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MODELADO, SIMULACIÓN Y SINTESIS DE PROCESOS

S. Benz, A. Santa Cruz, N. Scenna

Centro de Aplicaciones Informáticas en el Modelado de Ingeniería

UTN - Facultad Regional Rosario

2008

Curso de Postgrado de Actualización

Simulación

dinámica

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Conceptos básicos de la simulación digital de sistemas continuos

Distinguir un algoritmo de integración explícito de uno implícito

Distinguir un algoritmo de integración de paso fijo de uno de paso variable

Reconocer un sistema “stiff” y su problemática en tiempo de simulación

Sistemas DAEs implícitas. Reconocer un lazo algebraico y como tratarlo

Modelado de eventos en un programa de simulación continua.

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Aunque la naturaleza de los modelos matemáticos puede ser muy variada las ecuaciones que forman el modelo se pueden catalogar:ODEs (ordinary differential equations) o EDOs(ecuaciones diferenciales ordinarias)

Ecuaciones explícitas y causales, de la forma: y’ = f(x, y, t) x = g(y, t)

DAEs (differential algebraic equations)Ecuaciones implícitas y no causales, de la forma:

f(y’, x, y, t) = 0 g(x,y,t) = 0

Métodos numéricos de resolución de ODEs: Métodos explícitosMétodos implícitosMétodos de predicción-correcciónMejoras en la estimación: extrapolaciónMétodos de paso variableEstabilidad y Errores Modelado de discontinuidades: eventos

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Los simuladores modulares secuenciales disponen de una lógica central que permite realizar los pasos necesarios a los efectos de articular los modelos parciales (módulos) para encadenarlos secuencialmente para resolver el problema total (particionado, rasgado y ordenamiento)

OBJETIVO

Minimizar el número de iteraciones para resolver el sistema de ecuaciones que representa la planta completa.

Se logra así mayor

FLEXIBILIDAD

La filosofía de simulación que enfoca el problema tomando un sistema de ecuaciones único, representando a toda la planta es llamada global u orientada a ecuaciones.

En simulación dinámica, se debe utilizar este enfoque al resolver las ecuaciones diferenciales involucradas para modelar la planta.

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Ecs. Diferenciales

Asociadas a la Planta

Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales, a partir de las condiciones iniciales, deben obtenerse las variables diferenciales (miembro izquierdo) en el instante posterior, lo cual implica la resolución de un sistema de ecuaciones algebraico. Esto además implica, que el miembro derecho sea calculable en función de los datos disponibles.

Vinculación totalmente diferente

Problema

Calcular, para cada instante, el miembro derecho a partir de los valores de las variables diferenciales (las que figuran en el miembro izquierdo) y demás datos

Para problemas “implícitos”esto implica resolver iterativamente un Sist. de Ecs. algebraico en cada paso de integración

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Analizaremos el problema de construir el modelo asociado a diversos equipos que existen por lo general en los simuladores

comerciales

Se plantearán Modelos Dinámicos de equipos sencillos y se discutirá su

estrategia de resolución

Los problemas de simulación dinámica en los cuales se adopta la hipótesis de parámetros concentrados involucran la solución de un sistema de ecuaciones dif. ordinarias.

Exploraremos metodologías para lograr modelos de simulación dinámica de equipos sencillos.

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SIMULACIÓN DINÁMICA DE

EQUIPOS SENCILLOS DE

PROCESO

Tanque abierto con flujo de salida gravitatorio

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Hipótesis asumida:

Sistema adiabático

Densidad constante, igual para ambas corrientes de

entrada, y por lo tanto para la corriente de salida.

No hay reacción química

Se desprecia la evaporación

Balance. de Materia:

E1 y E2 caudales volumétricos. S caudal volumétrico de salida AT el área transversal del tanque, supuesto

cilíndrico

( ) 1 2TdA h t E E Sdt

= + − (1)

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Dado que la densidad del líquido es constante se han divido ambos miembros por la misma a los efectos de plantear la acumulación volumétrica de fluido.El caudal de salida depende de la altura, a partir de la ec. de Bernoulli. La velocidad de salida la expresamos como:

( ) ( )S sS t A v t=

( ) 2 ( )Sv t gh t=Donde g es la aceleración de la gravedad, h(t) la altura del líquido por encima del orificio de salida y AS , es el área del orificio de salida.

Dadas las expresiones para el cálculo del miembro derecho en función de la variable diferencial h(t), la solución de la Ecuación (1) es directa por cualquier método explícito, por ejemplo Euler, luego de especificar la condición inicial h = h0 en t = t0 .

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Tanque abierto con descarga regulada por una válvula

A continuación se supone que el tanque anterior ahora descarga por gravedad, pero regulado por la acción de una válvula, según se indica en la figura.

Sistema adiabático

La densidad es constante

Evaporación despreciable

No hay reacción química

Hipótesis asumida:

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Balance de materia:

( )TdA h t E Sdt

= − (2)

donde E y S son el caudal volumétrico de entrada y salida, respectivamente y AT el área de la base del tanque (supuesta constante con la altura del mismo).

Si suponemos que E es constante y conocido, sólo resta calcular S(t) y h(t).

Para resolver este sistema, al igual que el caso anterior, se debe asumir una condición inicial: t = to, h = h(to).

Si el estado inicial es estacionario, la altura h(to) es tal que genera una corriente de salida S(to) igual a la entrada E. De lo contrario, la altura y caudal de salida evolucionarán hasta el nuevo estado estacionario.

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Podemos suponer una relación genérica del flujo y la constante característica de la válvula, Cv, según la expresión generalizada:

( )v v f SS C p C P P= ∆ = − (3)

( )vS C f h t=

Dado que el tanque se supone abierto, y descarga a la atmósfera, la caída de presión entre ambos puntos es simplemente la altura h de líquido. Por lo tanto:

(4)

donde f es un factor dimensional que homogeneiza la ecuación.

dada la condición inicial, instante a instante, se puede determinar S(t), y por lo tanto h(t), para el intervalo de tiempo dado. En efecto, dado un valor h(t0) y aplicando el método de Euler por ejemplo, pueden calcularse la altura h(t) y el caudal S(t) para el intervalo de tiempo especificado, a partir de la Ecuación Diferencial (2) y la ecuación algebraica (4).

Nótese que puede complicarse el problema si la salida no está a la altura h = 0. Para ser genéricos, deberíamos asumir un número general de entradas y salidas con sus respectivas alturas. Además del balance de energía, si cambian las hipótesis.

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Tanque abierto

Ahora suponemos un tanque al cual se lo alimenta desde la base, según el esquema, indicado en la Figura. Asumimos conocidas la presión de entrada, Pe, y la presión de salida, Ps, supuestas constantes.

El conjunto de hipótesis es similar al caso anterior.

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Balance de materia:

( )TdA h t E Sdt

= −

E y S pueden calcularse según:

(5)

( )1v e fE C f P P= −

( )2v f SS C f P P= −

( )0F lP P g h tρ= +

(6)

(7)

(8)

Conocido h(t) en cualquier instante podemos calcular Pf, y por lo tanto S(t).

Luego, a partir de la Ecuación diferencial (5) puede calcularse h(t) y S(t).

Asumimos que se utiliza un método explícito para resolver la ecuación diferencial que describe el comportamiento del sistema, que para casos sencillos como estos resulta lo más adecuado.

con Pf presión en el fondo del tanque, ρldensidad del fluido y g aceleración gravitatoria.

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Tanque cerrado.

Hipótesis:

Sistema adiabático

La densidad es constante

Evaporación despreciable

No hay reacción químicaDatos: corriente E, igual temperatura en el tanque, corriente E y S.

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Se plantean 2 opciones:

Equilibrio

No equilibrio, con una masa de gas no despreciable, y por lo tanto, la presión surge de aplicar una ecuación de estado (ya sea la ley de los gases ideales o bien otra más realista)

Equilibrio

Debe evaluarse la presión de vapor. Por equilibrio, la temperatura del vapor, es igual a la del líquido

Por lo tanto, dado la temperatura del líquido, la presión de vapor de equilibrio puede calcularse utilizando cualquiera de las correlaciones disponibles, por ejemplo, Antoine. Pvs = f(T),

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Una vez disponible la presión en la fase vapor, los cálculos a realizar son equivalentes al ejemplo anterior. En efecto, sólo nos resta evaluar, para cada instante, dada la presión en el fondo del tanque, los caudales correspondientes.

Holdup de vapor no despreciable

GV

G

n R TPV

=

( )G T TV V A h t= −

La presiLa presióón en el cuerpo de gas se puede calcular n en el cuerpo de gas se puede calcular dado que conocemos la temperatura y el volumendado que conocemos la temperatura y el volumen

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Determinado Pv, a partir de los moles iniciales de gas en el recipiente (que se asume permanecen constantes en el tiempo) todos los cálculos que deben realizarse son similares a los ya vistos en los ejemplos anteriores.

Evaporacion en tanque cerrado.(con camisa de calefaccion)

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Hipótesis:∆P en líquido a través de la válvula no

genera cambio de propiedades apreciables en el mismo.Líquido perfectamente mezclado.densidad de líquido constanteSin pérdidas calóricas a través de las paredes del recipiente y/o cañerías.Se supone un control perfecto de la presión de vapor de calefacción, Ps, a la cual le corresponde la temperatura Ts.Se supone que no existe reacción química.

Asumimos equilibrio térmico entre el líquido y el vapor. A partir de estas hipótesis se plantean los balances de energía y materia:

Balance de energía:

( )l ld M HL Q EHL VHVdt

ρ= + − (9)

donde Ml es el holdup de líquido, HL la entalpía específica del líquido, E caudal volumétrico V caudal másico de vapor y HV la entalpía específica del vapor

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Realizando la derivada del producto en la ec. 9, operando algebraicamente y considerando la dHL/dtigual a Cp*dT/dt nos queda:

( )( )( )l T

Q V HV HLdT Q V HV HLdt CpML Cp Ah tρ

− −− −= = (13)

( )l T ldA h t E Vdt

ρ ρ= −

Consideramos despreciable el holdup de vapor

Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales, deben utilizarse las siguientes relaciones:

( )h S LQ U A T T= −Ts es la temperatura de condensación del vapor y TL la temperatura del líquido.

Balance de MateriaBalance de Materia

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La masa de líquido retenida en cada tiempo resulta:

( )v e fE C f P P= −

( )l l TM A h tρ=

El caudal de entrada E puede calcularse como en los ejemplos anteriores; por ej., conocida la presión en el fondo del tanque, Pf, tenemos:

( )f v lP P g h tρ= +

El caudal másico de vapor que abandona el tanque (V) puede calcularse a través de la funcionalidad que vincula a éste con la caída de presión a través de la válvula según el tipo especificado, por ejemplo:

( )0vv

v

P PV C

ρ−

=

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Reactor tanque agitado con intercambio de calor.

Hipótesis:Reactor tanque ideal mezcla perfecta.

Densidad del líquido constante.

No existen pérdidas calóricas a través de las paredes.

Líquido de enfriamiento perfectamente mezclado en camisa.

Área y coeficientes de transferencia de calor constantes.

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Solo estamos interesados en seguir la Solo estamos interesados en seguir la evolucievolucióón del componente A, que debido n del componente A, que debido a la reaccia la reaccióón se transforma en productos n se transforma en productos volvoláátiles que se pierden a la atmtiles que se pierden a la atmóósfera. La sfera. La reaccireaccióón es elemental, con cinn es elemental, con cinéética tica proporcional a la concentraciproporcional a la concentracióón de A n de A

Balance de materiald V E S

d t= −

donde Vl es el volumen de líquido retenido en el reactor.Balance de materia para el reactante A:

( )l S e S l Sd VCa ECa S Ca V k Cadt

= − −

donde k es la constante cinética, función de la temperatura de líquido según:

0 exp r

L

Hk kR T

−∆=

donde ∆Hr representa el calor de reacción.

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Balance de energía

( ) ( )l l l e l S l s rd VHLs EHL SHL V kCa H Qdt

ρ ρ ρ= − − ∆ −

conocemos las presiones de contorno, por lo cual son calculables los caudales E y S, a partir de los dispositivos que correspondan, según ya vimos. Ae se supone conocida.

Para el cálculo de la concentración Cas debemos conocer la temperatura del líquido (ya que k es función de la misma). Ésta surge de la ecuación diferencial del balance de energía.

( )h L S h mQ U A T Ta U A T= − = ∆

El calor transferido entre camisa y reactor se El calor transferido entre camisa y reactor se calcula segcalcula segúún:n:

En esta expresión no conocemos Tas, por lo que deben agregarse nuevas relaciones o nuevas hipótesis.

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( ) ( ) ( )a a as h L S a e ae aSdV HL U A T Ta A HL HLdt

ρ ρ= − + −

Planteando la dinámica de la entalpía retenida en la masade agua de enfriamiento, se tiene:

donde Hlae es la entalpía del agua en la entrada, Hlasla entalpía en la salida, Ae es el flujo volumétrico y ρa la densidad del agua (supuesta constante).

Se supone holdup de agua constante y mezcla perfecta en la camisa.

Tanques en serie.

Suponemos que Pe y P4 son conocidas y constantes.

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Balance de materia para cada tanque:

Nuevamente, dados los valores de h1, h2 y h3 se deberán calcular todas las demás variables.

( )1 1 1 1TdA h t E Sdt

= −

( )2 2 1 2TdA h t S Sdt

= −

( )3 3 2 3TdA h t S Sdt

= −

( )11 1v e fE C f P P= −

; 1 , 2, 3i if v l iP P g h iρ= + =

( )1 11 2v f fS C f P P= −

( )3 22 3v f fS C f P P= −

( )4 33 4v f fS C f P P= −

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Faltan las ecuaciones que describan el comportamiento del cuerpo de vapor, por ejemplo asumiendo equilibrio, presencia de inertes, etc.

Conclusiones:

El número de ecuaciones se incrementa rápidamente, al aumentar el número de elementos del arreglo.

para sistemas muy grandes el tiempo de cómputo es importante: Minimizar el esfuerzo de cálculo al resolver el miembro derecho resulta imperioso.

Controladores convencionales

P I DAC A A A= + +

Controladores proporcionales, Controladores proporcionales, derivativos e integrales derivativos e integrales

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El proporcional, se basa en el simple principio de actuar mediante una señal enviada a la válvula de control (de tal manera que la misma actúe operando sobre el caudal) en una magnitud proporcional al error (diferencia entre el valor deseado set point y el actual o real). la acción de control proporcional, Acp, resulta:

donde ε = (h (t) - h set) y Kp es la constante de acción proporcional del controlador (dato). A partir del valor de Acp y dado el tipo de válvula de control (lineal, igual porcentaje, etc.), se dispondrá de la ecuación que en función de Acp y la caída de presión entre el sistema y la descarga, nos brinde el caudal líquido de salida, L.

cp pA K ε=

Si en cambio utilizamos un controlador derivativo, cuya acción del controlador es la derivada del error en el instante t. La expresión del controlador derivativo resulta de la siguiente expresión:

Si se utiliza un controlador integral o una combinación que contenga una parte integral, aparece la necesidad de incorporar una nueva ecuación diferencial. La ec. que liga la acción de control con el error en este caso responde a la forma:

( )cd d

d tA K

dtε

=

( ) dttKAt

ICI ∫=0

ε

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Si derivamos ambos miembros respecto del tiempo se obtiene:

De esta forma, se evita resolver ecuaciones integro-diferenciales, pero se agrega una ecuación diferencial más al problema, por cada controlador con acción integral.

Los controladores con parte proporcional, en general agregan la complejidad de introducir nuevas derivadas en el miembro derecho, lo cual implica la utilización de métodos numéricos implícitos

( )CIdA tdt

ε=

Modelado dinámico.Tanque con nivel controlado.

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Hipótesis:Las presiones P0 y Ps son conocidas y constantes.

Sin reacción química

Sistema isotérmico

Densidad constante

Controlador PID

Datos :A en flujo másicoHT, altura del tanqueAT, área del tanqueConductividad de la válvula

KP, KI y KD, constantes proporcionales, integrales y diferenciales del controlador

S expresado en flujo másico

características de la válvula

hSP es el set point de la altura, esto es el valor deseado de la misma

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Sistema de ecuaciones:

Balance de materia: dM A Sdt

= −

d V A Sd t

ρ = −

( )T

dh tA A S

dtρ = −

( ) ( )T

d h t A Sd t Aρ

−=

Válvula:AC F SP PS Cvα

ρ−

=

( )( )SPh t hε = −

( )0FP P g h tρ= +

P I DAC A A A= + +

( )( )P P P SPA K K h t hε= = −

( )( )0

tI

I I I I SPdAA K d K K h t hdt

ε ε= = = −∫

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( )D D D

dh tdA K Kdt dtε

= =

Luego, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

( ) ( )

( )( )

( )

0

II SP

AC S

T

dA tK h t h

dt

P g h t PA Cv

dh tdt A

ρα

ρ

ρ

= −

+ −−

=

Algoritmo de resoluciónSupondremos las condiciones iniciales conocidas.

No obstante, en este caso la presencia de una derivada en el miembro derecho nos obliga a la utilización de un método implícito, para resolver numéricamente la ecuación diferencial.

Esto implica, instante a instante, durante la integración, utilizar un método iterativo.

En este caso, en general, al discretizar las ecuaciones diferenciales, se plantea el problema de resolver un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales, instante a instante, que debe resolverse en forma iterativa.

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MODELO PARA LA SIMULACIÓN DINÁMICA DE UN

SEPARADOR FLASHHipótesis:

El vapor y el líquido en equilibrio

Existe solo una fase líquida y otra vapor.

No existen reacciones químicas.

Sistema adiabático.

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Pv es la presión en el cuerpo de vapor, h es la altura líquido, Pset y hset los valores deseados o set points, P1 y P2 las presiones de descarga (conocidas y constantes).

V caudal de vapor y L caudal de líquido, x e y composiciones de líquido y vapor

recurrimos a los balances de materia y energía, pero ahora considerando el término de acumulación

Balance de materia por componente (i = 1,.., NC):

ii i i

dM F z V y L xdt

= − −

Balance de energía:( )d HE

F HF V HV L HLdt

= − −

donde los Mi representan el holdup de materia por componente en la fase líquida y HE la acumulación de contenido energético total, respectivamente.

57

58

35

Para resolver el miembro derecho debemos calcular los contenidos entálpicos y las constantes de equilibrio F:(T,P, xi,yi) .

Debemos conocer los valores de los caudales de líquido y vapor

Suponemos que conocemos el caudal de entrada, F, que se supone constante, al igual que el vector de composiciones, z, la temperatura y la presión de la alimentación.

Las fracciones molares se calculan, por definición, según la siguiente expresión:

1

ii N C

ii

MxM

=

=

∑

Relación de equilibrio

( ), , ,i i iy K x y T P x=

Para realizar el cálculo, debemos conocer T, P, ya las xi son ahora conocidas.

Dado que es variable diferencial, conocemos en todo instante el contenido HL. A partir de HE (entalpía específica HL por holduplíquido Ml) obtenemos HL

( ), , ,HL HL x T P=

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De la entalpía del líquido, podemos calcular la temperatura, si tenemos la presión.

La presión de vapor la calculamos a partir del equilibrio, por la correlación de Antoine por ejemplo, pero necesitamos la Temperatura del líquido.

Debemos conocer los valores de los caudales molares del vapor y líquido (V y L, respectivamente).

Las relaciones que necesitamos en este caso surgen de relacionar la caída de presión con el caudal. Conocidas las presiones de a las cuales descarga nuestro sistema y la presión de operación.

Tenemos controladores que regulan el caudal de salida, L, en función del nivel y la presión Pvdel cuerpo vapor en función del caudal de salida de vapor V

La introducción de tales ecuaciones es similar a lo realizado en el ejemplo del tanque controlado. Dependerá del tipo y los parámetros de los controladores seleccionados.

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Resumiendo, tendremos ecuaciones en un formato general:

Despreciamos la columna líquida para la presión en el fondo del tanque.

( )( ), , , lgv set vV f P P P válvula a oritmodecontrol= −

( )( ), , , lgset vL f h h P válvula a oritmodecontrol= −