PROYECTO FIN DE CARRERA

SIMULACIÓN DE LOS PARES TORSIONALES EN UN

TURBOGENERADOR COMO CONSECUENCIA DEL ARRANQUE

DIRECTO DE UN GRAN MOTOR ASÍNCRONO PRÓXIMO

AUTOR: Manuel Pinilla Martín MADRID, Junio de 2005

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)

INGENIERO INDUSTRIAL

1

Introducción………………………………………………………………...página 2

Introducción al problema y motivación del proyecto……………………….3

Métodos numéricos usados en las técnicas de simulación…………………..7

Modelado……………………………………………………………………………11

Máquina síncrona……………………………………………………………12

Motor de inducción……………………………………………………….…42

Red eléctrica…………………………………………………………………43

Líneas y transformadores……………………………………………………45

Turbinas y control primario………………………………………………....47

Eje del turbogenerador………………………………………………………56

Análisis……………………………………………………………………………...64

Propagación de perturbaciones entre la máquina y la red……………….…..65

Análisis del arranque de una máquina síncrona como máquina de

inducción…………………………………………………………………….71

Par debido a los devanados amortiguadores en condiciones de desequilibrio

constructivo entre éstos…………………………………………………...…78

Análisis del efecto de la resistencia añadida al devanado de campo………..87

Análisis del conjunto de masas acopladas al eje del turbogenerador….…….96

Análisis de la interacción torsional durante el arranque…………………...110

Particularización y simulación……………………………………………………..112

Particularización de los parámetros a los de la instalación en estudio….…113

Resultados obtenidos en las simulaciones…………………………………125

Análisis de resultados y conclusiones………………………………………….….140

Análisis de los resultados obtenidos en las simulaciones…………….……141

Conclusiones………………………………………………………….……149

Bibliografía……………………………………………………………………….154

2

PARTE 1:

INTRODUCCIÓN

3

1. Introducción al problema y motivación del proyecto

Tal y como dice el título el objetivo principal de éste proyecto es la simulación de un

hecho concreto. Se puede entender en este caso por simulación la resolución

numérica de ecuaciones diferenciales cuya variable independiente es el tiempo. El

hecho concreto a simular son los pares que aparecen en el eje de un turbogenerador,

como puede ser el de una central térmica, cuando un gran motor asíncrono próximo

arranca de forma directa.

1.1 Arranque de un gran motor asíncrono próximo a un turbogenerador

Se tomará como precedente una experiencia del personal técnico de la Central

Nuclear de Cofrentes, en la provincia de Valencia (España), casi lindando con la

provincia de Albacete. En determinados momentos, y coincidiendo con la puesta en

marcha de una central de bombeo cercana, como es la de La Muela, se escuchaban

ruidos procedentes de la zona de turbinas. Estos ruidos se interpretó que estaban

asociados a deformaciones experimentadas por el eje. Las deformaciones eran de

tipo torsional. El fenómeno parecía que podía venir motivado por la interacción de

alguna perturbación que creara la máquina de la central de bombeo al arrancar con el

propio eje del turbogenerador. El objetivo es simular esa interacción, y explicar

exactamente lo que ocurre.

Para la simulación es preciso modelar todos y cada uno de los elementos presentes.

Evidentemente existen modelos implementados de prácticamente todo lo que se

necesite, pero otro de los objetivos del proyecto es el de conocer a fondo los modelos

dinámicos de las máquinas eléctricas y los dispositivos mecánicos de interés, por lo

que todo lo que se use será implementado para la ocasión. El proceso de modelado e

implementación de cada uno de los elementos se puede ver en la parte del proyecto

que se dedica al modelado.

La instalación a modelar se puede ver en la figura 1.1, y consta de:

4

-Alternador de la central térmica, unido a través de une eje a los distintos cuerpos de

turbinas.

-Conexión eléctrica de éste alternador a un nudo de la red eléctrica, compuesta de

transformador y línea.

-Alternador/motor de la central de bombeo. Tal y como se dice en el título del

proyecto el arranque es de un motor asíncrono. No existen motores asíncronos de un

tamaño suficiente como para que su interacción con una central térmica cercana sea

apreciable. Pero si hay un caso que es el de una central de bombeo que arranca de

forma directa su motor. En régimen permanente el motor (durante el bombeo) o

alternador (cuando está turbinando agua) funciona como síncrono. Pero para arrancar

la máquina en régimen motor de una central de bombeo es necesario, o bien

conectarla eléctricamente a otra máquina que genere energía eléctrica a frecuencia

variable, desde cero hasta la de sincronismo (lo que se suele conocer como un

arranque back-to-back), o bien arrancar la máquina en modo asíncrono, en base a su

funcionamiento como máquina de inducción, posibilitado por la existencia de

devanados amortiguadores en la máquina, o por cualquier corriente que pueda

circular por el rotor de ésta. Naturalmente la máquina debe ser tal que los devanados

rotóricos interaccionen con el estátor creando el par suficiente para conseguir

arrancar, superando la carga mecánica que supone arrastrar su propia inercia, la de la

bomba, y mover el fluido presente en ésta. Para éste arranque típicamente se incluye

una resistencia en el circuito de excitación de la máquina. De esta forma se limitan

las corrientes que aparecen en ese devanado, que pudieran producir calentamientos

excesivos. Si por otra parte el circuito quedara abierto se podría poner en peligro la

integridad de los aislantes, por la magnitud de las fuerzas electromotrices inducidas.

La resistencia que se incluye es variable, constituida por semiconductores, similar en

cuanto a concepto a la que se pueda usar en las autoválvulas, usadas para derivar

grandes sobretensiones a tierra en cualquier instalación eléctrica. La resistencia en

este caso usada será constante, no dependiente de la tensión a la que se sometan sus

extremos.

5

-Unión de la máquina de la central de bombeo al mismo nudo de red que la central

térmica. La proximidad de una máquina a la otra se traduce en que las dos máquinas

se unen a la red de transporte en un mismo nudo, lo cual significa que eléctricamente

están sólo separadas por aquellos elementos existentes entre las máquinas y el nudo.

-La red eléctrica. Dado que se va a realizar un análisis dinámico es necesario

modelarla de tal forma que responda dinámicamente. Para esto se considerará que la

red es infinita en cuanto a frecuencias, pero no en cuanto a tensiones, modelándose

mediante una reactancia de salida.

Fig. 1.1

Por tanto se puede resumir que la motivación del proyecto es conocer más a fondo lo

que ocurre en un caso muy concreto presente en la realidad de las redes eléctricas

como es el arranque directo de un motor asíncrono de grandes dimensiones. No se

espera solucionar el problema si es que se llegara a la conclusión de que es realmente

un problema sino sólo analizarlo, simularlo, y comprenderlo.

El método de trabajo empleado será el de analizar todo lo que ocurre comenzando

desde la máquina que arranca, pasando por la interconexión de ambas máquinas, por

el alternador del turbogenerador, y concluyendo en el eje del propio turbogenerador.

6

1.2 Estado del arte. La simulación en la ingeniería eléctrica

A lo largo de los últimos años la forma de abordar los problemas dinámicos en el

campo de la ingeniería eléctrica ha cambiado considerablemente. Si antes era

necesario aproximar las ecuaciones que representaban la dinámica para obtener

resultados más o menos precisos, o usar centros de cálculo enteros, en la actualidad

con un computador personal es factible modelar la dinámica de prácticamente

cualquier sistema. Esto no quiere decir que las técnicas analíticas hayan perdido

interés para el ingeniero eléctrico, ya que en muchos casos proporcionan respuestas

no sólo cuantitativas sino también cualitativas y generalizables, sino que las técnicas

numéricas sirven de apoyo a conclusiones a las que se llega por vía analítica. Lo

mismo ocurre en cualquier parte de la ingeniería y de la ciencia en general. Si en

sistemas lineales se puede estudiar de forma mas o menos sencilla un fenómeno, esto

adquiere mucha mayor complejidad en sistemas no lineales. Es en esos donde la

simulación es incluso más importante. Por tanto se puede concluir que la simulación

ha aportado precisión a los cálculos que pueda ser preciso realizar para diseñar o

analizar una instalación o sistema eléctrico determinado. La realidad es que aunque

se pueda simular con una precisión casi infinita sobre las ecuaciones diferenciales,

éstas nunca representarán plenamente el mundo físico existente, por lo que siempre

existirá la incertidumbre de conocer si lo que se ha obtenido en una simulación se

corresponde a lo que verdaderamente ocurre. Eso le da un punto de emoción a la

profesión de ingeniero, y de romanticismo a la vida misma, donde afortunadamente

nunca el ser humano será capaz de modelar la realidad tal como es. Dado que la

física del problema aquí propuesto está muy estudiada y se ha profundizado mucho y

a lo largo de muchos años sobre ella se espera que el parecido entre lo obtenido en

las simulaciones y la propia realidad sea muy alto.

7

2. Métodos numéricos usados en las técnicas de simulación

Para la simulación de las ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales que

modelan el problema se usan distintos métodos de resolución aproximada (por esto

es simulación, si fuera exacta sería resolución analítica). Estos problemas simulados

son de valor inicial, donde se conoce en el primer instante de la simulación el valor

de las variables de estado del sistema. Todos los métodos tienen su propia aplicación

tanto a ecuaciones diferenciales como a sistemas de ecuaciones diferenciales.

Dentro de los métodos de resolución numérica de ecuaciones diferenciales se pueden

hacer varias clasificaciones. La más común es la siguiente:

-Métodos de Taylor. Se basan en la obtención del valor de la variable en el instante

inmediatamente posterior usando un desarrollo en serie. Para esto por tanto es

preciso conocer el valor de la variable y de al menos su primera derivada.

Si sólo se usa la primera derivada, y por tanto se hace una aproximación lineal entre

un instante y el inmediatamente siguiente de la solución de la ecuación diferencial el

método se suele conocer como método de Euler. Por tanto en él se aproximará la

curva integral de la ecuación diferencial por su tangente. Este método se usa poco

por no ser suficientemente preciso.

Si se usan para el desarrollo en serie términos de orden superior al primero el método

se conoce como de Taylor de orden k en general. Al ir aumentando el orden aumenta

la carga computacional, ya que requieren muchas derivadas de la función. Por otra

parte si se toma un orden bajo será necesario usar un paso de integración muy

pequeño, lo cual hace que el proceso de cálculo sea muy costoso.

-Métodos de Runge-Kutta. Pretenden mejorar la aproximación del método de Taylor

de orden 1 pero sin tener que calcular derivadas mas allá de la primera. Esto es que

por ejemplo usan el valor de la derivada en un instante determinado, y de la derivada

8

estimada por el método de Euler en el instante siguiente. Este sería el método de

Runge-Kutta de orden 2. El más usado por lo eficiente desde el punto de vista

computacional es el de orden 4. Su implementación responde a las siguientes

expresiones:

)(6 43211 kkkkh

yy ii ++++=+

donde h es el paso de integración, iy es el valor de la curva integral en el instante i, f

es el valor de la derivada de la curva integral real en el instante i, y además:

( )ii ytfk ,1 =

++= 12 2,

2k

hy

htfk ii

++= 23 2,

2k

hy

htfk ii

( )24 , hkyhtfk ii ++=

-Métodos multipaso. No sólo usan el valor de la derivada de la curva integral en un

punto, sino en varios puntos previos al que se quiere calcular. Por tanto es necesario

calcular los valores de la propia curva integral en los n pasos anteriores para poder

calcularlo en el paso i-ésimo. Dentro de éstos aparecen los métodos de Adam-

Bashforth, que usan un polinomio interpolador de orden r para obtener el incremento

de la variable dependiente entre un paso y el siguiente. Para obtener este polinomio

interpolador es necesario conocer r+1 puntos definidos por el valor de la variable

dependiente y la independiente, que serán el actual, i, y los r anteriores. Así se suelen

usar los métodos de este tipo hasta el de orden 4.

Dentro de los métodos multipaso aparecen con bastante relevancia los de predicción-

corrección, que usan dos métodos multipaso de forma combinada. Se basan en la

9

existencia de un polimonio interpolador, pero utilizan como uno de los puntos para

determinar el polinomio el propio que se quiere obtener. De esta forma se convierte

en un método explícito, ya que aparece el propio valor a predecir en la expresión

para obtenerlo. Para ello se calcula por algún método de los anteriores una

estimación de ese valor a predecir, y usando éste resultado se vuelve a estimar, ahora

si en el método implícito, el valor corregido de la variable en el paso siguiente. Las

predicciones pueden ser sucesivas aplicando varias veces la fórmula correctora, lo

cual aportará mayor precisión al cálculo.

Todos estos métodos son generalizables a los sistemas de ecuaciones diferenciales

ordinarias, donde habrá varias variables dependientes y una independiente.

Conceptualmente son exactamente iguales, ya que se pasa de trabajar de forma

escalar a trabajar de forma vectorial, existiendo un paralelismo total entre el método

aplicado a ecuaciones y aplicado a sistemas.

Por tanto la precisión de un método y la carga computacional que éste lleve asociado

suelen aumentar de forma conjunta, pero hay algoritmos más eficientes que

consiguen la misma precisión con menos carga. La precisión debe elegirse dentro de

valores apropiados determinados por lo necesario de un resultado muy ajustado. En

el caso de variables periódicas, como las que en el problema de simulación presente

aparecerán, una forma de elegir el paso de integración es hacerlo en relación al

período de esas variables. De esta forma, dado que el período es de 20 milisegundos,

correspondiente a los 50Hz del sistema eléctrico, una solución con poco error se

podrá conseguir con un paso de integración de 1 milisegundo. Esto por supuesto se

debe comprobar que es así, y que no altera el resultado en caso de que aparezcan

variaciones en las variables de frecuencia superior, tal y como se hizo por otra parte,

llegándose a la conclusión de que 1 milisegundo era un paso de integración

adecuado, ya que por una parte permitía precisión en los resultados y no

sobrecargaba de operaciones y resultados el computador. También se podría usar un

paso de integración variable en virtud del valor de las derivadas de las variables de

estado del sistema, lo cual podría optimizar el resultado. Esta opción se desechó ya

10

que será necesario usar técnicas para el análisis de los resultados como pueden ser la

transformada discreta de Fourier, que requieren frecuencia de muestreo de los datos

constante, o lo que es equivalente en este caso, paso de integración constante. El

algoritmo de integración usado fue el de Runge-Kutta de orden 4.

Por supuesto la implementación de uno de éstos algoritmos es muy costosa e

innecesaria cuando se dispone de herramientas matemáticas que lo llevan

implementado. Es el caso del Simulink de Matlab, que ofrece toda una gama de

algoritmos de integración numérica entre los que está el que se ha decidido usar, y

varios de los antes expuestos.

11

PARTE 2:

MODELADO

12

1.Modelado de la máquina síncrona

1.1Hipótesis de trabajo

Para el modelado de la máquina síncrona presente en la instalación se recurrió a la

teoría de vectores espaciales, con todas las limitaciones que ésta tiene, como son:

-Los devanados estatóricos están senoidalmente distribuidos a lo largo del

entrehierro en cuanto a efectos sobre el rotor se refiere, por lo que crearán una fuerza

magnetomotriz de distribución senoidal en el espacio a lo largo del entrehierro. Esto

es una hipótesis fundamental en la teoría de vectores espaciales. En la realidad esto

nunca se cumple del todo, de tal forma que la distribución de estos devanados será de

una manera determinada que creará una fuerza magnetomotriz periódica en el

espacio. Si consideramos el primer armónico de esta distribución periódica el

resultado se aproximará bastante al que se refiere a considerar todos los armónicos, y

su simplicidad en la obtención será mucho mayor. Al no modelar más que éste

primer armónico estamos despreciando una fuente de oscilaciones que afectará a la

máquina en forma de par, y por tanto ruido y vibración, y de pérdidas en el hierro,

incluso en su funcionamiento síncrono de régimen permanente. Aunque el objetivo

del proyecto es simular precisamente el efecto de una perturbación de tipo pulsatorio,

y por tanto pudiera tener efecto sobre el resultado final el hecho de considerar estos

armónicos superiores en la fuerza magnetomotriz, hay razones para creer que ésta

pulsación será suficientemente pequeña como para despreciarla. La razón

fundamental es que la máquina concreta que se modelará es de tal importancia y

tamaño que su diseño y construcción serán de tal calidad que la distribución de la

fuerza magnetomotriz apenas distará de la senoidal.

-Las ranuras dónde se sitúan los devanados estatóricos no causan variación

apreciable de la reluctancia magnética vista desde el rotor en unas posiciones y otras.

Esto quiere decir que por un lado las autoinducciones de todos los devanados

rotóricos se mantienen constantes sea cual sea la posición del rotor, así como las

inducciones mutuas entre unos devanados rotóricos y otros, y que las inducciones

13

mutuas rotor-estátor variarán de la misma forma que lo hace la fuerza

magnetomotriz, es decir, senoidalmente. Es una suposición razonable, basada

también en la calidad del diseño de la máquina, que debe reducir al máximo

cualquier causa de variabilidad de este tipo colocando los devanados de una forma u

otra.

-No se consideró la histéresis magnética de los ferromagnéticos presentes, lo cual

hace que el modelo no recoja pérdidas en el hierro por este efecto. Esto quizás

interesara más modelarlo para un modelo de régimen permanente, ya que en este

caso el objeto del modelado es el efecto de unas perturbaciones determinadas que

van superpuestas al régimen permanente, donde determinados parámetros no

interesarán, como puedan ser calentamientos de los materiales o pérdidas de

rendimiento.

-Linealidad entre campos magnéticos H y B. La relación será siempre constante, por

lo que no se alterará el valor de inductancias en ninguna condición de

funcionamiento, como pudiera ser en caso de sobreexcitación, o al someter la

máquina a tensiones instantáneas más elevadas de lo que está diseñada para soportar

a efectos de flujo magnético. Ésta hipótesis es correcta hasta cierto punto, ya que las

máquinas pueden estar diseñadas para trabajar en saturación. El efecto de la

saturación sobre las perturbaciones de una variable como pueda ser la tensión

superpuestas al valor natural puede ser de filtrado, lo cual significa que atenuará el

efecto de éstas. La complejidad del modelado hace que no sea interesante de cara a

abordar la solución del problema planteado, aunque si pudiera tener algún efecto

sobre las soluciones obtenidas, pero es de esperar que éste sea pequeño.

-Se despreciará cualquier capacidad entre unos conductores y otros, al considerar

despreciables las conductancias que se derivarán de ellas a las frecuencias utilizadas

en comparación con los efectos inductivos.

14

Por otra parte, y dado que el modelado debe representar los efectos transitorios,

debemos incluir en el modelo la presencia de aquellos elementos que sean fuente de

par, no sólo en régimen permanente, sino los que lo produzcan fuera de éste régimen.

Éste efecto lo será conocido como efecto amortiguador, y se basa en la inducción de

fuerzas electromotrices en el rotor en condiciones de no sincronismo, que harán

aparecer corrientes las cuales crearán un campo que interaccione con los demás de tal

forma que intente devolver al sincronismo a la máquina. Puede venir dado de dos

formas:

-Por la presencia de devanados amortiguadores, con disposiciones

constructivas similares a las del rotor de una máquina de inducción. Su presencia es

más frecuente en caso de máquinas de polos salientes.

-Por la inducción de corrientes en el hierro del rotor. Corrientes de

torbellino que harán el mismo efecto amortiguador, y que desde el punto de vista del

modelado, y desde el exterior a la máquina se comportarán exactamente igual que las

otras, y por tanto en adelante no se hará distinción sobre la proveniencia del efecto

amortiguador presente.

1.2 Ecuaciones fundamentales de la máquina síncrona

Con las hipótesis expuestas en el apartado anterior se puede comenzar a modelar la

máquina síncrona. Basta con relacionar electromagnéticamente unos circuitos y

otros. Estas relaciones vienen expresadas en forma de inducción mutua, que

representa el flujo creado por un devanado que concatena a otro y de inductancia de

dispersión, que representa el flujo creado por un circuito y que no concatena más que

a ese mismo circuito, que por tanto es una autoinducción.

Algunos de estos parámetros dependerán de la posición del rotor en caso de

máquinas de polos salientes. Debido a las hipótesis realizadas esta variación será

senoidal.

15

Por otra parte y como es habitual al usar vectores espaciales se usarán los ejes d-q,

siendo el eje d el que se encuentra en misma dirección que el eje magnético del

devanado de excitación del rotor de la máquina, y el eje q rotado 90º eléctricos

respecto de éste.

Sea θ el ángulo que representa la posición del eje d del rotor respecto al eje

magnético de la fase a.

Autoinducciones de los devanados estatóricos:

θ2cos20 ⋅+= aaaaaa LLl

−⋅+=3

22cos20

πθbbbbbb LLl

+⋅+=3

22cos20

πθcccccc LLl

Se puede ver que hay un término constante y uno que varía con el doble del ángulo

que representa la posición, ya que desde el punto de vista de la autoinducción del

estátor es igual el polo magnético norte que el sur, ambos sobre el eje d. Además

aquí se incluye la inductancia de dispersión de estos devanados, que también tiene un

término constante y uno periódico. En condiciones ideales pero nada alejadas de la

realidad se cumple que los coeficientes correspondientes al término constante y al

periódico son iguales para las tres fases, por lo que será lo considerado a partir de

ahora.

Inducciones mutuas entre los devanados estatóricos:

)3

2cos(20

πθ +⋅−−= ababab LLl

)2cos(20 πθ −⋅−−= ababbc LLl

)3

2cos(20

πθ −⋅−−= ababac LLl

Bajo la hipótesis de simetría entre las tres fases se cumple que los coeficientes de los

términos de frecuencia cero y del primer armónico son iguales en los tres devanados.

16

Naturalmente las autoinducciones recíprocas son exactamente iguales, ya que

representan el efecto del flujo ligado.

Inducciones mutuas entre estátor y rotor:

Devanado de campo con fase a:

θcosafdafd Ll =

Devanados amortiguadores con fase a:

θcosakdakd Ll =

θsinakqakq Ll −=

Devanado de campo con fase b:

−=3

2cos

πθbfdbfd Ll

Devanados amortiguadores con fase b:

−=3

2cos

πθakdakd Ll

−−=3

2sin

πθakqakq Ll

Devanado de campo con fase c:

+=3

2cos

πθcfdcfd Ll

Devanados amortiguadores con fase c:

+=3

2cos

πθckdckd Ll

+−=3

2sin

πθckqckq Ll

Supuesta la igualdad de coeficientes de cada uno de los devanados respecto de todas

las fases, como en todos los casos hasta ahora. Naturalmente habrá tantos devanados

17

amortiguadores como se precise, y cada uno de ellos tendrá sus propias

características en lo que a inducciones mutuas se refiere.

Esto significa que los flujos que concatenan cada una de las fases del estátor son:

[ ]

θθ

θπθ

πθθ

senLiLi

LiLLi

LLiLLi

akqkqakdkd

afdfdaaabc

aaabbaaaaaa

⋅⋅−⋅⋅+

⋅⋅+

−⋅+⋅

+

+⋅+⋅+⋅+⋅−=Ψ

cos

cos)3

2cos(

)3

2cos(2cos

20

2020

[ ]

−⋅⋅−

−⋅⋅

+

−⋅⋅+−⋅+⋅

+

−⋅+⋅−

+⋅+⋅=Ψ

3

2

3

2cos

3

2cos)2cos(

)3

2(2cos

32cos

20

2020

πθπθ

πθπθ

πθπθ

senLiLi

LiLLi

LLiLLi

akqkqakdkd

afdfdaaabc

aaaabaaabab

[ ]

+⋅⋅−

+⋅⋅

+

+⋅⋅+

+⋅+⋅

−−⋅+⋅+

−⋅+⋅=Ψ

3

2

3

2cos

3

2cos

3

22cos

)2cos(3

2cos

20

2020

πθπθ

πθπθ

πθπθ

senLiLi

LiLLi

LLiLLi

akqkqakdkd

afdfdaaaac

aaabbaaabac

Por otra parte los flujos que concatenan cada uno de los devanados rotóricos son:

para el devanado de campo

+⋅+

−⋅+⋅−⋅+⋅=Ψ3

2cos

3

2coscos

πθπθθ cbaafdkdfkdfdffdfd iiiLiLiL

18

y para cada uno de los amortiguadores presentes con su eje magnético sobre el eje d

o sobre el eje q

+⋅+

−⋅+⋅−⋅+⋅=Ψ3

2cos

3

2coscos

πθπθθ cbaakdkdkkdfdfkdkd iiiLiLiL

+⋅+

−⋅+⋅+⋅=Ψ3

2

3

2 πθπθθ seniseniseniLiL cbaakqkqkkqkq

Como se puede ver desde el punto de vista del rotor la inductancia vista del estátor es

constante para cualquier posición relativa entre ambos. Además el flujo rotórico

debido a las corrientes estatóricas parece componerse de la proyección de éstas sobre

el eje d y el eje q del rotor, lo cual sugiere ya la forma de la transformación de Park,

como cambio de sistema de referencia para incluir los efectos de las corrientes

estatóricas sobre el rotor de una forma mucho más simple. Además ésta simplificará

también las expresiones de los flujos que ligan las espiras estatóricas.

La forma usada para la transformación es la siguiente:

+−−−−

+−

⋅=

c

b

a

q

d

X

X

X

sensensen

X

X

X

2

1

2

1

2

1

)3

2()

3

2(

)3

2cos()

3

2cos(cos

3

2

0

πθπθθ

πθπθθ

Donde el 2/3 se puede sustituir por otro valor arbitrariamente elegido, pero que se

usa éste en concreto porque hace que los valores de pico de las variables dq0

coincidan con los de las variables abc.

Por tanto, transformando en las relaciones anteriores los flujos y las intensidades,

desarrollando y simplificando las expresiones obtenidas, tenemos que:

19

akdkdafdfdabaaaadd LiLiLLLi ⋅+⋅+

++⋅−=Ψ 020 2

3

akqkqabaaaaqq LiLLLi ⋅+

+−⋅−=Ψ 020 2

3

[ ]0000 2 abaa LLi −⋅−=Ψ

afddfkdkdffdfdfd LiLiLi2

3⋅−⋅+⋅=Ψ

akddkkdkdfkdfdkd LiLiLi2

3⋅−⋅+⋅=Ψ

akqqkkqkqkq LiLi2

3⋅−⋅=Ψ

Aquí se pueden definir algunos parámetros muy usados de la máquina de cara a su

caracterización en régimen permanente, como son la inductancia en eje directo y en

eje transverso:

++= 020 2

3abaaaad LLLL

+−= 020 2

3abaaaaq LLLL

Como se puede ver la relación entre flujo e intensidades es constante desde el punto

de vista de éste nuevo sistema de referencia. Esto hace que el sistema de ecuaciones

que describe el estado de la máquina relacionando las variables involucradas sea

mucho más sencillo, ya que será de coeficientes constantes, y computacionalmente

mucho más asequible en caso de querer simular su comportamiento como en este

texto se plantea.

Hay que destacar que no sólo se le debe otorgar una ventaja matemática a esta

transformación, sino que también debe dársele un significado físico. Éste es que al

20

estar ahora las corrientes referidas a un sistema de referencia fijo con el rotor, las

fuerzas magnetomotrices que éstas crean actúan en caminos de permeancia

constante, ya que no cambia ésta a lo largo del tiempo, por lo que las inductancias

asociadas a esos caminos, y que a la postre representan la relación entre la corriente y

el campo que crea ésta, son constantes.

Por tanto, las ecuaciones de estado electromagnéticas de la máquina son las

siguientes:

daqdd iRe ⋅−⋅−= θψψ &&

qadqq iRe ⋅−⋅+= θψψ &&

000 iRe a ⋅−=ψ&

fdfdfdfd iRe ⋅+=ψ&

kdkdkd iR ⋅+= ψ&0

kqkqkq iR ⋅+=ψ&0

con tantos devanados amortiguadores en cada eje como sea preciso para el modelado

correcto de los procesos transitorios en la máquina. En cada una de las ecuaciones

del estátor se pueden ver dos tipos de términos que involucran a los flujos, que son el

término que representa el efecto transformador, donde aparecen dψ& y qψ& , y que

deben su valor a la variación del flujo en sí misma, y el término que representa el

voltaje de velocidad, que es θψ &⋅− q y θψ &⋅d , que debe su valor a la propia existencia

de un flujo y al movimiento relativo de éste respecto a las bobinas estatóricas.

Por otra parte, a efectos del modelado mecánico de la máquina debemos saber que el

par electromagnético desarrollado por ésta es, en función de las nuevas variables dq0

el siguiente:

( )2

º

2

3 polosniiT dqqdelec ⋅⋅−⋅⋅= ψψ

21

1.3 Unitarias y otras consideraciones

Para el uso más cómodo y a la postre más práctico del modelo es necesario que sea

implementado en magnitudes por unidad, ya que es la forma en la que habitualmente

se encuentran los parámetros definitorios de las máquinas.

Para esto tenemos que, para el estátor:

Tensión base……………………………………valor de pico fase-neutro

Intensidad base…………………………….valor de pico de la intensidad

Frecuencia base………………..….…frecuencia sincrónica de la red (Hz)

Velocidad base……………………….pulsación eléctrica de la red (rad/s)

Velocidad mecánica base………..la de la máquina en sincronismo (rad/s)

Impedancia base…………………..……cociente tensión/intensidad base

Inductancia base……………………cociente impedancia/velocidad base

Flujo base…………………….….producto inductancia x intensidad base

Potencia base………………...3/2 del producto tensión x intensidad base

Par base……………………..cociente potencia/velocidad mecánica base

Tiempo base…………………………….…1segundo (se usará en reales)

Para escoger el sistema de unitarias del rotor se debe seguir en primer lugar el

criterio de igualdad de potencias base entre todos los circuitos de rotor y estátor. Esto

hace que las inductancias mutuas entre circuitos rotóricos y estatóricos se conserven

iguales en magnitudes por unidad, interesante para simplificaciones posteriores de las

ecuaciones.

Por tanto debe cumplirse la siguiente relación entre las tensiones e intensidades base

de todos los circuitos presentes:

sbasesbasekqbasekqbasefdbasefdbasekdbasekdbase IUIUIUIU ⋅=⋅=⋅=⋅2

3

22

Al expresar las variables rotóricas en unitarias se consigue el mismo efecto que al

referir las variables del rotor al estátor.

Por tanto se tendrá un valor de intensidad base para cada circuito rotórico:

sbase

afd

adfdbase I

L

LI ⋅=

sbase

akd

adkdbase I

L

LI ⋅=

sbase

akq

aq

kqbase IL

LI ⋅=

Y la tensión base del circuito de excitación:

fdbase

basefdbase

I

SU =

Lo cual significa que el valor en unitarias de la tensión de excitación no se

corresponderá con el que típicamente se hubiera usado eligiendo como base para esta

tensión la que corresponde a la excitación en vacío.

Por otra parte, el valor de los flujos en eje d y e eje q en todos los circuitos dispuestos

sobre esos ejes es casi igual en todos ellos, salvo por el flujo disperso, que sólo

atravesará a cada uno de ellos. Es por esto por lo que a efectos prácticos se considera

una inductancia común a todos los circuitos en cada uno de los ejes, y se le añade a

ésta una de dispersión propia de cada circuito, de tal forma que relacione la corriente

que por él circula con un flujo disperso adicional al común a todos los circuitos. Por

tanto:

lmdd LLL +=

lmqq LLL +=

23

fmdff LLL +=

kdmdkkd LLL +=

kqmqkkq LLL +=

(con tantos devanados amortiguadores como hubiera)

De esta manera los parámetros que definen la máquina pasan a ser las inductancias

en eje directo y transverso, mdL y mqL , la inductancia de dispersión del estátor, lL , la

inductancia de dispersión del devanado de campo fL , y las de dispersión de cuantos

amortiguadores existiesen kdL y kqL . Esto es bastante útil una vez implementado, ya

que si se quiere eliminar el efecto de alguno de los devanados, por ejemplo de los

amortiguadores, basta con dar a su inductancia de dispersión un valor muy alto.

Una vez hechos estos cambios, así como el paso a unitarias, tenemos que, las nuevas

ecuaciones de estado del sistema son:

daqd

base

d iRe ⋅−⋅−= ωψψω

&1

qadq

base

q iRe ⋅−⋅−= ωψψω

&1

000

1iRe a

base

⋅−= ψω

&

fdfdfd

base

fd iRe ⋅+= ψω

&1

kdkdkd

base

iR ⋅+= ψω

&1

0

kqkqkq

base

iR ⋅+= ψω

&1

0

24

siendo ω la velocidad eléctrica del sistema de referencia respecto del estátor, que al

ser solidario con el rotor coincide con la velocidad eléctrica del propio rotor, que en

unitarias es igual a la velocidad mecánica de éste, y por tanto de la máquina.

Además las relaciones entre las corrientes y cada uno de los flujos existentes queda

de la siguiente manera:

[ ] mdkdmdfdlmddd LiLiLLi ⋅+⋅++⋅−=Ψ

[ ] mqkqlmqqq LiLLi ⋅++⋅−=Ψ

000 Li ⋅−=Ψ

[ ] mddmdkdfdmdfdfd LiLiLLi −⋅++⋅=Ψ

[ ] mddkdmdkdmdfdkd LiLLiLi ⋅−+⋅+⋅=Ψ

[ ] mqqkqmqkqkq LiLLi ⋅−+⋅=Ψ

Por otra parte en unitarias la ecuación que liga las variables eléctricas con el

comportamiento mecánico de la máquina es:

dqqdnéticoelectromag iiM ⋅−⋅= ψψ

siendo néticoelectromagM el par electromagnético, fruto de la interacción entre corrientes

y campos magnéticos.

Aunque en el apartado dedicado al modelado del eje de la máquina se desarrollará un

modelo más complejo, a priori se puede considerar el siguiente modelo del conjunto

de masas acopladas:

elecmecmec MM

dt

dI −=ω

resultado de la particularización

de la ley de Newton para sistemas rotativos. Donde por tanto se está haciendo la

hipótesis de infinita rigidez del eje, considerándose todas las masas reducidas a una

sola, siendo I el momento de inercia del conjunto, y mecM el par mecánico que se le

25

entrega a ese conjunto de masas, en caso de un alternador de signo positivo.

Habitualmente se usa en magnitudes por unidad, quedando ésta como

elecmecc MM

dt

dH −=ω

2 con todas las variables en

unitarias y siendo base

basemec

S

IH

2

2

1 ω⋅⋅= la constante de inercia, con dimensiones de

tiempo.

1.4 Implementación del modelo

Para la implementación del modelo se hizo uso de Simulink, perteneciente al entorno

de trabajo de Matlab, y herramienta muy útil por ser un entorno gráfico de cómodo

uso y fácil aprendizaje.

Para esto se desarrollaron varios “bloques” que representan cada una de las partes a

modelar, anteriormente expuestas, que son:

-Transformación de referencia rotativa a referencia trifásica y viceversa

-Ecuaciones electromagnéticas de la máquina

-Ecuación del par electromagnético

-Ecuación mecánica de la máquina

A continuación será explicado el funcionamiento de cada uno de estos bloques.

1.4.1 Bloques de cambios de referencia

Hay dos, uno para transformar las variables de entrada a la máquina, que en este caso

son las tres tensiones del nudo del sistema al que esté conectada, y otro para

transformar las variables de salida, que serán las intensidades inyectadas a la red por

parte de la máquina.

26

Dado que la máquina está modelada en ejes solidarios a su rotor para convertir las

tensiones en referencia trifásica a una referencia solidaria al rotor debemos conocer

la posición de éste, para poder así hallar la proyección del vector espacial tensión

sobre cada uno de los ejes del nuevo sistema. Por tanto la operación realizada es la

transformada de Park, tal y como se definió en el apartado anterior. Y las variables

de entrada son las variables a convertir y la posición del eje d respecto del eje

magnético de la fase a del estátor. En ocasiones la implementación, con el objetivo

de reducir operaciones y cálculos al computador, y por tanto aprovechar más su

capacidad (aunque esto ya no sea un problema habitualmente) se usan como

variables de entrada las tensiones trifásicas y adicionalmente una señal bidimensional

cuyas componentes son el seno y el coseno del ángulo antes mencionado. Esto se

puede ver implementado en la librería Power System Blockset de Simulink, que fue

el bloque utilizado para éste propósito.

Para la transformación de las variables de salida a referencia trifásica se requiere

también conocer la posición del sistema de referencia rotórico. Ya que la

transformación es la inversa de la de Park, su implementación matemática será

mediante la matriz inversa de la matriz que representaba la transformación de Park.

Como se ha comentado las variables de salida usadas son las intensidades, pero

podrían ser otras, como los flujos, en cuyo caso valdría exactamente igual.

Fig. 1.1 cambios de referencia usados, de la librería Power System Blockset

27

1.4.2 Bloque electromagnético de la máquina

Se desarrolló un bloque cuyas variables de entrada eran las tensiones referidas a los

ejes solidarios al rotor de la máquina, la tensión aplicada al devanado de campo, y la

velocidad de la máquina, todo ello en magnitudes por unidad. En cuanto a las

variables de salida son simplemente las necesarias para la simulación que se llevará a

cabo, es decir, intensidades en referencia rotórica y flujos mutuos en eje d y en eje q,

que serán necesarios para el cálculo del par electromagnético.

El modelo responderá exactamente a las ecuaciones en p.u. de la máquina antes

comentadas. Se representarán dos devanados amortiguadores en eje d, y tres en eje q,

que una vez se vaya a particularizar para una máquina concreta se podrá omitir su

uso dándole valores elevados a las inductancias de dispersión y a las resistencias de

cada uno de esos devanados, que anulen la intensidad que circule por ellos, de tal

forma que su efecto sea nulo. Por otra parte, y como se explicará más adelante se

tendrá como opción incluir una resistencia en el devanado de campo, que se usará en

caso de querer simular un arranque con una resistencia adicional en éste. Además se

podrá incluir el efecto de la reactancia de algún elemento acoplado en serie entre la

máquina y la red, como pudiera ser una línea o un transformador, lo cual también

será explicado en apartados posteriores. La apariencia externa del modelo se puede

ver en la Fig. 1.2 a), y el esquema interno en la 1.2 b).

Fig. 1.2 a)

28

Fig 1.2 b)

En la Fig 1.2 b) se puede ver en la parte superior izquierda la entrada de las variables,

que son las tensiones, a las cuales se le suman los voltajes de velocidad, que

requieren el valor de la velocidad en cada momento por tanto, por lo que se precisa

como variable de entrada. A continuación se pasan estas variables a un bloque que

las integre. Para esto se usa un formato de espacio de estado en el que las variables

de estado son los flujos en cada uno de los devanados.

Si u es el vector de entradas, x es el vector de estado, e y es el de salidas, tenemos

que:

xy

BuAxx

=+=&

donde:

29

( )( )

⋅⋅

⋅⋅−

⋅⋅+

=

0

0

0

0

0

0

0

basefd

base

basedq

baseqd

e

e

e

e

u

ωω

ωωψωωψ

Donde B es la matriz identidad de dimensiones 9x9, y A es la matriz por la que

multiplicaremos los flujos para obtener las caídas de tensión en los devanados, por lo

que debe relacionar los flujos con las intensidades, y a continuación multiplicar cada

una de éstas por la resistencia del devanado correspondiente.

Sea I_F la matriz que relaciona las intensidades con los flujos, definida a partir de las

relaciones el apartado anterior, pero ampliando la consideración a tres devanados

amortiguadores en eje q y dos en eje d, y será por tanto cuadrada de 9x9 con la

siguiente configuración:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

+−+−

+−+−

+−+−

−+−

+−

=

qkmdmdmdmq

mdqkmdmdmq

dkmdmdmdmd

mdmdqkmdmq

mddkmdmdmd

mdmdfdmdmd

l

mqmqmqlmq

mdmdmdlmd

LLLLL

LLLLL

LLLLL

LLLLL

LLLLL

LLLLL

L

LLLLL

LLLLL

FI

3

2

2

1

1

00000

00000

00000

00000

00000

00000

00000000

00000

00000

_

Sea F_I la matriz inversa de la anterior, que multiplicada por el vector flujos da el

vector intensidades. A su vez éste se debe multiplicar por las resistencias, y cada una

de ésas caídas de tensión por baseω , por lo que la matriz A debe ser la siguiente:

30

⋅

⋅

= IF

r

r

r

r

r

r

r

r

r

A

qk

qk

dk

qk

dk

fd

a

a

a

base

base

base

base

base

base

base

base

base

_

00000000

00000000

00000000

00000000

00000000

00000000

00000000

00000000

00000000

3

2

2

1

1

ωω

ωω

ωω

ωω

ω

De esta forma la salida del espacio de estado será el valor del flujo en cada instante.

A continuación se calculan las intensidades multiplicando éste vector de flujos por la

matriz F_I, obteniendo así el vector que contiene los valores instantáneos de cada

una de las nueve intensidades.

1.4.3 Ecuación del par

El par electromagnético viene dado en magnitudes unitarias por la relación

dqqdnéticoelectromag iiM ⋅−⋅= ψψ , por lo que la implementación es muy sencilla,

habiéndose desarrollado el bloque sin problema reseñable, terminando con el

siguiente aspecto:

Fig. 1.3

31

1.4.4 Ecuación mecánica de la máquina

Primero se desarrolló un modelo que suponía concentradas como si fueran una todas

las masas acopladas al eje. Más tarde, y como se explicará en el apartado que se

refiere al modelado del eje, se desarrolló un modelo en el que se considera cada masa

separada de las demás y unidas entre sí por ejes, de tal forma que se pueda simular,

como es el objetivo del proyecto, los pares en cada uno de los segmentos del eje.

Para el modelado, se realizó de tal forma que las variables de entrada fueran el par

mecánico proveniente del conjunto de turbinas y el par electromagnético,

proveniente de la interacción entre rotor y estator. Por otra parte las de salida son la

velocidad del conjunto, y como integración suya el ángulo girado, que dará la

posición del rotor, y que por tanto será fundamental a la hora de los cambios de

sistema de referencia. En la Fig.1.4 se puede ver el aspecto de éste bloque. Está

configurado de tal forma que se pueda dar la inercia tanto en magnitudes reales como

en magnitudes unitarias, por medio de la constante de inercia H. Incluye además un

rozamiento viscoso que se opone al movimiento con una par proporcional a la

velocidad que en ese momento lleva la máquina.

Fig. 1.4

1.5 Validación del modelo

Dado que el objeto final del modelo de la máquina síncrona es una simulación

bastante precisa y compleja, es deseable comprobar que el funcionamiento se ajusta

32

correctamente a lo que del modelo se espera. Para validarlo se realizaron distintas

pruebas de funcionamiento, que ayudaron a detectar errores que hubieran adulterado

e invalidado por completo los resultados. De estas se obtuvieron resultados que en

algunos casos se podía comprobar cuantitativamente su corrección, y en otros

cualitativamente. Estos ensayos fueron:

-Funcionamiento en régimen permanente de la máquina síncrona

-Cortocircuito trifásico a tierra

-Cortocircuito fase-tierra en bornas de la máquina

-Respuesta dinámica ante cambios en la tensión de excitación

-Comportamiento del modelo ante armónicos de tensión

A continuación se mostrarán los resultados obtenidos en cada uno de ellos y se

evaluará el modelo en virtud de ellos.

1.5.1 Funcionamiento en régimen permanente

El primer punto de funcionamiento analizado fue el de excitación correspondiente a

la excitación en vacío, con la cual para P=0 la intensidad es prácticamente nula al no

haber generación ni consumo de activa ni de reactiva.

Precisamente por no haber intensidad la reacción de inducido debe ser nula, por lo

que la f.e.m. interna de la máquina debe coincidir con la tensión de la red. Esto nos

posibilita hallar la relación entre la intensidad de excitación y esta f.e.m. interna.

Además la tensión de excitación, en régimen permanente, se relaciona con la

intensidad de excitación a través de la resistencia del devanado de campo. Esta

intensidad de excitación será además la intensidad de excitación en vacío.

Una vez conocida esta tensión de excitación que proporciona la intensidad de

excitación en vacío ya se puede controlar el valor de ésta para ensayos a distintas

33

potencias. Por tanto, a partir de la componente activa de la intensidad, que

conocemos dado que la potencia mecánica del alternador es conocida (y en p.u.

coinciden), a partir de la tensión en bornas, impuesta por la red, que será de 1 p.u. en

todos los ensayos, y a partir de la intensidad de excitación, proporcional a la f.e.m.

interna de la máquina 0E , podemos hallar el valor del ángulo de carga, de la

componente reactiva de la intensidad (y por tanto de la intensidad total), y de las

componentes d y q de ésta, sin más que trabajar sobre el diagrama vectorial usual, tal

y cómo se puede ver en la Fig.1.5. En régimen permanente y despreciando el par de

reluctancia es conocido que:

θsenX

UEP

s

⋅= 0

siendo U la tensión en bornas, 0E la f.e.m. interna, sX la reactancia síncrona, y P la

potencia activa transmitida a la red, y θ el desfase entre estas dos tensiones. Aunque

no tiene en cuenta el efecto de la asimetría en caso de ser una máquina de polos

salientes aproximará el valor del ángulo de carga, y servirá para estimarlo. En la Fig.

1.5 se puede ver el ángulo de carga como el que forman los fasores U y 0E calculado

de forma más precisa, ya que sí cuenta con el efecto de la asimetría del rotor.

34

Fig.1.5

Los resultados obtenidos en las simulaciones concuerdan plenamente con los teóricos

obtenidos de forma similar a lo que se ve en la Fig. 1.5, por lo que parece que en

cuanto al régimen permanente el comportamiento del modelo es impecable.

Quedaría por reseñar que el límite estático de entrega de potencia de la máquina es:

sX

UEP

⋅= 0

max

Se puede comprobar que esto es también correcto, ya que trabajando cerca de éste

limite la máquina funciona de forma estable y a partir de entregarle una potencia

mecánica por el eje superior a éste límite de la potencia eléctrica que es capaz de

evacuar la máquina pierde sincronismo, una vez su ángulo de carga supera los 90º y

35

entra en su zona inestable de funcionamiento. En la figura 1.6 se puede ver la

evolución del ángulo de carga en este supuesto.

Fig. 1.6

Aunque este ensayo del límite de estabilidad no muestra exactamente el límite

dinámico, salvo que se haga con escalones de par muy pequeños partiendo de pares

que hagan trabajar a la máquina muy cerca de 90º, si muestra que la dinámica del

modelo es cualitativamente igual a la esperada para él.

Este ensayo se repitió con éxito para otros valores de potencia mecánica y de

excitación, resultando en todos los casos muy cercanos los valores simulados y los

calculados, por lo que el modelo pasó exitosamente esta prueba de funcionamiento

estático en carga.

36

1.5.2 Cortocircuito trifásico en bornas

El objeto de éste era comprobar la respuesta fuera del régimen permanente del

modelo, y para ello la prueba más extrema a la que se le puede someter es un

cortocircuito en bornas. Para su simulación basta con cambiar las variables de

entrada, que son las tensiones, del valor que tengan en ese momento a cero. Se puede

comprobar que la respuesta es tal y como se debiera esperar, coincidiendo los valores

de la intensidad con los que se pueden estimar para el régimen transitorio y

subtransitorio, dados por los valores de las reactancias transitorias y subtransitorias,

que derivan de la reactancia operacional, dada por las relaciones entre corrientes y

flujos en eje d y en eje q, en el dominio de Laplace. En las siguientes figuras 1.7, 1.8,

y 1.9 se puede ver la evolución de la corriente de las fases a, b, y c respectivamente.

Se aprecia que la componente unidireccional es distinta en las tres fases, ya que

depende de la posición del rotor en el momento del corto. Se comprobó que

realmente esto era así, de tal forma que cambia el valor de la corriente unidireccional

en cada fase en función de la posición relativa entre el rotor y el eje magnético de la

fase en cuestión.

Fig. 1.7

37

Fig. 1.8

Fig. 1.9

Por tanto el modelo respondió satisfactoriamente a esta prueba.

38

1.5.3 Cortocircuito fase-tierra en bornes de la máquina

La corriente de corto en este caso es tres veces la componente homopolar del sistema

trifásico de intensidades, y depende por tanto de manera fundamental de la

impedancia de puesta a tierra del neutro de nuestra máquina. En nuestro caso, y

como se puede ver en las ecuaciones, concretamente en la ecuación de la

componente homopolar, la resistencia vista por una corriente homopolar es la misma

que por otra componente cualquiera (directa o inversa), lo cual significa que la

impedancia de puesta a tierra es nula. En caso de que no sea así deberíamos incluir

los términos oportunos, no sólo de resistencia, sino de cualquier otro elemento que

relacione la Io y Uo, o tensión de neutro. Para no entrar en complicaciones y no tener

que alterar el modelo sustancialmente sólo consideraremos la posibilidad de colocar

una resistencia uniendo el neutro y tierra. Si la máquina tiene el neutro rígidamente

unido a tierra se pueden ver las corrientes de falta en la fase de la falta y la

componente homopolar en las figuras 1.10 y 1.11

Fig. 1.10

39

Fig. 1.11

Se puede ver cómo la corriente de la fase en falta es aproximadamente tres veces la

homopolar. Para reducir éstas corrientes se puede incluir una resistencia de puesta a

tierra, que en el modelo se reflejará en el incremento del valor de la resistencia que

ve la componente homopolar, que dejará de ser distinta de la que ven las demás

fases. Si se incluyera una reactancia bastaría con sumar el valor de ésta al valor de la

reactancia de dispersión de la máquina en lo que a la secuencia homopolar se refiere.

En la Figura 1.12 se puede ver el valor menor de la intensidad homopolar añadiendo

una resistencia de puesta a tierra, tal y como debe ocurrir.

40

Fig. 1.12

Se puede ver también en este caso cómo el modelo satisface las expectativas y se

comporta reflejando los resultados tal y cómo se esperaba.

1.5.4 Respuesta dinámica ante cambios en la tensión de excitación

La respuesta esperada ante una solicitación de este tipo es el reajuste del ángulo de

carga, para mantener la potencia activa transferida, y la variación de la potencia

reactiva entregada o consumida, que a efectos de intensidad se puede ver como una

variación en la componente reactiva de ésta, y por tanto en el módulo de la

intensidad. Dependiendo de lo amortiguado que esté el modelo, tanto desde el punto

de vista mecánico como electromagnético la evolución será cualitativamente distinta.

Si está poco amortiguado puede incluso haber sobrepaso al evolucionar el ángulo de

carga. No es propósito de este texto pero el comportamiento es asimilable a un

sistema de segundo orden. Por tanto el modelo también respondió correctamente a

ésta prueba.

41

1.5.5 Comportamiento del modelo ante armónicos de tensión

Dado que el propósito del modelo es el de estudiar su comportamiento ante ciertas

perturbaciones de frecuencias distintas a la fundamental se verá si responde

adecuadamente ante ellas. En primer lugar se usará una red cuyas fases son un

sistema trifásico equilibrado, al que se le añadirá otro de amplitud sensiblemente

menor (del orden de la décima parte), de frecuencia cinco veces la fundamental, y de

secuencia inversa. Esto simulará la existencia de quinto armónico en un sistema

trifásico equilibrado. Se espera que el resultado de esto sea la aparición de una

componente oscilatoria en el par de régimen permanente de la máquina, en este caso

de 300Hz, por ser ésta la diferencia de frecuencias de giro entre el rotor, que se

espera que siga a la secuencia directa y el ampo creado por la inversa, que girará a

250Hz pero en sentido contrario. Esto se confirma en la figura 1.13.

Fig.1.13

42

Conclusiones sobre el modelo implementado para la máquina síncrona

El modelo ha respondido satisfactoriamente a todas las pruebas a las que se vio

sometido, por lo que parece fiable de cara a obtener resultados válidos y correctos en

simulaciones posteriores. Por tanto esta fase del proyecto finalizó con éxito.

2. Modelado del motor de inducción

El modelado de un motor de inducción, dada la parecida naturaleza de éste con la de

la máquina síncrona, es muy similar al de ésta. Se puede pensar en colocar la

referencia de los ejes d-q solidaria al rotor como en el caso de la máquina síncrona, o

al campo giratorio creado por el estátor. Dado que el caso particular a analizar se

refiere a una máquina síncrona arrancada en forma asíncrona gracias al efecto de sus

devanados amortiguadores, y por tanto los valores de los parámetros disponibles

vendrán dados en la forma usual de la máquina síncrona, se usará un modelo con

referencia situada solidaria el rotor, y que no se diferenciará en nada del modelo

usado para la máquina síncrona. Además el modelo debe responder adecuadamente a

un transitorio muy concreto, como es el arranque, con lo que la ventaja que pudiera

aportar otro modelado en caso por ejemplo de querer estudiar un régimen

permanente de máquina de inducción no es motivo suficiente como para que sea

necesario un modelado distinto al que se va a usar. Por tanto, en virtud de lo aquí

expuesto, el modelo de máquina de inducción será el mismo que el de máquina

síncrona. La única particularización adicional introducida será la de la colocación de

una resistencia en el devanado de campo de la máquina, así como que la tensión de

excitación aplicada a éste sea nula hasta que se alcance la velocidad de cuasi-

sincronismo después del transitorio de arranque. El objeto de colocar ésta resistencia,

así como el resultado de hacerlo se valorará en secciones posteriores dedicadas al

arranque en modo asíncrono de máquinas síncronas.

43

3. Modelado de la red eléctrica

Para modelar el comportamiento de la red durante esta simulación no se puede hacer

la suposición de que sea infinita, ya que las altas intensidades presentes lo

imposibilitan. Esa hipótesis implicaría que la tensión mantuviera su módulo

constante. Es sabido que el arranque de una máquina de inducción lleva aparejado

altas intensidades, sobretodo por el alto consumo de potencia reactiva para crear el

campo en el interior de la máquina. No es por tanto un problema de potencia activa,

sino de reactiva. Para modelar la caída de tensión en la red debida a esta gran

intensidad se usará una reactancia de salida de la red, o equivalente de Thévenin de

lo que hay en la red. Esta reactancia vendrá expresada, como es habitual, en forma de

potencia de cortocircuito.

Para la implementación en Simulink de una reactancia de salida de la red hay ciertos

problemas, ya que es necesario conocer las variables de salida, o intensidades, del

elemento que es alimentado por la red para conocer las variables de entrada al mismo

elemento. Esto plantea un lazo que si es demasiado complejo es difícil de resolver

para el algoritmo usado por el programa, pero esto sólo ocurre en caso de tratar por

separado todas las variables. Si se usan señales multidimesionales, en este caso tres

dimensiones, una por fase, este problema desaparece. Una vez superado este pequeño

inconveniente se desarrolló un modelo de la red en unitarias que da una señal de

tensión tridimensional, siendo cada una de sus dimensiones el valor instantáneo de la

tensión en cada una de las fases, de secuencia directa, a las que se añade la caída de

tensión debidas a las intensidades de salida de los elementos que se unen a ella.

Como los elementos se modelaron con criterio generador la caída de tensión se suma

a la tensión de la red, obteniéndose así la tensión en el nudo al que se conectan los

elementos.

El valor de la caída de tensión en la reactancia de salida equivalente será el siguiente:

44

dt

diLU

up

base

uccp

up

...... ⋅=

ω

Siendo ..uccpL el valor de la inductancia equivalente a la reactancia de cortocircuito de

la red, a la frecuencia eléctrica utilizada, que en unitarias se cumple que:

.... uccpuccp XL =

Y el valor de ésta segunda se puede obtener como:

2.... uredp

cc

baseuccp U

S

SX ⋅=

Siendo baseS el valor base de la potencia de la red, típicamente y en todas las

simulaciones aquí realizadas de 100MVA, ccS el valor de la potencia de corto en

MVA, y 2..uredpU el cuadrado del módulo de la tensión de la red en ese punto, en

unitarias, que como es lógico rondará la unidad, y así será en todas las simulaciones.

El aspecto que resulta tener el bloque de Simulink que representa la red será el que

aparece en la figura 3.1.

Fig. 3.1

45

4. Modelo de líneas y transformadores

La descripción de la topología de la instalación, como se explicó previamente es:

-Dos máquinas, una síncrona y otra asíncrona unidas por líneas y/o

transformadores a un nudo común de la red. Estas líneas y transformadores se

representan por sus reactancias serie.

-La red infinita unida a este mismo nudo por otra línea o reactancia de

salida del equivalente de Thévenin como se comentó en apartados precedentes.

En este apartado se trata de modelar las líneas y/o transformadores que unen las dos

máquinas con el nudo de la red eléctrica. No existe al respecto mayor problema,

puesto que podemos reducir sus reactancias a los ejes d-q de la máquina, incluyendo

por tanto éstos elementos como si fueran parte de la propia máquina rotativa. El

procedimiento es tan sencillo como un cambio de base de las matrices que relacionan

tensiones e intensidades en la línea.

Se cumple que:

[ ] [ ] [ ] [ ]maqseriemaqred Idt

dLUU ⋅+=

Siendo [ ]redU el vector tridimensional tensión al lado opuesto de la máquina, [ ]maqU

el vector tensión en el lado de la máquina, [ ]maqI el vector de intensidades, y [ ]serieL

la matriz trifásica de inductancias, que tendrá en su diagonal los valores de la

inductancia para cada una de las fases, es decir:

[ ]

=

c

b

a

serie

L

L

L

L

00

00

00

Típicamente cba LLL == para situaciones de equilibrio constructivo entre las tres

fases. Si así no fuera el desequilibrio será suficientemente pequeño como para no

considerarlo, dada la poca longitud de las líneas presentes, y el buen diseño que se le

supone a los transformadores en una instalación de este tipo. Todas éstas variables

trifásicas están referidas a un sistema de referencia fijo con el estátor de la máquina.

46

Si las referimos al rotor, usando la transformación de Park, representada por la matriz

[ ]sA , tenemos que:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]maqseriesmaqDQredDQmaqseriesmaqsreds Idt

dLAUUI

dt

dLAUAUA ⋅⋅+==⋅⋅+⋅=⋅ 00

Por otra parte

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]

⋅−⋅=⋅⋅=⋅⋅ maqsmaqsseriemaqsseriemaqseries IAdt

dIA

dt

dLI

dt

dALI

dt

dLA

Lo cual es igual a

[ ] [ ]

⋅−

⋅

+⋅0

0 dserie

qserie

rmaqDQserie iL

iL

Idt

dL ω , siendo rω la velocidad relativa entre el sistema

de referencia usado en el modelo de la máquina y el estátor, que en este caso

coincide con la velocidad de rotación de la máquina.

Lo cual significa que se pueden integrar los valores qserie iL ⋅ dserie iL ⋅− y como flujo

q y flujo d de la línea, ya que aparecen tal y como lo hacen en las ecuaciones, en

forma de voltajes de efecto transformador, y de voltajes de velocidad. Eso significa

que basta con cambiar los valores de las inductancias en eje d y en eje q de la

máquina y añadirle serieL . Dado que el modelo de la máquina desarrollado es en

magnitudes unitarias es necesario tomar la precaución de que esta inductancia esté en

unitarias y en la misma base que la propia máquina.

Si a partir de aquí se quisieran conocer las tensiones en bornas de la máquina bastaría

con restar las caídas de tensión correspondientes a las intensidades en referencia

trifásica en las inductancias de valor serieL . Si se quisiera modelar algún sistema de

control como el regulador de tensión puede que este tome su medida en bornas de la

máquina, por lo que se usaría esa tensión. Por tanto, cualquier línea o transformador

a la salida de la máquina se incluirá en esta, pudiéndose a partir de ahí tratar todo el

conjunto como una sola cosa.

47

5.Modelo de turbinas y control primario

El turbogenerador aquí utilizado utiliza la energía almacenada en un flujo de vapor

de agua a alta presión y temperatura y lo transforma primero en energía mecánica y

luego en eléctrica. El modelado de la respuesta dinámica de la turbina aquí usado es

el que se suele utilizar para estudios dinámicos de sistemas de energía eléctrica,

como pudieran ser estudios de estabilidad. Por tanto es un modelo muy sencillo, que

simplifica hasta el extremo los fenómenos físicos como no podía ser de otra manera,

pero que ofrece resultados bastante precisos, lo suficiente como para que no sea

necesario complicar más el modelo.

Para la explicación de todo lo concerniente al modelo se usará el caso particular en

este proyecto estudiado, sin perder generalidad por otra parte en los desarrollos

teóricos.

Un esquema de la instalación a modelar es el visto en la figura 5.1

Fig. 5.1

48

Como se puede ver el sistema de turbinas que funciona cediendo energía mecánica al

alternador a través del eje consta de tres cuerpos, uno de alta, y dos de baja presión.

Esto es una configuración muy habitual en centrales nucleares del tipo PWR

(Presure Water Reactor). Además de las turbinas tenemos elementos de control de

flujo, como son:

-Válvula de control, en el esquema aparece como VC. Sirve para la regulación

primaria, y por tanto sigue consignas del control primario. Se encuentra ubicada de

tal forma que almacena una cierta cantidad de vapor, algo que es muy importante

para el modelado como se verá más adelante.

-Válvulas de intercepción (VI). Una para cada turbina de baja presión, antes de éstas.

La respuesta de las turbinas de baja presión ante cambios en la consigna de la válvula

de control es muy lenta, lo cual hace necesario situar dos válvulas antes de éstas. La

utilización de estas válvulas se restringirá a situaciones extremas, como actuación de

las protecciones, y habitualmente estarán totalmente abiertas dejando circular

libremente el flujo de fluido.

Por otra parte hay otros dos elementos, en el croquis llamados SHR, acrónimo de

Separador de Humedad Recalentador, cuya misión es la de separar el agua ya

condensada, y de paso devolver el vapor a la temperatura con la que salió de la

caldera, o en éste caso del reactor. Estos elementos son muy importantes para el

modelado ya que en ellos, de gran volumen, se almacena una gran cantidad de vapor,

lo cual se traducirá en inercias y retardos.

El objeto de éste apartado es conseguir por tanto un modelo sencillo pero

representativo de la respuesta dinámica de todos estos elementos.

5.1 Volumen de vapor

Sea un volumen de control definido por paredes infinitamente rígidas, lo que quiere

decir que su volumen no cambia sea cual sea la presión interior, y al que llegan dos

49

conductos, uno de entrada y otro de salida. La ecuación de continuidad de la

mecánica de fluidos aplicada a este volumen dice que:

( )dt

dVQQV

dt

dsaleentra

ρρ ⋅=−=⋅

Donde V es el volumen, ρ es la densidad y t es el tiempo.

Sea además la hipótesis de que el caudal que sale es proporcional a la presión

existente en el volumen de control, linealizando a partir del punto de funcionamiento

nominal de la siguiente manera:

PP

QQsale ⋅=

0

0

Sea además la temperatura constante, por lo que:

dt

dP

dP

d

dt

d ⋅= ρρ

Por tanto:

dt

dQ

Q

P

dP

dVQQ sale

saleentra ⋅⋅=−0

0ρ

Donde dP

dρ viene dado en las tablas termodinámicas del fluido empleado, interesando

usar el valor correspondiente al punto de funcionamiento nominal, definido por una

presión y temperatura determinadas. En el dominio de Laplace esta ecuación tendrá

el siguiente aspecto:

salesaleentra QsQ

P

dP

dVQQ ⋅⋅⋅=−

0

0ρ

50

Si 0

0

Q

P

dP

dVTvolumen ⋅= ρ

es la constante de tiempo ya está definida la función de

transferencia entre los caudales de entrada y salida de fluido al volumen de control

bajo las hipótesis anteriormente realizadas, siendo:

volumenentra

sale

TsQ

Q

⋅+=1

1

Sobre las hipótesis realizadas cabe decir que la rigidez del contorno del volumen de

control puede considerarse cierta si no hay variaciones demasiado grandes de la

presión, que el caudal que sale es proporcional a la presión es cierto alrededor del

valor nominal del caudal, ya que suponiendo que aguas abajo hay una turbina de

vapor la relación entre salto de presiones y caudal en ésta no es lineal, aunque cerca

del punto normal de funcionamiento si se puede aproximar por su tangente, que es lo

que aquí se hace. Por otra parte implícitamente se está haciendo la hipótesis de que

no hay ningún fluido disuelto en el de trabajo, lo cual introduciría una nueva

complicación al poder precipitar una parte al aumentar la presión, o al depender su

densidad de la presión de distinta manera que en el otro. Esta hipótesis es correcta, ya

que por ejemplo la presencia de gases no condensables es pequeña, al eliminarse en

el desaireador y en los eyectores del condensador. Esto, al igual que la elasticidad del

contorno hubieran introducido nuevas constantes de tiempo, complicando la función

de transferencia.

5.2 Etapa de turbina

La hipótesis fundamental en este punto para determinar el comportamiento de cada

uno de los cuerpos de turbinas es que el par desarrollado es proporcional al caudal.

Una vez más esto es correcto alrededor del punto de trabajo nominal, allá donde se

pueda aproximar la curva Par-Caudal de la turbina por su tangente. Por tanto:

QKTmec ⋅=

51

5.3 Válvulas

Típicamente la relación entre flujo másico y apertura no es lineal. Además el tipo de

curva depende del tipo de válvula o regulador de caudal utilizado. Se puede

considerar el flujo másico proporcional al área de paso que deja la válvula al fluido.

En válvulas de control interesa que el área de paso varíe poco al cambiar la apertura

alrededor del punto de funcionamiento, que es lógicamente el de totalmente abierta,

para poder regular con más precisión el caudal. A pesar de esto se considerará que

las válvulas tienen una característica lineal, ya que la importancia de la precisión del

funcionamiento de esta parte es reducida, ya que si que jugará un papel necesario,

pero no condicionará la aparición de oscilaciones en el eje debido a otras causas.

El caudal que deje pasar la válvula en cualquier caso será el producto entre el área de

paso que deja ésta y la diferencia de presiones aguas arriba y aguas abajo. Dado que

en un régimen no demasiado extremo la presión aguas abajo no crecerá demasiado en

ocasiones se considerará proporcional sólo a la presión aguas arriba.

Por otra parte las válvulas llevaran asociado un volumen de vapor, contenido en el

volumen de control que concierne a la válvula y espacios anejos a éste, por lo que

aparecerá una constante de tiempo y la válvula llevará implicada una respuesta de

sistema de primer orden.

5.4 Modelo del conjunto de turbinas

Para integrar todos los elementos que aparecen en el esquema sólo hay que ir paso a

paso con las relaciones desarrolladas.

De esta forma, si tenemos una presión de alta determinada el caudal que llegará al

volumen de control en que se encuentra la válvula será:

presiónAPpasodeAreaQentra ⋅=

52

La presión de alta (AP) se considerará perfectamente constante, ya que la determina

la bomba de circulación que manda el fluido líquido al evaporador. Las dinámicas

de control de estas bombas, así como las de la caldera son de un rango temporal

mucho mayor que no interesa modelar ya que no aportan nada a la simulación de la

que es objeto el modelo.

Por otra parte el caudal que dejará pasar la válvula coincide con el anterior en el

régimen permanente, pero no será instantáneo debido a la compresibilidad del gas,

como se explicó en 5.1. Por tanto:

VCentra

sale

TsQ

Q

⋅+=1

1

Los valores de las constantes de tiempo asociadas a este tipo de válvulas de control

suelen ser de una pocas décimas de segundo.

A continuación hay una turbina, donde el par desarrollado será proporcional a este

caudal, con una constante u otra en función de la fracción de la potencia desarrollada

en el cuerpo de alta de la turbina.

A continuación el vapor, a una presión media llega al recalentador. El caudal que

sale de la etapa anterior es el que entra aquí. Además la presión en el recalentador,

que evolucionará según la diferencia de caudales entrantes y salientes, será

proporcional al caudal saliente, a través del producto entre ésta presión y la posición

de la válvula de intercepción, que en éste caso siempre permanecerá abierta. Por

tanto el diagrama de bloques de esta función de transferencia queda reflejado en la

figura 5.2.

53

Fig. 5.2

Siendo en este caso Trh la constante de tiempo del recalentador, que en este caso

vale:

⋅=dP

dVTrh

ρ

El valor de Trh es de algunos segundos, dependiendo del tamaño del recalentador

fundamentalmente. El modelo implementado queda constituido en un bloque con el

aspecto de la figura 5.3. Por último, el par desarrollado por las turbinas de baja

presión es proporcional al caudal que sale de los recalentadores.

Todo lo aquí expuesto se desarrolla en magnitudes por unidad, de tal forma que la

entrada al modelo será un valor entre 0 y 1, siendo 0 la válvula totalmente cerrada y

1 totalmente abierta, y la salida el par en magnitudes unitarias.

54

Fig. 5.3

5.5 Control primario

El control primario es el que regula la potencia entregada por la máquina a la red.

Sus señales de entrada son la potencia de referencia, que es la que se quiere que se

entregue, y la velocidad en cada instante. La señal de velocidad se multiplica por la

ganancia del control, determinada por la curva de estatismo del generador, que da la

variación de la consigna de potencia en función del error de velocidad. Por tanto el

control considerado es de tipo proporcional. En otros casos pueden incluirse

adelantos o retrasos de fase dependiendo de las prestaciones que se desee que tenga

el control y de lo limitada que esté la estabilidad. En régimen permanente este error

de velocidad será nulo, por lo que será en los transitorios donde el control pueda

intervenir para frenar o acelerar la máquina. El mecanismo de control se modelará

como sistema de primer orden, con una constante de tiempo de varias centésimas de

segundo. Por otra parte hay que modelar el sistema electromecánico que moverá la

válvula propiamente dicha. Estos sistemas cuentan con un amplificador hidráulico,

son servomecanismos, por lo que su función de transferencia será una integración, y

cuentan con un bucle de realimentación para hacer el funcionamiento estable. La

velocidad a la que es capaz de moverse el sistema electromecánico está limitada

obviamente, así como sus posiciones extremas, entre 0 y 1, que será la que

corresponda a la válvula de control. El diagrama de bloques que representa el

funcionamiento puede verse en la figura 5.4.

55

Fig. 5.4

Las constantes de tiempo asociadas al servomecanismo son de algunas décimas, por

lo que la repuesta de la turbina será la que más retardo introduzca en la respuesta del

sistema conjunto control mas turbina. El aspecto del bloque implementado en

Simulink es el de la figura 5.5.

Fig. 5.5

56

6.Modelado del eje del turbogenerador

Para el desarrollo de un modelo dinámico de cualquier sistema elástico es necesario

conocer dos parámetros fundamentales, que son la rigidez y la inercia. La rigidez

relaciona las deformaciones con los esfuerzos, al igual que lo hace el módulo de

elasticidad, mientras que la inercia es la oposición al cambio de velocidad. Para

modelar con total exactitud es necesario contar con cada elemento infinitesimal, que

aportará su rigidez e inercia, por lo que la masa estará distribuida a lo largo de toda la

longitud. En el modelo de un eje trabajando a torsión cada sección tendría su propio

momento de inercia y su rigidez a torsión como se explicará a continuación.

Sea un sólido de sección circular de dimensiones pequeñas comparadas con su

longitud sometido a un esfuerzo de torsión variable o no en el tiempo. Sea una

sección de espesor diferencial dz de este mismo, donde z es por tanto la coordenada

longitudinal, que recorre todo el eje del sólido. El valor del momento torsor a ambos

lados de la sección escogida será:

lado a: T

lado b: dzdz

dTT ⋅+

Como es sabido el momento total de las fuerzas actuando sobre un sólido cualquiera

es igual al producto del momento de inercia del sólido respecto del eje en que se

sitúa ese momento por su aceleración angular, es decir:

2

2

02

2

0dt

dI

dz

dT

dt

ddzITdz

dz

dTT

θρθρ ⋅⋅=⇒⋅⋅⋅=−⋅+

57

Donde 0I es el momento de inercia polar de la sección (respecto de su eje), y ρ es

la densidad del material que constituye el sólido en cuestión. Además es sabido que

el ángulo girado se relaciona con el momento torsor de la siguiente manera:

2

2

00 dz

dIG

dz

dT

IG

T

dz

d θθ ⋅⋅=⇒⋅

=

Siendo G el módulo de elasticidad transversal.

Por lo que uniendo las dos expresiones tenemos que:

2

2

2

2

2

2

02

2

0dz

dG

dt

d

dz

dIG

dt

dI

θθρθθρ ⋅=⋅⇒⋅⋅=⋅⋅

Por lo que el ángulo girado respecto de la posición de equilibrio cumple la ecuación

de ondas, es decir, se propaga periódicamente en el tiempo y en el espacio, siendo el

espacio la dimensión longitudinal del sólido. Además las características de ésta

propagación, es decir la velocidad, sólo dependen del material del que esté

compuesto, y no del tamaño de la sección, aunque esta ecuación es menester decir

que sólo es válida para secciones circulares, caso típico en ejes de transmisión de

potencia, en los cuales la rigidez es proporcional al momento de inercia polar.

Si se resuelve esta ecuación de ondas para unas condiciones determinadas se hallarán

los infinitos modos de vibración y, en este caso particular, de torsión del eje. Será

necesario conocer en cada punto el valor de la densidad media y del módulo de

elasticidad transversal. Si éstos fueran constantes la resolución de la ecuación de

ondas podría ser sencilla, ya que sólo hay una dimensión espacial. Con ésta solución

se obtendrían las infinitas formas de respuesta natural del eje, o modos de torsión.

Pero solucionar esto no es viable, ni necesario. El eje se puede simplificar y escoger

un modelo de masas concentradas, donde las inercias estarán situadas en un número

finito de puntos. Esto nos dará como solución tantos modos de torsión como masas

58

se hayan escogido, al igual que antes se obtenían infinitos, por haber escogido

infinitas masas. Esto no debe ser una preocupación, pues los modos obtenidos son los

de menor frecuencia, que a la postre son los que nos interesan, ya que las frecuencias

excitadas serán bastante bajas. Es por este motivo por el que escoger un modelo de

masas concentradas es factible desde el punto de vista de la validez de los resultados.

Hay que señalar que las frecuencias de los modos obtenidas con masas concentradas

no serán exactamente las mismas que las obtenidas con un sistema de masas

distribuidas, precisamente porque en un caso estamos variando la distribución real de

inercias, aunque los valores numéricos si se aproximarán bastante. Más en este caso,

en el que no sólo se hace la hipótesis de que la masa esté concentrada, sino que en

realidad la masa se encuentra situada en ciertos puntos mas que en otros. Estos

puntos naturalmente son cada uno de los cuerpos acoplados al eje, es decir, turbinas,

alternador, y excitatriz si la hubiera.

Para el desarrollo del modelo, tal y como se ha escogido que éste sea, sólo es preciso

conocer los siguientes parámetros:

-Topología del eje

-Inercia de cada uno de los cuerpos

-Rigidez en cada tramo entre dos cuerpos

En un tramo de eje, entre dos cuerpos, la transmisión del esfuerzo será instantánea,

aunque se pudiera aproximar introduciendo un retardo, obtenido conociendo la

longitud del tramo del eje y la velocidad de propagación de la onda de torsión en ese

material. Lo que ocurre es que este retardo será tan pequeño que no merece la pena

tenerlo en cuenta, ya que no aportará nada a las soluciones obtenidas.

En este caso la topología usada será particularizada a la del conjunto de turbinas

modelado en el apartado anterior, y por tanto dispondrá de cuatro cuerpos, a saber, y

por éste orden: alternador, turbina de alta presión, turbina de baja presión, y otra

turbina de baja presión.

59

El par transmitido por un eje sometido a torsión es proporcional al ángulo que ese eje

se torsiona, dentro por supuesto del campo de la deformación elástica. La relación

entre el ángulo y el par es la que será conocida en adelante como rigidez del eje, K.

Por otra parte la velocidad de un cuerpo se relaciona a través de su derivada con el

par resultante de todos los que afectan a ese cuerpo. Y la velocidad es derivada del

ángulo.

Atendiendo a esto, y teniendo en cuenta que podemos usar como referencia la

velocidad de sincronismo, el ángulo cero corresponderá a la referencia sincrónica

rotativa de la red a la que esté unido el alternador, y a partir de ahí la diferencia entre

ángulos será la que proporcione el par. En el primero de los cuerpos, es decir, el

alternador, se tiene que:

éticoelectomagnaltTAPTAPaltalt

alt TKdt

dI −−⋅=⋅ − )( δδω

cronismoaltalt

dt

dsinωωδ

−=

Siendo altI el momento de inercia del rotor del alternador, y éticoelectomagnT el par de

origen electromagnético existente en ese instante.

Si generalizamos la notación de tal forma que el cuerpo 1 sea el alternador, el 2 la

turbina de alta presión y así sucesivamente el conjunto de ecuaciones se puede

expresar como:

elecTKdt

dJ −−⋅= )( 1212

11 δδω

60

APTKKdt

dJ +−⋅+−⋅−= )()( 23231212

22 δδδδω

1343423233

3 )()( BPTKKdt

dJ +−⋅+−⋅−= δδδδω

234344

4 )( BPTKdt

dJ +−⋅−= δδω

011 ωωδ

−=dt

d

022 ωωδ

−=dt

d

033 ωωδ

−=dt

d

044 ωωδ

−=dt

d

Para adimensionalizar éstas ecuaciones, para así usar magnitudes por unidad, se

deben elegir la potencia y velocidades base. El tiempo seguirá expresándose en

magnitudes reales, congruentemente con lo que se usa en modelos de otros

componentes de la instalación. Como potencia base se puede usar la que se desee.

Hay dos opciones, usar la que se usará en el conjunto de componentes, o usar la

potencia nominal de la máquina. El modelo fue implementado usando la potencia

base nominal de la máquina, pero al integrarlo en la instalación es necesario por tanto

reajustar las bases de los pares transmitidos.

61

Por tanto, las inercias en segundos ahora serán:

baseS

J

H

202

1 ω=

Siendo cronismocabasemecáni sin0 ωωω == que en el caso particular de un solo par de polos

y a 50Hz eléctricos será π100 rad/s. El par base será el cociente entre potencia y

velocidad base. Por tanto, las ecuaciones, una vez adimensionalizadas quedan, para

el caso del alternador:

elecTKdt

dH −−=

∆⋅⋅ )(2 1212

11 δδω

011 ωωδ

⋅∆=dt

d

Donde todas las variables están en p.u. excepto el tiempo, los ángulos en radianes, y

la rigidez es de unidades p.u./rad, obtenida adimesionalizándola con el par base.

Además se incluirá un amortiguamiento D en forma de par, de tal forma que actúe

proporcionalmente a la desviación de la velocidad respecto de la de sincronismo,

salvo en el cuerpo correspondiente al alternador, donde ya se modeló con mayor

precisión cualquier fenómeno de éste tipo. En los cuerpos de turbinas corresponde al

generado por las pérdidas de carga adicionales que aparecen en ésta cuando la

velocidad cambia respecto de la nominal de la turbina, que no es otra que la de

sincronismo. Se considerará igual para todas las turbinas.

Generalizando esto a todos los cuerpos, y expresándolo en forma matricial:

62

−

+

∆∆∆∆

⋅

−−

+−−

+−−

−

=

∆∆∆∆

+

0

0

0

0

0000000

0000000

0000000

000000022

002

000

22

)23(

200

200

022

)(

200

20

0022

0000

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

0

0

0

0

4

34

4

34

4

3

34

3

34

3

23

3

2

23

2

2312

2

12

2

1

12

1

12

4

3

2

1

4

3

2

1

BP

BP

AP

elec

T

T

T

T

H

K

H

K

H

D

H

K

H

KK

H

K

H

D

H

K

H

KK

H

K

H

D

H

K

H

K

δδδδ

ωωωω

ωω

ωω

δδδδ

ωωωω

&

&

&

&

&

&

&

&

Lo cual por tanto tiene estructura de espacio de estado con:

vector de entradas:

−

0

0

0

02

1

BP

BP

AP

elec

T

T

T

T

vector de variables de estado:

∆∆∆∆

4

3

2

1

4

3

2

1

δδδδ

ωωωω

y vector de salidas por ejemplo, y dado que lo que nos interesa es el

par en cada tramo del eje:

63

∆∆∆∆

−−

−=

4

3

2

1

4

3

2

1

3434

2323

1212

3

2

1

000000

000000

000000

δδδδ

ωωωω

KK

KK

KK

y

y

y

El modelo fue implementado en Simulink, obteniéndose un bloque con un aspecto

como el que muestra la figura 6.1

Fig. 6.1

Se comprobó que su funcionamiento era el correcto tanto en régimen permanente

como sometido a perturbaciones. El análisis de sus características torsionales será

abordado el apartado dedicado a ello de este mismo proyecto.

64

PARTE 3:

ANÁLISIS

65

1.Propagación de perturbaciones entre la máquina y la red

Las perturbaciones existentes sobre el funcionamiento perfectamente senoidal y

equilibrado de un sistema eléctrico en general se propagan en dos sentidos, de la red

a las máquinas, y de las propias máquinas a la red. Si la red sólo se compone de

elementos pasivos y se omiten fenómenos como la saturación de transformadores el

origen de las perturbaciones estará en las propias máquinas u otros elementos activos

unidos a la red. En éste caso es de especial interés comprobar cómo se relacionan las

distintas variables que caracterizarán una perturbación vista desde la red, como son la

frecuencia o la amplitud con dicha perturbación vista desde la máquina,

concretamente desde una máquina rotativa, ya sea síncrona o asíncrona, dado que es

necesario realizar este análisis para ambas al ser los dos tipos de máquinas de interés

para este proyecto.

1.1Perturbación transmitida de la red a la máquina

Sea un sistema trifásico de tensiones senoidales y perfectamente equilibradas. A ese

sistema se le pueden añadir dos tipos de lo que se llamará a partir de aquí

perturbaciones:

-De la misma frecuencia del sistema, en cuyo caso la forma de analizarlo es haciendo

uso de las componentes simétricas, descomponiendo el sistema en una secuencia

directa, una secuencia inversa, y una secuencia homopolar. Las tres ondas de tensión

serán senoidales pero en general de distinta amplitud y con desfases diferentes a 120º

entre las tensiones de dos fases.

-De distinta frecuencia de la del sistema, pero equilibrado de secuencia directa. Las

tres ondas de tensión no son senoidales, pero son iguales a lo largo del tiempo con

desfases de un tercio de período de su frecuencia fundamental. El análisis de Fourier

es una herramienta muy útil, de tal forma que al ser variables periódicas por la propia

naturaleza oscilatoria del sistema se puede descomponer cada onda en suma de

66

infinitas ondas senoidales. Éstas ondas serán de frecuencia múltiplo de la frecuencia

fundamental de la perturbación, que si es en este caso n Hz el segundo armónico será

de 2n Hz y los desfases de dicho armónico entre las fases hacen que sea de

secuencia inversa, el tercero de 3n Hz homopolar, el cuarto directo, el quinto de

nuevo inverso y así sucesivamente.

Para analizar el efecto de éstas perturbaciones es necesario pensar en el modelo

realizado de la máquina, que representa la propia realidad, en el cual las ondas de

tensión se refieren al rotor haciendo uso del teorema de Ferraris según en cual tienen

un vector espacial rotativo asociado. Según esto el efecto de cada una de las

perturbaciones será el siguiente:

-En el primer tipo de perturbación la secuencia directa, supuesta que ésta es la

mayor, será la que marque el sentido de giro de la máquina, y será responsable de

corrientes de secuencia directa, y por tanto de flujos, que se convertirán en

interacciones electromagnéticas que creen un par constante dentro del régimen

permanente. Desde el punto de vista del rotor todas las componentes directas de las

variables se verán como constantes. En cuanto a la secuencia inversa el vector

espacial asociado a ésta girará en sentido contrario al rotor con una velocidad relativa

del doble de la velocidad de sincronismo, ya esté funcionando la máquina tanto de

forma síncrona como asíncrona. Esto hará que aparezca una componente de

intensidad y de flujo de ésta misma frecuencia respecto del rotor, lo cual aparte de

introducir pérdidas en el hierro por histéresis y corrientes inducidas generará una

componente alternativa de par en caso de una máquina síncrona al interaccionar

alternativamente con el flujo de excitación, o restará par en caso de una máquina

asíncrona, ya que esa componente funcionará en modo de freno, al tener un

deslizamiento superior a la unidad. En cuanto a las componentes homopolares

crearán un par alternativo de frecuencia igual a la velocidad de la máquina en ese

momento, además de pérdidas en el hierro.

67

-En cuanto al segundo tipo de perturbación cada armónico se comporta exactamente

igual que en el anterior en función de la secuencia de éste, teniendo en cuenta que

una secuencia inversa de f Hz se corresponderá a un campo que girará a f Hz en

sentido contrario al de la secuencia directa, que respecto del rotor son fo+f Hz en

caso de funcionar en sincronismo, siendo fo la frecuencia eléctrica de la red. En

cuanto a los armónicos de secuencia directa si es de frecuencia f, desde el punto de

vista del rotor se verá como si fuera de frecuencia f-fo, lo cual significa que

aparecerán componentes de par de varias frecuencias como se explicará a

continuación.

Por tanto las perturbaciones que pudiera haber en la red sean como sean entre las dos

anteriores desde el rotor de la máquina se ve de una frecuencia cada una de ellas. Si

por ejemplo se vieran desde el propio rotor éstas perturbaciones como de frecuencias

F1, F2 y F3, además del valor normal que será de frecuencia cero, teniendo en cuenta

que habrá intensidades y flujos de esas mismas frecuencias, también referidos al

rotor de la máquina, y que el par viene dado por el producto entre intensidades y

flujos, una vez más desde el punto de vista del rotor, se tiene que las frecuencias del

los pares que aparecerán serán producto de la suma y resta de las frecuencias de cada

una de las componentes con todas las demás. Es decir, la interacción de las

perturbaciones de frecuencia F1 y F2 hará que aparezca una componente en el par de

frecuencia F1+F2 y otra de frecuencia F1-F2.

Por tanto el conjunto de frecuencias presentes en la composición del par será:

0 F1 F2 F3

0 0 F1 F2 F3

F1 - 0 y 2F1 F1-F2 y F1+F2 F1-F3 y F1+F3

F2 - - 0 y 2F2 F2-F3 y F2+F3

F3 - - - 0 y 2F3

68

La amplitud y por lo tanto la importancia de estos pares dependerá evidentemente de

la amplitud de las perturbaciones, y en muchos casos estas frecuencias ni siquiera

serán apreciables, pero estarán ahí, o pueden anularse al componerse el par como una

resta dqqde iiT ⋅−⋅= ψψ . Si una de las restas de frecuencias como las de la tabla

fuera negativa se toma el valor absoluto de esa frecuencia, ya que ese signo indicará

simplemente un desfase de 180º.

Los pares de frecuencia cero que aparecen en la tabla son el síncrono, cuando la

máquina trabaja en sincronismo y respecto del rotor todas las variables son

constantes, y los pares de tipo asíncrono, como ya se comentó antes con la secuencia

inversa, que hacía que la máquina trabajara en régimen de frenado visto por esa

secuencia, pudiendo trabajar en cualquier parte de la curva característica Par-

velocidad de las máquinas de inducción, incluso aportando energía a esa

perturbación.

Las experiencias realizadas con distintas máquinas modeladas concluyen que la

componente de par más importante en cuanto a amplitud de una perturbación, de

frecuencia vista desde el rotor f-fo, suele ser la que deriva de la interacción con la

componente fundamental, desde el rotor vista como continua, y que por tanto la

componente oscilatoria principal del par es de frecuencia f-fo. Evidentemente esto no

es una generalidad, cada caso será distinto.

1.2 Perturbación transmitida de la máquina a la red

Si en el caso anterior una distorsión en la tensión de alimentación a la máquina

llegaba a interaccionar con ésta a través de su eje, en éste ocurre lo opuesto, es decir,

una interacción mecánica en la máquina llega a la red en forma distorsión en la onda

de tensión. Incluso sin existir una perturbación mecánica la máquina puede

“contaminar” la red debido a su diseño no perfecto, introduciendo armónicos como

consecuencia de que la distribución de fuerza magneto motriz en el entrehierro no

69

sea perfectamente senoidal. Esto se asume que ocurre en todas las máquinas, e

incluso se usa en algunos sistemas de protección de alternadores. Pero estas

particularidades no se incluyen en el modelo, que supone las fuerzas

magnetomotrices perfectamente senoidales. De todas formas éstas son

suficientemente pequeñas como para no considerarlas, y aparecerán de forma

permanente, mientras la simulación y análisis del fenómeno a analizar pertenecen a

un régimen transitorio y muy particular.

Es por tanto cuestión ver cómo se transmite una perturbación a la red eléctrica. Si por

ejemplo apareciera en el eje de la máquina un par alternativo de frecuencia f

superpuesto al de funcionamiento normal, contínuo, aparecerá en la velocidad una

oscilación de mayor o menor amplitud, pero de frecuencia f, dada la linealidad de la

relación entre las distintas variables mecánicas. El problema cambia

conceptualmente a partir de aquí, ya que el modelo de la máquina no es lineal, al

igual que no lo es la propia realidad, y no por parte de la saturación magnética por

ejemplo, no considerada aquí, sino del propio modelo desarrollado. Las ecuaciones

que describen el estado de cualquier variable involucrada en una máquina eléctrica

son prácticamente lineales, salvo los voltajes de velocidad, desde el punto de vista

del rotor, donde se fijará la referencia. Pero desde el punto de vista externo a la

máquina estas ecuaciones no lo son, dado que la propia transformación de Park

introduce productos entre variables. Esto significa que el sistema a tratar es un

sistema no lineal. Algo que distingue a los sistemas no lineales de los que lo son es

que las respuestas pueden cambiar cualitativamente, y no sólo de forma cuantitativa

al cambiar ciertos parámetros que configuran el sistema. A esos puntos se les suele

conocer como bifurcaciones, y el valor de un solo parámetro o variable de todos los

presentes puede ser el que provoque la bifurcación. En el caso que aquí interesa, que

es el transitorio de arranque de una máquina, el cual introduce una serie de

perturbaciones en la red, aparece una oscilación en la velocidad, cuyo origen será

analizado más adelante. Esta oscilación será de una frecuencia determinada. La

matriz de paso de la referencia dqo solidaria al rotor a referencia abc incluye senos y

cosenos del ángulo que representa la posición del rotor. Éste ángulo evoluciona

70

linealmente en caso de que la velocidad fuera constante, puesto que es su integral,

pero en caso de tener un término oscilatorio ese ángulo evolucionará de forma no

lineal, y presentará una oscilación superpuesta. En condiciones de sincronismo estos

senos y cosenos lo serán de una variable lineal, y por tanto evolucionarán como

senos y cosenos, pero en caso de aparecer una nueva componente para determinar el

ángulo también aparecerán nuevos términos al realizar las proyecciones del cambio

de referencia. Esto hará que en las variables eléctricas en referencia abc aparezcan

oscilaciones con frecuencias distintas a la fundamental. Por otra parte el valor de la

frecuencia de éstas oscilaciones dependerá de dos parámetros, que son la frecuencia

de las oscilaciones de velocidad, y la amplitud de éstas, dado que el sistema no es

lineal.

Dada la complejidad que supone trabajar analíticamente sobre estos modelos no

lineales se observará lo que ocurre con el modelo implementado en este proyecto

para comprobar la forma de propagación hacia la red de las perturbaciones que en el

rotor pudieran aparecer. El origen de las perturbaciones será discutido cuando el

arranque de la máquina de inducción sea analizado.

Las experiencias realizadas indican que ante una perturbación de frecuencia f en el

rotor se transmite a la red de forma simétrica a lo que ocurre en el caso de

perturbaciones que van de la red al rotor. Esto induce a pensar que aparecerá con

frecuencia o bien f+fo, o bien fo-f, siendo fo la frecuencia fundamental de la red.

Que sea una u otra depende de cómo sea el efecto de la perturbación respecto del

rotor.

Por tanto se puede concluir que, a efectos prácticos, la transmisión de perturbaciones

se lleva a cabo de la siguiente manera:

-Perturbación de frecuencia f en la red: se ve desde el rotor como de

frecuencia fo-f, o como fo+f si giran en sentido opuesto.

71

-Frecuencia f1 en el rotor: se ve desde la red como de frecuencia fo-f1 o como

fo+f1

Sin duda y dada la no linealidad del sistema aparecerán modos de propagarse las

perturbaciones más complejos, como se vio que había en caso de las perturbaciones

de la máquina hacia la red, pero su importancia es muy inferior a ésta, como se

constató en todas y cada una de las pruebas realizadas.

2. Análisis del arranque de una máquina síncrona como máquina de inducción

Dado que el proyecto será particularizado para el arranque de una máquina síncrona

en modo asíncrono es menester analizar cómo se producirá y las implicaciones que

éste tendrá. En el caso del arranque de una máquina síncrona como máquina de

inducción se usarán los devanados amortiguadores del rotor a semejanza del uso que

se da a los devanados rotóricos de una máquina asíncrona. Estos que se llaman

devanados amortiguadores en los modelos dinámicos de máquinas síncronas

representan varios fenómenos:

-El de los devanados realmente existentes, con disposiciones similares a un rotor de

jaula de ardilla.

-El efecto del hierro. Las corrientes inducidas en él se comportan como las inducidas

en un devanado amortiguador cualquiera. El efecto amortiguador será menor si el

hierro del rotor está laminado, ya que las corrientes que circularán por él serán

menores. Será distinto en un eje que en otro por la distinta cantidad de hierro visto

desde uno y otro.

Además de este efecto amortiguador tipo máquina de inducción tendremos otros

efectos a considerar ya que producirán pares de naturaleza oscilatoria, que serán

72

perturbaciones tal y como se analizaron en el apartado anterior que se reflejarán en la

red que alimenta la máquina. Los efectos que se deben tener en cuenta son los

siguientes:

-Par de reluctancia. Es un efecto a considerar que distingue las máquinas síncronas

de las asíncrona y debido a la disposición del rotor. En caso de una máquina de polos

salientes es evidente que hay caminos de distinta reluctancia para el campo

magnético. Es por esto por lo que aparecerá un par de reluctancia, que además no

depende de que la máquina esté excitada, por lo que será un par sincronizante (quiere

decir que trata de sincronizar, no que lo consiga) que no se podrá evitar su presencia,

aún cuando la máquina esté en régimen asíncrono. La peculiaridad de este par

sincronizante es que no distingue polaridades del rotor como ocurre con el par debido

a la corriente de excitación, lo cual a efectos prácticos se traduce en que varia como

seno del doble del ángulo de carga. Esto significa que en cualquier velocidad de

funcionamiento en la que el par electromagnético sea uno dado por los devanados

amortiguadores, existirá una componente de par oscilatoria, de frecuencia doble al

deslizamiento, debida al llamado par de reluctancia. Esto a su vez hará que sea

imposible alcanzar un régimen de velocidad constante en la máquina funcionando

como máquina de inducción, aunque si se llegará a un régimen estabilizado, en cuyo

caso habrá una componente constante de velocidad y otra de carácter oscilatorio.

Lógicamente durante el transitorio de arranque esto también sucede, y se puede ve

que la velocidad oscila alrededor de una determinada. Estas oscilaciones de

velocidad son más o menos importantes en función de lo distinta que sea la

reluctancia del eje directo y del eje en cuadratura, que determinaran el par de

reluctancia, y en función de la inercia de la máquina.

-Devanado de campo. Existe otra causa que hará oscilatorio el par, y es la propia

presencia del devanado de campo, que supone una diferencia en sí mismo de un eje

al otro. La corriente inducida creará un campo magnético alternativo, el cual tenderá

a alinearse con el giratorio creado por el estátor. Lógicamente el hecho de que este

campo sea alternativo hace que el par resultante sea también alternativo. El efecto de

73

éste, dado que durante el arranque este devanado no está sometido a la tensión de

excitación, es similar al de cualquiera de los devanados amortiguadores. Por supuesto

hará que exista una asimetría entre ejes d y q. Esta asimetría provocará que además

de la componente continua del par aparezca una componente de frecuencia doble al

deslizamiento en cada instante. Se analizará más profundamente el efecto de los

amortiguadores conjuntamente con el devanado de campo más adelante.

-Par amortiguador. La única componente útil del par será la debida a la presencia de

los devanados amortiguadores, que crearán un campo giratorio que tratará de seguir

al campo estatórico, y que por tanto dará lugar a la única componente continua que

tenga el par total. También se analizará con más rigor en apartados posteriores. Hay

una situación un tanto especial y es al principio del transitorio de arranque de la

máquina, momento en el cual el par amortiguador es oscilatorio de frecuencia igual

al deslizamiento. Esto es lo que ocurre al comienzo de un transitorio de arranque de

una típica máquina de inducción. Esta oscilación desaparece tras unos cuantos ciclos.

Por tanto el par variará su frecuencia durante todo el proceso de arranque con

frecuencia doble al deslizamiento, en este caso desde 100Hz hasta 0Hz en el

momento en que la máquina sincronice con la red. Por otra parte al principio del

transitorio aparece una componente de frecuencia igual al deslizamiento. Esta se verá

a que se debe en este mismo apartado.

En un supuesto arranque de máquina de polos salientes aparecerán todas las

anteriores componentes, la de reluctancia, la que se debe a la presencia del devanado

de campo, y la del par amortiguador. Dado que en el caso particular del proyecto se

tiene el arranque de una máquina de una central de bombeo, típicamente lentas y de

polos salientes, el análisis nos interesa plenamente.

La velocidad de la máquina evoluciona como muestra la figura 2.1.

74

Fig. 2.1

Ampliando la zona inicial de la simulación se puede ver la figura 2.2.

Fig. 2.2

75

Esto es, aparecen oscilaciones de carácter más marcado que en el resto del transitorio

(exceptuando el final de este). La frecuencia de estas oscilaciones es

aproximadamente de 50Hz, realmente lo que coinciden con la frecuencia de

deslizamiento. Se deben a la oscilación del par de origen amortiguador al comienzo

del transitorio.

Ampliando algo más adelante, cuando la velocidad es aproximadamente 0.4p.u. en la

figura 2.3.

Fig. 2.3

La frecuencia en este caso se puede ver que en la figura 2.3 es de 60 Hz, en un

momento en que la velocidad vale 0.4 p.u., y por tanto el deslizamiento es 0.6p.u. y

la frecuencia de deslizamiento 30Hz. Obsérvese que una es el doble que la otra, tal y

como se esperaba que ocurriera.

76

La evolución del propio par a lo largo del arranque es la que se puede ver a

continuación en la figura 2.4.

Fig. 2.4

En los primeros instantes el par se dispara. Esta gran oscilación del par es de

frecuencia 50Hz. Esto justifica la oscilación en la velocidad al comienzo del

transitorio. A continuación el par evoluciona como si de una máquina de inducción

se tratase, al menos en cuanto a su valor medio, describiendo la típica curva par

velocidad, aunque en este caso es dinámica, pero semejante a la estática.

A continuación se justificará esta oscilación inicial del par. El par en el modelo, y en

la realidad aparece como interacción de corrientes y flujos, que a su vez oscilan con

una frecuencia igual al deslizamiento durante el periodo transitorio. Por tanto parece

que el producto debería ser de frecuencia doble. Esto supone un error, y es el que se

deriva de olvidarse de la componente continua de estos flujos e intensidades. Es el

producto de los valores medios el que da la mayor parte del que aquí se ha llamado

77

par amortiguador, y es el producto de cada uno de los valores medios por la

componente de frecuencia igual al deslizamiento la que da la componente oscilatoria

del par de frecuencia igual al deslizamiento. Es necesaria por tanto una componente

continua para justificar las frecuencias iguales al deslizamiento. Además la

predominancia de esta componente continua se da en los primeros instantes, donde

las intensidades y por tanto los flujos vistos desde la referencia dqo fija al rotor son

mayores debido al cambio brusco de condiciones al que se somete la máquina. Como

en cualquier transitorio, y desde el punto de vista de la red, es decir en referencia abc

existe una componente unidireccional y además la componente alterna crece. Estas

mismas dos desde el punto de vista del rotor, y dado que su velocidad en ese

momento es en la práctica nula, se verán respectivamente como una componente de

frecuencia nula, y otra alternativa de la misma frecuencia que la red. Es al principio

donde aparecen valores medios muy importantes. De hecho es una evolución similar

a la de un cortocircuito.

Se puede hacer el análisis desde el punto de vista del modelo. Sean las ecuaciones de

la máquina desarrolladas en la primera parte de este mismo proyecto. En un instante

inicial la corriente, tanto en d como en q es nula por lo que la derivada del flujo en

cada uno de estos ejes es igual a la tensión aplicada, al no existir los voltajes de

velocidad por ser ésta nula. Por tanto el flujo evolucionará cumpliendo estas

ecuaciones como si de una bobina sometida a un transitorio se tratase (que en el

realidad es lo que es), con una componente continua inicial y una alternativa

superpuesta. Por otra parte este flujo estará creado por unas corrientes cuya acción

conjunta creará el flujo, por lo que tendrán su correspondiente valor medio.

Es por tanto esta aparición de una componente continua al comienzo del transitorio la

que justifica, en su interacción con la alternativa de frecuencia igual al deslizamiento

(vista desde el rotor) el par alternativo de frecuencia igual al deslizamiento al

comienzo del transitorio.

78

Por tanto:

-Las oscilaciones sobre el valor medio del par de frecuencia doble del deslizamiento

aparecen cuando arrancamos una máquina síncrona como máquina de inducción, y se

deben a la distinta reluctancia en los dos ejes del rotor, y a la existencia del devanado

de campo, cuya existencia es una asimetría en sí misma al aparecer en un eje y no en

otro.

-Las oscilaciones sobre el valor medio del par que aparecen al comienzo del

arranque de cualquier máquina de inducción se deben a que las variables como son

flujos e intensidades se deben adaptar transitoriamente, desde su valor inicial cero

hasta el valor del régimen permanente nuevo, apareciendo componentes

unidireccionales o continuas en estos flujos e intensidades además de las alternativas.

Esas oscilaciones son de frecuencia igual al deslizamiento.

3. Par debido a los devanados amortiguadores en condiciones de

desequilibrio constructivo entre éstos.

En caso de una máquina síncrona, el efecto de la existencia de devanados

amortiguadores hará que aparezca un par sincronizante (ya que trata de llevar la

máquina a condiciones de sincronismo) siempre y cuando la velocidad a la que

funciona la máquina sea distinta de la de sincronismo. Este par se debe a la inducción

de corrientes en estos devanados y a la interacción del campo magnético creado por

el estátor con esas corrientes. Pero en una máquina síncrona existe en general un

devanado de campo. Este devanado al fin y al cabo es uno más, ya que las

condiciones en las que nos interesa analizarlo es en ausencia de excitación, que será

como funcione durante el arranque. Por tanto, podría darse el caso de tener un

devanado con su eje magnético en el eje q, y otros dos con su eje magnético en d,

que son el amortiguador propiamente dicho y el de campo. A partir de este momento

vamos a analizarlos como si de uno sólo se tratase, ya que suponiendo la linealidad

79

del material ferromagnético presente bastaría con superponer los resultados

obtenidos para cada uno de ellos.

Para empezar vamos se supondrá un flujo magnético, sin considerar la influencia que

tenga la propia disposición del rotor, sus características, y sus parámetros definitorios

sobre la existencia de este flujo y el valor de éste (ya que es un flujo total que es

creado por las corrientes circulantes por el rotor y por las del estátor, y que tendrá un

efecto sobre el propio estátor y como se analizará aquí sobre el rotor). Este flujo será

giratorio, de tal forma que lo podemos expresar como: θjestest e⋅Φ=Φ

r , lo cual

significa que su componente sobre el eje d solidario al rotor, que representa el valor

del flujo que concatena el devanado que tiene su eje magnético en d, y su

componente en q serán:

[ ] θcosRe ⋅Φ=Φ=Φ estestestD

r

y [ ] θsenestestestQ ⋅Φ=Φ=Φr

Im

Las fuerzas electromotrices inducidas en cada uno de estos dos devanados serán las

siguientes:

dt

dsen

dt

d

dt

dfem estest

estDD

θθθ ⋅⋅Φ=⋅Φ−=Φ−= cos

dt

d

dt

dsen

dt

dfem estest

estQ

Q

θθθ ⋅⋅Φ−=⋅Φ−=Φ

−= cos

siendo slipdt

d ωθ = , la velocidad de deslizamiento.

Por otra parte estos devanados se caracterizan, independientemente de las f.e.m. (que

representan la inductancia mutua con otros devanados) por su inductancia de

dispersión, que reflejará el efecto que tiene la corriente del propio rotor sobre él

80

mismo, y por la resistencia que presenta al paso de la corriente. Por tanto cada uno de

los circuitos en eje d y en eje q los podemos caracterizar respectivamente por

dd RL , y por qq RL , . Por tanto las ecuaciones que ligan las distintas variables en cada

uno de estos circuitos quedan:

( )dd

ddslipslipest RI

dt

dILtsen ⋅+⋅=⋅⋅⋅Φ ωω

( )qq

q

qslipslipest RIdt

dILt ⋅+⋅=⋅⋅⋅Φ− ωωcos

Desarrollando esta última expresión:

( )slipslipestqq

q

qslipslipest tsenRIdt

dILt ωπωωω ⋅

−⋅⋅Φ=⋅+⋅=⋅⋅⋅Φ−2

cos

Expresando esto fasorialmente tenemos las siguientes relaciones:

ddddslip

jslipest

IRILjerr

⋅+⋅⋅=⋅⋅Φ −

ωω π

2

2

qqqqslip

slipestIRILjrr

⋅+⋅⋅=⋅Φ

ωω2

Lo cual significa que, despejando las intensidades tenemos:

( )dslipd

slipest

dLjR

jI

ωω

+⋅⋅Φ⋅−

=2

r

81

( )qslipq

slipest

qLjR

Iω

ω+⋅⋅Φ

=2

r

Cabe señalar que desde el momento en que entramos en el uso de fasores todo el

análisis se limitará al régimen permanente, sin perder por otra parte la posibilidad de

analizar los resultados para sacar conclusiones de tipo cualitativo que se puedan

referir a un régimen transitorio bajo determinadas hipótesis.

Por otra parte el par electromagnético sobre el rotor se puede comprobar fácilmente

que responde a la siguiente expresión:

ϕsenPar aest ⋅Φ⋅Φ∝

siendo aΦ el flujo magnético creado por el rotor, proporcional a las corrientes a

través de las inductancias de dispersión. Evidentemente el seno aparece debido a que

la expresión deriva del producto vectorial del campo estB y de las corrientes

rotóricas, proporcionales a aΦ , y por tanto responde al desfase espacial entre los dos

flujos.

Vamos a ver que ocurre con estas intensidades en algunos casos concretos:

a) 0== qd RR

Desarrollando las expresiones anteriores tenemos que:

d

estd

LI

⋅Φ−=2

r y

q

estq

L

jI

⋅Φ⋅−=

2

r

por lo que las dos componentes de aΦr

serán:

82

2est

aD

Φ−=Φ y

2est

aQ

j Φ⋅−=Φ

Esto significa que:

-El flujo en eje D debido a las corrientes del rotor se encuentra en oposición de fase

respecto del flujo inductor. Esto no es más que aplicación directa de la ley de Lenz,

que dice que la aparición de la f.e.m. es tal que se opone a las condiciones que la

crean. Por tanto tenemos el flujo inductor, a continuación el fasor f.e.m. en d, con 90º

de retraso, y a continuación el fasor de intensidad, con 90º de retraso respecto de la

f.e.m.

-Lo mismo ocurre en el eje Q

-Debido a las dos anteriores crean un campo magnético giratorio que siempre está en

oposición al campo inductor. Esto además significa que los desfases temporales se

convierten en desfases espaciales en virtud del teorema de Ferraris.

-El par es nulo, puesto que los dos flujos están alineados (el seno del desfase es nulo)

(si bien es cierto es un equilibrio inestable, idéntico al que hay entre dos imanes con

sus polos iguales enfrentados).

-El ángulo entre la f.e.m. y la intensidad depende de la relación entre parte real e

imaginaria de la impedancia, y por tanto el par dependerá de esto. (ver apartado

siguiente).

b) 0≠= qd RR y 0≠= qd LL

En este caso el desfase entre la f.e.m y la intensidad será igual en ambos ejes, por lo

que basta con analizar lo que ocurre en uno de ellos.

83

Éste desfase será

⋅

d

dslip

R

Lωarctan en ambos devanados. Por tanto el nuevo desfase

entre el flujo inductor estDΦ y el flujo inducido aDΦ será de:

2

arctanπω

ϕ +

⋅=

d

dslip

R

L

y lo miso ocurrirá con las proyecciones de los flujos sobre el devanado con el eje

magnético en Q. Estos desfases temporales, como ya se comentó anteriormente

responden a un desfase espacial del mismo valor, y por tanto el par cambiará al

variar estos.

Usando algunas relaciones trigonométricas básicas se puede llegar a:

222dslipd

d

LR

Rsen

⋅+=

ωϕ

Por otra parte se puede ver que

2222 dslipd

slipest

dddaaQaD

LRLIL

⋅+⋅

⋅Φ⋅=⋅=Φ=Φ=Φ

ω

ωrrrr

Por lo que:

( )222222222 22 dslipd

dslipest

dest

dslipd

d

dslipd

slipest

destaestLR

RL

LR

R

LRLsenPar

⋅+⋅⋅⋅Φ

⋅⋅Φ=⋅+

⋅⋅+⋅

⋅Φ⋅⋅Φ=⋅Φ⋅Φ∝

ωω

ωω

ωϕ

Por tanto ya es conocida la expresión de algo proporcional al par. Si asignamos

algunos valores a cada uno de los parámetros y hacemos variar el deslizamiento entre

0 y 1 obtendremos algo proporcional a la curva par-deslizamiento de la máquina.

Como se ve el par es proporcional al cuadrado del flujo magnético. Si Rd=0.01 y

84

Ld=0.05 tenemos la curva proporcional a la de par-deslizamiento que muestra la

figura 3.1.

Fig. 3.1

c) 0,0,0,0 ≠≠≠≠ qdqd LLRR

En este caso se tiene que el campo creado por el rotor será giratorio, pero no de

módulo constante, sino que el extremo del vector espacial que lo representa recorrerá

una elipse. Por otro lado si el factor de potencia de ambos devanados no es el mismo

el desfase espacial entre el campo inductor y el inducido será diferente. Estas son las

dos causas de oscilación en el par.

Los desfases temporales entre las corrientes en eje d y en eje q respecto del flujo

inductor en cada uno de los devanados resultan ser:

2arctan

πωϕ +

⋅=

d

dslip

dR

L

2arctan

πωϕ +

⋅=

q

qslip

qR

L

85

Estos desfases temporales, teniendo en cuenta un desfase de 2

π en adelanto para el

flujo que atraviesa el devanado cuyo eje magnético está en d, son de:

⋅−

⋅+

q

qslip

d

dslip

R

L

R

L ωωπarctanarctan

2

El campo magnético creado por el rotor tendrá una componente giratoria (que sería

única si el desfase fuera de 90º) y se le superpondrá una componente adicional

alternativa a su paso por cada uno de los dos ejes, lo cual justifica que el lugar

geométrico del extremo del vector espacial campo creado por el rotor sea una elipse.

Las dimensiones de esta elipse dependerán del modulo de la impedancia de cada

devanado, que hará valer una cosa u otra el módulo de la corriente y por tanto el

campo magnético que esta crea.

Cuando el campo inductor ha recorrido un ángulo dϕ respecto del eje d el valor del

flujo en eje d del campo rotórico es máximo, pero el campo creado por el devanado

rotórico en q no es nulo en general (salvo que el desfase entre ambos campos fuera

de 90º). Esto hace que los ejes d-q no sean los ejes de la elipse que recorre el extremo

del vector espacial, sino ejes conjugados de la misma. Por tanto el desfase espacial

entre el flujo inductor y el inducido no coincidirá ni con dϕ ni con qϕ , sino que será

oscilatorio y dependerá tanto de los factores de potencia de cada uno de los

devanados como del módulo de la impedancia del devanado, que limita el valor del

campo que pueda crear al limitar las corrientes (este hará que los ejes de la elipse se

alejen más o menos de los ejes d-q en función de que un devanado tenga menor

impedancia que el otro, o que su factor de potencia sea muy distinto al del otro).

Es por esto, ateniéndonos a que ϕsenPar aest ⋅Φ⋅Φ∝ , que éste tiene una

componente pulsatoria superpuesta al valor medio. Esta componente pulsatoria será

mayor cuanto mayor sea la excentricidad de la elipse antes mencionada.

86

Si por otra parte y de manera un tanto burda pero cualitativamente interesante

usamos la expresión anterior de tal forma que:

( )

⋅+

+⋅⋅+⋅=⋅Φ⋅Φ∝ θ

ϕϕθϕ 2cos

22cos DsenCBAsenPar

qd

aest

considerando que al variar elípticamente el valor del flujo inducido ésta variación es

de frecuencia doble sobre su valor medio, y lo mismo con el desfase medio (de

alguna forma serían los dos primeros términos de un desarrollo en serie de cosenos).

Esto indica que aparecerá una pulsación de par de frecuencia doble al deslizamiento,

ya que slipdt

d ωθ = , como era de esperar.

Si no nos encontráramos en un desequilibrio normal sino el que pudiera constituir la

existencia del devanado de campo el análisis es el mismo, simplemente conociendo

el valor de la resistencia de éste devanado y el de la inductancia de dispersión. Si por

otra parte se interpone una resistencia en éste devanado de campo con la intención de

reducir la intensidad que circula por éste, dado que

( )dslipd

slipest

dLjR

jI

ωω

+⋅⋅Φ⋅−

=2

r

su módulo es

2222 dslipd

slipest

d

LRI

⋅+⋅

⋅Φ=

ω

ωr

Se puede ver cómo al aumentar la resistencia el módulo de la corriente se reduce. En

realidad el valor de la intensidad se reduce sobretodo a partir del punto de

87

deslizamiento máximo en la curva correspondiente de par deslizamiento. Esto quiere

decir que para reducir el valor de forma apreciable hay que usar resistencias que

hagan lo mayor posible el deslizamiento máximo. El valor de éste deslizamiento se

obtiene como

0=ddR

dPar

despejando de la expresión resultante se obtiene que:

d

dslip

L

R=ω

Para que éste deslizamiento valga la unidad, lo cual significa que el par seria máximo

en el arranque, debe ocurrir que dd LR = , valor de la resistencia por tanto a partir del

cual la reducción del módulo de la corriente será más apreciable. El problema es que

si éste valor aumenta mucho el par debido a la interacción del flujo inductor y de la

componente sobre el eje d del flujo inducido se reducirá, lo cual significa que el

valor medio del par lo hará, y aumentará la componente pulsatoria. Esto es un riesgo

porque en caso de querer reducir demasiado ésta corriente haremos que la máquina

se quede lejos del sincronismo, pudiéndose no completar el arranque que luego

permita, bajo un deslizamiento muy pequeño, realizar la sincronización a la red

mediante la alimentación del devanado de excitación con una corriente continua.

4. Análisis del efecto de la resistencia añadida al devanado de campo

Como ya se ha comentado, para realizar el arranque directo de una máquina síncrona

como máquina de inducción se interpone en el devanado de campo una resistencia.

En primer momento podría parecer que esta resistencia tiene un efecto claro de

reducir la corriente que circule por el devanado en caso de que este estuviera en

cortocircuito, ya que no se podría dejar el circuito abierto por riesgo evidente de

88

sobretensiones. Pero esto no es así exactamente, ya que como se pudo ver en el

apartado precedente la disminución de la corriente que circulará por el devanado se

da sólo a partir de ciertos valores de resistencia, que lleven el punto de máximo

deslizamiento más allá del deslizamiento unidad. Todo esto conlleva lo siguiente:

-Introducción de una asimetría en la máquina que se manifestará en componentes

oscilatorias del par.

-En algunos casos, y si el efecto amortiguador de los devanados no es suficiente por

sí solo puede producir una reducción del par medio, que puede hacer que a máquina

no consume su arranque, quedándose muy lejos del sincronismo. Esto depende

también del par mecánico que tenga que vencer la máquina.

Para comprobar que estos fenómenos ocurren se partirá de una máquina

perfectamente equilibrada respecto de d y q y se irá añadiendo unos elementos y

otros para ver su influencia, para luego profundizar en el análisis de lo que ocurre

con el devanado de campo.

Como caso inicial tomemos el de una máquina de inducción cualquiera, en la que no

existe ninguna diferencia desde el punto de vista constructivo ni electromagnético

entre los ejes d y q. En este caso durante el arranque tendremos la componente

oscilatoria del par al comienzo del transitorio, de frecuencia coincidente con el

deslizamiento en ese momento. Se puede ver en la figura 4.1.

89

Fig. 4.1

Sólo hay una perturbación al comienzo del transitorio, es decir, cuando hay un par

oscilatorio, y al final, cuando el par vuelve a ser oscilatorio dado que la máquina

supera la velocidad de sincronismo por momentos debido a las inercias de carácter

electromagnético. Ese par oscilatorio aparecerá en cualquier máquina arrancada de

forma directa, y es inevitable por tanto su existencia.

Si a la máquina le añadimos la existencia del devanado de campo, aunque

manteniendo total simetría entre d y q para todo lo demás (reluctancia, y efecto

amortiguador) podemos ver que aparece ya durante todo el transitorio una

componente oscilatoria del par, que como se trató en ocasiones anteriores será de

frecuencia doble al deslizamiento en cada instante, como se puede ver en la figura

4.2.

90

Fig. 4.2

Veamos que ocurriría si no existiera la asimetría debida al devanado de campo. En

ese caso el par será oscilatorio durante el arranque en caso de que haya una diferente

reluctancia entre los dos ejes de referencia situados en el rotor. Pero con una

impedancia en eje d y una en eje q distintas entre sí, lo normal en lo que puede ser

una máquina de polos salientes convencional (una relación de 1.5 a 1 por ejemplo),

la oscilación registrada, de nuevo de frecuencia doble al deslizamiento, será de muy

pequeña amplitud como se puede ver en la gráfica siguiente de la figura 4.3.

91

Fig. 4.3

Esta simulación no tiene demasiado sentido, ya que da la misma importancia para el

devanado amortiguador en ambos ejes, lo cual no suele ocurrir salvo casualidad en

caso de que constructivamente el rotor sea distinto en un eje y otro. Si incluimos esta

apreciación, dando distinta importancia a los devanados amortiguadores las

corrientes que circulen por el rotor crearán un campo magnético giratorio, pero no de

módulo constante, como ya se explicó anteriormente. En realidad si representamos el

vector espacial del campo creado por el rotor a lo largo de una vuelta de éste respecto

del propio rotor encontraremos que los extremos de los vectores se sitúan en una

elipse, haciendo que el par tenga superpuesta sobre la componente continua una

componente pulsatoria. Se puede ver en la figura 4.4 la oscilación del par incluyendo

esta última apreciación, pudiendo concluir que es mucho mayor la importancia de la

asimetría de los devanados amortiguadores que la distinta reluctancia en eje d y en

eje q.

92

Fig. 4.4

No sólo es importante como pudiera parecer la variación de inductancias de

dispersión entre un eje y otro, sino las distintas resistencias que presenten estos. En la

medida que se incremente la resistencia del devanado amortiguador equivalente el

par de arranque será mayor, por el mismo motivo que se hace mayor al incrementar

el valor de la resistencia rotórica en una máquina de inducción, siempre y cuando el

valor del deslizamiento máximo sea menor a uno. Si por otra parte las resistencias

referidas a ambos ejes son distintas serán estas las que hagan aparecer un par

oscilatorio de una magnitud muy considerable. Esto se debe a que la presencia de la

resistencia hace que la corriente que circule por ese devanado tenga un desfase

mayor con la f.e.m. inducida en él. Si la resistencia es nula la f.e.m inducida hará que

aparezca una corriente que a su vez esté en fase con el flujo que lo creó, por lo que el

par al interactuar los dos flujos será nulo. Por esto cuanto mayor sea la resistencia

mayor será el desfase entre ambos flujos, y mayor el par resultante de la interacción

entre ellos. Por otra parte el distinto valor de las resistencias en un eje y otro

93

implicará una asimetría en el par debido al conjunto de los dos devanados, que tendrá

una componente continua y una componente oscilatoria.

Una vez analizada la importancia cuantitativa de cada una de las causas de

oscilación del par es momento de estudiar como se ve esta oscilación afectada por la

añadidura de una resistencia al devanado de campo. Antes de esto es preciso decir

que la importancia durante el arranque del devanado de campo es mucho menor que

la de los amortiguadores, ya que éste suele tener una mayor inductancia de

dispersión, aunque menor resistencia, lo que hace que hace que aporte poco. Si se

incrementa el valor de la resistencia del devanado de campo, supuesta su existencia

como única asimetría, en varios órdenes de magnitud (mil veces mayor de la

existente) el par evoluciona según la figura 4.5 b), comparativamente con la

evolución sin la resistencia adicional, vista en 4.5 a).

Fig. 4.5 a) y b)

94

Tiene por tanto dos efectos, reducir el tiempo de arranque, es decir, aumentar la

componente media del par de arranque, y por otra parte reducir la componente

pulsatoria de frecuencia doble que la frecuencia de deslizamiento durante todo el

transitorio. Las oscilaciones al final del transitorio son de mayor amplitud si no está

presente, al igual que es mayor el sobrepaso respecto de la velocidad de sincronismo.

En este caso al aumentar su valor ha reducido una de las causas de asimetría de los

devanados respecto de d y de q por lo que la componente oscilatoria es menor.

A medida que esta resistencia aumente se reducirá el tiempo de arranque, pero para

una misma carga mecánica se acercará menos al sincronismo, ya que precisará un

mayor deslizamiento para dar el mismo par electromagnético. Pero dado que la

influencia es pequeña este efecto no es considerable, ya que los devanados

amortiguadores son suficientes por si solos para concluir el arranque.

En una máquina no simétrica como la que aquí interesa (de polos salientes) los pares

sin y con resistencia adicional en el devanado de campo evolucionan como muestra

la figura 4.6 a) y b) respectivamente.

95

Fig. 4.6 a) y b)

El hecho de incluir esta resistencia debe disminuir el módulo de la corriente que

aparecerá en el devanado de campo lo cual parece interesante de cara a evitar

calentamientos excesivos. Sin esta resistencia la corriente inducida es la que muestra

la figura 4.7 a), mientras que al añadirla es la que muestra la 4.7 b).

Fig. 4.7 a) y b)

Pero en realidad lo que interesa desde el punto de vista de calentamientos excesivos,

motivo por el que se pone una resistencia adicional es la energía degradada por

efecto Joule en el devanado, que debiera ser menor con la resistencia adicional, pero

que no lo es ya que la corriente se reduce sólo un orden de magnitud, mientras que la

resistencia aumenta tres, y la potencia degradada va con el cuadrado de la intensidad

y con la resistencia. El análisis de esto no corresponde al alcance de este texto, pero

si evitar un sobrecalentamiento es el propósito no se consigue.

Se pueden extraer varias conclusiones de lo todo lo aquí expuesto:

96

Hay dos causas para las oscilaciones del par durante el proceso de arranque. Una de

ellas es la existencia del devanado de campo. Este devanado, cuyo eje magnético es

el d, y es ahí donde crea el flujo, en condiciones normales creará una oscilación

relativamente pequeña. Si el arranque de la máquina lo realizamos situando una

resistencia en el devanado de campo, como aquí se ha explicado, el desfase temporal

entre el flujo inductor (creado por el estátor) y el inducido (el que aparece en el

devanado) aumenta, y hace que el par medio debido a este flujo aumente. Además

habrá una componente que oscilará a frecuencia doble de la de deslizamiento en cada

instante. En realidad es el efecto conjunto de este devanado de campo y el devanado

amortiguador en eje q (así como el devanado amortiguador en eje d) el que

contribuye a la creación del par total. Por esto se reduce el tiempo de arranque. La

segunda causa de oscilaciones, en ausencia de devanado de campo, es la distinta

configuración de los devanados amortiguadores en ambos ejes, y la explicación es la

misma que en el caso anterior. En cuanto al par pulsatorio aparecido por la pura

variación de reluctancia entre los dos ejes hay que decir que es muy pequeño. Este

siempre irá asociado a una asimetría en los devanados amortiguadores del rotor, que

son lo que realmente originará la oscilación de par apreciable al arrancar una

máquina de polos salientes en modo asíncrono. El efecto de la resistencia en el

devanado de campo es aumentar el valor medio del par, por lo que el arranque es más

rápido. El hecho de incluir esta resistencia debe disminuir el módulo de la corriente

que aparecerá en el devanado de campo.

5. Análisis del conjunto de masas acopladas al eje del turbogenerador

Para analizar lo que ocurrirá en el eje se puede ir por dos caminos cuyos resultados y

conclusiones deben ser totalmente iguales, pero que son complementarios. El

primero y más importante de esos caminos es el análisis modal. Esta técnica

matemática se desarrolla a partir de la teoría más básica de los sistemas lineales de

ecuaciones diferenciales, y aporta gran volumen de información, no sólo cuantitativa,

sino cualitativa de lo que ocurre en el sistema. El segundo camino que se seguirá será

97

el análisis sobre el modelo implementado, que por tanto será una técnica más

empírica, que aportará precisión cuantitativa al análisis y servirá para contrastar los

resultados obtenidos con el análisis modal.

La matriz de estado del sistema ya se desarrolló en el apartado dedicado al modelado

de éste, y es la siguiente:

−−

+−−

+−−

−

=

+

0000000

0000000

0000000

000000022

002

000

22

)(

200

200

022

)(

200

20

0022

0000

0

0

0

0

4

34

4

34

4

3

34

3

2334

3

23

3

2

23

2

2312

2

12

2

1

12

1

12

ωω

ωω

H

K

H

K

H

D

H

K

H

KK

H

K

H

D

H

K

H

KK

H

K

H

D

H

K

H

K

A

Es una matriz de dimensiones 8x8, ya que son ocho las variables de estado. En

general, con n cuerpos acoplados al eje la matriz sería de dimensiones 2nx2n. Dado

que es un sistema físico todos los términos de ésta son números reales, lo cual

implica que todos sus autovalores complejos aparecen a la par que sus conjugados e

inseparablemente.

Si iφ es el autovector derecho asociado al autovalor iλ , y iψ es el autovector

izquierdo, cumpliéndose que:

0=⋅ ij φψ si ij ≠ (ortogonalidad)

1=⋅ ii φψ

Se tiene que la respuesta libre, ante las condiciones iniciales del sistema y en

ausencia de entradas, cumple que:

xAx ⋅=&

98

Por lo que cada cambio en una variable de estado se podrá expresar como

combinación lineal de las demás variables. Es posible hacer un cambio de base

usando la matriz [ ]nφφ .......1=Φ , cuyas columnas son los autovectores derechos de la

matriz de estado, por lo que se obtiene:

zzzx ⋅Ω=⇒⋅Φ= & ,

donde Ω es una matriz diagonal que contiene a los autovalores en el mismo orden en

que se colocaron sus autovectores respectivos en la matriz Φ . De esta forma,

respecto de la nueva base la matriz de estado es diagonal, y el sistema está

desacoplado, dependiendo cada variable sólo de sí misma, en lo que se refiere a

respuesta natural o libre del sistema, es decir:

t

iiiiiietztzzz

λλ ⋅==⇒⋅= )0()(&&

Naturalmente de la naturaleza del autovalor concreto determina la forma de la

solución, pudiendo ser éste de parte real positiva, en cuyo caso la solución será

creciente, o negativa, decreciente, y siendo la parte imaginaria la pulsación de la

oscilación de la respuesta natural. Por otra parte unas condiciones iniciales

cualesquiera para las variables de estado originales x serán combinación lineal de los

autovectores derechos de la matriz de estado, ya que éstos constituyen una base del

espacio vectorial. Como Ψ=Φ −1 donde Ψ es la matriz cuyas filas son los

autovectores izquierdos de la matriz de estado A, tal y como se definieron éstos

anteriormente, se cumple que:

t

iji

n

i

jietzx

λ⋅=⋅Φ=∑=

)0(1

y como iii ctxtz ==⋅== )0()0( ψ , desarrollando se llega a que:

99

t

njn

t

jjnecectx

λλ ⋅⋅Φ++⋅⋅Φ= ...........)( 111

Por lo que la respuesta a las condiciones iniciales, sean éstas cuales sean, es

combinación lineal de n modos dinámicos, uno por cada autovalor existente. Por

tanto, si unas condiciones iniciales determinadas sólo fueran combinación lineal de

un autovector derecho significaría que sólo se excitaría el modo al que se refiere ese

autovector, con una pulsación igual a la parte imaginaria del autovalor

correspondiente. Si por otra parte un autovector no participa en la formación de una

condiciones iniciales determinadas el modo a él asociado no se excitará con ellas.

Por otra parte, es sabido que además de que el conjunto de soluciones de un sistema

lineal homogéneo de ecuaciones tiene estructura de espacio vectorial, que es lo que

se ha analizado hasta el momento, el conjunto de soluciones del sistema completo

tiene estructura de espacio afín respecto del espacio vectorial de las soluciones

homogéneas. Eso significa que cualquier solución del sistema completo será una

solución particular de éste, más una combinación lineal de soluciones del

homogéneo. El sistema estudiado es completo, ya que existe un vector de entradas.

Por tanto la solución del estado del sistema en cada instante vendrá dada por la

superposición de una solución particular de la completa y la general de la

homogénea. El sistema evolucionará de tal forma que aparezcan en él uno o varios

modos dinámicos dados por la matriz de estado. Las respuestas naturales serán de

frecuencia muy cercana a los puntos de respuesta máxima, es decir, a las respuestas

resonantes. Por esto la determinación de los modos es importante de cara a

caracterizar el sistema, ya que determina por completo la respuesta ante las

condiciones iniciales y además está muy presente en las respuestas forzadas del

sistema.

Ahondando un poco más en el análisis del sistema se puede ver como se alterarán los

parámetros que determinan su respuesta en función de cada uno de los términos

presentes en la matriz de estado. De alguna forma sería la sensibilidad de un modo

100

determinado ante un cambio de la topología del sistema. Si kja es el término kj de la

matriz de estado A se cumple que:

jiik

kj

i

aΦ⋅Ψ

∂∂λ

En virtud de lo aquí expuesto se desarrollará el análisis del comportamiento del eje

en los siguientes apartados.

5.1Análisis modal

Particularizando la matriz de estado para los valores siguientes:

sH 2.11 = , sH 14.02 = , sHH 2.143 == , 7012 =K , 5023 =K , 2034 =K , D=2,

srad /5020 ⋅⋅= πω se obtiene que los autovalores son:

-3.39 + 377.84i

-3.39 - 377.84i

-0.42 +99.07i

-0.42 - 99.07i

-1.07

-0.00

-0.48 +54.70i

-0.48 - 54.70i

Se observa que hay tres modos oscilatorios, de pulsación 377.84, 99.07, y 54.70

rad/s, que corresponden a 60.13, 15.76 y 8.70 Hz respectivamente.

101

Cuando el sistema es excitado con una respuesta cercana a alguno de estos modos su

respuesta será máxima, entendiendo por máxima la mayor relación entre las

amplitudes de salida y de entrada. Los demás autovalores, que son dos, ya que

también aparecen los conjugados de los anteriores, representan las formas del

sistema de evolucionar sin pulsar, de manera puramente exponencial. Por otra parte

la combinación lineal de autovectores derechos no sólo da como se conforman unas

condiciones iniciales como superposición de unos modos y otros, sino que da la

forma de cada modo.

El autovector derecho asociado al modo de 60.13 Hz es:

-0.0525 + 0.0009i

0.7662

-0.0375 + 0.0006i

0.0007 - 0.0000i

0.0011 + 0.0437i

-0.0057 - 0.6370i

0.0008 + 0.0312i

-0.0000 - 0.0006i

Del cual es interesante la parte real de sus cuatro primeras componentes, que son las

asociadas a las velocidades, es decir [-0.0525,0.7662,-0.0375,0.0007] si lo dividimos

por la mayor de todas ellas (0.7662) queda: [-0.0685,1.0000, -0.0489, 0.0009]. Esto

significa que la forma de oscilación cuando se le excita con esta frecuencia es la

siguiente: el alternador oscila en oposición respecto a la turbina de alta presión, y

esta a su vez en oposición a la primera turbina de baja presión, y esta en oposición a

la segunda de baja presión. Además la máxima amplitud en la oscilación se alcanza

en el cuerpo de alta presión (el segundo). Esto se puede ver de otra manera, que es

que si inicialmente diéramos giros proporcinales a éstos términos el sistema

evolucionaría oscilando a 60.1347 Hz (las condiciones iniciales sólo serían

102

combinación lineal de este autovector, y por tanto sólo evolucionarían según este

modo).

El siguiente modo es el de 15.76Hz, y su autovector derecho asociado es:

0.0006 - 0.1552i

-0.0000 + 0.0111i

-0.0010 + 0.2419i

0.0004 - 0.0880i

-0.4921 + 0.0003i

0.0351 - 0.0000i

0.7670

-0.2790 + 0.0000i

Los valores que interesan son, normalizados, los que se muestran a continuación

[ -0.5588, 0.03921, 1, -0.3627 ]. Esto significa que en este modo la oscilación se

produce de tal forma que el alternador oscila contra la turbina de alta presión, que a

su vez va con (no contra) la primera turbina de baja, la cual va contra la segunda de

las de baja presión.

La última de las tres frecuencias características presentes es 8.7064Hz. El autovector

correspondiente es:

0.0014 + 0.0979i

0.0009 + 0.0659i

0.0005 + 0.0176i

-0.0011 - 0.1232i

-0.5622 + 0.0031i

-0.3786 + 0.0016i

-0.1013 + 0.0018i

0.7077

103

Por tanto nos interesa [0.0014, 0.0009, 0.0005, -0.0011], que queda al “normalizarlo”

como [1, 0.64, 0.35, -0.785]. Esto significa que las oscilaciones de alternador, turbina

de alta presión, y turbina primera de baja presión van en contra de la segunda turbina

de baja presión.

A medida que ha bajado la frecuencia del modo el sistema ha evolucionado de forma

más conjunta. Esto es normal ya que las inercias propician que a medida que

aumenta la frecuencia de la perturbación sea más difícil seguirla para unas rigideces

dadas. De esta forma cuanto mayor es la frecuencia cada cuerpo tiene más

dificultades para seguir al anterior. En el modo de menor frecuencia se observa que

uno oscila en contra de todos los demás. Esto es porque las rigideces en esa parte de

oscilación conjunta son suficientes para que eso así ocurra. En cambio al aumentar la

frecuencia el efecto de la inercia de cada uno de estos cuerpos se hace más patente, y

la rigidez de los tramos de eje entre medias se hace insuficiente como para que le dé

tiempo a un cuerpo a seguir al que está a su lado.

5.2 Sensibilidad de la respuesta del sistema respecto de sus características

El interés de esto a efectos puramente numéricos no tiene valor alguno, al menos en

este caso, ya que el sistema es suficientemente pequeño como para calcular los

nuevos autovalores en caso de una pequeña variación de alguno de los términos de la

matriz de estado. Pero si tiene valor para comprender mejor el funcionamiento del

sistema, y cómo se ve condicionado por sus características, o como se pudiera

comportar ante modificaciones que se le pudieran introducir, en el caso por ejemplo

de que interesara aumentar o reducir la frecuencia de un modo determinado.

Como ya se ha comentado jiik

kj

i

aΦ⋅Ψ=

∂∂λ

Veamos por ejemplo la sensibilidad del modo de 8.70Hz ante variaciones en un

parámetro fundamental como es la rigidez. Haciendo una analogía con un sistema

típico en el que una masa está unida a un muelle la pulsación del modo de oscilación

104

natural debe aumentar si aumenta la rigidez (recuérdese que m

k=ω ) y reducirse si

lo hace la inercia. Haciendo uso de la sensibilidad del autovalor respecto de los

términos de la matriz de estado se tiene que:

21

1267712

1

125771

1

6,1

6,1

7

1

5,1

5,1

7

1

7

22 H

K

H

K

H

a

aH

a

aH ⋅⋅Φ⋅Ψ−

⋅⋅Φ⋅Ψ=

∂∂

⋅∂∂

+∂∂

⋅∂∂

=∂∂ λλλ

Que particularizando para este caso resulta ser

0.1008 - 8.5360i

Lo cual significa que la parte imaginaria del modo se reducirá en 8.53rad/s (1.35Hz)

por cada segundo que se modifique la inercia del cuerpo del alternador, tal y como se

dijo que debía ser.

Por otra parte, si cambiamos el valor de la rigidez entre los dos primeros cuerpos

12K el cambio en éste mismo modo será:

1

6771

1

577112

6,1

6,1

7

12

5,1

5,1

7

12

7

2

1

2

1

HHK

a

aK

a

aK ⋅⋅Φ⋅Ψ+

⋅⋅Φ⋅Ψ−=

∂∂

⋅∂∂

+∂∂

⋅∂∂

=∂∂ λλλ

Que en este caso es

-0.0017 + 0.1464i

Y que por tanto el cambio de la rigidez entre los dos primeros cuerpos en 1 p.u./rad

incrementa la pulsación del modo de 54rad/s en 0.14 rad/s. Aunque la sensibilidad es

menor hay que tener en cuenta que el valor inicial de la rigidez es 70 p.u./rad. Para

un cambio similar al que se obtenía al cambiar en un segundo la inercia del primer

cuerpo es necesario que la rigidez cambie en 58 p.u./rad, lo cual significa que un

105

cambio en la inercia del 83% equivale a un cambio en la rigidez en un 82%, es decir

la dependencia relativa respecto de cada uno de los parámetros es similar.

Parece que estos datos, por ser cualitativamente como se esperaban, confirman la

dependencia de los modos respecto de los parámetros que determinan el

comportamiento del eje es que aumenta la pulsación modal al aumentar la rigidez y

se reduce al aumentar la inercia.

5.3 Análisis del eje mediante el modelo implementado

Una vez implementado el modelo existe la posibilidad de analizar su

comportamiento mediante simulaciones y pruebas varias. Una de esas pruebas que

permite ver el comportamiento a lo largo de todo el espectro de frecuencias es el

tradicional diagrama de Bode. Concretamente se escogerá como entrada al sistema el

par proporcionado al eje por el alternador, ya que en principio será el que transmita

las perturbaciones al eje como se explicó en el apartado dedicado a ello. Como salida

se pueden escoger cualquiera de las variables de interés.

Tomando como salida la velocidad del alternador el diagrama de bode es el que

muestra al figura 5.1.

106

Fig. 5.1

Como se puede ver hay tres picos de respuesta en lo que a amplitud se refiere, que

corresponden a los modos del sistema: Tal y como se esperaba esos son los puntos de

respuesta máxima. Dado que los ángulos son integral de las velocidades se esperan

en esos mismos puntos los picos de respuesta de éstos, y por tanto los picos de

respuesta del par. Las fases correspondientes a las frecuencias de los modos están

todas alrededor de -180º, concretamente:

Modo Fase

8.7 Hz -180º

15.7 Hz -182º

60.2 Hz -209º

Tomando como salida la velocidad en el primer cuerpo de turbinas, la turbina de alta

presión el diagrama de Bode es el de la figura 5.2.

107

Fig.5.2

En este caso las fases en cada uno de los modos son las siguientes:

Modo Fase

8.7 Hz -180º

15.7 Hz -345º

60.2 Hz -360º

Si como salida se toma la velocidad en el primer cuerpo de baja presión se tiene que

el Bode es el representado en la figura 5.3.

108

Fig. 5.3

Las fases observadas son las siguientes:

Modo Fase

8.7 Hz -184º

15.7 Hz -360º

60.2 Hz -540º

En cuanto a la velocidad de la segunda turbina de baja presión como salida el bode es

el de la figura 5.4.

109

Fig. 5.4

En cuanto a las fases:

Modo Fase

8.7 Hz -360º

15.7 Hz -541º

60.2 Hz -720º

El motivo de que las fases de las oscilaciones de velocidad en cada uno de los

cuerpos sean interesantes es que pueden aportar luz sobre la forma del modo. Sea por

ejemplo el primero de los modos, de 8.7Hz, en él las fases que aparecen son las

siguientes: [-180,-180,-180,-360], lo cual significa que la oscilación de los tres

primeros cuerpos es en fase, al unísono, mientras que a del cuarto es en contrafase.

Este resultado corrobora aquel que ofrecían la parte real de los cuatro primeros

términos del autovector, que como se explicó decía que el alternador, turbina de alta,

y primera turbina de baja oscilaban contra la segunda de baja. En el modo de 15.7 Hz

las fases son [-180,-345,-360,-541] lo cual significa que las fases de alternador y

110

segunda turbina de baja presión son iguales, y opuestas a las de turbina de alta y

primera de baja. Una vez más corrobora el análisis modal al coincidir plenamente las

conclusiones obtenidas. Por último el modo de 60.2Hz presenta las siguientes fases

[-209,-360,-540,-720], habiendo por tanto 180º entre la fase de la velocidad de cada

cuerpo y los contiguos, lo cual significa que cada cuerpo oscila contra los que tiene a

ambos lados. Coincide con la existencia de signos alternativamente positivos y

negativos en la parte real de los cuatro primeros términos del autovector asociado.

Por otra parte el valor de las amplitudes en cada uno de los modos debe estar

relacionado con el valor de la parte real del autovector. Esta comprobación tiene

interés cuantitativo en lo que se refiere a la respuesta del sistema, y no de tipo

cualitativo que pueda llevar a una mejor comprensión de lo que en el ocurre al

introducir una perturbación, por lo que es menos interesante, mas aún cuando se va a

realizar una simulación y no una valoración sobre el papel.

Por tanto el sistema responde en los modos y sus cercanías con mayor amplitud en

las oscilaciones que fuera de esos modos, y por tanto a priori y para igualdad de

amplitudes de la perturbación será en ellos donde presente mayores giros en cada

tramo de eje, y por tanto mayores pares. Además cuanto más alto sea el modo mas

“inversiones” presenta, queriendo decir con inversiones aquellos tramos del eje

donde un cuerpo oscila contra otro. Como se ha visto en el modo más bajo hay una,

en el segundo hay dos, y en el de mayor frecuencia hay tres.

6. Análisis de la interacción torsional durante el arranque

Ahora que ha sido analizada la forma en que una máquina puede transmitir una

perturbación a la red, y llegar de ésta a otra máquina, y también se ha analizado que

perturbaciones transmitirá la máquina síncrona que arrancará en el caso particular

aquí estudiado como asíncrona, así como la forma en las que éstas afectarán a la

máquina síncrona cercana a la que crea la perturbación, y por tanto al eje donde estén

111

dispuestos los cuerpos de turbina que se acoplan a la máquina, se puede decir lo

siguiente:

-Todos los pares electromagnéticos que aparecen en la máquina que arranca en modo

asíncrono se reflejan de la misma forma en el par electromagnético de la máquina

síncrona cercana.

-Los pares transmitidos serán de frecuencias entre 100 y 0Hz, ya que son de

frecuencia doble al deslizamiento.

-Los pares que aparecerán en cada tramo del eje serán proporcionales al giro de cada

segmento que será mayor si la frecuencia de excitación coincide con un modo de

torsión del eje. Por tanto se excitarán todos los modos de torsión existentes de

frecuencia inferior a 100Hz.

Todo esto se confirmará con los resultados de las simulaciones, y se valorará no sólo

cualitativa sino cuantitativamente.

112

PARTE 4:

PARTICULARIZACIÓN

Y

SIMULACIÓN

113

1.Particularización de los parámetros a los de la instalación en estudio

1.1Parámetros eléctricos de las máquinas

El formato en el que se obtuvieron los parámetros fue en el de reactancias de régimen

permanente, transitorias y subtransitorias, y de las constantes de tiempo

correspondientes en magnitudes unitarias tomando la potencia base la nominal de

cada máquina. Estos datos son:

Alternador de central térmica “Cofrentes”:

sT d 6.7' 0 =

sT d 041.0'' 0 =

sT q 44.0' 0 =

sT q 106.0'' 0 =

H=3.74s (inercia total de alternador y turbinas)

011.2=dX

9.1=qX

435.0' =dX

63.0' =qX

325.0'''' == qd XX

24.0=aX

MVASbase 1083=

Alternador de central de bombeo “La Muela”:

sT d 99.9' 0 =

sT d 041.0'' 0 =

sT q 0624.0'' 0 =

H=3.95s (inercia total de alternador y bomba)

114

948.0=dX

624.0=qX

251.0' =dX

171.0'''' == qd XX

16.0=aX

MVASbase 233=

La conversión de estos parámetros así expresados a la expresión equivalente de los

parámetros de la máquina implementados en el modelo se realiza a través de la

llamada reactancia operacional, que relaciona en el dominio de Laplace el flujo en

cada uno de los ejes d y q con la intensidad que en ese momento recorre el estátor de

la máquina, también expresada en referencia dq. El valor de esta reactancia es

dependiente de la variable de Laplace, y por tanto de la frecuencia. Particularizando

para frecuencia infinita se obtendrá la reactancia subtransitoria, que es la que se ve

desde el exterior de la máquina al comienzo de un transitorio, cuando el efecto de los

devanados amortiguadores tadavía está presente. Si eliminamos las constantes de

tiempo, también en el caso particular del límite cuando s (variable de Laplace) tiende

a infinito, referidas a los circuitos amortiguadores se convertirá en la reactancia

subtransitoria. En régimen permanente, es decir, s=0 la impedancia operacional

coincide con la de régimen permanente (de ahí su nombre), y sirve para los cálculos

fasoriales habituales en máquinas eléctricas.

La conversión por tanto se hace en virtud de las expresiones siguientes:

Constante transitoria de circuito abierto en eje d:

( )mdfd

f

d XXR

T +⋅⋅

=0

0

1'

ω

Constante transitoria de cortocircuito en eje d:

115

+⋅

+⋅⋅

=amd

amdfd

f

dXX

XXX

RT

0

1'

ω

Constante subtransitoria de circuito abierto en eje d:

+⋅

+⋅⋅

=fdmd

fdmd

kd

kd

dXX

XXX

RT

00

1''

ω

Constante subtransitoria de cortocircuito en eje d:

+⋅

+⋅⋅

=amd

amdkd

kd

dXX

XXX

RT

0

1''

ω

Constante subtransitoria de circuito abierto en eje q:

( )mqkq

kq

q XXR

T +⋅⋅

=0

0

1''

ω

Constante del devanado amortiguador del eje directo:

kd

kd

kdR

XT

⋅=

0ω

Reactancia síncrona en eje d: mdad XXX +=

Reactancia transitoria en eje d: 0'

''

d

d

ddT

TXX ⋅=

Reactancia subtransitoria en eje d:

116

kdfkdmdfmd

kdfmd

a

dd

dd

ddXXXXXX

XXXX

TT

TTXX

+++=

⋅⋅

⋅=00 '''

'''''

Reactancia síncrona en eje q: mqaq XXX +=

Reactancia subtransitoria en eje q:

kqmq

kqmq

a

q

q

qqXX

XXX

T

TXX

++=⋅=

0''

''''

Además debemos añadir una hipótesis sobre el valor de la resistencia de los

arrollamientos, que será R=0.003p.u. en la base propia de la máquina, igual en

ambas.

Si además convertimos los parámetros a unos en la base común que se usará para las

simulaciones y que no es otra que 100MVA, resulta que los parámetros que

definitivamente serán usados en las simulaciones son los siguientes:

C.N. Cofrentes:

1635.0=dX

1532.0=qX

02216.0=lX

000277.0=estatorR

02023084.0=fdX

0000769.0=fdR

01391.0=kdX

002477.0=kdR

117

008271.0=kqX

004847.0=kqR

H= 40.5042segundos (total)

C. Bombeo La Muela:

3381.0=dX

199.0=qX

06866.0=lX

004291.0=estatorR

04412.0=fdX

0001218.0=fdR

0053703.0=kdX

00335751.0=kdR

004835.0=kqX

010403.0=kqR

Por otra parte están las líneas y transformadores que unen cada una de las máquinas

con el nudo común a ellas, que a su vez se une al resto e la red. Suponiendo que a

reactancia de corto de cada uno de los trafos es de 0.1p.u. en sus bases propias

respectivas, que son las mismas que las de las máquinas, se obtiene, que en base

100MVA la reactancias son:

Transformador C.N.Cofrentes 0.0078425 p.u.

Transformador La Muela 0.03636 p.u.

Por último, el punto de funcionamiento de la máquina síncrona de la central térmica

será entregando una potencia activa de 974 MW, y el ángulo de carga en ese régimen

será, respecto del nudo de la red al que está conectado, de 34º. La excitación

118

necesaria para que esto ocurra así es 0.0015 p.u., y la potencia aparente entregada en

ese régimen es 1200 MVA, algo superior a los de la máquina, si bien la componente

reactiva de la potencia no es en este caso de interés.

1.2Parámetros mecánicos

Éstos son los que se refieren a inercias de cada uno de los cuerpos del eje del

turbogenerador, a la rigidez en cada tramo de eje, y a la inercia del conjunto de

masas de la central de bombeo. Por otra parte hay que dar un valor al

amortiguamiento en cada uno de los cuerpos de la turbina, y un par resistente para la

máquina que lleva a cabo el arranque, diferente según el proceso sea con la bomba

cebada o no.

Las características mecánicas del eje del turbogenerador en unitarias se pueden ver

en la figura 1.1.

Fig.1.1

119

El conjunto de datos es puramente hipotético, se obtuvo por comparación con los

parámetros de otros conjuntos mecánicos similares, imponiendo siempre que la

inercia total fuera la que debía ser, ya que si se contaba con ese dato, que es H=3.74

segundos en base propia de la máquina. Evidentemente la inercia de la turbina de alta

presión será mucho menor que las de baja, por estar el vapor a mayor presión y por

tanto tener un menor volumen específico. La inercia del alternador pudiera ser

similar a las de baja. En cuanto a las rigideces se estimaron de manera similar, por

comparación con otras conocidas de ejes similares. De todas formas a priori no es un

parámetro crucial, ya que como se verá se excitarán todas las frecuencias entre 0 y

100Hz en el eje, por lo que sea cual sea el valor de las frecuencias de los modos,

condicionado por el valor de inercias y rigideces, se excitarán todos ellos. En cuanto

a los amortiguamientos en cada uno de los cuerpos de turbina se deberá a la variación

de velocidad respecto de la de diseño, y se dará por tanto en unidades de

par/velocidad siendo la velocidad de interés la diferencia entre la velocidad del

cuerpo en cuestión y la de sincronismo, que será en este caso 3000 r.p.m. En

unitarias ese amortiguamiento será de 2 p.u./p.u., y se considerará igual en cada uno

de los cuerpos.

En cuanto a la central de bombeo la inercia será, en base propia de la máquina de

3.95 segundos.

1.3Parámetros hidráulicos

En este apartado no se pretende modelar el comportamiento de la turbomáquina

hidráulica de la central de bombeo que se está tratando, sino simplemente buscar un

par resistente al arranque que se pueda parecer al que realmente tenga que vencer la

máquina.

Es necesario hacer algunos apuntes sobre la puesta en funcionamiento de las bombas

en general, y por tanto de la máquina a estudiar concretamente. En primer lugar, hay

que decir que dado la reversibilidad de que se quiere dotar a la instalación, con

120

capacidad para bombear y turbinar agua, la máquina hidráulica podría ser de tipo

Francis.

Para que fluido ascienda hasta la parte superior del embalse es necesario que en su

funcionamiento como bomba de una altura igual a la que debe vencer, que será la

referida a la cota geodésica del embalse al que bombea, y a las pérdidas de carga,

tanto primarias por la fricción en la tubería de impulsión como secundarias en caso

de codos u otros en esta tubería, o por degradación de la energía cinética del fluido al

entrar en el embalse. Mientras la bomba no dé esa altura el agua no llegará hasta

arriba.

A su vez la altura suministrada por la bomba es menor cuanto menor sea la velocidad

de la bomba, dependiendo del cuadrado de ésta. Pero esto ocurre cuando el rodete de

la bomba está sumergido en el fluido de trabajo. Si no lo estuviera, la bomba

comenzará el arranque, entregando una altura que depende de igual manera de la

velocidad que en el caso anterior, ya que la altura es energía por unidad de masa,

pero estará impulsando el aire que esté presente en el rodete. De esta forma el agua

presente en el embalse desde el cual se bombea subirá por la tubería de aspiración

hasta una altura máxima que es la determinada por la diferencia de presiones entre la

atmosférica y la depresión creada por la bomba en el tubo de aspiración. Si esa

depresión es suficiente, el agua llegará al rodete y se comenzará a bombear, en ese

caso se produce un autocebado. Naturalmente la instalación estará diseñada para que

esto así ocurra. En el momento en que el agua entra en el rodete el funcionamiento es

el mismo que cuando el rodete está lleno de agua. Otra opción es la de cebar la

bomba, en cuyo caso desde el primer momento trabajará con el agua como fluido.

Una vez la velocidad de la máquina haga que para condiciones de caudal nulo la

altura supere a la que la máquina debe vencer, el caudal comenzará a crecer, hasta

que se iguale la altura requerido por la instalación, que ahora crecerá al aumentar el

caudal y por tanto la pérdida de carga en las tuberías, con la entregada por la bomba

(véase figura 1.2).

121

Por tanto hay dos situaciones de interés para modelar:

-Arranque de bomba sin cebado. En este caso al comienzo del arranque el par

entregado por la máquina dependerá del cuadrado de la velocidad y por supuesto del

valor de la densidad del aire presente en el rodete. En el momento en que el par

entregado a caudal cero haga que la altura sea suficiente para que el agua del embalse

inferior sea aspirada por la bomba el par entregado por la máquina se multiplicará

por la relación entre las densidades entre agua y aire, y seguirá evolucionando con el

cuadrado de la velocidad. Por tanto a partir de ese punto se producirá un salto en el

par entregado por la máquina, y el arranque será más lento. Es importante decir que

entregando un caudal nulo, ya sea de aire o de agua, el par entregado se convierte

íntegramente en pérdidas por fricción del fluido con los elementos de la instalación,

siendo la energía entregada al fluido nulo, aunque no la energía entregada a la

turbomáquina por el accionamiento que la mueve.

-Arranque de bomba cebada. En este caso el agua inundará todo el cuerpo de la

bomba, y la altura del fluido comenzará a ascender. El cebado es necesario realizarlo

mediante una bomba auxiliar (de una forma similar a lo explicado anteriormente,

bombeando aire hasta que el agua inunde el rodete un virtud de la diferencia de

presiones entre éste y la atmósfera). Una vez comience el arranque y desde un primer

momento el par será el referido al agua como fluido de trabajo, y por tanto mayor

que en el caso anterior en los primeros instantes. Esto hará que el arranque sea más

lento.

El método de arranque que se elija, o la existencia de otros más sofisticados,

dependerá de consideraciones que se escapan al alcance de este proyecto. Para las

simulaciones se supondrá que la bomba está cebada por simplicidad. Como el efecto

de que el par sea mayor o menor en principio no afectará más que al tiempo de

arranque de la máquina, y no a las perturbaciones que ésta introducirá a la red éste no

será un dato relevante.

122

La turbomáquina en su funcionamiento como bomba se caracteriza por la curva que

relaciona el caudal y la altura que proporciona a cada una de las velocidades de

funcionamiento. En la figura 1.2 se puede ver una característica de este tipo a dos

velocidades para una posible bomba en esta instalación. La de velocidad w=0.83 p.u.

es la de velocidad a la cual comienza a llegar fluido al embalse superior, y a w=1 p.u.

es a la velocidad nominal, que corresponde a la de sincronismo de la máquina que la

acciona. Además se puede ver una supuesta curva de la instalación a la que está

alimentando la bomba.

Al arrancar se supondrá el caudal nulo, y por tanto la bomba funcionará

evolucionando por el eje de ordenadas, hasta que la velocidad es tal que la altura a

caudal nulo es igual a la precisada por la instalación, a partir de donde el caudal

dejará de ser cero. A partir de ese punto es preciso hallar, para cada velocidad, el

punto de funcionamiento que será donde el caudal y la altura requeridos por la

instalación sean iguales a los que suministra la bomba. Y para esa velocidad y ese

caudal hay que hallar el par requerido. Para el cálculo del par se partirá de una curva

Par-Caudal a velocidad nominal típicamente. Para conseguir las nuevas relaciones

caudal-altura y par-altura a distintas velocidades se hace uso de las leyes de

semejanza de las turbomáquinas.

123

Fig. 1.2

Trabajando a modo de ejemplo con la bomba cuya curva característica es la de la

figura 1.2 se tiene que:

20299.0280 QH ninstalació ⋅+=

22 02.0400 QwH bomba ⋅−⋅=

22 00001.0004275.02 QQwwParbomba ⋅−⋅⋅+⋅=

con H en metros, Q en s

m3, w p.u. y Par en p.u.

En éste caso en el punto de funcionamiento nominal el par requerido por la bomba es

de 2.2 p.u. y el rendimiento de ésta aproximadamente del 80%.

Para el caso concreto a tratar las curvas características que se supondrán para la

instalación y la bomba serán:

124

2015.0100 QH ninstalació ⋅+=

22 01.0150 QwH bomba ⋅−⋅=

22 00001.0002.056.0 QQwwParbomba ⋅−⋅⋅+⋅=

A partir de ellas se determina que la velocidad a partir de la cual al agua fluirá al

embalse es ..816.00

upH

Hw

bombaQ

emb ===

Si la velocidad es mayor se tiene que

despejando entre las dos primeras:

025.0

100150 2 −⋅= wQ

Que llevado a la expresión de par junto con la velocidad darán el par requerido por la

bomba.

Estas características que son las que se usarán para la simulación han sido estimadas,

sin concretarse en valores reales por no ser necesario, ya que no es un componente

fundamental que pueda condicionar los resultados obtenidos y las conclusiones que

de ellos se deriven.

1.4Parámetros eléctricos de la red

El principal parámetro a considerar es la potencia de cortocircuito. En éste caso se ha

supuesto que su valor es 15000MVA. Éste dato es el que corresponde a la potencia

de cortocircuito del nudo de la red eléctrica en el que se sitúan las centrales en

estudio. También se debe determinar la tensión en ese nudo, aunque esto es menos

relevante desde el punto de vista de las perturbaciones estudiadas, ya que está más

relacionado con estudios asociados a la potencia reactiva en juego. Se supondrá que

su valor es 1p.u.

125

2.Resultados obtenidos en las simulaciones

En este apartado se presentan los resultados obtenidos en las simulaciones. Se

representarán solamente las variables consideradas de interés. El análisis de éstos

resultados queda para la siguiente parte del proyecto donde se mostrarán

conjuntamente con las conclusiones.

Dado que ya han sido definidos todos y cada uno de los componentes del sistema

simulado en la figura 2.1 se puede ver el esquema resultante en formato Simulink al

interconectar todos ellos.

Fig. 2.1

El arranque se producirá a los 5 segundos del comienzo de la simulación, que se

prolongará hasta los 50 segundos para que el transitorio haya concluido por

completo. Cuando el propio arranque haya concluido se procede a alimentar el

devanado de campo de la máquina para hacer que sincronice con la red eléctrica.

126

Esta parte no será simulada por carecer de interés a efectos de excitación de algún

modo de torsión, ya que será una perturbación muy pequeña comparado con la que se

produce durante el propio arranque. Se presentarán los resultados de dos

simulaciones que pueden ser de interés, que son una sin uso de resistencia en el

devanado de excitación de la máquina que arranca y otro con ella. El valor escogido

para esta resistencia es de 0.01 p.u., que es aproximadamente 100 veces la del propio

devanado y que hace que la intensidad que circula por él durante el arranque no

exceda la de funcionamiento nominal en condiciones de sincronismo.

2.1 Simulación sin resistencia en el devanado de campo

En la siguiente figura, la 2.2 se puede ver la evolución de la velocidad y el par de la

máquina de inducción durante el transitorio. También se muestra el caudal que llega

al embalse, aunque esta variable no tenga interés real en la simulación.

Fig. 2.2

127

Por otra parte se puede ver la intensidad consumida por la máquina de la central de

bombeo durante el transitorio en la figura 2.3

Fig. 2.3

En cuanto al par electromagnético en la máquina síncrona, perturbado por la

aparición de una corriente como la que se acaba de mostrar, se puede ver en la figura

2.4

128

Fig. 2.4

Otra variable de interés será el ángulo entre el rotor y la red, que aumentará al caer la

tensión en el nudo común a las dos máquinas. Éste se ve en la figura 2.5.

129

Fig. 2.5

A partir de aquí las variables de mayor interés son las que propiamente se refieren al

eje, es decir, lo pares transmitidos en cada instante por cada uno de los segmentos de

eje, cuya obtención era el objetivo de este proyecto. Se pueden ver los pares entre

alternador y turbina de alta presión, entre ésta y la primera de baja presión, y entre

las dos de baja presión respectivamente en las figuras 2.6, 2.7, y 2.8.

130

Fig. 2.6

Fig. 2.7

131

Fig. 2.8

A continuación en la figura 2.9 se puede ver el par desarrollado por cada uno de los

cuerpos de la turbina. Esto justifica el modelado de ésta y del control primario, ya

que es capaz de controlar la velocidad e incluso responde ante las perturbaciones de

menor frecuencia.

132

Fig. 2.9

Todos los resultados obtenidos se comentarán en la parte del proyecto dedicada a

ello, que es la que viene a continuación, donde también se expondrán las

conclusiones.

2.2 Simulación con resistencia en el devanado de campo

A continuación se pueden ver velocidad, par y caudal en la figura 2.10. Como se

observa no se llega a alcanzar un régimen permanente, sino uno estabilizado

alrededor de una velocidad media. Esto significa que la presencia del devanado de

campo tiene una cierta influencia en la composición del par de origen asíncrono de la

máquina, y que su inexistencia (como en este caso cuyo efecto se ve reducido al

incluir la resistencia) provoca un pequeño desequilibrio que hará el par algo más

oscilatorio.

133

Fig. 2.10

En este caso la corriente de la máquina durante el arranque es la que se puede ver en

la figura 2.11. La intensidad oscila ente dos valores una vez se alcanza el régimen

estabilizado.

134

Fig. 2.11

Las oscilaciones observadas se deben a que la máquina no es capaz de sincronizar

sólo con el par de reluctancia, y se precisa la conexión de la excitación para esto.

Alcanza un régimen estabilizado alrededor de una velocidad media a la que se le

superpone una componente oscilatoria, motivada por la asimetría de los devanados

presentes.

En la figura 2.12 se puede ver el par electromagnético en la máquina síncrona

cercana, al que se puede observar que se superponen las perturbaciones debidas al

arranque de la asíncrona cercana.

135

Fig. 2.12

En cuanto al ángulo entre red y rotor del alternador se puede ver en la figura 2.13

136

Fig. 2.13

En las figuras 2.14, 2.15, y 2.16 se puede observar como es el par en cada uno de los

tres segmentos del eje.

137

Fig. 2.14

Fig. 2.15

138

Fig. 2.16

Por último en la figura 2.17 se puede ver el par desarrollado por cada una de las

turbinas, que viene condicionado por la actuación del control primario.

139

Fig. 2.17

Una vez presentados los resultados éstos serán comentados y analizados en la

siguiente sección del proyecto.

140

PARTE 5:

ANÁLISIS DE RESULTADOS

Y

CONCLUSIONES

141

1. Análisis de los resultados obtenidos en las simulaciones

1.1 Pares obtenidos en cada tramo del eje y sus efectos

El objetivo final del proyecto es simular los pares que aparecen en cada una de las

partes del eje del turbogenerador como consecuencia del arranque en modo asíncrono

de una máquina síncrona cercana. Como se expuso en la parte de análisis estos pares

se espera que sean de la misma frecuencia que los que aparecen en la propia máquina

que arranca, es decir, que se reproduzca en una máquina lo que ocurre en la otra. Y

éstos son fundamentalmente de frecuencia doble al deslizamiento en cada momento,

lo cual viene motivado como también se analizó por diferencias en los devanados

amortiguadores de una máquina en un eje y otro, por diferencias de reluctancia en los

circuitos magnéticos que concatenan el rotor, y por la presencia del devanado de

excitación. Por otra parte se vio que la amplitud de las oscilaciones de un cuerpo

respecto de otro, y por tanto de los pares en el segmento del eje que concatena a

ambos, depende de la respuesta a cada frecuencia del propio eje, dada por el

diagrama de Bode típicamente, y cuyos máximos corresponden a los modos de

torsión. Esto significa que la amplitud de una oscilación de par sobre el par nominal

viene determinada por dos variables:

-La amplitud de la oscilación de par en la máquina asíncrona próxima;

-La frecuencia de esta oscilación.

La amplitud y la frecuencia de la oscilación en cada uno de los tramos de eje son

importantes desde el punto de vista mecánico por dos motivos:

-El hecho de que el par tenga una componente oscilatoria puede provocar

fatiga en el eje. Este es un caso típico de torsión pulsatoria. Por otra parte la

máxima tensión tangencial debida a la torsión será en la superficie, lugar

donde pueden comenzar procesos de éste tipo, con la parición de microgrietas

142

que pudieran propagarse hacia el interior. Dado que esta situación no se

producirá de forma frecuente (el arranque de la máquina cercana, al menos en

éste caso, no es probable que ocurra más de una vez al día) puede que el

efecto de la fatiga sea nulo. Si bien es cierto que una media de 300 arranques

al año durante 30 años de vida útil de la central son un total de 9000

arranques. Si cada arranque conlleva consigo unos 500 ciclos de fatiga (unos

10 segundos con una oscilación entre 100 y 0 Hz, por termino medio unos 50

ciclos por segundo), se tiene que el eje, debido sólo al arranque de la central

de bombeo próxima sufrirá a lo largo de su vida 4.5 millones de ciclos de

torsión alternativa, aunque no todos ellos de misma frecuencia ni por

supuesto de misma amplitud.

-Por otra parte como se puede ver en las simulaciones hay oscilaciones de

muy alta amplitud. Estas oscilaciones provocan, por una parte, que haya un

semiperiodo en el que el eje transmita un par inferior al que transmite en

condiciones nominales y que, por otra parte, haya otro semiperíodo en el que

el par transmitido supera ampliamente al nominal, lo cual evidentemente es

un peligro si el eje no fue dimensionado con un margen de seguridad

suficientemente amplio. Los efectos de la amplitud del par son por tanto más

evidentes y por supuesto inmediatos que los de la fatiga. En realidad estos dos

efectos no están del todo separados, ya que un pico de par puede hacer

aparecer grietas en el eje, especialmente en su periferia, las cuales a su vez

pueden propagarse ayudadas por el proceso de fatiga, o al revés, microgrietas

aparecidas en virtud de un proceso de fatiga y envejecimiento del eje pueden

propagarse al verse sometido el eje a pares superiores a lo normal gracias a la

intensificación de tensiones en los extremos de estas grietas.

Los pares máximos a los que se ve sometido el eje a lo largo del proceso de arranque,

con y sin resistencia en el devanado de campo de la máquina que arranca, son los

siguientes:

143

Con resistencia Sin resistencia

Alternador-Alta Presión -12.01 p.u. -12.85 p.u.

Alta P.-1ª Baja P. -9.13 p.u. -10.02 p.u.

1ª Baja P.-2ª Baja P. -5.78 p.u. -5.46 p.u.

Se puede ver que en ambos casos los pares máximos son cercanos, y se producen a

aquella frecuencia tal que reúne una amplitud en la excitación es alta así como una

respuesta del propio eje que también lo es. A partir de aquí se usarán los resultados

procedentes del arranque sin resistencia, aunque todo lo que se diga es válido para

los dos, dada la similitud entre ambos.

Es necesario tener en cuenta que el valor del par en el régimen utilizado para la

simulación en la central térmica hace que los pares existentes en el eje sean de 9.74

p.u., 6.82 p.u., y 3.41 p.u. en los tres tramos (en el mismo orden que en el cuadro

anterior). Eso significa que el sobrepaso respecto del valor nominal es, en el caso sin

resistencia, de:

Sobrepaso (%)

Alternador-Alta Presión 31.9

Alta P.-1ª Baja P. 46.9

1ª Baja P.-2ª Baja P. 60.1

Como se puede ver el sobrepaso es aproximadamente 3 p.u en los tres casos, lo cual

hace que en proporción al par transmitido en condiciones normales sea bastante

mayor en el último tramo del eje. Es por esto por lo que ese tramo será el que sufra

más mecánicamente hablando.

Por otra parte, es de interés confirmar aquello que se dijo en la parte del proyecto

dedicada al análisis. Para empezar en lo que se refiere a la introducción de

perturbaciones en la red. Para ello se puede ver en la figura 1.1 el espectro en

frecuencia del par electromagnético en la máquina que realiza el arranque, y en la

144

figura 1.2 el de la intensidad de cualquiera de las fases de la máquina durante su

propio arranque directo. Como se ve, aparecen ruidos a todas las frecuencias entre 0

y 50Hz. Se puede incluso ver una componente de frecuencia nula que corresponde a

la corriente unidireccional, la cual provoca entre otras una componente de par de

50Hz. Como ya se anticipó todos los pares existentes entre 100 y 0Hz se reflejan en

la red en forma de intensidades de una frecuencia 50Hz diferente (teniendo en cuenta

que si la frecuencia queda negativa se toma su valor absoluto, ya que lo único que

cambiará será la fase). Los pares cercanos a 100Hz estarán asociados a corrientes

cercanas a 50Hz, y los cercanos a 0Hz también a corrientes cercanas a 50Hz. Todos

los pares entre 0 y 100Hz aparecerán relacionados con corrientes entre 0 y 50Hz.

Naturalmente se ve la componente fundamental de la intensidad de 50 Hz.

Evidentemente el espectro en frecuencia de todas estas señales es continuo (dentro de

la discretización impuesta por que el algoritmo de resolución es numérico) debido a

que les señales sometidas al análisis espectral no son periódicas en el tiempo.

Fig. 1.1

145

Fig. 1.2

A su vez éstas intensidades se propagarán por la red. En el caso simulado esta

propagación es muy sencilla, ya que la red se reduce a un nudo. Éstas intensidades

harán que la tensión del nudo contenga las perturbaciones de sus mismas frecuencias,

y a su vez es a este nudo al que se conecta la máquina síncrona de la central térmica.

La propagación de la perturbación en la red se debe transmitir tal y cómo se dijo al

analizarlo, por lo que los pares electromagnéticos que aparezcan como consecuencia

de esto en la máquina síncrona unida al conjunto de turbinas deben tener un espectro

de alguna forma similar al del otro par. Aunque, tal y cómo se explicó, el par se

compone de forma algo más compleja al interaccionar unas intensidades y otras, y

además este espectro vendrá distorsionado por la enorme componente media del par

dada por la gran componente de 50 Hz de las intensidades. Éste espectro se puede

ver en la figura 1.3.

146

Fig. 1.3

Como se puede ver, el par varía entre 0 y 100Hz, como se esperaba que ocurriera al

“reflejarse” el de una máquina en la otra. Por otra parte, para componer el par no sólo

hay que tener en cuenta las frecuencias de la tensión de alimentación, sino el efecto

de las propias oscilaciones del rotor de la máquina. Éstas serán preferentemente de la

frecuencia de oscilación de cada uno de los modos de torsión. En la figura 1.4 se

puede ver el espectro de la velocidad del alternador perteneciente al turbogenerador

ampliado en la zona de interés.

147

Fig. 1.4

Como se puede ver las oscilaciones de ésta velocidad son principalmente de 8.7 y

15.7 Hz, que son los dos primeros modos de oscilación. El tercero no aparece por ser

de menor amplitud. El otro máximo apreciable es cerca de 1.5 Hz, y se debe a que en

esa zona la respuesta en frecuencia del eje es bastante buena, es decir, de gran

amplitud, y que además la perturbación es de una amplitud más considerable. Estas

oscilaciones influirán por tanto en la composición del par. Desde el punto de vista del

sistema de referencia dq0 las oscilaciones de velocidad provocarán oscilaciones de la

misma frecuencia en las corrientes vistas desde éste sistema de referencia solidario al

rotor, y por tanto aparecerán pares de frecuencias relacionadas con las de esas

corrientes, tal y como se puede ver en la figura 1.3, donde hay dos máximos en el

espectro correspondientes a 8.7 y 15.7 Hz.

Por tanto la existencia de los propios modos de torsión como formas de oscilar

preferentes retroalimenta el funcionamiento de la máquina y hace que el propio par al

que se somete uno de los cuerpos unidos al eje, en éste caso el rotor del alternador,

148

tenga componentes de la misma frecuencia que esos modos. Ese par debe ser

amortiguador, y tratar de compensar las oscilaciones, por lo que la máquina eléctrica,

además de ser la que introduce las perturbaciones que hacen oscilar al sistema, es la

que trata de amortiguarlas, naturalmente de forma conjunta con el propio

amortiguamiento de los demás cuerpos tal y como se modeló. El efecto del control

primario es nulo en frecuencias de este orden, ya que no es suficientemente rápido.

Mas allá de los análisis espectrales es interesante comprobar que éstas cosas se

cumplen en el tiempo. Tomando un instante dado, que puede ser por ejemplo a los 8

segundos del comienzo de la simulación, se tiene que en ese momento el par de la

máquina asíncrona es pulsatorio de 83.33Hz. Si ésta pulsación es de frecuencia doble

a la de deslizamiento ésta debe ser 41.66 Hz, y por tanto el deslizamiento será 0.83, y

la velocidad en p.u. 0.16. Sobre la simulación, la velocidad es de 0.193, que difiere

algo de la esperada por tanto, y que se debe o bien a imprecisiones en el algoritmo de

integración, o bien a algún error en el análisis cualitativo realizado a priori. En ese

mismo momento en el turboalternador el par que aparece será 83.33 Hz, es decir, el

mismo exactamente que el que existe en la máquina que está realizando el arranque,

lo cual confirma que el par oscilatorio que aparece en una también aparece en la otra.

1.2 Justificación de los elementos y procesos no tenidos en cuenta

No fue modelado el momento de la sincronización de la máquina, que será cuando se

conecte el sistema de excitación. No es una parte del proceso de interés, ya que el

proceso oscilatorio que sufrirá la máquina no será relevante comparado con el que

sufrió durante el propio arranque en modo asíncrono, y por tanto ocurrirá lo mismo

con los pares de naturaleza oscilatoria que pudieran aparecer en el eje del

turbogenerador. Tampoco es de interés el modelado de la excitatriz y el control de

tensiones de la máquina síncrona unida al turbogenerador, ya que éste sólo es

relevante en caso de querer analizar el problema reactivo asociado a éste, que sin

duda es relevante, pero no de interés para este proyecto. En casos como el simulado

las tensiones pueden caer hasta en un 20% en el nudo en el que están conectadas las

149

centrales de bombeo, lo cual sin duda hará que el control de tensiones del

turboalternador actúe intentando estabilizar los niveles de tensión. Pudiera tener

algún efecto si se dispusiera de un dispositivo tipo PSS (“Power system stabilizer”)

alimentado con el error de velocidad de la máquina, en la zona final del transitorio,

que es cuando las oscilaciones de velocidad son suficientemente lentas como para

que éste dispositivo pudiera ser suficientemente rápido como para tener efecto sobre

las propias oscilaciones. Como los máximos pares no aparecen en esa zona en la que

las oscilaciones son de muy baja frecuencia parece que el efecto de un PSS no será

importante a este efecto.

Por otra parte el modelado de la turbomáquina hidáulica como se ha visto no

pretendía ser tal, sino que simplemente se buscaba una carga mecánica lógica con la

instalación modelada. Esto no es un detalle importante, ya que no tendrá un efecto

directo sobre los pares aparecidos, que dependen fundamentalmente de la

configuración de la máquina que la arrastre. En todo caso influirá en el tiempo que

tarde ésta en arrancar.

2. Conclusiones

Al tratarse este proyecto de la realización de un análisis y simulación las

conclusiones deben referirse a la explicación del fenómeno presente y a las

consecuencias que pudiera tener. A lo largo de la parte del proyecto dedicada al

análisis se han expuesto diversas ideas sobre lo que cualitativamente pudiera ocurrir,

ideas que como se ha visto se han confirmado con los resultados de las simulaciones.

Sintetizando éstas se puede decir que:

-El caso de un arranque directo de una máquina de inducción de grandes dimensiones

en régimen motor se produce en casos muy precisos como pueda ser aquel en el que

una central de bombeo no tenga capacidad para arrancar de otra manera, y utilice la

150

capacidad de su máquina síncrona para funcionar como asíncrona en virtud de las

corrientes que se puedan inducir en su rotor.

-Este arranque directo tiene dos problemas asociados a él. Un subproblema reactivo,

ya que la altísima cantidad de potencia reactiva que consumirá la máquina provocará

una caída de la tensión en la red a partir del nudo al que esté conectada la máquina.

Este problema reactivo no interesa desde el punto de vista de este proyecto. En

cuanto al otro subproblema es el activo, que analiza como afecta a la potencia activa

este arranque. La potencia activa requerida es muy alta, pero es asumible

perfectamente por la red. El problema es que la solicitación de potencia activa no se

limita a una sola frecuencia, la fundamental de la red, sino a otras frecuencias, que se

propagarán por la red en forma de perturbaciones.

-Si la máquina a tratar fuera, salvo por el tamaño, una máquina de inducción normal,

la frecuencia única que aparecería en las corrientes absorbidas por la máquina

durante el arranque sería de 50Hz, salvo por la componente unidireccional que

aparecerá al comienzo del transitorio. Pero en éste caso las asimetrías constructivas

en la máquina respecto de los ejes d y q hacen que haya oscilaciones en el par que se

traducen en frecuencias de las corrientes absorbidas distintas a los 50Hz.

-El origen de éstas asimetrías está en la asimetría del efecto amortiguador entre los

dos ejes, la diferente reluctancia, y la presencia del devanado de campo, cuyo eje

magnético es el d.

-La inclusión de una resistencia en el devanado de campo de la máquina reduce el

valor de la corriente durante el arranque, y reduce, aunque de forma casi irrelevante,

la oscilatoriedad del par.

-El par electromagnético que aparece la máquina síncrona de la central térmica

cercana es el que desarrollen las turbinas unidas al alternador superpuesto a un par

151

pulsatorio que es fiel reflejo del que aparece en la máquina que está realizando el

arranque en ese mismo momento.

-Este par produce giros relativos de unos cuerpos acoplados al eje del turbogenerador

respecto de otros. Éstos giros son deformaciones elásticas que sufre el propio eje,

siempre y cuando no se sobrepase el límite elástico. La amplitud de éstos giros

depende de la amplitud de la componente pulsatoria del par y de la frecuencia de

ésta, ya que el eje responde de manera distinta en función de la frecuencia de la

excitación a la que se le someta.

-Existen algunas frecuencias ante las que el eje responde de forma particularmente

peligrosa, que se corresponden a las frecuencias de los modos de torsión. Si en un eje

hay n cuerpos acoplados habrá n-1 modos de torsión. Los más bajos son los que más

hay que tener en cuenta. Además la respuesta a frecuencias bajas, aún fuera de uno

de éstos modos, es bastante amplia, como se pudo ver en el diagrama de Bode.

-La pulsación de par que tiene origen en la máquina que arranca es de frecuencia

doble al deslizamiento en cada momento, salvo la pulsación de frecuencia igual al

deslizamiento debida a la componente unidireccional de la corriente.

-Se excitan todos los modos de torsión del eje, al recorrer la pulsación de par todas

las frecuencias entre 100 y 0Hz.

-El eje puede resultar dañado, bien por fatiga, bien por los picos de par que sufre

cuando la frecuencia de la excitación coincide con la de algún modo de oscilación.

Especialmente crítico es el tramo del eje que une los dos cuerpos de baja de la

turbina de vapor, donde se llega a sobrepasar el par nominal en un 60%.

En función de las conclusiones aquí expuestas se podría proponer alguna forma de

filtrar las perturbaciones si fuera un modo de torsión en concreto el que fuera

152

peligroso, pero excitarse todos los modos y todas las frecuencias en un rango

determinado no tiene sentido intentar hacer esto. Si se demostrara que los pares

aparecidos en el eje del turbogenerador son realmente dañinos sería necesario

replantear el modo de arranque de la central, y pasar a un método menos drástico

para las instalaciones que rodean la central, como pudiera ser un back-to-back. Salvo

esto no se puede proponer nada para intentar solucionar el problema.

Por tanto han sido satisfechos todos los objetivos del proyecto, que a continuación se

resumen:

-Familiarización con los modelos dinámicos más comunes de máquinas

eléctricas de corriente alterna.

-Desarrollo de uno de estos modelos.

-Desarrollo de un modelo dinámico para el eje de un generador unido a una

turbina de vapor.

-Integración de los modelos en una instalación concreta.

-Modelado de esta instalación.

-Obtención de resultados que se asemejen a la realidad de este caso particular.

Aunque no se dispuso de medidas concretas que pudieran confirmar la

semejanza, los resultados parecen muy cercanos a lo que realmente pudiera

ocurrir.

-Propuesta de actuaciones.

Además de los objetivos planteados a priori, que como se ve se referían al modelado

matemático y el desarrollo de los modelos fundamentalmente, se han desarrollado

analíticamente los conceptos que justifican todo lo que en la instalación ocurre

durante el proceso de arranque, por lo que se ha llegado a una comprensión del

problema superior a lo que se esperaba al comenzar el proyecto.

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Madrid, a 21-5-2005

Manuel Pinilla Martín

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Bibliografía utilizada

“The general theory of alternating current machines”, B.Adkins & R.G. Harley,

Chapman and Hall, 1975

“Power System Stability and Control”, Prahba Kundur, Electric Power Research

Institute, editado por Neal J. Balu, Mark G. Lauby (1994)

“Apuntes de teoría general de máquinas eléctricas”, Luis García Tabarés, ETSII

Upco

“Análisis y operación de sistemas de energía eléctrica” coordinador Gómez Expósito,

McGraw Hill, 2002

“Cálculo II, teoría y problemas de funciones de varias variables”, Alfonsa García,

Antonio López, Gerardo Rodríguez, Sixto Romero, Agustín de la Villa, editorial

Clagsa, 1996

“Resistencia de Materiales” L. Ortiz Berrocal, McGraw Hill, 2002

“Resistencia de Materiales II”, Prof. Ramón Gavela, Departamento de Ingeniería

Mecánica Upco

“Introducción al análisis de rotura por fatiga”, UPCO-ICAI Departamento de

Ingeniería Mecánica

“Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas” Claudio Mataix, Ediciones ICAI, 1986