Simulacion_Tema1_2014

5/24/2018 Simulacion_Tema1_2014

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Simulacin de Sistemas

Docente:

Ing. Francisco Rodrguez

Universidad San Pedro

Escuela de Ingeniera Informtica y de Sistemas


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Tema 1: TEORIA DE COLAS (Lneas de Espera)

1. Conceptos elementales.

2. Caractersticas de una Lnea de Espera..

3. Modelos de Lneas de Espera.

4. Frmulas de Lneas de Espera.

5. Ejercicios Propuestos.


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TEORIA DE COLAS

Las LINEAS DE ESPERA, FILAS DE ESPERA o COLAS, sonrealidades cotidianas:Personas esperandopara realizar sus transacciones ante unacaja en un banco,

Estudiantes esperando por obtener copias en la

fotocopiadora,Vehculos esperando pagar ante una estacin de peaje ocontinuar su camino, ante un semforo en rojo,

Mquinas daadas a la esperade ser rehabilitadas.

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre lademanda del servicio y la capacidad del sistema parasuministrarlo.


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TEORIA DE COLAS

Los Modelos de Lneas de Esperason de gran utilidad tanto

en las reas de Manufactura como en las de Servicio.

Los Anlisis de Colasrelacionan:la longitud de la lnea de espera,el promedio de tiempo de esperay otros factores como:la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola,

Los Anlisis de Colasayudan a entender el comportamiento

de estos sistemas de servicio (la atencin de las cajeras de unbanco, actividades de mantenimiento y reparacin demaquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.).


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TEORIA DE COLAS

Desde la perspectiva de la Investigacin deOperaciones, los pacientes que esperan ser atendidospor el odontlogo o las prensas daadas esperandoreparacin, tienen mucho en comn.

Ambos (gente y mquinas) requieren de recursoshumanos y recursos materiales como equipos paraque se los cure o se los haga funcionar nuevamente.


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TEORIA DE COLAS

COLAS MAS COMUNES

SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO

Supermercado Compradores Pago en cajas

Peaje Vehculos Pago de peaje

Consultorio Pacientes Consulta

Sistema de Cmputo Programas a sercorridos

Proceso de datos

Compaa de telfonos Llamadas Efectuar comunicacin

Banco Clientes Depsitos y Cobros

Mantenimiento Mquinas daadas Reparacin

Muelle Barcos Carga y descarga


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TEORIA DE COLASCaractersticas de una LINEA DE ESPERA

Una cola de espera est compuesta de tres elementos:1. Arribos o ingresos al sistema

2. Disciplina en la cola

3. Servicio

Estos tres componentes tienen ciertas caractersticas quedeben ser examinadas antes de desarrollar el aspectomatemtico de los modelos de cola.


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1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:La fuente de ingresoque genera los arribos o clientes parael servicio tiene tres caractersticas principales:

a. Tamaode la poblacin que arriba

b. Patrnde llegada a la colac. Comportamientode las llegadas.

1.a.Tamao de la Poblacin:

El tamao de la poblacin puede ser:infinito (ilimitado) o

limitado (finito).


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1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

1.a. Tamao de la Poblacin:

Infinito (ilimitado): Cuando el nmero de clientes o arribosen un momento dado es una pequea parte de los arribospotenciales. Para propsitos prcticos poblaciones ilimitadaspueden considerarse a los vehculos que se acercan a uncaseta de peaje, los aficionados a un partido del mundial deFtbol, clientes en un supermercado.

LA MAYORA DE LOS MODELOS ASUMEARRIBO INFINITO.

Poblacin de arribo limitada o finita: cuando se tienen muypocos servidores y el servicio es restringido. Ej.: los pacientes enun consultorio mdico


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1.b. Patrn de arribo al sistema:

Los clientes arriban a ser atendidos de una maneraprogramada (un paciente cada 15 minutos) o de unamanera aleatoria.

Se consideran que los arribos son aleatorios cuando stosson independientes de otros y su ocurrencia no puede serprecedida exactamente.

Frecuentemente en problemas de colas, el nmero de

arribos por unidad de tiempo pueden ser estimados pormedio de la Distribucin de Poisson que es unadistribucin discreta de probabilidad.


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1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: DISTRIBUCION DE POISSON:

P(x) = Probabilidad de x arribos

x= nmero de arribos por unidad de tiempo

= rata promedio de arribo

e = 2.71828

,...4,3,2,1,0_!

xpara

x

exP

x


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TEORIA DE COLASDISTRIBUCION DE POISSON

DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO = 2

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO

PROBABILIDA

DISTRIBUCION

DISTRIBUCION 0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 0.0361 0.0120 0.0034 0.0009 0.0002

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


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TEORIA DE COLASDISTRIBUCION DE POISSON

DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO =

4

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO

PROBABILIDA

DISTRIBUCION

DISTRIBUCION 0.0183 0.0733 0.1465 0.1954 0.1954 0.1563 0.1042 0.0595 0.0298 0.0132

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


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1.c. Comportamiento de los arribos:

La mayora de los modelos de colas asume que los clientesson pacientes o sea que esperan en la cola hasta serservidosy no se pasan entre colas. Desafortunadamente, la

vida es complicada y la gente se reniega. Aquellos que seimpacientan por la espera, se retirande la cola sin completarsu transaccin.

Esta situacin sirve para acentuarel estudio de la teora de

colas y el anlisis de las lneas de espera, ya que un cliente noservido es un cliente perdido y hace mala propaganda de esenegocio.


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TEORIA DE COLAS2. CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA:

La LINEA DE ESPERA es el segundo componente de unsistema de colas. La longitud de la cola puede ser tambinLIMITADA oILIMITADA.

Cola LIMITADA es aquella que por aspectos fsicos nopuede incrementarse a tamaos infinitos. Puede ser el casode una peluquera que tiene pocos barberos y sillas paraatender.

Estudiaremos los modelos de colas asumiendo colas de

longitud infinita. Una cola es ILIMITADA cuando sutamao no tiene restriccin como es el caso de una casetade peaje que sirve a los vehculos que arriban.


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TEORIA DE COLAS2. CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA:

Una segunda caractersticade las lneas de espera se refiere ala DISCIPLINA EN LA COLA mediante la cual los clientesreciben el servicio. La mayora de los sistemas usan la reglaPrimero En Entrar Primero En Salir (First In First Out) [PEPS(FIFO)]. Se denomina tambin FIFS (First In First Served).

En las reas de emergencia de hospitales sin embargo se omiteesta regla dependiendo de la gravedad de las lesiones de laspersonas que arriban por auxilio mdico.

En supermercados, personas con menos de 10 artculos tienen

la caja express que atiende a este tipo de clientes. Pero en lacola se les atiende con la poltica PEPS.


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TEORIA DE COLASCARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA

3. Caractersticas del Servicio

El tercer elementode un sistema de colas es el SERVICIO. En lson importantes dos propiedades bsicas:

1. La configuracindel sistema de servicio.

2. El patrn de tiempos de servicio

3.1. CONFIGURACIONES BASICAS PARA EL SERVICIO:Los sistemas para el servicio son clasificados en funcin delnumero de canales (servidores) y el nmero de fases (nmerode paradas que deben hacerse durante el servicio).

Sistema de cola de un solo canal: tiene un solo servidor.Ejemplos de ello son los cajeros para automovilistas o losestablecimientos de comida rpida.


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TEORIA DE COLASCARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA3.1. Configuraciones bsicas para el Servicio

Sistema de cola multi-canal: Son principalmente los cajerosde un banco en los cuales hay una sola cola y variaspersonas atendiendo a los clientes en diversas cajas.

Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el clienterecibe el servicio de una sola estacin y luego abandona elsistema. Un restaurant de comida rpida en el cual la personaque toma la orden tambin le entrega el alimento y cobra, esun sistema de una sola fase

Sistema multifase:cuando se pone la orden en una estacin,se paga en una segunda y se retira lo adquirido en una tercera

TEORIA DE COLAS


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TEORIA DE COLASConfiguraciones Bsicas de Sistemas de Colas

3.1. Configuraciones bsicas para el Servicio

SERVIDOR

COLA

SERVICIO

FASE 2

COLA

ARRIBOS

SERVICIO

FASE 1SALIDAS

SISTEMA UN CANAL, UNA FASE

ARRIBOS

UN SOLO CANAL, MULTIFASE

SALIDAS

TEORIA DE COLAS


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SISTEMA MULTICANAL UNA FASE

ARRIBOS

COLACANAL 1

CANAL 2

CANAL 3

SALIDAS

TEORIA DE COLAS


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SISTEMA MULTICANAL MULTIFASE

ARRIBOS

COLA FASE 2

CANAL 1

FASE 1

CANAL 2

FASE 2

CANAL 2

SALIDAS

FASE 1

CANAL 1



TEORIA DE COLAS


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3.2. Distribucin del Tiempo de Servicio

Los patrones de servicio son similares a los patrones dellegada. Pueden ser constantes o aleatorios.

I. Si el tiempo de servicio es constante, toma la mismacantidad de tiempo atender a cada cliente. Es comn con

servicios dados por medio de mquinas (Lavadora automticade carros).

II. Si el tiempo de servicio es distribudo aleatoriamentequees el caso ms comn se lo representa por laDISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL

NEGATIVA de la forma e-xpara x 0.Esta es una hiptesismatemtica muy conveniente, cuando los arr ibos siguen ladistribucin de Poisson.

TEORIA DE COLAS


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TEORIA DE COLASMedicin del Rendimiento de las Colas

Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomardecisiones para balancear los costos de servicio deseables conlos costos de espera en la lnea.

Los principales factores que se evalan en estos modelos son:1. Tiempo promedioque cada cliente u objeto permanece en la cola

2. Longitud de cola promedio3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema(tiempo de espera + tiempo de servicio).

4. Nmero de clientes promedioen el sistema.5. Probabilidadde que el servicio se quede vaco

6. Factor de utilizacindel sistema7. Probabilidad de la presencia de un especfico nmero declientesen el sistema.

TEORIA DE COLAS


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TEORIA DE COLASNotacin de los Modelos de Colas

Reconociendo la diversidad de los sistemas de colas, Kendall(1953) propuso un sistema de notacin para sistemas deservidores paralelos que ha sido adoptado universalmente.

Una versin resumida de esta convencin est basada en elformato A/B/c/N/K. Estas letras representan las siguientescaractersticas del sistema: A = Distribucin de tiempo entre arribos.

B= Distribucin del tiempo de servicio.

Los siguientes son smbolos comunes para A y B:

M = exponencial o Markov (1)D = constante o determinstica

TEORIA DE COLAS


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Ek = Erlang de orden k P H = Tipo fase

H = Hiperexponencial

G = Arbitrario o general

GI = General independiente

.c= nmero de servidores paralelos

N= Capacidad del sistema

K= Tamao de la poblacin.

TEORIA DE COLAS


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Por ejemplo: M/M/1// significa un solo serv idor,capacidad de cola i l imi tada y poblacin inf ini ta de

arribos potenciales. Los tiempos entre arribos y los

tiempos de servicio son distribudos exponencialmente.

Cuando Ny Kson infinitos, pueden ser descartadosde la

notacin. M/M/1//es reducido a M/M/1.

TEORIA DE COLAS


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TEORIA DE COLASVariedad de Modelos de Colas

Existe una cantidad enorme de Modelos de Colas que puedenutilizarse. Nos vamos a concentrar en 4 de los modelos msusados. Modelos ms complejos pueden ser desarrolladosmediante el uso de la Simulacin y se los encuentra en textosespecializados sobre el tema.

Los 4 modelos de colas a estudiar asumen:o Arribos segn la Distribucin de Poisson

o Disciplina PEPS

o Una sola fase de servicio.

Modelo A: Un canal, Arribos segn la Distribucin dePoisson; Tiempos de Servicio exponenciales

TEORIA DE COLAS


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TEORIA DE COLASVariedad de Modelos de Colas

Modelo B: Multicanal Modelo C: Tiempo de Servicio constante

ModeloD: Poblacin Limitada

Modelo A: Modelo de Colas de un solo canal, con arribosque siguen la distribucin de Poisson y Tiempos deServicio Exponenciales: (Modelo M/M/1)

Los casos ms comunes de problemas de colas incluyen lalnea de espera de canal nico o servidor nico. En este casolos arribos crean una sola cola a ser servida por una solaestacin.

TEORIA DE COLAS


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TEORIA DE COLASModelo A: M/M/1

Asumimos que existen las siguientes condiciones:

1. Los clientes son servidos con una poltica PEPS y cadaarribo espera a ser servidosin importar la longitud de lalnea o cola.

2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero

el promedio de arribos, no cambiacon el tiempo.3. Los arribos son descritos mediante la distribucin de

probabilidad de Poisson y proceden de una poblacin muygrande o infinita.

4. Los tiempos de servicio varan de cliente a cliente y sonindependientes entre s, pero su rata promedio esconocida.

TEORIA DE COLAS


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TEORIA DE COLASModelo A: (M/M/1) Modelo B: (M/M/S)

5. Los tiempos de serviciose representan mediante ladistribucin de probabilidad exponencial negativa.

6. La rata de servicio es ms rpidaque la rata de arribo.

Tabla 5.3 Render Pg. 192

Modelo B: Modelo de cola multicanal (M/M/S)

Dos o ms servidores o canales estn disponibles paraatender a los clientes que arriban.

Los clientes forman una sola colay se los atiende de acuerdoal servidor que queda libre.

Asumimos que los arribos siguen la distribucin deprobabilidad de Poisson y los tiempos de servicio sondistribudos exponencialmente.

TEORIA DE COLAS


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TEORIA DE COLASModelo B: (M/M/S) Modelo C: (M/D/1)

Los servicios se los hace de acuerdo a la poltica pr imero enl legar pr im ero en ser serv ido(PEPS) y todos los servidoresatienden a la misma rata.

Modelo C: Modelo de Tiempo de Servicio Constante(M/D/1)

Algunos sistemas tienen tiempos de servicio constantesenlugar de exponencialmente distribudos. Cuando los clientesson atendidos o equipos son procesados con un ciclo fijocomo es el caso de una lavadora de carros automatizada o

ciertos entretenimientos en los parques de diversiones, elasumir servicio constante es adecuado.

TEORIA DE COLAS


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TEORIA DE COLASModelo D: Poblacin limitada

Modelo D: Modelo de Poblacin limitada.- Este modelo puede ser usado por ejemplo si estamos

considerando reparaciones de equipo en una fbrica que tiene5 mquinas. Este modelo permite cualquier nmero dereparadoresa ser considerados.

La razn por la cual este modelo difiere de los otros tres esque ahora hay una relacin de dependencia entre la longitudde la cola y la rata de arribo. La situacin extrema sera si enla fbrica tenemos 5 mquinas, todas se han daado ynecesitan reparacin; siendo en este caso la rata de arriboCERO. En general, si la lnea de espera crece, la rata dellegada tiende a cero

RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLAS


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RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLASDESCRITOS

MODELO NOMBRE N DECANAL

ES

N DEFASES

PATRNDE

ARRIBO

PATRNDE

SERVICIO

TAMAO DE LAPOBLACIN

DISCIPLINADE COLA

A SIMPLE

M/M/1

UNO UNA POISSON EXPONENCIAL

INFINITA PEPS

B MULTI-CANAL

M/M/S

MULTICANAL

UNA POISSON EXPONENCIAL

INFINITA PEPS

C SERVICIO

CONSTANTE(M/D/1)

UNO UNA POISSON CONSTANTE

INFINITA PEPS

D POBLACION

LIMITADA

UNO UNA POISSON EXPONENCIAL

FINITA PEPS

FRMULAS PARA COLAS


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MODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1

1

servicio)detiempoesperade(tiempo

sistemaelenpermaneceunidadunaquepromedioTiempo

sistemadelnutilizacideFactor

sistemaelen(clientes)unidadesdepromedioNmero

sistemaelenunidadesdenmero

tiempodeperodoporservidoscosasogentedepromedioNmerotiempodeperodoporarribosdepromedioNmero

S

S

SS

W

W

LL

n

FRMULAS PARA COLAS


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FRMULAS PARA COLASMODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1

1

2

sistemaelenestnunidadesk""demsquedeadProbabilid

11

vaca)estserviciodeunidad(lasistemaelenunidadescerodeadProbabilid

11

sistemaelenestnclientes"n"quedeadProbabilid

colalaenesperaunidadunaquepromedioTiempo

colalaenunidadesdepromedioNmero

k

kn

kn

o

o

n

n

n

n

Sq

Sq

P

P

P

P

P

P

WW

LL

FRMULAS PARA COLAS


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MODELO B: SISTEMA MULTICANAL O M/M/S

PoMML

L

M

M

M

Mn

P

P

M

M

S

s

MMn

n

no

o

2

1

0

.!.1

:sistemaelenunidadesopersonasdepromedionmero

para

!

1

!

1

1

sistemaelenunidadesopersonasCEROexistanquedeadProbabilid

canalcadaenserviciodepromediotasa

arribodepromediotasa

abiertoscanalesdenmero

FRMULAS PARA COLAS


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U S CO SMODELO B: SISTEMA MULTICANAL O M/M/S

q

Sq

q

SSq

q

S

M

S

s

LWW

W

LLL

L

LPo

MMW

W

1

servicioporesperandocolalaenda tar

seunidadopersonaunaquepromedioTiempo

serviciodeesperaencola,olnealaenunidadesopersonasdepromedioNmero

1

!1

)(atendida)servidasiendoycolala(en

sistema,elenpermaneceunidadunaquepromedioTiempo

2

FRMULAS PARA COLAS MODELO C: SERVICIO


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FRMULAS PARA COLAS MODELO C: SERVICIOCONSTANTE O MODELO M/D/1

1sistema,elenesperadepromedioTiempo

sistema,elenclientesdepromedioNmero

2cola,laenesperadepromedioTiempo

2cola,ladepromedioLongitud

2

qS

qS

q

q

WW

LL

W

L

FORMULAS PARA COLAS


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MODELO D: POBLACIN LIMITADA

serviciodeFactorcolalaenesperaunidadunaquepromedioTiempo

unidadlaaatencindentosrequerimieentreservicioTiempode

promedioserviciodeTiempo

spotencialeclientesdeNmero

serviciodecanalesdeNmeroservicioelesperandounidadesdepromedioNmero

serviciodesectorelenocolaenestnnoqueunidadesdepromedioNmero

servidassiendounidadesdepromedioNmero

eficienciadeFactor

colalaenesperarquetengaunidadunaquedeadProbabilid

:NOTACIN

X

W

U

T

N

ML

J

H

F

D

FORMULAS PARA COLAS


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MODELO D: POBLACIN LIMITADA

HLJN

FNXH

XNFJ

XF

FT

LN

UTLW

FNL

UT

TX

.............PoblacinladeCuanta

servidosiendopromedioNmero

1entofuncionamienpromedioNmero

1........esperadepromedioTiempo

1........esperaenpromedioNmero

.......................ServiciodeFactor

:FRMULAS

Ejercicio Desarrollado 1


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Ejercicio Desarrollado 1

1) Frente a una ventanilla del Banco de la nacin se presentan 560personas diarias (jornada de 8 horas); el cajero puede dar servicio a100 personas como promedio por hora. Con la hiptesis de llegadasPoissonianas y servicios exponenciales, encontrar el factor promediode utilizacin del sistema, el tiempo ocioso promedio en el sistema,

la probabilidad que haya 3 clientes en el sistema, el nmeropromedio de personas en el sistema, la cantidad promedio declientes en la cola, el tiempo promedio que permanece una personaen el sistema, el tiempo promedio de un cliente en la fila, el tiempopromedio que tarda un servicio, la probabilidad que existan 4

personas

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Solucin Ejercicio Desarrollado 1


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a) Llegadas Poisson; servicios exponenciales;= 70 clientes / hora; = 100 clientes / hora

b) p= 100/700; = 70%; El tiempo que permanece ocupado en

promedio el sistema es el 70%.

c) P0= 1 - ; P0= 1 - 0,7; P0= 30%. El tiempo ocioso promedio del sistema

es del 30%.

d) Pn = (1 - P)*Pn; Pn= (1 - 0,7) * 0,73; Pn = 10,29%. La probabilidad que en

un momento determinado haya en el sistema 3 clientes es del 10,29%.

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Ejercicios


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Ejercicios

2. El pago del peaje en la entrada de Vir en la carreteraPanamericana se realiza utilizando una nica cabina de pago delas dos cabinas disponibles. La tasa de llegadas a la cabina es de90 por hora, y el tiempo medio que necesita un conductor paracompletar el pago es de 30 segundos. Se supone que los tiemposentre llegadas sigue una distribucin poisson y que el tiempo de

servicio es exponencial.a) Se quiere saber cual es el nmero medio de automviles en el

sistema, y el tiempo medio de espera de los mismos.

b) Se quiere estudiar si se abre la segunda cabina. Suponiendo queno cambian las tasas de llegada al sistema ni la tasa de serviciopara cada cabina, cules son los nuevos tiempos de esperamedios?

Solucin


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a). = 90 automviles/hora

= 1/30 seg x 1 hora/3600 seg = 120 automviles/horaLs= /(- ) = 90/(120-90) = 3

Wq= /(-) = 90/120(120-90) = 0.025 horas

b). P = 90/2x120= 0.375 = 37.5%

Po = 1/{(1+ /)+(/)2/2! (1-/2)-1 }

Po = 1/{(1+ 3/4)+(3/4)2/2! (1-3/8)-1 } = 10/17= 58.82%

Lq= (Po(/)sp) / (s!(1-P)2)

Lq= (0.5882)(3/4)2(0.375)) / (2!(1-0.375)2) = 0.158814

Solucin


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b). P = 90/2x120= 0.375 = 37.5%

Po = 1/{(1+ /)+(/)2/2! (1-/2)-1 }Po = 1/{(1+ 3/4)+(3/4)2/2! (1-3/8)-1 } = 10/17= 58.82%

Lq= (Po(/)sp) / (s!(1-P)2)

Lq= (0.5882)(3/4)2(0.375)) / (2!(1-0.375)2) = 0.158814

Ls=Lq + /

Ls=0.158814 + = 0.908814

Wq = Lq/ = 0.158814/90 = 0.0017646 horas

Ws = Wq+1/ = 0.0017646+1/120 = 0.0100979 horas


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FIN

Simulacion_Tema1_2014

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