1.- En la producción de determinado equipo se tiene que se presenta un tipo de fallas con una probabilidad de 0.1 y

fallas de un segundo tipo con probabilidad 0.05. Se supone independencia entre los tipos de fallas

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un equipo no tenga ambas clases de fallas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un equipo tenga fallas??

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un equipo tenga sólo un tipo de falla?

Definimos los siguientes eventos: Tenemos los siguientes datos

D1 = el equipo tiene la falla tipo 1 D2 = el equipo tiene la falla tipo 2

A) la probabilidad de que el equipo no tenga ambos tipos de fallas la obtenemos como

significa que el equipo tiene ambas fallas

B) la probabilidad de que un equipo tenga fallas. En este caso; cuando el equipo tiene una de las fallas o

tiene ambas fallas

C) la probabilidad de que un equipo tenga un sólo tipo de falla?

2.- En una encuesta de periódicos; los encargados del periódico llamado Alerta; han encontrado las siguientes

probabilidades:

Los sucesos involucrados son:

A1: La persona lee el periódico Alerta

A2: La persona no lee el periódico Alerta

B1: La persona es hombre

B2: La persona es mujer

a) Obtenga las siguientes probabilidades:

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1) ) | )i P A B ii P A B iii P A B

Solución

i)

ii)

iii)

3.- En un determinado sector, cada empresa se ha especializado en una de las 3 líneas de negocio que existen: A, B ó C. La

probabilidad de que una empresa de este sector se haya especializado en las líneas A ó B, es en ambas de 0.3, mientras

que en C sería de 0.4. Suponga que en cada mes, la demanda por parte de los consumidores, de los artículos de cada línea

de negocio, aumenta o disminuye, pero nunca se queda fija. La probabilidad de que una empresa tenga un aumento en la

demanda de sus artículos es de 0.6; pero por otro lado, se sabe que si la empresa está especializada en la línea de negocio

C, la probabilidad de que la demanda disminuya, es de 0.8.

a) Se ha realizado un estudio sobre la evolución de la demanda de una empresa de este sector,

concluyéndose que aumenta. Calcule la probabilidad de que dicha empresa se haya especializado en la

línea de negocio C.

b) Calcule la probabilidad de que la demanda aumente o la empresa se haya especializado en la línea de

negocio B; si se sabe que cuando la demanda disminuye, la probabilidad de que la empresa se haya

especializado en la línea A es de O.1.

c) Calcule la probabilidad de que, dado que la demanda disminuye, la empresa se haya especializado en la

línea de negocio B. Solución:

a) Con la información proporcionada por el problema tenemos:

b)

c)

4.- Se tienen 2 urnas, la primera con 6 bolas blancas y 4 rojas, y la segunda con 5 blancas y 7 rojas. De la primera urna se

toman 2 bolas al azar y se introducen en la segunda urna. Posteriormente se toma 1 bola al azar de la segunda urna y se

introduce en la primera. A continuación se realiza la extracción de una bola de la primera urna. Calcular la probabilidad

de que dicha extracción sea de una bola blanca.

Solución:

5.- Luis tiene dos monedas diferentes en su bolsillo (M1 y M2). Para una de ellas, M1, la probabilidad de obtener

cara al lanzarla es 0.5, mientras que, para la otra, M2, es 0.3.

Si elige una de las monedas al azar y la lanza tres veces, calcule:

1) Probabilidad de que salgan tres sellos

2) Probabilidad de que salgan al menos dos caras

3) Si ha salido un solo sello, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido la moneda M2.

Solución:

1) Definimos los siguientes eventos:

A1: Se lanza la moneda M1

A2: Se lanza la moneda M2 Donde P(A1)= P(A2)=0.5

D: Obtenemos 3 sellos en los 3 lanzamientos de la moneda (Este evento también podría formularse como

obtener 0 caras en los 3 lanzamientos)

Para obtener la probabilidad pedida usamos el teorema de probabilidad total

P(D)=P(D|A1)P(A1)+ P(D|A2)P(A2)

( )30

1

3( | ) 0.5 0.5 0.125

0P D A

= =

otra forma podría ser: ( )1( | ) 0.5 0.5 0.5P D A =

( )30

2

3( | ) 0.3 0.7 0.343 0.7(0.7)0.7

0P D A

= = =

P(D)=0.5(0.125+0.343)=0.234

2) Sea el evento E: Obtener al menos 2 caras en los 3 lanzamientos de la moneda

1 2

1 2

1 1

( ) ("obtener 2 caras con la moneda M ") ("obtener 2 caras con la moneda M ")

("obtener 3 caras con la moneda M ") ("obtener 2 caras con la moneda M ")

= ("2 caras"|A ) ( )

P E P P

P P

P P A

= + +

+

( ) ( )

( )

1 1 2 2 2 2

1 12 2

1 2

03

1 2

("3 caras"|A ) ( ) ("2 caras"|A ) ( ) ("3 caras"|A ) ( )

3 3("2 caras"|A )= 0.5 0.5 ("2 caras"|A )= 0.3 0.7

2 2

3("3 caras"|A )= 0.5 0.5 ("3 caras"|A )

3

P P A P P A P P A

P P

P P

+ + +

( )03

3= 0.3 0.7

3

( ) 0.375(0.5) 0.125(0.5) 0.189(0.5) 0.027(0.5)

=0.358

P E

= + + +

3) Si ha salido un solo sello, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido la moneda M2

( )

( )

( ) ( )

12

2 22

1 1 2 2

1 12 2

30.3 0.7 0.5

2("2 caras" | ) ( )| "2 caras"

("2 caras") ("2 caras"|A ) ( ) ("2 caras"|A ) ( )

0.189*0.5 =

3 30.5 0.5 0.5 0.3 0.7 0

2 2

P A P AP A

P P P A P P A

= =

+

+

.5

=0.335

6.- Una empresa industrial tiene 3 plantas de producción de un determinado artículo, con funcionamiento independiente.

La empresa tiene información previa que indica que en la primera planta (A), por cada 500 unidades de producción, 30

tienen defecto. Respecto a la segunda planta (B), se sabe que el 90% de las unidades salen sin defecto. Hay una

probabilidad de 0,2 de que salga con defecto un artículo seleccionado al azar, si lo escogemos entre los de la tercera planta

(C).

Se seleccionan al azar 3 unidades, siendo cada una de ellas de una planta diferente.

a) Calcule la probabilidad de que sólo una de esas 3 unidades salga defectuosa.

b) Calcule la probabilidad de que al menos 2 sean defectuosas.

c) Se ha comprobado que al menos hay una sin defecto. ¿Cuál será la probabilidad de que la de la tercera planta haya

salido sin defecto?

Solución:

La probabilidad de que la unidad no tenga defecto en cada planta sería:

Y las probabilidades de que tengan defecto serían:

a)

3 ")("P e que sólo una de esas unidades salga defectuosad =

b) 2 ")("P e que al menos sean defectuosasd =

c)

7.- Un sistema transmisor de datos envía palabras, con probabilidad pT de que llegue con algún error al receptor. Por su

parte, el receptor tiene una probabilidad PR de detectar un error de transmisión, caso de que éste ocurriera. El receptor

pedirá la repetición de la palabra transmitida si detecta que ha llegado errónea, volviendo a funcionar transmisor y

receptor como se ha descrito.

a) Si se realiza el envío de una información con 2000 palabras, ¿qué probabilidad hay de que tengamos que

transmitir exactamente 2050 (es decir, que se produzcan 50 repeticiones)?

b) Supóngase el caso de que sólo el 2.5% de las palabras transmitidas lleguen con defecto, pero que el 90%

de las que hayan llegado con defecto se detecten en el receptor como erróneas. Si observarnos que el

envío de un mensaje ha finalizado en 2050 transmisiones de palabras (contando también repeticiones)

¿qué probabilidad hay de que el mensaje original no superara las 2000 palabras?

Solución:

a) Definimos el evento siguiente:

A = "Que se finalice el envío de un mensaje de 2000 palabras, con exactamente 2050 transmisiones"

Si se envía un mensaje de 2000 palabras transmitiendo exactamente 2050 palabras, de éstas, 2000 serán recibidas como

correctas, y 50 serán detectadas como no correctas (que fueron repetidas). Sin embargo, debemos de considerar que la

última ha de ser recibida como correcta, o no habría finalizado el envío con esa transmisión.

Así, en 2049 transmisiones de palabras individuales; tenemos que todas ellas tienen la misma probabilidad p de que haya

error de transmisión y sea detectado en el receptor, se deben dar, en cualquier orden, 50 fallos detectados, y, por tanto,

1999 transmisiones correctas ( o sin fallo detectado). Además, la 2050-ésima debe ser recibida como correcta.

El valor de la probabilidad de generar detección de error será ( )T Rp p p=

Ahora definimos el siguiente evento:

X = "número de repeticiones en 2049 transmisiones"

b)

8.- Una compañía de productos de línea blanca realiza la venta de sus equipos en 2 ciudades: Salamanca e Irapuato. La

mitad de los equipos que vende por año en Salamanca son refrigeradores, al igual que también lo son la mitad de los que

vende por año en Irapuato. Además, se conoce que también vende lavadoras y lavatrastes, a razón de 2 lavadoras por

cada lavatrastes en Irapuato; siendo en Salamanca de 2 lavatrastes por cada lavadora. La compañia no vende ningún otro

equipo. De los productos que vende en Irapuato, se sabe que en un 80% de los refrigeradores, un 90% de las lavadoras y

un 75% de los lavatrastes son de color blanco. Respecto a Salamanca , el 30% de los refrigeradores , el 25% de las lavadoras

y el 40% de los lavatrastes no son de color blanco.

Sabemos que el 70% de sus ventas tienen lugar en Irapuato.

a) Calcule la probabilidad de que un producto elegido al azar vendido por esta compañia sea de color

blanco.

b) Suponga que se selecciona un equipo de esta compañia al azar, de los vendidos en Irapuato. Si resulta

que es de color blanco, ¿cuál es la probabilidad de que sea una lavadora? Verifique si la condición de

saber que fuera blanco, ha influido en la probabilidad de que fuese una lavadora, a la vista del resultado

obtenido, justifique su respuesta.

c) Si nos concentramos en los equipos de esta empresa que tienen destino Irapuato ese año, y

seleccionamos un producto al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un refrigerador, si se sabe que

no es blanco?

d) Encuentre la probabilidad de que un producto vendido por esta compañia, elegido al azar, sea blanco o

su venta haya sido en Salamanca.

Solución: Consideremos los siguientes eventos

B= son de color blanco a1 =refrigerador-Irapuato 1a '=refrigerador-Salamanca

A1 =destino Irapuato a2 =lavadora-Irapuato 2a'=lavadora-Salamanca

A2 =destino Salamanca a3 =lavatrastes-Irapuato 3a'= lavatrastes-Salamanca

Las probabilidades proporcionadas son

'

1 2 1 1 1

' ' '

1 2 2 2 2

3

( ) 0 '7 ( ) 0 '3 ( ) 0 '5 ( ) 0.5 ( / ) 0 '8

1 1( / ) 0 '7 ( ) ( ) ( / ) 0 '9 ( / ) 0 '75

3 6

( )

P A P A P a P a P B a

P B a P a P a P B a P B a

P a

= = = = =

= = = = =

= ' '

3 3 3

1 1 ( ) ( / ) 0 '75 ( / ) 0 '6

6 3P a P B a P B a= = =

b)

2 2 2 2

2

1 1 2 2 3 3

( | ) ( ) ( | ) ( )( | )

( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )

10 '9

3 =

1 1 10 '8 0 '9 0 '75

2 3 6

Irapuato Irapuato

Irapuato

Irapuato Irapuato Irapuato Irapuato

P B a P a P B a P aP a B

P B P B a P a P B a P a P B a P a= =

+ +

+ +

0 '3636=

Existe dependencia, ya que la probabilidad condicional es distinta a la probabilidad sin considerar la condicional

( 2

1( )

3P a = ).

Además, la dependencia es favorable, ya que el hecho de saber que sale blanco en Irapuato incrementa la

probabilidad de que se trate de una lavadora.

c) * *

1 1 1 1*

1 * * * *

1 1 2 2 3 3

( | ) ( ) ( | ) ( )( | )

( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )

10 '2

2 =

1 10'2 0 '1 0 '2

2 3

Irapuato Irapuato

Irapuato

Irapuato Irapuato Irapuato Irapuato

P B a P a P B a P aP a B

P B P B a P a P B a P a P B a P a= =

+ +

+ +

0'57141

56

=

d)

( )2 2 2( ) ( ) ( )P B A P B P A P B A= + −

Donde nosotros necesitamos encontrar

( ) ( ) ( )( )' ' ' ' ' '

2 2 2 1 1 2 2 3 3 2( ) ( | ) ( ) | ( ) | ( ) | ( ) ( )

1 1 1 0 '7 0 '75 0 '6 0 '3 0 '2025

2 6 3

P B A P B A P A P B a P a P B a P a P B a P a P A = = + +

= + + =

( )2 2 2( ) ( ) ( ) 0'.78 0'3 0'2025 0'8775P B A P B P A P B A= + − = + − =

1.- Tenemos los eventos A y B tales que P(( A ) = 0.2; P(( B) = 0 . 5 y P(A B ) =0.4. Encuentre P(B|(A+ B )).

Respuesta:

De la información proporcionada

2.- Una compañía de seguros clasifica a sus aliados en tres grupos: bajo, mediano y alto riesgo. Sus estadísticas indican

que la probabilidad de que haya implicados en un accidente en cada uno de los grupos es: 0.05 para los de bajo, 0.15 para

los de mediano y 0.3 para los de alto riesgo. Si el 20% de los aliados es de bajo riesgo, el 50% de mediano y el 30% restante

de alto, conteste:

a) Si un asegurado no sufrió durante el último año ningún accidente. Cuál es la probabilidad de que esté en la clase de

bajo riesgo?

Solución:

Definimos los siguientes eventos:

A : El asegurado pertenece al grupo de alto riesgo

M: El asegurado pertenece al grupo de mediano riesgo

B : El asegurado pertenece al grupo de bajo riesgo

C : El asegurado sufrió un accidente en el último año

P(A) = 0.3 P(M) = 0.5 P(B) = 0.2 P(C|A) = 0.3 P(C|M) = 0.15 P(C|B) = 0.05

Estamos interesados en encontrar P(B|Cc) y visualizando las condicionales que tenemos aplicamos el

Teorema de Bayes

Calculamos ahora la probabilidad total P(C)

Reemplazamos los valores

3.- Una pieza electrónica se almacena en paquetes de 25 componentes. Se rechaza el paquete si al revisar un máximo de

dos piezas, alguna es defectuosa.

a) Un revisor realiza el siguiente proceso de inspección: extrae primeramente una pieza; si resulta defectuosa

se rechaza el paquete. Si esta primera pieza es aceptable se extrae la segunda. Si esta segunda también es

aceptable se acepta el paquete entero.

b) Un segundo revisor utiliza un aparato donde introduce dos piezas simultáneamente, rechazando el paquete

si alguna es defectuosa.

Cierto lote contiene 4 piezas defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar ese paquete por cada uno de los revisores?

Solución: Se definen los sucesos:

R1 = "el revisor 1 rechaza el paquete",

D1 = "la primera pieza es defectuosa",

D2 = "la segunda pieza es defectuosa" y

R2 = "el revisor 2 rechaza el paquete"

La probabilidad de que el revisor 1 rechace el paquete es

La probabilidad de que el revisor 2 rechace el paquete es (sabemos que tenemos 21 piezas en buenas condiciones)

Por lo tanto; la probabilidad de rechazar ese paquete es igual para cada revisor.

4.- Verifique en los siguientes incisos si estos son verdaderos o falsos. Si resulta que son verdaderos; entonces

demuéstrelo, por el contrario si son falsos proporcione un contra-ejemplo:

Solución:

5.- Verifique en los siguientes incisos si estos son verdaderos o falsos. Si resulta que son verdaderos; entonces

demuéstrelo, por el contrario si son falsos proporcione un contra-ejemplo:

6.- Demuestre lo siguiente:

Solución:

7.- En el siguiente circuito se tiene que la probabilidad de que funcione cada una de las piezas es independiente de los

demás, siendo la probabilidad de que funcione la pieza 1 de 0.9, la pieza 2 de 0.8, la pieza 3 de 0.75 y la pieza 4 de 0.85.

El circuito funciona si entre A y B es posible encontrar un camino de piezas que funcione.

a) Calcular la probabilidad de que no haya comunicación entre A y B.

Solución: