Simulación Numérica de Yacimientosmmc2.geofisica.unam.mx/cursos/sny/SNY_Cap2.pdf · 5 2.1.2...

1

Simulación Numérica de Yacimientos

Dr. Fernando Rodríguez de la Garza

e-mail: [email protected]: 55508712, 5622 3017 al 19

Capítulo 2.

Formulación de Problemas de Flujo de Fluidos en Medios

Porosos.

2

Capítulo 2

2. Formulación de Problemas de Flujo de Fluidos en Medios Porosos.

2.1 Ecuaciones de Flujo Multifásico Composicional.2.2 Flujo Multifásico Pseudocomposicional: Fluidos Tipo

Beta y Beta-Modificado.2.3 Flujo Monofásico.2.4 Condiciones Iniciales y de Frontera.

2.1 Flujo Multifásico ComposicionalConsiderar:1. Flujo isotérmico de aceite, gas y agua en un yacimiento. 2. Las fases aceite y gas forman una mezcla multicomponente

de hidrocarburos (…+ componentes no HC: CO2, N2, H2s,…etc.)

3. Las fases aceite y gas están en equilibrio termodinámico 4. La fase agua no intercambia su masa con las otras fases.

Agua AguaCnc

GasC3

C2

AceiteC1

FaseComponente

3

Flujo Multifásico Composicional

Definición de Conceptos.

La composición total de una mezcla de hidrocarburos, a p y T dadas, está determinada por: z1, z2, ..., znc:

m=1,2,...,nc (2.1)

��mM : Moles de m en la mezclay

Ahora bien: ��mM = ��mo ��mg (2.2)

�

��

��

�� =

� ==

� ��

Conceptos…

.

Si:xm = Fracción molar del componente m en la fase aceiteym = Fracción molar del componente m en la fase gasL = Fracción molar del aceite en la mezclaV = Fracción molar del líquido en la mezcla

…(2.3)

…(2.4)

…(2.5)

…(2.6)

�

��

��

��

+=

�

��

��

�� =

�

��

��

�� =

�

�

��

��=

�

�

��

�� =

4

Conceptosdonde:

…(2.7)

…(2.8)

La Ec. 2.2 puede escribirse como:�� …(2.9)

Aplican además las siguientes ecuaciones de restricción:

…(2.10)

…(2.11)

�=

=

�

��

�=

=

�

��

��

=�=

�

�

��

=�=

�

��

Conceptos

…(2.12)

y

�� …(2.13)

��

=�=

�

��

5

2.1.2 Ecuaciones de Flujo

Las ecuaciones que describen el flujo multifásico composicionalisotérmico en un yacimiento, considerando las premisas mencionadas,se obtienen a partir de:

• Ecuaciones de balance másico, ó molar: Una para cada uno de los componentes que constituyen la mezcla de hidrocarburos y una mas para la fase agua.

• Ecuaciones de movimiento, de las fases que fluyen en el medio poroso.

• Ecuaciones de equilibrio termodinámico entre las fases aceite y gas.

• Relaciones de capilaridad: que establecen la relación entre las presiones de las fases.

• Ecuaciones de restricción.

Ecuaciones de Flujo…

• Además se requieren:– Expresiones, o correlaciones, para calcular: ρp, µp; ��, σog,

@ �� del yacimiento– Ecuaciones, o datos experimentales, de ��

• Para derivar las Ecs. de flujo multifásico composicional, partimos de un volumen elemental representativo del medio poroso, en donde existe flujo 1D:

( )( )( )

� �

� ��

� ��

�

��

�

ρρρ

�

�

� ( )( )( )

� �

� ��

� ��

�

��

�

∆+

∆+

∆+

ρρρ

�

�

�φ ��

�� ∆�

6

Ecuaciones de Flujo…

Se aplica un balance másico, o molar, para cada uno de los componentes m de la mezcla, m=1,2,...,nc, en el volumen Elemental, esto es:

�� !" �� #�� $�%

�� !" �� #�� ∆ $��&�'(��'��

�� &�&� �'�� …(2.14)

Ecuaciones de flujo…

��)�� )��

��* ��+��)�� * ��, ��

"!-.�/$

y similarmente:

��0 ��

"!-.�1$

donde,+�2�+�� &�� 3�&��.

ρ��ρ�2�4�� 3 �� 2�� '�� 3 ��

( ) ( ) � �� +��+ ρρ �� +

( ) ( ) � �� +��+

∆+∆+ + ρρ ��

7


Se tiene también que:

��+&�&� �'��)��

( ) ( )��

��

�

∂∂+

∂∂∆ �� 0

� 0

� + ρφρφ �� …(2.17)

y si se define: 5�6 = Gasto volumétrico de la fase �� @ de yacimiento, por

unidad de volumen de roca Entonces:

��7��.(8�.��

( )�� 5�5 + ρρ +∆ …(2.18)

Ecuaciones de flujo…Substituyendo Ecs. 2.15 - 2.18 en Ec. 2.14:

( ) ( ) � �� +��+ ρρ �� + ( ) ( )

� �� +��+ ∆+∆+ + ρρ ��

Dividiendo entre A∆x, rearreglando y en el límite cuando ∆x � 0:

-

( ) ( )��

��

�

∂∂+

∂∂∆ �� 0

� 0

� + ρφρφ ��( )�� 5�5 + ρρ +∆+ =

��∆ � 0

( ) ( ) � �� + �+ ρρ �� −∆+- ∆

( ) ( ) � �� +��+� ρρ �� −

∆+

∆ +

( ) ( )��

��

�

∂∂+

∂∂

�� 0�

0�

ρφρφ ��( )�� 5�5 ρρ ++ = …(2.15)

8

Ecuaciones de flujo

Extendiendo a flujo multidimensional:

…(2.20)

Similarmente, un balance molar para el agua conduce a:

[ ] =+++⋅∇− �� 5�5 �� ρρρρ

( )[ ]�� 0�0 �

ρρφ �� +∂∂

[ ] ( )�� 0�

5� ρφρρ ��

∂∂=+⋅∇− …(2.21)


∇ se define en coordenadas cartesianas como:

…(2.22)

El vector velocidad, �� de la fase �� se define como:

…(2.23)

9�

��

�

��

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

9��

��++=

9


Suponiendo flujo Darciano, se tiene:

…(2.24)

Donde:γp : Peso específico de la fase p = ρpg/gc, D : Profundidad, con respecto a un plano de referencia9 : Tensor de permeabilidades absolutas ( …en lo más general)

( )4�99�

� ��

�

�

� ∇−∇−= γµ


Substituyendo 2.24 en 2.20 y 2.21:

…(2.25)

( ) ( )

( )[ ]��

��

�

�

��

�

��

0�0 �

5�5

4�99�

�4�99�

ρρφρρ

γµ

ργµ

ρ

��

��

�� +∂∂=+

+��

�

��

�∇−∇+∇−∇⋅∇

( ) ( )��

�

�� 0

�54�

99� ρφργµ

ρ ��

∂∂=+�

�

��

�∇−∇⋅∇

m=1,2,…ncy,

…(2.26)

10


La condición de equilibrio termodinámico se expresa así:

…(2.27) ; m=1,2,…nc

y,

…(2.28)

�� 33 =

Donde:3��: Fugacidad del componente � en la fase ��

( )�� 33 �� =

( )�� 33 �� = …(2.29)


Se tienen además:

…(2.30)

…(2.31)

…(2.32)

( )�� 07 −=

( ) �� 07 −=

0��0� ��0� ��

��

=�=

�

�

��

=�=

�

��

…(2.33)

…(2.34)

11


• Las Ecs. 2.25, 2.26, 2.27 y 2.30 a 2.34 con en total 2nc + 6

• Contienen las siguientes 2nc + 6 incógnitas ó variables primarias:

• El flujo composicional-multifásico implica un número grande de ecuaciones y de incógnitas, que crecen con el número de componentes a considerar.

• El estudio del comportamiento de yacimientos composicionales requiere de mayores recursos computacionales y por ende, de mayores recursos económicos.

• El tratamiento composicional se requiere cuando la composición de las fases varía de manera importante durante la vida del yacimiento:yacimiento de aceite volátil y de gas y condensado, o cuando se modifica por la implantación de procesos de recuperación secundaria o mejorada.

�� 000��

2.2 Flujo Multifásico Pseudo-composicional:Fluidos Tipo Beta Modificado

• Forma simplificada de modelar yacimientos de gas y condensado y de aceite volátil, en su etapa de agotamiento natural (Coats, 1982)

• El comportamiento termodinámico de las fases y sus propiedades físicas pueden ser descritas en función de la presión, @ �� , mediante :��:�� !;� �� < �� =�&�� $

• El gas y aceite obtenidos después de separadores son los pseudo componentes que forman las fases aceite y gas en el yacimiento:

COMPONENTE FASE

Aceite del separador Aceite

Gas del separador Gas

Agua Agua

12

Flujo de fluidos tipo Beta Modificado…

Caso particular de las Ecs. del flujo multifásico composicional. La Ec. 2.25 se escribe para los componentes aceite y gas como:

Pseudo componente aceite, ��:

( ) ( )

( )[ ]��

��

�

�

��

�

��

0�0 �

5�5

4�99�

�4�99�

ρρφρρ

γµ

ργµ

ρ

��

��

�� +∂∂=+

+��

�

��

�∇−∇+∇−∇⋅∇

Pseudo componente gas, ��:

( ) ( )

( )[ ]��

��

�

�

��

�

��

0�0 �

5�5

4�99�

�4�99�

ρρφρρ

γµ

ργµ

ρ

��

��

�� +∂∂=+

+��

�

��

�∇−∇+∇−∇⋅∇

…(2.36)

…(2.35)


La ecuación del agua se mantiene igual:

Condiciones de equilibrio termodinámico entre fases aceite y gas, se expresan alternativamente como:

…(2.38)

…(2.37)( ) ( )��

�

�� 0

�54�

99� ρφργµ

ρ ��

∂∂=+�

�

��

�∇−∇⋅∇

( )�

��

�� =��

y

( )�

�

��

�� =�� …(2.39)

13


Las ecuaciones de restricción son:

� ��

��

y

0� ��0� ��0�� …(2.42)

( )�� 07 −=

( ) �� 07 −=

Relaciones de presión capilar:

…(2.43)

…(2.44)


Se tienen 10 ecuaciones con 10 incógnitas:

��0��0��0��

Se pueden, sin embargo, expresar las incógnitas �� en términos de propiedades volumétricas, funciones de presión, y reducir el número de ecuaciones e incógnitas.

14


• Partiendo de las definiciones de de �� • Utilizando la relación entre masa y número de moles

!�� (�7��&� � $�

Donde:

�� = Peso molecular del componente aceite, �� = Peso molecular de la fase aceite, �� = Masa del componente aceite en la fase aceite y �� = Masa total de la fase aceite.

…(2.45)��

��

�

�

��

��

��

��

�� ==


Empleando la relación entre las densidades másica y molar

ρ ��(��y

y la definición de :�, se puede re-escribir 2.45 como sigue:

�ρρ =�

��

��

��

��

�

��

�

�

�:�

�

�

�

ρρ

ρρ

�

� �

�

�� == …(2.46)

�� ρ=�� ρ=

15


Similarmente:

…(2.47) ��

��

��

��

��

��

�

��

�

�

�

��

�:

�

�

�

�

�

�

�

��

��

ρρ

ρρ

�

��

�

�

�

�� ===

��

��

��

��

�

��

�

�

�

��

�:�

�

�

�

��

��

ρρ

ρρ

�

��

�

�� ===

��

��

��

��

��

��

�

��

�

�

�

��

�:

�

�

�

�

�

�

�

��

��

ρρ

ρρ

�

��

�

�

�

�� ===

…(2.48)

…(2.49)

�� = Rel. de solubilidad del aceite en el gas = �� (�� …(2.50)


…(2.51)

…(2.52)

Substituyendo Ecs. 2.42 a 2.45 en 2.31 a 2.40 se obtiene:

pseudo componente aceite,

( ) ( )

��

�

��

�

��

��

�

+

∂∂=+

+��

�

��

�∇−∇+∇−∇⋅∇

�

�

�

�

�

��

��

��

�

��

��

�

�:

0

:

0

�5�5

4��:

99�4�

:

99�

φ

γµ

γµ

��

( ) ( )

��

�

��

�

��

��

�

+

∂∂=+

+��

�

��

�∇−∇+∇−∇⋅∇

�

�

�

�

�

��

��

��

�

��

��

�

:

0�

:

0

�55�

4�:

99�4��

:

99�

φ

γµ

γµ

��

pseudo componente gas,

16


…(2.53)

La ecuación del agua en términos volumétricos es:

( ) ��

��

∂∂=+�

�

��

�∇−∇⋅∇

�

�

��

��

�

:

0

�54�

:

99� φγµ

�

Donde:5�6��5�6 y 5�6 = Gastos volumétricos de aceite, gas y agua,

@ cs por unidad de volumen de roca.

Las Ecs. 2.51 a 2.53 junto con las Ecs. 2.42 a 2.44 definen un conjunto de 6 ecuaciones con 6 incógnitas:

��0��0� ��0�

La relación entre las densidades de las fases, ρp, y sus propiedadesvolumétricas se establece empleando las restricciones 2.40 a 2.41:


��

��

��:

�

ρρρ�

��

�� +==+

�

��

�:

��

�ρρ

ρ+

=o sea:

��

��

��:

��

ρρρ

�

��

�� +==+

�

��

�:

� ��

�ρρ

ρ+

=

Similarmente:

y,

…(2.54)

…(2.55)

…(2.56)

…(2.57)

17

Las constantes de equilibrio se expresan en términos �� y ��substituyendo 2.46 y 2.49 en 2.38:

…(2.58)

Substituyendo 2.55 y 2.57 en 2.58 y rearreglando:…(2.59)

Similarmente para la fase gas, se tiene que:


�

��

��

� �:

:�

ρρ�

�=

��

��

��

��

��

��

��

��

ρρρρ

++

=

��

��

��

��

�

��

��

��

��

ρρρρ

++

= …(2.60)

2.2 Flujo Multifásico Pseudo-composicional:Fluidos Tipo Beta

• Aplica a yacimientos con aceites ordinarios

• La composición de las fases aceite y gas no cambian de manera importante durante la vida del yacimiento.

• El comportamiento termodinámico de las fases y sus propiedades físicas pueden ser descritas en términos de la presión, @ �� , mediante :��:� ��.

• El gas y aceite obtenidos después de separadores son los pseudo componentes que forman las fases aceite y gas en el yacimiento:

COMPONENTE FASE

Aceite del separador Aceite

Gas del separador Gas

Agua Agua

18

Flujo Multifásico de Fluidos Tipo Beta

Difiere con fluidos tipo Beta Modificado en que no existe componenteaceite en la fase gas: rs = 0 ( …Caso particular de las Ecs. Previsa)

( ) ��

��

∂∂=+�

�

��

�∇−∇⋅∇

�

�

��

��

�

:

0

�54�

:

99� φγµ

�

Pseudo componente aceite:

Pseudo componente gas:

( ) ( )

��

�

��

�

��

��

�

+

∂∂=+

+��

�

��

�∇−∇+∇−∇⋅∇

�

�

�

�

�

��

��

��

�

��

��

�

:

0�

:

0

�55�

4�:

99�4��

:

99�

φ

γµ

γµ

��

…(2.61)

…(2.62)

Flujo Multifásico de Fluidos Tipo Beta

Para el agua:

Se tienen además las siguientes ecuaciones:

…(2.63)( ) ��

��

∂∂=+�

�

��

�∇−∇⋅∇

�

�

��

��

�

:

0

�54�

:

99� φγµ

�

( )�� 07 −=

( ) �� 07 −= …(2.66)

…(2.64)

…(2.65)

0� ��0� ��0� ��

19

Flujo de una sola fase: Aceite

Considerar: • Yacimiento bajosaturado• Saturación inmóvil de agua• Agua es compresible: 0��0�!�$

Las ecuaciones que describen el flujo de aceite, en estas condiciones, son un caso particular de las ecuaciones presentadas en la sección anterior:Para el componente aceite,

…(2.67)( ) ��

��

�

∂∂=+�

�

��

�∇−∇⋅∇

�

�

��

��

�

:

0

�54�

:

9 φγµ

�

Donde: 9� = permeabilidad efectiva del aceite @ 0�� = 99��!0��$

Flujo de una sola fase: Aceite…

Para la fase agua:

…(2.68)�=��

��

∂∂

�

��

:

0

�φ

0��0�� …(2.69)

�� % 7��!0��$� …(2.70)

Se tienen además:

20

Flujo de un Aceite de Compresibilidad Pequeña y Constante

Considerar: • Fluido de compresibilidad pequeña y constante• Medio poroso homogéneo e isotrópico• Aceite con viscosidad constante• Agua y roca incompresibles • Efectos gravitacionales son ignorados

Introduciendo esto en 2.61, con �� y φ> = φ 0�, se obtiene:

…(2.71)

Para un aceite bajosaturado:

��

��

∂∂=+�

�

��

�∇⋅∇

��

�>

�

�

�

� :�95

9�

:

�� µφµ

��

�:

: �

�

�

�−= …(2.72)

Flujo de un Aceite de Compresibilidad Pequeña y Constante …

…(2.73)

2.73 en 2.71 conduce a :

Si � es pequeña y constante, al integrar 2.72 se obtiene lo siguiente:

:� ��:�? � �@�!�? % �$A

( )�

�

9

:5

9��

�

��>��

�

�� ∂

∂=+∇+∇µφµ �

…(2.74)

( ) � ≈∇��Si

�

�

9

:5

9�

�

��>

��

�

�

∂∂=+∇

µφµ �…(2.75)

21

Flujo de Gas

Considerar:• Flujo monofásico de un gas en el yacimiento• Medio poroso homogéneo e isotrópico.• El agua, Swc, y la roca son incompresibles.• Efectos gravitacionales despreciables

Las ecuaciones de flujo multifásico se reducen en este caso a:

��

��

�

∂∂=+

��

�

��

�∇⋅∇

��

>

�

�� :�95

9�

:

�� φµ

Donde: �� φ> ��φ 0� ��φ!��% 0�$

…(2.76)

Flujo de gases…

Para gases reales se tiene la siguiente ecuación de estado:

��

A partir de 2.77 se establece que:

2.78 en 2.76

…(2.77)

�

�

�

��

�

�:

�

��

��

��

� ==�

� …(2.78)

�

��

∂∂=+

��

�

��

�∇⋅∇

�

�

�95

9�

��

�

�

�

>�

��

��

�

φµ

�…(2.79)

22

Flujo de gases…

…(2.80)

…(2.81)

La Ec. 2.79 se reduce a una forma casi lineal empleando la transformación de pseudopresión, o potencial de gas real, de Al-Hussainy y Colaboradores, para lo cual se emplea la regla de la cadena en (d /dt) de 2.79 y se utiliza:

�

��

=−=�

�

��

�

�

�

��

�:

:

�

�

�

�

�

�

�

�

9

5

9�

��

�

�

��

��>

�

��

��

� ∂∂=+

��

�

��

�∇⋅∇

µµφ

µ�

lo que permite reescribir 2.79 como:

Flujo de gas…

El potencial de gas real fue definido como:

( ) ��

��

��

�

� ��3

�=µ

…(2.82)

( ) ( )�

��

9

5

9�

��

�

��>

�

��

��

∂∂=+∇

µφ�

2.82 en 2.81

…(2.83)

La Ec. 2.83 es aún no lineal, puesto que µ� y cg dependen de �

23

2.4 Condiciones Iniciales y de Frontera

• Además de la(s) ED’(s), en la formulación de un problema de flujo de fluidos en un medio poroso se requiere definir las condiciones iniciales y de frontera del medio:

� Las condiciones iniciales definen, en el caso más general de flujo multifásico composicional, la distribución de presiones, saturaciones y composición de las fases al tiempo cero de nuestro problema.

� Las condiciones de frontera establecen la manera en que el yacimiento interactúa con sus alrededores durante su vida productiva.

Condiciones Iniciales…

• Generalmente se considera que a ��B existe equilibrio gravitacional y capilar en el yacimiento.

• Se conoce ��3 a ��3

• Se conoce ��

• Si �� C��? existe casquete de gas: ��3 = �� y ��3 = �?

Equilibrio gravitacional y capilar implica cero flujo de las fases a ��B2Los gradientes de potencial de las fases en cualquier punto y direcciónson cero. Entonces, conforme a la ley de Darcy, Ec. 2.24:

( ) �=∇−∇ 4�:

99��

��

� γµ

…(2.84)

24


La Ec. 2.84 implica que a lo largo de un plano horizontal, ubicado enuna posición cualquiera en z, se tiene que:

…(2.87)

�=∂

∂

� �

�=∂

∂�

� �

y que además,

�=−∂

∂�

�

�

�γ

…(2.86)

…(2.85)

y,

Condiciones Iniciales… La Ec. 2.84 implica que a lo largo de un plano horizontal, ubicado enuna posición cualquiera en z, se tiene que:

��

…(2.87)

�=∂

∂

� �

�=∂

∂�

� �

Además,

�=−∂

∂�

�

�

�γ

…(2.86)

…(2.85)

y, en un plano ! ��$ a cierta � es constante

�� == …(2.88) Lo que implica:

25


…(2.90)

…(2.89)

Conocida la presión, ��3 a ��, es posible calcular ��!�$.��Para esto, se integra 2.87:

�� =�

�

�

� �

�

��3

�

��3�

��

�

�

�

�

ρ

( )��3�

��3��

�� −+= ρ�

y se obtiene:

( )�� ρρ =

donde:…(2.91)


…(2.92) ( )��3��

��3��

�� −+= ρ

��3�

�

��

+=

podemos entonces calcular la presión de la fase aceite en cualquier �

…(2.91)

La Ec. 2.90 contiene implícitamente a �� !�a través de ) por lo que puede resolverse mediante el método de Newton-Raphson.

Si se escribe la Ec. 2.90 para la fase aceite,

En 2.91,

ρ

26


Conocida �� , se calcula �� mediante:

7��!0� ��.B$��7�� % �� …(2.93)

Por lo que: �� % 7�� …(2.94)

0�0 100

7��

7��

0


Similarmente se puede calcular �� y �� mediante:

7��!0� ��.B$��7�� % �� …(2.95)

De donde se obtiene: �� 7�� …(2.96)

0�0 100

7��

7��

0

27

Condiciones Iniciales… Ahora pg(z), y pw(z), pueden calcularse mediante la Ec. 2.90. Es decir:

…(2.96)

…(2.97)

( )��

��

�� −+= ρ�

( )��

��

�� −+= ρ�

�

zcwo

zcgo

��!�$��!�$

7��!�$��!�$%��!�$

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Condiciones Iniciales… Ahora pg(z), y pw(z), pueden calcularse mediante la Ec. 2.90. Es decir:

( )��

��

�� −+= ρ� ( )��

��

�� −+= ρ�2.96 2.98

28

Condiciones Iniciales… Ahora, mediante interpolación inversa se obtiene la distribución inicial de saturaciones de las fases gas y agua, Sg(z) y Sw(z). La saturación de aceite se obtiene a partir de la Ec. 2.64, So(z) = 1 - Sg(z) - Sw(z).

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