inicial v0 = 0. Se observa que en los primerosinstantes de la trayectoria los modelos se ajustan a los datos de posición, pero rápidamente lascurvas se separan, siendo los datos experimentales los que describen una trayectoria más rápida.

27


Figura 3.3: Trayectoria esfera - Posición versus tiempo, para el descenso de la esfera de D = 15mm de diámetro. Además, se observa el modelo cuadrático, obtenido con los parámetros calculados. Alinterior de la figura se muestra un acercamiento a la etapa inicial de la trayectoria.

Aunque las curvas de los modelos son muy similares el modelo en vacío, describe una trayectoriamás rápida que el modelo lineal y este a su vez una más rápida que el modelo cuadrático. ¿Porqué la esfera describe una trayectoria más rápida que los modelos teóricos analizados?.

3.2. Trayectorias de las esferas y modelo

Al ubicar la esfera en el electroimán esta queda adosada a él gracias a la fuerza magnética. Enuna muestra de hierro no magnetizada, los momentos magnéticos de los electrones se distribuyenal azar en todas direcciones, de manera tal, que la suma vectorial de los momentos magnéticos detodos los electrones es cero. Un imán o electroimán atrae a un objeto de hierro no magnetizadoen dos etapas. En primera instancia, la interacción del campo magnético del electroimán con losmomentos magnéticos del átomo de hierro generan un momento de torsión dado por,

~τ = ~µ× ~B (3.31)

Una fracción importante de los momentos magnéticos de los electrones giran y tienden aalinearse con el campo magnético externo del electroimán. Así, el hierro adquiere un momentodipolar magnético, paralelo al campo del electroimán. En la segunda etapa, el campo no unifor-me del electroimán atrae al hierro mediante la fuerza de Lorentz. Cuando el momento dipolarmagnético es paralelo al campo aplicado la fuerza es de atracción, si son antiparalelas la fuerzaes de repulsión. Alternativamente, se puede emplear un modelo electromagnético para explicarla interacción descrita. Este consiste en pensar que el momento magnético en una espira de co-rriente posee un momento dipolar magnético ~µ, en presencia de un campo magnético externo nouniforme ~B, el dipolo magnético experimenta una fuerza de Lorentz. El elemento diferencial defuerza viene dado por,

F = Id~̀× ~B (3.32)

Al graficar los resultados obtenidos en la caída de las esferas de D = 15, 23 y 30 mm respectode la curva teórica en vacío y con velocidad inicial nula (Fig. 3.9), se observa un aumento en la

28


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

t (s)

Magnitud de campo magnético (T)

Figura 3.4: Magnitud del campo magnético - El comportamiento de la Magnitud del Campo Mag-nético en el punto de contacto esfera electroimán. Para el apagado del electroimán.

velocidad de caída de cada una, lo que lleva a pensar que existe una fuerza adicional que generauna caída más rápida. Mediante un sensor de efecto Hall (UGN3503 de Arduino) se han realizadomediciones de la magnitud del campo magnético del electroimán, para el proceso de encendidoy apagado de éste. En la (Fig. 3.4) se observa la magnitud del campo en el punto de contactoentre el electroimán y la esfera. La etapa de apagado dura 4 ms. En tanto, la caída completatarda alrededor de 200 ms dependiendo de la esfera. Mientras el electroimán esta encendido elcampo magnético tiene una magnitud de 40 mT. Ademas se ha medido la magnitud del campomagnético para las tensiones mínimas necesarias para sostener a cada esfera (Fig. 3.5). Pararealizar las estimaciones se utiliza el caso de la esfera de diámetro D = 23 mm. Al considerarque la fuerza necesaria para sostener a la esfera viene dada por,

f = IlB = mg = 0.4905 (3.33)

se puede estimar que la corriente circula 1000 veces, en torno a su diámetro, así la corriente en ellaposee una intensidad de 173 mA. Al desconectar el electroimán la intensidad de corriente en subobina desciende rápidamente, lo que origina un descenso en la magnitud del campo magnéticodel electroimán. Esto genera a su vez una disminución de la fuerza de Lorentz que sujeta la esfera.Paralelamente la variación de flujo magnético en la esfera induce una diferencia de potencial dadapor,

e = −dφdt

= − 1

A

dB

dt(3.34)

donde A es el área transversal de la esfera. La corriente inducida en la esfera es,

Iind =e

Zesf= − l

AZesf

dB

dt(3.35)

donde Zesf corresponde a la impedancia de la esfera. El momento magnético asociado a lacorriente inducida Iind, es opuesto al campo magnético que lo ha generado. Por lo que, la fuerza deLorentz asociada a la interacción entre la corriente inducida y el campo magnético del electroimánes paralela al peso de la esfera, por tanto, la acelera. Ésta fuerza esta dada por,

find = IindlB = − l

AZesf

dB

dtB (3.36)

29


De las mediciones de magnitud de campo magnético se puede obtener la variación de éste enel tiempo y, por consiguiente, el producto de la magnitud por la variación temporal, lo que seobserva en la (Fig. 3.6).

La fuerza inducida en la esfera es proporcional a este producto, la constante de proporcio-nalidad se puede estimar al considerar el diámetro de la esfera y su área, así se obtiene un valorde 69.56. En esta estimación no se ha considerado el valor de impedancia de la esfera, ya quees algo difícil de medir. La fuerza inducida tiene una duración igual a lo que tarda la etapa deapagado, es decir, 4 ms. Para comprender como se ve afectada la trayectoria de las esferas poresta fuerza inducida se implementó un modelo en Simulink de Matlab. Este modelo numéricoconsidera la fuerza de gravedad, y la variación de la fuerza inducida y de sujeción del electroimán,durante su desconexión. En la (Fig. 3.7) se observa el modelo en Simulink. Durante el procesode desconexión del electroimán la fuerza de sujeción disminuye, desde su valor máximo, que esaquel necesario para sostener a la esfera en el origen del sistema coordenado, hasta cero. Lafuerza de sujeción en el modelo numérico se ha modelado como una exponencial decreciente, conuna duración igual al tiempo de desconexión (4 ms) (Fig. 3.8 (a)). En tanto, la evolución de lafuerza inducida en la esfera durante la desconexión del electroimán, se ha modelado como unacampana de Gauss muy angosta (Fig. 3.8(b)).

Finalmente, se puede decir que al variar el campo magnético del electroimán se induce unacorriente en la esfera. La interaccion de ella con el campo magnético del electroimán, genera unafuerza de Lorentz que acelera a la esfera. El modelo en Simulink da cuenta de esta aceleración,como se aprecia en la (Fig. 3.9).

t (ms) 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Tesl

a

-0.0150

-0.0145

-0.0140

-0.0135

-0.0130

-0.0125 4.5 V

3.7 V

3.6 V

3.2 V

2.8 V

2.7 V

2.5 V

2.0 V

Figura 3.5: Magnitud del campo magnético para las tensiones mínimas - Magnitud de CampoMagnético en el punto de contacto esfera electroimán, durante la desconexión de este, para las tensionesmínimas necesarias para sujetar a cada esfera.

30


t (s)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Mag

nitu

d de

cam

po (m

T)Fu

erza

indu

cida

est

imad

a (m

T2 /s)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura 3.6: Magnitud del campo magnético y producto de este por su variación temporal -La fuerza inducida en la esfera al momento de apagar el electroimán es proporcional al producto de lamagnitud del Campo Magnético por su variación temporal

3.3. Análisis de imágenes

El estudio de la dinámica de formación del cráter se inicia con la grabación de la colisiónmediante la cámara rápida, la cual registra en nuestro caso 2000 imágenes por segundo. Luegola imagen se procesa en Matlab empleando un algoritmo desarrollado, especialmente, para elestudio de la dinámica de la geometría que exhibe la capa granular durante la colisión. Debidoa la colisión esfera/capa granular se genera en la superficie superior una corona, producto de laformación del cráter, la que esta formada por los granos que son eyectados durante la colisión.A medida que la esfera traspasa la capa granular la altura de la corona aumenta, así como sudiámetro, en tanto, se genera el cráter el cual comienza a crecer, por lo que el diámetro de esteaumenta en el tiempo y en su profundidad también. El cráter se puede observar en la superficieinferior de la capa granular, ya que, se ha grabado desde un costado de la cámara de vacío.De esta forma, se aprecia como cambia la geometría de la capa granular, para caracterizar dichageometría se definen las siguientes variables geométricas: Diámetro máximo de la coronaDmax

Corona,diámetro mínimo de la corona Dmin

Corona, altura de la corona AlturaCorona, diámetro del cráterDCrater y la profundidad del cráter PCrater ver (Fig. 3.10).

Para este estudio se dispone de un set de esferas metálicas de distintos diámetros así comode un set de anillos para fijar la condición inicial para la capa granular, con lo que se puedengenerar diferentes colisiones. Cada fenómeno de colisión ha sido grabado, desde las secuenciasde imágenes es posible obtener valiosa información relacionada con la evolución de las variablesgeométricas, ya definidas. Mediante el código implementado en Matlab es posible conocer comoevolucionan en el tiempo las variables geométricas. En esencia el código de detección realiza unacomparación de contraste, ya que, los granos son blancos y el fondo de las imágenes es negro, seconsideran N puntos adyacentes y se calcula el valor medio de color, posteriormente, se realizael mismo cálculo para los siguientes N puntos. La diferencia entre los valores medios entrega unamedida del contraste, si el contraste tiende a cero entonces han habido cambios en la imagen, porel contrario, si el contraste tiene un valor alto, ya sea, positivo o negativo, esto quiere decir que seha traspasado una frontera, ya sea, de fondo a granos o de granos a fondo. Es importante definir

31


Figura 3.7:Modelo en Simulink - Este modelo resuelve numéricamente la ecuación diferencial asociadaal movimiento de la esfera en caída libre en vacío. Considerando la fuerza inducida en la esfera tanto parala sujeción de ella como aquella inducida en la desconexión del electroimán.

el valor del parámetro de umbral de contraste, el que fija el valor mínimo para la detección deun borde. Si el valor del contraste es menor al umbral definido entonces ya no hay más granosque detectar.

3.4. Deformación de la capa granular.

A continuación se mostrarán algunos resultados preliminares obtenidos con el análisis deimagen.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

t (ms)0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

t (ms)

fuer

za su

jeci

ón (N

)

fuer

za su

jeci

ón (N

)

Figura 3.8: Fuerza de sujeción simulada en Simulink - (a) Variación de la fuerza de sujecióndurante la desconexión del electroimán. (b) Variación de la fuerza inducida durante la desconexión delelectroimán. El efecto de esta fuerza es acelerar levemente a las esferas, su duración es igual a lo quedemora en apagarse el electroimán. Se ha empleado la constante de proporcionalidad estimada y corregidamediante un proceso de prueba y error en Simulink.

32


t (s)0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

z(t) (m

)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Modelo vacíoModelo cuadráticoModelo númericoEsfera 15 mmEsfera 23 mmEsfera 30 mmModlo lineal

Figura 3.9: Se han graficado las trayectorias de tres esferas de diámetros D = 15, 23 y 30 mm.Al comparar con la curva teórica de caída libre en vacío con velocidad inicial nula, se observaque las trayectorias descritas por las esferas son más rápidas que la teórica. Además, se observala trayectoria de la esfera obtenida desde Simulink al considerar las fuerzas magnéticas.

3.4.1. Deformación superior: Evolución de la corona.

Producto de la colisión con la esfera de acero, en la superficie superior de la capa granularse genera una corona, la cual esta constituida por los granos que salen eyectados en la colisiónproducto de la formación del cráter. Las dimensiones características de la corona son Dmax

Corona

corresponde al diámetro en el punto más alto de la corona, el diámetro mínimo de la coronamedido en su base sobre la superficie de la capa granular es Dmin

Corona. Tomando como referenciala superficie de la capa granular se mide la altura de la Corona tanto del lado derecho comoizquierdo, para así determinar la altura máxima de la corona AlturaCorona. Además, se calculahmed que es la media de las alturas de ambos lados. La secuencia de imágenes obtenida con lacámara rápida se procesa mediante un algoritmo implementado en Matlab con el que es posibleobtener la evolución temporal de las variables geométricas.

A continuación, se analizará el siguiente caso; esfera de acero de 13 mm, capa granular de alturaδ = 5 mm. En tanto, la presión de vacío es de 4.6 kPa. Se presentan los principales resultadosdel experimento. En primer lugar,en (Fig. 3.11) se muestra la evolución temporal de las variablesgeométricas; diámetro mínimo, máximo y la altura de la corona.

En primera instancia, cuando la corona posee una altura muy pequeña de sólo algunos granossólo se distingue un radio, pero a medida que comienza a crecer tanto en diámetro como en alturaes posible identificar claramente dos radios, el máximo y el mínimo.

33


Figura 3.10: Identificación de los parámetros geométricos medidos - Los parámetros aquí defi-nidos se miden en cada imagen de la secuencia para así poder graficar su evolución temporal.

3.4.2. Deformación inferior: Formación de una campana

En los primeros instantes de la colisión son eyectados desde la capa granular solo los granosque constituyen las primeras capas de la superficie, en tanto, la esfera desciende se puede observarque los granos que no han sido eyectados y que están debajo de la esfera comienzan a descenderformando una red granular la que no se rompe por el paso de la esfera sino que aumenta su tamañoen torno a esta. A medida que la capa granular se va deformando, se aprecia una estructura enforma de campana invertida que crece en el tiempo, caracterizada por; el diámetro del cráter,DCrater, y la profundidad del cráter PCrater. La profundidad del cráter PCrater es medida desdela capa granular hasta el punto más bajo del cráter, los datos de profundidad graficados comouna función del tiempo. El diámetro del cráter se mide a la mitad de la profundidad del él. Enla (Fig. 3.12) se observan ambas variables.

34


0 0.02 0.04 0.06t (s)

0

0.5

1

1.5

2

Cor hhhhh (c

m)

0

1

2

3

4

Cm

ax (c

m)

0

2

4

6C

min

(cm

)

Figura 3.11: Diámetro mínimo, máximo y altura de la corona - Evolución temporal del diámetromínimo, máximo y la altura de la corona, las variables aumentan en el tiempo.

35


0 0.02 0.04 0.06t (s)

0

2

4

6

Cr he

ight

(cm

)

0

2

4

6

Cr d (c

m)

Figura 3.12: Diámetro y profundidad del cráter - A medida que la esfera desciende se genera elcráter y él diámetro y la profundidad de él aumentan.

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Conclusiones

Durante esta tesis se ha desarrollado un novedoso dispositivo experimental que permite teneruna fina capa de materia granular levitando y, donde posteriormente producir la colisión de unaesfera de acero con la capa. En primer lugar, se ha observado que mientras la capa granular levitamantiene intacta su forma, sólo algunos granos se desprenden del cúmulo principal. En la partesuperior, producto de la colisión los granos que son eyectados forman una corona la que creceen el tiempo, dada la energía y el momentum transmitidos por el impacto. Hemos definido unconjunto de variables geométricas que caracterizan la dinámica de formación de la corona.

El cúmulo presenta un comportamiento elástico, al momento de colisionar con la esfera deacero, sin romperse por el paso de esta sino que deformándose en torno a ella, en la parteinferior, lo que da origen a la formación de un cráter dada la energía y el momentum transferidoen la colisión. También hemos definido un conjunto de variables geométricas para caracterizar laevolución temporal del cráter.

Para lograr el impacto deseado se debieron considerar varios aspectos del montaje experimen-tal. El montaje debía presentar características que permitieran lograr el objetivo. Lo primero aconsiderar es que el experimento se debía realizar en condiciones de bajo vacío, de lo contrariono se lograría la condición esperada, ya que al momento de descender el disco que sostiene a losgranos genera una diferencia de presión que destruye la geometría del cúmulo. Así lo primero quese hizo fue implementar una cámara de vacío, con el uso de una bomba de vacío se fijo un vacíoparcial. Esta cámara debía, además, ser transparente para poder observar el fenómeno con todaclaridad y poder grabar con una cámara rápida todo el proceso y así obtener los datos reque-ridos. Dentro de esta cámara se instalo una estructura mecánica tal que permita sostener a lasdistintas esferas de acero. Inicialmente la esfera de acero se encuentra sujeta por un electroimán.Pero a medida que se llevaron a cabo los experimentos se hizo necesario cambiar el electroimánpor uno de mayor potencia eléctrica que permitiera sostener esferas de mayor masa. Para lograrun impacto con las condiciones esperadas se requirió la sincronización de los electroimanes, conesto se logro regular el inicio de la caída de la esfera con el comienzo del descenso de la baseque sostiene a la capa granular. Esta sincronización se logró mediante la utilización de un sis-tema de control electrónico el que controla el sistema mecánico. Con este sistema funcionandose realizaron las grabaciones que permitieron obtener las secuencias de imágenes desde donde seobtienen los datos que describen la evolución de la geometría del cúmulo granular. Con estosdatos se puede observar la formación del cráter y simultáneamente la evolución de la corona,para así tener una mayor comprensión del fenómeno.

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AAnexo: Elementos de electrónica

A continuación, se darán algunas definiciones, básicas pero importantes, de aquellos dispo-sitivos electromecánicos y electrónicos de mayor relevancia para esta tesis. Estos elementos sehan empleado, tanto, en el sistema electromecánico como en el de control. En la modificación delmontaje experimental se usaron electroimanes para sujetar el disco base de los granos, al igualque para sostener a la esfera.

Un electroimán consiste en una bobina enrollada en torno a un núcleo ferromagnético, conec-tada a una fuente de tensión eléctrica mediante un interruptor (Fig. ??). Al cerrar el interruptorse establece una corriente eléctrica en la bobina, la que da origen a un campo magnético altamenteuniforme.

En el montaje experimental original se usaron solenoides para sostener el disco base de losgranos. Un solenoide es un dispositivo electromecánico que consta de un electroimán, un pistóny un resorte. Al energizar el electroimán el campo magnético atrae al pistón, él que se mueve alo largo del eje del solenoide y contrae al resorte. Cuando el electroimán es desconectado de lafuente de tensión, el pistón vuelve a su posición original dada la fuerza del resorte (el esquemade la (Fig. A.1) también representa a un solenoide, considerando el movimiento del pistón y elresorte).

Como se mencionó se utilizaron relés como interruptores para los solenoides y electroimanes.Un relé es un dispositivo electromecánico que consiste en un electroimán y un conmutador, alenergizar la bobina del electroimán se cambia la posición del conmutador, similar a la acción deun solenoide. El conmutador establece la conexión entre los contactos del relé. Existen al menos3 contactos, el contacto para la señal eléctrica de entrada, el normalmente cerrado NC y elnormalmente abierto NA. Si el relé no está energizado, entonces, el contacto NC está conectadoa la entrada y el NA no lo está. La (Fig. A.2) muestra un esquema eléctrico en el que unelectroimán o solenoide, la carga eléctrica, esta conectado a una fuente de tensión por medio deun relé, controlado por una señal escalón en t = 5 s el relé conmuta y la carga es conectada ala fuente. En (Fig. A.3) se muestran la corriente y tensión en la carga, durante el proceso deenergización. Adicionalmente, existen relés con más de una entrada y diferentes combinacionesposibles para la conexión de las salidas con las entradas. Tarjetas Arduino. Una tarjeta Arduinoes un dispositivo electrónico con múltiples entradas y salidas. El estado de conexión entre ellas

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queda determinado según un algoritmo, el que se graba en el microprocesador de la tarjeta, esdecir, en cierto sentido se puede pensar en la tarjeta como un relé más completo o avanzado.Transistor BJT. Aunque un transistor es un dispositivo más complejo que un relé, también poseeuna función tipo interruptor controlado, al igual que el relé. Por lo general, los transistores seutilizan en la zona activa y funcionan como amplificadores de señales electromagnéticas. Tambiénes posible polarizar el transistor en corte y saturación, en este caso funcionan como interruptorescontrolados. Para un transistor BJT (Bipolar Juntion Transistor) la tensión base es la variableque controla el estado del transistor si ella es menor a valor de umbral el estado es de corte y nocircula corriente colector-emisor, el interruptor está apagado. Si la tensión base-emisor es mayora la tensión de umbral, el interruptor se cierra y circula corriente por la unión colector-emisor.En la figura se observa un transistor BJT operando como interruptor entre la fuente de tensiónde 12 V y un electroimán.

Los electroimanes se energizan por medio de una placa de relés, estos son controlados medianteuna bobina la que a su vez es controlada por la placa Arduino. Los relés actúan como interruptoresentre las fuentes de Tensión continua controlada y los electroimanes. Se ha empleado una fuentede Tensión para el electroimán que sostiene a la esfera y otra fuente de Tensión para los doselectroimanes laterales.

-+

12 V

R efe

-+

R_electro

CR

-+

E lectroimán

R ef1

Masa

2

1

vT

S ingle-Phase S witch

Figura A.1: Esquema de circuito de un electroimán - Electroimán conectado a una fuente detensón de 12 Volts, por medio de un interruptor. Al accionar el interruptor se establece la corriente através de la bobina del electroimán y, por consiguiente, el campo magnético.

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-+

12 V

R efe

-+

R_electro

f(x) = 0S olver

Configuration

-+

I

Current S ensor

S cope

SPS

PS -S imulink

Converter

S 1

S 2

C

PSS PS

S imulink-PS

Converter

R efe

1

-+

R_int

S tep

S cope1

-+

V

Voltage S ensor

Refe

2

SPS

PS -S imulink

Converter1

CR

-+

E lectroimán

R ef1

Masa

S cope2

Relé

Figura A.2: Modelo electromecánico - Se ha simulado en Simulink la energización de un electroimáno solenoide. El modelo contempla el uso de un relé para la conexión de la carga, además, de los sensoresde tensión y corriente.

Figura A.3: Corriente y tensión en el electroimán o solenoide - Se ha simulado la energización,mediante un relé, de un electroimán o solenoide. Cuando el relé conmuta se conecta la fuente de tensióna la carga y se establece la circulación de la corriente a través de ella.

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[1.8] a) Formación de un chorro granularF. E. Loranca-Ramos, J. L. Carrillo-Estrada, and F. Pacheco-Vázquez, 2015, Craters andGranular Jets Generated by Underground Cavity Collapse, Physical Review Letters,115b) Disminución de la presión de vacíoF. E. Loranca-Ramos, J. L. Carrillo-Estrada, and F. Pacheco-Vázquez, 2015, Craters andGranular Jets Generated by Underground Cavity Collapse, Physical Review Letters,115

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