similitud hidraulica

7/24/2019 similitud hidraulica

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16. Anlisis dimensional y semejanza dinmica

Ingeniera Fluidomecnica 16-1

TEMA 16. ANLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA DINMICA.

16.1. INTRODUCCIN. EL PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

DIMENSIONAL.

Pocas veces se puede tener la solucin completa de los problemas de Mecnica deFluidos (y de Ingeniera) slo por mtodos analticos (matemticos). Muchosfenmenos del flujo de fluidos son tan complejos que las soluciones puramentematemticas son poco prcticas, incompletas o imposibles y es preciso tener en cuentaseriamente los resultados experimentales. Por tanto, el desarrollo de la Mecnica deFluidos ha dependido sustancialmente de los resultados experimentales.

La solucin de los problemas reales implica una combinacin de la informacinanaltica y de la experimental. Primero se aproxima la situacin fsica real con unmodelo matemtico y despus se efectan mediciones experimentales para verificar lavalidez de los resultados analticos.

El trabajo experimental en el laboratorio es caro y requiere un tiempo considerable. Eneste sentido, un objetivo obvio consiste en obtener la mayor informacin posible delnmero ms reducido de experimentos. El anlisis dimensional constituye unaherramienta importante que muchas veces puede ayudar a alcanzar este objetivo. Esteanlisis dimensional se basa en el principio de homogeneidad dimensional, queestablece que cualquier ecuacin deducida analticamente y que represente unfenmeno fsico, debe satisfacerse en cualquier sistema de unidades. Una explicacinde este principio la constituye el hecho de que los fenmenos naturales tienen lugar deforma completamente independiente de las unidades creadas por el hombre, y de aquque las ecuaciones que representan tales fenmenos han de tener validez para cualquiersistema de unidades. Por ello, las ecuaciones fundamentales de la Mecnica de Fluidosson homogneas.

16.2. NATURALEZA DEL ANLISIS DIMENSIONAL.

En la actualidad, numerosas estructuras hidrulicas se proyectan y construyen slodespus de haber efectuado un amplio estudio sobre modelos. La aplicacin del anlisis

dimensional y de la semejanza hidrulica permite al ingeniero organizar y simplificarlas experiencias, as como analizar los resultados obtenidos. Ejemplos son: tnel deviento, presas modelo, canal para modelos de buques, modelos de redes de tuberas,cmara de ensayos para la cpsula de una nave espacial, etc.

El objeto del anlisis dimensional es la ordenacin de las variables de una magnitudfsica, de forma que sea ms sencilla la determinacin experimental de sta, al sernecesarias menos experiencias.

La mayor parte de los fenmenos en Mecnica de Fluidos dependen de una maneracompleja de los parmetros geomtricos y del flujo. Consideremos, por ejemplo, la

fuerza de arrastre que acta sobre una esfera estacionaria, de superficie lisa, colocada en


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la corriente uniforme de un fluido. La fuerza de arrastre depende del tamao de la esfera(dimetro D), de la velocidad v del fluido y de su viscosidad . La masa del fluido,caracterizada por su densidad, , tambin debe resultar importante. Si se representa lafuerza de arrastre mediante F, podemos escribir la siguiente ecuacin simblica:

),,,( vDfF=

Se ha formulado de esta forma la fuerza de arrastre en funcin de cantidades que sonfcilmente medibles y controlables en un laboratorio.

Imaginemos una serie de experimentos para determinar la forma en que F depende delas variables D, v, , . Para obtener una curva de F contra v con valores fijos de lasotras tres variables, podramos necesitar pruebas correspondientes a diez valores de v.Para analizar el efecto que tiene el dimetro, cada prueba tendra que repetirse paraesferas de diez dimetros diferentes. El procedimiento anterior se repetira diez veces

para y , respectivamente. Se necesitaran 104 experimentos diferentes, con lasconsiguientes dificultades para establecer las relaciones entre esas variables y la formade representar los datos de forma til.

Se pueden obtener resultados ms significativos con bastante menos esfuerzo medianteel uso del anlisis dimensional. Los resultados experimentales para la fuerza que actasobre una esfera lisa se pueden representar con una relacin funcional entre slo dos

parmetros adimensionales de la forma:

=

vDf

Dv

F

22

La forma de esta funcin se puede obtener siendo necesarios solamente diezexperimentos para obtener esa relacin en funcin del nmero adimensional del quedependen, que en este caso particular es el llamado nmero de Reynolds. nicamentedicho parmetro debe modificarse durante los experimentos.

16.3. TEOREMA DE BUCKINGHAM.

16.3.1. Introduccin.

Cuando el nmero de variables o magnitudes en un sistema es mayor que 4, el teoremade o de Vaschy-Buckinghamconstituye una herramienta mediante la cual puedenagruparse estas magnitudes en un nmero, menor que el de ellas, de gruposadimensionales, a partir de los cuales puede establecerse una ecuacin que liga lasmagnitudes y describe el comportamiento del sistema (fenmeno) a estudiar.

Los grupos adimensionales se llaman grupos o nmeros . El teorema se enuncia:


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Si en el sistema intervienen n magnitudes fsicas (a las que llamaremos q 1, q2, q3...qn)

y el nmero de dimensiones fundamentales es k (habitualmente tomaremos como

dimensiones fundamentales M, L y T, con lo que k = 3), el de magnitudes derivadas

ser n-k.

Entonces, la ecuacin funcin de estado del sistema:

0)....,( 21 =nqqqf

puede reemplazarse por la relacin:

0)....,( 21 = kn

donde cualquier nmero no depende ms que de k+1 magnitudes fsicas qi, y cada

uno de los nmeros es una funcin monmica independiente, adimensional, de lasmagnitudes qi:

ni

qqq ..... 21=

Cada grupo es un monomio producto de k magnitudes que se repiten elevadas aexponentes desconocidos y deferentes en cada grupo y de otra magnitud, diferente

para cada nmero , elevada a un exponente conocido (normalmente 1).

16.3.2. Procedimiento de aplicacin.1. Se forma una tabla de dimensiones de las n magnitudes fsicas q1, q2........qn queintervienen en el sistema.

2. Se seleccionan k de esas magnitudes sin que haya ninguna sin dimensiones ni dos quetengan las mismas dimensiones. Todas las magnitudes fundamentales deben incluirsecolectivamente en las magnitudes seleccionadas.

3. El primer grupo puede expresarse como el producto de las magnitudes escogidas,elevada cada una a un exponente desconocido y una de las otras magnitudes elevada a

una potencia conocida (normalmente se toma igual a 1). Existirn n-k nmeros .

4. Se mantienen las magnitudes escogidas en el paso (2) como variables repetidas y seescoge una de las restantes magnitudes para establecer el nuevo nmero . Se repite el

procedimiento para obtener los sucesivos nmeros .

5. En cada uno de los grupos , se determinan los exponentes desconocidos medianteanlisis dimensional.


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16.3.3. Relaciones tiles.

a) Si una magnitud es adimensional, constituye un nmero sin necesidad de aplicar elprocedimiento anterior.

b) Si dos magnitudes fsicas cualesquiera tienen las mismas dimensiones, su cocienteser un nmero adimensional

c) Cualquier nmero puede ser sustituido por cualquier potencia del mismo, incluida-1.

d) Cualquier nmero puede sustituirse por su producto por una constante numrica.

e) Cualquier nmero puede expresarse como funcin de otros nmeros . Porejemplo, si hay dos nmeros :

( )21 =

Hallada la ecuacin:

( ) 0...., 21 = kn

sta nos permite disear experiencias. Por ejemplo, mantener todas las variables quedefinen los nmeros menos las de uno de ellos, en cada serie de experiencias. Sesimplifica as extraordinariamente el trabajo experimental.

16.4. MODELOS Y SEMEJANZAS.

16.4.1. Modelos hidrulicos.

Los estudios sobre modelos de maquinaria o estructuras hidrulicas en proyecto sirvenfrecuentemente de valiosa ayuda, ya que permiten una inspeccin visual del flujo yhacen posible la obtencin de ciertos datos numricos, como por ejemplo, calibrado devertederos y compuertas, profundidades de flujo, distribuciones de velocidades, fuerzas

sobre compuertas, rendimientos y capacidades de bombas y turbinas, distribuciones depresiones y prdidas de energa mecnica.

Los modelos verdaderos tienen todas las caractersticas del prototipo reproducidas aescala (semejanza geomtrica) y satisfacen todas las restricciones de diseo (semejanzascinemtica y dinmica). La semejanza geomtrica se refiere tambin a la rugosidadsuperficial del modelo y del prototipo: las rugosidades han de estar en la misma

proporcin que las dimensiones lineales.

El estudio comparativo entre modelo y prototipo ha mostrado con evidencia que lacorrespondencia de comportamiento es frecuentemente buena, fuera de las limitaciones


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esperadas, como lo atestigua el funcionamiento correcto de muchas estructurashidrulicas diseadas a partir de ensayo sobre modelos.

16.4.2. Semejanza geomtrica.

Existe semejanza geomtrica entre modelo y prototipo cuando las relaciones entre todaslas dimensiones correspondientes u homlogas entre modelo y prototipo son iguales.Las relaciones de longitudes, reas y volmenes se pueden escribir:

r

p

m LL

L= 2rr

p

m LAA

A== 3rr

p

m LVV

V==

en donde el subndice m se refiere al modelo, p al prototipo y r a la relacin.

16.4.3. Semejanza cinemtica.

Existe semejanza cinemtica entre modelo y prototipo si las trayectorias de laspartculas mviles homlogas son geomtricamente semejantes y las relaciones entre lasvelocidades de las partculas homlogas son iguales:

Velocidadr

r

pm

pm

pp

mm

p

m

T

L

TT

LL

TL

TL

v

v===

Aceleracin2222

2

r

r

pm

pm

pp

mm

p

m

T

L

TT

LL

TL

TL

a

a===

Caudalr

r

pm

pm

pp

mm

p

m

T

L

TT

LL

TL

TL

Q

Q 333

3

3

===

16.4.4. Semejanza dinmica

Entre dos sistemas semejantes con semejanza geomtrica y cinemtica existe semejanzadinmica si las relaciones entre las fuerzas homlogas en modelo y prototipo son lasmismas.

Las condiciones requeridas para la semejanza completa se obtienen del segundoprincipio del movimiento de Newton:

232 ===

rrrrrrr

pp

mm

p

m TLLTLMaM

aM

F

F 24 =

rrr

p

m TLF

F


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16.5. TIPOS DE FUERZAS QUE ACTAN SOBRE UN FLUIDO.

Las partculas de los fluidos pueden estar sometidas a diversos tipos de fuerzas.Generalmente no actan sobre una partcula dada todas estas fuerzas simultneamente.

No consideraremos otras fuerzas posibles, como electrostticas, magnticas...., que seestudian en la rama de la Mecnica de Fluidos denominada Magnetohidrodinmica. Lasfuerzas que vamos a considerar, junto con su ecuacin de definicin, son las siguientes:

Fuerzas de inercia maFi =

Fuerzas viscosasdy

dvAF =

Fuerzas de presin pAFp =

Fuerzas gravitatorias mgFg =

Fuerzas de tensin superficial lF =

Fuerzas elsticas EAFE =

Un sistema en el que acten simultneamente ms de dos de estas fuerzas puede sercomplejo de estudio. Generalmente podrn considerarse despreciables las fuerzasactuantes salvo una o dos de ellas.

16.6. PARMETROS ADIMENSIONALES MS IMPORTANTES ENMECNICA DE FLUIDOS. SIGNIFICADO FSICO.

A la hora de establecer los nmeros adimensionales para la realizacin de losexperimentos, se buscan de tal forma que tengan un significado fsico con lascondiciones de semejanza que se han expuesto.

Sirven para cuantificar la importancia de una fuerza respecto a la fuerza de inercia. Aldisminuir el valor del nmero adimensional, aumenta el papel de la fuerza

correspondiente respecto a las fuerzas de inercia. Los parmetros adimensionales msutilizados son los siguientes:

16.6.1. Nmero de Euler o de Newton.

Representa la relacin existente entre las fuerzas debidas a las presiones y las fuerzas deinercia:

22222

2

23

Eu

p

v

p

v

p

TL

pL

LTL

F

F

presion

inercia

p

i ===

=

=

p

vEu=


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El nmero de Euler tiene importancia en derrames de fluidos compresibles a granvelocidad en los cuales las variaciones de densidad subsiguientes a las variaciones de

presin son significativas, como en las salidas de fluidos por orificios, cavitacin...

16.6.2. Nmero de Reynolds.

Representa la relacin entre las fuerzas de inercia y las viscosas. Constituye un criteriomediante el cual se puede determinar el estado del flujo.

vLvL

LLTL

LTL

dyAdv

ma

F

F

asvis

inercia i ===

===

Re/cos 112

23

vL=Re

Las fuerzas de inercia y las viscosas son prcticamente las nicas que deben tomarse en

cuenta a la hora de estudiar un flujo completamente encerrado (como en tuberas,medidores de flujo, ventiladores, bombas y turbinas), o bien para un flujo en que haycuerpos totalmente sumergidos en un fluido (vehculos, submarinos, aeronaves oestructuras.

Si las fuerzas viscosas y de inercia determinan el flujo para el prototipo, entonces, lasimilitud entre modelo y prototipo se alcanza cuando sus nmeros de Reynolds soniguales. Un valor grande de Re indica preponderancia de las fuerzas de inercia y, portanto, una gran turbulencia de la corriente.

16.6.3. Nmero de Froude

Representa la relacin entre las fuerzas de inercia y las gravitatorias.

2223

FrLg

v

Lg

LTL

mg

ma

F

F

iasgravitator

inercia

g

i ==

==

Lg

vFr=

Se toman en consideracin las fuerzas de gravedad en los casos en que la superficielibre de un fluido desempea un papel esencial, como, por ejemplo, en el caso de olassuperficiales producidas por el casco de un barco o un hidroavin, o bien el flujo en un

canal abierto. Tienen importancia tambin en compuertas, siendo til en los clculos deresalto hidrulico, en el diseo de estructuras hidrulicas y en el de barcos.

16.6.4. Nmero de Mach.

Mide la relacin entre las fuerzas de inercia y las elsticas.

222

2

23

MaE

v

E

v

EL

LTL

EA

ma

F

F

elsticas

inercia

E

i ===

==

c

v

E

vMa ==


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en donde c es la velocidad de propagacin de las ondas en el fluido.

Se puede demostrar que el nmero de Mach mide tambin la relacin entre la energacintica del movimiento y le energa interna del fluido. Es el parmetro a considerar

cuando las velocidades son prximas o rebasan la velocidad local del sonido. Esfundamental para determinar los efectos de compresibilidad en un flujo.

16.6.5. Nmero de Weber.

Es proporcional a la relacin existente entre las fuerzas de inercia y las de tensinsuperficial.

2223

lsuperficiatensin

WeLv

L

LTL

L

ma

F

Finercia i ==

==

( )L

vWe

=

Es importante en las superficies de separacin gas-lquido o lquido-lquido, y tambindonde dichas superficies estn en contacto con el contorno. La tensin superficial causa

pequeas ondas y formacin de gotas.

Tiene inters en la descarga de orificios y vertederos con cargas muy pequeas. Cuantoms pequeo sea el nmero de Weber, mayor ser la influencia relativa de la atraccinmolecular.

En general, al estudiar un fenmeno, no se consideran todas las fuerzas que intervienen,

sino que se estudia en el sistema nicamente el efecto de la fuerza preponderante. Si sonvarias las fuerzas que simultneamente influyen en el sistema, su comportamiento esms complejo.

16.7. RELACIONES DE TIEMPOS PARA COMPORTAMIENTOS ENMODELO Y PROTOTIPO.

Las relaciones entre los tiempos durante los que se desarrolla un comportamiento dadoen modelo y prototipo para configuraciones del flujo del fluido en los que juega papel

preponderante la fuerza correspondiente son:

16.7.1. Fuerza de inercia

maFi = [ ] maMLT =2

aLT=

r

r

r a

L

T =


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16.7.2. Fuerza de viscosidad

==

12

2

LTL

LMLT

Adv

Fdy

L

L

L

MT

3

==

r

r

r

LT

2

=

16.7.3. Fuerza de gravedad

mgFg = [ ] mgMLT =2

r

rr g

LT =

16.7.4. Fuerza de tensin superficial

LF = [ ] LMLT =2

3LT=

r

rr

r

LT

3

=

16.7.5. Fuerza de elasticidad

EAFE = [ ] 22 ELMLT =

EL

LT

3=

r

r

rrE

LT

=


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16.7.6. Fuerza de presin

pAFp = [ ] 22 pLMLT =

pL

LT

3=

r

rrr

pLT

=

16.8. EJEMPLOS DE PRUEBAS CON MODELOS.

Pruebas en tneles de viento y agua.

Los tneles se usan para examinar las lneas de corriente y las fuerzas que se inducen alfluir un fluido alrededor de un cuerpo totalmente sumergido. Debido a que la viscosidadcinemtica del agua es alrededor de una dcima parte de la del aire, se puede usar untnel de agua para ensayos con modelos si los nmeros de Reynolds son relativamentegrandes. A muy altas velocidades hay que tener en cuenta los efectos de lacompresibilidad y, por tanto, el nmero de Mach.

Flujo en tubos.

Cuando se tiene un flujo en rgimen permanente en un tubo, las fuerzas viscosas y lasinerciales son las nicas de importancia. De ah que, cuando se observa una similitudgeomtrica, el tener el mismo nmero de Reynolds en modelo y prototipo proporcionauna semejanza dinmica. Para probar con fluidos que tienen la misma viscosidadcinemtica, en modelo y prototipo debe ser igual el producto v D Frecuentemente estorequiere velocidades muy altas en modelos pequeos.

Estructuras hidrulicas abiertas.Las estructuras tales como canales de alivio, tanques amortiguadores y vertederos,generalmente tienen fuerzas debidas a la gravedad y fuerzas inerciales que son mayoresque las fuerzas viscosas. En estos casos, la semejanza geomtrica y el mismo valor delnmero de Fraude en modelo y prototipo producen una buena aproximacin a lasemejanza dinmica.


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Resistencia de barcos.

La resistencia al movimiento de un barco que se desplaza en al agua est compuesta dearrastre de presin, friccin sobre su superficie y la resistencia debida a las olas. Los

estudios con modelos se complican por los tres tipos de fuerzas que son importantes:inercia, viscosidad y gravedad. La friccin de superficie debe basarse en Re iguales enmodelo y prototipo, pero la resistencia de las olas depende de Fr. Para satisfacer ambosrequerimientos, modelo y prototipo deberan ser del mismo tamao.

La dificultad se vence usando un modelo pequeo y midiendo el arrastre total sobre lcuando se remonta. Entonces, se calcula la friccin en la superficie del modelo y seresta del arrastre total. La cantidad restante se proporciona al tamao del prototipousando la ley de Fraude y la friccin en la superficie del prototipo se calcula y se agrega

para obtener la resistencia total debida al agua.

Maquinaria hidrulica.

La velocidad de rotacin de la maquinaria hidrulica presenta una variable adicional.Las partes mviles requieren un parmetro adicional para asegurar que los patrones delneas de corriente sean iguales en modelo y prototipo. Este parmetro debe relacionar elflujo con la velocidad de las partes mviles.

El nmero de Froude no es importante, pero los efectos del nmero de Reynolds puedencausar una discrepancia de un 2 a un 5% en la eficacia entre modelo y prototipo. Elnmero de Mach es de importancia en los compresores de flujo axial y en turbinas degas.


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PROBLEMAS DEL TEMA 16: ANLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZADINMICA.

16.1. De un dirigible de 60 m de longitud que ha de moverse en aire a la presinatmosfrica y 300 C con una velocidad de 8 m/s, se construye un modelo de 10 m delongitud para ensayarlo en un tnel de viento en el que se emplea aire a la presinatmosfrica y 0 C.a) Calclese la velocidad del aire en el tnel para que haya semejanza dinmica.

b) Explquense los diferentes efectos de la compresibilidad elstica medidos por elporcentaje del cambio del nmero de Mach en las condiciones de vuelo de prototipo ymodelo.

Soluciones: a) smv /6,39= b) %421=

p

pm

Ma

MaMa

16.2. Un chorro de gasolina, de tensin superficial = 210-2 N/m penetra a unavelocidad de 12 m/s en aire a 10 kg/cm2y 60 C, rompindose en gotas de 0,14 mm dedimetro.a) Calclese el nmero de Weber. En l, la densidad es la de aire y la dimensincaracterstica es el dimetro de la gota.

b) Un modelo anlogo que utilice un chorro de agua a 15 C, a qu velocidad ha depenetrar en el aire para producir gotas del mismo dimetro?Soluciones: a) 217,3 b) smv /02,23=

16.3. Se hace un modelo de prueba de un submarino cuyo dimetro mximo es de 7.5 my cuya velocidad mxima en el ocano es de 6 m/s. La temperatura del agua es de 4 C.Se pueden conseguir dos tneles para la prueba:1) Un tnel de agua con una velocidad mxima de 30 m/s, en el cual el modelo puedetener un dimetro mximo de 7,5 cm.2) Un tnel de viento con una velocidad mxima de 240 km/h, en el cual pueden usarsemodelos con un dimetro mximo de 25 cm. La presin de aire en el tnel de viento

puede ser de hasta 3 atmsferas. La temperatura, tanto la del aire como la del agua es de25 CCul de los dos tneles se elegira para hacer la prueba? Dar razones que justifiquen sueleccin.Solucin: El de aire

16.4. En un barco, el empuje F es funcin de la velocidad de avance del mismo, v, deldimetro de la hlice, D, del nmero de revoluciones de la misma, N, de la viscosidaddel agua, , de la densidad, , y de la gravedad, g.a) Buscar los parmetros adimensionales que intervienen en el fenmeno, deduciendo lafrmula que da el empuje, y demostrar que no puede conseguirse, en un ensayo a escalareducida, la semejanza perfecta con el mismo fluido a la misma temperatura.


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b) Despreciando la influencia de las fuerzas viscosas, se quiere hacer un ensayo con unmodelo a escala 1/10 de un buque con una hlice de dimetro 6 metros yN= 120 rpmque debe navegar a una velocidad de 40 km/h. Determinar el dimetro y lasrevoluciones de la hlice del modelo, as como la velocidad de desplazamiento de ste.

c) Sobre el modelo se mide un empuje de 150 kg. Determinar el empuje necesario parael prototipo yla potencia cedida por el mismo.

Soluciones: a) Re, Fr,v

ND ,

22vD

F

b) mDm 6,0= , hkmvm /12= ,

...47,379 mprNm = c) kpFpm41015 = y CVWp 2,22222=

16.5. La resistencia F al avance y el comportamiento de un cuerpo flotante dependen delas siguientes variables: gravedad, g; longitud caracterstica, l; densidad del fluido, ;viscosidad dinmica del mismo, y velocidad v.

a) Deducir la ley dimensional del fenmeno, es decir, la frmula que da la resistencia.b) Se quiere hacer el ensayo, con un modelo a escala 1/4, de un prototipo que se prevpesar 1000 kg y navegar en agua dulce a 20 C con una velocidad de 20 km/h. Culser la viscosidad del fluido con el que se har el ensayo? Qu fluido se emplear?Cul debe ser el peso del modelo (si la densidad del fluido de ensayo con el modelo es13600 kg/m3?c) Si la resistencia medida en el modelo es de 50 kg y la potencia que consume 2,66CV, determinar la resistencia al avance y el rendimiento del prototipo. Nota: para queexista semejanza, deben coincidir los rendimientos en modelo y prototipo.

Soluciones: a) 0Re,,22

=

Fr

vL

F

, b) kgP 95.212= c) kgR 8.234= y 70%

16.6. Una vlvula que se emplea para controlar aire a la presin atmosfrica enconductos grandes tiene un dimetro de entrada de 1.8 m y un gasto de 500 m3/min. Lasfuerzas que juegan papel son las viscosas y las gravitatorias. Se construye un modeloque utiliza agua. Toda la experiencia se realiza a 10 C.Calclese el dimetro, la velocidad y el gasto en el modelo en el S.I.Soluciones: mD 368,0= , smv /48,1= y smQ /157,0 3=

16.7. En un tnel de viento presurizado se ensaya el modelo a escala 1:10 de unautomvil, que en la realidad viajar a 80 km/h en aire a la presin atmosfrica y 30 C.El tnel opera con aire a 10 C. Juegan papel las fuerzas viscosas y las elsticas.Calclese:a) La velocidad del modelo en km/h.

b) La presin del tnel de viento en atm.Soluciones: a) hkmv /,77 31= b) atmp 99,8=

16.8. Para determinar las cargas dinmicas por el efecto del viento a 60 km/h sobre una

chimenea, se construye un modelo a escala 1:20 del prototipo y se ensaya en un tnel de


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viento en el que el aire se mantiene a las mismas condiciones de temperatura a que va aestar el prototipo, y a una presin cinco veces mayor que para el prototipo. Sobre elmodelo se han medido cargas de 3,5 kg y un momento flector de 12,5 kg-m.Calcular:

a) La velocidad del aire en el tnel de viento.b) Carga correspondiente al prototipo, en kg.c) Momento flector correspondiente al prototipo, en kg-m.Soluciones: a) hkmv /240= b) kgF 5,817= c) mkgM = 1250

16.9. a) Suponiendo que la resistencia F al avance de un cuerpo sumergido en un fluidoes funcin de su velocidad, v, de una longitud caracterstica, l, de la densidad del fluido,, de la viscosidad dinmica del mismo, , y del mdulo de elasticidad volumtrico del

fluido, E, hallar la expresin de la misma mediante el teorema de Buckingham.b) Se quiere disear un avin que vuele a 600 km/h y seestudia su maqueta a escala

1:20 en un tnel aerodinmico. Siendo las condiciones de presin y temperatura lasmismas en el tnel y en la atmsfera, cul debe ser la velocidad del aire en el tnel?Es viable el ensayo?c) Si se quiere ensayar en el tnel a la misma velocidad que en la atmsfera, y a lamisma temperatura, cul debe ser la relacin de presiones entre el tnel y la atmsfera?d) Calcular en este caso la relacin entre las fuerzas de la maqueta y del prototipo.

Soluciones: a) ( ) FMavL = Re,22 , b) hkmv /12000= , No c) 20=p

m

p

p d)

mp FF = 20

16.10. La maqueta de un dique, cuyo manto protector est formado de bloques dehormign y pesa cada uno 1 kg, est sometido a la accin del oleaje producido en ellaboratorio (ver figura). Esta maqueta no sufre desprendimientos de bloque mientras laaltura de la ola no sobrepase los 0,3 m.Se pide cul ser el peso mnimo de los bloques de hormign que forman el manto

protector del dique prototipo para que resista la accin de una ola geomtrica ehidrodinmicamente semejante que alcance los 6 m de altura.Solucin: kgP 8000=

16.11. Las compuertas de llenado y vaciado de un canal de esclusa ocupan toda la altura

de sta. Cuando una embarcacin desciende en la esclusa prototipo, las compuertas en


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el extremo de salida son programadas para abrirse con una rapidez de 2 cm/min. Lasondas y corrientes producidas por el flujo de salida hacen que la embarcacin tire de susamarras. En un modelo a escala 1/25, y usando agua, la tensin mxima en las amarrases de 0,725 kg, cuando las compuertas se abren con la rapidez debida.

Determinar la rapidez de apertura de las compuertas en el modelo en cm/min y latensin mxima de la lnea de amarre en el prototipo.Soluciones: min/5 cm y kgT 11328=

16.12. Se emplear sodio lquido en un circuito cerrado como medio de transferencia decalor, en un submarino impulsado mediante energa nuclear. Deseamos determinar lacada de presin causada por el flujo a travs de una vlvula de retencin diseadaespecialmente en el circuito cerrado de sodio lquido. La temperatura del sodio lquidoes de 700 C, la densidad relativa es de 0,78 y la viscosidad absoluta es 0,18 centipoises.La tubera tiene un dimetro de 20 cm y el gasto de diseo es de 7,48 m3/min.

Se construy un modelo de la vlvula de retencin del prototipo, geomtricamentesemejante, de la mitad de tamao.A fin de disear un programa experimental para predecir la cada de presin en elsistema prototipo, por mediciones sobre el fluido dinmicamente semejante en elsistema ms pequeo,a) Enunciar las condiciones que deben satisfacerse a fin de lograr la semejanzadinmica.

b) Qu sera ms interesante utilizar en el modelo a prueba: agua a 15 C o aire a 15 Cy presin atmosfrica? Dar razones.c) Determinar el caudal requerido del fluido escogido, para el modelo de prueba.

Soluciones: a) pm ReRe = b) Agua c) smQ /308,03

=

16.13. El flujo a travs de un tubo cerrado de seccin circular se puede obtenermidiendo la velocidad de rotacin de una hlice que tenga su eje a lo largo del eje deltubo.a) Obtener una relacin entre el caudal y la velocidad de rotacin de la hlice, a travsde los dimetros del tubo y de la hlice, de la densidad y de la viscosidad dinmica delfluido.

b) Una hlice de 75 mm de dimetro instalada en un tubo de 150 mm que conduce 42,5l/s. de agua gira a 20,7 r.p.s. Si una hlice geomtricamente similar gira a 10,9 r.p.s. en

un flujo de aire a travs de un tubo de 750 mm de dimetro, calcular el dimetro de lahlice que trabaja con aire y el caudal de aire que pasa.Datos: (aire)=1,28 kg/m3; (aire)=1,93 105Pas; (agua)=1,145 105Pas.

Soluciones: a) 0,,2

=

H

H

H

T

D

QDN

D

D

, b) mmD 375= y smQ /79,2 3=

16.14. Un aeroplano va a volar a una altura de 9 km (en la que la temperatura y lapresin son de 45 C y 30,2 kPa respectivamente) con velocidad de 400 m/s. Se pruebaun modelo escala 1/20 en un tnel de viento presurizado en el cual el aire se encuentra a15 C.


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Qu presin y qu velocidad debern usarse en el tnel de viento para una semejanzadinmica completa?

Nota: para el aire a T K, es proporcional a T3/2/(T + 117).Soluciones: PaP 51021,8 = y smv /6,449=

16.15. Se desea predecir la fuerza de arrastre en un transductor de sonar, basndose enresultados obtenidos en pruebas de tnel de viento. El prototipo, consistente en unaesfera de 30 cm de dimetro, se debe arrastrar con velocidad de 9 km/h en agua de marde salinidad 35 por mil, a 20C. El modelo tiene 150 mm de dimetro y se prueba enaire a 20C.Se pide:a) Determinar una expresin vlida para la fuerza de arrastre, utilizando la teora deBuckingham y sabiendo que esa fuerza debe depender de la viscosidad, densidad yvelocidad relativa del medio fluido respecto al cuerpo inmerso en l, as como deltamao de ste (tmese una magnitud de longitud cualquiera, D, caracterstica delcuerpo).

b) Calcular la velocidad necesaria para la prueba en aire.c) Discutir si es necesario realizar alguna correccin de resultados en el tnel debido aefectos de compresibilidad. Razonar la respuesta yofrecer una solucin viable en casoafirmativo.d) Si la fuerza de arrastre en el modelo, en las condicione de prueba, es de 2,5 kg,estimar la fuerza de arrastre que debe esperarse en el prototipo.Soluciones: a) ( ) FvD = Re22 , b) smv /89,68= c) No correccin d) kgF 20,11=

16.16. Un gran tanque contiene una capa de agua salada de peso especifico 2, yprofundidad zo, bajo una capa de agua dulce de peso especfico como se ve en lafigura.

2

1

z0

Superficie

lmite

V

D

Un tubo de desage, de dimetro D, se localiza en el fondo del tanque. Se han llevado acabo experimentos con el fin de determinar la velocidad v en el tubo de descarga, a lacual el agua dulce de la capa superior empieza a escaparse por el desage.


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Los resultados experimentales estn dados por:

2

2/50

1

2/12/105,2

D

zgv

=

donde 12 = .a) Demostrar que esta ecuacin puede escribirse en una forma adimensional en trminosdel nmero adimensional de Froude.

b) Cuando el tanque contiene agua de mar a 20C (de salinidad 30/1000) bajo el aguadulce a 20C y la profundidad de agua de mar es de 60 cm, determinar el gasto mximode descarga del agua de mar en litros/minuto a travs de un tubo de descarga de 15 cmde dimetro.

Soluciones: a) 0,, 0 =

Dg

v

D

z

, b) min/8,12733 lQ=

16.17. Se pretende disear una presa que se prev con una capacidad de 4,096 Hm3paraalimentar a travs de una tubera una serie de turbinas. Se sabe que la velocidad delagua en la tubera es funcin de la densidad del fluido, , de laviscosidad dinmica, ,de la gravedad, g, ydel dimetro de la tubera, D.Se pide:a) Obtener mediante anlisis dimensional una ecuacin que defina el fenmeno,sealando los grupos adimensionales que intervienen.Para dimensionar la presa, se ensaya a partir de un modelo a escala reducida que tiene

una capacidad de 100 m3, yen l se mide la velocidad del fluido en la tubera, siendosta de 1 m/s.

b) Calcular la velocidad con la que circular el agua en la tubera del prototipo, si setrabaja en las mismas condiciones de gravedad y se consideran preponderantes lasfuerzas de gravedad sobre las de viscosidad.c) Si se pretende que el caudal que circule por la tubera de alimentacin a las turbinasdel prototipo sea de 204.8 m3/s, cul deber ser el caudal que circula por la tubera delmodelo?d) Qu condicin deber cumplir el fluido del modelo para que la semejanza seacompleta? Suponer que para el prototipo, el fluido utilizado es agua dulce a 15C.Soluciones: a)

( )0Re, =Fr , b) smv /87,5= c) smQ /029,0 3=

d) smQ /1064,5 39=

16.18. Un modelo reducido para el estudio de las mareas est construido adoptando unaescala de 1/500 en planta y 1/80 en altura.Cul debe ser, para este modelo, la duracin de una marea, si el perodo en lanaturaleza es de 12 h 25.La misma cuestin para una escala de 1/50000 en planta y 1/500 en altura.Soluciones: ''22'13 y 20 s


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16.19. Las variables que intervienen en el flujo a travs de un turbomquina son: eldimetro del impulsor, D, la velocidad angular, , la viscosidad, , la densidad delfluido, , el caudal, Q, la carga H (energa por unidad de masa) y la potencia

alimentada,.

W . Utilizando D, , como variables repetitivas efectese un anlisis

dimensional.a) Determinar los parmetros adimensionales que caracterizan este problema.

b) En qu condiciones resultarn semejantes los flujos en dos mquinas diferentes?c) Determinar la velocidad angular de operacin de la mquina 2, para el mismo caudalque la mquina 1, si D2/D1 = 2 y si los efectos viscosos no son importantes. Cul serla razn de cargas en estas condiciones?

Soluciones: a)221

wD

H

= ,

=

wD22

,wD

Q

=

33 y

=

354wD

W b)

Iguales los 4 nmeros c)8

12

ww = y 16

2

1 =

H

H

16.20. La formacin del fenmeno de la cavitacin en el fuselaje de un torpedo es causade ruidos y vibraciones en su desplazamiento por debajo de la superficie del aguadebido a la implosin de las burbujas generadas. Ello lo hace especialmente vulnerablea cualquier sistema de deteccin. Se trata de evitar la aparicin de este fenmeno que sesabe depende de la profundidad, H, a la que viaja el torpedo, de la densidad, y laviscosidad, , del lquido, la velocidad de desplazamiento del proyectil, v, de la

gravedad, g, y de la diferencia de presiones, p, entre la que existe a la profundidad denavegacin de torpedo y la presin de vapor del lquido (agua de mar) a la temperatura

que se encuentre.Se pide:a) Obtener, mediante anlisis dimensional, una ecuacin que defina el fenmeno,sealando los grupos adimensionales que intervienen. (Elegir v, , H como variables

repetidas).b) Un nuevo diseo de torpedo que viaja a 8 m por debajo de la superficie en agua demar a 20 C, se sabe que inicia la cavitacin a una velocidad de 21 m/s cuando la

presin atmosfrica es de 101 kPa. Si los nmeros de Reynolds y de Froude tienenefectos despreciables, a qu velocidad cavitar cuando viaje a 20 m de profundidad?Datos: Densidad del agua de mar: 1025 kg/m3.Presin de vapor del agua a 20 C = 2,337 kPa (absoluta)

Soluciones: a) ( ) 0,Re, =MaFr , b) smvp /16,27=

16.21. Sabiendo que la potencia necesaria para bombear un fluido por una tubera esfuncin de la densidad del fluido, , de la viscosidad dinmica, de la velocidad, v y

del dimetro de la tubera, D,a) Demostrar por medio del anlisis dimensional que esa potencia es funcin delnmero de Reynolds.Si se realiza un ensayo mediante modelo reducido a escala 1:5 utilizando como fluidoagua (viscosidad cinemtica 10-6 m2/s), se observa que sta se derrama con una

velocidad de 2 m/s, consumiendo una potencia de 4 kW. Si se desea que en el prototipo


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el fluido sea aire de peso especfico 1,25 kg/m3y viscosidad cinemtica 14,8 10-6m2/s,se pide:

b) Velocidad a la que se derramar el aire por la tubera.c) Potencia necesaria para impulsar ese caudal de aire.

Soluciones: a) ( )23

ReDv

Wf

=

, b) smvp /92,5= c) kWWp 24,3=

16.22. Considrese la ecuacin para la velocidad de propagacin, c, de ondassuperficiales de pequea amplitud en un lquido uniforme:

+=

hgc

2tanh

2

22

Donde: tensin superficial; longitud de onda; h profundidad del lquido noperturbado; densidad.a) Escribir la ecuacin anterior en forma adimensional e indicar las condiciones desemejanza en trminos de nmeros adimensionales.

b) Si se utilizan agua y detergente (la tensin superficial es igual a un tercio de la delagua pura) en un modelo, y agua pura en el prototipo, cul es la relacin de escalas

para la semejanza dinmica del movimiento ondulatorio? Suponer iguales lasdensidades de los fluidos en modelo y prototipo.

Soluciones: a) 0,, =

FrWe

h

, b)

3

1=rL

16.23. El momento de cabeceo mximo provocado por el agua en un hidroavin alamerizar, se representa por Cmax. En esta accin intervienen las siguientes variables: = ngulo de la trayectoria de vuelo del avin con la horizontal. = ngulo que define la posicin del avin.M = masa del avinL = longitud del casco= densidad del aguag = aceleracin de la gravedad.R = radio de giro del avin respecto del eje de cabeceo.

De acuerdo con el teorema de Buckingham, cuntos grupos adimensionalesindependientes caracterizaran este problema? Obtener la ecuacin que define elfenmeno.

Solucin:

=

3

4

max ,,,L

M

R

LgLC

16.24. Qu fuerzas (y sus correspondientes grupos adimensionales) son preponderantesen los siguientes fenmenos fsicos?a) Lubricacin.

b) Formacin de gotas.


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c) Prdidas de carga en tuberas.d) Fenmeno de golpe de ariete en una tubera.e) Equipos sonares para prospecciones subacuticas.f) Cavitacin.

g) Bombeo de sangre desde las arterias a los capilares. Soluciones: a) viscosidad b) gravitatoria c) tensin superficial d) viscosidad e) elsticasf) elsticas y viscosas g) presin h) tensin superficial y presin

16.25. La potencia requerida.

W para mover una hlice depende de las siguientesvariables: D = dimetro de la hlice; densidad del fluido; c = velocidad del sonido enel fluido; w = velocidad angular de la hlice; v = velocidad de la corriente libre; =

viscosidad del fluido.a) De acuerdo con el teorema de Buckingham, determinar los grupos adimensionales y

la ecuacin que caracteriza el problema.b) Supongamos que se excluye la viscosidad del grupo de variables que determinan lapotencia necesaria para mover una hlice. El modelo de una hlice, cuyo prototipo tiene2 pies de longitud, se reduce a una escala de 1:5 con respecto a la hlice natural. Si elmodelo requiere 5 caballos de potencia, cul es la potencia requerida por el prototipo sise gira a una velocidad de 150 r/min? La hlice a escala natural debe operar a 30000

pies en una atmsfera estndar con una velocidad de corriente libre de 300 millas/hora.Cul debe ser la velocidad de la corriente libre en los ensayos del modelo? Suponerque para el modelo, T = 59 F.Datos: Tabla anexa de la atmsfera estndar. 1 slug 14,594 kg.Conversin de grados Fahrenheit a Celsius: C = 5(F-32)/9

Soluciones: a) 0,Re,,32

=

wD

vMa

vD

W

, b) kWWp 27,24= y smvm /52,150=

16.26. Se desea probar un modelo de avin supersnico con igualdad de nmeros deMach y de Reynolds con el prototipo.Sealar razonadamente cul de las siguientes afirmaciones es la correcta:a) Es imposible mantener ambos nmeros adimensionales iguales a la vez.

b) El modelo se debe probar en un tnel de viento ordinario en circuito abierto.c) El modelo se debe probar en un tnel de viento con aire comprimido a cualquier

temperatura.d) El modelo se debe probar en un tnel de viento con aire comprimido a la temperaturade vuelo del prototipo.Solucin: d)

16.27. Por medio de un modelo experimental se desea establecer la profundidad mnima(hmin) a la que debe colocarse el tubo de succin de una bomba (desde la superficie libredel agua) para que no se produzcan vrtices en la entrada y no exista succin de aire. Ellquido que se bombea es petrleo (viscosidad cinemtica = 0.75 stokes) con un gasto Q= 140 l/s. El dimetro del tubo de succin es d = 250 mm. La prueba se desea realizar

con un modelo de semejanza geomtrico a escala 1:5. Las condiciones de entrada del


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petrleo al tubo (en el caso dado) se definen por el efecto conjunto de las propiedadesde inercia, viscosidad y gravedad del lquido.Determinar:a) La viscosidad mdel lquido que debe ser usado en el modelo.

b) El gasto Qmen el modelo y, con este gasto, la velocidad vmen el tubo del modelo.c) La profundidad hmin a la que dejan de formarse vrtices en el prototipo, si en elmodelo se obtuvo hmin = 60 mm.

Nota: para obtener en el modelo un lquido de la calidad deseada se puede utilizar unasolucin de glicerina en agua, que modifica la viscosidad en proporcin a loscomponentes (a una temperatura de 20 C) desde 0.01 stokes (para agua pura) a 8 stokes(para glicerina).Soluciones: a) stm 067,0= b) slQm /5,2= y smvm /275,1= c) mh 3,0min =

hmin

vd

16.28. La vlvula de aguja mostrada en la figura tiene un dimetro Dp= 2 m y trabajacon una carga Hp = 100 m. Se ha probado un modelo hidrulico de la misma, el cualtiene un dimetro Dm= 0,2 m y con una carga H m= 6 m descarga un gasto Qm= 206l/s. En estas condiciones de trabajo, se ha medido el empuje dinmico del flujo sobre elcuerpo de la aguja y alcanza el valor Pm= 60 kg.

H

DP

Aguja mvil

Entrada y salida del fluido para el

movimiento de la aguja mvil


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Determinar:a) El gasto que descargar la vlvula para las condiciones en que funciona el prototipo.

b) El empuje dinmico P en el prototipo para esas condiciones.,Nota: Considerar que el flujo es completamente turbulento y, por tanto, independiente

del nmero de Reynolds. Esto es, la ley de semejanza a utilizar es la de Euler. El fluidoen amboscasos es agua.Soluciones: a) smQp /09,84

3= b) kgP 510=

16.29. Las caractersticas dinmicas de una pelota de golf se van a probar utilizando unmodelo en un tnel de viento. Las variables dependientes son la fuerza de arrastre y lafuerza de sustentacin sobre la pelota. Las variables independientes a incluir son lavelocidad angular y la profundidad d de las pequeas deformaciones sobre la superficiede la pelota.

a) Obtener mediante anlisis dimensional una ecuacin que defina el fenmeno,sealando los parmetros adimensionales que intervienen.Un profesional de golf puede golpear la pelota a una velocidad de 73 m/s con unavelocidad angular de 9000 r.p.m. Si se desea modelar estas condiciones en un tnel deviento con velocidad mxima de 24 m/s,

b) Qu dimetro de pelota modelo debe emplearse?c) A qu velocidad debe girar la pelota modelo?

Soluciones: a) 0Re,,22

=

D

d

vD

F

b) mmDm 3,129= c) ...6,972 mprwm =

16.30. Considrese un fluido que fluye bajo condiciones tales que los efectos viscosos,gravitacionales y de tensin superficial son aproximadamente de igual importancia.Qu interrelacin entre las propiedades del fluido: densidad, viscosidad y tensinsuperficial, en modelo y prototipo, se requiere para obtener un modelo dinmicamentesemejante?

Solucin:p

pp

m

mm

43

4

1

4

3

4

1

=

16.31. El momento torsor en una turbomquina, depende de la velocidad con que gira surodete N, del dimetro de dicho rodete D, del caudal que lo atraviesa Q, de la carga detrabajo h, de la viscosidad del fluido , de la densidad del fluido y del ngulo deinclinacin de los labes (a la entrada) .a) Obtnganse los parmetros adimensionales que definen este fenmeno aplicando elteorema de Buckingham.

b) Se va a trabajar con un modelo a escala 1:4. Sabiendo que el rodete de dimetro 1 mde la turbomquina real gira a 200 r.p.m., cuando la carga es de 120 m y el caudal de 1.5m3/s, obtener la carga de trabajo y el caudal necesarios en el modelo.c) Con las condiciones del apartado anterior se mide un par torsor en el modelo de 30

N-m, cul ser el par torsor que se producir en el prototipo?


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Nota: El lquido utilizado en modelo y prototipo es agua que se supone en las mismascondiciones.

Soluciones: a) =1 ,h

D= 2 ,

=

23Q

DL,

Q

DN3

4

= y

=Q

D5 b)

mhm 30= y smQm /375,03= c) mNLp = 120

16.32. Se desea estudiar una presa mediante un modelo a escala 1:49. Se mide lavelocidad del agua en el modelo y resulta ser de 0.4 m/s. El caudal mximo desaguado

por la presa prototipo es de 500 m3/s y en el modelo se midi la fuerza ejercida sobre lapresa, resultando ser de 2.5 kg.Calcular:a) Escalas de velocidades, caudales y fuerzas en funcin de la escala de longitud.

b) Caudal que tiene que circular en el modelo en l/s.

c) Velocidad del agua en la presa en m/s.d) Fuerza ejercida sobre la presa en kg.

Soluciones: a)rr Lv = , 2

5

rr LQ = y3

rr LF = b) slQm /75,29= c) smv /8.2=

d) kgF 51094,2 =

16.33. La potencia P obtenida por una hlice depende de la densidad del aire, , deldimetro D, de la velocidad de la corriente, v, de la velocidad de rotacin, n, de laviscosidad dinmica, y de la velocidad del sonido, c.

Empleando el teorema de Buckingham, obtener los parmetros adimensionales quedefinen el fenmeno fsico.

Solucin:c

v=1 , 352

ND

W

=

,

ND

v

=3 y 24

DN=

16.34. De la experiencia en el diseo de turbinas hidrulicas se ha deducido que lapotencia mecnica, P, entregada por una turbina depende de la densidad, y viscosidaddinmica, del agua; del dimetro D del rodete; de la velocidad angular de rotacin, de la misma; del caudal, Q; de la carga total, H (en m) sobre la mquina; y de laaceleracin gravitacional, g.

a) Determinar los parmetros adimensionales que intervienen en el fenmeno, eligiendocomo variables repetidas: D, w y .

b) Un modelo de turbina Francis, con un dimetro de rodete de 42.07 cm, se prueba bajouna carga de 5.643 m a una velocidad de rotacin de 374 rpm. La potencia medida es de22.15 CV, con un rendimiento del 89.3 %. El dimetro del rodete en prototipo es de 409cm. Determinar la carga de bombeo, velocidad de giro, caudal y potencia entregada porel prototipo para un flujo dinmicamente semejante, considerando despreciable el efectode las fuerzas viscosas.

Soluciones: a)351

wD

W

=

,

wD =

22

,

wD

Q

=

33y

D

H= 4

b) mH 861,54= , rpmN 95,119= , smQ /25,97 3= y MWW 64,46=


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16.35. La fuerza de resistencia F sobre un proyectil de alta velocidad depende de lavelocidad v del proyectil, de la densidad del fluido , del mdulo de elasticidadvolumtrico del fluido E, del dimetro D del proyectil y de la viscosidad del fluido .a) Obtener los parmetros adimensionales aplicando el teorema de .

b) El proyectil tiene una velocidad de 150 m/s. Despreciando los efectos elsticos, a quevelocidad deber trabajarse en un modelo a escala 1:24 si se sabe que el protipo trabajaen aire a 15 C y el modelo va a trabajar con agua a 20C. (Ambos a presinatmosfrica)c) Se lleva a cabo el ensayo y se mide una fuerza de resistencia sobre el modelo de 150

N, Cul ser la fuerza de resistencia en el prototipo?

Soluciones: a)221

vD

F

=

, Ma= 2 y Re3 = b) smvm /5,249=

c) NF 36,38=

16.36. En el estudio de turbomquinas generalmente intervienen 6 variables: D =dimetro del rodete; N = velocidad de rotacin; Q = caudal a travs de la mquina; =viscosidad cinemtica; g = aceleracin de la gravedad; H = cambio en la altura total.a) Utilizando como variables repetidas N y D, obtener los parmetros adimensionalesque intervienen en el fenmeno. Ntese que al no aparecer la magnitud masa enninguna de las variables, el nmero de magnitudes fundamentales es 2.

b) Una bomba colocada en la superficie de la Tierra mueve 10 m3/s de agua a 60 Ccuando gira a 1750 rpm. La altura de bombeo es de 20 m y el dimetro del rodete es de0,4 m. En un vehculo espacial, una bomba geomtricamente semejante a escala ,

bombea aceite de viscosidad cinemtica 3 10-6m2/s y con una velocidad de rotacin de

1450 rpm. A qu distancia d desde la superficie de la Tierra se obtendr semejanzadinmica entre los flujos de las bombas en el espacio y en la Tierra?Determinar el caudal y la altura para la bomba espacial. Nota: el radio de la Tierra es de6372 km.

Soluciones: a)D

H=1 ,

ND

Q

=

32,

ND =

23

y

DN

g

=

24 b)

smQ /5,3 3= , mh 15= y kmd 2508=

16.37. Un modelo de fuselaje de avin a escala 1 8 se prueba en un tnel a presin

absoluta de 2150 kN/m2y 15 C. Los resultados observados son los siguientes:

Velocidad (m/s) 18 36Resistencia(N) 4,7 15,7

Se pide:a) Deducir una frmula para la resistencia o fuerza de arrastre soportada por un cuerpoinmerso en movimiento utilizando el teorema de -Buckingham y considerando que lacitada resistencia es funcin de la viscosidad absoluta () y de la densidad del fluido(), as como de la velocidad relativa del fluido respecto al slido (v) y de una

dimensin caracterstica de este ltimo (l).


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b) Encontrar la resistencia real que ofrece el fuselaje de un avin a 2400 m de altura yuna velocidad de 290 km/h, sabiendo que 1*2= k (constante).Datos: aire a 2400 m de altura: Pabsoluta= 75 kN/m

2, T = -1C, = 1,8059 10-6m2/s, aire15 C y P = 2150 kN/m2, = 6,975 10-8m2/s

Considerar que el aire cumple la ecuacin de los gases ideales.

Soluciones: a) 0Re,22 =

lv

Frf

b) NR 25,208=

16.38. La formacin del fenmeno de cavitacin en el fuselaje de un torpedo es causade ruidos y vibraciones en su desplazamiento por debajo de la superficie libre del agua,debido a la implosin de las burbujas generadas. Ello lo hace especialmente vulnerablea cualquier sistema de deteccin. Se trata de evitar la aparicin de este fenmeno, que sese sabe depende de la profundidad (H) a la que viaja el torpedo, de la viscosidad

dinmica () y la densidad del fluido (), de su presin de vapor (p), de la velocidad delproyectil (v) y de la aceleracin de la gravedad (g).a) Establecer los nmeros adimensionales de que depende el fenmeno.

b) Si tenemos que con un nuevo diseo de torpedo que viaja a 8 m de profundidad enagua de mar se inicia la cavitacin a 21 m/s, considerando que los nmeros de Reynoldsy de Froude tienen efectos despreciables, a qu velocidad cavitar cuando viaje a 20 mde profundidad?Dato: densidad del agua de mar = 1025 kg/m3.

Soluciones: a) =1 , Re2 = , Fr= 3 y 24v

p

=

b) smv /01,27=

16.39. El movimiento del oleaje a lo largo de una seccin costera debe estudiarseexperimentalmente utilizando un modelo geomtricamente semejante reducido en unfactor de 20. La densidad del agua de mar es 1030 kg/m3 y la del agua dulce 1000kg/m3.a) Si no tienen en cuenta la tensin superficial y la friccin, sealar cul es el parmetroadimensional a utilizar en la comparacin de flujos e indicar razones.

b) Cul es la velocidad de la onda en el modelo si la velocidad de onda en el prototipoes 0.15 m/s?c) Cul es la relacin de fuerzas entre el modelo y el prototipo para estos flujos?

Soluciones: a) Re b) vm=3,09 m/s c) Fm/Fp=1,03

16.40. En el laboratorio de fluidos del departamento se est ensayando con una hliceque mueve aceite a prueba de polvo a 30 C y cuyo movimiento queda definido por lassiguientes variables: densidad , la velocidad a travs de la hlice smv /13= , lavelocidad de giro ...100 mprN= , el dimetro cmD 20= , la fuerza de impulsin

NF 7350= y la potencia de salida sW .

a) Tomando como variables repetidas , D y N , determinar los nmeros correspondientes.


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b) Calcular la velocidad a la entrada 1v , la velocidad a la salida 4v , la diferencia de

presiones a ambos lados de la hlice 23 pp , la potencia a la salida sW , y el

rendimiento c) Obtener la fuerza de impulsin de una hlice semejante a la utilizada que mueve aguaa 4 C que tiene un dimetro 2,5 veces menor que la del laboratorio y su velocidad degiro es de 200 r.p.m.

similitud hidraulica

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