SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FLUJO BIFÁSICO … · combina esquemas aguas arriba y aguas abajo con el...

LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA

FACULTAD DE INGENIERIA

DIVISIÓN DE ESTUDIOS PARA GRADUADOS

SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FLUJO BIFÁSICO MEDIANTE

EL MÉTODO DEL VOLUMEN DE FLUIDO (VOF)

Trabajo de Grado presentado por:

Joaquín E. Morán G.

Para optar al título de Magíster Scientiarum

en Ingeniería Mecánica

Tutor Académico: Prof. José A. Rincón

Maracaibo, Octubre de 2002

ii

Este jurado aprueba el Trabajo de Grado “Simulación Numérica de Flujo Bifásico

mediante el Método del Volumen de Fluido (VOF)”, que Joaquín E. Morán G.

presenta en el Consejo Técnico de la División de Estudios para Graduados de la

Facultad de Ingeniería, en cumplimiento del artículo 51, aparte 51.6, página 12,

del Reglamento de Estudios para Graduados de la Facultad de Ingeniería de La

Universidad del Zulia, como requisito para optar al título de Magíster Scientiarum

en Ingeniería Mecánica.

Maracaibo, 11 de Octubre de 2002.

Prof. José A. Rincón

Asesor

Prof. Juan A. Damia

Jurado

Prof. Juan José González

Jurado

Prof. Carlos Rincón Joaquín E. Morán

Director de la División de Autor

Estudios para Graduados

iii

DEDICATORIA

Dedico este trabajo a la persona que

me ha enseñado que con honradez,

perseverancia y esfuerzo, todo es

posible. Gracias “Caco”.

iv

AGRADECIMIENTO

A Dios por darme la vida, y llevarme siempre por los mejores caminos.

A mi esposa Liezka, por ser un apoyo incondicional en todo lo que me

propongo, gracias por todo tu amor y tu paciencia.

A mis Padres María y Joaquín, por darme una sólida educación y

brindarme un hogar donde la confianza, el respeto y los buenos ejemplos nunca

faltaron. A mi Tía Ana, gracias por estar siempre pendiente de mí.

A mis hermanos Enrique y Eduardo, porque sé que siempre piensan en

mi y me desean lo mejor. Los quiero mucho.

A Cheo, por hacerme sentir siempre como hijo suyo, ayudándome

desinteresadamente y enseñándome que la humildad y el desprendimiento son

las cualidades de un verdadero maestro. Nunca cambie Profesor Rincón.

A los Profesores del Laboratorio de Simulación Computacional, a mis

amigos José Dopazo, Alberto de Barry, Gilberto, Alejandro, Mónica, Carlos y

José. Suerte cuando les toque a Uds. Agradezco también a mi compañero

Javier Goicochea por sus recomendaciones y sugerencias.

A los Profesores David Bukowitz y Rafael Bravo. Les doy las gracias por

la oportunidad mayúscula que me han brindado y los hago responsables de

todas las cosas buenas que están por venir.

A todos, muchas gracias

v

RESUMEN

Morán G., Joaquín E. Simulación Numérica de Flujo Bifásico mediante el método del Volumen de Fluido (VOF). Trabajo de Grado. Universidad del

Zulia, Facultad de Ingeniería. Maracaibo, 2002.

En este trabajo se presentó el desarrollo computacional de un programa para la

simulación de flujo bifásico, mediante el algoritmo del Volumen de Fluido (VOF).

El programa es capaz de “rastrear” el movimiento de una interfase definida entre

dos fluidos incompresibles e inmiscibles. Además del modelo VOF propuesto

por Hirt y Nichols en 1981, se implementó un algoritmo súper-compresivo que

combina esquemas aguas arriba y aguas abajo con el objetivo de minimizar la

falsa difusión, que puede conducir a resultados erróneos. Para la reconstrucción

de la interfase en cada paso de tiempo, se utilizó el modelo de Youngs, conocido

como PLIC (“Piecewise Linear Interface Calculation”). Los problemas

seleccionados para evaluar el desempeño del programa, muestran una

excelente capacidad de captura de interfase. En los casos que presentan

condiciones de tensión superficial dominante (término que no es considerado en

la formulación presentada en este trabajo) los resultados del programa son

cualitativamente aceptables. El algoritmo VOF fue implementado en forma

bidimensional, pero puede ser extendido a tres dimensiones y a situaciones

axisimétricas. Aunque se logró reducir el costo computacional del algoritmo para

el monitoreo de la interfase, sería recomendable la implementación de un

método numérico diferente al TDMA para la solución del sistema de ecuaciones.

Palabras Clave: Volumen de Fluido, VOF, Modelo de Young, superficie libre.

vi

ABSTRACT

Morán G., Joaquín E. Numerical Simulation of Two – Phase Flow using the Volume of Fluid (VOF) Method. Trabajo de Grado. Universidad del Zulia,

Facultad de Ingeniería. Maracaibo, 2002.

In this work, a numerical algorithm to solve two – phase flow problems was

presented. The volume of fluid (VOF) method showed its capability to track the

interface movement within the computational domain, if we consider

incompressible and immiscible flows. In addition to the original VOF formulation,

proposed by Hirt and Nichols in 1981, a super-compressive algorithm was

implemented, in order to maintain a sharp definition at the interface. The latter,

combines upwind and downwind schemes to minimize the numerical diffusion

created by the numerical solution method. For the reconstruction of the interface

profile in each time step, the Young’s method (PLIC) was also employed. The

problems selected to evaluate the behavior of the algorithm, showed excellent

volume tracking capabilities. In some cases, where the surface tension effects

(which were not considered here) are dominant, the results are qualitatively

acceptable. The VOF method was implemented in a two – dimension approach,

but can be extended to 3D and cylindrical situations. Although the computational

costs were reduced in comparison with previous works, we recommend a

different numerical method, more efficient than TDMA, for solving the

conservation equations.

Key Words: Volume of Fluid, VOF, Young’s method, free surface flows.

vii

INDICE GENERAL

DEDICATORIA iiiAGRADECIMIENTO iv RESUMEN v ABSTRACT vi

INDICE GENERAL vii LISTA DE FIGURAS xLISTA DE TABLAS xiii NOMENCLATURA xiv

CAPÍTULO I: Planteamiento y Antecedentes del Problema

1.1. Justificación del Estudio 2

1.2. Trabajos y Experiencias Previas 5

1.3. Hipótesis Fundamental de la Investigación 12

1.4. Objetivos Generales y Específicos 13

1.5. Estructura del Trabajo 14

CAPÍTULO II: El Modelo del Volumen de Fluido

2.1. Métodos para la Simulación de Flujo Bifásico 16

2.2. Aspectos Generales del Modelo de Volumen de Fluido 17

2.3. El Modelo Matemático 18

2.3.1. Ecuación General de Transporte 19

viii

2.3.2. Ecuaciones Gobernantes 20

2.4. Condiciones Iniciales y de Contorno 26

2.5. Modelos VOF – Implementación Numérica 28

2.5.1. FCT-VOF 29

2.5.2. FCT-VOF Unidimensional 32

2.5.3. FCT-VOF Multidimensional 33

2.6. Métodos para la Reconstrucción de la Interfase 36

2.6.1. SLIC 36

2.6.2. VOF de Hirt y Nichols 37

2.6.3. Modelo de Youngs (PLIC) 40

2.7. Algoritmos para Minimizar la Falsa Difusión 45

2.7.1. Diagrama de la Variable Normalizada (NVD) 51

2.7.2. Esquema Diferenciador Inter-Gamma 54

2.7.3. Limitaciones en el Número de Courant 56

CAPÍTULO III: Implementación Computacional

3.1. Programa de Propósitos Generales PRODIC 58

3.1.1. Alcances y Limitaciones 58

3.1.2. Estructura General de PRODIC 59

3.1.3. Criterio de Convergencia 63

3.1.4. Sistemas de Coordenadas 65

3.1.5. Especificación de las condiciones de contorno 66

3.2. Programa YOUNGS: Implementación del Modelo VOF 68

3.2.1. Incorporación de C en el algoritmo de solución 69

3.2.2. Introducción del Método Inter-Gamma 70

3.2.3. Implementación del Modelo de Youngs 71

3.3. Modificaciones a la subrutina ADAPT 72

CAPÍTULO IV: Casos de Estudio. Resultados

ix

4.1. Caso No. 1: Caída y Colapso de Gota 75

4.1.1. Descripción del Problema 75

4.1.2. Descripción de la subrutina ADAPT 77

4.1.3. Resultados Obtenidos 79

4.2. Caso No. 2: Colapso de una Columna de Líquido 81




4.3. Caso No. 3: Rotación de una Cavidad Cuadrada 87




4.4. Caso No. 4: Cavidad con dos fluidos 92




CAPÍTULO V: Conclusiones y Recomendaciones

REFERENCIAS

APENDICE: Subrutinas ADAPT para los cuatro casos estudiados

A.1. GOTA.FOR

A.2. COLUMNA.FOR

A.3 SQUARE.FOR

A.4. DENSINV.FOR

x

Lista de Figuras

Figura Pág.

1.1. Recipiente mostrando los tipos de flujo inmiscible 3

1.2.

Modelos para la simulación de flujo bifásico: Métodos de rastreo

de interfase: a) partículas en la interfase, b) mallas adaptadas.

Métodos de volumen: c) Función colorante 5

1.3. Partículas marcadoras propuestas por Daly 6

1.4.

Funciones de elevación para (a) interfases cerradas (b) interfases

abiertas 7

1.5.

Colapso de una columna de agua simulado mediante un

algoritmo de mallas adaptadas a la interfase 8

1.6. Partículas marcadoras en los volúmenes de control de la malla 9

1.7. Fracciones de volumen en una malla discreta 9

2.1.

Enfoques Físicos: Lagragiano. (a), donde se sigue la trayectoria

de cada una de las partículas, y Euleriano (b), en donde se

considera un solo fluido pseudo-homogéneo 16

2.2. Forma general de las leyes de conservación 19

2.3. Fuerzas sobre una interfase curva 22

2.4.

Continuidad en el campo de velocidades y discontinuidad en el

campo de cantidad de movimiento 24

2.5.

Advección unidimensional de una función escalón utilizando el

modelo FCT-VOF 33

2.6.

Advección de una función cuadrada utilizando FCT-VOF

multidimensional 34

2.7. Aproximación de la interfase para la celda central utilizando SLIC. 36

2.8.

Reconstrucción de interfases de la configuración original

mostrada en (a) mediante: (b,c) SLIC (en la dirección “x” y “y”

respectivamente); (d) VOF de Hirt y Nichols y (e) modelo de

Youngs 37

xi

Figura

2.9. Configuración real de la interfase 39

2.10. Fenómenos de Jetsam/Flotsam en diferentes modelos 39

2.11. Posibles configuraciones de la interfase para el modelo PLIC 42

2.12. Diagrama de flujo para determinar la configuración de la interfase. 42

2.13. Arreglo para simulación de superficie libre 45

2.14. Secuencia de imágenes mostrando el desarrollo de falsa difusión. 46

2.15.

Aproximación tipo donante-receptor. La celda de la izquierda

actúa como donante 48

2.16. Nomenclatura para un volumen de control unidimensional 48

2.17. Configuración de los fluidos en la celda donante 49

2.18.

Definición de Nodos aguas arriba (U), aguas abajo (D) y central

(C) dependiendo del signo de uf 51

2.19.

Diagrama de la Variable Normalizada mostrando φf como función

de φC para los esquemas: upwind de primer orden (1U),

downwind de primer orden (1U) y upwind de segundo orden (2U) 53

2.20. Criterio de acotamiento en el diagrama NVD 54

2.21. Esquema Inter – Gamma en diagrama NVD 55

3.1. Estructura lógica de PRODIC 60

3.2. Los tres sistemas de coordenadas 66

3.3. Diagrama de Flujo del programa YOUNGS 69

4.1. Condiciones iniciales y dimensiones para el problema de la gota 75

4.2.

División del dominio en volúmenes de control y malla resultante

para el problema de la gota 76

4.3.

Resultados del programa YOUNGS para la gota (varios pasos de

tiempo) 79

4.4.

(a) Simulación tridimensional de una gota pendiente, (b) foto

comparada con la simulación [2] 80

4.5.

Condiciones iniciales y dimensiones para el problema de la

columna de líquido. 81

4.6. División del dominio en volúmenes de control y malla resultante

xii

para el problema de la columna de líquido 82

4.7.

Resultados del programa YOUNGS para el problema de la

columna de líquido

85

4.8.

Variación en el tiempo VS Longitud en forma adimensional para el

problema de la columna de líquido 86

4.9. Condiciones iniciales y dimensiones para la cavidad en rotación… 87

4.10


para la cavidad en rotación 88

4.11.

Resultados del programa YOUNGS para la rotación de una

cavidad cuadrada 91

4.12.

Condiciones iniciales y dimensiones para el problema de

densidad invertida 92

4.13.


para el problema de densidad invertida 93

4.14.

Resultados del programa YOUNGS para el problema de densidad

invertida 95

xiii

Lista de Tablas

Tabla Pág.

2.1. Cálculo de Flujos según el modelo YOUNGS 44

3.1. Interpretación de algunas variables utilizadas en el programa

PRODIC 66

3.2. Especificación de las condiciones de borde 67

4.1. Variables de inicialización para el caso de la gota 77

4.2. Variables de inicialización para el caso de la columna de liquido 82

4.3. Variables de inicialización para la cavidad cuadrada 89

4.4. Variables de inicialización para el caso No. 4 93

xiv

Nomenclatura

Símbolo Significado

C Función colorante, nodo central.

Co Numero de Courant.

D Nodo aguas abajo.

F Flujo, variable de campo.

f Fuerza de tensión superficial.

g Aceleración de gravedad.

I Tensor unitario, índice.

K Error por difusión efectiva.

n Término geométrico.

P Presión.

Pe Numero de Peclet.

Q Término fuente.

S Término fuente, superficie o contorno.

T Tensor de esfuerzos.

t Tiempo.

U Velocidad en “x”, nodo aguas arriba.

u Velocidad en la dirección “x”.

v Velocidad en la dirección “y”.

V Volumen.

Símbolos Griegos

α Función colorante.

β Ángulo de la interfase con la horizontal.

Γ Coeficiente de difusión.

ρ Densidad.

xv

φ Variable de campo.

μ Viscosidad dinámica.

σ Tensión superficial.

θ Ángulo de YOUNGS.

Subíndices y Superíndices

∼ Variable normalizada.

* Valor corregido.

1,2 Fluidos involucrados.

A Antidifusivo.

C Valor de la propiedad en el nodo central.

D Valor de la propiedad en el nodo aguas abajo.

f, i+1/2 Valor de la propiedad en la cara.

H Alto orden.

i , j Índices.

L Bajo orden.

new Valor nuevo.

old Valor anterior (paso de tiempo anterior).

U Valor de la propiedad en el nodo aguas arriba.

Capítulo I

Planteamiento y Antecedentes del Problema.

2

1.1. Justificación del Estudio.

La simulación directa de flujo multifásico constituye uno de los principales

retos dentro de las áreas estudiadas mediante la dinámica de fluidos

computacional (CFD). La razón más importante, es la complejidad asociada a las

ecuaciones de conservación (continuidad, cantidad de movimiento, energía,

conservación de especies químicas) que deben escribirse para cada fase, además

de los fenómenos asociados a la transferencia de masa entre los componentes del

flujo.

Si se considera que los fluidos son inmiscibles, es decir, no existe

transferencia de masa entre ellos, el análisis es mucho más simplificado. La

inmiscibilidad es el resultado de las fuerzas de cohesión entre las moléculas, y

depende de la naturaleza de los fluidos. La facilidad con la cual dos fluidos se

mezclan se expresa mediante un coeficiente experimental denominado ”tensión

superficial”. A mayores valores de la tensión superficial, mayor será la resistencia

a ser mezclados, mientras que valores negativos indican que no ofrecen

resistencia a mezclarse.

El flujo de fluidos inmiscibles se encuentra comúnmente en una gran

variedad de situaciones y procesos en la industria y la naturaleza. En algunas

circunstancias, son debidos a reacciones químicas o cambios de fase como

consecuencia de altas temperaturas, pero que sin embargo modifican la

naturaleza y configuración del flujo. Algunos de los problemas de ingeniería que

involucran el acoplamiento de dos o más materiales cuyos bordes o fronteras se

mueven, deforman o evolucionan en el tiempo, son: la deformación de gotas,

burbujas, superficies libres de líquidos, interfaces de materiales en solidificación y

vaporización, interacciones flujo – estructura en problemas a escala macroscópica

(aeroeslasticidad) y microscópica (biomecánica), fenómenos atmosféricos

(tormentas, tsunamis), entre otros.

3

El flujo de fluidos inmiscibles puede ser clasificado en tres grandes grupos,

de acuerdo a las estructuras interfaciales y la distribución topográfica de las fases.

Estos grupos son:

Flujos segregados

Flujos de transición o mezclados

Flujos dispersos.

Puede explicarse la configuración física de cada una de éstas categorías

siguiendo el siguiente ejemplo: Considere un recipiente cerrado que contenga una

cierta cantidad de líquido y gas (ver Figura 1.1).

Figura 1.1. Recipiente mostrando los tipos de flujo inmiscible.

Si se mueve suavemente hacia los lados (con baja amplitud y baja

frecuencia) las dos fases permanecen separadas mediante una interfase

fácilmente identificable en todo momento, como en flujos segregados. Si se

aumentan la amplitud y la frecuencia, se alcanza un flujo de transición o mezclado

cuando se forman olas en la superficie del líquido que pueden volverse inestables

y romperse. Nótese que al suceder esto, algunas burbujas de gas quedan

atrapadas bajo al superficie del líquido. Finalmente, si se agita violentamente el

4

recipiente, el gas queda suspendido en el líquido en forma de pequeñas burbujas,

obteniéndose así un flujo disperso.

En este trabajo, se estudiará flujo bifásico segregado, y se propondrá el

modelo del Volumen de Fluido (VOF) para la identificación de las estructuras

asociadas al flujo. La interfase es crucial para la solución del problema de flujo

segregado, por lo cual debe ser parte del algoritmo de solución. Al igual que los

algoritmos utilizados para resolver problemas de flujo monofásico, debe ser

conservativo (respecto de la masa, cantidad de movimiento, energía, etc.), tener

buena precisión numérica, minimizar las necesidades computacionales y ser de

carácter general. Otras condiciones que debe cumplir el método propuesto para

atacar problemas de flujo multifásico son:

La representación de la interfase en una malla discreta

El movimiento de la interfase en el tiempo

El tratamiento de las celdas parcialmente llenas

El acople de las condiciones de la interfase a las ecuaciones de

movimiento.

No existe todavía un método o modelo que se utilice con preferencia para la

simulación de flujo bifásico. Algunos autores han intentado una combinación de

varias técnicas, obteniéndose resultados aproximados. Sin embargo, no existe

una comparación directa entre los beneficios que resultan de utilizar los modelos

combinados entre sí en función de los resultados obtenidos, así como de la

complicación de los algoritmos y de la dificultad de extenderlos para resolver

problemas tridimensionales. Asimismo, no hay evidencia de problemas tipo para

efectuar estas comparaciones entre los modelos numéricos.

Aunque existen paquetes computacionales para la resolución de este tipo

de problemas, no se ha masificado la utilización de los mismos debido a las

incertidumbres asociadas a los métodos.

5

1.2. Trabajos y Experiencias Previas.

Los algoritmos existentes para el cálculo de la localización de la superficie

libre han sido clasificados según Ferziger y Peric1 en dos categorías (ver Figura

1.2):

Métodos que trazan una superficie libre o interfase, cuyo movimiento es

continuamente monitoreado. Estos métodos reciben el nombre de

“métodos de rastreo de interfase” (interface tracking methods).

Métodos que no definen una superficie libre, sino que la malla se extiende

más allá de la interfase, y la forma de la superficie es determinada por las

celdas que se encuentran parcialmente llenas (presencia de ambas fases).

Estos métodos se denominan “métodos de captura de interfase” o “métodos

de volumen” (interface capturing methods).

Figura 1.2. Modelos para la simulación de flujo bifásico: Métodos de rastreo de interfase: a)

partículas en la interfase, b) mallas adaptadas. Métodos de volumen: c) Función colorante

Con respecto a los métodos de rastreo de interfase, existen a su vez

diferentes alternativas2. En la técnica de partículas en la interfase (Figura 1.3),

(a) (b) (c)

6

Figura 1.3. Partículas marcadoras propuestas por Daly.

propuesta por Daly (1969) se utiliza un conjunto de marcadores sin masa, que se

desplazan por efecto de las velocidades locales. Éste método tiene la desventaja

de que el espaciamiento entre las partículas afecta sensiblemente los resultados,

por lo tanto, existen restricciones para predecir interfases que se mezclen o

rompan (oleaje). Más aún, en tres dimensiones es casi imposible llevar cuenta de

la conectividad de las partículas.

Las funciones de elevación propuestas por Hirt y Nichols y ejemplificadas

mediante la Figura 1.4, extienden la idea de los marcadores de interfase

relacionando los puntos de referencia en la superficie con un plano fijo. La

localización de la interfase queda entonces descrita como la distancia al plano de

referencia. La limitante de éste método es que sólo puede representarse una

elevación por cada coordenada, por lo tanto no es posible la predicción de

interfase en problemas en donde hay rompimiento, cambio de dirección o

socavamientos bruscos de la superficie.

El método de ajuste de nivel (level-set)3 4, utiliza una función que se calcula

para todo el dominio computacional, y cuyo valor es igual a la distancia más corta

Fluido 2

Fluido 1

7

Figura 1.4. Funciones de elevación para (a) interfases cerradas y (b) interfases abiertas.

entre el punto y la interfase. La interfase es definida por las celdas en donde la

función, conocida como “función de nivel” tiene un valor igual a cero.

Los métodos de ajuste de malla5, adaptan el contorno de la misma a la

interfase en cada paso de tiempo. Como ventajas, ofrece la reducción de los

datos a ser almacenados (no hay necesidad de marcadores para la interfase),

aseguran una buena definición de la interfase y evita considerar celdas

parcialmente llenas. Sin embargo, estos métodos están limitados a superficies

que no sufran grandes deformaciones, pues ocasionan distorsiones sustanciales

de la malla (ver Figura 1.5). Otra desventaja es que para cada paso de tiempo es

necesario regenerar la malla, lo cual trae como consecuencia complicaciones de

tipo geométrico.

Múltiples valores de una

misma elevación

(a)

(b)

8

Figura 1.5. Colapso de una columna de agua simulado mediante un algoritmo de mallas

adaptadas a la interfase

Los métodos de captura de interfase o monitoreo de volumen6, comenzaron

a desarrollarse a partir del modelo MAC (Marker And Cell) propuesto por Harlow y

Welch. Este método propone esparcir partículas sin masa sobre todo el volumen

ocupado por el fluido con superficie libre. Como se observa en la Figura 1.6, una

celda sin marcador se considera vacía. Cada celda marcada adyacente a una

celda sin marcar, contiene una porción de la intefase, mientras que todas las otras

celdas marcadas se consideran completamente llenas de un solo fluido. Daly

(1967), extendió el método MAC a dos fluidos; en este caso, cada fluido tiene sus

propias partículas marcadoras. Las celdas que presenten partículas de ambos

fluidos contienen la interfase.

DeBar (1970) desarrolló un método en el cual se calculaba la fracción de

volumen de cada fase presente en cada una de las celdas de la malla. En el

método VOF (Volume of Fluid) propuesto por Hirt y Nichols (1981), la fracción de

volumen se representa mediante una función escalar con valores de 0 hasta 1

9

Figura 1.6. Partículas marcadoras en los volúmenes de control de la malla.

Figura 1.7. Fracciones de volumen en una malla discreta.

para distinguir entre las dos fases presentes (Figura 1.7). Un valor de 0 indica

que la celda se encuentra totalmente llena de una de las fases, mientras que si la

función escalar vale 1, la celda contiene el otro fluido. Un valor intermedio entre 0

y 1 indica la presencia de la interfase dentro del volumen de control de la malla.

1.00 1.00 1.00 1.00

0.98 0.96 0.64 0.72

0.09 0.22 0.00 0.00

10

El método VOF consta de tres componentes7 a saber: un esquema para

localizar la interfase o superficie, un algoritmo para monitorear su desplazamiento

a través de la malla y una forma de imponer las condiciones de contorno en la

interfase para cada paso de tiempo. Es importante que la programación del

método VOF contenga estos tres ingredientes, pues de lo contrario se cometerán

errores en la ubicación y reconstrucción de la interfase. La ventaja de utilizar las

fracciones de volumen sobre el método MAC es que sólo se necesita determinar

un valor para cada celda. Otro beneficio es que la fracción de volumen es una

ecuación convectiva escalar como las otras ecuaciones de transporte, que se

resuelve sobre toda la malla para propagar las fracciones de volumen.

Durante los últimos años, los investigadores han propuesto varias técnicas

para definir (entiéndase “dibujar” o “trazar”, diferente a “localizar”) la interfase

utilizando el marco de la fracción de volumen. La mayoría de estas propuestas

cae dentro de una de dos categorías: las técnicas de línea o la formulación

donante-receptor (donor-acceptor). Las técnicas de línea, como el método SLIC

(Simple Line Inteface Calculation) propuesto por Noh y Woodward en 1976, utiliza

las fracciones de volumen de celdas vecinas para trazar los perfiles de la interfase

en las celdas que la contienen, en forma de líneas paralelas a los ejes

coordenados de la malla. En el método de Youngs o también llamado PLIC

(Piecewise Linear Interface Calculation) se ajusta la interfase dentro de cada

volumen de control a una línea recta, que no tiene porqué estar alineada con los

ejes coordenados, lo cual permite una mejor resolución y aproximación al contorno

real de la superficie. Por otro lado, para corregir el valor de la fracción de

volumen, los métodos de alto orden para el tratamiento de la convección, como el

modelo propuesto por Jasak et al.8 en 1995, utiliza esquemas de séptimo a

noveno orden para localizar la interfase dentro del volumen de control, evitando la

difuminación de la superficie definida o “smearing” causada por la falsa difusión de

los métodos de bajo orden. Esto se logra mediante los diagramas de variables

normalizadas implementados por B.P. Leonard9 para resolver problemas de

transporte escalar altamente convectivo que involucran discontinuidades

11

pronunciadas y fuertes curvaturas de las líneas de corriente10. Es claro que debe

existir un compromiso entre la falsa difusión de los esquemas de bajo orden y las

oscilaciones producidas por esquemas de alto orden. Ubbink5, utiliza una

combinación de VOF, limitadores y PLIC para la reconstrucción de la interfase en

problemas en donde hay rompimientos y deformaciones pronunciadas.

Otros autores como J. Ghidaglia11 utilizan una técnica diferente, basada en

el cálculo de las fracciones de volumen de cada fase en la celda, e incluso en la

determinación de la transferencia de masa entre las fases. La formulación de esta

propuesta se basa en modelos Euler-Euler, a diferencia de los modelos Euler-

Lagrange utilizados para el estudio de flujo multifásico disperso. Los trabajos de

Ghidaglia se basan en la utilización de mallas no estructuradas, presentando

además las complicaciones adicionales que trae como consecuencia la

consideración de mezcla entre las fases. Sin embargo no hay un algoritmo para la

reconstrucción de la interfase en cada paso de tiempo, por lo cual, adicional a los

valores de las propiedades (velocidad, temperatura, presión, etc.) no es posible

rastrear el movimiento de la interfase.

Algoritmos del tipo Lattice – Boltzmann también se han implementado en la

simulación de flujos multifásicos. En este caso, se discretiza y resuelve la

ecuación de Boltzmann sobre arreglos reticulares, determinando la probabilidad de

que una partícula se encuentre en determinada posición en un instante de tiempo

dado.

Finalmente, los algoritmos de “corrientes de volumen”18 de fluido, utilizan

líneas de corriente que cruzan a través de las caras de las celdas de la malla, y es

sobre éstas líneas que se realizan las integraciones para el cálculo de los flujos

volumétricos que pasan a través de las caras de los volúmenes de control.

12

1.3. Hipótesis fundamental de la Investigación.

El desarrollo de un programa computacional para la simulación numérica de

flujo bifásico utilizando el método VOF para la determinación de la ubicación de la

interfase, permitirá al usuario:

Analizar el comportamiento de la interfase entre dos fluidos mediante un

algoritmo sencillo y que requiere poco esfuerzo computacional

Estudiar las interacciones entre las fases de un flujo compuesto

determinando los valores de las propiedades de dichas fases cerca de la

interfase

Modelar problemas en los cuales existen deformaciones y movimiento

relativo entre las fases del flujo

Predecir la localización de la interfase en cada paso de tiempo

Comparar los resultados obtenidos con los experimentos realizados por

otros autores, así como con otros métodos para el cálculo de la localización

de la interfase.

La función escalar para la determinación de las fracciones de volumen, será

incluida como una ecuación de transporte adicional. De igual forma, se utilizará el

algoritmo de Youngs (PLIC) para la reconstrucción de la interfase en cada paso de

tiempo. Se utilizará un limitador para corregir el efecto de la falsa difusión en la

determinación de la función escalar. Este limitador introduce en la solución del

problema los métodos de alto orden cuando considere que se acerca a la interfase

dentro de cada celda.

13

1.4. Objetivos Generales y Específicos

El objetivo general del trabajo es modelar numéricamente el

comportamiento de la interfase en flujo bifásico, utilizando el método del volumen

de fluido (VOF).

Los objetivos específicos son los siguientes:

Modificar el programa PRODIC, utilizado para resolver problemas de

transferencia de calor y flujo de fluidos en coordenadas cartesianas, polares

y axisimétricas, para que calcule el valor de la función escalar de fracción

de volumen.

Implementar el método de Youngs (PLIC) para la reconstrucción de la

interfase entre los dos fluidos en cada paso de tiempo.

Utilizar un limitador para cambiar el orden del algoritmo en los casos que

sea necesario, evitando así la difuminación de la interfase.

Comparar los resultados obtenidos con los de otros autores para problemas

con solución conocida.

14

1.5. Estructura del Trabajo

Este trabajo de investigación se ha dividido en cinco capítulos, cada uno de

los cuales contiene la siguiente información:

Capítulo I: Introduce al lector brevemente en el contexto de los modelos

para la simulación de flujo bifásico, toda vez que se enumeran algunas de

sus aplicaciones. Se hace referencia a trabajos anteriores y se explican los

objetivos y la hipótesis de la investigación llevada a cabo.

Capítulo II: Se enumeran los modelos físicos utilizados para la simulación

de flujos multifásicos y se describe matemáticamente el método del

Volumen de Fluido (VOF). Presenta las diferentes estrategias utilizadas

para la minimización de la difusión numérica.

Capítulo III: Se explica la implementación computacional del modelo VOF,

así como de los algoritmos “supercompresivos” y el método de Youngs

(PLIC). Presenta la estructura, funcionamiento y limitaciones del programa

YOUNGS, obtenido mediante la modificación del programa PRODIC, y su

adaptación a la resolución de problemas de flujo bifásico.

Capítulo IV: Se seleccionan cuatro ejemplos tipo para la evaluación del

programa YOUNGS, comparando los resultados obtenidos con la

bibliografía cuando sea disponible.

Capítulo V: Conclusiones y recomendaciones.

Capítulo II

El Modelo del Volumen de Fluido (VOF)

16

2.1. Métodos para la Simulación de Flujo Bifásico.

Los dos enfoques físicos más comúnmente utilizados en la clasificación

de los modelos para la simulación numérica de flujo multifásico, de acuerdo al

tratamiento a la fase dispersa, son los siguientes:

Modelos Euler – Lagrange

Modelos Euler – Euler.

En los modelos Euler – Lagrange, se determina el campo de flujo a partir

de las ecuaciones de conservación aplicadas a una mezcla pseudo-

homogénea gas-líquido, para luego calcular la concentración o presencia de

gas (holdup) monitoreando el movimiento de cada una de las burbujas (Figura

2.1a). Las ventajas que ofrece éste método son principalmente la fácil

inclusión de los efectos interfaciales gas-líquido y la ausencia de difusión

numérica (sólo en la solución para la fase dispersa). Sin embargo, a medida

que la concentración de la fase dispersa aumenta, es prácticamente imposible

rastrear el desplazamiento de cada burbuja individualmente.

Figura 2.1. Enfoques Físicos: Lagragiano (a), donde se sigue la trayectoria de cada una de

las partículas, y Euleriano (b), en donde se considera un sólo fluido pseudo-homogéneo.

(a) (b)

17

Los modelos Euler – Euler (Figura 2.1b), tratan los componentes del flujo

como fluidos interpenetrantes, y resuelven las ecuaciones de conservación de

masa y cantidad de movimiento para este “flujo homogéneo” resultante. Como

consecuencia, existe la presencia de fuerte difusión numérica en el campo de

soluciones del problema, lo cual puede ser perjudicial en situaciones de flujo

multifásico en donde debe determinarse con precisión la ubicación de la

interfase.

En el caso particular de la simulación de flujo bifásico segregado se han

desarrollado numerosas técnicas y métodos numéricos con la finalidad de

determinar la localización de la interfase entre los dos fluidos, considerándolos

inmiscibles (es decir, no hay transferencia de masa entre las fases). El

modelo del Volumen de Fluido (VOF) tiene un enfoque Euler-Euler, como se

verá más adelante.

2.2. Aspectos generales del modelo del Volumen de Fluido.

Para el modelado de flujos interfaciales, se requiere de algoritmos que

ofrezcan alta fidelidad en el cálculo de la cinemática y dinámica de la interfase

entre los fluidos. Los algoritmos utilizados para la cinemática deben llevar a

cabo la representación discreta de la interfase y su advección o transporte a

través del dominio computacional, mientras que los algoritmos para la dinámica

tienen como objetivo el modelado de la física específica a la interfase y

localizada en la interfase. Ejemplos representativos de este último tipo de

algoritmos pueden ser el cambio de fase y la tensión superficial

Las técnicas numéricas seleccionadas para modelar la cinemática y

dinámica de la interfase son especialmente importantes en métodos Euler-

Euler de diferencias finitas, diseñados para simular flujos con interfases de

topologías complejas que pueden deformarse arbitrariamente. En estos

esquemas, la malla computacional se mantiene estacionaria (sin movimiento),

así que debe existir una forma de minimizar el efecto de la difusión numérica,

18

con el objetivo de mantener la definición de la interfase sin sacrificar la robustez

necesaria para satisfacer las demandas de la topología.

El modelo del volumen de fluido (VOF) es un algoritmo de monitoreo o

seguimiento de interfase que ha probado ser una herramienta robusta y útil

desde su desarrollo hace más de dos décadas. Se ha convertido en la opción

preferida en modelos Eulerianos de flujos interfaciales, especialmente aquellos

en donde la interfase es sometida a cambios bruscos en su topología (como

por ejemplo rompimientos o coalescencia). Sin embargo, el método VOF ha

sido revisado y mejorado por varios autores hasta la fecha, haciéndose

necesario realizar una breve descripción de éstas mejoras.

2.3. El Modelo Matemático

Como se mencionó en el primer capítulo, la intención de esta

investigación es la implementación de una metodología CFD con la capacidad

de predecir las condiciones de flujo de dos fluidos inmiscibles, separados por

una interfase bien definida. El modelo matemático que describe el flujo de los

fluidos mencionados y el movimiento del contorno móvil o interfase que los

separa, será desarrollado en esta sección.

El modelo más comúnmente utilizado, en donde se utiliza el enfoque de

la mecánica del continuo, será tomado como la base de este trabajo. Los

fluidos son modelados como un continuo con un “salto” en sus propiedades

localizado en la interfase, siendo identificados mediante una función colorante

“α”. La interfase queda implícitamente definida en la región en donde ésta

función colorante experimenta un cambio pronunciado. Este enfoque, puede

aplicarse tanto a flujos laminares como turbulentos, donde, en el caso del

último, la turbulencia debe ser modelada de alguna manera, como ha sido

llevado a cabo por Hagiwara y Madarame (1992) además de los trabajos de

Lemos (1992). Como el propósito de ésta investigación es implementar un

método para la captura de la interfase, y debido a que en los casos a ser

19

considerados los efectos de inercia y fuerzas de presión son dominantes, la

turbulencia no será tratada de forma alguna.

2.3.1. Ecuación General de Transporte.

El flujo de fluidos se describe matemáticamente mediante tres leyes de

conservación: la conservación de masa, de cantidad de movimiento y de

energía. Estas leyes determinan completamente el comportamiento físico del

flujo y son independientes de la naturaleza del fluido, la cual es definida por

propiedades como la viscosidad, conductividad térmica, tensión superficial y

compresibilidad. La forma general de la ecuación de conservación para una

cantidad ϕ, con referencia al volumen de control mostrado en la Figura 2.2 es

de la forma:

Figura 2.2. Forma general de las leyes de conservación.

(2.1)

en donde t es el tiempo, FC = ϕu, es decir, el flujo a través del contorno debido

a convección (o movimiento del fluido), u es la velocidad del fluido, FD es el

flujo difusivo a través del contorno, QV es la fuente interna, QS es la fuente en el

∫∫∫ ∫ ∫∂∂ ∂

⋅+=⋅−⋅+∂∂

V

S

V

V

V V V

DC dSQdVQdSFdSFdVt

ϕ

20

contorno del volumen considerado, V es volumen, ∂V es su contorno y dS es el

vector que representa la superficie del contorno y apunta hacia fuera del

volumen de control.

El teorema de Gauss puede ser aplicado a la ecuación anterior, y

tomando como suposiciones que los flujos son continuos y existen fuentes

sobre la superficie, se obtiene la expresión:

(2.2)

Ésta última ecuación puede aplicarse a un volumen finito arbitrario. Si el

volumen se contrae hasta tener el tamaño de un elemento diferencial, la

ecuación (2.2) se reduce a la forma general conservativa:

(2.3)

Esta ecuación general de transporte, que puede representar un campo

escalar, vectorial o tensorial, será utilizada en la próxima sección para derivar

el conjunto completo de ecuaciones para un sistema de dos fluidos. De la

ecuación (2.1), se tiene que la conservación de una cantidad del flujo (llamada

propiedad) depende en algunos casos de las condiciones de borde del dominio

de cálculo. Estas condiciones de borde se explicarán más adelante.

2.3.2. Ecuaciones Gobernantes

La ecuación de transporte para la conservación de la masa se deriva de

sustituir ϕ = ρ (la masa por unidad de volumen) en la ecuación (2.3). Si se

supone que no hay otras fuentes de masa como reacciones químicas y

cambios de fase, la ecuación se reduce a:

∫∫∫ ∫ ∫ ⋅∇+=⋅∇−⋅∇+∂∂

V

S

V

V

V V V

DC dSQdVQdSFdSFdVt

ϕ

SVDC QQFFt

⋅∇+=⋅∇−⋅∇+∂∂ϕ

21

(2.4)

Esta relación, también conocida como la condición de continuidad,

establece que la masa de un fluido dentro de un dominio cerrado puede solo

cambiar a consecuencia de flujo a través de los límites o contornos (para el

caso incompresible).

La ecuación para la conservación de la cantidad de movimiento se

obtiene mediante la sustitución de ϕ por ρu (cantidad de movimiento por unidad

de volumen) en la ecuación (2.3). Se considerará en adelante que no hay

difusión de cantidad de movimiento cuando el fluido se encuentre en reposo,

por lo cual FD = 0. Las fuentes se definen mediante la adición de todas las

fuerzas externas (por unidad de volumen) a la suma de todas las fuerzas

internas. La única fuerza externa que se considerará actuando sobre el fluido

es ρg, la fuerza debida a la gravedad, donde g es la aceleración gravitacional.

Las fuerzas internas se cancelan por pares en cada punto dentro del volumen

del fluido, y se manifiestan como esfuerzos en los contornos, en donde no

existen fuerzas que se les opongan.

El tensor de esfuerzos T para un fluido newtoniano en equilibrio

termodinámico local, que no se considera expuesto a grandes rangos de

temperatura y presión, se define como:

(2.5)

donde P es la presión, μ es la viscosidad dinámica e I es el tensor unitario.

Una carga interna que todavía no ha sido tomada en consideración es

ƒo, la fuerza debida a la tensión superficial. La tensión superficial es una fuerza

0=⋅∇+∂∂ u

tρρ

( )( )( )TuuuIPT ×∇+×∇+⋅∇+−= μμ32

22

de tensión tangencial a la interfase que separa los dos fluidos, y trata de

mantener las moléculas que se encuentran en la superficie libre en contacto

con cada uno de ellos. Como se dijo en el capítulo anterior, el valor de la

tensión superficial depende en principio de la naturaleza de ambos fluidos.

Para una interfase curva, la tensión superficial también tiene una componente

que es normal a la interfase (ver Figura 2.3).

Figura 2.3. Fuerzas sobre una interfase curva.

Si los fluidos se encuentran en equilibrio, esta componente normal ƒo

está mecánicamente balanceada con el salto de presión a través de la

interfase, pues de otra forma, la interfase tendría un valor de aceleración

distinto de cero. Es claro que este salto de presión depende del coeficiente de

tensión superficial σ y de la curvatura de la interfase. Tomando estas últimas

suposiciones y sustituyendo en la ecuación (2.3), nos queda que:

(2.6)

Las ecuaciones de movimiento se cierran mediante las relaciones

constitutivas para la densidad y la viscosidad dinámica:

(2.7)

( ) OfgTuutu

+=−×⋅∇+∂∂ ρρρ

( )

( ) 21

21

1

1

μααμμ

ρααρρ

−+=

−+=

23

en donde los subíndices 1 y 2 denotan los diferentes fluidos. La función

indicadora o colorante α es definida de la siguiente forma:

(2.8)

Por supuesto, α(x,0) corresponde a la distribución inicial de los fluidos.

La definición anterior de α implica que sea una función escalón, y como

consecuencia, la densidad en la ecuación (2.7) es continua, pero por tramos o

trozos (piecewise). Con el objetivo de modelar los dos fluidos como un

continuo, utilizando las ecuaciones (2.4) y (2.6), la densidad ρ debe ser

continua y diferenciable sobre todo el dominio. Para el cálculo de la curvatura

de la interfase, el requerimiento de que α sea una función suavizada es mucho

más exigente, dado que debe ser diferenciada dos veces. La forma de resolver

estos inconvenientes, es permitir que la función α tenga valores intermedios

sobre la interfase entre los dos fluidos, y esta zona de transición debe ser de

espesor diferencial δ. Por tanto, se tiene que:

(2.9)

De nuevo, se observa que cada valor de α (0 y 1) se encuentra asociado

a un fluido dado. Adicionalmente, los valores de α se propagan a través del

dominio computacional según la ecuación:

(2.10)

( )⎩⎨⎧

=2 fluido del dentro t)(x, puntos los Para :01 fluido del dentro t)(x, puntos los Para :1

, txα

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<=

n transicióde área del dentro t)(x, Para :102 fluido del dentro t)(x, puntos los Para :01 fluido del dentro t)(x, puntos los Para :1

,

δαα tx

0=∇⋅+∂∂

= ααα utDt

D

24

Las ecuaciones generales anteriormente mencionadas, describen el

movimiento de los dos fluidos y de la interfase que los separa. Existen

soluciones analíticas que satisfacen este conjunto de ecuaciones (en cuanto a

condiciones de borde y valores iniciales), pero sólo para un número limitado de

casos sencillos, así que debe recurrirse a resolverlas numéricamente. Sin

embargo, tal y como se encuentran escritas no es posible realizar esta

operación debido a la discontinuidad del producto ρu. Por lo tanto, las

ecuaciones deben ser reformuladas.

La ecuación de continuidad (2.4) puede ser escrita de la siguiente forma

(según Spalding, 1974):

(2.11)

La ecuación (2.11) es llamada la forma “no conservativa” de la ecuación

de conservación de la masa. Para sistemas de dos fluidos con relaciones de

densidad altas, es mucho más sencillo resolver esta ecuación, pues u es

continua en la interfase por definición (Richardson, 1989). La Figura 2.4

muestra un dominio cerrado que contiene dos fluidos inmiscibles con diferentes

densidades.

Figura 2.4. Continuidad en el campo de velocidades y discontinuidad en el campo de cantidad

de movimiento.

( )Dt

DDtDu

tu

uut

ρρρ

ρρρ

ρρρ

ln11

0

−=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇⋅+∂∂−

=⋅∇⇒

=∇⋅+∇⋅+∂∂

uin uout

ρ1uin ρ2uout

Fluido 2

Fluido 1

25

El fluido 1, con una densidad mayor, entra desde la izquierda y desplaza

la misma cantidad del fluido 2 en la derecha. La velocidad u del fluido entrando

y saliendo del dominio es la misma, pero la cantidad de movimiento ρu del

fluido entrando al dominio difiere del valor saliente.

En este trabajo, se supone que ambos fluidos son incompresibles, por lo

tanto el lado derecho de la ecuación (2.11) es igual a cero. Esto puede

ilustrarse sustituyendo la ecuación (2.7) en la (2.11), y luego se le aplica la

ecuación (2.10) al resultado. Entonces,

(2.12)

La condición de incompresibilidad (2.12) puede ser utilizada para

rescribir la ecuación para α (2.10) en forma conservativa, haciéndola adaptable

a la discretización de volúmenes finitos, pues se sabe que

ααα ∇⋅+⋅∇=⋅∇ uuu . El resultado obtenido es:

(2.13)

También es posible utilizar la condición de incompresibilidad para reducir

los términos del tensor de esfuerzos, calculado a partir de la ecuación (2.5).

Esto simplifica la ecuación de cantidad de movimiento a la forma siguiente:

(2.14)

En conclusión, las formas definitivas de las ecuaciones de transporte

que deben resolverse simultáneamente son: la ecuación de continuidad para

flujo incompresible (2.12), la ecuación de cantidad de movimiento (2.14) y la

( )( ) ( )01 21

221 =−−

=+−−

=⋅∇DtD

DtDu α

ρρρ

ρρραρ

0=⋅∇+∂∂ u

tαα

( ) ( ) ( ) ( )μρμρρ∇⋅×∇+++−∇=×∇⋅∇−×⋅∇+

∂∂ ufgPuuu

tu

O

26

ecuación de transporte de α (2.13), junto a las relaciones de cierre para la

densidad y la viscosidad dinámica dadas por la ecuación (2.7). El término que

representa la tensión superficial no será tomado en consideración en esta

investigación (ƒo= 0).

2.4. Condiciones Iniciales y de Contorno.

Con el objetivo de completar el modelo matemático, es necesario definir

los valores iniciales y las condiciones en las fronteras o contornos del dominio

de cálculo. Matemáticamente, existen dos tipos de condiciones de borde: la

condición de Dirichlet (valor conocido) o la condición de Von Neuman

(gradiente fijo → flujo conocido). Sin embargo, en problemas que presentan

una mezcla compleja de comportamientos elípticos, parabólicos e hiperbólicos

(como la simulación de flujos multifásicos), la sobre-simplificación introducida

por estas condiciones de contorno no es muy útil. Es más apropiado definir las

condiciones para diferentes tipos de contorno basándose en argumentos

físicos24. Las más importantes se enumeran a continuación.

Entrada: Un borde de entrada es aquel que presenta una distribución de

velocidades conocida. La presión en las entradas es desconocida, y su

valor se obtiene mediante interpolación desde el interior del dominio de

cálculo. Sin embargo, si el gradiente de presión es lo suficientemente

pequeño a la entrada, puede aplicarse una condición de gradiente cero.

Los valores de la función indicadora α deben ser conocidos en los

bordes o contornos de entrada.

Salida o contorno abierto: Comúnmente, los bordes de salida se

colocan en donde las variaciones en el flujo son pequeñas. La condición

de borde debe ser especificada de forma tal que el balance de masa del

dominio completo se satisfaga. Los dos enfoques utilizados en

volúmenes finitos para lograr este efecto son:

27

a. Extrapolación de todas las cantidades o condiciones de flujo:

La distribución de velocidades de la primera fila adyacente al

borde, se utiliza para construir una distribución de velocidades

específica, tal que las velocidades en el borde sean

transformadas mediante factores de escala para conseguir que

se cumpla la continuidad.

b. Presión fija como condición de borde: Se fija la presión en el

borde y se aplica la condición de gradiente cero para las

velocidades. Esta definición también permite al fluido entrar

en el dominio de cálculo, lo cual es útil en problemas donde se

consideran contenedores o recipientes abiertos.

La posición de la interfase en una salida, es normalmente conocida.

Sabiendo esto, debido a que las salidas se colocan en zonas en donde

las variaciones en el flujo son pequeñas puede utilizarse una condición

de gradiente cero para la función indicadora.

Contornos rígidos (paredes): Las velocidades del fluido en la pared

son iguales a la velocidad de la pared (condición de no deslizamiento).

Los valores de otras propiedades del flujo, como la función indicadora y

la presión, son desconocidas.

Planos de simetría: Los gradientes de las propiedades son cero en la

dirección normal o perpendicular al eje.

Condiciones iniciales: Para resolver problemas transitorios, no debe

haber discordancia entre los valores de las propiedades para cada paso

de tiempo. Normalmente, el campo de velocidades y el valor de la

función indicadora son conocidos en el inicio del problema.

Otros tipos de condiciones, como adhesión a las paredes y condiciones

cíclicas, no han sido incluidos en esta investigación.

28

2.5. Modelos VOF – Implementación Numérica

En mallas de volúmenes finitos (o diferencias finitas) se utilizan técnicas

de advección para transportar sobre la malla cantidades tales como la densidad

o una función indicadora del material presente en la celda. Sin embargo, éstos

métodos son normalmente difusivos (aguas arriba de primer orden) o

inestables (esquemas de alto orden, en donde aparecen oscilaciones en la

vecindad de la interfase). Numerosas técnicas numéricas han sido

investigadas para delimitar la difusividad de los esquemas de bajo orden y

minimizar la inestabilidad de los esquemas de alto orden26 pero ninguna

garantiza la forma definida y no oscilatoria de la interfase en simulaciones de

múltiples fluidos y problemas de superficie libre en mallas fijas.

Una técnica más reciente diseñada específicamente para la simulación

de flujos complejos con superficies libres es el conocido método de marcador y

celda (MAC, marker and cell). En el modelo MAC se utilizan partículas

Lagrangianas que son transportadas a través de las velocidades locales y cuya

distribución determina la configuración instantánea de los fluidos. Aunque este

tipo de solución permite la simulación de flujos con superficie libre, pueden

presentarse algunos problemas en cuanto a la representación del fluido

mediante las partículas. Como el número de partículas utilizado debe ser finito

(y típicamente un valor bajo) pueden crearse regiones de vacío ficticias en

fluidos con altas tasas de deformación, además de aumentar la dificultad de

calcular los volúmenes presentes en cada celda y la aplicación de las

condiciones de borde (especialmente la presión). Para minimizar estos

problemas, debe utilizarse un mayor número de partículas, lo cual incrementa

rápidamente el costo computacional del algoritmo. Adicional a estas

dificultades, es complicado extender el método MAC a tres dimensiones,

especialmente en los casos en los cuales existen situaciones de rompimiento y

coalescencia.

Se han desarrollado varias técnicas para el transporte de volumen en

mallas de diferencias y volúmenes finitos, con el objetivo de mantener definidas

29

las interfases entre los fluidos. Los más conocidos son: el cálculo simplificado

de las líneas de interfase de Noh y Woodward (SLIC – Single Line Interface

Calculation), el método del volumen de fluido propuesto por Hirt y Nichols (VOF

– Volume of Fluid) y el modelo de Youngs para la reconstrucción de la interfase

en cada paso de tiempo. Algunas de las variantes más importantes del modelo

VOF son las siguientes

2.5.1. FCT-VOF (Flux Corrected Transport)

En los métodos de monitoreo de volumen, se define una función de

fracción de volumen C (equivalente a α de la sección anterior), que “colorea”

las celdas de la malla, indicando la parte de la celda que está siendo ocupada

por uno de los fluidos. Los problemas en donde se consideran M fluidos

requieren M-1 funciones de fracción de volumen. Los algoritmos para el

monitoreo de volumen han sido diseñados para resolver la ecuación:

(2.15)

de forma tal que mantienen la interfase definida. Las técnicas convencionales

de advección (incluso aquellas que utilizan flujo corregido) rápidamente

difunden la interfase hasta en las tres o cuatro celdas adyacentes.

En el esquema de donador – receptor de Hirt y Nichols25, una

combinación de esquemas de primer orden aguas arriba y aguas abajo, es

utilizada para transportar la función C. De acuerdo con Hirt, el esquema aguas

arriba de primer orden unidimensional en una malla desplazada tiene un

término de error por difusión efectiva κup definido como,

(2.16)

( ) 0=⋅∇+∂∂ UC

tC

( )250.0 tUUxup δδκ −=

30

Para este valor de κup, es evidente que el máximo número de Courant

(Co) debe ser igual a la unidad, en función de mantener la estabilidad del

método. El número de Courant es una cantidad adimensional que representa

la relación entre el paso de tiempo tomado para resolver el problema transitorio

y el tamaño del volumen de control. Puede expresarse mediante la relación:

(2.17)

En donde u es la velocidad del flujo, Δt es el paso de tiempo

seleccionado y Δx es la longitud característica del volumen finito.

En contraste con los esquemas upwind, los esquemas de primer orden

aguas abajo son inestables, teniendo un coeficiente de error por difusión κdn

definido como

(2.18)

Aunque no es estable, el esquema aguas abajo de primer orden

mantiene definidas las interfases, lo cual es requerimiento para garantizar una

buena representación del fenómeno. Por lo tanto, si es posible formular un

modelo que combine la estabilidad de un esquema de primer orden aguas

arriba con la definición de un esquema aguas abajo, puede pensarse en un

algoritmo de monitoreo de volumen. Uno de estos modelos que combina

ambos esquemas es el método de flujo corregido propuesto por Zalezak26

La idea de ajustar los flujos calculados con un esquema de alto orden

(no monótono) para mejorar la monotonicidad de los resultados finales fue

utilizada por primera vez por Boris y Book26, y fue generalizada y extendida a

múltiples dimensiones por Zalezak. La idea básica tiene que ver con varias

( ) updn tUUx κδδκ −=−−= 250.0

xtuCo Δ

Δ=

31

etapas de cálculo. Primeramente, se determina un valor intermedio de C (C*)

utilizando un esquema de transporte monótono (que, por lo tanto, es difusivo).

El esquema para resolver la versión unidimensional de la ecuación (2.15) para

el elemento i de la malla, se escribe de la forma

(2.19)

en donde FL representa el flujo de bajo orden. Se define luego un flujo anti -

difusivo, con el objeto de corregir la difusión numérica resultante del esquema

de bajo orden. Una estimación inicial de los flujos anti – difusivos ( A21iF + ) viene

dado por la diferencia entre las aproximaciones de bajo y alto orden del flujo:

(2.20)

La aplicación de este componente anti – difusivo resultará en la

utilización de flujos inestables (de alto orden). Por lo tanto, debe introducirse

un coeficiente de corrección q para asegurarse de que no se encontrarán

extremos en la solución del problema después de la aplicación del flujo anti –

difusivo. Los valores mínimo y máximo en una celda i dependerán de los

términos Cn y C* en la misma celda, así como en sus vecinas i-1 e i+1. Los

detalles del procedimiento utilizado para limitar los flujos se describen en los

trabajos de Zalezak y no serán discutidos aquí. El paso final del modelo FCT

de Zalesak es aplicar los flujos anti – difusivos corregidos y obtener los valores

de C en un paso de tiempo próximo:

(2.21)

( )Li

Li

nii FF

xCC 2121

* 1−+ −−=

δ

Li

Hi

Ai FFF 212121 +++ −=

( )x

FqFqCC

Aii

Aii

ini δ

21212121*1 −−+++ −−=

32

2.5.2. FCT-VOF Unidimensional

En el modelo FCT – VOF, los términos FL son calculados utilizando un

esquema aguas arriba de primer orden. Para un flujo en la cara (i+1/2),

(2.22)

En vez de utilizar un esquema de alto orden para calcular FH, el valor del

flujo puede ser determinado mediante un modelo aguas abajo de bajo orden

(según Hirt y Nichols) en el esquema donador – receptor y en los análisis de

estabilidad. Se tiene,

(2.23)

La suposición inicial para el flujo anti - difusivo viene dada por: FA = FH –

FL. El término FA está delimitado y descrito en la referencia 26 y es aplicado

luego a valores intermedios de C. El esquema aguas arriba (con coeficiente de

difusión efectiva κup) producirá suficiente difusión numérica como para

contrarrestar los efectos de la oscilación e inestabilidad de los flujos aguas

abajo (con coeficiente de difusión efectiva -κup). El transporte de una función

escalón unidimensional por parte de un campo de velocidades y mediante el

método FCT-VOF, se muestra en la Figura 2.5. Claramente, se mantiene

inalterada la forma de la función. Adicionalmente, la velocidad de la interfase

es exacta. Para este sencillo problema de prueba (monitoreo de volumen

unidimensional), FCT-VOF da como resultado una solución exacta sin importar

la resolución de la malla.

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥=

+++

+++ 0 si

0 si

21121

212121

iii

iiiLi UtCU

UtCUF

δ

δ

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥=

++

++++ 0 si

0 si

2121

2112121

iii

iiiHi UtCU

UtCUF

δ

δ

33

Figura 2.5. Advección unidimensional de una función escalón, utilizando el modelo FCT-VOF.

De izquierda a derecha: condiciones iniciales y soluciones a 250 y 500 pasos de tiempo.

2.5.3. FCT-VOF Multidimensional

Existen dos maneras de extender este esquema a varias dimensiones.

La primera, es el uso del algoritmo FCT multidimensional de Zalesak. La

segunda es la implementación de la separación direccional.

En el modelo multidimensional de Zalesak, el valor de C estimado de

forma “difusa y altamente convectiva” (C*) es calculado mediante flujos

multidimensionales usando esquemas de bajo orden. Los flujos anti – difusivos

se estiman de la forma usual, y son luego limitados por C y C*. Éste esquema

fue implementado en los trabajos de Rudman26 para obtener un FCT-VOF

bidimensional, sin embargo, los resultados no fueron satisfactorios. Un ejemplo

es la advección de una función escalón bidimensional en un campo de

velocidades uniforme, como se muestra en la Figura 2.6. Aunque la interfase

permanece relativamente definida, la forma de la misma no se mantiene

constante. La fuente primaria de error en el esquema multidimensional es la

delimitación del flujo, en la cual la dirección de la mayor componente del error

difusivo no puede ser determinada. Actualmente, se

34

Figura 2.6. Advección de una función cuadrada utilizando FCT-VOF multidimensional.

investigan nuevas formas de mejorar los resultados obtenidos con este

esquema.

En la práctica, la separación direccional en FCT-VOF ofrece mejores

resultados. Para dos dimensiones, se resuelve toda la malla en la dirección x

utilizando un algoritmo unidimensional, se actualizan los valores de C y luego

se hace un barrido en la dirección y. El orden de los barridos en las

direcciones x y y se cambia en cada paso de tiempo, con el objeto de evitar la

introducción de un error sistemático. Sin embargo, la separación direccional

implica enfrentar un problema que es inexistente en el esquema

multidimensional, y es que luego del primer barrido pueden obtenerse valores

de C mayores que la unidad. Por supuesto, esto trae como consecuencia que

en la segunda mitad del barrido, los valores erróneos de C se utilicen para

determinar nuevos flujos. Incluso, en el seno del fluido, los valores de C

pueden ser menores que uno, lo cual es claramente incorrecto.

Sin embargo, existen varias formas de evitar este problema. En el

planteamiento utilizado aquí, se permite cierta tolerancia en el cambio de

35

volumen de cada celda durante los barridos unidimensionales. Definiendo δVi,j

como el volumen de la celda (i,j) al comienzo de cada paso de tiempo, y dado

que δVi,j = δxδy, se tiene que para un barrido en x sobre la malla:

(2.24)

Se realiza una serie de pasos similares durante el barrido en la dirección

y. Luego de los barridos en ambas direcciones, δVi,j debe volver a ser igual a

δxδy y cualquier discrepancia es igual al error en satisfacer la condición de

divergencia ∇⋅U = 0. Para utilizar éste procedimiento como un esquema de

segundo orden en el tiempo, se resuelve la ecuación,

(2.25)

en la dirección x, con un tratamiento similar en la dirección y.

También es extremadamente importante tomar en consideración el

cambio de volumen de la celda en cada barrido unidimensional al calcular la

solución de bajo orden (C*). Si esto no se hace, la integridad del método

puede ser severamente dañada. Hay una corrección final que se lleva a cabo

en el método FCT – VOF. Se observa que los pequeños errores de redondeo

del modelo pueden afectar la precisión de la solución luego de algunos pasos

de tiempo. Si después de varios pasos de tiempo se obtienen valores de C

negativos, deben llevarse a 0, así como cualquier valor por encima de la unidad

deberá fijarse en 1. En caso de no utilizar este procedimiento, deberán

limitarse entre 0 y 1 los valores de C utilizados para calcular los flujos aguas

arriba y aguas abajo.

( )xji

xji

nji

njiji FFVCC ,21,21,,,

~−+ −−= δ

( )jijinji

nji UUytVV ,21,21,

21, −++ −−= δδδδ

21,

,21,

~

++ = n

ji

jinji V

CC

δ

xUC

xUC

tC

∂∂

=∂∂

+∂∂

36

2.6. Métodos para la Reconstrucción de la Interfase. Luego de que los valores de la función indicadora C se han determinado

para todos los volúmenes de control que conforman el dominio de cálculo, debe

procederse a la reconstrucción de la interfase, esto es, conocido el valor de C

para una celda, debe trazarse un perfil lineal de la interfase dentro de la misma,

procedimiento que sólo se lleva a cabo en los puntos con valores de C mayores

que 0 y menores que 1. Las técnicas aquí descritas se basan en el enfoque de

monitoreo de volumen (volume tracking) o captura de interfase.

2.6.1. SLIC

En el método SLIC de Noh y Woodward, la interfase en cada celda se

reconstruye utilizando una recta paralela a una de las direcciones coordenadas

(ver Figura 2.7). Es un algoritmo del tipo de separación direccional, y durante

cada uno de los barridos unidimensionales se utilizan sólo los vecinos a la

celda en la dirección del barrido para la reconstrucción de la interfase. Para el

caso de dos fluidos existen nueve posibles configuraciones dentro de la celda,

sin embargo, pueden reducirse a tres casos en lo que concierne a la

determinación de los flujos.

Figura 2.7. Aproximación de la interfase para la celda central utilizando SLIC

Como la reconstrucción de la interfase tiene que ver sólo con las celdas

vecinas en la dirección del flujo, una celda de interfase puede tener (y

frecuentemente lo hace) diferente representación para cada dirección de

Aproximación de la interfase

37

barrido. Esto se ilustra en las figuras 2.8b y 2.8c, las cuales muestran la

reconstrucción utilizada para barridos en “x” y “y” sobre la configuración

mostrada en la figura 2.8a. Una vez que se ha realizado la reconstrucción de la

interfase, los flujos volumétricos de cada material se determinan

geométricamente.

2.6.2. VOF de Hirt y Nichols

El método VOF original fue descrito por Hirt y Nichols (1981). Utiliza una

reconstrucción de la interfase aproximada, similar a la del modelo SLIC, es

decir, paralela a uno de los ejes coordenados. A diferencia del SLIC, se utilizan

cuatro vecinos para determinar la superficie, y la interfase se especifica como

horizontal o vertical dependiendo de las magnitudes relativas de las

componentes obtenidas. La figura 2.8d muestra la reconstrucción de la

interfase del ejemplo anterior utilizando el modelo VOF.

Figura 2.8. Reconstrucción de interfases de la configuración original mostrada en (a) mediante:

(b,c) SLIC (en dirección “x” y “y” respectivamente); (d) VOF de Hirt y Nichols y (e) modelo de

Youngs

38

Para los flujos en dirección paralela a la reconstrucción aproximada de la

interfase, se utiliza un esquema aguas arriba. Para el caso en el que sean

perpendiculares, se usa un esquema donador – receptor. Como ejemplo del

esquema donador – receptor, considere la configuración del fluido mostrada en

la figura 2.9, con una velocidad en x positiva en i + ½ . La reconstrucción de la

interfase en la celda (i,j) es vertical; la celda (i,j) se encuentra parcialmente

llena, tal como la celda aguas abajo (i+1,j) (y Ci,j > Ci+1,j). El esquema donador

– receptor calcula el flujo volumétrico a través de (i+½, jk) como,

(2.26)

Los cuatro componentes del lado derecho de la ecuación son:

(a) Ci,jδx, la cantidad máxima de fluido disponible para fluir fuera de la celda (i,j)

(b) Ui+1/2,,jCi,jδt, el estimado aguas abajo del flujo de C

(c) Ui+1/2,,j(1.0 - Ci,j)δt, el estimado aguas abajo del flujo de la fracción de vacío

(d) (1.0 - Ci,j)δx, la cantidad máxima de vacío que puede salir de la celda (i,j)

La función MIN asegura que no saldrá más fluido de la celda (i,j) a través

del lado (i+½ ,j) del que pueda existir dentro de la misma. Cuando el fluido sale

de la celda, implícitamente también sale vacío, y la función MAX controla que

no salga una cantidad de vacío mayor que la existía inicialmente dentro.

Este esquema combina los flujos aguas arriba y aguas abajo, de forma

tal que se asegure la estabilidad y al mismo tiempo se minimice la difusión

numérica. Como tal, el modelo puede ser tomado como un algoritmo de

corrección de flujos. En términos del FCT de Zalezak, el flujo de fluido aguas

( ) ( )( )[ ]{ }xCtCUMAXtCUxCMINyF jijijijijijiji δδδδδ ,1,1,21,121,,21 0.10.1,0.0, ++++++ −−−+=

39

abajo es el flujo no – monótono que debe limitarse para asegurarse de que no

se produzcan indeterminaciones en la celda. Las funciones MIN y MAX toman

el rol de limitadores en este caso.

En el documento original de VOF, no aparece ninguna discusión acerca

de la separación direccional presente en el método. Sin embargo, el algoritmo

multidimensional trae como consecuencia errores en el cálculo de volúmenes y

la aparición de burbujas aisladas llamadas “flotsam” (floating wreakage) o

“jetsam” (jettisoned goods) por diferentes autores (ver Figura 2.10).

Figura 2.9. Configuración real de la interfase (a) y reconstrucción mediante el VOF de Hirt y

Nichols (b)

Figura 2.10. Fenómenos de Jetsam/Flotsam en diferentes modelos: (a) SLIC, (b) VOF de Hirt y

Nichols, (c) FCT-VOF Multidimensional, (d) Modelo de Youngs y (e) Condiciones iniciales de la

interfase.

40

2.6.3. Modelo de Youngs (PLIC)

Los métodos de tipo VOF registraron un avance importante hace más de

una década como consecuencia del trabajo de Youngs24. Más que hacer

coincidir la interfase con la dirección de los ejes coordenados, utilizó una

aproximación lineal por trozos (piecewise). Cada línea de la interfase, definida

mediante un punto de intersección y una pendiente, es trazada dentro de las

celdas según el valor de la función indicadora C. La pendiente de la línea se

determina a partir de la normal a la interfase (el gradiente de fracciones de

volumen), y la intercepción se calcula en base a la conservación de volumen.

La normal a la interfase, a su vez, es el resultado de un algoritmo

multidimensional que no depende de la dirección de los barridos.

Este versátil método, formulado por Youngs para dos y tres dimensiones

en mallas ortogonales, fue adoptado rápidamente en la resolución de modelos

hidrodinámicos de flujo que presentaban interfases entre materiales

(predominantemente flujos a altas velocidades). Actualmente, se ha extendido

a mallas no estructuradas (2D y 3D) en los trabajos de Ubbink5, Rider16 y

Kothe24. En este trabajo, nos referiremos al método de Youngs como PLIC

(Piecewise Linear Interface Calculation) a partir de este punto.

Los detalles y capacidades del modelo PLIC permanecen obscuros aún

hoy, pues no existen suficientes publicaciones en donde se expliquen estos

puntos (sólo aparecen en forma de notas personales o reportes internos). Sin

embargo, la metodología del método se explica a continuación.

Una vez conocido el campo de la función colorante C, se procede a

delimitar la interfase entre los fluidos en cada paso de tiempo. Para tal fin, se

calculan los flujos de C a través de las caras de cada celda utilizando un

esquema aguas arriba de primer orden. Cada celda es re-visitada, y si

contiene parte de la interfase (0 < Ci,j < 1), se determinan los flujos salientes de

Youngs. Primeramente, se calculan los valores de β, el ángulo que forma la

interfase en cada celda con el eje x (recuérdese que dentro de cada volumen,

la interfase se representa mediante una recta). Existen varias formas de

41

obtener los valores de β, pero en este trabajo se utilizará el gradiente de C para

determinar una superficie normal de la cual β puede ser calculado

directamente.

La metodología utilizada para estimar la superficie normal, tiene una

gran influencia en la precisión del esquema convectivo. Se utilizará la

propuesta de Kothe24, por ofrecer los mejores resultados. Para una malla

uniforme, se tiene que:

(2.27)

Estas ecuaciones representan de alguna forma las derivadas de la

función colorante C en las direcciones x y y respectivamente (∂C/∂x, ∂C/∂y). A

partir de estos resultados, se determina el valor de β mediante la relación:

(2.28)

Si se define el ángulo θ como,

(2.29)

Entonces la interfase en la celda puede ser rotada de tal forma que θ se

encuentre en el rango 0° ≤ θ ≤ 90°. Una vez que se ha llevado a cabo esta

rotación, existen cuatro configuraciones posibles para la interfase, como se

muestra en la Figura 2.11.

( )

( )1,11,1,11,11,1,1,

1,1,11,11,1,11,1,

221

221

−−−−++−+++

−−−+−−++++

−−−++=

−−−++=

jijijijijijiy

ji

jijijijijijix

ji

CCCCCCy

n

CCCCCCx

n

δ

δ

( )πβπβ ≤<→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= - arctan y

x

nn

( )20 tanarctan πθβδδθ ≤≤→⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yx

42

Figura 2.11. Posibles configuraciones de la interfase para el modelo PLIC.

Con el objeto de identificar cual de estas configuraciones (numeradas

del I al IV) es la que realmente se presenta dentro de cada volumen, se aplica

la metodología que aparece en la Figura 2.12.

Figura 2.12. Diagrama de flujo para determinar la configuración de la interfase.

Calcular

nx y ny

Calcular

β y θ

Si

θ < π/4

Si

C ≤ ½tanθ

Si

C ≤ 1 -½tanθ

Si

C ≤ 1 -½ctgθ

Si

C ≤ ½ctgθ

CASO I

CASO I

CASO II

CASO III

CASO IV

CASO IV

SI

SI SI

SI SI

NO NO NO

NO NO

I II III IV

43

Una vez que ha sido determinado el caso, deben calcularse las cuatro

fracciones laterales (en el caso bidimensional). Las fracciones laterales se

definen como las longitudes normalizadas superior, derecha, izquierda e

inferior de la celda que están en contacto directo con el fluido, y se representan

como St, Sr, Sl y Sb respectivamente. Una vez conocidos estos valores, se

procede a determinar los flujos volumétricos del fluido a través de cada una de

las caras (Ft, Fr, Fl y Fb) lo cual puede hacerse geométricamente. Más que

describir en detalle todas las posibilidades, la Tabla 2.1 (ver página siguiente)

muestra un resumen de los cálculos a ser realizados. Es importante hacer

notar que las velocidades se toman como positivas para el modelo PLIC si

salen del volumen de control; en caso contrario, se consideran negativas, y los

flujos a través de las caras no son calculados en este último caso.

Una vez determinados los flujos, debe procederse a corregir el valor de

C que se calculó utilizando la ecuación de transporte convectivo (ecuación

2.15). Esto se lleva a cabo sumando algebraicamente los flujos que salen a

través de todas las caras (con lo cual obtenemos un flujo neto Fneto en el

volumen) y recalculando la función colorante de la forma siguiente:

(2.30)

En la ecuación anterior, Cnew representa el valor de C corregido, Cold es

el valor calculado previamente, Fneto es el flujo neto saliendo a través de todas

las caras y V es el volumen de la celda. Una vez obtenido el campo de valores

de C corregidos, el contorno 0.5 de esta variable nos mostrará la localización

de la interfase25. Sin embargo, la falsa difusión originada durante del transporte

convectivo del escalar, puede traer como consecuencia que la interfase quede

“difuminada” en tres o más celdas. Por lo tanto, adicional al modelo PLIC es

necesario contar con un algoritmo que minimice el efecto de la falsa difusión en

la localización y monitoreo del movimiento de la interfase.

VFCC neto

oldnew −=

45

2.7. Algoritmos para Minimizar la Falsa Difusión.

Aunque la ecuación diferencial de transporte de C es convectiva, no

podemos evitar el problema de la falsa difusión introducida por el método

numérico. Como consecuencia, la difusión “difumina” la interfase, es decir, no

permite trazar un perfil definido entre los dos fluidos. Este fenómeno se conoce

como “smearing”, y produce resultados erróneos en problemas donde se

estudian superficies libres móviles.

Uno de los enfoques que actualmente es utilizado para minimizar el

efecto de la difusión numérica es la implementación de esquemas de alto

orden10. Sin embargo, aunque se ha evaluado el desempeño de modelos de

tercer, quinto, séptimo y hasta noveno orden, las oscilaciones obtenidas en los

campos de C tampoco permiten una eficaz localización de la interfase. Si se

utilizan esquemas de bajo orden (upwind de primer orden), que son robustos y

no presentan oscilaciones, se pierde por completo la posibilidad de llegar a una

solución real, debido al efecto difusivo.

Como un ejemplo de las consecuencias de la difusión numérica en la

simulación de interfases móviles, considere la situación de las Figuras 2.13 y

2.14.

Figura 2.13. Arreglo para simulación de superficie libre.

Fluido Pared

46

Figura 2.14. Secuencia de imágenes mostrando el desarrollo de falsa difusión. La simulación

se realizó en 35 pasos de tiempo (se colocó una figura por cada 5 pasos). La zona coloreada

corresponde a las celdas en donde 0 > C > 1.

47

En la Figura 2.13 se muestran las condiciones iniciales de un problema

común de superficies libres: Un recipiente contiene una cierta cantidad de

líquido soportado por una pared, que luego es retirada. Como consecuencia,

el fluido comienza a moverse hacia abajo y a la izquierda. Sin embargo, en la

Figura 2.14 se observa la falsa difusión generada a medida que se avanza en

el tiempo en la solución del problema. Puede verse que en la última figura, la

difusión numérica casi ha llenado el dominio de cálculo.

Aunque el concepto de la aproximación de flujo tipo donante – receptor

fue introducido en apartes anteriores, será explicado en forma más detallada a

lo largo de esta sección. La razón es que esta aproximación constituye una de

las bases fundamentales de los algoritmos limitadores y diferenciadores,

encargados de mantener la buena definición de la interfase.

La clave para obtener un esquema diferenciador altamente compresivo

es la inclusión en su formulación de la información aguas debajo de la celda.

Sin embargo, esta aproximación no cumple necesariamente con el criterio de

acotamiento de la función C5, y puede, por lo tanto, conducir a valores de la

función colorante mayores que 1 y menores que 0, los cuales son físicamente

improbables. El utilizar una aproximación aguas abajo controlada, basados en

la disponibilidad de fluido de la celda “donante” puede evitar estos valores

erróneos en la función escalar (Ramshaw & Trapp, 1976).

La aproximación aguas abajo controlada puede ser explicada

considerando dos celdas vecinas, una celda “donante” y una celda “receptora”,

como se muestra en la Figura 2.15. Digamos, por ejemplo, que la celda

donante contiene parte de la interfase, y la celda receptora se encuentra

completamente llena de uno de los fluidos (Figura 2.15a). El hecho de tomar el

valor aguas abajo (downwinding) implica que la celda donador debe “donar” la

misma cantidad de fluido contenida en la celda receptora, por lo tanto, ignora la

presencia del otro fluido en la celda donadora. Sin embargo, la celda

donadora, contiene dos fluidos, y no puede ceder una cantidad mayor de la que

hay disponible dentro de ella. La aproximación aguas abajo controlada

significa que la celda donante “donará” primero todo el fluido disponible

48

requerido por la receptora, y luego comenzará a donar el otro fluido. Se tienen

argumentos similares si ambas celdas contienen parte de la interfase (Figura

2.15b). El downwinding implica en este caso que la celda receptora

demandará la misma proporción entre los fluidos que la que actualmente se

encuentra dentro de ella. En conclusión, la aproximación aguas abajo

controlada sugiere que la celda donadora cumpla primero con la demanda,

pero si se le agota el fluido requerido por la celda receptora, entonces

comenzará a donar una mayor proporción del otro fluido.

Figura 2.15. Aproximación tipo donante – receptor. La celda de la izquierda actúa como

donante.

A continuación, se explicarán los criterios utilizados para el acotamiento

de la función escalar y para calcular la disponibilidad de fluido en la celda

donante. La Figura 2.16 ilustra la nomenclatura implementada para tal fin.

Figura 2.16. Nomenclatura para un volumen de control unidimensional

Dirección del flujo Dirección del flujo Dirección del flujo

Dirección del flujo Dirección del flujo Dirección del flujo

Distribución original

Distribución original

Aproximación aguas abajo

Aproximación aguas abajo

Downwinding controlado

Downwinding controlado

(a)

(b)

C DU

f-f

Dirección del flujo

49

Con respecto al criterio de acotamiento, en el marco general de la

dinámica de fluidos computacional (CFD) se requiere que ante la ausencia de

fuentes o sumideros, cualquier propiedad del flujo dentro del dominio no puede

tomar valores mayores o menores que los establecidos en la condiciones de

contorno (Versteeg y Malalasekera, 1995). Para el propósito de resolver el

campo de la función escalar C, ésta no puede tomar valores fuera de las cotas

físicas de cero y uno.

Respecto al criterio de disponibilidad de fluido en la celda donante,

puede verse un ejemplo en la Figura 2.17. Si VC es el volumen de la celda

donante, entonces CCVC es la cantidad de fluido 1 dentro de la misma, por

tanto (1-CC)VC corresponde a la cantidad de fluido 2. Si hacemos

xtuC ffO δδ /, = , en donde CO,f representa el número de Courant en la cara f, y

consideramos Cf como la fracción de volumen que fluirá a través de la cara f

durante un paso de tiempo δt, entonces CfCO,fVC es la cantidad de fluido que

pasará a través de f en cada paso de tiempo. Como consecuencia, (1-

Cf)CO,fVC es lo que corresponde al fluido 2.

Figura 2.17. Configuración de los fluidos en la celda donante.

El criterio de disponibilidad para el fluido 1 establece que la cantidad que

sale a través de la cara f durante un paso de tiempo δt debe ser siempre menor

o igual a la cantidad disponible en la celda donante:

δx

δy

Fluido 1

Fluido 2 (1-CC)VC

CCVC

(1-Cf) CO,f VC

CfCO,fVC

u

⏐ufδt⏐=CO,fδx

50

(2.31)

De forma similar, la cantidad de fluido 2 que pasa a través de la cara

durante un paso de tiempo debe ser igual o menor a la cantidad que se

encuentra dentro de la celda donante:

(2.32)

La combinación de estas dos restricciones da como resultado:

(2.33)

En el caso de la aproximación aguas abajo controlada, se tiene que

debido al requerimiento de un esquema completamente aguas abajo, esto es,

Cf = CD, limitado a la cantidad de fluido disponible en la celda donante (ver la

ecuación 2.33), resulta en:

(2.34)

La ecuación 2.34 representa el valor de la aproximación donante –

receptor en la cara, y garantiza el acotamiento de C si es aplicada a flujo

unidimensional. También ha sido utilizada como base para la derivación del

método de la interfase propuesto por Ramshaw y Trapp (1976), el modelo VOF

de Hirt y Nichols (1981), SURFER (Lafaurie et al., 1994), entre otros.

fO

CfCCCfOf C

CCVCVCC,

, ≤→≤

( ) ( )fO

fO

fO

CfCCCfOf C

CCCCVCVCC

,

,

,,

111

−−≥→−≤−

fO

Cf

fO

fO

fO

C

CCC

CC

CC

,,

,

,

1≤≤

−−

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −

−−+=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −

−=

fO

C

fO

CDD

fO

CD

fO

fO

fO

Cf

CC

CC

CC

CC

CC

CCC

C

,,

,,

,

,

,0,1

1maxmin

,,1

maxmin

51

Ashgriz y Poo (1991), así como Lafaurie et al. (1994), presentaron

resultados numéricos para flujos de densidad uniforme, que indican que todos

los métodos anteriormente mencionados producen deformaciones irreales en la

interfase. Como consecuencia de los trabajos de Ubbink (1997), se llegó a la

conclusión de que estas deformaciones pueden reducirse sustancialmente si se

incluye el término CU (upwind) en la formulación donante – receptor. Luego de

varios intentos de tomar en consideración diferentes gradientes y valores de

celdas aguas arriba, se utiliza finalmente un criterio de acotamiento local para

C, es decir, el valor de C en la celda donante se acotará basándose en el valor

de la celda aguas arriba, lo cual también nos orienta acerca de cómo introducir

en el esquema el valor aguas arriba de la cantidad transportada.

El método utilizado en este trabajo, es el esquema Inter-Gamma,

propuesto por Jasak8. La base para el desarrollo y entendimiento de esta

técnica es el Diagrama de la Variable Normalizada (NVD).

2.7.1. Diagrama de la Variable Normalizada (NVD). La Figura 2.18 muestra un volumen de control unidimensional. Si

fijamos nuestra atención sobre su cara izquierda, podemos llegar fácilmente a

la conclusión de que para determinar el valor sobre esa cara (φf) los nodos más

influyentes son los dos adyacentes a la misma. También debe considerarse el

nodo aguas arriba del volumen, éste último dependiendo de la dirección del

flujo sobre la cara en cuestión, es decir, el signo de uf.

Figura 2.18. Definición de Nodos aguas arriba (U), aguas abajo (D) y central (C) dependiendo

del signo de uf.

uf ufVC VC

φf φD

φC φU

φfφD

φC φU

52

Estos tres valores pueden ser asignados a las variables φD (Aguas

abajo), φC (central del volumen de control) y φU (aguas arriba). Note que

dependiendo del signo de uf, estos nodos tienen distintas posiciones. En

términos de las variables originales, existe un gran número de combinaciones

posibles a ser consideradas: uf positiva o negativa, φ positivo o negativo y

valores de gradiente y curvatura que también pueden ser mayores o menores

que cero. Las variaciones en signo, dirección del flujo y la escala, pueden ser

normalizadas mediante la definición de la “variable normalizada” (en cualquier

punto) como sigue,

(2.35)

Ahora, en el caso en que φf sea una función de φD, φC, φU y el número

de Courant, el valor normalizado en la cara sólo depende del valor normalizado

del nodo adyacente aguas arriba y Co.

(2.36)

Como los valores normalizados de los otros nodos son constantes, se

tiene que:

(2.37)

La ecuación 2.36 incluye los métodos de primer orden, diferencias

centrales de segundo orden y métodos aguas arriba de segundo y tercer orden.

Los modelos de alto orden (4°-9° orden), utilizan una mayor cantidad de nodos,

pero sin embargo fφ~ sigue dependiendo con preferencia de Cφ

~ . En la Figura

2.19 se muestra la relación entre fφ~ y Cφ

~ de acuerdo al esquema utilizado.

UD

U

φφφφφ−−

=~

( )oCf Cf ,~~ φφ =

1~ 0~

=

=

D

U

φφ

53

Figura 2.19. Diagrama de la Variable Normalizada mostrando fφ~ como función de Cφ

~ para

los esquemas: upwind de primer orden (1U), downwind de primer orden (1D) y upwind de

segundo orden (2U).

Gaskell y Lau (1988) presentaron un criterio de convección acotado

(convection boundedness criteria, CBC) para el cálculo implícito de flujo

unidimensional. El CBC utiliza las variables normalizadas, y limita los valores

de fφ~ para los cuales un esquema diferenciador implícito siempre preserva el

acotamiento a nivel local, según las siguientes expresiones:

(2.38)

En la próxima sección, se utilizará el NVD para explicar el esquema

Inter-Gamma, utilizado en este trabajo.

1U

1D

2U

1

1

fφ~

Cφ~

1~0 para 1~~1~ o 0~ para ~~

≤≤≤≤

><=

CfC

CCCf

φφφ

φφφφ

54

2.7.2. Esquema Diferenciador Inter – Gamma. Como se describe en el punto anterior, Gaskell y Lau acotan el valor de

fφ~ basándose en el NVD, y llegan a las conclusiones mostradas en la ecuación

2.38. En la Figura 2.20, pueden observarse gráficamente estas restricciones.

Figura 2.20. Criterio de acotamiento en el diagrama NVD.

Puede verse que la escogencia de los métodos diferenciadores es más o

menos libre para 0 < Cφ~ < 1. Es en este rango donde se determina realmente

la conducta del método. El esquema propuesto tiene las siguientes premisas:

Para Cφ~ < 0, Cφ

~ > 1 ⇒ Cφ~ = fφ

~ , siguiendo el criterio NVD.

Para ½ < Cφ~ < 1 ⇒ fφ

~ = 1, asegurando la conducta compresiva del

esquema.

Para 0 < Cφ~ < ½ ⇒ CCf φφφ ~3~2~ 2 +−=

Se espera que este esquema preserve el acotamiento de C y dé una

resolución razonable del perfil de la interfase. El comportamiento esperado del

esquema puede observarse en la figura 2.21, y se explica en dos partes:

55

Figura 2.21. Esquema Inter – Gamma en diagrama NVD.

Con el objetivo de preservar el acotamiento, se introduce una cierta

cantidad de difusión numérica. La experiencia con otros esquemas

diferenciadores muestra que es inevitable. Naturalmente, esto difumina

la resolución de la interfase.

Se utiliza un esquema aguas abajo (downwind) para obtener una

reconstrucción definida de la interfase.

Para explicar de qué forma el esquema aguas abajo mejora la resolución

del perfil de la interfase, veamos lo siguiente: el uso de esquemas aguas arriba

(upwind) en el término convectivo de la ecuación 2.13, introduce el término

α∇Γ⋅∇ , que es obviamente difusivo. Este término (puramente numérico)

difuminará la solución como si existiese una cantidad de difusión “real”

correspondiente a la difusión numérica Γ. Por otro lado, un esquema aguas

abajo adicionaría un término similar, pero en este caso, la difusión será

negativa. Esto quiere decir que el problema que se está resolviendo incluye

efectivamente un término “antidifusivo”, que define o afila los perfiles de todos

los gradientes que componen la solución.

Debe recordarse que la difusión numérica negativa introducida por los

esquemas aguas abajo no se “cancelará” con la difusión positiva producida por

56

el esquema aguas arriba. Los resultados obtenidos por Jasak et al.8 muestran

que aplicar los dos esquemas puede conducir a resultados satisfactorios.

2.7.3. Limitaciones en el número de Courant.

Cuando se utilizan métodos upwind o downwind simples para la

discretización del término convectivo de la ecuación 2.13, los flujos calculados

en las caras del volumen de control garantizan que el coeficiente central será

diferente de cero. En el caso de diferencias centrales en una malla uniforme, el

coeficiente central es exactamente cero. La limitación en el número de Courant

viene como consecuencia de la condición de igualdad diagonal de la matriz de

coeficientes.

En el caso del esquema Inter – Gamma, la situación es un poco más

complicada: la selección entre upwind y downwind no se hace sólo basándose

en la dirección del flujo, sino en la combinación de la dirección y el perfil local

de la solución. Esto significa que el criterio de continuidad no garantiza la

existencia de un coeficiente central. Si, por ejemplo, en una de las caras de un

volumen de control unidimensional se utiliza upwind, y en la otra cara se usa

downwind, el resultado es que el coeficiente central proveniente de la

discretización del término convectivo es cero, y la suma de los valores vecinos

es más de dos veces la obtenida en el caso de diferencias centrales.

Es fácil mostrar que esto limita el valor del número de Courant a Co < ½,

en comparación con Co < 1 para diferencias centrales. En múltiples

dimensiones, el problema es incluso peor, y debe limitarse el número de

Courant a Co < 1/3. Al mismo tiempo, debe recordarse que un valor de Co bajo

conduce a un mejor condicionamiento de la matriz, menos difuminación de la

interfase y mejor precisión temporal.

Capítulo III

Implementación Computacional

58

3.1. Programa de propósitos generales PRODIC

PRODIC es un programa computacional bidimensional de propósitos

generales para la resolución de problemas difusivos-convectivos (i.e. Mecánica

de los fluidos y/o Transferencia de calor) usando mallas desplazadas. Además

es un programa abierto y adaptado recientemente a FORTRAN 90, de fácil

acceso, formato de usuario breve y una forma de escritura didáctica. El

programa PRODIC es un paquete híbrido que surgió de la combinación de las

bondades y alcances de los programas SIMPLE (Patankar 1982) y CONDUCT

(Patankar 1991) que fueron tomados como modelo operacional y modelo

estructural respectivamente.

Los detalles del modelo matemático y las ecuaciones utilizadas en PRODIC,

fueron descritos por González27. Sin embargo, se implementaron los mismos

principios de conservación de masa, cantidad de movimiento, energía, etc.

utilizados en este trabajo. Por lo tanto, a fin de describir la implementación

computacional del modelo de Youngs, nos basaremos en la información que

aparece en dicho trabajo.

3.1.1 Alcances y Limitaciones. El PRODIC o "nuevo SIMPLE" posee casi todas las características y

alcances del programa SIMPLE original, con el ingrediente adicional de poseer una

estructura más accesible al usuario, y que abarca situaciones no lineales bajo

régimen no estacionario. Además, dispone de una facilidad que le permite diseñar

mallas no uniformes, permitiendo simular con precisión el comportamiento de

cualquier variable en zonas donde las variaciones sean marcadamente bruscas

(flujo incompresible a alta velocidad, a través de una contracción brusca en una

tubería; por ejemplo). El flujo de fluidos es tratado a través del algoritmo SIMPLE

59

con la ecuación de continuidad en su forma incompresible, lo cual significa que el

programa no se adecua a situaciones de flujo altamente compresible o

supersónico. Por otro lado, se considera que la densidad no cambia con el tiempo

en la ecuación de continuidad, así como tampoco es posible manipular las

condiciones de contorno de presión conocida. Las condiciones periódicas de

contorno y todo lo relacionado al TDMA circular (Patankar 1991), no son

implementadas en PRODIC.

3.1.2 Estructura General de PRODIC. La estructura del programa está conformada por dos secciones: en primer

lugar, una parte invariable, que posee los esquemas de cálculo que involucran a

aquellas variables que pueden utilizarse en cualquier situación particular.

Generalmente, la parte invariable se considera como “intocable” debido a que no

se requiere efectuar ninguna modificación en este sitio al resolver situaciones

dentro de las limitaciones de PRODIC.

La otra parte, denominada ADAPT provee todas las especificaciones del

problema. Es precisamente aquí donde se introducen los detalles relativos a

geometría, propiedades del material, término fuente, condiciones de contorno, etc.

En resumen, los detalles preestablecidos en ADAPT son ensamblados a la

parte invariable para ser procesados y obtener una salida de resultados que

representen la solución al problema planteado.

La Figura 3.1 muestra el diagrama de flujo del programa computacional

PRODIC, donde puede detallarse la secuencia de operaciones y orden de

llamados al grupo de subrutinas principales que lo conforman. Una flecha indica

una sola llamada, la doble flecha, múltiples llamadas.

60

Figura 3.1. Estructura lógica de PRODIC.

Este diagrama de flujo, nos permite visualizar como sería la resolución de

un problema cualquiera que se adapte a las capacidades y limitaciones de dicho

programa. Como se puede observar, en la parte adaptable es donde el usuario

debe introducir toda la información específica del problema a resolver. Esta

información es suministrada en forma secuencial a través de la seis subrutinas que

conforman el ADAPT, y ellas son: GRID, BEGIN, DENSE, BOUND, OUTPUT, y

PHI. Primero deben ser suministrados por el usuario algunos datos de entrada

61

necesarios para el diseño de la malla (esto se hace a través del bloque GRID),

para luego ser procesados en cualquiera de los bloques de TOOLS, dependiendo

de la complejidad geométrica del dominio, naturaleza del flujo, o en fin, del tipo de

malla a diseñar.

Luego deben ser introducidos por parte del usuario algunos valores de

propiedades conocidas, condiciones de contornos fijas, y los campos iniciales

supuestos de las variables a determinar a través de la solución de la ecuación

diferencial general correspondiente (esta acción es llevada a cabo en BEGIN).

Cuando el problema a resolver no es de densidad constante, se deben realizar

ciertas modificaciones, y el lugar propicio es el bloque DENSE. El bloque

BOUND debe ser utilizado en el caso en el que se requiera corregir los perfiles

de velocidad cuando exista una condición de contorno de flujo saliente. Para

poder monitorear los resultados de algunas variables, es necesario especificar

el formato con el cual desea el usuario que se haga la impresión de salida (lo

cual se realiza en OUTPUT). Finalmente, el usuario debe introducir la

información más importante y mayormente requerida por el problema a resolver:

coeficientes de difusión, términos fuentes e indicadores de condiciones de

contorno de cada variable a resolver (esto es efectuado en PHI). Una vez

finalizada la labor del usuario en la parte adaptable, se procede a una unión o

eslabonamiento entre la parte adaptable y la parte invariable del programa. El

programa principal MAIN dispone de una fase inicial que consiste en una serie

de llamados a las subrutinas DEFLT, GRID, READY, BEGIN.

En todo problema a ser resuelto, la naturaleza estructural del programa

demanda que sean revisados los valores por omisión de las variables mayormente

utilizadas, para lo cual es necesario extraer dichas cantidades del bloque DEFLT.

El siguiente paso está relacionado con el cálculo de los valores de algunas

variables geométricas de ámbito general, para el sistema de coordenadas que esté

implementándose, este conjunto de operaciones es ejecutado en READY.

62

A partir de este momento, es activada la marcha en el tiempo mediante la

ejecución de un lazo externo DO NPTI = 0, IPTM; donde NPTI significa el número

de pasos en el tiempo e IPTM representa el último valor de éstos. De entrada al

lazo externo, la primera operación efectuada, consiste en el almacenamiento de las

variables F(I,J,NF) obtenidas en el paso de tiempo anterior, en un nuevo arreglo

definido, denominado FOLD(I,J,NF). Nótese que para el tiempo t=0, se

almacenarán los campos iniciales supuestos en BEGIN.

Desde aquí, se apertura el lazo de iteraciones para cada paso en el tiempo,

desde ITER igual a cero, hasta un valor menor o igual a LAST. La posibilidad de

que el lazo intermedio de iteraciones se cierre antes de llegar al valor máximo

prescrito, depende de la satisfacción de algunos criterios de convergencia.

El lazo intermedio inicia su tarea, con los llamados a los bloques de

adaptación DENSE, BOUND y OUTPUT. Si el número de iteraciones no es

suficiente, el programa realiza una serie de llamadas a HEART1, COPRES,

HEART2, PRINT y PLOT, los tres primeros a su vez llaman a PHI, DIFLOW y

SOLVE una vez por cada iteración tantas veces como variables a resolver existan,

la subrutina DIFLOW es la encargada de preparar la forma final de los coeficientes

atendiendo a un principio que depende del número de Peclet denominado “Ley de

Potencia” (Patankar 1981). A través de este tratamiento, DIFLOW añade a cada

coeficiente los efectos convectivos (|Pe| > 10) y difusivo-convectivos (-10 < Pe <

10). El número de Peclet es definido por la siguiente expresión:

e

eee

xuPΓ

=)()( δρ (3.1)

donde ρ, u, Γ y δx representan a la densidad, la velocidad en la dirección x, el

coeficiente de difusión y la distancia entre nodos en la dirección x,

respectivamente. El subíndice “e” identifica a la cara (este) del volumen de control,

63

el número de Peclet puede ser aplicado a las cuatro caras de la celda haciendo los

cambios correspondientes.

La tarea de la subrutina SOLVE es llevar a cabo los métodos de solución de

las ecuaciones discretizadas para φ. Aquí está incluida una variable denominada

NTIMES(NF) que se refiere al número de repeticiones de las cuatro barridas del

TDMA y las dos secuencias de corrección en bloque. El término "cuatro barridas"

se refiere a que por la naturaleza del método, la secuencia línea por línea termina

en el mismo lugar donde comienza, dicho de otro modo, se refiere a una travesía

de ida y vuelta; luego si se toman en cuenta ambas direcciones resultan cuatro

recorridos del TDMA.

3.1.3. Criterio de Convergencia.

Finalizadas las operaciones en OUTPUT, el programa principal provee una

línea adicional en la que se crea un criterio de finalización de cada paso de tiempo.

Aquí se verifican las siguientes condiciones:

Si SMAX, el cual representa el residuo local máximo de masa al resolver la

ecuación de P', es menor o igual a una tolerancia preestablecida por el

usuario (variable real TOL), el lazo de iteraciones finaliza

independientemente del valor que tenga ITER en ese instante, dentro de un

rango mayor que 3. Esta última restricción se debe a que en las primeras

iteraciones, generalmente el valor de SMAX es muy pequeño, incluso a

veces cero.

El lazo iterativo está construido mediante un ciclo DO, pero su culminación,

a menos que LAST sea igual a cero, nunca va a conseguirse a través del

END DO. El criterio de convergencia rompe el lazo por medio de una

instrucción GO TO.

64

Para problemas netamente difusivos, en donde la ecuación de P' no se

resuelve, está abierta la posibilidad al usuario de crear su propio criterio de

convergencia; para tal fin se dispone, dentro del programa de la variable

KSTOP.

En resumen, el ciclo intermedio podría finalizar, por la satisfacción de la

ecuación de P' a través del valor de SMAX, por medio de iteraciones, o

simplemente mediante la activación de la variable entera KSTOP.

Si ninguno de los criterios se cumple, se ejecuta un llamado a las subrutinas

HEART1, COPRES y HEART2. El primer bloque es citado con el fin de discretizar

y calcular los coeficientes de las ecuaciones de cantidad de movimiento; el

segundo resuelve la ecuación de corrección de presión y efectúa los balances de

fuentes de masa, al tiempo que HEART2, discretiza la ecuación general de φ para

el resto de las variables a obtener en el ciclo.

En los bloques HEART (1 y 2), es necesario de la misma manera, un

llamado a la subrutina de preparación de coeficientes DIFLOW. Este grupo de

instrucciones (HEART1, COPRES y HEART2 en conjunto) representan el corazón

del programa computacional PRODIC.

Si la convergencia es alcanzada en el intervalo de tiempo actual, el MAIN

hace un llamado a las subrutinas PRINT y PLOT. En otras palabras, el programa

está estructurado para mostrar por omisión la impresión de salida y crear el archivo

de datos para su dibujo (utilizando TECPLOT) en cada paso de tiempo. Nótese

que, para problemas en régimen permanente, el número establecido de pasos en

el tiempo IPTM es igual a cero (valor por omisión), por lo tanto la presentación de

resultados es efectuada aquí también.

Debido al hecho de que en cada paso de tiempo se realiza un llamado a

PRINT, se provee al usuario una opción que permite desactivar la impresión

65

bidimensional de salida de resultados, a través de la incorporación de la variable

entera KEPR (K para Evadir el PRintout). Si KEPR es igual a la unidad, la

impresión de salida es evadida. Por razones de extensión se recomienda al

usuario, mostrar los campos bidimensionales solo en el último paso de tiempo,

para ello debe especificar en OUTPUT, el valor de KEPR igual a 1, para todos los

pasos de tiempo menores que IPTM.

Si el período de tiempo no ha sido cubierto, el mismo procedimiento se

repite hasta arribar al último paso IPTM, donde culmina la ejecución del programa

y la solución definitiva es obtenida.

3.1.4. Sistemas de Coordenadas.

El programa, considera las cantidades físicas como variables dimensionales

expresadas en cualquier grupo de unidades consistentes, pero también pueden

interpretarse como cantidades adimensionales, siempre y cuando se implemente

una adecuada formulación adimensional a la ecuación diferencial que rige la

situación que esté considerándose.

Pueden resolverse problemas cuyas configuraciones del dominio se

adapten a los sistemas de coordenadas cartesiano, axisimétrico o polar. La Figura

3.2 proporciona una descripción más clara acerca de los sistemas antes

mencionados. La variable entera MODE indica el sistema de coordenadas que

será utilizado por el programa: Para MODE=3, la variable SX(J) (que representa

un factor de escala), tiene un significado muy particular. Este comentario es lógico

debido a que, el valor de X(I) en coordenadas polares representa el ángulo θ y por

lo tanto, la longitud entre dos nodos (I,J) y (I+1,J) en la dirección-x es obviamente

SX(J)*( X(I+1) - X(I) ). Por tal razón, resulta evidente que tanto para MODE=1

como para MODE=2 el valor de SX(J) sea hecho igual a la unidad.

66

Tabla 3.1 Interpretación de algunas variables utilizadas en el programa PRODIC

Variable MODE =1 MODE =2 MODE =3

X(I) X X θ

Y(J) Y Y Y

R(J) 1.0 r R

SX(J) 1.0 1.0 R

Profundidad 1.0 1.0 radian 1.0

Figura 3.2 Los tres sistemas de coordenadas

3.1.5. Especificación de las condiciones de contorno.

En el programa PRODIC, el coeficiente difusivo Γ está definido en todos

los nodos del dominio, tal como lo considera el modelo operacional SIMPLE. El

valor por omisión del indicador de tratamiento de condiciones de contorno KORD,

es la unidad, es decir esquema de bajo orden. El esquema de bajo orden es el

tratamiento que supone un perfil constante del flujo difusivo entre dos nodos. Esta

práctica podría ofrecer algunas veces resultados inexactos, por tal razón, puede

ser adoptada una formula más precisa, denominada tratamiento de alto orden. La

formula de alto orden puede ser obtenida si el flujo difusivo es considerado como

lineal entre las dos caras opuestas del volumen de control. Para problemas

67

difusivos y variables escalares, el programa puede manejar el esquema de alto

orden (práctica “CONDUCT”), pero cuando existan influencias convectivas y se

calcula el campo de flujo, solo está al alcance del programa la implementación del

esquema de bajo orden (práctica “SIMPLE” ) para las componentes de velocidad.

La Tabla 3.2 muestra un resumen de las condiciones de contorno y como

deben ser introducidas en el programa computacional.

Tabla 3.2. Especificación de las condiciones de borde

En bordes a través de los cuales fluya cierta cantidad de masa,

abandonando el dominio de cálculo, normalmente se desconoce el valor de

cierta variable φ y el flujo asociado a ésta. Aunque pudiera pensarse en la

imposibilidad de resolver un problema como tal debido a la ausencia de una

condición de contorno, lo cierto es que en estos casos no se requiere ninguna

información de frontera. Existen dos enfoques válidos (y en cierta forma

equivalentes) que pueden ser empleados para especificar la condición de borde

de flujo saliente, los cuales son:

Especificar en PHI, Γ=0 en el borde de salida para todas las variables, y

posteriormente efectuar en BOUND la corrección de los perfiles de la

velocidad que cruza el borde, tal como se explica mas adelante,

dependiendo del grado de distorsión y complejidad del flujo (práctica

"SIMPLE" ).

Condición de contorno Introducir en el programa

φborde φborde (KBC = 1 por omisión)

Jborde = 0 KBC = 2 (FLXC = 0 por omisión)

Jborde KBC = 2 FLXC = Jborde

Jborde = fc + fp φborde KBC = 2 FLXC = fC ; FLXP = fP

68

Especificar en PHI, Γ=0 solamente para la velocidad que atraviesa el borde,

y declarar KBC=2 para el resto de las variables. La componente de

velocidad que atraviesa el contorno, es corregida en BOUND de la misma

forma como se lleva a cabo en el aparte anterior .

En ciertas ocasiones, pueden presentarse en cada iteración ciertas

distorsiones del perfil de flujo, en contra de las cuales se emplea una práctica

adicional dentro del programa, usualmente elaborada en la subrutina BOUND.

Esta práctica consiste en una corrección del perfil a través de un balance de masa

realizado en el dominio, mediante la aplicación de la ecuación de continuidad. Esta

acción no solamente corrige los perfiles de velocidad, si no también obliga el

cumplimiento de la conservación de la masa, apuntando a una solución más

refinada de los resultados finales y a la concordancia de los campos de velocidad

obtenidos, con la ecuación de corrección de presión P' .

3.2. Programa YOUNGS: Implementación del Modelo VOF. Una vez revisada la información acerca de las bases teóricas y la

estructura del programa computacional PRODIC, se procederá a describir el

conjunto de modificaciones que se realizaron para incorporarle el modelo VOF

(ver Figura 3.3). Estas modificaciones pueden dividirse en tres etapas, a saber:

La incorporación de la ecuación de C en el algoritmo de solución, como

una ecuación de conservación adicional.

Introducir el método Inter.-Gamma para minimizar la falsa difusión

asociada al transporte convectivo de C.

Implementar el método de Youngs (PLIC) para reconstruir la interfase,

luego de conocer el campo solución de C.

69

Figura 3.3. Diagrama de Flujo del programa YOUNGS.

3.2.1. Incorporación de C en el algoritmo de solución.

Para incorporar la ecuación de transporte de la función indicadora, se

adicionó una subrutina similar a HEART2, pero que resuelve exclusivamente la

ecuación de transporte para C. Esta nueva subrutina se identificó como VOF, y

es llamada desde MAIN cuando se especifican en ADAPT los valores iniciales

MAINFase Inicial

Almacena Valores Viejos

Comienza Lazo de

Iteraciones

Converge?

NO

NO

SI

SI

SETUP DEFLT

READY

HEART1 COPRES

HEART2 PRINT

PLOT

VOF

DIFLOW SUPERCX

SUPERCY

SOLVE

YOUNGS

VALUES

¿Último paso en el Tiempo?

TOOLS

EZGRID ZGRID

ADAPTGRID

BEGIN DENSE BOUND OUTPUT

PHI

Parte Invariable

FIN

70

de C. Adicionalmente, el archivo COMMON1.FOR se cambió a

COMMONV.FOR, con la diferencia de que NP se hace igual a 12, para que la

función C sea representada con NF = 11. Básicamente, las modificaciones que

se realizaron a HEART2 y se implementaron en VOF fueron las siguientes:

Se fija el valor de NF =11 para toda la subrutina. Con el valor de 11 se

identificó a la función colorante en el programa COMMONV, cambiando a

NF = 12 el identificador que corresponde a la presión.

Se eliminaron las llamadas a la subrutina DIFLOW, sustituyéndolas por

invocaciones a SUPERCX y SUPERCY, subrutinas que contienen el

algoritmo Inter – Gamma (supercompresivo), y limitan y corrigen los

valores de C durante los barridos en “x” y “y” respectivamente.

Se eliminan los términos difusivos de la ecuación de conservación (pues

el transporte de C es puramente convectivo).

Se invoca la subrutina YOUNGS, para que utilice los valores de C y

determine los flujos a través de las caras, luego de lo cual se corrigen los

valores anteriores.

3.2.2. Introducción del método Inter – Gamma. Para la corrección de los flujos convectivos en las caras, se utiliza el

esquema limitador Inter – Gamma. Su implementación computacional se

realiza mediante dos subrutinas: SUPERCX (Súper – Compresivo en

dirección “x”), y SUPERCY (Súper – Compresivo en dirección “y”), una para

cada dirección del barrido. El esquema de cada subrutina se describe a

continuación:

71

a. Se determina el signo de la velocidad en la cara del volumen de

control (para saber cuáles serán los nodos aguas arriba y aguas

abajo)

b. Se calculan los valores de C en los nodos mediante el traslado de

los valores de la velocidad, que originalmente fueron determinados

en las caras (mallas desplazadas).

c. Se utilizan las condiciones especificadas en la sección 2.7.2 del

capítulo anterior, para decidir si se utilizará un esquema upwind o

downwind.

3.2.3. Implementación del Modelo de Youngs.

La subrutina YOUNGS contiene las instrucciones para la determinación

de los flujos en las caras del volumen de control, siguiendo las ecuaciones de la

Tabla 2.1, previa utilización de la Figura 2.12 para saber en cuál de los cuatro

casos se encuentra la celda. Las variables utilizadas en esta rutina son las

siguientes:

XST(I,J) : Valor de la “derivada” en la dirección “x” en cada volumen de

control (equivale a xjin , ).

YST(I,J) : Valor de la “derivada” en la dirección “y” en cada volumen de

control (equivale a yjin , ).

XBETA(I,J) : Ángulo β en la celda I,J.

XALPHA(I,J) : Ángulo α en la celda I,J.

72

ST(I,J) : Fracción lateral superior de la celda I,J.

SR(I,J) : Fracción lateral derecha de la celda I,J.

SB(I,J) : Fracción lateral inferior de la celda I,J.

SL(I,J) : Fracción lateral izquierda de la celda I,J.

FT(I,J) : Flujo de Youngs a través de la cara superior de la celda I,J.

FRI,J) : Flujo de Youngs a través de la cara derecha de la celda I,J.

FBI,J) : Flujo de Youngs a través de la cara inferior de la celda I,J.

FLI,J) : Flujo de Youngs a través de la cara izquierda de la celda I,J.

Al finalizar la subrutina YOUNGS, llamada desde VOF, se corrigen los valores

de la función colorante mediante la relación expresada en la ecuación 2.30.

3.3. Modificaciones a la subrutina ADAPT

Luego de los cambios introducidos en la parte invariable del programa

PRODIC con el objetivo de implementar el modelo de Youngs, deben realizarse

algunas modificaciones a la parte adaptable o ADAPT, sobre todo para la

introducción de los valores iniciales y las condiciones de contorno. Aunque para

cada uno de los casos a estudiar en el siguiente capítulo se hace una revisión de

las modificaciones en ADAPT, existen algunos puntos en común:

73

Se agrega el arreglo FVOF para representar el valor de la función

colorante, correspondiente a NF = 11.

Se introducen los valores iniciales del campo de FVOF. Se tomaron estos

valores como 0 por defecto para todos los casos estudiados.

Se especifican las regiones del dominio donde la función FVOF es igual a

1, es decir, la localización de las celdas llenas del fluido de interés. A su

vez, si se conocen estas celdas se define automáticamente la initerfase

inicial del problema.

Se especifican las regiones del dominio donde la densidad es igual a la

del fluido de interés. En el programa YOUNGS se identificó esta variable

como RHO2, asignándose RHO1 al otro fluido.

Se introducen las relaciones de cierre (ecuaciones 2.7) en las subrutinas

DENSE y PHI, con el objetivo de corregir los valores obtenidos por el

programa y actualizar densidades y viscosidades, ya que cada celda

puede contener más de un fluido.

Se fijan las condiciones de contorno KBC = 2 (flujo conocido = 0) para

todos los bordes. Esto es consecuencia de que las situaciones

estudiadas son recipientes cerrados, y no existen entradas de fluido al

dominio.

Los valores de otras propiedades y condiciones del problema

(conductividades térmicas, calores específicos, viscosidades, número de

iteraciones, paso de tiempo, etc.) se definen en la subrutina BEGIN, al igual que

se hacía en el programa PRODIC.

Capítulo IV

Casos de Estudio. Resultados

75

4.1. Caso No. 1: Caída y Colapso de Gota.

4.1.1. Descripción del Problema

Esta primera adaptación describe la caída de una gota y el colapso contra

la superficie de una capa somera de líquido. En general, los problemas de gotas

se estudian con la finalidad de establecer la influencia de la tensión superficial

sobre otras propiedades. Aunque en este trabajo no se consideró la tensión

superficial, éste ejemplo fue incluido con el objetivo de analizar el impacto

ocasionado por la omisión del anteriormente mencionado efecto. La Figura 4.1

muestra las condiciones iniciales y dimensiones del problema.

Figura 4.1. Condiciones iniciales y dimensiones para el problema de la gota.

Todos los contornos son cerrados, es decir, no se permite salida de masa a

través de ningún borde. Las magnitudes mostradas en la figura anterior se

suponen compatibles (pertenecen al mismo sistema de unidades). Los fluidos

0.3

0.1

1.0

0.3

1.0

ρ1

ρ2

76

contenidos en el dominio de cálculo tienen la misma viscosidad, pero la

densidad del fluido de la gota y el fondo es cinco veces mayor a la del fluido que

ocupa el espacio restante. Recuérdese que se trata de una situación de flujo

incompresible. La malla se ha tomado de 40 x 40 celdas igualmente

espaciadas, debido a que las pruebas con mallas más refinadas no mejoran de

forma apreciable los resultados, además de que si se reducen excesivamente

las dimensiones de los volúmenes de control, también deberán ajustarse los

valores del paso en el tiempo (Δt), lo cual puede incrementar de manera

importante el costo computacional del algoritmo. En este ejemplo, se tomó un

paso de tiempo de 0.05 basándose en el criterio de que el número de Courant

no debe ser mayor a 0.3. En la Figura 4.2 se observa la malla computacional

para el problema de la gota. Otros datos y condiciones adicionales se muestran

en la Tabla 4.1.

Figura 4.2. División del dominio en volúmenes de control y malla resultante.

77

Tabla 4.1. Variables de inicialización para el caso de la gota.

Longitud “x” XL 1.0 No. de Volúmenes en “x” NCVLX 40

Longitud “y” YL 1.0 No. de Volúmenes en “y” NCVLY 40

Conductividad COND 1.0 Paso de tiempo DT 0.05

Calor específico CP 1.0 No. De iteraciones LAST 30

Densidad 1 RHO1 1.0 No. De pasos de tiempo IPTM 600

Densidad 2 RHO2 5.0 Viscosidad del fluido 1 AMU1 1.0

Viscosidad del fluido 2 AMU2 1.0

4.1.2. Descripción de la Subrutina ADAPT

General. Para este problema, sólo se añade el arreglo FVOF(I,J)

para representar a F(I,J,11) en la cabecera del programa.

GRID. Se construye una malla uniforme. Se eligen 40 volúmenes de

control para la dirección “x” y 40 volúmenes de control para la

dirección “y”, para este problema MODE es igual 1 por omisión. La

malla uniforme es obtenida a través del llamado a EZGRID.

BEGIN. Se especifican los valores de las propiedades de los fluidos:

densidad, viscosidad, conductividad térmica, calor específico, etc.

Se fija el número de iteraciones externas en 30 y el paso de tiempo

en 0.05. También se fija en 600 el número de pasos de tiempo. Se

inicializan los campos de FVOF, indicándole al programa donde se

encuentra el fluido 2, correspondiente a la gota.

DENSE. En esta subrutina se introduce la ecuación de cierre

correspondiente a la densidad (ecuación 2.7).

78

BOUND. No existen condiciones de contorno de flujo saliente, por lo

tanto no se requiere hacer ningún tipo de modificación en BOUND.

OUTPUT. Para cada iteración, se imprimen los valores de las

velocidades en localizaciones representativas, además de los

valores de los residuos SMAX y SSUM. Esta salida debe ayudar a

verificar la convergencia de la solución. En la última iteración, se

consigue la impresión del campo de FVOF, a través del llamado a

PRINT que es hecho una vez alcanzada la convergencia.

PHI. Se especifican las condiciones de contorno para las

velocidades y para la función FVOF. En el caso de esta última, se

toma la condición de flujo conocido e igual a cero.

4.1.3. Resultados Obtenidos.

En la Figura 4.3 se observan los resultados arrojados por el programa

para varios pasos de tiempo. Nótese que la forma de la gota coincide casi

perfectamente con la simulación tridimensional mostrada en la Figura 4.4a. El

efecto de la tensión superficial faltante, impide que una vez desprendida la gota

ésta adquiera la forma achatada característica y luego pase a ser totalmente

esférica. Sin embargo, durante su desprendimiento de la parte superior del

dominio es evidente la similitud incluso con la fotografía mostrada en la Figura

4.4b. Las corridas se llevaron a cabo para varias relaciones de viscosidad

diferentes, y se llegó a la conclusión de que al aumentar la diferencia de

viscosidad entre los fluidos, se hace más notorio el efecto de la falta del término

de tensión superficial. Bajo estas condiciones, la gota ni siquiera presenta la

forma redondeada característica, sino más bien una figura oblonga y alargada.

La diferencia de densidades es otra de las limitantes en este experimento, ya

79

Figura 4.3. Resultados del programa YOUNGS para la gota (varios pasos de tiempo)

t = 0 t = 30 t = 50

t = 70 t = 100 t = 115

t = 150 t = 200 t = 350

80

Figura 4.4. (a) Simulación tridimensional de una gota pendiente, (b) foto comparada con la

simulación [2]

que la mayoría de los trabajos en donde se presentan resultados para gotas con

coalescencia y rompimiento, se utiliza el método MAC o el modelo VOF sólo

para el cálculo de la fase líquida, y no se resuelven las ecuaciones para el fluido

en torno a la gota. Por supuesto, si se consideran aire y agua como las dos

sustancias a estudiar, la diferencia en las densidades puede llegar a ser de 1000

veces. En los trabajos de Ubbink, todos los casos presentados consideran

diferencias de densidad de ésta magnitud entre los fluidos. Sin embargo, en

este trabajo se resuelven las ecuaciones de conservación para ambas fases, y

por lo tanto no pueden llegar a ser valores extremos, ya que esto afectaría la

“discontinuidad de cantidad de movimiento” explicada en el capítulo 2 y traería

como consecuencia velocidades locales extremadamente grandes.

(a) (b)

81

4.2. Caso No. 2: Colapso de una Columna de Líquido.


En este segundo ejemplo, se estudiará la caída de una columna de líquido

similar a la descrita en el capítulo 2, en donde súbitamente se retira una pared

sólida y se permite que el líquido más denso caiga hacia el fondo de un

recipiente cerrado. La Figura 4.5 muestra las condiciones iniciales y

dimensiones del problema.

Figura 4.5. Condiciones iniciales y dimensiones para el problema de la columna de líquido.

Nuevamente, las magnitudes mostradas en la figura anterior se suponen

compatibles (pertenecen al mismo sistema de unidades). Los fluidos contenidos

en el dominio de cálculo tienen una relación de viscosidades de 10:1, siendo la

columna de líquido más viscosa que el fluido en el resto del dominio

computacional. Asimismo, existe una relación de densidades de 50:1, de nuevo

1.5

0.5

1.0

ρ1 ρ2

0.5

1.5

1.0

82

a favor de la columna de líquido. La malla se ha tomado de 30 x 20 celdas

igualmente espaciadas En la Figura 4.6 se observa la malla computacional para

el problema de la columna de líquido. Otros datos y condiciones adicionales se

muestran en la Tabla 4.2.


Tabla 4.2. Variables de inicialización para el caso de la columna de líquido.








83


General. Se añade el arreglo FVOF(I,J) para representar a F(I,J,11)

en la cabecera del programa.

GRID. Se construye una malla uniforme de 30 volúmenes de control

para la dirección “x” y 20 volúmenes de control para la dirección “y”,

para este problema MODE es igual 1 por omisión. La malla uniforme

es obtenida a través del llamado a EZGRID.




en 0.01. También se fija en 800 el número de pasos de tiempo. Se

inicializan los campos de FVOF, indicándole al programa donde se

encuentra el fluido 2, correspondiente a la columna de líquido.











84


velocidades y para la función FVOF. En el caso de esta última, se

toma la condición de flujo conocido e igual a cero.


En la Figura 4.7 se observan los resultados arrojados por el programa

YOUNGS para varios pasos de tiempo. Como consecuencia de la diferencia de

densidades (y por consiguiente, los efectos gravitacionales), la fase más pesada

se mueve hacia el fondo del dominio. La falsa difusión produce una

difuminación leve en el contorno del fluido, pero sin embargo, los algoritmos

súper compresivos mantienen una interfase bien definida. La forma

redondeada del frente azul que se desplaza hacia la derecha, obedece a que la

diferencia de densidades, aunque es 50:1, sigue estando muy por debajo de la

relación que podría existir entre agua y aire. Sin embargo, el modelo VOF logra

capturar el movimiento del frente incluso en situaciones en donde la función

colorante no tiene una dirección preferencial de desplazamiento, sino dos

direcciones (ambas coordenadas). Este experimento fue llevado a cabo por Hirt

y Nichols25, obteniéndose resultados semejantes a los arrojados por el programa

YOUNGS desde un punto de vista cualitativo, ya que ellos tomaban sólo la parte

líquida como el dominio de cálculo, y por tanto podían tratarse de forma sencilla

las grandes diferencias de densidad entre los dos fluidos.

Con el objetivo de identificar el comportamiento de forma cualitativa, en la

Figura 4.8 se muestra una gráfica que relaciona el tiempo adimensional (tad) con

la elongación de la columna en la dirección horizontal (xad), también expresada

de forma adimensional. Se muestran varias curvas para otros valores de

viscosidad y densidad.

85

Figura 4.7. Resultados del programa YOUNGS para el problema de la columna de líquido.

Como puede verse en la Figura 4.8, para una relación de densidades fija

(50:1), a medida que se aumenta la relación de viscosidades, se obtiene un

desplazamiento mucho menor del frente de la columna. En el caso 1, la relación

de viscosidades es de 10:1, mientras que para los casos 2 y 3, la relación es de

20:1 y 30:1 respectivamente. Sin embargo, si se mantiene el valor del paso de

tiempo mientras se aumenta la relación de viscosidades, se observa que el valor

de los residuos SSUM y SMAX aumenta considerablemente. Esto indica que los

valores de número de Courant pueden estarse incrementando sin ningún control

y debe ajustarse el parámetro de paso de tiempo.

t = 001 t = 030 t = 050

t = 100 t = 220 t = 350

t = 450 t = 800

86

Figura 4.8. Variación del tiempo vs. Longitud en forma adimensional para el problema de la

columna de líquido.

Si se hace variar la relación de densidades y se mantiene en 10:1 la

relación de viscosidades, el programa necesita que obligatoriamente se ajuste el

paso de tiempo, pues los residuos se hacen extremadamente grandes y traen

como consecuencia que algunos valores del campo resultante de FVOF no sean

números reales.

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Tiempo Adimensional tad

Long

itud

Adi

men

sion

al x

ad

Caso 1

Caso 2

Caso 3

a

z

agttad

2=

azxad =

87

4.3. Caso No. 3: Rotación de una Cavidad Cuadrada.


Para este caso, se considerará una cavidad cuadrada cerrada que gira

alrededor de un eje ubicado en su centro geométrico. El fluido más denso se

encuentra en el fondo de la cavidad, mientras el otro fluido llena el espacio

restante. La Figura 2.9 muestra las características geométricas y condiciones

iniciales para este problema.

Figura 4.9. Condiciones iniciales y dimensiones para la cavidad en rotación.

En este caso, la forma de introducir la rotación en el problema consiste en

que los términos de gravedad afecten el término fuente de las velocidades en las

dos direcciones, según las siguientes relaciones:

1.0

1.0

0.5

ρ1

ρ2

88

(4.1)

En las ecuaciones (4.1), t representa el tiempo transcurrido, calculado

como el producto del valor del paso de tiempo por el No. de pasos transcurridos.

Por otro lado, w es una constante que controla la velocidad de rotación de la

cavidad, y debe ser ajustada a un valor bajo para observar el comportamiento de

los fluidos de la mejor forma posible. La discretización del dominio

computacional se realizó mediante la colocación de 40 volúmenes de control en

cada dirección coordenada. La malla resultante se muestra en la Figura 4.10, y

las condiciones iniciales y de contorno son descritas en la Tabla 4.3.


( )( )wtgSwtgS

V

U

cossin

ρρ

−=−=

89

Tabla 4.3. Variables de inicialización para la cavidad cuadrada.







Constante W 0.5 Viscosidad del fluido 2 AMU2 1.0






dirección “y”. Para este problema, MODE es igual 1 por omisión.




en 0.01. Se fija en 700 el número de pasos de tiempo. Se inicializan

los campos de FVOF, indicándole al programa donde se encuentra

el fluido más denso.





90








velocidades y para la función FVOF. Se escriben los valores del

término fuente que, para cada velocidad, cambian la dirección de la

fuerza de cuerpo (peso) y por tanto, producen el efecto de rotación.


En la Figura 4.11 se observan los resultados del programa YOUNGS para

el problema de la rotación de una cavidad cuadrada. El algoritmo VOF logra

llevar a cabo exitosamente el seguimiento del frente de fluido, pero sin embargo

se puede ver una pequeña cantidad del líquido más denso que queda adherida a

la pared del recipiente que está “abandonando” por efecto de la rotación. Este

efecto es análogo al fenómeno de “flotsam” o “jetsam” que fue introducido en el

capítulo 2. A diferencia de las comunes burbujas o partículas que

aparentemente quedan aisladas o abandonadas por el fluido, en este caso

tenemos un filamento que queda adherido a la pared, para luego desaparecer a

medida que la cavidad sigue dando vueltas. Al moverse hacia la tercera pared

(270°), se presenta el mismo fenómeno. Estos efectos no deseados pueden

reducirse si se incrementa el número de volúmenes de control, lo cual implica

directamente una reducción del paso de tiempo, para evitar un valor alto del

número de Courant.

91

Figura 4.11. Resultados del programa YOUNGS para la rotación de una cavidad cuadrada.

Existen casos23 en donde el costo computacional que se requiere para

resolver un problema de esta naturaleza es demasiado alto (aproximadamente

unas 5 o 6 horas para mallas de 60x60), sin tomar en consideración que será

necesario también incrementar el número de pasos de tiempo. Este

experimento tomó una hora y 22 minutos para 700 pasos de tiempo.

t = 001 t = 100 t = 200

t = 300 t = 350 t = 400

t = 500 t = 600 t = 650

92

4.4. Caso No. 4: Cavidad con dos Fluidos.


Este último ejemplo es sumamente sencillo. Se considerará una cavidad

cuadrada que contiene dos fluidos, pero a diferencia del problema de la gota

(primer caso), el fluido que se encuentra en la parte inferior tiene un valor de

densidad por debajo del fluido en la parte superior, y por lo tanto se espera un

“ascenso” del primero. La Figura 4.12 muestra las condiciones iniciales y

dimensiones para este problema.

Figura 4.12. Condiciones iniciales y dimensiones para el problema de densidad invertida.

La discretización del dominio computacional se realizó mediante la

colocación de 40 volúmenes de control en cada dirección coordenada. La malla

resultante se muestra en la Figura 4.13, y las condiciones iniciales y de contorno

son descritas en la Tabla 4.4.

1.0

1.0

0.2 ρ1

ρ2

93


Tabla 4.4. Variables de inicialización para el caso No. 4.








94






dirección “y”. Para este problema, MODE es igual 1 por omisión.




en 0.1. Se fija en 300 el número de pasos de tiempo. Se inicializan

los campos de FVOF, indicándole al programa donde se encuentra

el fluido más denso.












velocidades y para la función FVOF. Se escriben los valores del

95

término fuente que, para cada velocidad, cambian la dirección de la

fuerza de cuerpo (peso) y por tanto, producen el efecto de rotación.


Los resultados pueden verse en la Figura 4.14. Se observa el ascenso el

fluido menos pesado (ubicado inicialmente en la parte inferior de la cavidad) por

el centro y hacia ambos lados, de forma simétrica. La zona de ascenso

preferencial es el centro, por encontrarse a mayor distancia de los contornos en

donde existe fricción (velocidades iguales a cero)

Figura 4.14. Resultados del programa YOUNGS para el problema de densidad invertida

t = 001 t = 100 t = 140

t = 160 t = 180 t = 200

t = 240 t = 260

Capítulo V

Conclusiones y Recomendaciones

97

Conclusiones

Luego de haber analizado el comportamiento del modelo VOF, así como

los resultados obtenidos en los ejemplos, pudimos llegar a las siguientes

conclusiones:

1. El modelo VOF combinado con el método de Youngs, permite predecir el

comportamiento de la interfase en problemas de dos fluidos, mejorando la

definición de la misma respecto al modelo VOF original propuesto por

Hirt y Nichols, y con un costo computacional mucho menor.

2. En problemas dominados por el efecto de tensión superficial, el modelo

muestra un comportamiento cualitativamente aceptable, pero deben

mantenerse relaciones de viscosidad por debajo de 5 para que los

resultados no difieran mucho de los valores reales, por la condición de

contorno faltante. Recuérdese que la tensión superficial es una condición

de contorno que se especifica sobre la interfase.

3. Los resultados obtenidos para la columna de líquido tienen tendencias

similares a los experimentos de otros autores, incluso considerando que

las condiciones (relaciones de densidad y viscosidad) son muy diferentes.

4. Se reduce el efecto de flotsam o jetsam debido a la incorporación del

método de Youngs. En su lugar, en problemas donde el transporte de la

función colorante cambia de dirección a lo largo del tiempo, se observa

una “adhesión” temporal del fluido a las paredes (o condición de contorno

con velocidad cero).

98

5. Los algoritmos súper-compresivos cumplen con su rol de limitadores de la

función colorante, y evitan que la falsa difusión avance rápidamente y

conduzca a resultados erróneos.

6. De la forma como está planteado en este trabajo, el modelo VOF requiere

de reducir significativamente el paso de tiempo y aumentar la densidad de

la malla para trabajar con relaciones de densidad mayores a 100 y

relaciones de viscosidad mayores a 50, lo cual incrementa

tremendamente el costo computacional del algoritmo.

7. El TDMA debe ser sustituido por otro método numérico que reduzca más

aún los requerimientos computacionales del modelo.

8. No parece existir un único método que permita resolver todos los

problemas de flujo bifásico. Lo más probable, es que la elección del

modelo dependa de la naturaleza del problema.

99

Recomendaciones

1. Revisar la formulación numérica del modelo VOF para poder resolver

problemas con relaciones de viscosidad y densidad más grandes (de

1000, por ejemplo).

2. Incluir el efecto de la tensión superficial como condición de contorno en la

interfase, así como extender el programa YOUNGS a tres dimensiones y

a situaciones axisimétricas.

3. Incluir la posibilidad de colocar la periodicidad y la adhesión a paredes

como condiciones de contorno.

4. Seleccionar problemas tipo (por ejemplo, la columna de líquido) y realizar

experimentos para validar los resultados del programa.

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Tabla 2.1. Cálculo de Flujos según el modelo de Youngs.

Caso I Caso II Caso III Caso IV tS

rS

bS

lS

0 θtan2C

θcot2C 0

0 θtan2

1+C

1 θtan2

1−C

θcot21−C

1 θcot2

1+C

0

1- θcot2C 1 1 1- θtan2C

Si Ut > 0 Si ( ) yStU rt δδ −≤ 1 0=tF Si no ( )[ ] βδδ cot1 2

21 yStUF rtt −−=

Si ( ) yStU rt δδ −≤ 1 0=tF Si no, si ( ) yStU lt δδ −≤ 1

( )[ ] βδδ cot1 221 yStUF rtt −−=

Si no ( ) yxCxtUF tt δδδδ −−= 1

( )βδδδ cot21 tUxStUF tttt +=

Si ( ) yStU lt δδ −≥ 1 ( ) yxCxtUF tt δδδδ −−= 1 Si no ( )βδδδ cot2

1 tUxStUF tttt +=

Si Ur > 0 Si xStU br δδ ≥ yxCFr δδ= Si no ( ) ySxStUtUF rbrrr δδδδ −= 22

1

( )βδδδ tan21 tUyStUF rrrr −=

Si xStU tr δδ ≤ ytUF rr δδ= Si no, si xStU br δδ ≤

( ) βδδδδ tan221 xStUytUF trrr −−=

Si no yxCFr δδ=

Si xStU tr δδ ≤ ytUF rr δδ= Si no

( ) βδδδδ tan221 xStUytUF trrr −−=

Si Ub > 0 Si xStU rb δδ ≥ yxCFb δδ= Si no ( ) xSyStUtUF brbbb δδδδ −= 22

1

Si yStU lb δδ ≤ xtUF bb δδ= Si no, si yStU rb δδ ≤

( ) βδδδδ cot221 yStUxtUF lbbb −−=

Si no yxCFb δδ=

( )βδδδ cot21 tUxStUF bbbb −=

Si yStU lb δδ ≤ xtUF bb δδ= Si no

( ) βδδδδ cot221 yStUxtUF lbbb −−=

Si Ul > 0 Si ( ) xStU bl δδ −≤ 1 0=lF Si no ( )[ ] βδδ tan1 2

21 xStUF bll −−=

( )βδδδ tan21 tUyStUF llll +=

Si xStU bl δδ ≤ 0=lF Si no, si xStU tl δδ ≤

( )( ) βδδ tan1 221 xStUF bll −−=

Si no ( ) yxCytUF ll δδδδ −−= 1

Si ( ) xStU tl δδ −≥ 1 ( ) yxCytUF ll δδδδ −−= 1 Si no ( )βδδδ tan2

1 tUyStUF llll +=

SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FLUJO BIFÁSICO MEDIANTE EL MÉTODO DEL VOLUMEN DE FLUIDO (VOF).

Joaquín E. Morán G. La Universidad del Zulia

Escuela de Ingeniería Mecánica [email protected]

1. RESUMEN En este trabajo se presenta el desarrollo computacional de un programa para la simulación de flujo bifásico, mediante el algoritmo del Volumen de Fluido (VOF). El programa es capaz de “rastrear” el movimiento de una interfase definida entre dos fluidos incompresibles e inmiscibles. Además del modelo VOF propuesto por Hirt y Nichols en 1981, se utiliza un algoritmo súper-compresivo que combina esquemas aguas arriba y aguas abajo con el objetivo de minimizar la falsa difusión, que puede conducir a resultados erróneos. Para la reconstrucción de la interfase en cada paso de tiempo, se implementa el modelo de Youngs, conocido como PLIC (“Piecewise Linear Interface Calculation”). Los problemas seleccionados para evaluar el desempeño del programa, muestran una excelente capacidad de captura de interfase. En los casos que presentan condiciones de tensión superficial dominante (término que no es considerado en la formulación presentada en este trabajo) los resultados del programa son cualitativamente aceptables. Aunque se logró reducir el costo computacional del algoritmo para el monitoreo de la interfase, sería recomendable la implementación de un método numérico diferente al TDMA para la solución del sistema de ecuaciones. 2. INTRODUCCIÓN Los algoritmos existentes para el cálculo de la localización de la superficie libre han sido clasificados según Ferziger y Peric1 en dos categorías: métodos que trazan una superficie libre o interfase (métodos de rastreo de interfase) y métodos que no definen una superficie libre, sino que la malla se extiende más allá de la interfase y la forma de la superficie es determinada por las celdas que se encuentran parcialmente llenas (métodos de captura de interfase). Con respecto a los métodos de rastreo de interfase, existen a su vez diferentes alternativas2. En la técnica de partículas en la interfase, propuesta por Daly (1969) se utiliza un conjunto de marcadores sin masa, que se desplazan por efecto de las velocidades locales. Éste método tiene la desventaja de que el espaciamiento entre las partículas afecta sensiblemente los resultados, por lo tanto, existen restricciones para predecir interfases que se mezclen o rompan (oleaje). Más aún, en tres dimensiones es casi imposible llevar cuenta de la conectividad de las partículas.

Copyright © Joaquin Morán, 2002

2

Las funciones de elevación propuestas por Hirt y Nichols, extienden la idea de los marcadores de interfase relacionando los puntos de referencia en la superficie con un plano fijo. La localización de la interfase queda entonces descrita como la distancia al plano de referencia. El método de ajuste de nivel (level-set)3 4, utiliza una función que se calcula para todo el dominio computacional, y cuyo valor es igual a la distancia más corta entre el punto y la interfase. La interfase es definida por las celdas en donde la función, conocida como “función de nivel” tiene un valor igual a cero. Los métodos de ajuste de malla5, adaptan el contorno de la misma a la interfase en cada paso de tiempo. Como ventajas, ofrece la reducción de los datos a ser almacenados (no hay necesidad de marcadores para la interfase), aseguran una buena definición de la interfase y evita considerar celdas parcialmente llenas. Sin embargo, estos métodos están limitados a superficies que no sufran grandes deformaciones, pues ocasionan distorsiones sustanciales de la malla. Otra desventaja es que para cada paso de tiempo es necesario regenerar la malla, lo cual trae como consecuencia complicaciones de tipo geométrico. Los métodos de captura de interfase o monitoreo de volumen6, comenzaron a desarrollarse a partir del modelo MAC (Marker And Cell) propuesto por Harlow y Welch. Este método propone esparcir partículas sin masa sobre todo el volumen ocupado por el fluido con superficie libre. Una celda sin marcador se considera vacía. Cada celda marcada adyacente a una celda sin marcar, contiene una porción de la intefase, mientras que todas las otras celdas marcadas se consideran completamente llenas de un solo fluido. Daly (1967), extendió el método MAC a dos fluidos; en este caso, cada fluido tiene sus propias partículas marcadoras. Las celdas que presenten partículas de ambos fluidos contienen la interfase. DeBar (1970) desarrolló un método en el cual se calculaba la fracción de volumen de cada fase presente en cada una de las celdas de la malla. En el método VOF (Volume of Fluid) propuesto por Hirt y Nichols (1981), la fracción de volumen se representa mediante una función escalar con valores de 0 hasta 1 para distinguir entre las dos fases presentes. Un valor de 0 indica que la celda se encuentra totalmente llena de una de las fases, mientras que si la función escalar vale 1, la celda contiene el otro fluido. Un valor intermedio entre 0 y 1 indica la presencia de la interfase dentro del volumen de control de la malla. El método VOF consta de tres componentes7 a saber: un esquema para localizar la interfase o superficie, un algoritmo para monitorear su desplazamiento a través de la malla y una forma de imponer las condiciones de contorno en la interfase para cada paso de tiempo. Es importante que la programación del método VOF contenga estos tres ingredientes, pues de lo contrario se cometerán errores en la ubicación y reconstrucción de la interfase. La ventaja de utilizar las fracciones de volumen sobre el método MAC es que sólo se necesita determinar un valor para cada celda. Otro beneficio es que la fracción de volumen es una ecuación convectiva escalar como las otras ecuaciones de transporte, que se resuelve sobre toda la malla para propagar las fracciones de volumen. Durante los últimos años, los investigadores han propuesto varias técnicas para definir (entiéndase “dibujar” o “trazar”, diferente a “localizar”) la interfase utilizando el marco de la fracción de volumen. La mayoría de estas propuestas cae dentro de una de dos categorías: las técnicas de línea o la formulación donante-receptor (donor-acceptor). Las técnicas de línea, como el método SLIC (Simple Line Inteface Calculation) propuesto por Noh y Woodward en 1976, utilizan las fracciones de volumen de celdas vecinas para


3

trazar los perfiles de la interfase en las celdas que la contienen, en forma de líneas paralelas a los ejes coordenados de la malla. En el método de Youngs o también llamado PLIC (Piecewise Linear Interface Calculation) se ajusta la interfase dentro de cada volumen de control a una línea recta, que no tiene porqué estar alineada con los ejes coordenados, lo cual permite una mejor resolución y aproximación al contorno real de la superficie. Por otro lado, para corregir el valor de la fracción de volumen, los métodos de alto orden para el tratamiento de la convección, como el modelo propuesto por Jasak et al.8 en 1995, utiliza esquemas de séptimo a noveno orden para localizar la interfase dentro del volumen de control, evitando la difuminación de la superficie definida o “smearing” causada por la falsa difusión de los métodos de bajo orden. Esto se logra mediante los diagramas de variables normalizadas implementados por B.P. Leonard9 para resolver problemas de transporte escalar altamente convectivo que involucran discontinuidades pronunciadas y fuertes curvaturas de las líneas de corriente10. Es claro que debe existir un compromiso entre la falsa difusión de los esquemas de bajo orden y las oscilaciones producidas por esquemas de alto orden. Ubbink5, utiliza una combinación de VOF, limitadores y PLIC para la reconstrucción de la interfase en problemas en donde hay rompimientos y deformaciones pronunciadas. Otros autores como J. Ghidaglia11 utilizan una técnica diferente, basada en el cálculo de las fracciones de volumen de cada fase en la celda, e incluso en la determinación de la transferencia de masa entre las fases. La formulación de esta propuesta se basa en modelos Euler-Euler, a diferencia de los modelos Euler-Lagrange utilizados para el estudio de flujo multifásico disperso. Los trabajos de Ghidaglia se basan en la utilización de mallas no estructuradas, presentando además las complicaciones adicionales que trae como consecuencia la consideración de mezcla entre las fases. Sin embargo no hay un algoritmo para la reconstrucción de la interfase en cada paso de tiempo, por lo cual, adicional a los valores de las propiedades (velocidad, temperatura, presión, etc.) no es posible rastrear el movimiento de la interfase. Algoritmos del tipo Lattice – Boltzmann también se han implementado en la simulación de flujos multifásicos. En este caso, se discretiza y resuelve la ecuación de Boltzmann sobre arreglos reticulares, determinando la probabilidad de que una partícula se encuentre en determinada posición en un instante de tiempo dado. Finalmente, los algoritmos de “corrientes de volumen”18 de fluido, utilizan líneas de corriente que cruzan a través de las caras de las celdas de la malla, y es sobre éstas líneas que se realizan las integraciones para el cálculo de los flujos volumétricos que pasan a través de las caras de los volúmenes de control. 3. FORMULACIÓN DEL MODELO VOF Si el volumen se contrae hasta tener el tamaño de un elemento diferencial, la ecuación diferencial general que describe el flujo de fluidos se reduce a la forma conservativa:

(3.1)

SVDC QQFFt

⋅∇+=⋅∇−⋅∇+∂∂ϕ


4

Esta ecuación general de transporte, que puede representar un campo escalar, vectorial o tensorial, será utilizada para derivar el conjunto completo de ecuaciones para un sistema de dos fluidos.

3.1. Ecuaciones Gobernantes La ecuación de transporte para la conservación de la masa se deriva de sustituir ϕ = ρ (la masa por unidad de volumen) en la ecuación (3.1). Si se supone que no hay otras fuentes de masa como reacciones químicas y cambios de fase, la ecuación se reduce a:

(3.2) Esta relación, también conocida como la condición de continuidad, establece que la masa de un fluido dentro de un dominio cerrado puede solo cambiar a consecuencia de flujo a través de los límites o contornos (para el caso incompresible). La ecuación para la conservación de la cantidad de movimiento se obtiene mediante la sustitución de ϕ por ρu (cantidad de movimiento por unidad de volumen) en la ecuación (3.1). Se considerará en adelante que no hay difusión de cantidad de movimiento cuando el fluido se encuentre en reposo, por lo cual FD = 0. Las fuentes se definen mediante la adición de todas las fuerzas externas (por unidad de volumen) a la suma de todas las fuerzas internas. La única fuerza externa que se considerará actuando sobre el fluido es ρg, la fuerza debida a la gravedad, donde g es la aceleración gravitacional. Las fuerzas internas se cancelan por pares en cada punto dentro del volumen del fluido, y se manifiestan como esfuerzos en los contornos, en donde no existen fuerzas que se les opongan. El tensor de esfuerzos T para un fluido newtoniano en equilibrio termodinámico local, que no se considera expuesto a grandes rangos de temperatura y presión, se define como:

(3.3) donde P es la presión, μ es la viscosidad dinámica e I es el tensor unitario. Una carga interna que todavía no ha sido tomada en consideración es ƒo, la fuerza debida a la tensión superficial. La tensión superficial es una fuerza de tensión tangencial a la interfase que separa los dos fluidos, y trata de mantener las moléculas que se encuentran en la superficie libre en contacto con cada uno de ellos. Si los fluidos se encuentran en equilibrio, esta componente normal ƒo está mecánicamente balanceada con el salto de presión a través de la interfase, pues de otra forma, la interfase tendría un valor de aceleración distinto de cero. Es claro que este salto de presión depende del coeficiente de tensión superficial σ y de la curvatura de la interfase. Tomando estas últimas suposiciones y sustituyendo en la ecuación (3.1), nos queda que:

0=⋅∇+∂∂ u

tρρ

( )( )( )TuuuIPT ×∇+×∇+⋅∇+−= μμ32


5

(3.4) Las ecuaciones de movimiento se cierran mediante las relaciones constitutivas para la densidad y la viscosidad dinámica:

(3.5) en donde los subíndices 1 y 2 denotan los diferentes fluidos. La función indicadora o colorante α es definida de la siguiente forma:

(3.6) Por supuesto, α(x,0) corresponde a la distribución inicial de los fluidos. La definición anterior de α implica que sea una función escalón, y como consecuencia, la densidad en la ecuación (3.5) es continua, pero por tramos o trozos (piecewise). Con el objetivo de modelar los dos fluidos como un continuo, utilizando las ecuaciones (3.2) y (3.4), la densidad ρ debe ser continua y diferenciable sobre todo el dominio. Para el cálculo de la curvatura de la interfase, el requerimiento de que α sea una función suavizada es mucho más exigente, dado que debe ser diferenciada dos veces. La forma de resolver estos inconvenientes, es permitir que la función α tenga valores intermedios sobre la interfase entre los dos fluidos, y esta zona de transición debe ser de espesor diferencial δ. Por tanto, se tiene que:

(3.7) De nuevo, se observa que cada valor de α (0 y 1) se encuentra asociado a un fluido dado. Adicionalmente, los valores de α se propagan a través del dominio computacional según la ecuación:

(3.8) Las ecuaciones generales anteriormente mencionadas, describen el movimiento de los dos fluidos y de la interfase que los separa. Existen soluciones analíticas que satisfacen este conjunto de ecuaciones (en cuanto a condiciones de borde y valores iniciales), pero sólo para un número limitado de casos sencillos, así que debe recurrirse a resolverlas numéricamente. Sin embargo, tal y como se encuentran escritas no es posible realizar

( ) OfgTuutu

+=−×⋅∇+∂

∂ ρρρ

( )( ) 21

21

11

μααμμρααρρ

−+=−+=

( )⎩⎨⎧

=2 fluido del dentro t)(x, puntos los Para :01 fluido del dentro t)(x, puntos los Para :1

, txα

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<=

n transicióde área del dentro t)(x, Para :102 fluido del dentro t)(x, puntos los Para :01 fluido del dentro t)(x, puntos los Para :1

,

δαα tx

0=∇⋅+∂∂

= ααα utDt

D


6

esta operación debido a la discontinuidad del producto ρu. Por lo tanto, las ecuaciones deben ser reformuladas. La ecuación de continuidad (3.2) puede ser escrita de la siguiente forma (según Spalding, 1974):

(3.9) La ecuación (3.9) es llamada la forma “no conservativa” de la ecuación de conservación de la masa. Para sistemas de dos fluidos con relaciones de densidad altas, es mucho más sencillo resolver esta ecuación, pues u es continua en la interfase por definición (Richardson, 1989). En este trabajo, se supone que ambos fluidos son incompresibles, por lo tanto el lado derecho de la ecuación (3.9) es igual a cero. Esto puede ilustrarse sustituyendo la ecuación (3.5) en la (3.9), y luego se le aplica la ecuación (3.8) al resultado. Entonces,

(3.10) La condición de incompresibilidad (3.10) puede ser utilizada para rescribir la ecuación para α en forma conservativa, haciéndola adaptable a la discretización de volúmenes finitos, pues se sabe que ααα ∇⋅+⋅∇=⋅∇ uuu . El resultado obtenido es:

(3.11) También es posible utilizar la condición de incompresibilidad para reducir los términos del tensor de esfuerzos, calculado a partir de la ecuación (3.3). Esto simplifica la ecuación de cantidad de movimiento a la forma siguiente:

(3.12) En conclusión, las formas definitivas de las ecuaciones de transporte que deben resolverse simultáneamente son: la ecuación de continuidad para flujo incompresible (3.9), la ecuación de cantidad de movimiento (3.12) y la ecuación de transporte de α (3.8), junto a las relaciones de cierre para la densidad y la viscosidad dinámica dadas por la ecuación (3.5). El término que representa la tensión superficial no será tomado en consideración en este trabajo (ƒo= 0).

( )Dt

DDtDu

tu ρρ

ρρρ

ρln11

−=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇⋅+

∂∂−

=⋅∇⇒

( )( ) ( ) 01 21221 =

−−=+−

−=⋅∇

DtD

DtDu α

ρρρ

ρρραρ

0=⋅∇+∂∂ u

tαα

( ) ( ) ( ) ( )μρμρρ∇⋅×∇+++−∇=×∇⋅∇−×⋅∇+

∂∂ ufgPuuu

tu

O


7

4. MÉTODO DE YOUNGS Los métodos de tipo VOF registraron un avance importante hace más de una década como consecuencia del trabajo de Youngs24. Más que hacer coincidir la interfase con la dirección de los ejes coordenados, utilizó una aproximación lineal por trozos (piecewise). Cada línea de la interfase, definida mediante un punto de intersección y una pendiente, es trazada dentro de las celdas según el valor de la función indicadora C. La pendiente de la línea se determina a partir de la normal a la interfase (el gradiente de fracciones de volumen), y la intersección se calcula en base a la conservación de volumen. La normal a la interfase, a su vez, es el resultado de un algoritmo multidimensional que no depende de la dirección de los barridos. Este versátil método, formulado por Youngs para dos y tres dimensiones en mallas ortogonales, fue adoptado rápidamente en la resolución de modelos hidrodinámicos de flujo que presentaban interfases entre materiales (predominantemente flujos a altas velocidades). Actualmente, se ha extendido a mallas no estructuradas (2D y 3D) en los trabajos de Ubbink5, Rider16 y Kothe24. En este trabajo, nos referiremos al método de Youngs como PLIC (Piecewise Linear Interface Calculation) a partir de este punto. Una vez conocido el campo de la función colorante (a partir de ahora, simbolizada por C), se procede a delimitar la interfase entre los fluidos en cada paso de tiempo. Para tal fin, se calculan los flujos de C a través de las caras de cada celda utilizando un esquema aguas arriba de primer orden. Cada celda es re-visitada, y si contiene parte de la interfase (0 < Ci,j < 1), se determinan los flujos salientes de Youngs. Primeramente, se calculan los valores de β, el ángulo que forma la interfase en cada celda con el eje x (recuérdese que dentro de cada volumen, la interfase se representa mediante una recta). Existen varias formas de obtener los valores de β, pero en este trabajo se utilizará el gradiente de C para determinar una superficie normal de la cual β puede ser calculado directamente. La metodología utilizada para estimar la superficie normal, tiene una gran influencia en la precisión del esquema convectivo. Se utilizará la propuesta de Kothe24, por ofrecer los mejores resultados. Para una malla uniforme, se tiene que:

(4.1) Estas ecuaciones representan de alguna forma las derivadas de la función colorante C en las direcciones x y y respectivamente (∂C/∂x, ∂C/∂y). A partir de estos resultados, se determina el valor de β mediante la relación:

(4.2)

Si se define el ángulo θ como,

(4.3)

( )

( )1,11,1,11,11,1,1,

1,1,11,11,1,11,1,

221

221

−−−−++−+++

−−−+−−++++

−−−++=

−−−++=

jijijijijijiy

ji

jijijijijijix

ji

CCCCCCy

n

CCCCCCx

n

δ

δ

( )πβπβ ≤<→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= - arctan y

x

nn

( )20 tanarctan πθβδδθ ≤≤→⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yx


8

Entonces la interfase en la celda puede ser rotada de tal forma que θ se encuentre en el rango 0° ≤ θ ≤ 90°. Una vez que se ha llevado a cabo esta rotación, existen cuatro configuraciones posibles para la interfase, como se muestra en la Figura 1. Con el objeto de identificar cual de estas configuraciones (numeradas del I al IV) es la que realmente se presenta dentro de cada volumen, se aplica la metodología que aparece en la Figura 2. Una vez que ha sido determinado el caso, deben calcularse las cuatro fracciones laterales (en el caso bidimensional). Las fracciones laterales se definen como las longitudes normalizadas superior, derecha, izquierda e inferior de la celda que están en contacto directo con el fluido, y se representan como St, Sr, Sl y Sb respectivamente. Una vez conocidos estos valores, se procede a determinar los flujos volumétricos del fluido a través de cada una de las caras (Ft, Fr, Fl y Fb) lo cual puede hacerse geométricamente. Más que describir en detalle todas las posibilidades, la Tabla 1 muestra un resumen de los cálculos a ser realizados. Es importante hacer notar que las velocidades se toman como positivas para el modelo PLIC si salen del volumen de control; en caso contrario, se consideran negativas, y los flujos a través de las caras no son calculados en este último caso. Una vez determinados los flujos, debe procederse a corregir el valor de C que se calculó utilizando la ecuación de transporte convectivo. Esto se lleva a cabo sumando algebraicamente los flujos que salen a través de todas las caras (con lo cual obtenemos un flujo neto Fneto en el volumen) y recalculando la función colorante de la forma siguiente:

(4.4) En la ecuación anterior, Cnew representa el valor de C corregido, Cold es el valor calculado previamente, Fneto es el flujo neto saliendo a través de todas las caras y V es el volumen de la celda. Una vez obtenido el campo de valores de C corregidos, el contorno 0.5 de esta variable nos mostrará la localización de la interfase25. Sin embargo, la falsa difusión originada durante del transporte convectivo del escalar, puede traer como consecuencia que la interfase quede “difuminada” en tres o más celdas. Por lo tanto, adicional al modelo PLIC es necesario contar con un algoritmo que minimice el efecto de la falsa difusión en la localización y monitoreo del movimiento de la interfase. 5. ESQUEMA INTER-GAMMA Gaskell y Lau acotan el valor de la variable normalizada fφ~ basándose en el Diagrama de Variable Normalizada (NVD) propuesto por Leonard8, y llegan a las restricciones mostradas en la Figura 3. Puede verse que la escogencia de los métodos diferenciadores es más o menos libre para 0 < Cφ~ < 1. Es en este rango donde se determina realmente la conducta del método. El esquema propuesto tiene las siguientes premisas:

a. Para Cφ~ < 0, Cφ~ > 1 ⇒ Cφ~ = fφ~ , siguiendo el criterio NVD original. b. Para ½ < Cφ~ < 1 ⇒ fφ~ = 1, asegurando la conducta compresiva del esquema.

VFCC neto

oldnew −=


9

c. Para 0 < Cφ~ < ½ ⇒ CCf φφφ ~3~2~ 2 +−= Se espera que este esquema preserve el acotamiento de C y dé una resolución razonable del perfil de la interfase. El comportamiento esperado del esquema puede observarse en la Figura 4, y se explica en dos partes:

1. Con el objetivo de preservar el acotamiento, se introduce una cierta cantidad de difusión numérica. La experiencia con otros esquemas diferenciadores muestra que es inevitable. Naturalmente, esto difumina la resolución de la interfase.

2. Se utiliza un esquema aguas abajo (downwind) para obtener una reconstrucción

definida de la interfase. Para explicar de qué forma el esquema aguas abajo mejora la resolución del perfil de la interfase, veamos lo siguiente: el uso de esquemas aguas arriba (upwind) en el término convectivo de la ecuación (3.11), introduce el término α∇Γ⋅∇ , que es obviamente difusivo. Este término (puramente numérico) difuminará la solución como si existiese una cantidad de difusión “real” correspondiente a la difusión numérica Γ. Por otro lado, un esquema aguas abajo adicionaría un término similar, pero en este caso, la difusión será negativa. Esto quiere decir que el problema que se está resolviendo incluye efectivamente un término “antidifusivo”, que define o afila los perfiles de todos los gradientes que componen la solución. Debe recordarse que la difusión numérica negativa introducida por los esquemas aguas abajo no se “cancelará” con la difusión positiva producida por el esquema aguas arriba. Los resultados obtenidos por Jasak et al.8 muestran que aplicar los dos esquemas puede conducir a resultados satisfactorios. 6. RESULTADOS OBTENIDOS. 6.1. Caída y Colapso de Gota. Esta primera adaptación describe la caída de una gota y el colapso contra la superficie de una capa somera de líquido. En general, los problemas de gotas se estudian con la finalidad de establecer la influencia de la tensión superficial sobre otras propiedades. Aunque en este trabajo no se consideró la tensión superficial, éste ejemplo fue incluido con el objetivo de analizar el impacto ocasionado por la omisión del anteriormente mencionado efecto. La Figura 5 muestra las condiciones iniciales y dimensiones del problema. Todos los contornos son cerrados, es decir, no se permite salida de masa a través de ningún borde. Las magnitudes mostradas en la figura anterior se suponen compatibles (pertenecen al mismo sistema de unidades). Los fluidos contenidos en el dominio de cálculo tienen la misma viscosidad, pero la densidad del fluido de la gota y el fondo es cinco veces mayor a la del fluido que ocupa el espacio restante. Recuérdese que se trata de una situación de flujo incompresible. La malla se ha tomado de 40 x 40 celdas igualmente espaciadas, debido a que las pruebas con mallas más refinadas no mejoran de forma apreciable los resultados, además de que si se reducen excesivamente las dimensiones de los volúmenes de control, también deberán ajustarse los valores del paso


10

en el tiempo (Δt), lo cual puede incrementar de manera importante el costo computacional del algoritmo. En este ejemplo, se tomó un paso de tiempo de 0.05 basándose en el criterio de que el número de Courant no debe ser mayor a 0.3. En la Figura 6 se observa la malla computacional para el problema de la gota.

En la Figura 7 se observan los resultados arrojados por el programa para varios pasos de tiempo. El efecto de la tensión superficial faltante, impide que una vez desprendida la gota ésta adquiera la forma achatada característica y luego pase a ser totalmente esférica. Las corridas se llevaron a cabo para varias relaciones de viscosidad diferentes, y se llegó a la conclusión de que al aumentar la diferencia de viscosidad entre los fluidos, se hace más notorio el efecto de la falta del término de tensión superficial. Bajo estas condiciones, la gota ni siquiera presenta la forma redondeada característica, sino más bien una figura oblonga y alargada. La diferencia de densidades es otra de las limitantes en este experimento, ya que la mayoría de los trabajos en donde se presentan resultados para gotas con coalescencia y rompimiento, se utiliza el método MAC o el modelo VOF sólo para el cálculo de la fase líquida, y no se resuelven las ecuaciones para el fluido en torno a la gota. Por supuesto, si se consideran aire y agua como las dos sustancias a estudiar, la diferencia en las densidades puede llegar a ser de 1000 veces. En los trabajos de Ubbink, todos los casos presentados consideran diferencias de densidad de ésta magnitud entre los fluidos. Sin embargo, en este trabajo se resuelven las ecuaciones de conservación para ambas fases, y por lo tanto no pueden llegar a ser valores extremos, ya que esto afectaría la “discontinuidad de cantidad de movimiento” y traería como consecuencia velocidades locales extremadamente grandes. 6.2. Rotación de una Cavidad Cuadrada. Para este caso, se considerará una cavidad cuadrada cerrada que gira alrededor de un eje ubicado en su centro geométrico. El fluido más denso se encuentra en el fondo de la cavidad, mientras el otro fluido llena el espacio restante. La Figura 8 muestra las características geométricas y condiciones iniciales para este problema. En este caso, la forma de introducir la rotación consiste en que los términos de gravedad afecten el término fuente de las velocidades en las dos direcciones, según las siguientes relaciones:

(6.1) En las ecuaciones (6.1), t representa el tiempo transcurrido, calculado como el producto del valor del paso de tiempo por el No. de pasos transcurridos. Por otro lado, w es una constante que controla la velocidad de rotación de la cavidad, y debe ser ajustada a un valor bajo para observar el comportamiento de los fluidos de la mejor forma posible. La discretización del dominio computacional se realizó mediante la colocación de 40 volúmenes de control en cada dirección coordenada. La malla resultante se muestra en la Figura 9. En la Figura 10 se observan los resultados para el problema de la rotación de una cavidad cuadrada. El algoritmo VOF logra llevar a cabo exitosamente el seguimiento del frente de fluido, pero sin embargo se puede ver una pequeña cantidad del líquido más

( )( )wtgSwtgS

V

U

cossin

ρρ

−=−=


11

denso que queda adherida a la pared del recipiente que está “abandonando” por efecto de la rotación. Este efecto es análogo al fenómeno de “flotsam” o “jetsam”. A diferencia de las comunes burbujas o partículas que aparentemente quedan aisladas o abandonadas por el fluido, en este caso tenemos un filamento que queda adherido a la pared, para luego desaparecer a medida que la cavidad sigue dando vueltas. Al moverse hacia la tercera pared (270°), se presenta el mismo fenómeno. Estos efectos no deseados pueden reducirse si se incrementa el número de volúmenes de control, lo cual implica directamente una reducción del paso de tiempo, para evitar un valor alto del número de Courant. Existen casos23 en donde el costo computacional que se requiere para resolver un problema de esta naturaleza es demasiado alto (aproximadamente unas 5 o 6 horas para mallas de 60x60), sin tomar en consideración que será necesario también incrementar el número de pasos de tiempo. Este experimento tomó una hora y 22 minutos para 700 pasos de tiempo. 7. CONCLUSIONES

1. El modelo VOF combinado con el método de Youngs, permite predecir el comportamiento de la interfase en problemas de dos fluidos, mejorando la definición de la misma respecto al modelo VOF original propuesto por Hirt y Nichols, y con un costo computacional mucho menor.

2. En problemas dominados por el efecto de tensión superficial, el modelo muestra

un comportamiento cualitativamente aceptable, pero deben mantenerse relaciones de viscosidad por debajo de 5 para que los resultados no difieran mucho de los valores reales, por la condición de contorno faltante. Recuérdese que la tensión superficial es una condición de contorno que se especifica sobre la interfase.

3. Se reduce el efecto de flotsam o jetsam debido a la incorporación del método de

Youngs. En su lugar, en problemas donde el transporte de la función colorante cambia de dirección a lo largo del tiempo, se observa una “adhesión” temporal del fluido a las paredes (o condición de contorno con velocidad cero).

4. Los algoritmos súper-compresivos cumplen con su rol de limitadores de la

función colorante, y evitan que la falsa difusión avance rápidamente y conduzca a resultados erróneos.

5. De la forma como está planteado en este trabajo, el modelo VOF requiere de

reducir significativamente el paso de tiempo y aumentar la densidad de la malla para trabajar con relaciones de densidad mayores a 100 y relaciones de viscosidad mayores a 50, lo cual incrementa tremendamente el costo computacional del algoritmo.

6. El TDMA debe ser sustituido por otro método numérico que reduzca más aún los

requerimientos computacionales del modelo.


12

7. No parece existir un único método que permita resolver todos los problemas de

flujo bifásico. Lo más probable, es que la elección del modelo dependa de la naturaleza del problema.

8. REFERENCIAS

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13

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Figura 1. Posibles configuraciones de la interfase para el modelo PLIC.

Figura 2. Diagrama de flujo para determinar la configuración de la interfase.

Calcular nx y ny

Calcular β y θ

Si θ < π/4

Si C ≤ ½tanθ

Si C ≤ 1 -½tanθ

Si C ≤ 1 -½ctgθ

Si C ≤ ½ctgθ

CASO I

CASO I

CASO II

CASO III

CASO IV

CASO IV

SI

SI SI

SI SI

NO NO NO

NO NO

I II III IV

Figura 3. Criterio de acotamiento en el diagrama NVD.

Figura 4. Esquema Inter – Gamma en diagrama NVD.

Figura 5. Condiciones iniciales y dimensiones para el problema de la gota.

Figura 6. División del dominio en volúmenes de control y malla resultante.

0.3

0.1

1.0

0.3

1.0

ρ1

ρ2

Figura 7. Resultados del programa YOUNGS para la gota (varios pasos de tiempo)

t = 0 t = 30 t = 50

t = 70 t = 100 t = 115

t = 150 t = 200 t = 350

Figura 8. Condiciones iniciales y dimensiones para la cavidad en rotación.

Figura 9. División del dominio en volúmenes de control y malla resultante.

1.0

1.0

0.5

ρ1

ρ2

Figura 10. Resultados del programa YOUNGS para la rotación de una cavidad cuadrada.

t = 001 t = 100 t = 200

t = 300 t = 350 t = 400

t = 500 t = 600 t = 650

SIMULACIÓN NUMÉRICA DE FLUJO BIFÁSICO … · combina esquemas aguas arriba y aguas abajo con el...

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