Simetria en solidos.doc

TEMA 3: SIMETRÍA EN SÓLIDOS.

Los sólidos cristalinos están constituidos por un conjunto de átomos distribuidos en el espacio de forma que esta simetría se extiende hasta el infinito.

Encontramos los mismos elementos de simetría que en la simetría puntual, pero con una nueva operación que será la traslación. La traslación ya no deja ningún punto invariante por lo que es una operación de simetría no puntual.

A la hora de estudiar la traslación, nos interesa tener en cuenta el concepto de red o retículo.

Cuanto tenemos un cristal, tomamos un punto de referencia. Ahora buscamos un punto que tenga un mismo entorno y orientación que el punto de referencia tomado. El conjunto de puntos con igual entorno y orientación que el de referencia constituyen la red. La red será la misma independientemente del punto que tomemos como referencia.

La red nos indica el conjunto de puntos equivalentes por traslación. Esto quiere decir que si nos ponemos en cualquier punto de la red llegamos a cualquier otro punto de red con un vector (traslación). Si este vector de traslación se aplica al cristal, este queda indistinguible, es decir, he realizado una operación de simetría.

Tipos de red.En 1860 Bravais se dedico a estudiar como se podían disponer una serie de

puntos en el espacio mono, di y tridimensionalmente. Para ello se emplean 2 condiciones:

· Cada punto tiene el mismo entorno de puntos.· Todos están orientados de la misma manera.

· en una dimensión.

... ...

Su red será:

... · ... Celda unidad

aLa red son puntos formando una línea recta. Lo único que se podría cambiar en

esta red sería el espaciado entre los puntos ( a esto lo llamaremos parámetro de la red (a)).

También se puede definir esta red por su celda unidad que es la porción que por reproducción por traslación nos da la red. La celda unidad convencional es la que tiene los puntos de la red en los vértices. Cada celda unidad contiene un punto de red. Estas celdas que contienen un solo punto de red se denominan celda primitiva.

½ punto x 2 = 1 punto celda primitiva.

En este tipo de red, todas las traslaciones posibles se pueden expresar como:

T = n.a n ZAmp. Química Inorgánica (1er parcial) (2002 / 2003)

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· en 2 dimensiones:

b

RED a

P

Una vez que hemos definido la red a partir de nuestro cristal, buscamos cual es la celda primitiva. Existen varias posibles celdas. Tomando un punto de referencia definimos los vectores de traslación que serán los 2 más cortos posibles ( y ) cualquier traslación vendrá dada por una combinación de estos vectores:

= n1. + n2. n1, n2 Z

Para definir nuestra celda unidad usaremos estos vectores de traslación. Nuestra celda primitiva es la que está formada por los 4 puntos más próximos de la red.

Si tenemos un vector cualquiera , también existe un vector – (misma dirección y sentido contrario). Por tanto todas las redes son centrosimétricas. Además del centro de simetría las redes pueden tener muchos más elementos de simetría.

Existen varios tipos de redes. Comenzaremos por una red lo más simétrica posible y luego haremos que vaya perdiendo simetría. La red más simétrica posible es la que tiene 2 vectores con el mismo módulo y con un ángulo entre vectores de 90º.

| | = | |

= 90º

Veamos que elementos de simetría presenta esta red:

Cuaternarios.Planos perpendiculares al cuaternario.

Usando los vectores base también podemos ver los elementos de simetría:

a -b b

-a

Ahora disminuiremos la simetría de la red. Para ello cambiamos la magnitud de alguno de los vectores base.

Amp. Química Inorgánica (1er parcial) (2002 / 2003)

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BinariosPlanos a los binarios.

También podemos disminuir la simetría de la red cambiando el ángulo .

Solo conservamos el binario.(se pierden los planos).

Otra posibilidad habría sido mantener la magnitud de los vectores y variar sólo el ángulo.

| | = | |

90º (60º,120º)

Si los 2 vectores son iguales, las bisectricesContienen planos de simetría.

Hay un caso especial en el que = 60º (120º) y | | = | |. En este caso:

Encontramos un eje de orden 6.

Tenemos en total 5 tipos de vectores base en los que en cada uno tenemos que poseen los mismos elementos de simetría, es decir, tenemos 5 tipos de celdas primitivas:

| | = | | | | | | | | | | | | = | | | | = | | = 90 = 90 90 = 60 90

Cuadrada Rectangular Oblicua Hexagonal rómbicaSupongamos que tenemos una red rectangular. Si ponemos un punto adicional en el

centro de cada celda, la celda deja de ser primitiva, ya que no tiene un solo punto de la red.

Los vectores que habíamos definido ya no son los más cortos posibles. Podemos elegir vectores más cortos. Estos vectores cumplirán:

| | = | | 90º


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Realmente es una celda romboédrica.

Cada tipo de celda tiene sus ventajas e inconvenientes. La celda rectangular centrada manifiesta de forma más clara que esta celda tiene la misma simetría que la rectangular. Pero en este tipo de red usando estos vectores base que hemos considerado no se puede obtener todos los puntos de la red. Luego tendremos que centrar.

Expresando esta red como rómbica si se obtienen todos los puntos usando los vectores base.

La simetría de una red la podemos ver con la red entera, con la celda unidad o con los vectores bases.

· en tres dimensiones:En cristales tridimensionales obtendremos redes tridimensionales. Los distintos

puntos de la red los podemos unir con vectores de traslación.Los vectores de traslación se construyen a partir de los 3 vectores base (son los

más cortos posibles).Para ver los distintos tipos de celdas, veremos los posibles vectores y los ángulos

entre ellos:· Red cúbica:| | = | | =| | = = = 90º

El grupo de simetría de los vectores base y por tanto de la red sería octaédrica. Podemos definir la celda unidad de este sistema usando los vectores base obteniendose de esta forma un cubo.

Oh

A partir de esta red, disminuyendo la simetría, obtenemos las demás:· Red tetragonal:| | = | | | | = = = 90º

D4h

· Red ortorómbica:| | | | | |


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= = = 90º

D2h

Ya no podemos hacer nada más jugando solo con las longitudes. Ahora modificaremos también los ángulos.

· Red trigonal| | = | | = | | = = 90º

Conserva el eje C3 de Oh (es como si aplastásemos el octaedro achatándolo)

D3h

· Red hexagonal:| | = | | | | = = 90º = 120º (60º)

D6h

· Red monoclínica:| | = | | | | = = 90º 90º (60º,120º)

C2h

· Red triclínica.| | | | | | 90º (60º,120º) Ci

Perdemos el plano de simetría y el eje C2. Solo conserva el centro de inversión.En resumen:

Sistema cristalino Grupo puntual característico Vectores unitariosCúbico Oh a = b = c ; = = = 90ºTetragonal D4h a = b c ; = = = 90º


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Ortorómbico D2h a b c ; = = = 90ºMonoclínico C2h a = b = c ;== 90º, 90ºTriclínico Ci a b c ;

90ºHexagonal D6h a = b c ;==90º, =120ºTrigonal D3h a = b = c ; = = 90º

Existen 7 posibles sistemas usando estos vectores bases. Con estos 7 sistemas cristalinos se obtienen las 14 redes de Bravais (7 primitivas + 7 centradas)

Veamos como se forman las distintas celdas centradas. Usaremos como ejemplo las celdas cúbicas:

Si tenemos una celda tridimensional en la que colocamos átomos en todos sus vértices. Se obtiene una celda primitiva (P), en este caso particular cúbica.


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Pretendemos formar una nueva red centrando esta red. Al centrar no debemos sufrir pérdida de simetría. Si centramos en el cuerpo de la celda, obtenemos una celda centrada que conserva la simetría. Se trata de una celda centrada en el cuerpo (I)

Se obtiene una celda romboédrica (D3h). Esta red definida así tendrá un solo punto de red, es decir será una celda primitiva.

Si lo que hacemos es disponer átomos en el centro de las caras en lugar de en el centro de la celda. Si pongo punto en 2 caras opuestas, disminuye la simetría a un D 4h

por lo que no será ya una celda cúbica. Tendremos que poner átomos en el centro de todas las caras de forma que se

conserva la simetría Oh con lo que se obtiene una celda centrada en las caras (F)

Esta celda tiene 4 puntos de red (1/8·8 + 6·½ = 4) por lo que tampoco es una celda primitiva. Para definir la celda primitiva, nos interesa definir unos vectores base lo más corto posible.

Tomamos como vectores, los que van de uno de los vértices a los puntos de los centros de las caras (que son los más próximos). Estos 3 vectores tienen el mismo módulo. Los 3 vectores entre sí definen un triángulo equilátero, por lo que el ángulo entre vectores es de 60º, por lo que corresponde a una celda tipo romboédrica.

Todas pertenecen a la simetría octaédrica. Todas las redes del mismo sistema tienen el mismo grupo de simetría.

Igualmente tenemos otros posibles centrados que dan lugar a redes nuevas. Estas quedan resumidas en la imagen mostrada anteriormente.

Esta denominación de celdas primitivas y centradas puede llegar a ser confuso a la hora de la aplicación del sistema. Todos los tipos de redes contienen redes primitivas. Siempre podemos definir los vectores de forma que obtengamos una red primitiva. El


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Esta celda no es primitiva ya que tiene 2 puntos. Si queremos obtener una celda primitiva definimos unos nuevos vectores base:

| | = | | = | | = = = 109º (ángulo del tetraedro)

que tomemos la red centrada es debido a que para muchas aplicaciones cristalográficas resulta más útil.

En el ortorrómbico tenemos 3 posibles tipos de centrados.I (centrado en el cuerpo)F (centrado en todas las caras)C (centrado en 2 caras)

En el sistema cúbico no existe el centrado C porque se perdería la simetría cúbica (pierde ejes C3)

En el tetragonal no tenemos centrados ni tipo F ni tipo I. Si centramos en 2 caras para intentar formar una celta tipo C:

a

c c

a a

No se obtiene una nueva red, sino que es la misma red, pero con unos vectores más cortos.

Bravais se dedico a estudiar todos estos posibles casos y llegó a la conclusión de que existen 7 celdas primitivas y 7 centradas. Todas las redes de un determinando sistema conservan la misma simetría.

Cuando queremos obtener un cristal a partir de la red lo que hacemos es colocar un elemento (átomo o conjunto de átomos) cuya reproducción por las traslaciones de la red nos genera el cristal. A este elemento se le denomina motivo. Si definimos una celda unidad, el motivo es lo que queda contenido en la celda.

Ej:

Tomamos un punto de la red y buscamos los puntos equivalentes (con igual entorno y misma orientación)El motivo de nuestro cristal son los 4 tríangulos contenidos en la celda unidad (4x1/4 + 2x1/2 + 2 = 4)


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Cuando extraemos la red nos queda:

Ahora estudiaremos las relaciones entre la simetría de la red y la del cristal. Supongamos que partimos de una red oblicua.

Si introducimos como motivo en la red un triángulo, perderemos el centro de inversión en el cristal.

·

Si en lugar de introducir un triángulo introducimos 2 triángulos dispuestos como en el dibujo, se conservará el centro de inversión.

·

El grupo de simetría del cristal será siempre el mismo o un subgrupo del grupo de simetría de la red. Si se conserva toda la simetría se denomina holoedría de la red.

A continuación veremos cuales son los posibles grupos de simetría que posee un cristal que pertenece a una determinada red. Como hemos dicho la simetría del cristal será la misma o menor que la de la red. Partamos como ejemplo de una red con simetría Oh.

Oh Oh O Td Th T un átomo en cada vértice desaparecen elimina ejes No pierde h solo quedan del cubo (punto de red) los planos de orden 4 pero si d ejes

D4h Perdemos los ternarios

En el caso de un sistema tetragonal tenemos que la simetría de la red es D4h. Podemos disminuir la simetría siempre que se conserve como mínimo el cuaternario (C4

o S4).


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Esto queda resumido en la siguiente tabla:

Grupos puntualesSistema Red de Bravais Longitud y ángulo

de vectoresSimetría (mínima) característica

Enantiomorfos No enantiomorfos.

Cúbico P I F a=b=c ==

4 ternarios dispuestos a 109´47º

23, 432 m3, 3m, m3m

Tetragonal P I a = b = c = =

1 cuaternario propio o impropio

4, 422 , 4/m, 4/mmm.

Ortorrómbico P I C F a b c = = = 90º

3 binarios equivalentes a 90º

222 mm2, mmm

Trigonal P R a = b = c = =

1 ternario normal o de inversión

3, 32 , 2m, m

Hexagonal P a = b c==90º, = 120º

1 senario propio o impropio

6, 622 , 6/m, 6/mmm,

6mm, m2

Monoclínico P C a = b c==90º > 90º

1 binario normal o impropio

2 M, 2/m

Triclínico P a b c 90º

Ninguno 1

En estado sólido se suele trabajar con la nomenclatura de Hermann-Mauguin. Veamos las equivalencias entre una y otra nomenclatura:

NotaciónElementos Hermann-Mauguin

(Cristalografía)Schönflies

(Espectroscopía)Planos de reflexión m

Ejes de rotación n (= 2, 3, 4, ...) Cn (C2, C3, C4, ...)Ejes de roto-reflexión --- Sn (S2, S3, S4, ...)Ejes de roto-inversión (= ) ---Centro de inversión i

En nomenclatura de Schönflies el eje impropio que existe es el de la rotoreflexión. Consiste en girar un determinado ángulo y reflejar respecto a un plano perpendicular al eje de rotación. Estos planos no existen en la notación de Hermann-Mauguin. En H-M el eje impropio es un eje de rotoinversión, es decir, giramos un determinado ángulo e invertimos.

Comparemos estos ejes impropios:Ej: S4 y S4

S4 S4 S4 S4

Posición inicial.

Posición inicial.

El resultado final tras realizar el conjunto total de las operaciones hasta volver a la posición inicial es el mismo para las dos operaciones, por lo que S4 es idéntico a .

Esta equivalencia no se cumple siempre. Veamos para confirmar esto otro ejemplo distintos.


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Ej: S3 y

S3 S6

En nomenclatura de Hermann-Mauguin se cumple la siguiente nomenclatura:

i = =

En nomenclatura de Schönflies distinguimos entre planos perpendiculares al eje (h) y paralelos a al eje (v o d).

En Hermann-Mauguin cuando el plano es perpendicular a un eje n se indica: n/m. Si es paralelo a ese eje se indica como: m

Nomenclatura de grupos.· Sistemas tetragonal, trigonal y hexagonal: en estos sistemas tendremos

siempre un eje de orden superior. Este eje principal definirá la dirección z. A continuación se indica lo que tenemos en las direcciones x e y.

D4h 4/m 2/m 2/m abreviado 4/m m m z x y=x

Los binarios quedan implícitos ya que cuando hay 2 planos perpendiculares en la intersección existe un binario, por lo que no tendremos que indicarlo en el símbolo al quedar implícito.

· Sistema ortorrómbico: tiene simetría D2h. Nos planteamos como pregunta ¿cuál es el eje principal? Tenemos 3 ejes del mismo orden y no tenemos cual es el prioritario. La nomenclatura indica lo que hay en cada eje en orden: x, y, z.

Ej:2/m 2/m 2/m abreviado m m m

x y z


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· Sistema monoclínico: solo tenemos un eje binario y por convenio corresponde con “y”.

Ej:2/m y

· Sistema cúbico: El eje principal es un C4. Las direcciones x, y, z pasan por el centro de las caras. Los 4 ejes C3 hacen que los elementos en la dirección uno de los ejes esté también presente en los otros 2. El símbolo nos dará información de:

Ej: Oh 4/m 3 (o ) 2/m abreviado m 3 m

x,y,z x=y=z x=y, x=z, y=z

diagonales (diagonales de los planos)

Con esto ya tenemos toda la información necesaria para conocer la simetría de cada tipo de cristal.

Antes de tener la simetría tendremos que indicar como son los vectores unitarios del cristal, es decir tengo que decir que tipo de red se trata (P, C, I, F).

Ej: Pm3mLos enantiomorfos no tienen ni planos de simetría ni centros de inversión.Si tenemos, por ejemplo, un sistema ortorrómbico de simetría mmm (D2h), al

introducir un motivo en la red podemos conservar la simetría (holedría) u obtener un subgrupo.

Si hacemos un centrado tipo C (centrado en 2 caras) obtendremos una celda como la siguiente.

Realizando todos los posibles tipos de centrados en todos los tipos de red cristalográfica tridimensional, hay algunas que son equivalentes y otras nuevas. En total de esta forma se llegan a obtener 73 tipos de celdas.

En total existen 230 celdas tridimensionales. Para terminar de definir las que nos faltan tendremos que realizar operaciones mixtas (combinación de una operación de simetría puntual con una traslación).

Antes de ver las operaciones mixtas, realizaremos algunos ejercicios de reconocimiento de red.

Ej: NaCl


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· Veamos cuantas veces se encuentra la fórmula unidad en cada celda del cristal:

Na 6·1/2 + 8·1/8 = 44 unidades fórmula “NaCl” Z = 4

Cl 12·1/4 + 1 = 4

· El tipo de red de Bravais:Se ve claramente que se trata de una red cúbica, por lo que puede ser tipo F, I ó

P. Definiremos la red a partir del cristal. Para ello, ponemos los puntos de la red sobre los Na, es decir, tomamos un Na como referencia y buscamos todos los puntos con igual entorno y la misma orientación. De esta forma llegamos a que se trata de una red tipo F.

Para ver los vectores primitivos, tomamos un punto y trazamos los vectores hasta los puntos más próximos.

La simetría de la red será m m. Para ver la simetría del cristal comprobamos si tiene todos los elementos.

Hay cuaternarios en el centro de las caras, ternarios en los vértices. Con esto tenemos 2 opciones.

Oh O El Oh tiene planos y el O es rotacional.m m 4 3 2 Al ser planos se trata del Oh (m m).

Por tanto el grupo puntual cristalográfico será el m m y el grupo espacial de simetría será el Fm m.

El motivo de traslación es el que genera el cristal completo cuando lo colocamos en un punto de red solo usando traslaciones. En nuestro caso el motivo de traslación es una unidad fórmula (NaCl), por lo que en cada punto de red irá un NaCl.

Veamos como trasladamos la unidad fórmula. Para empezar asignamos las coordenadas de los átomos que forman los motivos de traslación.

Na (0, 0, 0)Motivo traslación

Cl (½, 0, 0)

Aplicando las traslaciones a estos 2 núcleos que constituyen el motivo de traslación, se obtienen las posiciones de todos los núcleos en el cristal.

Ej: CsCl


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Es una celda sencilla de tipo cúbica en la que podemos situar un tipo de ión en cada uno de los vértices y el otro tipo de ión en el centro del Cubo. Se trata, por tanto, de una red cúbica primitiva porque contiene un solo punto de red por celda (8x1/8 = 1).

Para ver el GPC del cristal vemos los elementos de simetría. Hay cuaternarios, también hay planos perpendiculares al cuaternario y ejes ternarios en los vértices. Posee la holoedría del cristal y es por tanto Pm m.

Como se trata de una celda tipo P, es decir, tenemos un solo punto de red en cada celda, tendremos solo una unidad fórmula en cada celda. Por tanto, viendo lo que tenemos en cada celda:

8x1/8 = 1Cl1ClCs Z = 1

1 x 1 = 1Cs

Tendremos pues que nuestro motivo de traslación es:

Cs (½,½,½)

Cl (0, 0, 0)

Ej: Blenda de Zinc (esfalerita) SZn

Se trata de una red cúbica. Si colocamos un punto de red sobre un S, llegamos a una estructura cúbica centrada en las caras F. Todos los puntos que hemos tomado para formar esta red tienen igual entorno y orientación.

La celda cristalográfica es cúbica centrada en todas las caras (F) y posee 4 puntos de red. Si definimos la celda P tendrá un solo punto de red y pertenecería al sistema romboédrico (ángulos de 60º e igual módulo).


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Nuestra celda F conserva los 4 ejes ternarios característicos del sistema cúbico. Cuando buscamos el cuaternario por el centro de las caras no aparece, pero si nos fijamos, si existen ejes impropios de orden 4 ( ). Con esto ha disminuido la simetría de nuestro GPC podrán ser:

Td T Th (no existen cristales Th)

3m 23 m3

Buscamos ahora los planos. Vemos que si están presentes, por lo que llegamos a que el GPC es el 3m y GES F 3m.

Veamos cuantas unidades fórmula tiene la celda cristalográfica.

6 x ½ + 8 x 1/8 = 44SZn

4 x 1 = 4

La celda cristalográfica tiene 4 puntos de red y 4 unidades fórmula. Por tanto, la celda primitiva contendrá un punto de red y una unidad fórmula. Veamos el motivo de traslación.

Zn(0, 0, 0)S (1/4, 1/4,

1/4) se eligen los puntos para tener los vectores lo más cortos posible.

Operaciones mixtas.

Hasta el momento hemos obtenido 73 GES usando solo operaciones de traslación y puntuales. Existen 230 GES y para obtener los que nos faltan tendremos que usar operaciones mixtas. Las operaciones mixtas consisten en la realización simultanea de una operación de simetría puntual y una traslación.

Ej: 21

(½) (0)

En general, este tipo de ejes con traslación se expresan como:

Girar

nm

Trasladar Traslación.

Si realizamos 2 veces la operación 21 se obtiene una operación que ya tenemos que es la traslación:


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21.21 = T

Veamos cuales son los posibles “giros de tornillo”.

Vemos que los giros con traslación se realizan en sentido contrario a las agujas del reloj, aunque el resultado aparente (ej: 32) pueda ser el de girar en sentido horario y trasladar (solo 1/3 en este ejemplo).

Veamos un ejemplo sobre objetos:

En la planta, si tomamos los nudos en cada 2 pares de hojas como untos de nuestra red tendremos que existe un giro de 90º y traslada ½, es decir, tenemos un eje de rotación con traslación de 42.

Para la escalera si tomamos como puntos la esquina de cada escalón vemos que se generan todos los demás girando 60º y trasladando 1/6. Por tanto tenemos en eje 61.

Podemos definir la estructura de un sólido usando para ello un modelo de esferas compactas. A nivel bidimensional, la forma más compacta de empaquetar los átomos es Amp. Química Inorgánica (1er parcial) (2002 / 2003)

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cada átomo rodeado por otros 6 átomos (A). Para poner la siguiente capa, los átomos se van colocando en los huecos que quedan entre 3 átomos de la capa de abajo, por lo que esta capa queda desplazada respecto a la anterior (B). La siguiente capa quedará igual que la primera (A). Este es un empaquetamiento hexagonal compacto (hcp): ABABA...

También podemos encontrar otro tipo de distribución que será de la forma ABCABC... . En este caso se trata de una estructura cúbica compacta (fcc). Estas 2 estructuras son las que suelen tomar los metales.

En el hueco entre 3 y 3 esferas (3 arriba y 3 abajo) se coloca otra esfera.El eje que explica el movimiento e una capa a la otra es un eje 63 (gira 60º y traslada ½)

Ej: NiAs (Arseniuro de Niquel).

Para definir la red de Bravais buscamos los tipos de traslaciones. Tomamos los átomos de NI como puntos de red. Nos fijamos en los Ar como puntos de red. Tomando 1 en la capa de abajo, el otro estará en la capa de arriba. Los As de la capa central no son puntos de red, ya que, aunque tienen el mismo entorno, no tienen la misma orientación. De esta forma llegamos a que nuestra celda de Bravais es:

a = b = c = 60º

Hexagonal primitiva Red 6/m 2/m 2/m (6/m m m) (GPC)

La red de Bravais al ser primitiva solo tiene un punto de red.Veamos ahora el símbolo del grupo espacial completo (veamos los elemeonts

que se conservan en el cristal y los que cambian). Nos fijamos solo en los a´tomos de


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Arsénico. Vemos que presentan una estructura hexagonal compacta, por lo que llegamos a que el eje 6 pasa a ser en el cristal un 63 (gira 60º y desplaza ½).

Los átomos de Arsénico se encuentran en los centros de los triángulos, es decir, esta justo sobre el eje &3, por lo que no se desplazan al girar, solo al trasladar ½

Los átomos se Arsénico se han colocado en el hueco existente entre los 2 triángulos. Tienen por tanto una coordinación 6 (son huecos octaédricos).

Ahora veamos si el cristal tiene planos perpendiculares al eje 63. Podemos ver que si existen.

Ahora veremos si se conservan los planos paralelos al eje. Se puede ver fácilmente que se conservan estos ejes. Veámoslo en la celda desde arriba:

Uno de los 2 conjunstos de planos del hexágono se conserva (el que pasa por el centro de las aristas).El otro conjunto de planos no se conserva (en realidad se ha convertido en un plano con deslizamiento (c)).

El GES resultante por tanto es: P63/m m c

En este ejemplo hemos visto la presencia de un nuevo tipo de elemento de simetría que son los planos con deslizamiento. La operación de simetría consiste en una reflexión acompañada de una traslación en una dirección determinada.

En la siguiente tabla tenemos un resumen de todos los posibles planos con deslizamiento:

Tipo de plano Translación SímboloAxial a/2 a

b/2 b c/2 c

Diagonal (a + b)/2 n (a + c)/2(b + c)/2(a + b + c)/2

Diamante (a = b)/4 d (a = c)/4(b = c)/4(a = b = c)/4

· Planos axiales (a, b, c): Se dá una reflexión y luego el deslizamiente paralelo al eje indicado por la letra (a x, b y, c z)· Planos diagonales (n): refleja y desliza en la diagonal de 2 ejes: (a+b)/2, (a+c)/2, (b+c)/2, (a+b+c)/2.


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· Planos tipo diamante (d): los desplazamientos tienen la misma dirección que los diagonales, solo que deslizan solo ¼ en lugar de ½.

Ej: (diamante)

Vemos fácilmente que se trata de una red cúbica tipo F. La celda tiene 4 puntos de red.

El nº de C en cada red es:

1/8 x 8 + ½ x 6 + 4 = 8 átomos

Por tanto, el motivo de traslación serán 2 átomos de C.

C: (0, 0, 0)Motivo

C: (¼ , ¼, ¼)

El GPC es por ser cúbica. Ahora veamos cual es el GES. En el GPC tenemos planos. Vemos que no se conservan en el cristal. En su lugar vemos que tenemos planos de deslizamiento tipo diamante.

Ponemos el plano a 1/8 del átomo (0,0,0) al reflejar queda (1/4, 0, 0) y al deslizar queda a (¼ , ¼, ¼). Es por tanto, un plano tipo d.

Vemos que se conservan los planos diagonales tipo m.El símbolo del GES es el F .Para obtener el GPC se eliminan todas las traslaciones (incluyendo las mixtas)

por lo que quedaría .

Ej: TiO2 (Variedad tipo Rutilo).

Grupo espacial: P42/m n m

Ti (0,0,0)Ti ( ½,½,½)


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Motivo traslación O (x, x, 0) (0´3,0´3,0)O (O (½+x,½-x,½) (0’8,0’2,0’5)O (½-x,½+x,½) (0’2,0’8,0’5)

x=0´3a = b = 4´594 Åc = 2´958 Å

Dibujando la red de Bravais proyectada:

Red D4h (4/m m m)

Es una red tetragonal primitiva. El motivo de traslación serán 2 unidades fórmula. Vamos a dibujarlo usando los datos de que disponemos.

Empleamos un código de colores para distinguirlos. Los Ti que están a ½ los indicamos como un círculo vacío.

Al pasar el cristal, nos encontramos con que el cuaternario ha desaparecido como tal eje propio.

Lo que aparece es un eje 42 (giramos 90º y trasladamos ½). Lo indicamos como un cuadrado gris. Se ve fácilmente viendo los Ti.

Perpendicularmente a este eje tenemos planos de reflexión (pasa a ½ de la celda). Los planos m diagonales (a=b) se siguen conservando. Por otro lado tenemos los planos n en la dirección de los ejes x. Lo indicamos como una línea rayada.


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