Simulaciones cosmologicas usando elcodigo GADGET2

Gonzalo Bley

26 de junio de 2009

Resumen

El siguiente trabajo consistio en estudiar el codigo GADGET2 quepermite hacer simulaciones de procesos cosmologicos que son de in-teres hoy, como la formacion de estructuras en el universo, y ademasrealizar una simulacion pequena en el. Para ello se hizo un estudio ex-haustivo tanto de la primera version publica del codigo de 2001 comode la mas reciente de 2005, y finalmente se hizo una simulacion dela formacion de un cumulo de galaxias en un universo ΛCDM , desderedshift 23 hasta 0. El codigo en sı utiliza la ecuacion de Boltzmannno colisional en conjunto con la ecuacion de Poisson para modelarestrellas y materia oscura, mientras que para el medio interestelar ointergalactico se utilizan las ecuaciones de la hidrodinamica en con-junto con SPH. Para el calculo de fuerzas puede usarse un Tree codeo bien TreePM. Ademas, para el calculo de la integracion temporalse utiliza un metodo denominado KDK que preserva bien la estructu-ra del Hamiltoniano usado en el codigo. Los resultados obtenidos conla simulacion se comparan bien con los obtenidos por el Virgo Con-sortium o la Millenium Simulation, es decir, ocurre una formacion decumulos a partir de una distribucion casi homogenea en el comienzo.Ademas obtenemos un resultado interesante que es un gran cumu-lo central en redshift aproximado 0.54, que despues se fragmenta envarios otros cuando z se aproxima a cero.

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1. Introduccion

En este trabajo presentaremos el codigo GADGET21 como un medio efec-tivo para realizar simulaciones cosmologicas, de todo tipo: desde la simulacionde una esfera de gas hasta la formacion de estructuras en el universo. Lasreferencias principales que explican el programa son Springel, 2005, y Sprin-gel, Yoshida, White, 2001. El codigo permite realizar simulaciones tanto enun universo en expansion como en un universo newtoniano, donde este ulti-mo caso puede serle de interes el astrofısico para la simulacion de colisionesde galaxias, por ejemplo. Para comenzar, primero describiremos a grandesrasgos que es lo que esta detras del codigo, para despues presentar una si-mulacion en la que veremos como una distrubucion casi homogenea de masapuede transformarse en cumulos de galaxias, a traves de una expansion deun universo espacialmente plano.

Para la simulacion de estrellas y materia oscura, se hace uso de la ecuacionde Boltzmann no colisional, que describe la evolucion de un gas sujeto afuerzas externas,

∂f

∂t+ ~v · ~∇r +

~F

m· ~∇v = 0 (1)

(vease por ejemplo, Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics).En el caso en que esta fuerza pueda derivar de un potencial, tal que

~F = −m~∇Φ (2)

donde m es la masa de la partıcula, la ecuacion anterior, evidentemente, setransforma en,

∂f

∂t+ ~v · ~∇r − ~∇Φ · ~∇v = 0 (3)

Ademas, tenemos que este potencial debe satisfacer la ecuacion de Poisson,

~∇2Φ(~r, t) = 4π∫

Sf(~r,~v, t)d3v (4)

donde S simboliza todo el espacio. f se define mediante la definicion de lasiguiente expresion,

f(~r,~v, t)d3vd3r (5)

que viene dada por “la masa total de las partıculas que se encuentran en unpequeno cubo de volumen d3r con vertice en ~r y velocidad ubicada tambien en

1Disponible en http://www.mpa-garching.mpg.de/gadget/

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un pequeno cubo de volumen d3v con vertice en ~v ”. Luego, al no integrar en elespacio, estamos simplemente obteniendo la densidad de masa, posiblementedependiente del tiempo, ρ(~r, t), lo que reduce la ecuacion de Poisson a laforma conocida.

La expresion (1) y (4) conforman la totalidad de las ecuaciones necesariaspara describir la dinamica de un gas no colisional autogravitatorio en el casode un universo newtoniano. Sin embargo, debido a la complejidad de resolverdirectamente las ecuaciones acopladas por diferencias finitas, se recurre almetodo de N cuerpos, en el que f ya no es una funcion continua, sino quepasa a ser una serie de partıculas representativas, dadas por deltas de dirac.En este esquema, ademas se introduce un suavizamiento gravitacional ε, quepermite evitar las subidas repentinas de fuerza, requiriendo esto un intervalode avance de tiempo sumamente pequeno de manera de seguir correctamentela dinamica de dicha situacion. La idea basica detras del suavizamiento gra-vitacional es la siguiente: imaginemos un caso puramente newtoniano entredos partıculas. A una de ellas la llamaremos “i” y a la otra “j”. La fuerzaentre ellas es simplemente,

Fij =Gmimj

‖~ri − ~rj‖(6)

Dado que si ~ri se aproxima mucho a ~rj, la fuerza crece indefinidamente,y como decıamos anteriormente, seguir este proceso requiere de un tamanode paso cada vez mas pequeno. Esto se soluciona si agregamos un terminoextra ε2 de manera que la expresion anterior toma la forma

Fij =Gmimj

‖ε2 + ~ri − ~rj‖(7)

donde ε es la llamada “softening length ”. Para mas informacion puedereferirse a Bodenheimer et. al. En el caso descrito en un comienzo el potencialpuede escribirse de la manera usual (vease Jackson, 1999, para un repaso),

Φ(~r, t) = −G∫

s

∫s

f(~r′, ~v′, t)d3v′d3r′

‖~r − ~r′‖(8)

Esto sin suavizar. Suavizando se obtiene,

Φ(~r, t) = −G∫

s

∫s

f(~r′, ~v′, t)d3v′d3r′

‖ε2 + ~r − ~r′‖(9)

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Considerando la expansion, respecto a la evolucion del sistema, esta quedadescrita por el Hamiltoniano

H =N∑

i=1

~pi2

2mia2(t)+

1

2

N∑i=1i 6=j

N∑j=1j 6=i

mimjΦ(~xi − ~xj)

a(t)(10)

donde ~pk y ~xk son vectores de coordenadas comoviles. El caso newtoniano seobtiene con a = 1. El momentum canonico viene dado por ~pk = a2(t)mk ~xk. Laevolucion temporal a(t) se determina directamente de la ecuacion de Fried-mann, elegiendose el modelo deseado, que corresponde en este caso a uno delos universos denominados modelos de Friedmann-Lemaıtre, que son simple-mente los tipos de universos descritos por la ecuacion de Friedmann.Para el caso de una caja periodica de largo L, se tiene que el potencial Φviene dado por

~∇2Φ(~x) = 4πG[− 1

L3+

∑~n

W (~x− ~nL, 2,8ε)] (11)

donde ε es el “softening length” y ~n simboliza un vector de numeros naturales.Ahora, el “potencial peculiar”lo definiremos como

φ =N∑

i=1

miΦ(~x− ~xi) (12)

en donde este potencial satisface la ecuacion de Poisson en donde la densidaddel lado derecho es el campo de fluctuaciones de densidad,

~∇2φ(~x) = 4πG[ρ(~x)− ρ] (13)

Aun no hemos definido W . Se precisara pronto, cuando veamos SPH. Agrandes rasgos, no es mas que una funcion continua que se hace cero a partirde algun punto determinado, que depende de ε.

Esto concluye la descripcion de como modelaremos las estrellas y la mate-ria oscura. Respecto al medio interestelar o al medio intergalactico, podemostratarlos como si fueran un fluido ideal. Como ya es sabido, este queda com-pletamente descrito por las ecuaciones de la hidrodinamica,

∂ρ

∂t+ ~∇ · (ρ~v) = 0 (14)

∂~v

∂t+ (~v · ~∇)~v = −1

ρ~∇p− ~∇Φ (15)

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~∇2Φ = 4πGρ (16)

(vease por ejemplo, Longair, 2008). Esto en el esquema o representacion deEuler, en el que la velocidad del fluido ~v es un campo vectorial, dependiente dela posicion y del tiempo. Es decir, permite una vision “global”del fluido. Porotro lado, esta la conocida representacion de Lagrange, en la que se elige unpunto del campo vectorial obtenido por el esquema de Euler en algun tiempot = t0, y se evoluciona en el tiempo, lo que permite estudiar la dinamica depuntos individuales del fluido. Para pasar a esta representacion expresamosel operador derivada total como

d

dt=

∂

∂t+ ~v · ~∇ (17)

Transformandose las ecuaciones anteriores en

dρ

dt= −ρ~∇ · ~v (18)

d~v

dt= −1

ρ~∇p− ~∇Φ (19)

~∇2Φ = 4πGρ (20)

Ademas, la ecuacion de conservacion de energıa se expresa a partir de laprimera ley de la termodinamica, obteniendose,

du

dt+P

ρ~∇ · ~v = 0 (21)

donde u es la energıa por unidad de masa y en el lado derecho puede agregarseun termino correspondiente a una fuente. En lo que nos concierne a nosotros,esto sera dejado de lado y consideraremos que la energıa se conserva. Ademas,para un gas ideal,

P = (γ − 1)ρu (22)

donde para gases monoatomicos podemos considerar γ = 5/3.Para modelar este fluido, se utilizan nuevamente partıculas representati-

vas para describir ρ, solo que esta vez utilizando lo que se denomina Smoot-hed Particle Hydrodynamics, o simplemente SPH. Buenas referencias paraentender SPH son Monaghan, J.J., 1992, y Price, D., 2004. La idea basica esla siguiente: se comienza definiendo la interpolacion integral de una funcionA(~r) como

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AI(~r) =∫

SA(~r′)W (~r − ~r′)d3r′ (23)

donde a W se le denomina el “nucleo” o “kernel”de interpolacion, el cualdebe satisfacer ∫

SW (~r − ~r′, h)d3r′ (24)

lımh→0

W (~r − ~r′, h) = δ(~r − ~r′) (25)

Recordemos que en el caso de partıculas expresadas como Deltas de Dirac,la densidad en todo el espacio viene dada por

ρ(~r) =N∑

j=1

mjδ(~r − ~rj) (26)

En el caso de SPH, la idea es suavizar el campo de densidad de la siguientemanera,

ρ(~r) =N∑

j=1

mjW (~r − ~rj, h) (27)

Para aterrizar un poco mas la discusion, un buen nucleo de interpolacion esel siguiente,

W (~r − ~rj, h) =1

h3π3/2e−‖~r−~rj‖2/h2

(28)

El resultado es el de un suavizamiento de la densidad, lo que permite, porejemplo en el caso de un nucleo gaussiano como el anterior, una densidadcontinua en todo el espacio. Ya expresada la densidad, para calculo numericola interpolacion integral de una cierta cantidad, ya sea la presion, u otravariable, se hace como una aproximacion de la integral expresada en uncomienzo,

As(~r) =∑j

mjAj

ρj

W (~r − ~rj, h) (29)

donde Aj = A(~rj) y ρj = ρ(~rj)

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No seguiremos adentrando mas en esto. Solo basta agregar que el kernelusado en GADGET pertenece a la clase de kernels de soporte compacto. Masespecıficamente, se utiliza el siguiente “spline kernel”,

W (r, h) =8

πh3

1− 6( r

h)2 + 6( r

h)3 0 ≤ r

h< 1

2

2(1− rh) 1

2≤ r

h≤ 1

0 rh> 1

(30)

y se agrega lo que se denomina una viscosidad artificial, que permite controlarlas ondas de choque generadas en ciertas simulaciones. Para mas informacionse pueden ver las referencias ya comentadas. Es precisamente esta la defini-cion de W que habıamos dejado pendiente de la discusion sobre como modelarmateria oscura y estrellas.

2. Algoritmos

2.1. Fuerzas

El algoritmo principal detras de Gadget es el que permite el calculo defuerzas, en este caso no por un metodo de suma directa, que es como se lellama, que en el caso de un universo newtoniano viene dado por lo siguiente,

~Fij = −Gmimj(~ri − ~rj)

‖~ri − ~rj‖3(31)

Es facil ver que este metodo requiere exactamente N(N − 1) fuerzas paraN partıculas, para cada paso que se de. Para N grande esto es del orden deN2. Esto para un numero grande de partıculas, por ejemplo 106, significaun costo computacional enorme. El metodo utilizado en cambio permite re-ducir esto a un calculo en el que el numero de operaciones se reduce a untermino de orden N lnN , el cual se describira a continuacion. Primero, seconsidera un cubo mınimo que reuna a todas las partıculas. Calculese pues,ahora, la expansion multipolar del potencial debido a estas partıculas, consi-derando el suavizamiento (la derivacion detallada de como se ve tal expresionpuede hallarse en Springel et. al 2001) y el centro de masas. Luego tomesealguna partıcula y cuestionese lo siguiente: ¿es la distancia al centro de ma-sa del aglomerado mayor que el tamano del cubo inicial dividido por algunparametro a escoger?. Es decir, lo que nos preguntamos es si se cumple que

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r >l

θ(32)

donde r es la distancia de las partıcula al centro de masa del conglomerado,l es el largo del cubo inicial, y θ es lo que se denomina un parametro deprecision, cuyo significado se aclarara mas adelante. Si la expresion anteriorresulto ser valida para todas las partıculas de la simulacion, esto todo esta lis-to, y ya no hay nada mas que hacer. ¿Pero que tal si una o mas de ellas nosatisfizo esta condicion? En este caso lo que se realiza es subdividir el cuboinicial en 8 subcubos de largo l/2, se calculan las expansiones multipolaresy los centros de masa para cada uno de los cubos, y el cuestionamiento paratodas las partıculas, para todos los cubos, vuelve a hacerse. Note que en estecaso l pasa a ser l/2. Si todas las partıculas satisfacen la condicion, esta todolisto nuevamente, y el proceso se cierra, calculando para cada partıcula lafuerza correspondiente a las expansiones multipolares de cada cubo, ignoran-do completamente la expansion multipolar del cubo de largo l. El proceso serepite hasta que todas las partıculas satisfagan la condicion, o bien uno de loscubos, o nodos, tenga una o ninguna partıcula. En el caso de una partıculala expansion se corta en el monopolo. A todo lo que acabamos de describirse le denomina el “algoritmo arbol” o “tree algorithm”. La implementacionpuede utilizar condiciones mas complejas para determinar si debe usarse laexpansion de cierto nodo o no, pero esto no sera discutido aquı. Mas bien,lo importante es entender que existe una condicion, y que la esencia de estealgoritmo reside allı. Ademas, Gadget puede usarse con esta forma que aca-bamos de ver. Una pregunta que surge inmediatamente es, ¿hasta que ordenllegar en la expansion multipolar?. Lo cierto es que existe un cambio impor-tante en cuanto al paso de la primera a la segunda version de Gadget. Enla de 2001, se utilizo hasta orden cuadrupolar, y en la de 2005, solo hastael monopolo. Vease Springel, 2005 para una discusion al respecto. A partirde la segunda version de Gadget, el calculo de fuerzas a largas distanciaspuede realizarse opcionalmente no con este algoritmo, sino que con lo quese denomina un “Particle Mesh algorithm”, en el cual la idea es expresar elpotencial

Φ = −G∫

S

ρ(~r′)

‖~r − ~r′‖d3r′ (33)

como una suma finita, en la que el espacio se subdivide en un numero de-terminado de celdas. La discusion en detalle no se hara aquı, puesto que es

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Gadget puede hacer todos los calculos sin usar el algoritmo implementado,que es una mezcla entre el Tree y el PM, llamado TreePM. Puede referirse aSpringel 2005, para mas detalles.

2.2. Evolucion Temporal

Todo codigo que resuelva ecuaciones diferenciales necesita un algoritmode avance temporal, de manera que la ecuacion se vaya “integrando”paso apaso. Gadget utiliza en este caso lo que se denomina un algoritmo “kick,drift, kick”para el avance temporal. Recordemos que estamos frente a unsistema Hamiltoniano. Un esquema de avance temporal tıpico, por ejemploEuler o Runge-Kutta, puede producir perturbaciones grandes al sistema allargo plazo. La idea es hacer que cada avance de paso sea una una trans-formacion canonica del Hamiltoniano original. (Vease Goldstein, 1972, paraver transformaciones canonicas). A esta forma se le denomina “symplecticintegration”. Sin entrar en mas detalles, se puede separar el Hamiltoniano deN cuerpos en

H = Hk +Hp (34)

y se introducen los operadores

Dt(∆t) :

~pi → ~pi

~xi → ~xi + ~pi

mi

∫ t+∆tt

dta2

(35)

Kt(∆t) :

~xi → ~xi

~pi → ~pi −∑

j 6=imimj∂Φ(~xi− ~xj)

∂xi

∫ t+∆tt

dta

(36)

y en el caso de Gadget 2 se usa un esquema de aplicacion sucesiva KDKpara cada paso, es decir, cada avance de paso significa aplicar 3 operadores,K, D y finalmente K. Este esquema preserva mucho mejor la “estructura”delHamiltoniano. Para comparaciones en graficos, con Runge-Kutta y una formasimilar DKD, vease Springel, 2005.

3. La simulacion

Corrimos una simulacion en Gadget 2, correspondiente simplemente auna simulacion de prueba, ya contenida en el programa. En ella se utilizaun universo en expansion espacialmente plano, con Ω0 = 0,3 y ΩΛ = 0,7,

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Figura 1: 21 imagenes correspondientes a factores de escala desde 0.05 hasta1.0, en pasos de 0.05, de izquierda a derecha, partiendo desde el extremosuperior izquierdo. La unica excepcion es la segunda imagen, que correspon-de a a = 0,075. Esto corresponde a los siguientes redshifts, con dos cifrassignificativas: 19.0, 12.0, 9.0, 5.7, 4, 3, 2.3, 1.9, 1.5, 1.2, 1, 0.82, 0.67, 0.54,0.43, 0.33, 0.25, 0.18, 0.11, 0.053, 0.

condiciones de borde de vacıo, es decir, el campo de fluctuaciones de densidadfuera de la distribucion de partıculas es cero. Se comienza la simulacion desdez = 23, que corresponde a a = 0,047 aproximadamente, y se llega hasta a = 1.La simulacion tiene en total 276498 partıculas y las condiciones iniciales, esdecir, la distribucion inicial de las partıculas representativas, viene incluidaen el programa. Tardo en correr 14494.97 segundos segun un logfile generadopor el programa, lo que equivale a aproximadamente 4 horas. Se hizo enun solo procesador Intel Celeron 585 de 2.16GHz y usando una memoriatotal de 2GB. En este caso el calculo se hizo usando el metodo TreePM.Estudios preliminares mostraron que corriendo el codigo solo con Tree, elcalculo habrıa tardado cerca de 3 veces lo anterior: alrededor de 12 horas.Por lo que para este caso TreePM es considerablemente mas rapido que elTree puro. Los resultados hablan por sı solos: a partir de una distribucion casihomogenea de las partıculas, la cual se puede ver directamente hacia redshift19, se pasa por un gran cumulo central aproximadamente en redshift 0.54,para finalmente dispersarse este y concluir la simulacion con varios cumulospequenos, en z = 0. Podemos comparar esta simulacion con la obtenidapor Jenkins et. al. 1998, correspondiente al Virgo Consortium, o con la de

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Figura 2: Imagen grande correspondiente a z = 19.

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Figura 3: Imagen grande correspondiente a z = 0.

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Springel, White, et. al, 2005, correspondiente a la Millenium Simulation. Entodos los casos, incluso en modelos distintos a ΛCDM se puede ver quela estructura formada al dejar evolucionar el campo de sobredensidades esmuy similar, i.e., se obtienen siempre cumulos centrales, con ramas que losconectan a otros. Mas aun, si se revisa Bertschinger, 1998, se podra ver quela imagen citada por el autor en la pagina 608 es practicamente identica a lanuestra para alguno de los redshifts intermedios entre 19 y 0, en la cual nose utilizo Gadget, sino que un codigo P 3MSPH. El autor cita a CouchmanHMP, Thomas PA, Pearce FR. 1995. Ap. J. 452:797–813.

4. Repaso y Conclusiones

Hemos estudiado ası tanto el codigo Gadget como Gadget 2, viendo quela materia oscura y las estrellas se modelan a traves de un gas no colisional,que viene descrito por la ecuacion de Poisson y la ecuacion de Boltzmann nocolisional, en donde la funcion masa por unidad de volumen y por unidad devolumen de velocidad viene dada por una distribucion discreta de partıculasrepresentativas, suavizadas segun el “spline kernel”. El medio interestelar oel medio intergalactico se describen en cambio por medio de las ecuacionesde la hidrodinamica, suavidazas estas segun el metodo SPH. Vimos tambienque para el calculo de fuerzas se utiliza el denominado “Tree code”, y opcio-nalmente puede usarse tambien un metodo consistente en dividir el espacioen celdas para las fuerzas a largas distancias y el Tree para las de corta dis-tancia. Para el avance temporal se utiliza un esquema ”Kick Drift Kick”, oKDK, que consistente en transformaciones canonicas sucesivas al Hamilto-niano que describe la dinamica del universo. Simulamos la formacion de uncumulo de galaxias en un universo ΛCDM desde z = 23 hasta a = 1, obte-niendo resultados interesantes, como la formacion de un gran cumulo centralhacia redshift 0.54 que despues se fragmenta en cumulos mas pequenos, paraperderse este en z = 0. Los resultados a grandes rasgos estan de acuerdocon las simulaciones hechas por el Virgo Consortium y la Millenium Simula-tion, en donde se aprecia la estructura tıpica, que es cumulos centrales conramificaciones que conectan a otros. En general concluimos que Gadget esuna gran herramienta de simulacion, ya que pueden generarse condicionesiniciales arbitrarias con, por ejemplo, el software de Edmund Bertschinger,Grafic-22. Esto, sumado a la posibilidad de que pueden ajustarse cada uno

2Disponible en la pagina web del autor, http://web.mit.edu/edbert/

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de los parametros cosmologicos, ΩΛ y Ω0, permitirıa resolver en principiomuchos de los problemas que son de interes hoy en cosmologıa y astrofısica.

5. Referencias

Bertschinger E., ARA & A 1998 36:599-654.Bodenheimer P., Laughlin G.P., Rozyczka M., Yorke H.W., Numerical Met-hods in Astrophysics, Taylor & Francis, 2007.Goldstein H., Mecanica Clasica, Aguilar, 1972.Heitmann K, Ricker P.M., Warren M.S., Habib S.; ApJS, 160:28-58, 2005Hernquist, L., Bouchet, F.R., Suto, Y., 1991. ApJS 75, 231.Hernquist, L., Katz, N., 1989. ApJ 70, 419.Jackson J.D., Classical Electrodynamics, Wiley, 1999.Jenkins A., Frenk C.S., Pearce F.R., Thomas P.A., Colberg J.M., WhiteS.D.M., Couchman H.M.P., Peacock J.A., Efstathiou G., Nelson A.H.; ApJ,499: 20-40, 1998 May 20.Longair S., Galaxy Formation, Springer, 2008.Monaghan J.J., ARA & A 1992 30:543-74Peacock, J.A., Cosmological Physics, Cambridge University Press, 1999.Peebles, P.J.E., The Large-Scale Structure of the Universe, Princeton Uni-versity Press, 1980.Price, D.; arXiv:astro-ph/0507472v1Reif F., Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, Waveland, 2009.Springel V.; MNRAS, 364, 1105 - 1134 (2005)Springel V., White D.M. Jenkins A., Frenk C.S., Yoshida N., Gao L., NavarroJ., Thacker R., Croton Darren, Helly J., Peacock J.A., Cole S., Thomas P.,Couchman H., Evrard A., Colberg J., Pearce F.; arXiv:astro-ph/0504097 v2Springel V., Yoshida N., White S.D.M; New Astronomy 6 (2001) 79-117Thomas P.A., Colberg Jorg M., Couchmann Hugh M.P., Efstathiou G.P.,Frenk Carlos S., Jenkins A.R., Nelson A.H., Hutchings R.M., Peacock J.A.,Pearce F.R., White S.D.M; MNRAS 296, 1061-1071 (1998)

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