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SILOGISMOS CATEGÓRICOS Y DIAGRAMAS DE venn.

A continuación los lectores encontrarán los siguientes temas correspondientes a los Silogismos categóricos y la forma de analizar su validez con los Diagramas de Venn:

1. Elementos, Modos y Figuras del Silogismo Categórico.2. Validez de los Silogismos Categóricos.3. Uso de los diagramas de Venn en Matemáticas.4. Técnica de los Diagramas de Venn para Silogismos Categóricos.5. Ejemplo de Razonamiento: Diagrama y silogismo descifrado6. Método para descifrar diagramas de Venn7. Silogismo Categórico válido en otra Figura y Modo.

1. Elementos, Modos y Figuras del Silogismo Categóricos. Apoyándonos en el texto de Introducción a la Lógica de Irving Copi, en parte de este trabajo, vamos a iniciar definiendo qué se entiende por Silogismo Categórico, éste es un argumento conformado por dos premisas y una conclusión donde se afirma o niega si una clase está incluida en otra, de manera total o parcial o, incluso, si las clases son ajenas entre ellas. Entendemos por argumento una secuencia finita de enunciados o proposiciones. El último enunciado de la secuencia es la conclusión mientras que todos los anteriores constituyen las premisas del argumento. En otras palabras, un silogismo es un argumento deductivo en el que se infiere una conclusión a partir de dos premisas.

Las tres proposiciones categóricas de que consta un silogismo contienen específicamente tres términos, cada uno de ellos aparece sólo en dos de las proposiciones que lo constituyen. La conclusión de un silogismo categórico es una proposición que contiene dos de los tres términos del silogismo. El término que aparece en la primera premisa y posteriormente como predicado de la conclusión se llama término mayor del silogismo, y el término que aparece en la segunda premisa y como sujeto de la conclusión es el término menor. Así, en el silogismo:

Ningún delincuente es persona de bien Algunos europeos son delincuentes.

Por lo tanto: Algunos europeos no son personas de bien

El término “persona de bien” es el término mayor porque es el predicado de la proposición y el término “europeos” es el término menor porque es el sujeto de la proposición. El tercer término que no aparece en la conclusión pero sí aparece en ambas premisas se llama el término medio; en este caso es el término

Elaboración: Mtra. Flor Alejandrina Hernández CarballidoProfesora de la Escuela Nacional Preparatoria, ENP, de la UNAM.

Todo alumno va a la escuela para aprender a formalizar su pensamiento lógico y poder abordar problemas más complejos.

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“delincuentes”. Con estos acuerdos básicos, se puede precisar otra característica de un silogismo, que consiste en que la premisa mayor se enuncia primero, en seguida, la premisa menor y al final la conclusión.

Otro elemento de un silogismo es el denominado modo, el modo de un silogismo está determinado por las proposiciones categóricas, A, E, I, O, que contiene. En el ejemplo anterior, el modo del silogismo es EIO, porque su premisa mayor es una proposición E, su premisa menor es una proposición I y su conclusión una proposición O. Sin embargo, silogismos que tienen el mismo modo pueden diferir en sus formas, dependiendo de las posiciones relativas de los términos medios. Así, por ejemplo, consideremos los silogismos:

Todos los abogados exitosos son graduados universitarios.Algunos mexicanos son graduados universitarios.

Por lo tanto: Algunos mexicanos son abogados exitosos

Y para, Todas las personas individualistas son egoístas.

Algunas personas individualistas son pobres.Por lo tanto: Algunos pobres son egoístas.

Los dos silogismos son del modo AII, pero de diferentes formas. Si abreviamos el término menor con S, el término mayor con P, el término medio con M y para simbolizar las palabras “por lo tanto” usamos tres puntos, , entonces las formas o esquemas de estos dos silogismos, respectivamente, son:

En el primer silogismo, el término medio es el predicado de ambas premisas, mientras que en el segundo el término medio es el sujeto de las dos. Lo que demuestra que la forma de un silogismo está parcialmente descrita enunciando sólo su modo ya que silogismos que tienen el mismo modo pueden diferir en sus formas, dependiendo de las proposiciones relativas de los términos medios. La forma de un silogismo se puede describir por completo, enunciando su modo y su figura , la cual indica la posición del término medio en las premisas.

Hay cuatro posibles figuras distintas que pueden tener los silogismos, donde el término medio puede ser el sujeto de la premisa mayor y el predicado de la premisa menor, o puede ser el predicado de ambas premisas, o puede ser le sujeto de la dos premisas, o puede ser el predicado de la premisa mayor y el sujeto de la premisa menor. Estas diferentes figuras se esquematizan en el siguiente arreglo, Tabla N° 1, donde se ha suprimido la referencia al modo, no representando en ellas cuantificadores ni cópulas:

Tabla N° 1. Esquema de las posiciones relativas del término medio: M ------ P P ------ M M ------ P P ------ M S ------ M S ------ M M ------ S M ------ S----------------------------------- -------------------------------- ---------------------------- ------------------------

S ------ P S ------ P S ------ P S ------ PPrimera Figura Segunda Figura Tercera Figura Cuarta Figura

Son sesenta y cuatro los posibles modos diferentes: AAA, AAE, AAO, AEA, AEI, AEO, AIA,…OOO y como cada modo puede aparecer en cada una de las cuatro figuras diferentes, se tendrían 256 formas distintas que pueden tomar los silogismo de forma estándar. Sin embargo, de entre éstas, solamente unas cuantas son válidas.

2. Validez del Silogismo categórico. La forma de un silogismo es, desde el punto de vista de la lógica, su aspecto más importante. La validez o invalidez de un silogismo cuyas proposiciones son

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contingentes dependen exclusivamente de su forma y es por completo independiente de su contenido específico o del tema del cual trata. Así, por ejemplo, cualquier silogismo de la forma AAA-1:

Es un argumento válido, más allá del asunto del que trate. Es decir, no importa qué términos se sustituyen en la forma o esquema donde aparecen las letras S, P y M, el argumento resultante será válido. Si se sustituyen las letras por los términos “veracruzanos”, “humanos” y “mexicanos” se obtiene el argumento válido:

Todos los mexicanos son humanos.Todos los veracruzanos son mexicanos.

Por lo tanto: Todos los veracruzanos son humanos.

Ahora bien, el silogismo también es válido si se sustituyen otros términos, tales como: “Jabones”, “sustancias solubles en agua” y “sales de sodio” donde están las letras S, P y M de la misma forma se obtienen que el silogismo también es válido:

Todas las sales de sodio son sustancias solubles en agua.Todos los jabones son sales de sodio.

Por lo tanto: Todos los jabones son sustancias solubles en agua.

Un silogismo válido es un argumento formalmente válido, en virtud sólo de su forma. Esto implica que si un silogismo es válido, cualquier otro silogismo de la misma forma también será válido. Y si un silogismo es inválido, cualquier otro silogismo de la misma forma también será inválido para proposiciones constitutivas contingentes. El reconocimiento usual de este hecho es atestiguado por el uso frecuente de “analogías lógicas” en la argumentación. Supongamos que se presenta el siguiente argumento:

Todos los perredistas son defensores de las instituciones de seguridad social.Algunos miembros de la administración son defensores de las instituciones de seguridad social.

Por lo tanto: Algunos miembros de la administración son perredistas.

Se acepta que pese a la verdad o falsedad de sus proposiciones constituyentes, el argumento es inválido. La mejor forma de demostrar su carácter falaz sería construir otro argumento que tenga exactamente la misma forma que el primero y cuya invalidez resulte evidente. Por ejemplo:

Todos los conejos son veloces.Algunos caballos son veloces.

Por lo tanto: Algunos caballos son conejos

De modo que por analogía si el primer razonamiento es inválido -puesto que la forma es independiente del contenido- al ser este inválido el otro también lo es. Subyacente al método de la analogía lógica se encuentra el hecho de que la validez o invalidez de argumentos como los silogismos categóricos es un asunto meramente formal. Sin embargo, este método de poner a prueba la validez de los argumentos tiene serias limitaciones en los hechos por una u otra razón; se requiere de un método más eficaz para establecer la validez formal o la invalidez de los silogismos como veremos en las secciones posteriores.

3. Uso de los diagramas de Venn en Matemáticas. Antes de entrar de lleno a estudiar la técnica para los Diagramas de Venn en los Silogismos Categóricos, veamos el uso que tienen los Diagramas de Venn en cuestiones de Matemáticas, como lo analiza el Maestro Heriberto Marín, en el aspecto referente a tres conjuntos para el planteamiento y solución de problemas mediante el algebra de conjuntos. Al hacerlo, empezarán a resaltar aspectos que también son útiles para su aplicación en Lógica.

Partamos del siguiente problema que se puede presentar en la vida real: por ejemplo, a alguien le dicen que a Pedro, Ana, Carlos, Felipe, Rosa, José y Luis les gusta la natación; que a Rosa, Felipe, Ernesto, Mario, Beatriz y Luis les gusta el baloncesto ; y, que a Rosa, Carlos, Felipe, Mario, Daniel y Sonia están en el club Pumitas. Le preguntan, de los niños que les gusta alguno de estos dos deportes ¿quiénes están en Pumitas? Para resolver este problema en ese momento la persona usa el razonamiento práctico y traza una

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estrategia a seguir. Puede considerar por separado a los niños que les gustan la natación (Pedro, Ana, Carlos, Felipe, Rosa, Luis y José) o el baloncesto (Rosa, Ernesto, Mario y Beatriz) y, después, fijándose en quiénes de ellos están en Pumitas, obtiene la respuesta, que son Rosa, Carlos, Felipe y Mario.

Esta solución obtenida empíricamente, se puede obtener también de manera formal mediante las operaciones entre conjuntos. Llamemos A al conjunto de niños a los que les gusta nadar, B al conjunto de los que les gusta el baloncesto y C al conjunto de los niños que están en Pumitas. Así, usando las letras iniciales de cada nombre, podemos representar A, B y C como:

, y ¿Qué operaciones entre conjuntos debemos utilizar? Como al razonar empíricamente se ha considerado tener en cuenta a todos los niños que les gusta un deporte, nadar o el baloncesto, debemos escoger una “unión” entre conjuntos para reunir a todos los niños en un solo conjunto, sin repetir elementos, es decir

Ahora bien, como se ha puesto la atención en quiénes de ellos están en Pumitas, nos damos cuenta que formalmente debemos usar la “intersección” entre los conjuntos y C para obtener los elementos en común entre ambos conjuntos,

Que son precisamente aquellos niños que les gusta alguno de estos deportes y que además están en Pumitas: Carlos, Felipe, Rosa y Mario. Obsérvese que si hubiéramos utilizado primero una resta entre los conjuntos - C y luego una intersección, no hubiéramos llegado al resultado correcto obtenido de manera empírica. Ahora bien, ¿hay otra manera formal de resolver el problema? la respuesta es que sí. Consideremos, con los mismos conjuntos A, B, y C, las operaciones y para luego hacer la operación siguiente,

Observamos que se obtiene el mismo resultado. De modo que tenemos dos formas de plantear y resolver formalmente el mismo problema al utilizar el lenguaje de conjuntos. ¿Puede hacerse también de manera empírica esta otra manera de resolver el problema? La respuesta es que sí, de la siguiente manera: “Nos fijamos primero en los niños a los que les gusta la natación y están en Pumitas que son Carlos, Felipe y Rosa.

Después nos fijamos en los niños a los que les gusta el baloncesto y que están en Pumitas que son: Rosa, Felipe y Mario. Finalmente, para obtener la solución, consideramos a todos estos niños, sin repetir, en un solo conjunto, que son; Carlos, Felipe, Rosa y Mario. La razón de que haya dos posibles maneras formales de resolver el problema, que corresponden a las dos maneras prácticas de también resolverlo, es que se está cumpliendo la ley distributiva para la intersección entre los conjuntos A, B y C, es decir:

De la cual, nuestro caso es un ejemplo particular. Usando diagramas de Venn podemos representar la expresión anterior (recordar que en matemáticas, a diferencia de Lógica, un sombreado significa que sí hay elementos) como en la figura 1,

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Que es el resultado de representar primero la operación ( ) mediante el sombreado (con base en rayas) de un lado a otro de los dos conjuntos A y B. Posteriormente se consideró la zona en que los elementos del conjunto C se intersectan con los de ( ). Así, se obtiene el resultado requerido, figura 2

Obsérvese que de manera natural se han introducido tres conjuntos para plantear y resolver el problema. Donde las zonas que aparecen al traslapar los círculos tienen un significado según el tipo de problema del que se trate. En el siguiente dibujo se hace la descripción correspondiente a cada una de estas zonas generadas con tres conjuntos A, B y C, considerados como se muestra en la figura 3:

Como hemos dicho, la zona sombreada, al estilo matemático, representa la operación y es la solución al problema mediante el uso el lenguaje de conjuntos. Estas ocho

zonas se pueden expresar, en general, como en la figura 4:

A Carlos le gusta la natación pero no el baloncesto y está en

Pumitas.

A Felipe y a Rosa les gusta la natación y el baloncesto, ambos están en Pumitas.

A Mario le gusta el baloncesto y está en Pumitas pero no le

gusta la natación.

Daniel y Sonia están en Pumitas pero no les gusta la natación ni el

Baloncesto

A Luis le gusta el baloncesto y la natación pero no está en Pumitas A Ernesto y Beatriz les gusta el

baloncesto pero no la natación y no están en Pumitas

A Pedro, Ana y José les gusta la natación pero no el baloncesto y no están en

Pumitas

Zona que representa a todos los niños que no les gusta la

natación ni el baloncesto y que no están en Pumitas

Construcción de la operación . Los

sombreados a base de rayas o de color azul son equivalentes. Fig. 2

Representación de la solución a un problema mediante la unión de A y B con la intersección del conjunto C. Fig. 1

El problema de los niños representado en cada

zona según sus elementos. Fig. 3

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4. Técnica de los Diagramas de Venn en Silogismos categóricos. El uso de los diagramas de Venn para verificar silogismos es una manera eficaz de comprobar su validez, aunque, hay algunos casos en los que el silogismo debe ser convertido a otro Modo y Figura para poder ser representado con los diagramas. Para verificar un silogismo categórico por el método de estos diagramas es necesario representar el contenido de sus dos premisas mediante tres círculos que se traslapan porque éstos contienen tres términos y clases diferentes, el orden de estos círculos debe ser como lo muestra la siguiente figura: el término menor S, (a la izquierda) el término mayor P (a la derecha) y el término medio M (en la parte de abajo), como se muestra a continuación, figura 5

Cada zona corresponde a los miembros de una clase específica. En la Tabla N° 2, se esquematizan los productos o clases generados con las clases S, P y M para los silogismos sin considerar algunas clases en particular:

Tabla N°2. PRODUCTOS DE LAS CLASES S,P,MCLASE DESCRIPCIÓN

todos los S que son P y que son Mtodos los S que no son P y que no son M

todos los S que son P pero no M

Elementos de A que no son de B ni de C

Elementos de A que son también de B pero no de C

Elementos de B que no son de A ni de C

Elementos de A que también son de B y de C

Elementos de B que también son de C pero no de A

Elementos que no son de A ni de B ni de C

Elementos de A que también son de C pero no de B

Elementos de C que no son de A ni de C

Zonas de tres círculos que traslapan sin referencia a clase alguna. Fig. 4

Orden en que se colocan los círculos para S, P y M con los símbolos de las clases correspondientes. Fig. 5

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todos los P que no son S ni son M

todos los P que son M pero no son S

todos los M que no son S ni son P

todos los S que no son P pero son M

todos los que no son S ni son P ni son M

Si asignamos un contenido a las clases S, P y M, por ejemplo: S (la clase de todos los mexicanos), P (la clase de todos comerciantes) y M (la clase de todos los artistas) tenemos la siguiente descripción de las clases, en la tabla 3:

CLASE Tabla N°3. LOS OCHO PRODUCTOS DE LAS CLASES S,P,M :

Que incluye

a todos los,

Mexicanos que son comerciantes y artistasMexicanos que no son comerciantes ni son artistas

Mexicanos que son comerciantes pero no son artistas

Comerciantes que no son mexicanos ni son artistas

Comerciantes que son artistas pero no son mexicanos

Artistas que no son comerciantes y que no son mexicanos

Artistas que no son comerciantes y que son mexicanos

Ni son mexicanos ni comerciantes ni artistas

Observemos que ambas clases, y , están conformadas por los elementos M que no son P sean mexicanos o no. Por ello, una manera de ayudarnos a entender por qué se sombrea la zona de la figura 6, sería que para diagramar “Todo M (artistas) es P (comerciantes)” no importa que los elementos de la primera clase tengan además la propiedad (no mexicanos) y los de la segunda tengan la propiedad S (mexicanos). Al sombrear esa zona, estamos seguros de estar declarando vacía la clase de los artistas que no son comerciantes: (sean mexicanos o no lo sean). Por ello se representa: “Todo M es P”.

Si en la figura 5, centramos la atención en los círculos marcados con P y M, al sombrear o insertar una X podemos representar cualquier proposición categórica cuyos términos sean P y M independientemente de cuál sea su Sujeto y Predicado. Por ejemplo, para representar la proposición “Todo M es P” es necesario indicar (como lo hemos visto en los apuntes de Lógica y Matemáticas de los Maestros Marín- Hernández) que “no hay M que no sea P” ( ) y sombrear toda la zona del círculo para M que no está “contenida en” o “traslapada por” P.

Obsérvese que al concentrar la atención sólo en la zona de dos círculos se procede como si lo referente a S fuera algo en segundo plano (por esta razón se ha dibujado el círculo para S un poco más tenue). Se dice que el método para diagramar silogismos así lo requiere puesto que en la proposición que se quiere representar solo participan la clase M y P. Al proceder con este método, el diagrama se obtenido la figura 6,

Para representar que “no hay M que no sea P” ( ), se procede considerando que lo referente a S está en un segundo plano de importancia. Fig. 6

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De manera semejante, si centramos la atención en los dos círculos S y M (círculos gruesos) sombreándolos o insertando una X podemos representar cualquier proposición categórica cuyos términos sean S y M independientemente de contenido. Para representa la proposición “Todo S es M” ( ) se sombrea toda la parte de S que no está contenida en M, o que no se traslapa con M. Esta zona, incluye tanto las clases marcadas con y como . El diagrama para esta proposición es el de la figura 7,

4.1 Silogismo categórico: “Modo EAE. Segunda Figura”. Tener tres círculos que traslapan permite diagramar juntas las dos premisas que todo Silogismo Categórico tiene, en este caso son E y A, a condición de que solamente aparezcan en ellas tres términos diferentes. Como se ilustra en siguiente ejemplo que es tema favorito de uno de los alumnos de la clase de Lógica:

“Ningún humano es invisible” “Todo dindolindo es invisible” Por lo tanto: “Ningún dindolindo es humano”

Donde las clases son, S: “Dindolindo”, P: “Humano” y M: “Invisible”, que están presentes en las premisas E: “Ningún Humano es Invisible”; A: “Todo Dindolindo es Invisible”, y E:”Ningún Dindolindo es Humano” del silogismo. Cuando ya se tiene práctica, es posible representar las premisas de un silogismo en un solo diagrama. Reconocer la conclusión del silogismo categórico, por inspección del diagrama, debe ser producto de haber diagramado correctamente cada una de las premisas.

Ahora bien, mientras el lector se acostumbra a diagramar las premisas en un solo diagrama, procedemos paso a paso, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Figura 8. Para la primera premisa,

Diagrama de la Proposición Categórica

E: “Ningún P es M”.

Para representar la proposición Todo S es M” ( ), se procede considerando que lo referente a S está en un segundo plano de importancia. Fig. 7

Para representar la primera premisa que

corresponde a la proposición E, se debe considerar sólo los círculos para P y M (con

círculos gruesos).

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A continuación, la segunda premisa,

Finalmente, la conclusión,

4.2 Silotismo categórico: “Modo AII. Tercera Figura”. Cuando se usa un diagrama de Venn para probar un silogismo con una premisa universal y una particular, es recomendable representar primero la premisa universal y a continuación la premisa particular. Por ejemplo,

Todos los alumnos son alegresAlgunos alumnos son pobresAlgunos pobres son alegres

Al representar primero la premisa universal se obtiene el diagrama siguiente,

Diagrama de la Proposición Categórica

A: “Todo S es M”

Diagrama del Silogismo Categórico Modo EAE

“Segunda Figura”

Ningún P es M Todo S es M

_____________ Ningún S es P

Diagrama de la Proposición Categórica

A: “Todo M es P”

Para representar la segunda premisa

que corresponde a la proposición A, se

debe considerar sólo los círculos para S y M (con

círculos gruesos)

La conclusión del Silogismo Categórico

debe quedar diagramada explícitamente como

consecuencia de haber sombreado

correctamente cada una de las premisas. Se consideran sólo los

círculos para S y P (con círculos gruesos)

Obsérvese que se ha puesto en la zona central del diagrama el color rosa de manera ligeramente diferente para efectos de poder visualizar más fácilmente la zona que representa la conclusión.

Secuencia para representar un silogismo. Fig.8

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Después, al insertar una X se hace la representación de la premisa particular como se ilustra,

Obsérvese que la X se puso al centro, sin dudar, porque en el diagrama anterior ya tenía sombreada la otra zona. Finalmente, representando ambas premisas en un solo diagrama, se tiene

Después de haber representado en el diagrama la información contenida en cada premisa del silogismo, lo examinamos para ver si la conclusión ha quedado representada como consecuencia de haberlas sombreado o insertado un X correctamente. Para que la conclusión “Algunos pobres son alegres” haya quedado representada, debe aparecer una X en la zona en la que se traslapan los círculos marcados como “Pobres” y “Alegres”. De acuerdo a la figura 5 esta zona consiste en las regiones y que conjuntamente constituyen SP. Como hay una X en la zona SPM donde se traslapan todos los SP, la conclusión del silogismo está representada. Y el silogismo es válido.

Obsérvese que si hubiéramos tratado de diagramar primero la premisa particular (antes de que las regiones y estuvieran sombreadas al representar la premisa universal) no habríamos sabido si insertar o

no una X en la zona o en la o en ambas de color verde, figura 10. Esta ambigüedad se supera diagramando primero la proposición universal, que da como resultado que la zona donde se debe poner la X sea única.

Diagrama de la Proposición Categórica

I: “Algunos M son S”

Diagrama del Silogismo Categórico

Modo AII“Tercera Figura”

Todo M es P Algunos M son S _____________ Algunos S son P

Secuencia para representar un silogismo representando primero la premisa universal y luego la particular. Fig.9

Para superar cualquier ambigüedad se diagrama primero la proposición universal, que da como resultado que la zona donde se debe poner la X sea única. Fig.10

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4.3 Silogismo Categórico: “Modo AAA. Primera Figura”. Representar de manera directa “Todo M es P” ( ) y “Todo S es M” ( ) en un solo diagrama, da como resultado la figura 11

Ahora bien este silogismo es válido si y solamente si las premisas diagramadas implican la conclusión, es decir, si juntas dicen lo que dice la conclusión. Así, representar correctamente las premisas de un argumento válido debe bastar para representar (como consecuencia) la conclusión, sin necesidad de hacer ningún otro trazo sobre los círculos. Veamos si quedó representada la conclusión “Todo S es P” que requiere de sombrearse la zona marcada como y la .

Inspeccionando el diagrama que representa las dos premisas, se observa que representa también la conclusión porque la zona de intersección de los círculos S y P, aunque aparece gráficamente con una parte vacía, de todos modos la zona en blanco significa que todo S es P. De modo que esa zona es la que en este silogismo categórico representa la conclusión. Como la zona sombreada no afecta la conclusión, de este hecho se puede concluir que el silogismo es válido.

4.4 Silogismo Categórico: “Modo AAA. Segunda Figura” NO VÁLIDO. Modo y figura no siempre llevan a validez segura. Apliquemos ahora un diagrama de Venn para probar un silogismo inválido, por ejemplo,

Todas las mujeres son sensibles.Todos los ancianos son sensibles.

Por lo tanto: Todos los ancianos son mujeres.

Al diagramar ambas premisas se obtiene la figura 12,

En este diagrama donde S designa la clase de todos los ancianos, P la clase de todos las mujeres y M la clase de todas las persona sensibles; las zonas , y han sido correctamente sombreadas. Sin embargo la conclusión a la que se refiere este Silogismo Categórico, no ha quedado representada como consecuencia de haber representado así las premisas. Es decir, la conclusión no ha quedado representada después de haber diagramado las premisas ya que la zona se ha dejado sin sombrear y para

Representación de “Todo M es P” y “Todo S es M” en un solo diagrama, Fig.11

Un argumento cuyas premisas no implican su conclusión es inválido. Lo que prueba, de hecho, que cualquier silogismo del “Modo AAA. Segunda Figura” es inválido. Fig. 12

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representar la conclusión se deben sombrear ambas premisas: y . Vemos así que representar las dos premisas del silogismo “Modo AAA. Segunda Figura” no basta para diagramar su conclusión, lo que prueba que la conclusión dice algo más de lo que dicen las premisas. Es decir, que las premisas no implican la conclusión. Un argumento cuyas premisas no implican su conclusión es inválido. Prueba, de hecho, que cualquier silogismo del “Modo AAA. Segunda Figura” es inválida.

5. Ejemplo de Razonamiento. El Diagrama de Venn y el Silogismo Categórico DESCIFRADO hace a un joven obtener un empleo. Dos amigos que acaban de salir de la preparatoria, buscan trabajo aunque sea de medio tiempo. Van al departamento de personal de una compañía que posiblemente los contrate tras realizarles una entrevista. Mientras esperan su turno ven el dibujo de la figura 13

Te acuerdas de los silogismos categóricos –pregunta Heriberto a Jorge. Éste le dice que se acuerda algo. Heriberto le contesta diciendo que ese dibujo – y señala hacia la pared- parece ser el diagrama de un silogismo. Entonces le pide a Jorge un papel y empieza a tratar de entenderlo. Piensa distraerse con descifrarlo mientras llega el turno de la entrevista. ¿Cuál será? – se pregunta Heriberto, y tras varios intentos, escribe lo siguiente:

Todos los puntos de la zona en blanco de P son puntos de la zona en blanco de MNingún punto de la zona en blanco de M es un punto de la zona en blanco de S

Ya tengo las premisas –le dice a Jorge. Ahora, saca la conclusión si es que puedes – comenta éste. Está bien dice Heriberto. Inspeccionando el dibujo una y otra vez, llega a la conclusión de que “Ningún punto de la zona en blanco de S es un punto de la zona en blanco de P” Lo que le comunica a Jorge. Y eso qué - dice Jorge- Pues no sé, pero eso quiere decir –cometa Heriberto-. Quiere decir que dejes de pensar tonterías y te pongas abusado porque ya mero pasamos –comenta Jorge. En eso están, cuando la secretaria comunica a los jóvenes que su turno está por llegar de un momento a otro. En ese instante se prende una pantalla electrónica con la frase:

“Todas las personas exitosas son personas interesadas en su trabajo”

lo que llama la atención de los jóvenes, pues los colores son muy atrayentes y la frase parpadea varias veces como si fuera muy importante –observa Heriberto. Después sale otra frase que dice:

“Ninguna persona que está interesada en su trabajo es una persona cuya atención se distrae fácilmente cuando está trabajado”.

Jorge le dice a Heriberto, ya ves que no te distraigas y menos con ese dibujo. No, espérate, déjame ver, dice Heriberto -. En ese momento aparece un signo de interrogación en el tablero electrónico. El signo parece extraño, como si urgiera a contestar algo.

Unos segundos después los jóvenes, reciben la instrucción de pasar a la oficina. Ambos pasan a la entrevista, el jefe de personal los saluda, los invita a sentarse y les pregunta: ¿vieron el dibujo? ¿Leyeron las frases? A lo que ambos, casi al mismo tiempo, contestan que sí. Bueno, digan qué es lo que expresa el dibujo o, lo que es lo mismo, que se entiende de las frases y cuál es la respuesta a la interrogación. En ese momento, los jóvenes sintieron que quedarse con el trabajo dependía entonces de responder correctamente. Jorge pensó decir algo pero no se sintió seguro del significado del dibujo ni de las frases, entonces cruzó por su mente las

Diagrama a DESCIFRAR, a partir del dibujo, por jóvenes que buscan trabajo en una empresa. Fig. 13

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tantas veces que se distrajo en clase de Lógica. Mientras tanto, qué relación había entre los puntos sombreados o en blanco del dibujo y las frases de tablero electrónico –pensaba Heriberto.

Como el jefe de personal había dicho las palabras: “o lo que es lo mismo” , Heriberto pensó que eso era una clave y que tenía que haber una relación. Se tardó un poco, pero logró contestar. La respuesta a la pregunta – dijo -es:

“Ninguna persona cuya atención se distrae fácilmente cuando está trabajando es una persona exitosa”

Por qué sería esa la respuesta, pregunta el jefe de personal, si en el caso del diagrama está viendo puntos directamente y en el caso de las oraciones se trata de personas que no se les conoce a todas o las cuales se ubican en todas partes del mundo. De modo que – dice el jefe de personal- no podemos estar tan seguros de la validez del silogismo. Al escuchar la palabra silogismo Heriberto, sintió que esa era otra buena pista que despejaba cualquier duda que había tenido afuera de la oficina.

Sintió que tenían que ser lo mismo, es decir que si el silogismo visto en el diagrama, como puntos, daba una conclusión que se ajustaba a las dos proposiciones o premisas, entonces no tenia por qué dudar, puesto que su maestra de lógica insistía una y otra vez, que si lo que se ve en un diagrama, como puntos, representa un silogismo válido entonces será válido para cualquier otro silogismo que cumpla con la misma forma y modo, pero con ciertas clases. Heriberto muy seguro de sí mismo, contestó al jefe de personal: “Como el diagrama representa un silogismo acerca de las clases de puntos y es válido; y el silogismo que se refiere a las clases de personas tiene exactamente la misma forma, entonces éste también es válido”. Acto seguido, el jefe de personal llama a la secretaria y le dice: “proporcione una solicitud de empleo al joven –señalando a Heriberto- y que se presente a trabajar mañana”. Los jóvenes salen del despacho y la secretaria le dice a Heriberto: “felicidades” han venido decenas de jóvenes que no han podido contestar las preguntas de mi jefe. Ambos amigos se retiran y en la calle dice Jorge: “nunca me imaginé que la entrevista fuera de ese mugroso círculo”. Heriberto no comento nada. Ahora, se sabe que el camino hacia el éxito para Heriberto empezó ese día.

6. Método para descifrar un Diagrama de Venn. El Silogismo Categórico DESCIFRADO pero siguiendo un método y una estrategia formal a partir de su diagrama. Para descubrirlo consideremos el diagrama de la figura 14. Hay que tomar en cuenta diversos aspectos tales que:

1) el silogismo es válido y es uno de los 19 que tiene representación mediante diagramas de Venn,2) en general, cada silogismo tiene un Modo y una Figura pero algunos tienen más de una Figura,3) todo silogismo tiene tres clases, dos premisas y una conclusión,4) cada premisa involucra a dos de las clases y se ponen en el orden PM y SM,5) la representación correcta de las premisas implica la conclusión sin tener que agregar algo más,

Empecemos a explorar la solución, para tal fin es razonable preguntarnos,

Con esta información y teniendo en mente las preguntas, se puede aplicar la teoría y la técnica para representar silogismos categóricos usando la siguiente estrategia :

1) Al inspeccionar la figura observar primero los círculos correspondientes a P y M. Después los círculos para S y M, por último reconocer la conclusión analizando los círculos S y P.

¿Qué premisas y conclusión están representadas? ¿Cuál es el Modo del silogismo? ¿Le corresponde una sola Figura?

Para descifrar un silogismo, paso a paso, a partir del diagrama es recomendable hacerse ciertas preguntas y tener en cuenta la teoría y la técnica de los Silogismos categóricos. Fig. 14

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2) Para especificar el Modo y la Figura usar una tabla de Modos Válidos y de Figuras de los silogismo categórico:

PRIMERAFIGURA (1)

SEGUNDAFIGURA (2)

TERCERA FIGURA (3)

CUARTA FIGURA (4)

M ----- PS ------M

S ---- P

P ----- MS ------M

S ---- P

M ----- PM ------S

S----- P

P ----- MM ------ S

S ---- P

3) Cuando hay una premisa universal y una particular es conveniente representar primero la universal y luego la particular.

4) Si hay más de una Figura poner un ejemplo concreto para S, P y M de cada uno de los silogismos resultantes para diferenciarlos.

Considerando la información teórica y de la técnica para diagramar y validar Silogismos Categóricos aplicando la estrategia anterior se tiene que: al haber varias posibles maneras de interpretar las zonas marcadas en el diagrama dado, consideremos la pareja de círculos “P con M”. De estos dos círculos, figura 14, se infiere que la zona sombreada es la de “no hay P que no sea M”, es decir,

Posteriormente, de la zona sombreada para “S con M”, figura 14, se deduce que “no hay M que sea S” y que “no hay S que sea M” lo que implica

o bien,

Hasta aquí tenemos ya las dos premisas que podrían ser las del silogismo que se está buscando. Se combinan de la siguiente manera:

Las premisas indican que el Modo que estamos buscando debe tener las letras iniciales AE. Consultando la tabla de modos, observamos que puede ser un AEE, Segunda Figura o bien un AEE, Cuarta Figura.

Finalmente, inspeccionando los círculos “S con P” podemos concluir que efectivamente el silogismo es del Modo AEE ya que la zona sombreada de la intersección indica que “no hay S que sea P” (E: “Ningún S es P”), tal como se requiere. Así, podemos ya presentar el Silogismo Categórico encontrado en sus dos posibilidades:

FIGURA MODOPRIMERA AAA EAE AII EIO

SEGUNDA EAE AEE EIO AOO

TERCERA AAI EAO IAI AII EIO OAO

CUARTA AAI AEE IAI EAO EIO

Todo P es MNingún M es S

Todo P es MNingún S es M

Todo P es MNingún S es M

______________________Por lo tanto: Ningún S es P

Todo P es MNingún M es S

______________________Por lo tanto: Ningún S es P

AEE, Segunda

Figura

AEE, Cuarta Figura

A: “Todo P es M”

E: “Ningún M es S” E: “Ningún S es M”

1

De lo anterior, concluimos que los Silogismos Categóricos son: AEE, Cuarta Figura y AEE, Segunda Figura. El ejemplo que se pide de cada uno es,

6.1 Siguiendo una estrategia diferente para inspeccionar Silogismos categóricos. Supongamos que usted no aplica la estrategia propuesta, ¿es posible encontrar el silogismo? Veamos, por ejemplo,

1) Si inspeccionamos la zona de intersección de los círculos S y M, una de las premisas del silogismo tendría que ser E: “Ningún S es M” porque está sombreada.

2) Si observamos la intersección de los círculos S y P, la otra premisa podría ser E: “Ningún S es P” porque también está sombreada.

3) Cotejando la lista de los silogismos válidos, ninguno tiene las letras iniciales EE; lo que concuerda con el hecho de que la zona sombreada restante no expresa conclusión alguna.

Como sabemos que el Silogismo categórico por DESCIFRAR es válido, vemos que no ha funcionado este intento. Podrían hacerse otros intentos más, pero el silogismo representado por el diagrama de Venn será descifrado hasta que finalmente se adopte la estrategia sugerida.

7. Silogismo Categórico válido pero en otra Figura y Modo. Ahora vamos a ver, por ejemplo, que si el Silogismo Categórico EAO, Cuarta Figura,

Ningún auto es aviónTodo avión es medio de transporte

Por lo tanto: Algún medio de transporte no es avión

Representado en un diagrama de Venn, siguiendo la técnica para diagramar, se obtiene, figura 15

Ahora bien, inspeccionando el diagrama observamos que la conclusión no ha sido representada como consecuencia de haber diagramado correctamente cada premisa tal como pide la técnica para comprobar la validez de un silogismo. Tendríamos que pensar que el silogismo no es válido. Sin embargo, al usar adecuadamente las técnicas de conversión de silogismos categóricos de la Lógica, el nuevo silogismo es:

Ningún avión es autoAlgún medio de transporte es avión

Por lo tanto: Algún medio de transporte no es auto

Que representado en un diagrama, figura 16, es,

Todo aprendizaje es logro valioso Ningún logro valioso es acción tramposa

___________________________________________Por lo tanto: Ninguna acción tramposa es aprendizaje

Todo aprendizaje es logro valioso Ninguna acción tramposa es logro valioso

___________________________________________Por lo tanto: Ninguna acción tramposa es aprendizaje

Aún cuando se han diagramado correctamente las premisas del silogismo no ha quedado la conclusión representada. Fig. 15

1

Inspeccionando el diagrama observamos que la conclusión ha sido representada como consecuencia de haber diagramado correctamente cada premisa tal como pide la técnica para comprobar la validez de un silogismo. Así, el nuevo silogismo es válido y, en consecuencia, también el silogismo original.

FIN

Un silogismo categórico, de los 19 válidos que hay, puede no tener una representación en su forma original. Pero si se convierte puede obtener la diagramación correcta. Lo que es prueba de su validez. Fig. 16