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PAGE 6Simulacin de Sistemas

1. Modelado de la AleatoriedadVARIABLE ALEATORIADado un experimento aleatorio cualquiera cuyos sucesos elementales posibles pueden identificarse fcilmente mediante un nmero real, se denomina Variable Aleatoria, X, al conjunto de estos nmeros.

Tambin se le llama variable de azar o variable estocstica, y significa cantidad que puede tomar varios valores imprevistos.

Ejemplo 1.- Sea el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire. Los posibles resultados del experimento (sucesos elementales) son los siguientes: , , , , y . Resulta sencillo asociar a cada suceso elemental el nmero correspondiente a la cara del dado que haya salido. Por tanto, la variable aleatoria, X, ser:

X= 1,2,3,4,5,6

Por el contrario, si dado un experimento aleatorio cualquiera no resulta inmediata la asociacin de un nmero para cada uno de los posibles sucesos elementales, se establece una correspondencia entre el conjunto de los posibles sucesos elementales y el conjunto de los nmeros reales, de manera que a cada suceso elemental le corresponda un nmero real arbitrario y que a sucesos elementales distintos les correspondan nmeros distintos.

Se denomina variable aleatoria al conjunto imagen de esta correspondencia, es decir, al conjunto de los nmeros reales que se hayan hecho corresponder a cada uno de los sucesos elementales.

Ejemplo 2.- Sea el experimento aleatorio de averiguar la marca de tabaco que preferir un individuo entre las posibles marcas: , , .

En este caso la asociacin de un nmero para cada suceso elemental posible del experimento no es inmediata. En consecuencia, se establece una correspondencia entre el conjunto de los sucesos elementales posibles y el conjunto de los nmeros reales, del modo siguiente:

Al suceso elemental se le hace corresponder el nmero 1; al suceso elemental se le hace corresponder el nmero 2; al suceso elemental se le hace corresponder el nmero 3.

La variable aleatoria X ser: X = (1,2,3).

CLASIFICACIN DE LAS VARIABLES ALEATORIASLas variables aleatorias pueden ser continuas o discontinuas. En este ltimo caso se denomina tambin discretas.

a) VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.-Si X es una Variable aleatoria continua, puede tomar cualquier valor de un intervalo continuo o dentro de un campo de variacin dado. Las probabilidades de que ocurra un valor dado x estn dadas por una funcin de densidad de probabilidad de que X quede entre a y b. El rea total bajo la curva es 1.

Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en medir la altura que es capaz de saltar cada miembro de un conjunto de personas. En este experimento, cada miembro del conjunto observado da lugar a un nmero, por lo que se toma como variable aleatoria el conjunto de las medidas de las alturas que son capaces de saltar las distintas personas.

En el supuesto que una persona hubiera saltado 105 cm y otra 106 cm, no existira ninguna razn para que otra no hubiera saltado un valor intermedio cualquiera entre las dos anteriores, como 105.5 cm. Se trata de una variable aleatoria continua.

b) VARIABLE ALEATORIA DISCONTINUA O DISCRETA.Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,..pn., Es decir que slo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variacin dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 ++ pn=1.

En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x)se entender la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una funcin matemtica que asigne una probabilidad a cada realizacin x de la variable aleatoria X. Esta funcin recibe el nombre de funcin de la probabilidad.Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos elementales del experimento, , , no vienen representados por los nmeros, por lo que casa suceso elemental se le hace corresponder un nmero real. As al suceso elemental se le hace corresponder el nmero 1 y al suceso elemental se le hace corresponder el nmero 2.

La variable aleatoria ser: X = (1,2).

Se trata de una variable aleatoria discontinua o discreta, ya que nicamente puede adoptar los valores 1 y 2

Distribuciones de probabilidad

Cuando las variables aleatorias toman diversos valores, la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribucin de probabilidad, la cual es la distribucin de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria.

Las distribuciones de probabilidad pueden representarse a travs de una tabla, una grfica o una frmula, en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denomina funcin de probabilidad.

Las distribuciones de probabilidad comunes en simulacin son: Bernoulli, Binomial, Poisson, Geomtrica, Hipergeomtrica, Exponencial, Normal, Triangular, Gamma, Erlang, Lognormal, Weibull.

A continuacin se presenta 4 casos de distribucin de frecuencias:

Caso 1.

Sea x una variable aleatoria que representa los intervalos de llegada (en minutos) de vehculos a una estacin de gasolina. Se ha recopilado las siguientes observaciones correspondientes a los primeros 20 autobuses:

2 5 1 4 2 1 3 7 9 1 3 1 3 8 2 4 5 2 6 1

Se observa que el rango de los datos est entre 0 y 9, por lo tanto se puede establecer 9 clases. La distribucin de frecuencias de cada clase para esta muestra de datos sera la siguiente:

Se observa que la grfica se aproxima a una distribucin exponencial.

Nota: Si el rango de los datos es muy grande, por ejemplo entre 0 y 100, se aconseja establecer intervalos de clase.

Caso 2.

Sea x una variable aleatoria que representa la demanda en miles de unidades de un producto. Se ha obtenido los siguientes 20 datos:

3 0 5 1 9 5 2 6 3 4 7 4 10 5 6 4 6 7 5 8

La distribucin de frecuencias respectiva es la siguiente:

Se observa que la grfica se aproxima a una distribucin normal.

Caso 3.

Sea x una variable aleatoria con distribucin uniforme que representa el nmero de asientos vacos que trae un autobs al llegar a un paradero. Se ha obtenido los siguientes datos para la llegada de 20 autobuses:

2 7 1 9 6 2 3 7 4 10 4 5 1 9 6 3 8 5 8 10

La distribucin de frecuencias es la siguiente:

Se observa que la grfica corresponde a una distribucin uniforme.

Caso 4.

Sea x una variable aleatoria que representa la demanda diaria de un artculo. Se ha obtenido los siguientes datos para los primeros 20 das:

7 1 5 4 7 2 3 5 6 7 8 5 7 3 5 7 9 5 3 4

Se observa que la grfica no se aproxima a ninguna distribucin matemtica, por lo tanto se asume que es una distribucin emprica.

Por lo tanto, la grfica de distribucin de frecuencias relativas nos da una idea de la expresin matemtica que representar a una variable aleatoria.

En un modelo de simulacin es importante conocer las distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias, ya que a travs de ellas se reproducirn los valores requeridos para imitar el funcionamiento del sistema en estudio. Para reproducir dichos valores se requiere nmeros aleatorios, por lo tanto hay que generar primeramente dichos nmeros.

NMEROS ALEATORIOS

Definicin:

Son nmeros que deben de cumplir los requisitos de espacio equiprobable, es decir, que todo elemento tenga la misma probabilidad de ser elegido y que la eleccin de uno no dependa de la eleccin del otro.

Para generar nmeros aleatorios hay que recurrir a los nmeros pseudoaleatorios por que fundamentalmente las sucesiones de nmeros pseudoaleatorios son ms rpidas de generar que las de nmeros aleatorios.

Nmeros Pseudolaeatorios.- Son unos nmeros generados por medio de una funcin (determinista, no aleatoria) y que aparentan ser aleatorios.

Criterios para que las secuencias de nmeros pseudoaleatorios sean aceptables:

1. Que sean uniformemente distribuidas

2. Que sean estadsticamente independientes

3. Que sean reproducibles

4. Que sean no cclicas o no peridicas

5. Que el mtodo con el cual se genera sea capaz de generar nmeros aleatorios a altas velocidades

6. Que sea capaz de ocupar el mnimo espacio en la memoria del computador

Las tcnicas para generar nmeros aleatorios son:

1) Utilizando TABLAS DE NUMEROS ALEATORIOS: APNDICE B

2) Mediante FUNCIONES ESPECIFICAS

2.1 En EXCEL: Aleatorio( )

2.2 En PASCAL: RANDOM

2.3 En Visual Basic: RND( )

2.4 etc.

3) METODO DE CONGRUENCIA LINEAL: Genera nmeros uniformemente distribuidos y estadsticamente independientes.

Xi+1 = (aXi + c) Mod m

Donde:

Para i=0, entonces Xo es la semilla, a es el multiplicador, c el incremento constante y m el mdulo.

Ejemplo: para Xo=35, a=13, c=65 y m=100

X1= (13*35+65) mod 100 = 20

X2 = (13*20+65) mod 100 = 25

X3 = (13*25+65) mod 100 = 90

Etc.

4) OTROS

Una serie de nmeros pseudoaleatorios requieren ser validados mediante pruebas de uniformidad y aleatoriedad. Los nmeros de una serie generada y validada servirn finalmente para generar valores para nuestras variables aleatorias.

GENERACIN DE VALORES DE VARIABLES ALEATORIAS

1. VARIABLES DISCRETAS

Distribucin Emprica

Distribucin Geomtrica2. VARIABLES CONTINUAS

Distribucin Exponencial

Distribucin Uniforme

Distribucin Normal

ETC.

1. Generacin de Valores de Variables Aleatorias con: DISTRIBUCIN EXPONENCIALSea t una variable aleatoria que representa los intervalos de llegada (en minutos) de vehculos a una estacin de gasolina a la cual llegan a una tasa (, por lo tanto para simular el sistema necesitamos generar valores para la variable aleatoria t, la cual sigue una distribucin exponencial.

El procedimiento es el siguiente:

1( Generar un nmero aleatorio r entre 0 y 1

2( Usar el valor r para resolver la siguiente ecuacin para t:

F(t) = r

1 - e-(t = r

e-(t = 1 r

( t = -*ln(1 r)

Por lo tanto para el ejemplo especfico que implica los intervalos entre llegadas de vehculos a la estacin de gasolina, en el que (= 12 vehculos por hora (0.2 vehculos por minuto) y se genera un nmero aleatorio uniforme de, digamos, r = 0.3329, entonces el prximo vehculo llegar dentro de:

t = -*ln(1-0.3329)= -5*ln(0.6671)= -5*(-0.4048) = 2.024 minutos

2. Generacin de Valores de Variables Aleatorias con: DISTRIBUCIN NORMALSuponga que necesita generar la demanda D de leche que sigue una distribucin normal con una media de 750 galones al da y una desviacin estndar de 100 galones. Para hacer eso con una variable aleatoria normalmente distribuda, con una media de ( y una desviacin estndar de (, haga lo siguiente:

1( Genere un nmero aleatorio uniforme r entre 0 y 1.

2( Use este valor r para encontrar un valor de t para el que:

F(t) = P(D ( t) = r

Es decir, encontrar el valor de t para que el rea bajo la distribucin normal a la izquierda de t, en la figura siguiente, es t. Para hacer esto use la tabla estndar-normal del apndice A para encontrar el valor asociado; despus calcule t, de la siguiente manera:

z =

As: t = ( + ((*z)

Para el ejemplo especfico de la leche en el que r= 0.1515, (= 750 y ( = 100, el valor z del apndice A es aproximadamente -1.03, y as:

z (0.1515) = -1.03

( t = 750 + 100*(-1.03) = 647 galones

El uso de nmeros aleatorios para generar entradas probabilsticas a menudo se denomina simulacin de MonteCarlo. El mtodo obtuvo su nombre durante la Segunda Guerra Mundial cuando los cientficos usaron nmeros aleatorios para estimar, en un sentido estadstico, las soluciones a problemas matemticos complejos.

Los mtodos descritos aqu no son los ms eficientes disponibles, pero se usan por que son conceptualmente fciles de comprender. Ahora ver cmo se usan estas ideas en el diseo de una simulacin por computadora.

3. Generacin de Valores de Variables Aleatorias con: DISTRIBUCIN UNIFORMEUno de los mtodos ms comnmente utilizados para generar nmeros aleatorios que siguen una distribucin conocida se basa en usar nmeros aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1. Como se ilustra en la figura siguiente, tales nmeros tienen la siguiente funcin de densidad, f(x), y la funcin de distribucin acumulativa, F(x):

f(x)=1

F(x)=x Por ejemplo si se quiere generar el nmero de asientos vacos que trae un autobs que llega a un paradero, los cuales estn uniformemente distribudos entre 5 y 15 asientos, y se tiene un nmero aleatorio r = 0.7, se tiene:

min = 5

max = 15

r = 0.7

x = 5 + (15 - 5)* r

x = 5 + 10* r = 5 + 10* 0.7 = 5 + 7 = 12

Entonces se tiene que el autobs trae 12 asientos vacos.Nota: Tambin podemos utilizar la frmula siguiente: max - (max min)*(1- r), los valores generados no coinciden en cuanto al orden, pero al final todos los nmeros saldrn con la misma frecuencia.4. Generacin de Valores de Variables Aleatorias con: DISTRIBUCIN EMPRICAPasos:

1( Tomar muestra lo suficientemente grande de los valores de la variable aleatoria (mnimo 30 observaciones)

2( Clasificar en rangos.

3( Determinar frecuencia asociada a cada rango.

4( Calcular el porcentaje o probabilidad correspondiente.

Ejemplo: Sea x una variable aleatoria que representa los intervalos de llegada de los vehculos a un semforo. Los 30 datos observados del sistema real son los siguientes:

ObservacinxObservacinxObservacinx

12114212

24122221

35133231

42144243

53155252

64163264

72174271

84185283

95194292

105203304

Las probabilidades de ocurrencia de cada rango son las siguientes:

RangoFrecuenciaProbabilidad

1III=30.10

2IIIIIIII=70.23

3IIIIII=60.20

4IIIIIIIII=90.30

5IIIII=50.17

1.00

5( Calcular la funcin acumulada y graficariXip(Xi)F(Xi)

110.100.10

220.230.33

330.200.53

440.300.83

550.171.00

6( Generar un nmero aleatorio entre 0 y 1

Por ejemplo r =0.58

7( Identificar el rango donde se encuentra r

F(Xi)< r < F(Xi+1)

F(Xi)< r < F(Xi+1)

8( Escoger el Xi+1 y volver al paso 6( Por lo tanto X = 4

CASO ESTUDIO 1: COSTO DE UN ITEM PERFECTO

En un proceso productivo en el cual se procesan aproximadamente 1000 piezas diarias, las piezas una vez procesadas son inspeccionadas para determinar si son rechazadas, reprocesadas o aceptadas para su posterior venta. Estadsticamente las piezas son rechazadas, reprocesadas o aceptadas con probabilidades de 5%, 10% y 85% respectivamente.

Si el costo de un proceso es de $10 por pieza y el de reproceso $5. Cul seria el costo promedio de una pieza que termine en ventas?

Para determinar dicho costo, debemos imitar el funcionamiento del sistema y determinar el nmero de reprocesos, as como el porcentaje de piezas aceptadas.

Se asume que la distribucin de la variable exgena (hacia dnde se deriva la pieza una vez inspeccionada), es emprica, entonces se debe generar los eventos usando el procedimiento para generar valores para variables con distribucin emprica.

Para efectos de explicacin del funcionamiento del sistema y obtener los resultados buscados, se fija como tiempo de simulacin el proceso de 20 piezas.

Usaremos los nmeros aleatorios de la celda A3 de la tabla de nmeros aleatorios del apndice B.

A continuacin se muestra la tabla de simulacin:

TABLA DE SIMULACIN

RESUMEN DE RESULTADOS:

Como se observa:

El costo acumulado para un total de 20 piezas es = 20*10 + 4*5 = 220

El costo unitario ser 220/18 = 12.2222 dlares

El porcentaje de piezas aceptadas ser 18/20 = 0.9

Adems, dado que el sistema real procesa en promedio 1000 piezas diarias, entonces para tener resultados consistentes que permitan tomar decisiones, se tendr que realizar simulaciones para un mayor nmero de piezas. Por ejemplo para 200 piezas, 2000 piezas; los resultados se aproximarn ms al valor terico. Tal como se observa en la siguiente grfica:

Grfica del Costo de un tem perfecto

2. Simulacin de

Sistemas con Excel y Visual BasicCASOS ESTUDIO 2: SIMULACIN DE SISTEMAS DE COLAS

Los usuarios llegan ALEATORIAMENTE a un telfono pblico. Si el telfono est desocupado, realizan la llamada, en caso contrario esperan en cola hasta que el sistema se desocupe. La duracin de cada una de las llamadas tambin es ALEATORIA.

Se ha registrado durante 3 horas la informacin relacionada a la tasa de llegadas de los clientes al sistema, as como los tiempos de servicio (duracin de las llamadas), llegando a obtener los siguientes promedios:

( = 20 clientes por horas, los clientes llegan en promedio cada 3 minutos.

( = 15 clientes por hora, las llamadas duran en promedio 4 minutos.

Al analizar las muestras de datos con el Input Analyzer del Arena, se ha determinado que ambas variables tienen distribucin exponencial.

Con esta informacin se le pide analizar el sistema de colas, determinando lo siguiente:

a) El tiempo promedio de espera en cola.

b) El tiempo improductivo total del Telfono Pblico.

c) La utilizacin de Telfono Pblico.

1.- Utilice la simulacin manual para determinar dichas inquietudes. Para ello deber simular el funcionamiento del sistema durante la llegada de los 15 primeros clientes.

Nota: Los valores generados para sus variables aleatorias deben redondearse a cero decimales.

2.- Es bastante probable que los resultados anteriores no puedan ser validados, por lo que se le pide simular el sistema durante las primeras 4 horas de funcionamiento del da, para 50 das.

Solucin:

Al observar los datos (>(, por lo tanto no cumplen la condicin obligatoria para aplicar las frmulas de colas a fin de poder determinar las respuestas a las inquietudes planteadas, en consecuencia la nica herramienta a utilizar es la simulacin de sistemas.

Por otro lado la simulacin para las 4 primeras horas, por la gran cantidad de datos, ya no es posible realizar la simulacin manual, por lo que podemos utilizar un lenguaje de programacin o una herramienta de software como el Excel o el Arena.

1.- Solucin manual para la llegada de 15 clientes:

1ro. Definimos las propiedades del modelo de simulacin:

Propiedades del modelo

COMPONENTES:

Clientes y el Telfono

VARIABLES EXOGENAS:

x: Intervalo entre llegadas de los clientes

y: Duracin de una llamada

VARIABLES ENDOGENAS:

Wq: Tiempo promedio de espera en cola por parte de los clientes

TO: Tiempo Improductivo u Ocioso del telfono pblico

U: Utilizacin de telfono pblico

VARIABLES DE ESTADO:

T: Tiempo de llegada de un cliente

FS: Fin del servicioPARMETROS:Tiempo de Simulacin (TS)= Tiempo que demande la llegada de 15 clientes.RELACIONES FUNCIONALES:

x ( Distribucin Exponencial con media 3 minutos entre clientes.

y ( Distribucin Exponencial con media 4 minutos por cliente.

2do. Generamos los valores para nuestras variables exgenas o aleatorias, utilizando la metodologa estudiada en el captulo anterior.

La expresin de la distribucin exponencial para ambas variables es:

x = ln (1- r)

y =ln(1- r)

donde r es un nmero aleatorio entre 0 y 1.

Tomando valores aleatorios de las TABLAS DE NUMEROS ALEATORIOS, tenemos:

3ro. Construimos la Tabla de simulacin respectiva y en ella realizamos las operaciones necesarias para imitar el funcionamiento del sistema. La tabla final se muestra a continuacin:

TABLA DE SIMULACIN:

En base a los resultados obtenidos, determinamos las inquietudes planteadas:

Tiempo promedio de espera en cola (Wq) minutos/cliente

Tiempo Improductivo o Tiempo ocioso (TO) = 8 minutos

Utilizacin del telfono (U) (el sistema esta ocupado el 82.22% del tiempo total de operacin)

2.- Solucin Utilizando el Excel o Visual Basic para las 4 primeras horas de funcionamiento:

1ro. Para entender la lgica del funcionamiento del sistema, utilizamos un diagrama de flujo:

Diagrama de Flujo: Problema del TelfonoImportante: Cambiamos la nomenclatura de TO por TI ya que en Visual basic TO es palabra reservada.

2do. En base al diagrama de flujo, codificamos el programa en Visual Basic:

Codificacin del Programa en Visual Basic.Private Sub Command1_Click()

T=0

STI=0

FS=0

C=0

STE=0

A:

Randomize

r = rnd()

x = -3*Log(1-r)

T=T+x

C=C+1

Randomize

r = rnd()

y = -4*Log(1-r)

if FS>T then

STE=STE+(FS-T)

IS=FS

FS=IS+y

Else

STI=STI+(T-FS)

IS=TFS=IS+y

endif

if C= 15 then

Wq=STE/C

TI=STI

U=1- STI/FS

Text1.text=Wq

Text2.text=U

else

Goto A

endif

End Sub

Los resultados promedio de las 50 simulaciones son:

Wq = 15.5 minutos por cliente

TI = 0.3 minutos

U = 0.97 sea 97%

Conclusiones:

1. La simulacin es una herramienta que permite imitar el funcionamiento de un sistema real, para luego experimentar con el sin necesidad de afectarlo fsicamente.

2. Permite a las empresas que lo apliquen, pronosticar comportamientos futuros acerca del sistema, lo cual permitir a los tomadores de decisin sugerir alternativas de optimizacin.

3. La simulacin exige un tratamiento estadstico de la informacin a efectos de validar el modelo y poder as sugerir la implementacin de alternativas de mejora.

Ejercicio 1:Un semforo en una interseccin vehicular tiene una fase verde que actualmente demora 50 segundos y una fase roja de 40 segundos. El intervalo entre las llegadas de los vehculos a la interseccin (en segundos) es una variable aleatoria con distribucin emprica: Intervalos entre llegadas (X): 10 11 12 13 14

Probabilidad: 0.1 0.3 0.2 0.3 0.1

Se pide:

a) Suponiendo que acaba de iniciar la fase roja, mediante la simulacin de Montecarlo determine el tiempo promedio de espera de los vehculos en cola para esta interseccin en un tiempo de simulacin equivalente a la llegada de 10 vehculos. La cola desaparece una vez que el semforo cambia a la fase verde. Para generar los valores de la variable X, utilice los nmeros aleatorios indicados por el profesor.b) Las propiedades del modelo.c) El Diagrama de Flujo respectivo.SOLUCIN:

a) Tiempo Promedio de Espera = 19.7 segundos.

Fase RojaFase Verde

VehculoRXTTE

10,151111129

20,811324116

30,92143812

40,2311491

50,9614631

60,0910731

70,2811841

80,101094136

90,5512106124

100,8213119111

6118

b) Propiedades del Modelo:

1. Componentes: Vehculos y Semforo

2. Variables Exgenas:

2.1 Controlables

2.2 No Controlables:

X: Intervalo entre llegadas de los vehculos

3. Variables Endgenas:

3.1 De Estado

T: Tiempo de llegada de un vehculo

F: Fase del semforo

3.2 De Salida:

Wq: Tiempo promedio de espera de los vehculos

4. Parmetros:

X: DISC(10,0.1;11,0.3;12,0.2;13,0.3;14,0.1)

TS: llegada de 10 vehculos

FV: Fase Verde = 50 segundos

FR: Fase Roja = 40 segundos2

C) Diagrama de flujo:

EJERCICIO 2:

Los usuarios llegan exponencialmente a una estacin de gasolina con intervalos promedio entre llegadas de 3 minutos. El tiempo de servicio es una variable aleatoria distribuda uniformemente entre 1 y 5 minutos.

Suponiendo que la capacidad del sistema y el nivel de paciencia de los usuarios son ilimitados, imite el funcionamiento del sistema durante la llegada de 10 vehculos y determine:

b) Las propiedades del modelo.

c) El tiempo promedio de espera de los clientes.

d) La utilizacin del servidor.

e) El tiempo acumulado ocioso del servidor.

f) El diagrama reflujo respectivo.

Nota 1: Para generar las variables aleatorias utilice los nmeros aleatorios siguientes:

Para los intervalos entre llegadas: 15, 81, 92, 23, 96, 75, 28, 10, 55 y 82

Para los tiempos de servicio: 10, 7, 30, 91, 54, 32, 4, 46, 21 y 91.

Nota 2: Los valores generados deben redondearse a cero decimales.

EJERCICIO 3:

Los usuarios llegan empricamente a una estacin de gasolina, bajo la siguiente distribucin de frecuencias:

IntervaloFrecuencia

Entre llegadas

(minutos)

05

15

230

35

450

55

100

El tiempo de servicio es una variable aleatoria distribuda normalmente con media de 3 minutos y desviacin estndar de 2 minutos.

Suponiendo que la capacidad del sistema es ilimitada y el nivel de paciencia de los usuarios es de 2 minutos, imite el funcionamiento del sistema durante la llegada de 10 vehculos y determine:

a) Las propiedades del modelo.

b) El tiempo promedio de espera.

c) El nmero de vehculos que abandonan el sistema.

d) La utilizacin y el Tiempo ocioso del servidor.

e) El diagrama de flujo respectivo.

Nota 1: Para generar las variables aleatorias utilice los nmeros aleatorios siguientes:

Para los intervalos entre llegadas: 43, 8, 30, 39, 15, 3, 21, 97, 94 y 80

Para los tiempos de servicio: 98, 35, 70, 93, 20, 50, 4, 46, 21 y 91.

Nota 2: Los valores generados deben redondearse a cero decimales.

CASO ESTUDIO 2:

SIMULACIN DE SISTEMAS DE COLAS EN PARALELO

Llegan exponencialmente a una estacin de combustible los vehculos con una media para los intervalos entre llegadas de 2 minutos. Existen 2 surtidores de combustible (A y B). Los tiempos de servicio de ambos surtidores estn distribuidos uniformemente entre 2 y 6 minutos. Los vehculos ocupan de preferencia el surtidor A, si es que ambos estn desocupados.

La estacin de gasolina tiene espacio limitado para 3 vehculos incluidos los que estn recibiendo el servicio. El Vehculo que llega a la estacin y no encuentra espacio, abandona la estacin.

La paciencia de los conductores es mximo 4 minutos de espera, en caso de superar su paciencia, estos tambin abandonan el sistema.

Utilizando la simulacin de Montecarlo, imite el funcionamiento del sistema durante la llegada de 15 vehculos y determine:

a) El tiempo promedio de espera de los vehculos en la estacin de gasolina.

b) La utilizacin del surtidor de gasolina A.

c) La utilizacin del surtidor de gasolina B.

d) El nmero de vehculos que abandonan la estacin de gasolina.

Para generar los valores de las variables aleatorias, utilice los nmeros aleatorios de la tabla de nmeros aleatorios del Apndice B de la siguiente manera:

- Intervalos entre llegadas de los vehculos a la estacin de gasolina:celda A1

- Tiempos de servicio del surtidor A:

celda A3

- Tiempos de servicio del surtidor B:

celda C8

Nota: Los valores generados debe redondearse a cero decimales.

SOLUCIN:

1ro. Definimos las propiedades del modelo:

Propiedades del modelo

COMPONENTES:

Vehculos y Surtidores de combustible

VARIABLES EXOGENAS:

x: Intervalo entre llegadas de los vehculos

yA: Tiempo de servicio del surtidor A

yB: Tiempo de servicio del surtidor B

VARIABLES ENDOGENAS:

Wq: Tiempo promedio de espera en cola por parte de los vehculos

U(A): Utilizacin del surtidor A

U(B): Utilizacin del surtidor B

AL: Nmero de vehculos que se alejan

VARIABLES DE ESTADO:

T: Tiempo de llegada de un vehculo

FS(A): Fin del servicio del surtidor A

TSD(B): Fin del servicio del surtidor B

PARMETROS:

Tiempo de Simulacin (TS)= El tiempo que demande la llegada de 15 clientes.

Capacidad del sistema = 3 vehculos.

Lmite de paciencia de los conductores = 4 minutos

RELACIONES FUNCIONALES:

x ( Distribucin Exponencial con media de 2 minutos entre vehculos.

yA yB ( Distribucin Uniforme entre 2 y 6 minutos.

2do. Construimos la tabla de simulacin donde generaremos los valores para las variables aleatorias respectivas.

TABLA DE SIMULACIN:

3ro. En base a los resultados obtenidos, determinamos las inquietudes planteadas:

Tiempo promedio de espera en cola (Wq) minutos/vehculo

Tiempo Improductivo o Tiempo ocioso (TI) = 8 minutos

Utilizacin del surtidor A (U(A)) (el surtidor A esta ocupado el 84.38% del tiempo total de operacin)

Utilizacin del surtidor B (U(B)) (el surtidor B esta ocupado el 68.75% del tiempo total de operacin)

Abandonan la estacin de gasolina = 3 vehculos

CASO ESTUDIO 3:

SIMULACIN DE GESTIN DE INVENTARIOS EN EXCEL

A.- Introduccin

En los mtodos para calcular cantidades de reposicin. (Anlisis de sensibilidad y lote econmico), se ha trabajado sobre costos de mantenimiento de inventarios y costos de realizar pedidos, pero no se ha considerado el costo asociado de no tener los artculos cuando la demanda excede el inventario disponible, quiz uno de los costos ms importantes en manejo de las existencias. Una de las maneras de atacar este problema de los costos de escasez es el uso de programas de simulacin (investigacin operativa en lugar de la tcnica del lote econmico.

Adems como el mtodo del lote econmico exige, para ser confiable, demanda constante y tiempo de abastecimiento fijo, con la simulacin se puede trabajar con variabilidad en esos dos aspectos, ampliando la utilidad del sistema de simulacin.

La simulacin que es una tcnica de evaluacin para sistemas complejos, es una herramienta importante tanto para el diseo, como para el anlisis de un sistema.

En cuanto la complejidad del sistema de inventarios que se tiene aumenta, la simulacin llega a ser ms y ms atractiva como una ayuda para la toma de decisiones. Esto es particularmente cierto para sistemas dinmicos y/o probabilistas. Uno de los rasgos ms atractivos de un enfoque de simulacin es la oportunidad que da al analista de comprende, la naturaleza dinmica de un sistema.

Con la simulacin se puede "mover" un modelo a travs del tiempo y observar como se, comporta el sistema en sentido dinmico; adems, una de las caractersticas de la simulacin es que puede tratar con elementos probabilsticos que sean a menudo difciles si no imposibles de manejar analticamente.

Un rasgo no atractivo de la simulacin, es que no garantiza nada ms que una solucin que puede utilizarse para ciertos sistemas, puede ser difcil determinar cuan cercana est la solucin que se tiene a la solucin ptima real.

Otra desventaja de la simulacin, se relaciona con las computadoras, pues la mayora de los estudios de simulacin se lleva en ellas. La cantidad de programacin de cmputo Y tiempo de ejecucin de computadoras requeridos para ejecutar un anlisis particular, podran ser muy grandes. An as, la simulacin es la nica forma conocida de analizar ciertos sistemas, su poder y versatibilidad a menudo sobrepasan su defecto.

B.- Procedimiento general de simulacin

Los pasos necesarios para disear un anlisis completo de Simulacin, son:

1.- Deber desarrollarse un modelo que intente capturar los rasgos esenciales del sistema bajo estudio. Al desarrollar tal modelo es importante pensar en trminos de variables controlables (tambin llamadas variables de decisin), variables incontrolables y la relacin existente entre ellas.

2.- El segundo paso es validar el modelo que ha sido desarrollado. Los modelos a menudo se operan y se comparan con el comportamiento pasado del sistema y con las esperanzas de los analistas. Cualquier modificacin necesaria debe realizarse antes que se obtenga resultado, tiles del modelo

3.- Habiendo terminado el paso de validacin. El analista entonces disea y ejecuta experimentos con el modelo, valores dados u otras representaciones para las variables no controlables, se experimentan con las variables de decisin y se observa como responde el sistema.

Un Diagrama de Flujo para un Procedimiento de Simulacin

C.- El mtodo de Montecarlo

Una herramienta til en muchos de los modelos de simulacin, es el mtodo de Montecarlo, para generar variables aleatorias de las distribuciones de probabilidad. La tcnica es tan simple como poderosa.

Ejemplo : Suponiendo una salida (X) de un proceso probabilstico dado, es un entero entre 0 y 39, inclusive. Adems se est interesado en que X est en ciertos intervalos (0-9, 10-19,20-29,30-39) y se conoce la probabilidad correspondiente de que X est en cualquier intervalo en un tiempo dado:

Distribucin hipottica de probabilidad

a,b

p(a