Signografía Matemática

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gra

fa M

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GUAS DE LA COMISIN BRAILLE ESPAOLA

Signografa matemtica

Comisin Braille Espaola ONCE

Guas de la Comisin Braille Espaola Signografa matemtica

Primera edicin, Madrid 2007

Comisin Braille Espaola. Organizacin Nacional de Ciegos Espaoles (ONCE).

Direccin General. Direccin de Cultura y Deporte. Departamento de Recursos

Culturales.

Calle del Prado, 24, 28014 Madrid

Diseo de la cubierta: Gabinete de Diseo. Direccin de Comunicacin e Imagen.

ONCE. Direccin General

Coordinacin de la edicin: Departamento de Recursos Culturales de la Direccin

de Cultura y Deporte. ONCE. Direccin General

La presente edicin ha estado al cuidado de Francisco Javier Martnez Calvo

Signografa matemtica: ISBN: 978-84-484-0195-5

Depsito Legal: M-11661-2007

Queda prohibida la reproduccin total o parcial de este libro, su inclusin en un sistema informtico, su transmisin en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea electrnico, mecnico, por fotocopia, registro u otros mtodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares de los derechos de autor.

Impreso en Espaa - Printed in Spain

Maquetacin e Impresin: Artes Grficas Palermo, S.L.

3

SIGNOGRAFA MATEMTICA

Introduccin

En junio de 1987, en Montevideo (Uruguay), las Imprentas Braille de Habla Hispana aprueban el Cdigo Matemtico Unifi cado para la lengua castellana (en adelante, CMU). Desde ese momento los lectores braille de habla hispana disponen de una signografa ofi cial para textos matemticos.

La escritura matemtica en caracteres visuales, as como, en general, la cientfi ca, utiliza recursos grfi cos para califi car y expresar atributos de variables y entidades matemticas (por ejemplo, ndices y marcas), representaciones bidimensionales (tales como matrices) y representaciones grfi cas complejas en distintos niveles (caso de las divisiones). Estas peculiaridades podran parecer complejas para ser representadas mediante un sistema de escritura bsicamente lineal como es el braille. El CMU resuelve esta complejidad con sencillez y claridad, permitiendo que estas estructuras matemticas puedan ser escritas atenindose a las peculiaridades de la lectura secuencial a travs del tacto.

Pasados 20 aos, y a pesar de que cada vez ms las herramientas informticas y procesadores de texto permiten obtener ediciones ms ricas visualmente, el CMU sigue teniendo plena vigencia.

En base a ello, esta gua sigue la estructura por captulos y secciones de dicho cdigo, con el fi n de no crear posibles equvocos si se consultan ambos documentos.

Por ltimo, queremos agradecer a los creadores del CMU, que han sido nuestros maestros y compaeros, el camino que nos han abierto tanto a usuarios del braille como a transcriptores. Sin lugar a dudas, su racionalidad seguir siendo til a muchas generaciones y base para la elaboracin de otras signografas cientfi cas.

5


4

Recomendaciones a tener en cuenta en la escritura de textos matemticos

Antes de comenzar la transcripcin de textos matemticos es conveniente tener en cuenta las siguientes recomendaciones recogidas en el CMU:

1. Las expresiones matemticas se escribirn, en general, sin espacios intermedios (espacios en blanco). No obstante, en algunos casos, por razones de claridad, se hace necesario dejar espacios en blanco antes y despus de algunos signos que expresamente se indican en las tablas correspondientes (ejemplo: por lo tanto).

Del mismo modo, esta excepcin se aplica en algunos casos a otros signos: por ejemplo, la igualdad en el caso de tablas o grfi cas (v. 7.5.1).

2. Para evitar posibles confusiones, se recomienda no utilizar la esteno-grafa1 braille en los textos de ciencias exactas o naturales.

3. Cuando aparezca una frmula matemtica incluida en un texto, se dejarn dos espacios en blanco antes y despus de la frmula.

1 Estenografa: Sistema de escritura abreviada para el braille en el que un nico signo puede re-presentar una palabra o un grupo de letras. Su finalidad es ahorrar espacio y aumentar la velocidad de lectura. Desde 1932 acta oficialmente como braille convencional para los pases angloparlan-tes. Existen tablas estenogrficas para distintos idiomas, como el espaol, el francs o el alemn. CEBRIN DE MIGUEL, MARA DOLORES (2003). Glosario de discapacidad visual, Madrid: ONCE.


4. El corte de una expresin matemtica al final de un rengln se efectuar, tal como ocurre en la escritura visual, en un signo de relacin o de operacin (como la igualdad, la suma, etc.). Este signo se repetir al comenzar la lnea siguiente.

Una excepcin a esta regla son las expresiones de conjuntos defi nidos por extensin, sucesiones, etc., que pueden cortarse tras un signo de puntuacin (como punto y coma, dos puntos), el cual no se repetir en el rengln siguiente.

5. Se recomienda (fundamentalmente a los editores) que en los textos de Matemticas y Ciencias Exactas en general se incluyan tablas con los signos utilizados y su significado, as como la representacin grfica (cmo es en tinta) de la signografa y los grfi cos utilizados.

6. Tambin se recomienda explicar la funcin y el uso de los parntesis auxiliares cuando aparezcan por primera vez en un texto, dado que se trata de un recurso propio del sistema braille.2

2 En la seccin 1.3 se recogen los signos de apertura y cierre de parntesis auxiliares, as como una explicacin de cul es su uso.

7


Importancia del contexto en la escritura braille

Los seis puntos que forman el signo generador braille permiten obtener 63 combinaciones de puntos, con los que se construyen los caracteres braille. Con este nmero de combinaciones se ha de dar respuesta a las distintas representaciones en caracteres visuales de materias cientfi cas.

Uno de los recursos de los que nos valemos para ello es el contexto en el que estamos escribiendo, de modo que un carcter braille tiene un signifi cado determinado en la Signografa Bsica y otro en cualquier otra materia.

El asterisco tiene un valor determinado en Matemticas puntos 256 (utilizado, por ejemplo, entre otras cosas, cuando se quiere indicar que un conjunto numrico no tiene incluido el nmero 0), y en la Signografa Bsica otro (puntos 35). Es tambin el caso del signo dos puntos, que en la Signografa Bsica se corresponde con el carcter braille 25, mientras que, cuando es utilizado en la escritura de funciones, se forma con los puntos 46.

Por lo tanto, se ha de ser muy cuidadoso en la utilizacin de signos braille en funcin del contexto en el que estemos escribiendo. Esta circunstancia es ms importante en la transcripcin de libros de texto y de apuntes, cuyo contenido exige la utilizacin tanto de la Signografa Bsica como de los cdigos concretos de cada materia, como en este caso las Matemticas.

9

SIGNOGRAFA MATEMTICASIGNOGRAFA MATEMTICA

1-1

1. Prefi jos alfabticos y signos unifi cadores

1.1. Prefi jos alfabticos

En Matemticas, as como en otras ciencias, se utilizan letras de distintos alfabetos. Con el fi n de indicar a cul de ellos pertenece una letra determinada se utilizan los siguientes prefi jos:

Signo braille Puntos braille Signifi cado

@ 5 prefi jo de letra latina minscula

{ 46 prefi jo de letra latina mayscula

` 4 prefi jo de letra griega minscula

^ 45 prefi jo de letra griega mayscula

_ 6prefi jo de letra gtica y otras variantes tipogrfi cas en minscula

56prefi jo de letra gtica y otras variantes tipogrfi cas en mayscula


Algunas letras de otros alfabetos con significado concreto en Matemticas tienen signos braille especficos (por ejemplo, Alef, que se encuentra en el captulo 6. Teora de conjuntos y lgica, apartado 6.1).

Cundo se utiliza el prefijo de letra y cundo no?

En la escritura braille de expresiones matemticas todas las letras irn provistas del prefijo correspondiente, a excepcin de las latinas minsculas que solo llevarn su prefijo en los siguientes casos:3

a) Las letras de la 1. serie4 cuando las preceda un nmero y pudieran, por lo tanto, confundirse con una cifra.

Ejemplos: 5x = 40b

#ex=#dj@b

b) Delante de cualquier letra latina cruzada, tachada o marcada con puntos en la parte superior, para evitar confusiones con las letras griegas.

Con el carcter formado por el punto 4 se indica que una letra est punteada, y con el formado por los puntos 45 se indica que una letra est tachada.

3 Los casos que estn recogidos en el CMU se han escrito en cursiva (casos a) y b). El caso c), aunque no viene recogido como caso especfico en dicho cdigo, se deduce de su aplicacin. 4 Las letras de la 1. serie, primeras diez letras del alfabeto, se corresponden con las diez cifras de los nmeros arbigos (ver ficha 2-1 de la Signografa Bsica).

1-2


SignificadoSigno braille Puntos braille

4 prefijo de letra punteada` 45 prefijo de letra tachada^

Ambos prefijos son iguales a los de minsculay mayscula griega, respectivamente. Si no se incluyese el prefijo de latina minscula antes de la letra afectada, su lectura correspondera a una letra griega.

La secuencia de escritura braille ser:

1.) Signo de punteado o tachado, segn corresponda. 2.) Prefijo de latina minscula.

3.) Letra afectada.

Ejemplos:5

`@p p minscula punteada `p pi minscula ``p pi minscula punteada

5 En algunos de estos ejemplos se utilizan letras griegas que estn recogidas en la seccin 1.2. Representacin braille del alfabeto griego.

1-3


p ^@p p minscula tachada ^w omega mayscula ^^w omega mayscula tachada ^`b beta minscula tachada

c) Cuando, a continuacin de los signos de mayor que o muy superior a (v. 4.2. Relaciones numricas elementales) sea preciso escribir la letra o. El signo de mayor que se representa con los puntos 135, al igual que la letra o, y el signo de muy superior a se representa repitiendo dos veces los puntos 135.

Signo tinta SignificadoSigno braille Puntos braille

135 oo 135 >o

135-135 >>>>

De este modo la secuencia a>o en braille se escribir:

ao@o

letra o

mayor que

mucho mayor que muy superior a

1-4


La secuencia a>> o en braille se escribir:

aoo@o

En Matemticas, letra latina = letra base

En la escritura braille de textos matemticos, la letra base es la latina. De este modo, cuando una letra latina minscula venga precedida de una letra griega o gtica no ser necesario escribir su prefijo (punto 5).

Ejemplo:

d (sigma griega minscula seguida de d latina minscula) se escribe:

`sd

(sigma minscula seguida de delta minscula) se escribe:

`s`d

1-5


1.2. Representacin braille del alfabeto griego

Las letras griegas son frecuentes en los textos matemticos y cientfi cos en general.

Minsculas Maysculas

à 4-1 alfa â 45-1

45-12

`g 4-1245

45-145

45-15

`z 4-1356

45-156

45-1456

45-24

45-13

45-123

`b 4-12 beta ^b

`d 4-145 delta ^d

è 4-15 psilon ê

` 4-156 eta ^

` 4-1456 theta ^

ì 4-24 iota î

`k 4-13 kappa ^k

`l 4-123 lambda ^l

gamma

zeta

^g

^z

45-1245

45-1356

1-6


`m 4-134

`n 4-1345

`x 4-1346

ò 4-135

`p 4-1234

`r 4-1235

`s 4-234

`t 4-2345

ù 4-136

`f 4-124

` 4-12346

`y 4-13456

`w 4-2456

my ^m 45-134

ny ^n 45-1345

xi ^x 45-1346

micron ô 45-135

pi ^p 45-1234

rho ^r 45-1235

sigma ^s 45-234

tau ^t 45-2345

psilon û 45-136

phi ^f 45-124

ji ^ 45-12346

psi ^y 45-13456

omega ^w 45-2456

1-7


1.3. Signos unificadores y parntesis auxiliares

Signo en tinta SignificadoSigno braille Puntos braille

() 126 ... 345 ( )

12356 ... 23456 [ ]

@l%, 5-123 ... 456-2 { }

@k{, 5-13 ... 46-2

%% 456 ... 456-0d6

parntesis

corchetes

llaves

parntesis angulares

barras (seguidas de semicajetn en blanco)

6 Con 0d se indica que el signo braille que se haya de escribir en ese lugar no ha de tener ni el punto 1, ni el 2, ni el 3 (semicajetn en blanco por la derecha). Si no se cumple esta condicin es necesario dejar un espacio en blanco entre el signo de cierre de barra y el signo siguiente. Ejemplos:

|a,b,c|M %a,b,c%{m |a,b,c|3 %a,b,c%#c

1-8


%l%l 456-123 ... 456-123 barras dobles

@)(, 5-345 ... 126-2 llaves especiales7

} 26 ... 35 parntesis auxiliares

Parntesis auxiliares

Los parntesis auxiliares son un recurso especfico del braille para la escritura de textos matemticos y cientficos. Se utilizan con el fin de limitar expresiones que en la escritura visual aparecen unificadas de diversas maneras, tales como el distinto tamao de subndices y superndices, el distinto nivel respecto a la lnea bsica de la escritura (fracciones), los radicandos, etc.

Ejemplo:

a + b c + d

7 En general, los signos de llaves especiales se utilizarn para representar la apertura y el cierre, respectivamente, de todos aquellos signos unificadores que puedan aparecer en caracteres visuales y no estn recogidos en este apartado.

1-9


Para su escritura de forma lineal es necesario utilizar el recurso de los parntesis auxiliares de este modo:

Expresin a+b encerrada entre parntesis auxiliares. Signo de divisin (v. 4.1. Signos de operaciones aritmticas

elementales). Expresin c+d encerrada entre parntesis auxiliares.

En braille se escribir del siguiente modo (los signos de apertura y cierre de parntesis auxiliares se sealan con una flecha):

a+b}4?c+d}

No ser necesario el uso de parntesis auxiliares cuando se trate de expresiones que estn unificadas, bien por su significado matemtico, bien por signos unificadores tales como parntesis comunes, corchetes, llaves, etc.

Ejemplo:

(a + b) (c + d)

En este caso no seran necesarios, pues cada una de las expresiones est encerrada entre parntesis comunes.

1-10


En braille se transcribir (los signos de abrir y cerrar parntesis se sealan con una flecha):

(a+b)4(c+d)

Los parntesis auxiliares pueden repetirse indefi nidamente sin que haya lugar a equvocos, ya que los signos de cierre se colocan en orden inverso a las aperturas correspondientes (v. 5.1).

Ejemplo:

b a + c+d

e

En braille se transcribe as (el signo de abrir parntesis de cada par se seala con el nmero seguido de una a, y el de cierre seguido de una c):

a+b4?c+d}}4e

1a 2a 2c 1c

1-11


2-1

2. ndices y marcas

2.1. Posiciones

En caracteres visuales, un signo puede estar afectado por letras, nmeros, expresiones, marcas, etc., en alguna de las posiciones que fi guran en el grfi co siguiente:

1 2 3

Z 4 5 6

Posicin 1 Superndice a la izquierda

Posicin 2 Superescrito

Posicin 3 Superndice a la derecha (caso ms habitual, que afecta a los exponentes que indican la potencia de un nmero o expresin)

Posicin 4 Subndice a la izquierda

Posicin 5 Suscrito

Posicin 6 Subndice a la derecha


2.2. Subndices y superndices

Para indicar la posicin en que se encuentra el ndice se utilizan los siguientes signos braille escritos a continuacin del signo base al que afectan:


34

16

_ 6-34

` 4-16

34-34

16-16

subndice a la derecha8

superndice a la derecha

subndice a la izquierda

superndice a la izquierda

ndice en suscrito

ndice en superescrito

8 Cuando las marcas estn situadas a la derecha se suele obviar la referencia al lugar. En los ejemplos incluidos en esta gua donde figuren marcas e ndices no se menciona la referencia al lugar donde se encuentran con respecto al smbolo base cuando estn a la derecha, mencionndose solo cuando estn a la izquierda.

2-2


Ejemplos (en ellos se utiliza la z como letra base y la r como ndice):

zr zr z con subndice r

zr zr z con superndice r

rz z_r z con r en subndice a la izquierda rz z`r z con r en superndice a la izquierda

z r zr z con r suscrita

r z zr z con r superescrita

Si el ndice estuviera formado por varios trminos o por una expresin matemtica, se encerrar entre parntesis auxiliares. Ejemplos (para la escritura de nmeros, ver captulo 3. Nmeros):

z con subndice n-1z5n-#a}zn-1 zi,j z con superndice i,jz5i,j}

2-3


zio z5i#j}

zir-1 z5ir-#a}

zir-1 z5i5r-#a}} n-1z z`5n-#a}

z con subndice i con subndice 0

z con subndice i con subndice r menos 1

z con subndice i con subndice r-1

z con superndice a la izquierda n-1

Anlogamente para cualquier posicin.

2.3.1. Marcas a la derecha en superndice

Las marcas prima, segunda y tercera son de uso frecuente y tienen un signo especfico. En caracteres visuales se representan por una, dos o tres comas respectivamente en posicin de superndice. En braille, cada una de estas comas se escribe con el carcter braille, formado por los puntos 1256.

z Z z prima z Z z segunda z Z z tercera

2-4


El resto de marcas se escriben a continuacin del signo base utilizando su signo propio seguido del punto 3.9 Los principales signos que se utiilizan como marcas en el contexto matemtico son:

Signo tinta SignificadoSigno braille Puntos braille

+.

-.

.

4.

235-3

36-3

356-3

256-3

+

-

*

marca de signo positivo en superndice

marca de signo negativo en superndice

marca de crculo en superndice

marca de asterisco en superndice

A continuacin, se dan ejemplos de su escritura, utilizando la letra z como base:

z con un signo positivo z+ z+.- z con un signo negativo z z-.

9 Cuando el contexto en el que se escribe se corresponde con Qumica, no se utiliza el punto 3, como queda explicado en la signografa para Qumica Lineal (v. 4. Iones y nmeros de oxidacin).

2-5

--


z con crculo10z z. z con asteriscoz* z.

z

La marca se repetir cuantas veces sea necesario, colocando el punto 3 tras la ltima repeticin.

Ejemplos:

+++ z con tres signos positivos z+++. z con dos crculosz z.

z con dos signos negativos z z--.Si la base est afectada por cuatro o ms marcas iguales, suele representarse en caracteres visuales con el nmero de marcas seguido de la marca en cuestin. En braille ser necesario el signo de superndice seguido del nmero, la marca correspondiente y un ltimo carcter con el punto 3.

Ejemplo:

z4+ z con cuatro signos positivos Z#d+.

10 Cuando es utilizado para indicar grados no va seguido del punto (v. 8.2. Medidas angulares).

2-6


2.3.2. Marcas en superescrito y suscrito

Ambas son las nicas marcas que se escriben antes del smbolo base al que afectan.

En el caso particular de las letras marcadas con uno, dos o tres puntos en superescrito, es necesario utilizar el prefijo alfabtico correspondiente, incluso para las letras latinas minsculas, como se ve en los siguientes ejemplos:

..

...

z

z

`{z z con dos signos negativos

```z letra griega zeta minscula con dos puntos

```@z zeta minscula con tres puntos

`cz zeta superrayada

`c`cz zeta con dos rayas horizontales

_-z zeta subrayada

2-7


lnea ondulada sobre la zeta @?z

Si la marca en superescrito afecta a ms de una letra o una expresin que contenga ms de un trmino, estos se encerrarn entre los correspondientes parntesis auxiliares.

raya sobre A y B `c?{a{b}

zeta segunda superrayada z `c?z}

2.3.3. Marcas en otras posiciones

Cuando cualquiera de las marcas anteriores aparezca en otra posicin, ser necesario el uso del indicador braille de posicin:

zeta segunda superrayada z+ z+.z con cuatro signos negativos

4 -z en posicin de superndice a laz`#d-. izquierda

2-8


z segunda en posicin de subndicez_ a la izquierda. z

2.4. Smbolos con varios ndices11

2.4.1. Subndices y superndices simultneos

Cuando un smbolo o letra est afectado simultneamente por un subndice y un superndice, se transcribirn por ese mismo orden: primero el subndice y luego el superndice.

Ejemplos:

z con subndice 4 yz#d#c superndice 3 (al cubo)

z con subndice i,j y superndice z?i,j}#b 2 (al cuadrado)

11 Esta forma de representacin no se aplica en la escritura de los smbolos de algunas entidades matemticas, tales como integral (), sumatorio (), productorio () y otros, ya que no se utilizan los signos que indican el lugar donde est situado cada uno de los ndices. En la seccin correspondiente se dar cuenta de esta circunstancia, explicando cul es la operativa que se sigue en estos casos.

2-9


2.4.2. Caso general

El orden que se ha de seguir en la escritura cuando un smbolo base est afectado por ms de un ndice y/o marca, ser el siguiente:

1. Marcas en superescrito.

2. Smbolo base o portador.

3. ndices literales y numricos a la izquierda.

4. Marcas a la izquierda.

5. Marcas a la derecha.

6. Subndices a la derecha.

7. Superndices a la derecha (o exponente).

Ejemplos:

z#j

z#c

`cz#j}

`c(z#j)#b

z prima con subndice 0

z prima con superndice 3 (al cubo)

z con subndice 0 superrayada

z prima con subndice 0, entre parntesis, superrayada y con superndice 2 (al cuadrado)

Si en esta expresin no figuraran parntesis, para su transcripcin al braille se utilizarn parntesis auxiliares.

2-10


`c?z#j}#b z prima con subndice 0, superrayada y con superndice 2 (al cuadrado)

2.5. ndices desplazados

La transcripcin en braille de los ndices desplazados se efectuar escribiendo, antes del indicador de posicin correspondiente, el signo 56 para los subndices y el signo 45 para los superndices.

Siempre se escribir primero el ndice que est ms cercano al signo base, es decir, el no desplazado.


45 superndices desplazados^ 56 subndices desplazados

En estos dos ejemplos la s est desplazada.

T subndice r, superndicesTr {tr^s desplazado s T superndice r, subndiceTrs {trs desplazado r12

12 Obsvese en este caso que, siguiendo la norma de la escritura de ndices desplazados, se escribe primero el superndice que afecta a la letra base, en lugar del subndice. De no estar desplazado el subndice, el orden sera el inverso (v. 2.4.1. Subndices y superndices simultneos).

2-11


2.6. ndices numricos abreviados

Los subndices numricos colocados a la derecha en la notacin de matrices, determinantes, grficos y en frmulas qumicas,13 pueden representarse en forma abreviada14 utilizando los elementos braille de la quinta serie (nmeros en posicin baja15) sin indicador de posicin ni signo numrico.

Ejemplos (en ellos se indica con una flecha cul es el nmero en posicin baja abreviado):

H2O

{h;{o Frmula del agua

SO4H2

{s{o{h; Frmula del cido sulfrico

13 Para la escritura de textos de Qumica existe una signografa especfi ca llamada Qumica lineal,

en cuyos captulos 2 y 3 se detalla la escritura de ndices que afectan a elementos qumicos y mo

lculas.

14 Se entiende por representacin abreviada de los nmeros cuando, en determinados contextos,

no es necesario escribir el signo de nmero que le precede (v. 7.5.1 en los ejemplos de escritura

de matrices).

15 V. 3.2.2. Nmeros fraccionarios (Recurso de los nmeros en posicin baja).

2-12


3-1

3. Nmeros

3.1. Caracteres rabes o guarismos

Para su escritura se utilizan las diez primeras letras del alfabeto precedidas

del carcter # (puntos 3456), que acta como prefi jo para todas las cifras del nmero.

Signo braille Puntos braille Signifi cado

#a 3456-1 1

#b 3456-12 2

#c 3456-14 3

#d 3456-145 4

#e 3456-15 5

#f 3456-124 6



#g 3456-1245 7

#h 3456-125 8

#i 3456-24 9

#j 3456-245 0

En determinados casos, como la representacin de tablas, matrices, etc y con el fin de que una estructura completa entre en una misma hoja braille (v. 7.5.1), se podr prescindir del signo de nmero, dando cuenta de ello en una Nota de transcripcin braille.

Punto de millar


3 punto de millar.

Segn la norma, en los textos en caracteres visuales los nmeros no deben llevar puntos de millar, si bien se siguen utilizando incorrectamente. Si los nmeros son muy largos, para facilitar su lectura, pueden separarse en grupos de tres cifras utilizando espacios en blanco. Sin embargo, en braille siempre se escribir el punto de millar, figure lo que figure en el original.

3-2


Ejemplos:

1.720 #a.gbj 3.802.197 #c.hjb.aig

Como se puede observar, no es necesario escribir otra vez el signo de nmero despus del punto de millar cada vez que se inicia un perodo de tres cifras.

Ejemplos (se seala con una flecha el signo de punto, que se ha omitido en la escritura en caracteres visuales):

1 720

#a.gbj 3 802 197

#c.hjb.aig

Igualmente, en aquellos casos en que se omite el espacio en caracteres visuales, en braille siempre se escribir el punto.

3-3


Ejemplo:

1000 km = 1000000 m

#a.jjjkm=#a.jjj.jjjm

Aunque no es algo especfico de la escritura de textos matemticos, sino una norma general, es conviene recordar que de esta regla se excepta en braille la escritura de los aos, que, al igual que en caracteres visuales, nunca debe llevar el punto de millar.

Ejemplos:

Ao 2000 {ao #bjjj 2000 unidades #b.jjj unidades

El punto en la escritura de las horas

Cuando se escribe un punto separando la cifra de las horas de la de los minutos es preciso el signo de nmero delante de cada una de las dos cifras.

3-4


Ejemplo:

h. 5.30 hora cinco treinta h#e.#cj

3.2. Nmeros decimales y fraccionarios

3.2.1. Nmeros decimales y peridicos


2 coma decimal16 ,

Ejemplos:

3,2 #c,b 3,1415... #c,adae...

Perodo decimal

Las expresiones decimales peridicas se transcribirn, sea cual fuere su representacin en tinta, utilizando dos comas: la primera transcribe la coma decimal y la segunda preceder a la primera cifra del perodo.

16 El CMU, refirindose a los pases de habla hispana, seala textualmente que en aquellos pases donde en vez de coma decimal se use el punto decimal, se le representar igualmente con el punto 2.

3-5


Ejemplos:

#c,b,ed

#c,,bed

En este ltimo ejemplo, el perodo incluye todas las cifras decimales que componen el nmero, por lo que el punto 2 deber escribirse dos veces seguidas: la primera para indicar que comienza la parte decimal y la segunda para indicar que comienza el perodo.

Al igual que ocurre con el punto de millar, despus de la coma decimal y de la de perodo no es necesario volver a escribir el signo de nmero.

Coma en pares de abscisas-ordenadas

Cuando se separan con una coma los valores numricos de las abscisas y de las ordenadas es preciso escribir el signo de nmero antes de cada cifra.

Ejemplo:

(18,12) (#ah,#ab)

3-6


3.2.2. Nmeros fraccionarios (recurso de los nmeros en posicin baja)

Para la escritura de nmeros que se encuentran en determinados contextos se utilizan los elementos de la 5. serie, la cual se corresponde con las diez primeras letras del alfabeto desplazadas una fila ms abajo, de modo que no se utilizan los puntos 1 y 4.


#, 3456-2 1 en posicin baja

#; 3456-23 2 en posicin baja

#: 3456-25 3 en posicin baja

#4 3456-256 4 en posicin baja



#= 3456-2356 7 en posicin baja


3-7


3456-35 9 en posicin baja#9 3456-356 0 en posicin baja#0

Si el nmero tiene ms de una cifra, ambas se escribirn en posicin baja:

17 en posicin baja17 #,=

Nmeros fraccionarios

Se escribirn siguiendo la secuencia:17

Signo de nmero. Numerador: cifra o cifras del numerador a continuacin del signo de

nmero y escritas en posicin baja. Denominador: cifra o cifras del denominador escritas en posicin normal

de nmero (parte superior del cajetn).

17 No es conveniente esta forma de representacin en las proporciones. Ver el primer ejemplo de 4.2. Relaciones numricas elementales.

3-8


Ejemplo:

#:d tres cuartos

#b#:d dos enteros, tres cuartos

#,;i doce novenos

3.3. Nmeros representados en distintas bases

En caracteres visuales se escriben indicando la base, en subndice, a la derecha del nmero.

En braille se utilizar el signo de subndice formado por los puntos 34.

Ejemplos:

1012 Nmero 101 en base 2#aja#b Nmero 15 en base 6156 #ae#f

3-9


En los sistemas de numeracin de base superior a 10 se hace necesario introducir nuevos smbolos para la representacin de cifras. Para ello se utilizan generalmente letras. En braille cada una de dichas letras llevar el prefijo alfabtico correspondiente y no interrumpir el valor del signo numrico.

Ejemplos:

Nmero 1B4 en base 131B413 #a{bd#ac

3.4. Variantes tipogrficas de los nmeros

Cuando en los nmeros existan variantes tipogrficas o de color que sean significativas, se transcribirn anteponiendo al signo numrico los puntos 56, u otros prefijos, si fuera necesario, de los que se encuentran en el Apndice II, dando siempre cuenta de ello en una Nota a la edicin braille y en la tabla de signos correspondiente.

Ejemplo:

#bd

Si es preciso indicar que una de las cifras de un nmero est escrita con una tipografa especial, se puede utilizar la tercera serie del alfabeto braille, que est integrada por los diez primeros caracteres con los que se forman las cifras ms los puntos 3 y 6.

3-10


Ejemplo:

Nmero 8592 con las cifras impares en tipografa #h.zb distina.

8.592

3.5. Representacin de los principales conjuntos numricos


%n 456-1345

%z 456-1356

%q 456-12345

%R 456-1235

%c 456-14

nmeros naturales

nmeros enteros

nmeros racionales

nmeros reales

nmeros complejos

Por analoga, se formarn as otros conjuntos de nmeros cuyos signos no tienen reconocida una representacin oficial, pero que en ocasiones aparecen en libros de texto o en apuntes y es necesario representar. Sera el caso, entre otros, de:

3-11


Signo braille Puntos braille Signo en tinta Significado

%i 456-24

%p 456-1234

%d 456-145

II nmeros irracionales

nmeros primos

nmeros decimales

Ni su representacin en caracteres visuales, ni su correspondiente en caracteres braille estn reconocidas oficialmente. En la confeccin de textos y apuntes en braille se ha de dar cuenta de su uso en una Nota a la edicin braille o una Nota de transcripcin braille, adems de su inclusin en la tabla de signos correspondiente, ya que pudieran coincidir con otros signos. Por ejemplo, el Conjunto de los Nmeros Irracionales (I) tiene la misma representacin braille que el signo de mayor tamao que representa la disyuncin v. 6.2. Lgica, y el de los Nmeros decimales (D) es igual que el utilizado para la derivada parcial.

3.6. Ordinales

Se forman con los signos de la quinta serie (nmeros en posicin baja, v. 3.2.2) precedidos del signo numrico y seguidos de las letras a u o.

3-12


Ejemplo:

#,o 1.

#;o 2.

#,0a 10., etc.

Los ordinales primer y tercer se representan:

1.er#,r 3.er#:r

3.7. Nmeros romanos

Aunque los nmeros romanos se representan en tinta con letras maysculas,

para su transcripcin en braille bastar con utilizar el prefijo { (46) solamente al comienzo del nmero.

El trazo horizontal que multiplica por mil la parte cubierta del nmero y el doble trazo que multiplica por un milln, se transcribirn usando 25 y 25-25, respectivamente, detrs de la ltima letra afectada.

3-13


Ejemplo:

(6 040 521)

{vi::xl:dxxi

3.8. Ejemplos de transcripcin de medidas

8 m #hm Ocho metros

4 dm #d@dm Cuatro decmetros

12 cm #ab@cm Doce centmetros

En estos dos ltimos ejemplos es necesario anteponer el prefijo de latina minscula (punto 5) para indicar que d en un caso y c en el otro no son cifras sino letras.

7 mm #gmm Siete milmetros

9 km #ikm Nueve kilmetros

Un kilmetro cuadrado 1 km2 #akm#b

3-14


Cinco metros cuadrados 5 m2 #em#b

Obsrvese en estos dos ltimos casos el uso del signo de exponente (v. 2.2. Subndices y superndices).

10 l #ajl Diez litros

3 dl #c@dl Tres decilitros

1 cl #a@cl Un centilitro

2 m3 #bm#c Dos metros cbicos

3 kg #ckg Tres kilogramos

11 g #aa@g Once gramos

17 #ag0 Diecisiete grados (angulares o de temperatura)

3-15


Dos grados, cuatro minutos 2 4 #B0#D (angulares)

Dos horas 2 h #b@h

3 hs 9 min #c@hs#imin Tres horas nueve minutos

Dos horas treinta 2 h 30 #b@h#cj

Hora cinco treinta h. 5.30 h.#e.#cj

3-16

49


4-1

4. Operaciones aritmticas bsicas y relaciones numricas elementales

4.1. Signos de operaciones aritmticas elementales

Signo braille Puntos braille Signo en tinta Signifi cado

+ 235 +signo de sumapositivo

- 36 -signo de restanegativo

+:- 235-25-36 ms o menos

8 236 xaspas de multiplicacin

. 3 . punto de multiplicacin

4 256:

/

divisin


Ejemplos:

6+2 #f+#b seis ms dos

6-2 #f-#b seis menos dos

62 #f+:-#b seis ms o menos dos

6x2 #f*#b seis por dos

6.2 #f.#b seis por dos

7(6-2) #g(#f-#b) siete por seis menos dos

6:2 #f4#b seis divido por dos

4-2


4.2. Relaciones numricas elementales

Signo braille Puntos braille Signo en tinta Significado

2356=

4-2356`=

2356-2356==

56-23;

246<

246-246

igual a

aproximadamente igual a

es congruente con es idntico a

como

menor que

muy inferior a mucho menor que

menor o igual que

mayor que

muy superior a mucho mayor que

mayor o igual que

4-3


Ejemplos:

6 8 Seis dividido por

tres es como ocho

3 4 #f4#c;#h4#d dividido por cuatro18

Menos dos es-20,001 mucho mayor que #j,aOo#j,jja una milsima

4.3. Relaciones negativas

Se antepone el elemento ^ (45) al signo que denota la relacin cuya validez se niega.

18 Como se puede observar en este ejemplo, en las proporciones es conveniente no utilizar el sistema reducido de representacin de fracciones.

4-4


Los signos ms comunes de relaciones negativas son:


45-2356 no es igual a^= 45-135 no es mayor que ^> 45-246 no es menor que^<

Ejemplo:

Menos tres no es mayor que -3-2 -#c^>-#b menos dos 4.4. Otras representaciones aritmticas


% 456-356 % tanto por ciento

% 456-356-356 tanto por mil

` 4 . mltiplo de19 19 En braille, el signo se escribe antes del nmero o letra correspondiente, mientras que en caracteres visuales, se escribe sobre el nmero o letra correspondiente. Es el mismo caso que el ya visto de la letra punteada.

4-5


456-0d divisor de|% 456-256 divisor primo%4

valor absoluto de 46-36 { la diferencia

Ejemplos:

5%

7

4|8

#e% 5 por ciento

#g% 7 por mil

`#E Mltiplo de 5

#aj=`#e 10 es mltiplo de 5

`{n Mltiplo de n

#d%#h 4 divide a 8

4-6


A|B A divide a B20{a%{b

2 es divisor primo de 82 8 #b%4#h 3-:5=l3-5l=2 valor absoluto de la diferencia de 3 menos 5

#c{-#e=%#c-#e%=#b

20 Obsrvese en este ejemplo que en braille no es necesario dejar el espacio en blanco antes de B, ya que el signo de mayscula braille crea un semicajetn libre a la derecha del signo matemtico, al no utilizar ninguno de los puntos de la fila izquierda de su cajetn (puntos 1, 2 y 3).

4-7

57


5-1

5. Fracciones, potencias y races

5.1. Fracciones generales21


4 256 raya de fraccin

Ejemplos:

ca

a4c fraccin de numerador a y denominador c

cb

+a a6b4c a ms la fraccin de b sobre c

xca a4c8x o

a4cx

fraccin del numerador a y denominador c multiplicada por x

En los siguientes ejemplos es necesario utilizar los parntesis auxiliares(v. 1.3) para determinar el denominador.

21 Para fracciones numricas ver 3.2.2, donde se encuentra la forma correcta de escribir nme-ros fraccionarios.


x.c a

a4?c.x} fraccin de numerador a y denominador c por x

c b + a a4b}4c

fraccin de numerador a ms b y denominador c

+ a b a6b4c}4?d6e}

e + d c fraccin cuyo numerador es a ms la fraccin de b sobre c y

cuyo denominador es d ms e

y + x d + c b + a ?a4b}4?c6d}}4?x6y}

fraccin cuyo numerador es a+b sobre c+d y cuyo denominador es x+y

5.2. Potencias

Dado que, desde el punto de vista grfico, el exponente de una potencia es un superndice, se escribir a continuacin de la base precedido por el indicador braille correspondiente (puntos 16) v. 2.2.

5-2


Ejemplos:

x2 x#b x al cuadrado

xn xn x elevado a la n

x-1 x-#a x elevado a -1

x x#,b x elevado a

xa+b x?a+b} X elevado a a+b

x-(a+b) x-(a+b) X elevado a (a+b)

5.3. Races


124615621 signo de raz 1246-156 raz cuadrada

21 El elemento 156 es utilizado tambin en la escritura braille de smbolos matemticos tales como Unin (), Interseccin (), Complementario de un conjunto (), Lmite (lim.), Integral (), Sumatorio (), Productorio () o Logaritmo (log.), con el fin de delimitar la informacin que los acompaa en superescrito, suscrito, subndice o superndice.

5-3

n


El ndice de raz se coloca entre los dos elementos braille que componen el signo, y a continuacin de este se escribe el radicando. En el caso de la raz cuadrada se omite el ndice por analoga con la escritura en tinta, y se suprime el espacio entre los dos elementos braille del signo de raz.

Ejemplos:

x x

3 x x#c 4

#4h8

3 x #CX

n a+b na+b}

an + b na+b

Raz cuadrada de x

Raz cuadrada de x al cubo

Raz cuadrada de cuatro octavos

Raz cbica de x

Raz ensima de a ms b

Raz ensima de a, ms b

5-4


1-n m - 1 n-#a?m-#a} Raz de ndice n-1 de m-1

1 Raz de ndice 1 dividido por n+1 de m-1 1n+ m 1 #a4?n+#a}?m-#a}

5.4. Ejemplos de transcripcin de expresiones algebricas

3a #c@a

3a+5x #c@a6#ex

7x3-2x2+x+1 #gx#c-#bx#b+x+#a

x2 + y2 ?x#b+y#b}

5-5


a3 3 2 9a + #c?#c@a#b-a}+#i

1x

1x 2

2

-

+ x#b+#a}4?x#b+#a}

x 5+a x?a+#e}

5-6

63


6-1

6. Teora de conjuntos y lgica

6.1. Representaciones elementales


@l%, 5-123456-2 { }llaves de conjunto

_, 6-2 | / : tal que

= 2356 = igual a22

== 2356-2356 es idntico a

%j 456-245 conjunto vaco

%u 456-136 conjunto o clase universal%) 456-345 unin

\) 123456-345 Uunin (cuando es de mayor tamao)

% 456-156 interseccin

22 Se incluyen este signo y el siguiente, que ya han sido incluidos en otras secciones, por ser de uso habitual en Teora de conjuntos.


\ 123456-156

(, 126-2

@) 5-345

(. 126-3

_) 6-345

(; 126-23

) 56-345

@. 5-3

4 56-256

\

interseccin (cuando es de mayor tamao)

es un elemento de, pertenece a

contiene como elemento a

incluido estrictamente en

incluye estrictamente

incluido en (sentido amplio)

contiene a (sentido amplio)

diferencia de conjuntos

diferencia simtrica o suma booleana

6-2


producto46-236 X{8 cartesiano Las relaciones negativas se escriben anteponiendo el signo 45.

^(, 45-126-2 ^) 45-56-345 @?. 5-26-3

_, 6-2 /

#k 3456-13 # #k{a 3456-13-46-1 #A # 3456-1256

_ 6-1256

4:6 256-25-235

@?; 5-26-23

no pertenece a

no incluye a

equivale a

barra oblicua de conjunto cociente

cardinal de

cardinal de a

infinito

alef cardinales transfi nitos (1. letra del alfabeto hebreo)

coordinable con

coordinable con (v. 7.6)

6-3


En caracteres visuales se utilizan varias representaciones para indicar Complementario de un conjunto. En braille se respetar aquella que figure en el original. Las alternativas posibles para representar Complementario de A son:

c{a 56-14-46-1 A

`c{a 4-14-46-1 A

{a 46-1-1256 A

complementario de A

complementario de A23

complementario de A

Cuando es preciso aadir una condicin al signo de Complementario de un conjunto, en caracteres visuales se utiliza el primero de los citados anteriormente con la condicin en subndice a la derecha. En braille, esta se escribir entre el signo 56-14 y el elemento 156, tal y como figura en el primero de los ejemplos que viene a continuacin.

Complementario de N en Mc{m{n MN

23 Para la forma de representacin de superrayada y prima, alternativa siguiente, vanse las secciones 2.3.2 y 2.3.1, respectivamente.

6-4


Ejemplos:

A={x,y,z} A es igual al conjunto cuyos elementos son x, y, z.

{a=@lx,y,z%,

Conjunto A igual a aquellos x tales que x son menores que 6

A={x|x


24Unin para i perteneciente a I de los conjuntos Ai

\)i(,{i{ai

interseccin para i perteneciente a I de los conjuntos Ai

\i(,{i{ai

A menos BA\B {a@.{b

Diferencia simtrica o suma booleanaA B {a4{b

Conjunto cociente definido por la

A / ~ {a_,@?. relacin ~

x no pertenece al conjunto de los nmeros racionales x x^(,%q

%p^)%n El conjunto de los nmeros primos no

incluye al conjunto de los nmeros

naturales

24 En estos dos ejemplos se puede observar la utilizacin del elemento 156. Entre el signo de Unin (123456-345) y el elemento 156 se escribe, en suscrito, la informacin que le afecta.

6-6



6.2. Lgica

46-3{.

46-26{?

46-23{;

45-46-3^{. 45-46-26^{

456-234%s

456-126%(

456-25%: 56-2,

456-26%

!

cuantifi cador universal: para todo cuantifi cador existencial: existe por lo menos un elemento cuantifi cador unitario: existe un nico elemento

no para todo

no existe

proposicin verdadera (suele usarse tambin la letra v) proposicin falsa (suele usarse tambin la letra f)

tautologa: proposicin universalmente vlida

conjuncin: y

conjuncin (signo de mayor tamao)

6-7


Si en caracteres visuales este signo se encuentra sobre una letra, en braille se transcribir antes de la letra.

^ x + 0(x = )x todos los x verifican que 0+x=x

%?x(#j6x=x)

. 56-3

%i 456-24

_. 6-3

:o 25-135

: 246-25

:o 246-25-135

disyuncin o

disyuncin cuando es signo de mayor tamao

negacin lgica: no

implica: si entonces

es implicado por

doble implicacin s y solo s

6-8


6.3. Otras notaciones

Conjuntos


5-246 anterior a@ 56-246 anterior o simultneo a 135-2 posterior ao, 135-23 posterior o simultneo ao; 2356-23 relacin directa=;

56-2356 relacin inversa =

56-2356-23 relacin recproca=;

6-9


Lgica


0 56-356

_ 0-6-16-0

` 0-4-34-0

; 0-23456-23-0

disyuncin excluyente

por lo tanto (precedido y seguido de cajetn en blanco)

puesto que (precedido y seguido de cajetn en blanco)

segn, de acuerdo con (precedido y seguido de espacio en blanco)

6-10


6.4. Ejemplos

A B A = U I

U

B

`C?{A%){B}=`C{A%`C{B

El complemento de A U B es igual a la interseccin del complemento de A y el complemento de B.

(AVA)

%:({a._.{a)

Tautologa: A o no A.

ABx,xAxB

{a(;{b:o{.x,x(,{a:ox(,{b

A incluido en B si y solo si para todo x, xA implica x pertenece a B.

6-11


(A \ B) (B \ A) =

({a@.{b)%({b@.{a)=%j

La interseccin de A\B con B\A es igual al conjunto vaco.

x/x

{x(,%z_,x^(@%n

Existe x perteneciente al conjunto de los nmeros enteros tal que x no pertenece al conjunto de los nmeros naturales.

yx:x2=y

{.y{5x_,x#b=y

Para todo y existe x, tal que x al cuadrado es igual a y.

!x|x=3 8

{;x_,x=#c#h

Existe un nico x tal que x es igual a la raz cbica de 8.

6-12

=0


2

^{5x_,x=#b

No existe x tal que x igual a la raz cuadrada de dos.

^{.x_,x#b>#a

No para todo x, x al cuadrado es mayor que uno.

{ }Vi ii=0 @lvi%,i=#j:# Conjunto de variable vi desde i igual a cero hasta infi nito.

25

25 Como se puede ver en caracteres visuales, en este ejemplo el signo de cierre de llave tiene a su derecha un subndice (i=0) y un superndice (el signo de infinito, que es ). En braille se escribe siguiendo este orden:

signo de cierre de llave, subndice que afecta al cierre de llave, carcter braille 25, superndice que afecta al cierre de llave, carcter braille 156.

6-13


PQPQ

{p:o{q==_.{p.{q

P implica Q es idntico a negacin de P disyuncin Q.

PQ(PQ)(QP)

{p0{q({p,_.{q). 26

.({q_.{P)

P disyuncin excluyente Q implica P conjuncin no Q disyuncin Q conjuncin no P.

26 Vase cmo en este ejemplo es preciso repetir el signo de disyuncin en el rengln siguiente.

6-14

77


7-1

7. Aplicaciones (funciones)

7.1. Notaciones elementales

Esta seccin recoge ejemplos del modo en que se escriben las notaciones elementales de funciones. En ellos se utilizan los signos de la escritura bsica adems de algunos signos especfi cos para la representacin de funciones que se relacionan a continuacin.


33, 25-25-2

fl echa a la derecha (se utiliza para correspondencia o aplicacin entre conjuntos o elementos)

@::, 5-25-25-2fl echa a izquierda y derecha (se utiliza para aplicacin biyectiva)

f(x) 124-126-1346-345 (X) funcin de x2727 En caracteres visuales el signo ofi cial de funcin es (letra f con gancho). En muchas ocasio-nes, por simplicidad, se utiliza la letra f. En braille, siempre se escribir con el carcter 124 que representa la letra f, y nunca utilizando el prefi jo de tipografi a especial (v. 1.1. Prefi jos alfabti-cos), aunque en caracteres visuales fi gure el signo .


f 124-346

== 2356-2356

_; 6-23

{ 46

-1

:

forma abreviada de -128representar

idntico a

composicin de funciones

dos puntos (cuando se emplea en funciones)

Escritura de pares ordenados

En caracteres visuales los pares ordenados se escriben entre parntesis, correspondiendo el primer dato al valor de las abscisas (x) y el segundo al de las ordenadas (y). La escritura correcta exige que entre ambos datos haya una coma.

(x,y)

En braille no se dejar espacio entre la coma y el valor de las ordenadas (y).

28 Esta forma de representacin abreviada es muy til cuando se manejan funciones. La otra forma de escritura, tambin posible y permitida, es:

f-#a Como se puede observar, la forma abreviada supone un ahorro de tres cajetines braille.

7-2


(x,y)

Si en el original hubiera un espacio en blanco entre la coma y el valor de la ordenada (y), en braille no es necesario dejar ese espacio.

(x, y) (x,y) Si ambos valores fueran numricos, ser preciso escribir el signo de nmero antes de cada uno de ellos, con el fin de evitar la posible confusin con un nmero decimal.

(7,5) (#g,#e) Ejemplos:

Aplicacin de A en B.

:AB f{{a::,{b Ntese que para escribir los dos puntos se utiliza el signo 46

AB {a@::,{b Aplicacin biyectiva de A en B

x(x) X::,f(x) El elemento x se aplica en el elemento (x)

(x,y) f(x,y) Funcin y

de x en

7-3


(X1,X2) (x#a,x#b) Par ordenado x1,x2

0 es idntico a cerof==#j

Aplicacin compuesta de g con aplicada a x es igual a deg(x)=(g(x)) g de x

f_;g(x)=f(g(x))

Cuando la flecha de funcin est afectada por un ndice, este se escribe en braille entre los dos elementos 25 que contiene la flecha:

A Bf {a:f:,{b Aplicacin de A en B

B 1f A {b:f-#a:,{a

Aplicacin inversa de B en A ( a la -1 de B en A)

Forma abreviada de

{b:f:,{a la representacin anterior

7-4


Intervalos

Se utilizan los signos de parntesis comunes o de corchetes al igual que en caracteres visuales.

[a,b] a,b Intervalo cerrado de extremos a,b

]a,b[ ]a,b[ Intervalo abierto de extremos a,b

(a,b) (a,b) Intervalo abierto de extremos a,b

[a,b[ a,b[

Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha

[a,b) a,b) Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha

]a,b] a,b

Intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha

(a,b] (a,b Intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha

7-5


7.2. Lmites

El signo de lmite en braille siempre se escribe con el punto de abreviatura aunque no figure en el original en caracteres visuales.


lim. 123-24-134-3 lim lim. lmite

Ejemplos:

lim `clim. lmite superior

lim _-lim. lmite inferior

Si el signo lim. tiene en caracteres visuales informacin suscrita, en braille esta se escribir entre el signo de lmite y el carcter 156.

x tiende a cXC x:,c

lmite cuando x tiende a clim.x:,c

7-6


lmite cuando x tiendelim.x%a#j creciendo a 029

lmite cuando x tienelim.x%.#j decreciendo a 0

7.3. Derivadas


145 d d utilizada en derivadas d smbolo utilizado en456-145%d derivadas parciales

Ejemplos:

derivada respecto de x d4?dx}

derivada de respecto de x df}4?dx}

dn4?dxn} ensima derivada respecto de x

29 Los signos de flecha arriba y flecha abajo se encuentran en el Apndice I.

7-7


Derivada ensima de respecto de x n veces

dnf}4?dxn}

derivada parcial respecto %d4?%dx} de x

derivada parcial de

%dn4?%dxn}

%df}4?%dx}

ensima derivada parcial respecto de x

derivada parcial ensima de respecto de x n veces

%dnf}4?%dxn} derivada parcial segunda respecto de x y de y

%d#b+?%dx%dy}

derivada parcial segunda de respecto de x y de y

%d#b@f}+?%dx%dy}

7-8


derivada parcial de orden m+n, respecto de x m veces y respecto de y n veces

%d?m6n}4?%dxm%dyn} derivada parcial de orden m+n de , respecto de x m veces y respecto de y n veces

%d?m+n}f}4?%dxm%dyn}

Nota Existen otras notaciones muy usuales para las funciones derivadas, las cuales no se transcriben por ajustarse a las normas generales.

Operadores nabla y laplaciano


4-12456 operador nabla ` operador 456-236 %8 laplaciano

7-9


7.4. Integrales


0

@;

12346-156

12346-12346-156

12346-12346-12346-156

12346-356-156

5-23

integral indefinida

integral doble

integral triple

integral curvilnea

producto de convolucin

La representacin en caracteres visuales de integral definida se caracteriza porque el signo de integral est acompaado por un subndice y un superndice, ambos a la derecha del signo. Esta informacin se escribir en braille entre los dos caracteres que forman el signo de integral, escribiendo en primer lugar el subndice y a continuacin el superndice, separados ambos por el carcter braille 25.30

30 Este mismo recurso se utiliza para la escritura de (sumatorio) y (productorio), que se encuentran en 7.5.1.

7-10


a:b Integral definida entre a y b

`ca:b Integral superior definidia entre a y b

_-a:b Integral inferior defi nida entre a y b

Cuando la Integral curvilnea tiene la curva definida, esta informacin tambin se escribir dentro del signo braille correspondiente.

Integral curvilnea a lo largo de la curva C0{c

Ejemplo:

x2dx x#b@dx

7-11

SLim nn

Lmite de sn cuando n tiende a infi nito

Lim.n:,#sn

n

Suma desde i igual a 1 hasta n1


7.5. Notaciones sobre funciones determinadas

7.5.1. Sucesiones, progresiones y matrices


46-25 {: 46-25-13 {:k

45-3 !^. 46-126345{() ( )

45-234 ^S

45-1234 ^P

progresin aritmtica

progresin geomtrica

factorial

parntesis de coeficiente binmico (parntesis ms grande que el normal)

sumatorio

productorio

Ejemplos:

S Sucesin de trmino general sn@)sn(,n Sucesin de trmino general sn(Sn) (sn)

^si=#a:n

7-12


S i

Lmite de s cuando n tiende a infinito n

Lim.n:,#sn

Suma desde i igual a 1 hasta n31

^si=#a:n

Suma desde i igual 1 hasta n, de los si

^si=#a:nsi

Producto desde i igual a 1 hasta n

^pi=#a:n

Producto desde i=1 hasta n, de los si

^pi=#a:nsi

31 El texto que figure en suscrito y/o superescrito, que afecte tanto al signo de sumatorio como al de productorio, se escribe a continuacin del signo correspondiente siguiendo esta estructura:

texto en suscrito, carcter braille 25, texto en superescrito, carcter braille 156.

7-13


n! n^. Factorial de n

{(n:r) Coeficiente binmico n sobre r

Matrices y determinantes

Las matrices y los determinantes se transcribirn respetando la posicin que tienen los elementos en la escritura visual.

P m,n = p1,1 p1,2 p1,3 . p1,n p2,1 p2,2 p2,3 . p2,n . . . . pm,1 pm,2 pm,3 . pm,n

Se transcribirn utilizando la notacin general. Sin embargo, por razones de espacio, se podr utilizar la notacin abreviada, consistente en no utilizar el signo de nmero y escribir estos en posicin baja (v. 2.6).

En el siguiente ejemplo se ha utilizado la notacin abreviada.

{p?m,n}=%lp,,p,;P,:...p,n%l %lp;,p;;P;:...p;n%l %l...................%l %lpm,pm;Pm:...pmn%l

7-14

l


Nota En ocasiones, las matrices estn enmarcadas por parntesis angulares de mayor tamao que abarcan en su amplitud toda la matriz. En esos casos es conveniente utilizar los siguientes signos para disear los parntesis en braille:


s

(

%

)

234

123

126

156

456

345

Esquina superior del signo de abrir parntesis (solo para 1. lnea braille)

borde lateral del signo de abrir parntesis (todas las lneas entre la 1. y la ltima)

Esquina inferior del signo de abrir parntesis (solo para la ltima lnea braille)

Esquina superior del signo de cerrar parntesis (solo para la 1. lnea braille)

borde lateral del signo de cerrar parntesis (todas las lneas entre la 1. y la ltima)

esquina inferior del signo de cerrar parntesis (solo para la ltima lnea braille)

7-15


Ejemplo:32

1 2 3 s#a#b#c 4 5 6 l#d#e#f%7 8 9

(#g#h#i)

7.5.2. Funciones logartmicas

Al igual que ocurre con los lmites (7.2), en la escritura de las funciones logartmicas se utilizar el punto abreviativo (punto 3) aparezca o no as en el original, y no se utilizar el signo de mayscula. A continuacin del punto 3, sin espacio en blanco, se escribir la expresin afectada por el logaritmo.


123-135-1245-log.x 3-1346

1-1345-2345-24-123-135-antilog.x 1245-3-1346

Log x logaritmolog x

Antilog x antilogaritmoantilog x

32 Como se puede observar, en este ejemplo no se utiliza la forma abreviada de representacin de matrices.

7-16


alog.x

colog.x

ln.x

aln.

1-123-135-1245-3-1346

14-135-123-135-1245-3-

1346

123-1345-3-1346

1-123-1345-3

Alog x alog x antilogaritmo

Colog colog cologaritmo

logaritmo Ln x natural o

neperiano de x

Aln antilogaritmo aln neperiano

Cuando el logaritmo neperiano se escribe solo con L, en braille se escribir con el signo de mayscula y sin el punto 3 de abreviatura:

logaritmo{lx 46-123-1346 natural o

neperiano de X L x

Cuando aparezca indicada la base se utilizar el elemento 156.

logaritmo en base b de xLogbx log.bx

7-17


Caractersticas negativas de los logaritmos decimales

Se utilizar la tercera serie33 del alfabeto braille anteponindole el signo numrico.34

Log decimal de caracterstica -1 y mantisa 345345,1 #u,cde

Log decimal de caracterstica -28 #v,ibh y mantisa 982

Ejemplos:

Logaritmo de x/yLog x Log.?x4y} y

Logaritmo de Log 1 =-2 una centsima esLog.#,ajj=-#b100 igual a -2

Log4 64 Logaritmo en

Log.#d#fd base cuatro de 64

33 La tercera serie se forma con los signos de la primera serie (10 primeras letras) aadiendo los puntos 3 y 6.

34 Esta distincin, incorporando a la correspondiente cifra los puntos 3 y 6, se utiliza en ocasiones

para indicar una tipografa o color diferentes respecto al resto de cifras. De tal circunstancia se ha

de dar informacin al lector.

7-18


7.5.3. Funciones trigonomtricas y sus inversas

Se respetar la representacin que figure en el original, utilizando siempre el punto 3 a continuacin de la abreviatura de funcin trigonomtrica correspondiente.

El CMU recoge los siguientes signos para funciones trigonomtricas y sus inversas.

SEN. Seno

cos. Coseno

tg. Tangente

cotg. Cotangente

sec. Secante

cosec. Cosecante

arc.sen. Arco seno

arc.cos. Arco coseno

arc.tg. Arco tangente

7-19


Arco contangente

arc.sec.

arc.cotg.

Arco secante

arc.cosec. Arco cosecante

No obstante, existen otras abreviaturas, cada vez ms utilizadas por ser habituales en calculadoras cientficas, programas de edicin, hojas de clculo, etc., que se respetarn si as aparecen en el original. Es el caso, entre otras de:

SiN. sin seno

tan. tan tangente

csc. csc cosecante

asin. asin arco seno

Ejemplo:

sen(a+b) Sen.(a+b)

Seno de (a+b)

Sen a+b Sen.a+b

Seno de a+b

7-20


Tan.(à)=sin.(à)4 tan()=

4Cos.(à) Tangente de alfa es igual a seno de alfa dividido por coseno de alfa

7.5.4. Funciones hiperblicas y sus inversas

Seno hiperblicoSH.

Coseno hiperblicoch.

Tangente hiperblica th.

Cotangente hiperblicacth.

Secante hiperblicasech.

Cosecante hiperblicacosech.

Argumento del seno hiperblicoarg.sh.

Argumento del coseno hiperblicoarg.ch.

7-21


arg.th. Argumento de la tangente hiperblica

arg.cth. Argumento de la cotangente hiperblica

arg.sech. Argumento de la secante hiperblica

arg.cosech. Argumento de la cosecante hiperblica

Al igual que para las funciones trigonomtricas y sus inversas, se respetar la representacin que figure en el original, utilizando siempre el punto 3 a continuacin de la abreviatura de funcin hiperblica correspondiente.

7.6. Smbolos usuales con signifi cados diversos

En distintas reas de la matemtica se utilizan ciertos smbolos para representar algunas relaciones. Cada uno de estos smbolos puede, segn los autores, tener significados diversos. Asimismo, una relacin determinada puede ser representada de distintas formas.

La lista siguiente incluye smbolos comnmente utilizados para representar relaciones tales como: equivalente a, coordinable con, aproximadamente igual a, isomorfo a, homeomorfo a, congruente con (en Geometra), asintticamente igual a, etc.

7-22


Signo en tintaSigno braille Puntos braille

@?. 5-26-3

`?. 4-26-3

_?. 6-26-3

{. 46-26-3

@?; 5-26-23

?. 56-26-3

@?= 5-26-2356

=?. 2356-26-3

@, 5-1256-2

@; 5-1256-23

, 56-1256-2

Si fuera preciso dar una correspondencia braille a otros smbolos se utilizarn con preferencia los que se recogen en el Apndice II, dando cuenta de ello en una Nota de transcripcin braille.

7-23


7.7. Ejemplos ilustrativos

x sen )x( f =

2sen 1 + x

f(x)=sen.x4?sen.#bx+

+#a}35

1 + r log

r 1- log.??r+#a}4?r-#a}}

log log.(r6#a}4?r-#a})

35 Se puede comprobar en este ejemplo cmo se repite el signo del operador aritmtico + en el rengln siguiente. La misma circunstancia se da en los dos ltimos ejemplos.

7-24


#a:#dx#b@dx=

=#,cx#c#a:#d=#ba36

i = 1 + 2 + 4 = 7 4 i 1

3 i

^s#a=i


8-1

8. Geometra

8.1. Notaciones elementales, vectores y fi guras

Vectores y rectas

Los siguientes signos se escriben en caraceres visuales sobre el smbolo del vector. En braille, se escribirn antes del smbolo del vector (ver ejemplos).


@:, 5-25-2 recta

:, 25-2vector positivosemirrecta

@: 5-25 vector opuesto

_ 6-156vector axial positivo

`) 4-345vector axial negativo

`c 4-14 segmento


Ejemplos:

AB Recta AB @:,?{a{b}

Vector positivo z Z :,z

Semirecta de origen AAB :,?{a{b} que contiene al punto B

Z Vector opuesto z @:z

[:,{a{b] o

[AB] Vector libre

[:,?{a{b}

%:,?{a{b}% o

|AB| Mdulo del vector AB

%:,{a{b%

8-2


%%:,?{a{b}%% AB o Norma del vector AB

%%:,{a{b%%

_`a Vector axial positivo alfa

Vector axial opuesto alfa `)`a

Segmento AB`c?{a{b}

Arcos y ngulos


arco (cuando

) 26-345 est escrito antes del ngulo)

arco (cuando est escrito

`: 4-25 encima del ngulo)

8-3


^:

%-

{

{)

Ejemplos:

45-25

456-36

46-156

46-345

ngulo

ngulo recto

ngulo orientado positivo

ngulo orientado negativo

Z `:z Arco z

AB `:?{a{b} Arco AB

ABC ){a{b{c Arco correspodiente al ngulo ABC

Z ^:z ngulo z

^:?{a{b{c} ngulo ABCABC

8-4


Figuras geomtricas


_ 6-23456

%8 456-236

%y 456-13456

Y 12346-13456

o 12346-135

o 246-135

} 26-35

tringulo

tringulo rectngulo

cuadrado

rectngulo

polgono

crculo

curva geomtrica

8-5


NOTA Las letras que describen los puntos de las figuras no llevarn parntesis auxiliares y se escribirn inmediatamente a continuacin de la figura, sin dejar cajetn en blanco.

Ejemplos:

ABC _{a{b{c Tringulo de vrtices A, B, C

, a,b,c,d yabcd Rectngulo de vrtices a, b, c, d

Z }Z Curva geomtrica Z

ABC }{a{b{c Curva geomtrica ABC

Pr o{pr circunferencia de centro P y radio r

8-6

0


8.2. Medidas angulares


g

rad.

356

16-1245

1256

16-1256

1256-1256

16-1256-1256

1235-1-145-3 rad.

grado sexagesimal

grados centesimales37

minuto sexagesimal38

minuto centesimal

segundo sexagesimal

segundo centesimal

radin39

37 Las medidas angulares en grados centesimales siempre llevan el carcter 16, que se corresponde

con el signo de superndice.

38 Al aadir el carcter 16 a minutos y segundos, como se puede ver ms abajo, se distinguen los

minutos y segundos centesimales de los respectivos sexagesimales.

39 Siempre debe ir seguido del punto 3, aunque en el original no figure ese punto.

8-7


Ejemplos:

5 #e0

7 #g 1 #a 571 #e0#g#a

6g #fg 2 #b 9 #i

8.3. Relaciones y operaciones

cinco grados sexagesimales (tambin se utiliza para grados de temperatura)

siete minutos sexagesimales

un segundo sexagesimal

cinco grados, siete minutos, un segundo

seis grados centesimales

dos minutos centesimales

nueve segundos centesimales


456-123 es paralelo a %l

8-8


%l= 456-123-2356

#. 3456-3

?; 56-26-23

@?. 5-26-3

% 456-1246

% 456-12456

`+ 4-235

`- 4-36

paralelo e igual a

perpendicular a ortogonal a

homlogo a semejante a

equivale a (se utiliza para relacionar fi guras de la misma rea)

proyectividad

perspectividad

suma de vectores

resta de vectores

8-9


Siempre que no haya posibilidad de confusin, estos dos ltimos signos (suma y resta de vectores) suelen reemplazarse por los signos comunes de suma y resta.

`8 4-236

, 56-2


Ejemplos:

Complemento{s#. ortogonal de S

Producto escalar o:,x.:,y interno x por y

@k:,x,:,y{, Producto escalar o interno x por y

8-11


I-1

Apndice I

Algunas combinaciones de fl echas, trazos y puntos40

Signo braille Puntos braille Signo en tinta

_:z 6-25-1356 Z:.z 25-3-1356 Z

_:.z 6-25-3-1356 Z

_:,z 6-25-2-1356 Z

@:.z 5-25-3-1356 Z

@:,z 5-25-2-1356 Z

%a 456-1 40 Se utiliza la letra z minuscula como base a la que afecta el signo en concreto.


456-3%.

456-13%k

5-16@

c, 14-2

@, 5-16-2

@


II-1

Apndice II

Signos disponibles agrupados

a b

@( ), ^( ;

`( . % .

` _ %

{ { , %

{ { : %

@ , ; @

: : (0 :

0 8} o

`< _< :7: 8)

@ ,


a b

:= =: @ -=:

80 64 _

@ { % @

)

#) #q

\

II-2


c d

@\ \, @\, :\,

:\ \: :\, @\:

{\ \k {\k @\k

%\ \l %\l @\l

`\ \a `\a `\.

_\ \. _\. _\a

^\ \b ^\b ^\;

\ \; \; \b


c d

6\ \4 6\4 `\o

5\ \9 5\9 :\)

9\ \5 9\5 {\)

8\ \0 8\0 (\)

0\ \8 0\8 ^\,

-\ \ -\ ^\.

II-4

CubiertaCrditosIntroduccinRecomendaciones a tener en cuenta en la escritura de textos matemticosImportancia del contexto en la escritura braille1. Prefijos alfabticos y signos unificadores1.1. Prefijos alfabticos1.2. Representacin braille del alfabeto griego1.3. Signos unificadores y parntesis auxiliares

2. ndices y marcas2.1. Posiciones2.2. Subndices y superndices[2.3. Marcas]2.3.1. Marcas al a derecha en superndice2.3.2. Marcas en superescrito y suscrito2.3.3. Marcas en otras posiciones

2.4. Smbolos con varios ndices2.4.1. Subndices y superndices simultneos2.4.2. Caso general

2.5. ndices desplazados2.6. ndices numricos abreviados

3. Nmeros3.1. Caracteres rabes o guarismos3.2. Nmeros decimales y fraccionarios3.2.1. Nmeros decimales y peridicos3.2.2. Nmeros fraccionarios (recurso de los "nmeros en posicin baja")

3.3. Nmeros representados en distintas bases3.4. Variantes tipogrficas de los nmeros3.5. Representacin de los principales conjuntos numricos3.6. Ordinales3.7. Nmeros romanos3.8. Ejemplos de transcripcin de medidas

4. Operaciones aritmticas bsicas y relaciones numricas elementales4.1. Signos de operaciones aritmticas elementales4.2. Relaciones numricas elementales4.3. Relaciones negativas4.4. Otras representaciones aritmticas

5. Fracciones, potencias y races5.1. Fracciones generales5.2. Potencias5.3. Races5.4. Ejemplos de transcripcin de expresiones algebricas

6. Teora de conjuntos y lgica6.1. Representaciones elementales6.2. Lgica6.3. Otras notaciones6.4. Ejemplos

7. Aplicaciones (funciones)7.1. Notaciones elementales7.2. Lmites7.3. Derivadas7.4. Integrales7.5. Notaciones sobre funciones determinadas7.5.1. Sucesiones, progresiones y matrices7.5.2. Funciones logartmicas7.5.3. Funciones trigonomtricas y sus inversas7.5.4. Funciones hiperblicas y sus inversas

7.6. Smbolos usuales con significados diversos7.7. Ejemplos ilustrativos

8. Geometra8.1. Notaciones elementales, vectores y figuras8.2. Medidas angulares8.3. Relaciones y operaciones

Apndice I. Algunas combinaciones de flechas, trazos y puntosApndice II. Signos disponibles agrupados

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Signografía Matemática

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