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4ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI PARA ALUMNADO DE 2º DE E.S.O

Alberto Bagazgoitia (*)

OLIMPIADA EDUARDO CHILLIDA

El Curso pasado 2005-06 se celebró en Euskadi la 4ª Olimpiada Matemática para alumnos de 2º de ESO, Olimpiada EDUARDO CHILLIDA, convocada por el Departamento de Educación del Gobierno Vasco.

Es ésta una actividad ya consolidada, cuya convocatoria está abierta a todos los centros docentes de la Comunidad que impartan enseñanzas del citado nivel. La información precisa y detallada sobre los objetivos y el desarrollo de la misma puede encontrarse en la página web www.saretik.net/mateolinpiada

Desde la organización pretendemos que no sea una actividad aislada, sino que tenga una repercusión en el trabajo ordinario del aula donde la resolución de problemas sea una cons-tante en las tareas habituales propuestas por el profesorado.

La Olimpiada, como ya es conocido, se estructura en dos fases:

La primera, que se realiza en cada uno de los centros participantes, (se celebró el 17 de marzo) y en la que cada centro selecciona dos alumnos que son los que pasarán a la segunda fase.

Se inscribieron 93 centros repartidos de la siguiente forma:

CENTROS PÚBLICOS PRIVADOS TOTAL

ÁLAVA 10 10 20

GUIPÚZCOA 9 14 23

VIZCAYA 22 28 50

TOTAL 41 52 93

La 2ª Fase se realizó el sábado 13 de mayo de 10 a 12 de la mañana, en cada una de las tres capitales de la CAV:

• En Bilbao: en el IES Miguel de Unamuno.• En Donostia: en el IES Usandizaga-Peñaflorida.• En Vitoria-Gasteiz: en el IES Samaniego.

Tenemos que agradecer especialmente la colaboración de los profesores de estos centros, que ayudaron a organizar esta 2ª fase en la que en total tomaron parte 186 alumnos.

(*) Asesor de Matemáticas del Berritzegune de Vitoria.

Noviembre 2006 • 2006ko Azaroa 45

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EUSKADIKO 4. OLINPIADA MATEMATIKOA D.B.H.KO 2.MAILAKO IKASLEENTZAT

Alberto Bagazgoitia (*)

EDUARDO CHILLIDA OLINPIADA

Aurreko ikasturtean, 2005-06 alegia, DBHko 2.mailako ikasleentzat 4. Olinpiada Matematikoa, Eduardo Chillida Olinpiada, Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza Sailak deituta, burutu zen Euskadin.

Jarduera hori sendotuta dago jada gure ikastetxeetan eta jakinda denez, deialdia EAEko DBHko 2.maila ematen duten ikastetxeei zuzenduta dago. Helburuei eta garapenari buruzko informa-zio zehatza www.saretik.net/mateolinpiada web orrialdean aurkituko duzue.

Olinpiadaren batzorde antolatzailearen aldetik nahiko genuke jarduera honek islada bat izatea ikasgeletako ohiko lanetan, non problemen ebazpena irakaskuntzaren funtzesko alderdietariko bat den.

Olinpiada, aurreko edizioetan bezalaxe, bi alditan egin zen:

Lehenengoa martxoaren 17an burutu zen, ikastetxe partehartzaile bakoitzean. Ikastetxe bakoi-tzak bigarren aldira pasatuko ziren bi ikasle hautatu behar zituen.

Lehenengo aldi honetarako Erkidegoko 93 ikastetxek eman zuten izena. Hona hemen lurralde bakoitzeko zenbakiak:

IKASTETX. PUBL. PRIB. GUZT.

ARABA 10 10 20

GIPUZKOA 9 14 23

BIZKAIA 22 28 50

GUZTIRA 41 52 93

2. aldia E.A.E.ko hiru hiriburuetan burutu zen, maiatzaren 13an 10etatik 12etara:

• Bilbon: Miguel de Unamuno BHI.• Donostian: Usandizaga-Peñaflorida BHI.• Vitoria-Gasteizen: Samaniego BHI.

2. aldi honetan 186 ikaslek hartu zuten parte eta eskerrak eman nahi dizkiegu antolatzen lagundu zuten ikastetxe hauetako irakasleei.

(*) Gasteiz Berritzeguneko Matematika Aholkularia..

SIGMA Nº 29 • SIGMA 28 zk.

La entrega de premios tuvo lugar en Lakua, en el edificio del Gobierno Vasco en Vitoria, y a ella estuvieron invitados además de los 12 alumnos clasificados en los primeros lugares, sus padres y profesores. El acto fue presidido por el Sr. Consejero de Educación Universidades e Investigación Tontxu Campos que estuvo acompañado por el Viceconsejero de Educación D.Pedro Otxoa y D.Luis Chillida quien recordó la relación de su padre con las matemáticas.

Tras la entrega de premios intervinieron D. Pedro Alegría, profesor titular del Departamento de Matemáticas de la UPV y D. Juan Carlos Ruiz de Arcaute con la charla titulada "Magia y matemáticas" que fue seguida con mucho interés y que, más de una vez, provocó entre el público, que fue invitado a participar, la sorpresa y admiración.

No hay duda de que la Olimpiada cuenta con el respaldo del profesorado a quien queremos agradecer su esfuerzo y desinteresada colaboración, imprescindible para que la Olimpiada pueda celebrarse.

Gracias a todos por vuestra participación y esperamos contar de nuevo con todos vosotros y también con aquellos que todavía no se han animado, en la 5ª Olimpiada Matemática de Euskadi "Olimpiada Eduardo Chillida" de cuya convocatoria tendréis puntual información a lo largo de este curso 2006-07.

FOTOGRAFÍAS PREMIADAS DEL IES FADURA (GETXO)2005-2006

Noviembre 2006 • 2006ko Azaroa

Sari-banaketa Eusko Jaurlaritzaren Lakuako egoitzan burutu zen, eta 12 ikasle sarituez gain guraso eta irakasleak ere bertan izan ziren. Hezkuntza Sailburua den Tontxu Campos jauna ekitaldiaren buru izan zen eta berarekin batera Pedro Otxoa Hezkuntza Sailburuordea eta Luis Chillida jauna –nork bere aitak matematikarekiko zituen harremanak gogoratu zituen- bertan egon ziren.

Sari-banaketaren ondoren Pedro Alegríak, EHUko Matematika Departamenduko irakasle titu-larrak eta Juan Carlos Ruiz de Arcautek, "Magia y matemáticas" izeneko hitzaldia eman zuten. Bertaratuok interesez, arretaz eta gustoz jarraitu genituen ponenteen hitzak.

Ez dago zalantzarik Olinpiadak irakasleen babesa duela eta bukatu aurretik, ikasleen partai-detza bultzatu duten irakasleei eskertu nahi diegu, bere lana ezinbestekoa baita horrelako Olinpiada aurrera eraman ahal izateko.

Eskerrik asko guztiei zuen parte hartzeagatik eta jakinarazi nahi dizuegu ikasturte honetan zehar, Euskadiko 5. Olinpiada Matematikorako deiaren informazio zehatza jasoko duzuela eta dagoeneko gonbidatuta zaudete parte hartzera.


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4ª Olimpiada Matemática de Euskadi para alumnado de 2º de E.S.O. Alberto Bagazgoitia


ANEXOS1.- Problemas de la 1ª Fase

2.- Problemas de la Fase Final

3.- Relación de Ganadores

4.- Relación de Premios

5.- Centros Participantes

6.- Entrega de premios. Fotografías

7.- Prueba Individual de la Olimpiada nacional

ANEXO 1: PROBLEMAS DE LA 1ª FASE

1. EL PUZZLE

Dos hermanos, Luis y Ana, reciben un puzzle de 2.006 piezas como regalo. "Vamos a hacerlo entre los dos, pero con la siguiente regla" le dice Luis a Ana. "Cada uno pondrá 1, 2, 3 o 4 piezas cada vez, las que quiera, y el que ponga la última pieza gana. Empezaré yo. ¿De acuerdo?"

¿Qué debe responder Ana? Explica quién debe empezar y cómo debe jugar para ganar el juego.

Solución:

Utilizando la estrategia de marcha atrás ganará el que consiga colocar la pieza nº 2.001, 1.996, 1.991,... Es decir las que den de resto 1 al dividir por 5. Por tanto ganará el juego el primero que empiece a colocar fichas poniendo solamente 1 pieza. A partir de ahí colocará las piezas que necesite para obtener los números 6, 11, 16, ..., 2.001, 2.006.

2. EL HOTEL

La tasa de ocupación de un hotel es del 88% durante los 3 meses de verano y del 45% cada uno de los meses restantes. ¿Cuál es la tasa media de ocupación?

El gerente del hotel se ha propuesto llegar al 60% de ocupación, por lo que el último mes lanza una oferta especial. ¿Qué porcentaje de ocupación debería tener en diciembre para alcanzar el 60%?

Solución:

a) Tasa media de ocupación : (3·88 + 9·45)/12 = 55,75

b) Para llegar al 60%: 60 = (3·88 + 8·45 + x) / 12; x = 96%

3. LOS CAPICÚAS

a) ¿Cuántos números capicúas hay de 3 cifras? ¿Y cuántos de 4?


Euskadiko 4. Olinpiada Matematikoa D.B.H.ko 2.mailako ikasleentzat Alberto Bagazgoitia

ERANSKINAK1.- 1.aldiko problemak

2.- Azken aldiko problemak

3.- Irabazleen zerrenda

4.- Sari-zerrenda

5.- Parte hartu duten ikastetxeen zerrenda

6.- Sari-banaketa: argazkiak

7.- Olinpiada nazionaleko banakako froga

1. ERANSKINA: 1.ALDIKO PROBLEMEN SOLUZIOAK

1. PUZZLEA

Ana eta Koldo neba-arrebei 2006 piezako puzzle bat oparitu diete.

"Bion artean egingo dugu –Koldok Anari – baina honako arau honi jarraituz: gutako bakoitzak, txandaka, 1, 2, 3 edo 4 pieza, nahi duen moduan, kokatuko ditu, eta irabazlea azken pieza ipiniko duena izango da. Neu hasiko naiz, ados?"

Zer erantzun behar dio Anak? Azaldu nork hasi behar duen eta horrek nola jokatu behar duen irabazteko.

Soluzioa:

Atzekoz aurrera jokabidea erabilita 2.001.a, 1.996.a, 1.991.a,... kokatzea lortuko duenak ira-bazi egingo du. Hau da, zati 5 egitean 1eko hondarra ematen dutenak. Beraz, pieza bakarra kokatuz fitxak ipintzen hasiko denak irabaziko du jokoa. Hortik aurrera behar dituen pieza kopurua 6, 11, 16,..., 2.001, 2.006 zenbakiak lortzeko jarriko ditu.

2. HOTELA

Hotel bateko okupazio-tasa %88koa da udako hiru hilabeteetan eta %45ekoa urtearen gai-nontzeko hilabete bakoitzean. Zein da okupazio-tasaren batez-bestekoa?

Hoteleko jabeak okupazioko %60era iritsi nahi du eta horretarako eskaintza berezia egin du urteko azken hilabeterako. Zer okupazio-porzentaia lortu beharko luke abenduan %60a lortzeko?

Soluzioa:

a) Okupazio-tasaren batez-bestekoa: (3·88 + 9·45)/12 = 55,75b) %60era iristeko: 60 = (3·88 + 8·45 + x) / 12; x = 96%

3. KAPIKUAK

a) Zein da 3 zifrako zenbaki kapikuen kopurua? Eta zenbat 4 zifrakoak?

50



b) A tu amigo se le ocurrió sumar todos los capicúas de 3 cifras, pero sin darse cuenta se saltó uno y el resultado que obtuvo fue 49.137. ¿Qué número se saltó?

Solución:

a) 90 capicúas de 3 cifras. También 90 capicúas de 4 cifras.

b) La suma total es 49.500 (Las unidades suman (1+...+9)10 = 450, las decenas (1+...+9)9 = 405 y las centenas, lo mismo que las unidades (1+...+9)10 = 450).

Por tanto, la suma total es 450 +4.050 + 45.000 = 49.500.

El número que se saltó es 49.500 – 49.137 = 363.

4. ¿CÓMO LO VES?

Las vistas de frente y de perfil de los cubitos de la figura son:

Frente Perfil

Dibuja todas las distribuciones de los 3 cubitos de forma que se sigan mante-niendo las mismas vistas de frente y de perfil.

Puedes utilizar un esquema como el de la parte inferior.

Solución:

Hay otras 5 distribuciones distintas que dan lugar a las mismas vistas:



b) Zure lagun bati 3 zifrako zenbaki kapikua guztiak batzea bururatu zitzaion, baina kontu-ratu gabe zenbaki bat ahaztu zitzaion eta lortu zuen emaitza 49.137 izan zen. Zein izan zen ahaztu zitzaion zenbakia?

Soluzioa:

a) 3 zifrako kapikuak: 90. Lau zifrako kapikuak: 90 baita ere.

b) Batura osoa 49500 da. (Batekoek (1+...+9)10 = 450 batzen dute, hamarrekoek (1+...+9)9 = 405 eta ehunekoek, batekoek bezalaxe, (1+...+9)10 = 450).

Beraz, batura osoa 450 +4.050 + 45.000 = 49.500 da.

Ahaztu zitzaion zenbakia 49.500 – 49.137 = 363 da.

4. NOLA IKUSTEN DUZU?

Hona hemen irudiko hiru kubotxoen aurretiko eta albotiko bistak:

Aurretik Albotik

Margotu 3 kuboen kokapen guztiak aurretik eta albotiko bistek berdin jarrai dezaten.

Beheko eskema baten antzekoa erabil dezakezu.

Soluzioa:

Badaude beste 5 konfigurazio ezberdin bistak berberak eragiten dituztenak :

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PROBLEMAS DE LA FASE FINAL

1. PROBLEMAS REDONDOS

a) Un grupo de alumnos ha salido de excursión y se han sentado en corro para comer el bocadillo. Dos profesoras, Arantxa y Marta, empiezan a contar el número de alumnos. Lo hacen en el mismo sentido, pero como no han comenzado en el mismo alumno resulta que el 7º alumno de Arantxa es el 13º de Marta y el 3º de Marta es el 32º de Arantxa. ¿Cuántos alumnos hay?

Solución:

35 alumnos.

b) En otro grupo, que también está sentado en corro, vemos que 7 chicas tienen otra chica a su derecha, (inmediatamente a su derecha) y que 12 chicas tienen un chico a su derecha. Además los 3/4 de los chicos tienen una chica a su derecha. ¿Cuántos chicos y chicas hay en total?

Solución:

Hay 35 personas (19 chicas y 16 chicos).

2. EL PRECIO DEL MÓVIL

Un distribuidor de teléfonos móviles había comprado 36 teléfonos iguales para su venta. Sabía que cada uno le había costado menos de 100 €, pero al revisar la factura observó que sólo se veían las dos cifras centrales del total: *49* €.

Ayúdale a obtener el precio de cada móvil.

Solución:

a) Si nos limitamos a soluciones enteras: 97 €

b) Incluyendo soluciones con decimales:

Para que 36 por el precio sea un número entero, los posibles decimales deben ser múl-tiplo de 25.



AZKEN ALDIKO PROBLEMAK

1. PROBLEMA BOROBILAK

a) Ikasle talde bat txango batera joan da eta otartekoa jateko biribilean eseri dira. Bi irakasle, Arantza eta Marta, ikasleen kopura zenbatzen hasi dira. Norantza berean egiten dute baina ikasle ezberdinean hasi direnez Arantzarentzat 7.ikaslea dena Martarentzat 13.a da eta Martarentzat 3.a dena 32.a da Arantzarentzat. Zenbat ikasle daude? Zenbat neska-mutil daude guztira?

Soluzioa:

35 ikasle.

b) Biribilean ere eserita dagoen beste talde batean 7 nesken eskui-nean neska bana eserita dago, 12 nesken eskuinean mutil bana eserita dago. Gainera mutilen _ en eskuinean neska bana eserita dago.

Soluzioa:

35 persona (19 neska eta 16 mutil)

2. MOBILAREN SAILNEURRIA

Sakeleko telefonotako banatzaile batek 36 mobil berdin erosi zituen saltzeko asmoz. Bazekien telefono bakoitzak 100 € baino gutxiago balio zuela, baina faktura berrikustean bakarrik prezio osoaren erdiko bi zifrak ikusten zirela konturatu zen:

*49* €€

Lagundu mobil bakoitzaren prezioa lortzen.

Soluzioa

a) Zenbaki osoetara mugatuz gero : 97€

b) Zenbaki hamartarrekin:

Prezioa bider 36 zenbaki osoa izateko ahalko hamartarrek 25en multiploak izan beharko dute.

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i) Solución de la forma n,25 con n entero: 69,25 €

ii) Solución de la forma n,50 con n entero: 41,50 €

iii) Solución de la forma n,75 con n entero: 13,75 €

3. CORTANDO EL CUBO

Uniendo los puntos medios de las aristas de un cubo, como se ve en la figura, se obtienen pirámides triangulares. Si cortamos esas pirámides triangulares, ¿cuántos caras, aristas y vérti-ces tiene el sólido que queda? Razónalo.

Solución:

(El cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas).

14 caras: A las caras propias el cubo (6) se le añade una más por cada vértice: 6+8.

24 aristas: Basta observar que la figura nueva tiene 3 aristas por cada vértice del cubo inicial: 3x8 (o también 4 aristas por cada cara del cubo: 4.6 = 24).

12 vértices: Queda un vértice en cada arista del cubo inicial.

4. ¿CUÁNTOS PALILLOS?

a) Se construye un primer cubo con palillos y luego se va formando una hilera de cubos como ves en la figura:

n = 1 n = 2 n = 3

a.1) ¿Cuántos palillos se han usado para construir cada una de las figuras?

a.2) ¿Cuántos palillos habrá que usar para construir la hilera de 10 cubos?

a.3) Si tenemos 500 palillos, ¿de cuántos cubos será la hilera más larga que se puede formar? ¿Cuántos palillos sobrarán?

b) Construimos ahora una hilera de cubos como la anterior pero con dos cubos de anchura.



i) n,25 (n osoa) era honetako soluzioa: 69,25€ ii) n,50 (n osoa) era honetako soluzioa: 41,50€iii) n,75 (n osoa) era honetako soluzioa: 13,75 €

3. KUBOA MOZTEN

Irudian ikus dezakezunez, kubo baten ertzeen erdiko puntuak elkartuta piramide triangelua-rrak lortzen dira. Piramide horiek moztuko bagenitu, zenbat aurpegi, ertz eta erpin izango du geratzen den solidoak? Arrazoitu.

Soluzioa:

14 aurpegi, 24 erpin eta 12 ertz.

4. ZENBAT ZOTZ?

a) Aurreneko kubo bat egiten da zotzez eta gero, irudian ikusten duzunez, kubo- ilara bat sortzen da:

n = 1 n = 2 n = 3

a.1) Zenbat zotz erabili dira irudi bakoitzean?a.2) Zenbat zotz erabili beharko da 10 kubotako ilara egiteko?a.3) 500 zotz izanez gero, zenbat kubo izango du egin dezakegun ilararik luzeenak?

Zenbat zotz izango dugu soberan?

b) Orain aurreko ilara baten antzekoa eraiki dugu baina bi kubo zabal izanda.

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n = 1 n = 2 n = 3

¿ Cuántos palillos se necesitarán ahora para construir una hilera de longitud n?

Solución:

a.1) Construimos una tabla:

n 1 2 3 ... n

Nº Palillos 12 20 28 8n+4

a.2) n = 10 => 84 palillos

a.3) Como 500 = 8. 62 + 4, la hilera tendrá 62 cubos y no sobrará ningún palillo

b) Construyendo una tabla:

n 1 2 3 ... n

Nº Palillos 20 33 46 13n+7



n = 1 n = 2 n = 3

Zenbat zotz behar izango dugu "n" luzerako ilara baterako?

Soluzioa:

a1) Taula bat eginda:

n 1 2 3 ... n

Zotz Kopurua

12 20 28 8n+4

a.2) n = 10 => 84 zotz.a.3) 62 kubo eta ez dago zotzik soberan.

b) Taula hau eginda:

n 1 2 3 ... n

Zotz Kopurua

20 33 46 13n+7

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RELACIÓN DE GANADORESCelebradas el 13 de Mayo de 2006 las pruebas correspondientes a la Fase Final de la 4ª Olimpiada Matemática de Euskadi para alumnado de 2º de ESO, el tribunal constituido al efecto ha decidido otorgar, por orden de puntuación, los premios a los siguientes alumnos y alumnas:

1.- Iñigo Bergareche Tejera Colegio Alemán – San Bonifacio – Bilbao 2.- Nicolás Derré Celemín IES Miguel Unamuno – Vitoria 3.- Mikel Dalmau Cherino IES Elexalde – Galdakao 4.- Rafael Urrutia Arrúe Colegio Alemán – San Bonifacio – Bilbao 5.- Ander Gutiérrez Bejarano IES Elexalde – Galdakao 6.- Marta Aguinagalde López Colegio Marianistas – Donostia 7.- Elisabeth del Bosque Hernández IES Olazabal – Legazpia 8.- Eva Mendiola Agirre Olabide Ikastola – Vitoria 9.- Luis Vergara Maneiro Co. Alemán – S. Alberto Magno – Donostia 10.- Iker Garmendia Sáez de Heredia Co. Corazonistas – Vitoria 11.- Sergio Porres González Co. Vizcaya – Zamudio 12.- Ainhoa Sayans Alberdi Co. La Salle – Donostia

RELACIÓN DE PREMIOS

1º Y 2º CLASIFICADOS

• Diploma.• Beca del Gobierno Vasco para estudiar inglés durante 1 mes en algún país europeo.• Libro: Ernesto el aprendiz de matemago.• Invitación a participar en la Olimpiada Española, que se celebro del 25 al 29 de junio en

Villafranca de los Barros (Badajoz).


• Diploma.• Beca del Gobierno Vasco para estudiar inglés durante 1 mes en algún país europeo.• Libro: Ernesto el aprendiz de matemago.


• Cámara digital.• Libro: Ernesto el aprendiz de matemago.

7º al 12º CLASIFICADOS

• Calculadora gráfica.• Libro: Ernesto el aprendiz de matemago.

PROFESORADO

• Libro: La Historia de las Matemáticas como recurso didáctico.



IRABAZLEEN ZERRENDADBH-ko 2.mailan ari diren ikasleentzako Euskadiko 4. Olinpiada Matematikoaren azken aldiko frogak maiatzaren 13an egin ziren eta horretarako osatutako epai-mahaiak sariak ondoko ikasleei ematea erabaki du :

1.- Iñigo Bergareche Tejera Colegio Alemán – San Bonifacio – Bilbao. 2.- Nicolás Derré Celemín IES Miguel Unamuno – Vitoria 3.- Mikel Dalmau Cherino IES Elexalde – Galdakao 4.- Rafael Urrutia Arrúe Colegio Alemán – San Bonifacio – Bilbao 5.- Ander Gutiérrez Bejarano IES Elexalde – Galdakao 6.- Marta Aguinagalde López Colegio Marianistas – Donostia 7.- Elisabeth del Bosque Hernández IES Olazabal – Legazpia 8.- Eva Mendiola Agirre Olabide Ikastola – Vitoria 9.- Luis Vergara Maneiro Co. Alemán – S.Alberto Magno – Donostia 10.- Iker Garmendia Sáez de Heredia Co. Corazonistas – Vitoria 11.- Sergio Porres González Co. Vizcaya – Zamudio 12.- Ainhoa Sayans Alberdi Co. La Salle – Donostia

SARI-ZERRENDA

1. ETA 2. SAILKATUAK

• Diploma.• E.J.ko hilabeteko beka bana Europako herrialde batean ingelesa ikasteko.• Liburua: Ernesto el aprendiz de matemago.• Villafranca de los Barros-en (Badajoz) ekainaren 25 –29 bitartean, egin zen Olinpiada

espainarrean parte hartzeko gonbidapena.


• Diploma• E.J.ko hilabeteko beka bana Europako herrialde batean ingelesa ikasteko.• Liburua: Ernesto el aprendiz de matemago.


• Kamara digitala• Liburua: Ernesto el aprendiz de matemago.

7.ETIK 12.ERA SAILKATUAK

• Kalkulagailu grafiko bana• Liburua: Ernesto el aprendiz de matemago.

IRAKASLEENTZAT

• Liburua: La Historia de las Matemáticas como recurso didáctico.

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RELACIÓN DE CENTROS PARTICIPANTES PARTE HARTU DUTEN IKASTETXEEN ZERRENDA

ÁLAVA / ARABA

AGURAIN/SALVATIERRA IES ANITURRI BHI

ARRAZUA-UBARRUNDIA IPI IKAS BIDEA IKASTOLA IPI

KANPEZU/CAMPEZO IES CAMPEZO BHI

LLODIO CPEIPS LA MILAGROSA HLBHIP

OION IES SAMANIEGO-OION BHI

VITORIA-GASTEIZ CPEIPS CALASANCIO HLBHIP

VITORIA-GASTEIZ CPEIPS HOGAR SAN JOSE HLBHIP

VITORIA-GASTEIZ CPEIPS NIÑO JESUS HLBHIP

VITORIA-GASTEIZ CPEIPS NTRA. SRA. DE LAS MERCEDES HLBHIP

VITORIA-GASTEIZ CPEIPS PADRE RAIMUNDO OLABIDE HLBHIP

VITORIA-GASTEIZ CPEIPS PRESENTACION DE MARIA HLBHIP

VITORIA-GASTEIZ CPEIPS SAGRADO CORAZON HLBHIP

VITORIA-GASTEIZ CPEIPS SAGRADO CORAZON HLBHIP

VITORIA-GASTEIZ CPES JESUS OBRERO BHIP

VITORIA-GASTEIZ IES EKIALDEA BHI

VITORIA-GASTEIZ IES KOLDO MITXELENA BHI

VITORIA-GASTEIZ IES LOS HERRAN BHI

VITORIA-GASTEIZ IES MENDEBALDEA BHI

VITORIA-GASTEIZ IES MIGUEL DE UNAMUNO BHI

VITORIA-GASTEIZ IES SAMANIEGO BHI

BIZKAIA

AMOREBIETA-ETXANO CPEIPS LAUAXETA IKASTOLA HLBHIP

BALMASEDA CPEIP ZUBI-ZAHARRA IKASTOLA HLHIP

BALMASEDA IES BALMASEDA BHI

BILBAO CPEIPS ALEMAN SAN BONIFACIO HLBHIP

BILBAO CPEIPS BERRIO-OTXOA HLBHIP

BILBAO CPEIPS EL SALVADOR HLBHIP

BILBAO CPEIPS FATIMA HLBHIP

BILBAO CPEIPS IBAIGANE HLBHIP

BILBAO CPEIPS KIRIKIÑO IKASTOLA HLBHIP

BILBAO CPEIPS PUREZA DE MARIA HLBHIP

BILBAO CPEPS NTRA. SRA. DE BEGOÑA LBHIP

BILBAO IES GABRIEL ARESTI BHI

BILBAO IES LUIS BRIÑAS-SANTUTXU BHI



BILBAO IES MIGUEL DE UNAMUNO BHI

BILBAO IES SAN ADRIAN BHI

BILBAO IES TXURDINAGA BEHEKOA BHI

BILBAO IPI DEUSTUKO IKASTOLA IPI

DURANGO CPEIPS SAGRADO CORAZON HLBHIP

DURANGO CPEIPS SAN JOSE-JESUITAK HLBHIP

DURANGO IES FRAY JUAN DE ZUMARRAGA-DURANGO BHI

ELORRIO CPEIPS ELORRIOKO TXINTXIRRI IKASTOLA HLBHIP

ELORRIO IES ELORRIO BHI

ERANDIO IES ASTRABUDUA BHI

ERMUA IES ONGARAI BHI

ETXEBARRI, ANT. DE SAN ESTEBA IES ETXEBARRI BHI

GALDAKAO IES ELEXALDE BHI

GERNIKA-LUMO CPEIPS SEBER ALTUBE IKASTOLA HLBHIP

GERNIKA-LUMO IES GERNIKA BHI

GETXO IES AIXERROTA BHI

GÜEÑES CPEIPS AVELLANEDA HLBHIP

GÜEÑES CPEIPS CO.EN.EN. HLBHIP

IGORRE IES ARRATIA BHI

LEIOA CPEIPS NTRA. SRA. DE LAS MERCEDES HLBHIP

LEIOA CPEPS GAZTELUETA LBHIP

LEIOA IES ARTAZA-ROMO BHI

LEIOA IES JOSE MIGUEL BARANDIARAN BHI

LEKEITIO CPEIPS RESURRECCION M. DE AZKUE IKASTOLA HLBHIP

LOIU CPEPS MUNABE LBHIP

ORTUELLA CPEIPS SAN FELIX DE CANTALICIO HLBHIP

ORTUELLA IES ORTUELLA BHI

PORTUGALETE CPEIPS ASTI-LEKU IKASTOLA HLBHIP

PORTUGALETE CPEIPS STA. MARIA HLBHIP

PORTUGALETE IES BALLONTI BHI

SANTURTZI CPEIPS BIHOTZ GAZTEA IKASTOLA HLBHIP

SANTURTZI CPEIPS SAN JOSE HLBHIP

SANTURTZI CPEIPS STA. MARIA-HIJAS DE LA CRUZ HLBHIP

SANTURTZI IES KANTAURI-AXULAR BHI

ZALLA IES ZALLA BHI

ZAMUDIO CPEIPS COLLEGE FRANCAIS DE BILBAO HLBHIP

ZAMUDIO CPEIPS VIZCAYA HLBHIP

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GIPUZKOA

BEASAIN IES LOINAZPE BHI

BERGARA IES IPINTZA BHI

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS AXULAR LIZEOA HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS CATOLICO STA. MARIA HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS EKINTZA HLBHIP

DONOSITA-SAN SEBASTIAN CPEIPS ENGLISH SCOOL

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS ESKIBEL HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS LA ASUNCION HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS LA SALLE HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS MARY WARD HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS NIÑO JESUS DE PRAGA HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS NTRA. SRA. DE ARANZAZU HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS SAN ALBERTO MAGNO HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS SAN PATRICIO HLBHIP

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN IES ALTZA BHI

DONOSTIA-SAN SEBASTIAN IES USANDIZAGA-PEÑAFLORIDA-AMARA BHI

EIBAR IES MOGEL ISASI BHI

ERRENTERIA CPEIPS SAGRADO CORAZON HLBHIP

LASARTE-ORIA IES LANDABERRI BHI

LEGAZPI IES OLAZABAL BHI

OIARTZUN IES ELIZALDE BHI

OÑATI IES R.M. ZUAZOLA-LARRAÑA BHI

ZUMAIA CPEIPS MARIA ETA JOSE HLBHIP



ENTREGA DE PREMIOS

Acto de entrega de premios en el que intervinieron el Sr. Consejero de Educación D. Tontxu Campos, D. Luis Chillida y D. Pedro Otxoa Viceconsejero de Educación.

Sari-banaketaren ekitaldi honetan parte hartu zuten: Tontxu Campos Hezkuntza Sailburuak, Luis Chillida jaunak eta Pedro Otxoa Hezkuntza Sailburuordeak.

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PRUEBA INDIVIDUAL DE LA XVII OLIMPIADA NACIONAL (VILLAFRANCA DE LOS BARROS JUNIO –06)

PROBLEMA 1. ATRACO

Tras atracar la Cooperativa de aceite de Villafranca, los ladrones huyen en un coche que les esperaba con el motor en marcha. La policía recaba datos para identificar la matrícula del coche. Uno de los empleados se ha fijado en que ninguna de las cuatro cifras era cero, otro se fijó en que las dos primeras cifras eran iguales y las dos últimas también, pero distintas de las anteriores. El más sagaz de los empleados se fijó en que el número de la matrícula era un cuadrado perfecto.

Con estas pistas la policía intenta averiguar la matrícula, pero no lo consigue. ¿Podrías tú ayudarles?

Solución: 7.744

PROBLEMA 2. NUMERACIÓN

Explica cómo se puede obtener y obtén el resultado de las siguientes operaciones:

a) 2.374.568.2322 – 2.374.568.233 x 2.374.568.231

b) 2.374.568.2322 – 2.374.568.242 x 2.374.568.222

Solución:

a) x2 – (x + 1) (x – 1) = 1

b) x2 – (x + 10) (x – 10) = 100

PROBLEMA 3. ALBERGUE

En un albergue juvenil de verano las habitaciones son de cuatro camas, las mesas del comedor de seis plazas y las aulas para las actividades tienen nueve puestos cada una. Entre habitacio-nes, mesas del comedor y aulas suman 57. ¿Cuántos jóvenes pueden albergarse para que la ocupación sea total?

Solución: 108

PROBLEMA 4. TRIÁNGULO

El triángulo isósceles ABC, con CA = CB, tiene 8m. de altura y los lados iguales miden 10m. cada uno.

a) Calcula la distancia AB

b) Halla la suma de las distancias del punto medio D de la base a los lados AC y BC

c) Si tomas un punto P del lado AB situado a 4m. de A, ¿cuánto valdrá la suma de las dis-tancias desde P a los lados AC y BC?



VII. ERANSKINA: ESPAINAKO XVII. OLINPIADAKO BANAKAKO FROGA (VILLAFRANCA DE LOS BARROS 2006)

1. PROBLEMA: LAPURRETA

Villafranca de los Barros-eko olio Kooperatiban lapurtu eta berehala, lapurrek euren zain eta martxan zegoen auto batean ihes egin dute. Poliziak autoaren matrikula jakin nahi du. Langileetako batek matrikulak dituen lau zifren artean zerorik ez zegoela esan du, beste batek lehenengo bi zifrak elkarren berdinak zirela eta baita ere azkenengo biak (baina lehenengo biekiko ezberdinak). Langilerik argienak zenbaki osoa karratu betea zela nabaritu du.

Datu hauekin polizia matrikula ezagutzen saiatu da, baina alferrik. Lagunduko al diezu ?

Soluzioa: 7.744

2. PROBLEMA. ZENBAKIAK

Lortu hurrengo eragiketa hauen emaitzak, nola egin duzun azalduz:

a) 2.374.568.2322 – 2.374.568.233 x 2.374.568.231

b) 2.374.568.2322 – 2.374.568.242 x 2.374.568.222

Soluzioa:

a) x2 – (x + 1) (x – 1) = 1

b) x2 – (x + 10) (x – 10) = 100

3. PROBLEMA GAZTE-ATERPE

Gazteen aterpetxe batean logela guztiak lau ohekoak dira, jantokiko mahai guztiak sei lagu-nentzakoak eta iharduera gela guztiak bederatzi kideentzakoak. Guztira, 57 logela, jantokiko mahai eta iharduera gela daudela jakinik, geihenez zenbat leku daude gazte-aterpe honetan?

Soluzioa: 108

4. PROBLEMA TRIANGELUA

ABC triangelu isoszelean, altuerak 8m neurtzen du eta berdinak diren CA eta CB aldeetako bakoitzak 10m.

a) Kalkulatu AB oinarriaren luzera

b) Lortu AB oinarriaren erdigunea den D puntutik AC eta BC aldeetara doazen distantzien batura

c) AB aldean eta A erpinetik 4 m-ra dagoen P puntu bat kontuan harturik, zenbat balio du P puntutik AC eta BC aldeetara doazen distantzien batura?

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d) ¿Cómo ha de elegirse un punto en la base AB para que la suma de las distancias a los lados AC y BC sea la menor posible?

Solución:

a) 12 m.b) 9,6 m.c) 9,6 m.d) Puede elegirse cualquier punto de la base puesto que la suma de las distancias es la

misma para todos ellos: 9,6m.

PROBLEMA 5. RECTAS

Si trazas una recta en el plano éste se divide en dos zonas.

Si trazas dos rectas secantes, aparecen cuatro regiones.

a) Si trazas tres rectas secantes dos a dos y sin que se corten más de dos en un mismo punto, ¿cuántas regiones se forman?

b) Y si, con las mismas condiciones de antes, trazaras cuatro rectas, ¿cuántas regiones se formarían?

c) Fijándote en los resultados anteriores, si se supone que k es el número de regiones forma-das al trazar n rectas, explica cuántas habrá si las rectas son n+1.

Solución:

a) 7 regionesb) 11 regionesc) k+n+1 regiones. El número de regiones que se forman con n+1 rectas es igual al que se

forman con n rectas, más el número de rectas n+1.



d) Nola aukeratuko zenuke AB oinarriaren puntu bat handik AC eta BC aldeetara dauden distantzien batura ahalik eta txikiena izan dadin?

Soluzioa:

a) 12 m.b) 9,6 m.c) 9,6 m.d) Berdin da zein den aukeraturiko puntua distantzia baturak beti 9’6m neurtzen baitu.

5. PROBLEMA ZUZENAK

Zuzen batek plano batean margoturik bi eskualde definitzen ditu.

Bi zuzen ebakitzailek lau eskualde sortarazten dituzte plano batean.

a) Binaka elkarren ebakitzaileak (puntu berean bi baino ez dira mozten) diren hiru zuzenek, zenbat eskualde definitzen dituzte plano batean?

b) Eta, aurreko baldintza berdinetan, lau zuzen marraztuko bazenitu, zenbat eskualde ager-tuko zaizkizu?

c) Aurreko emaitzak kontuan harturik "n" zuzen planoan marrazturik "k" eskualde agertzen direla adosten badugu, azaldu zenbat eskualde izango diren "n+1" zuzen badira.

Soluzioa:

a) 7 eskualdeb) 11 eskualdec) k+n+1 eskualde. "n+1" zuzenekin egiten diren eskualde kopurua "n" zuzenekin egin-

dakoa gehi zuzen kopurua (n+1) da.

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