Session 2 - Perturbation

mtodos numricosClase 2: Mtodos de Perturbacin

Marco OrtizMarzo-Abril 2015

PUCP

motivacin

motivacin

En esta clase estudiaremos los mtodos de perturbacin o deaproximacin asinttica.

La idea:1. Planteamos un problema general;2. hallamos un caso particular que tiene una solucin conocida;3. usamos esta solucin como punto inicial para computar

soluciones aproximadas a puntos cercanos.

Este mtodo se basa en el teorema de la funcin implcita,expansiones de Taylor y tcnicas de bifurcacin y de teora desingularidad.

2

teoremas claves

Los teoremas crticos para este mtodo son dos:1. Teorema de Taylor en Rn: Suponga que f : Rn ! y es Ck+1, entonces

para x0 2 Rn,

f(x) = f(x0) +nXi=1

dfdxi

(x0)(xi x0i )

+12

nXi=1

nXj=1

@2f@xi@xj

(x0)(xi x0i )(xj x0j )

...

+1k!

nXi1=1

: : :nX

ik=1

@kf@xi1 : : : @xik

(x0)(xi1 x0i1) : : : (xik x0ik)

+O(k x x0 kk+1):

3

teoremas claves (2)

2. Teorema de la funcin implcita: Si H(x; y) : Rn Rm ! Rm es Ck,H(x0; y0) = 0, y Hy(x0; y0) no es singular (invertible), entonceshay una nica funcin C0 h : Rn ! Rm tal que h es Ck, y susderivadas pueden ser computadas diferenciandoimplicitamente la identidad H(x;h(x)) = 0.

Usaremos estos dos teoremas para examinar funcionesdenidas implicitamente por ecuaciones no lineales en Rn.

Podremos calcular derivadas de h respecto a x evaluadas en unpunto (x0) de manera implcita.

4

significado de aproximacin

Antes de analizar directamente los mtodos es til denir: f(x)aproxima a g(x) para x cerca de x0.

Primero es claro que: f(x0) = g(x0), es trivial...

Aproximacin lineal en x = x0: necesitamos f0(x0) = g0(x0): En general: f es una aproximacin de orden n de g en x = x0 si:

limx!x0

k f(x) g(x) kk x x0 kn = 0: (1)

que, para una f y g que son Cn, es verdad s y slo sf(k)(x0) = g(k)(x0), para k = 0; : : : ;n.

5

significado de aproximacin

Antes de analizar directamente los mtodos es til denir: f(x)aproxima a g(x) para x cerca de x0.

Primero es claro que: f(x0) = g(x0), es trivial... Aproximacin lineal en x = x0: necesitamos f0(x0) = g0(x0): En general: f es una aproximacin de orden n de g en x = x0 si:

limx!x0

k f(x) g(x) kk x x0 kn = 0: (1)

que, para una f y g que son Cn, es verdad s y slo sf(k)(x0) = g(k)(x0), para k = 0; : : : ;n.

5

la perturbacin ms simple del mundo

Cunto esp26?

Sin la calculadora en tu Iphone, es un clculo aburrido. Pero noten que:

p26 =

p25 (1+ 0:04) = 5

p1:04 5 1:02 = 5:1 (2)

La solucin exacta es 5.099. Hemos resuelto un problema mucho ms sencillo (

p25) y

aadimos un pequeo coeciente. En general:py =

px2(1+ ") = x

p1+ " (3)

donde x es un nmero entero y " el parmetro de perturbacin.

6

el mtodo lq

repaso: el modelo lineal cuadrtico estocstico

Consideremos una economa gobernada por la siguiente reglade movimiento estocstica linea:

xt+1 = Axt + But + t (4)

donde xt es el vector de n estados (variables predeterminadasen el periodo t) y ut el vector de m controles.

t es el vector de n choques que distribuye normal multivariadacon E() = 0 y E(0) = .

Dado x0, el objetivo del planicador (cticio) es maximizar:

E01Xt=0

t [x0tQxt + u0tRut + 2u0tSxt] ; 2 (0; 1); (5)

sujeto a (4).

8

repaso: el modelo lineal cuadrtico estocstico (2)

La funcin objetivo del periodo corriente:

g(xt;ut) :=hx0t; u0t

i "Q S0S R

#"xtut

#(6)

es cuadrtico y cncavo en (x0t;u0t). Para ello necesitamos:

Q y R, ambas simtricas de orden n n y mtimesmrespectivamente, sean negativas semidenidas.

L: por la dinmica de los estados; Q por el objetivo.

9

repaso: el modelo lineal cuadrtico estocstico (2)

La funcin objetivo del periodo corriente:

g(xt;ut) :=hx0t; u0t

i "Q S0S R

#"xtut

#(6)

es cuadrtico y cncavo en (x0t;u0t). Para ello necesitamos: Q y R, ambas simtricas de orden n n y mtimesmrespectivamente, sean negativas semidenidas.

L: por la dinmica de los estados; Q por el objetivo.

9

solucin explcita

La ecuacin de Bellman para el problema LQ estocstico estdada por:

v(x) := maxu

x0Qx+ 2u0Sx+ u0Ru+ E [v(Ax+ Bu+ )] (7)

hemos retirado los indicadores de periodo por conveniencia (todas las variables estn en t.)

Las expectativas son condicionales a la informacin contenidaen xt. (Decidimos luego de ver x pero antes de .)

Adivinamos que la funcin de valor est dada por:v(x) = x0Px+ d, donde P es una matrix n n simtrica,semi-denida negativa y cuadrada y d 2 R es una constantedesconocida.

10

solucin explcita (2)

Con est guess podemos rescribir (7):

x0Px+ d =max

ux0Qx+ 2u0Sx+ u0Ru

+ E [(Ax+ Bu+ )0P(Ax+ Bu+ ) + d]

Evaluando la expectativa condicional obtenemos:

x0Px+ d =max

ux0Qx+ 2u0Sx+ u0Ru+ x0A0PAx

+ 2Bx0A0PBu+ u0B0PBu+ tr(P) + d(8)

11


Ahora diferenciamos el lado derecho con respecto al vector decontroles...

El resultado debe ser cero, por qu?

... envolvente. Esto nos da:

u = (R+ B0PB)1 (S+ B0PA) x = Fx Para hallar la solucin para la matriz P y la constante deliminamos u de (8).

Como resultado, P debe satisfacer la ecuacin matricial deRicatti.

P = Q+ A0PA (S+ B0PA)0 [R+ B0PB]1 (S+ B0PA) (9)y d est dado por:

d = 1 tr(P) (10)

12


Ahora diferenciamos el lado derecho con respecto al vector decontroles...

El resultado debe ser cero, por qu? ... envolvente.

Esto nos da:

u = (R+ B0PB)1 (S+ B0PA) x = Fx Para hallar la solucin para la matriz P y la constante deliminamos u de (8).

Como resultado, P debe satisfacer la ecuacin matricial deRicatti.

P = Q+ A0PA (S+ B0PA)0 [R+ B0PB]1 (S+ B0PA) (9)y d est dado por:

d = 1 tr(P) (10)

12


La solucin a (9) puede obtenerse iterando en la ecuacinmatricial en diferencias de Riccati (recursin):

Ps+1 = Q+ A0PsA (S+ B0PsA)0 [R+ B0PsB]1 (S+ B0PsA)(11)

comenzando de alguna matriz denida negativa P0. Una vez que obtenemos la solucin a P, la dinmica del modeloest dada por:

xt+1 = Axt + But + t+1 = (A FB)xt + t: (12)

13

la aproximacin lq

La idea, propuesta por Magill (1977) es tomar un problema nolineal de control ptimo y reemplazarlo por un problema LQsimilar al problema original.

El problema LQ puede luego ser resuelto usando mtodosestndar (como acabamos de ver).

La ley de control nal es utilizada en lugar de la regla no-linealen el problema original.

Hay diversas maneras de hacer esta aproximacin: Magill (1977),Kydland & Prescott (1982), McGrattan (1990), Hansen & Prescott(1985).

14

una aplicacin: el modelo estocstico de crecimiento

Preferencias:

E1Xt=0

tU(ct) (13)

donde 2 (0; 1), es el factor de descuento y U es una funcinC2, con f0() > 0; f00() < 0:

Tecnologa:

ct + it = yt = F(kt; zt) (14)

donde F es la funcin de produccin, C2, estrictamentecreciennte y estrictamenet cncava.

kt representa al capital y zt el choque de capital.

15

el modelo estocstico de crecimiento

La ley de movimiento de capital:

kt+1 = (1 )kt + it: (15)

El choque tecnolgico sigue un proceso de Markov:

zt+1 = L(zt) + "t+1 (16)

donde asumimos que L es lineal y " i:i:d: con media cero yvarianza nita.

16

el problema del planificador central

Ya que no hay fricciones, podemos resolver el problema delplanicador central.

En este caso, el objetivo equivalente a 13, est dado por:

maxfkt+1g1t=0

E1Xt=0

tU(f(kt; zt) kt+1) (17)

sujeto al proceso de choques. Podemos escribir el problema de forma recursiva:

V(k; z) = maxk0

U [f(k; z) k0] + E [V(k0; z0) j z)] (18)

sujeto a (16).

17

aproximacin lq

Bueno, sabemos calcular la solucin para el caso en que lafuncin objetivo del periodo cuadrtica.

Pero, en economa normalmente no hallamos esto... !normalmente asumimos una CES.

qu hacemos?

Expansin de Taylor de segundo orden a la CES. La caracterizacin de la dinmica del modelo es lineal... haytemas.

18

aproximacin lq

Bueno, sabemos calcular la solucin para el caso en que lafuncin objetivo del periodo cuadrtica.

Pero, en economa normalmente no hallamos esto... !normalmente asumimos una CES.

qu hacemos? Expansin de Taylor de segundo orden a la CES. La caracterizacin de la dinmica del modelo es lineal... haytemas.

18

aproximacin lq (2)

Consideremos la versin del SGM con:

U(ct) = log(ct)F(kt; zt) = eztktzt+1 = zt + "t+1 "t N(0; 2");

donde 0 < < 1; 0 < < 1:

19

aproximacin lq(3)

Sustituyendo en (18)

V(k; z) = maxk0

log (ezk i) + E [V(k0; z0) j z)] (19)

sujeto a:

k0 = (1 )k+ i; (20)z0 = z+ "0: (21)

20

qu hacer en la prctica?

El algoritmo de solucin normalmente es el siguiente:1. Elegir un punto alrededor del cual expandir la funcin objetivo.

(ej: Estado-estacionario)2. Construir una aproximacin cuadrtica de la funcin alredor del

punto.3. Poner los trminos en forma cuadrtica (denir Q; S y R).4. Computar la funcin de valor ptima V(z; s) a travs de

iteraciones del operador de Bellman.

Los detalles estn en: LQ:m

21

paso 1: estado estacionario no estocstico

En nuestro caso no es muy difcil. Tomemos la ecuacin deEuler no estocstica:

ct+1 = ctk1t+1 + (1 )

(22)

Imponemos la condicin de estado estacionario: ct = ct+1 = c:

1 = k1 + (1 ) (23)

Resolviendo para k:

k = [=(1 + )]1=(1i = kz = 0:

22

paso 2: aproximacin cuadrtica

Nuestra funcin de utilidad contempornea est dada por:

log (ezk i) (24)

Necesitamos una expansin de segundo orden alrededor delestado estacionario. En notacin matricial, la aproximacin dela funcin r es:

r(z; s;d) R+ (W W)0J+ 12W W0 H W W : (25)

donde R la funcin r evaluada en el SS. W es el vector columnade varaibles de control, J es el Jacobiano y H el Hessiano.

H =

264Hzz Hzs HzdHsz Hss HsdHdz Hds Hdd

375 (26)23

paso 3: forma cuadrtica

Denimos la matriz Q:

r(z; s;d) h1 WT

i "Q11 Q012Q12 Q22

#"1W

#(27)

donde:

Q11 = R W0J+ 12W0H W (28)

Q12 =12J H W (29)

Q22 =12H: (30)

El uno est ah para capturar la constante en el trminocuadrtico.

24

paso 4: calcular la funcin ptima de forma iterativa

Utilizamos la recursin para resolver el problema LQ, buscandoun punto jo.

En nuestro cdigo iteramos hasta que A sea igual a P (up tocertain precision).

Luego de obtener convergencia (nuesta raison dtre),recuperamos nuestra solucin.

25

mtodo de perturbacin

perturbacin: introduccin

Este mtodo sigue la misma idea... busquemos un problemaque sepamos resolver y cambiemos de problema. (til comolosofa de vida).

Recordemos que estamos tratando de resolver una ecuacinfuncional (lo desconocido es la funcin).

H(d) = 0: (31)para una regla de decisin desconocida d.

La Perturbacin resuelve el problema deniendo:

dn(x; ) =nX

i=0i(x x0)i (32)

Utilizamos el teorema de la funcin implcita para hallar loscoecientes i.

Inherentemente una aproximacin local, muchas veces tienebuenas propiedades globales.

27

pertubacin regular vs. singular

Perturbacin regular: un cambio pequeo en el problemainduce un cambio pequeo en la solucin.

Perturbacin singular: un cambio pequeo en el problemainduce un cambio grande en la solucin.

Ejemplo: La funcin de exceso de demanda. La mayora de problemas en economa estn asociados aperturbaciones regulares.

Algunas veces, sin embargo, podemos tener singularidades.Ejemplo: introducir un nuevo activo en un modelo de mercadosincompletos.

28

un ejemplo: modelo de crecimiento no estocstico

Volvamos al modelo de crecimiento:

maxfct;kt+1g1t=1

1Xt=1

t1c1t 11

sujeto a:

ct + kt+1 = kt + (1 )kt

con k1 dado. La ecuacin de Euler est dada por:

ct = ct+1k1t+1 + 1

29

un ejemplo: modelo de crecimiento no estocstico

Cuando sustitumos el consumo con la restriccinpresupuestaria obtenemos:

(kt + (1 )kt kt+1) =kt+1 + (1 )kt+1 kt+2

k1t+1 + 1

;

que es una ecuacin en diferencias en kt. buscamos una solucin recursiva, de la forma:

kt+1 = h(kt)

30

especificacin general

De forma ms genera, buscamos una solucin a ecuaciones deltipo:

f(x00; x0; x) = 0: (33)

de la forma:

x0 = h(x)

que nos da la ley de movimiento. Por simplicidad asumimos que x es un escalar. Denamos F(x)como:

F(x) f(h(h(x));h(x); x):

Dado que h(x) es la solucin a la ecuacin 33, sabemos que:

F(x) = 0; 8x31

volvemos al modelo de crecimiento

Nos quedamos en:

f(k00; k0; k) = (k + (1 )k k0)

+ (k0 + (1 )k0 k00) k01 + 1 = 0;para valores conocidos , y .

Reemplazando la solucin: k0 = h(k)

F(k) (k + (1 )k h(k))

+ (h(k) + (1 )h(k) h(h(k))) h(k)1 + 1

32

la condicin clave

F(k) = 0 8x

...si lo que tenemos es h().

33

la condicin clave

F(k) = 0 8x...si lo que tenemos es h().

33

hallar h()

Cmo hallamos h()?

Aproximandola! (eso ya debe estar claro.) Con qu?

Con un polinomio... De qu orden?

Depende de ti... alrededor de qu punto?

En principio de cualquier, pero nos conviene uno informativo.

34

hallar h()

Cmo hallamos h()? Aproximandola! (eso ya debe estar claro.)

Con qu?

Con un polinomio... De qu orden?



34

hallar h()


Con qu? Con un polinomio...

De qu orden?



34

hallar h()



De qu orden? Depende de ti...

alrededor de qu punto?


34

hallar h()



De qu orden? Depende de ti...

alrededor de qu punto? En principio de cualquier, pero nos conviene uno informativo.

34

aproximando h()

Con x como punto jo del problema (estado-estacionario),sabemos que:

x = h(x):

Es decir, el modelo est en un equilibrio. La expansin de Taylor de la solucin alrededor de x est dadapor:

h(x) h(x) + (x x)h0(x) + (x x)2

2@2h(x)@x2 + : : :

= x+ h1 (x x) + h2 (xx)2

2 + : : :

el objetivo para caraterizar h() es hallar x; h1; h2; etc...

35

aproximando h()

Claramente x satisface:

f(x;x;x) = 0:

Hallar x puede ser no trivial si f es una funcin no-linealhorrible - pero eso es para otra clase...

Ahora... cmo hallamos los hs? la clave de este mtodo es que hallamos los coecientesrecursivamente (grande Judd!).

36

encontrando el coeficiente del trmino lineal, h1

Es importante primero saber lo que sabemos:1. sabemos la forma de f(x), y2. sabemos los valores de los parmetros en f.

Dado que:

F(x) = 0 8x

tambin sabemos que:

F0(x) = 0 8x:

37

algunas definiciones

Denamos: @f(x00; x0; x)

@x00x00=x0=x=x =f1;

@f(x00; x0; x)@x0

x00=x0=x=x =f2;@f(x00; x0; x)

@x

x00=x0=x=x =f3;Noten que:

@h(x)@x jx=x=

h1 + h2(x x) + : : :

jx=x = h1

38

ecuacin clave

Sabemos entonces que:

F0(x) = 0 8x

que es lo mismo que:

F0(x) = @f@x00

@h(x0)@x0

@h(x)@x +

@f@x0

@h(x)@x +

@f@x = 0:

Que puede ser escrita como:

F0(x) = f1h21 +f2h1 +f3 = 0:

lo que nos da una ecuacin para resolver para h1. Con suerte, las condicines de Banchard-Kahn se satisfacen ytenemos slo una solucin sensible.

39

resolviendo para el segundo trmino

F0(x) = 0 8x

implica:

F00(x) = 0 8x

40

ms definiciones

Denamos: @2f(x00; x0; x)

@x00@x

x00=x0=x=x =f13;y noten que:

@2h(x)@x2 jx=x=

h2 + h3(x x) + : : :

jx=x = h2

41

ecuacin clave

F00(x) = 0 8x

o:

F00(x) =@2f@x00

@h(x0)@h0

@h(x)@x +

@2f@x00@x0

@h(x)@x +

@2f@x00@x

@h(x0)@x0

@h(x)@x

+

@f@x00

@h(x0)@x0

@2h(x)@x2 +

@2h(x0)@x02

@h(x)@x

@h(x)@x

+

@2f

@x0@x00@h(x0)@x0

@h(x)@x +

@2f@x02

@h(x)@x +

@2f@x0@x

@h(x)@x +

@f@x0

@2h(x)@x2

+

@2f

@x@x00@h(x0)@x0

@h(x)@x +

@2f@x@x0

@h(x)@x +

@2f@x2

42

ecuacin clave (2)

que puede escribirse como:

F00(x) =f11h21 +f12h1 +f13

h21 +f1

h1h2 + h2h21

+f21h21 +f22h1 +f23

h1 +f2h2 +

f31h21 +f32h1 +f33

= 0:

ya que contamos con la solucin de h1, tenemos una ecuacinlineal para resolver h2.

43

introduciendo incertidumbre

el modelo neoclsico con incertidumbre

maxfct;kt+1g1t=1

1Xt=1

t1c1t 11

sujeto a:

ct + kt+1 = exp(t)kt + (1 )ktt = t1 + t;

45

la especificacin general

Normalmente escribimos los modelos de la siguiente forma:

Ef(x; x0; y; y0) = 0:

donde: x representa el vector nx 1 de varaibles de estadoendgenas y exgenas; y representa el vector ny 1 de controlos.

En nuestro modelo esto es: y = c x = [k; ]. Ahora el vector de estados contiene los choques deproductividad en el SGM.

46

repaso: la idea central

La idea de perturbacin es transformar el problema entrminos de un pequeo parmetro de pertubacin.

Al igual que en el ejemplo de la raz cuadrada, capturamos laperturbacin en un parmetro.

Luego resolvemos el problema para un eleccin particular delparmetro de perturbacin.

Este paso es normalmente ambiguo, dado que hay diferentesformas de hacerlo.

Usamos el problema anterior (no estocstico) paraaproximarnos a la solucin original del problema.

47

el enfoque de perturbacin

Ahora necesitamos perturbar el problema hacia una solucinque conocemos.

qu solucin conocemos?

la no estocstica... qu deberamos usar como parmetro de perturbacin?

la desviacin estndar .

Noten que cuando = 0 ! tenemos el modelo determinstico.Nosotros sabemos cmo resolver el modelo determstico.

48



qu solucin conocemos? la no estocstica...

qu deberamos usar como parmetro de perturbacin?

la desviacin estndar .


48



qu solucin conocemos? la no estocstica...

qu deberamos usar como parmetro de perturbacin? la desviacin estndar .


48

elemento clave # 1

Hacemos que la incertidumbre (capturada por ) sea explcitaen la solucin.

Nuestra condicin de primer orden se cumple para cualquiervalor de .

Ef(x; x0; y; y0; ) = 0:

La solucin va a tener la siguiente forma:

y = g(x; ) yx0 = h(x; ) + 0

49

volvemos al modelo...

Escribimos nuestras condiciones de equilibrio como:

Ef([k; ]; [k0; + 0]; y; y0] = 0

La solucin que buscamos tiene la forma:

c = c(k; ; )

y "k00

#=

"k0(k; ; )

#+

"01

# 0:

50

elemento clave # 2

Perturbamos alrededor de y; x y

g(x; ) = g(x; 0) + gx(x; 0)(x x) + g(x; 0) + : : :

y

h(x; ) = h(x; 0) + hx(x; 0)(x x) + h(x; 0) + : : :

51

objetivo

Denamos:

gx = gx(x; 0); g = g(x; 0); y

El objetivo es hallar: la matriz gx de dimensin (nyx), el vector (ny 1), g , la matriz hxde dimensin (nxx),y el vector (nx 1), h .

52

ms sobre incertidumbre

Cmo importa la incertidumbre? permite soluciones de orden mayor y, hace explcito el rol de la incertidumbre.

Veamoslo en el modelo de crecimiento..

F(x; ) = Etf(k; ; k0; 0; c; c0)

Etf

0BBBBBBB@

k;;

h(k; ; ); + 0;g(k; ; );

g(h(k; ; ); + 0; )

1CCCCCCCA

53

segundo orden

Resultados de la perturbacin de segundo orden:

gx = hx = 0 pero g 6= 0 y h 6= 0:

donde f es el sistema de ecuaciones que incluye las restriccinpresupuestaria, la ecuacin de Euler y la ley de movimiento de .

54

incertidumbre y perturbacin de primer orden

Para obtener el rol de la incertidumbre buscamos g y h . Nuestra ecuacin clave nos dice:

F(x; 0) = 0: Pregunta: de dnde saco esto?

F(x; 0) = Et

0BBBBBB@fk0(s)h(k; ; )+

f0(s) 0+fc(s)g(k; ; )+

fc0(s)

k(k0; 0; )h(k; ; )+g(k0; 0; ) 0 + (k0; 0; )

!1CCCCCCA (34)

donde s denota los argumentos de f. Evaluamos la expresin enx = 0 y obtenemos:

F(x; 0) =fk0 +fc0gk

h +

fc +fc0

g = 0:

que es un sistema de 3 ecuaciones y 2 incognitas g y h .

(peroen la ley de movimiento de obtenemos 0 = 0).

55


Para obtener el rol de la incertidumbre buscamos g y h . Nuestra ecuacin clave nos dice:

F(x; 0) = 0: Pregunta: de dnde saco esto?

F(x; 0) = Et

0BBBBBB@fk0(s)h(k; ; )+

f0(s) 0+fc(s)g(k; ; )+

fc0(s)

k(k0; 0; )h(k; ; )+g(k0; 0; ) 0 + (k0; 0; )

!1CCCCCCA (34)

donde s denota los argumentos de f. Evaluamos la expresin enx = 0 y obtenemos:

F(x; 0) =fk0 +fc0gk

h +

fc +fc0

g = 0:

que es un sistema de 3 ecuaciones y 2 incognitas g y h . (peroen la ley de movimiento de obtenemos 0 = 0).

55


Si denotamos: feu elementos de la ecuacin de Euler y, fbc elementos de la restriccin presupuestaria.

obtenemos:

F(x; 0) ="

fbck0 +fbcc0 gk fbcc +fbcc0feuk0 +feuc0 gk feuc +feuc0

#"hg

#= 0:

que tiene por solucin:

g = h = 0:

la solucin! certainty equivalent (igual que en la LQ!! ).

Tienen las herramientas para probrarlo...

56

incertidumbre y perturbacin de segundo orden

La expansiones de segundo orden las funciones de polticaestn dadas por:

h(k; ; ) = k+ hk(k k) + h( ) + h + : : :+

12 (

hkk(k k)2 + 2hk(k k)( ) + 2hk(k k) + : : :+ k( )2 + 2h( ) + h2)

y

g(k; ; ) = c+ gk(k k) + g( ) + g + : : :+

12 (

gkk(k k)2 + 2gk(k k)( ) + 2gk(k k) + : : :+ g( )2 + 2h( ) + g2)

De aqu sabemos que g y h son cero.

57

incertidumbre y perturbacin de segundo orden (2)

y los dems elementos de interaccin, gk; g; hk y .? Para gk y hk tenemos:

Fk(x; 0) = 0: Derivamos de la expresin en 34.

Fk(x; 0) = Et

0BBBBBBBBBBBBBBB@

(fk0k + fk0k0hk + fk0cgk + fk0c0gkhk)hfk0hk+

(f0k + f0k0hk + f0cgk + f0c0gkhk) 0+fcgk+

fc0k + fc0k0hk + fc0cgk + fc0c0gkhk)(gkh + g 0 + g)

!+

fc0(gkkhkh + gkhk)+fc0gkhk 0+fc0gkhk

1CCCCCCCCCCCCCCCA donde hemos suprimido los argumentos de las funciones ( nosabemos si gk es gk(k; ; ) o gk(k0; 0; )...

58

incertidumbre y perturbacin de segundo orden (3)

Evaluamos la expresin en el estado estacionario y obtenemos:

Fk(x; 0) = fk0hk +fcgk +fc0(gkhk) +fc0gkhk= (fk0 +fc0gk)hk + (fc +fc0)gkhk = 0:

Lo que nos vuelve a dar dos ecuaciones independientes con dosvalores desconocidos, g y hk.

El resultado es: g = hk = 0. Por lo que slo las constantes del modelo son afectadas por elnivel de incertidumbre.

Ello implica que el modelo opera en una parte diferente delestado espacio (y posiblemente afecte la dinmica tambin).

59

comparando lq y perturbacin

En qu se parecen ambos mtodos? En qu dieren?

punto importante: cundo las restricciones no son lineales,aproximarlas linealmente afecta la solucin (naive LQ).

El mtodo de perturbacin - incluso en primer orden - consideralas caractersticas de segundo orden de las restricciones (piensenen sus condiciones de primer orden).

Si tomamos una aproximiacin lineal a las restricciones estamosresolviendo un problema diferente (demostrado por Benigno &Woodford (2006)).

Los autores proponen introducir las propiedades de segundoorden de las restricciones.

60

orden mayor

orden mayor

Podemos seguir elevando el orden de aproximacin (es inclusorecomendable).

Sin embargo se pierde en trminos de estabilidad de la soluciny tiempo de procesamiento - soluciones altamente explosivas.

Los problemas: Polinomios de orden mayor oscilan! no preservan la forma. Radio de convergencia limitado. Problemas de estabilidad.

Existen opciones para evitar estos problemas: prunning,Kydland & Prescott data measuring, cambio de funciones base,consistent-weighting perturbation.

62

prunning

A pesar que las aproximaciones de orden mayor son intuitiva yfciles de calcular, las sendas simuladas son frecuentementeexplosivas.

Esto genera problemas: No tendremos momentos nocondicionales.

El prunning se reere a cortar las ramas de un rbol (podar) -dejaremos de lado trminos en la solucin que tienen rdenesmayores al del orden de aproximacin.

Supongamos que la solucin exacta a un modelo DSGE estdada por el set de reglas de decisin para las variables decontrol: yt = g (xt; ) ; y para las variables de estado:xt+1 = h(xt; ) + t+1;

63

prunning (2)

Kim, Kim, Schaumburg & Sims (2008) sugieren entonces noconsiderar ciertos trminos al realizar la expansin de Taylordel sistema.

En el caso de una aproximacin de segundo orden tenemos:

x(2)t+1 = hxx(2)t +

12Hxx

x(2)t x(2)t

+

12h

2 + t+1; (35)

donde usamos x(2) para denotar la aproximacin de segundoorden no-pruneada en la variable de estado. Hxx es la matriz desegundas derivadas de h(xt; ).

Podemos descomponer las variables de estado en aquellas conefectos de primer orden (xf) y de segundo orden (xs).

x(2)t+1 = hxxft + xst

+

12Hxx

xft + xst

xft + xst

+

12h

2 + t+1;

(36)

64

prunning (3)

Obtenemos una ley de movimiento para xft+1 preservando slolos efectos de primer orden en (36).

xft+1 = hxxft + t+1: (37)

Obtenemos as la aproximacin de primer orden a estndar a laecuacin de estado.

La aproximacin de primer orden a la ecuacin de observacintambin es estndar y dada por:

yft = gxxft: (38)

El sistema conformado por (37) y (38) nos da la solucin almodelo, por lo que los sistemas estado-espacio con y sinprunning son idnticos para este orden.

65

prunning (4)

Ahora construmos un sistema para el componente de segundoorden:

xst+1 = hxxst +12Hxx

xft xft

+

12h

2: (39)

No inclumos los trminos xf xs ni xs xs porque reejanefectos de tercer y cuarto orden, respectivamente.

En otras palabras los podamos o pruneamos. El ltimo paso es para denir el sistema de estado-espaciopruneado es derivar la expresin con respecto a lasecuaciones de control.

66

prunning (5)

Usando el mismo enfoque tomamos la aproximacin desegundo orden de la ecuacin de estados, tenemos:

y(2)t = gxx(2)t +

12Gxx

x(2)t x(2)t

+

12g

2; (40)

donde y(2)t denota la aproximacin de segundo orden nopruneada a la variable de control.

67

prunning (6)

Slo queremos preservar los efectos hasta el segundo orden:

yf+st = gxxft + xst

+

12Gxx

xft xft

+

12g

2: (41)

Aqu dejamos de lado los trminos xft xst y xst xst porquereejan trminos de tercer y cuarto orden.

Como vemos, representamos las funciones de poltica comouna funcin de los elementos de los estados que slo lleganhasta el segundo orden...

Muy diferente a una aproximacin de segundo orden - quecontiene elementos de tercer y cuarto orden en su construccin.

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el sistema pruneado

El sistema pruneado para la aproximacin de segundo ordenest dado por (37), (39) y (41).

El vector de estados es extendido ahxft0

(xst )0i0.

Todas las variables del sistema son ahora polinmios desegundo orden de las innovaciones.

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propiedades del sistema pruneado

En el sistema pruneado, si todos los valores caractersticos dehx tienen mdulo menor a uno y t+1 tiene cuartos momentosnitos, el sistema de estado espacio denido por (37), (39) y(40), tiene primer y segundos momentos nitos.

Ello implica que eliminamos las sendas explosivas en el sistema.

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aplicacin 1: choques de riesgo

aproximaciones de orden mayor

Los mtodos de perturbacin tiene como principal fortaleza larapidez y precisin para resolver problemas de dimensionalidadelevada.

Este es el caso de aproximaciones de orden mayor. Cuando queremos evaluar cmo es que cambios en el riesgoafectan la dinica de la economa estamos ante este caso.

Veamos un ejemplo: Fernandez-Villaverde, Guerrn-Quintana,Rubio Ramirez y Uribe (2010).

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mtodos locales vs. mtodos globales

discusin

Mtodo global o local? Restricciones de endeudamiento? Costos de ajuste cuadrticos/cbicos?

74

propuesta 1: penalty functions

Podemos utilizar penalty functions para capturar lasno-linealidades.

Esto es sencillo, la idea consiste en replantear el problema detal manera que tornamos un problema de maximizacinrestringida en uno irrestricto.

Ejemplo: Modelo de Deaton (1991) - Mercados incompletos -extrado de Den Haan De Wind (2012).

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propuesta 1: penalty functions (2)

El modelo est dado por:

maxfct;atg1t=1

E11Xt=1

t1 c1t 11

!(42)

s:t: (43)

ct +at

1+ r = at1 + ezt ; (44)

zt = z+ "t y "t N(0; 2z ); (45)at 0: (46)

Este es un problema con una fuerte no-linealidad (kink) ante laincapacidad de los agentes a endeudarse (activos no negativos).

La solucin mediante un mtodo de perturbacin no resultaraadcuada en este caso (discontinuidad en las derivadas).

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Den Haan De Wind (2012) proponen una replantear el problemade la siguiente forma:

maxfct;atg1t=1

E11Xt=1

t1 c1t 11 P(at)

!(47)

s:t: (48)

ct +at

1+ r = at1 + ezt ; (49)

zt = z+ "t y "t N(0; 2z ); (50)

Donde la restriccin de no negatividad para los activos ha sidoretirada y sustituda por una modicacin a la funcin objetivo.

La idea es que la penalidad lleve al modelo hacia soluciones enlas que la restriccion implcita de no negatividad se cumpla.

Hay que ser inteligentes deniendo la forma funcional de P(at).

77


Den Haan De Wind (2012) escriben esta funcin como:

P(at) =10

exp(0at) + 2at (51)

Donde los parmetros sirven para controlar la forma de lafuncin.

En particular con 2 = 0, lim0!1 P(at) =1 para at < 0 y 0 paraat 0.

As podemos replicar la restriccin original. Tenemos entonces suciente exibilidad para plantear unproblema aproximado a travs de un problema perturbado.

78

propuesta 2: piece-wise perturbation

Iacoviello Guerreri (2015): Podemos ver un modelo derestricciones ocasionalmente efectivas (OBC), como un modelode dos regmenes.

Under one regime, the occasionally binding constraint is slack. Under the other regime, the same constraint is binding.

Regime M1 (occasionally binding constraint is slack), linearizedsystem can be expressed as:

AEtXt+1 + BXt + CXt1 + E"t = 0; (52) Alternative regime M2 (occasionally binding constraint binds),linearized system (around same non-stochastic steady state)can be expressed as:

AEtXt+1 + BXt + CXt1 + D + E"t = 0: (53) Assume BK conditions hold in M1, and that absent shockssystem is expected to return to M1 in nite time

We are now in a position to dene a solution for our model.79

propuesta 2: piece-wise perturbation (2)

A solution for a model with an occasionally binding constraint isa function f : Xt1 "t ! Xt such that the conditions undersystem (M1) or the system (M2) hold, depending on theevaluation of the occasionally binding constraint.

Alternatively, given initial conditions X0 and the realization of ashock "1, the function f can be expressed as a set of matrices Pt,a set of matrices Rt, and a matrix Q1, such that:

X1 = P1X0 + R1 + Q1"1, Xt = PtXt1 + Rt 8t 2 f2;1g.

At each point in time the matrices Pt;Qt;Rt are time varying,even if they are functions of Xt1 and "1 only.

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The algorithm employs a guess-and-verify approach.1. We guess the periods in which each regime applies.2. Second, we proceed to verify and, if necessary, update the initial

guess.

Importantly, the solution that the algorithm produces is not justlinear.

The solution is highly nonlinear The dynamics in one of the two regimes may crucially dependon how long one expects to be in that regime.

In turn, how long one expects to be in that regime depends onthe state vector.

This interaction produces the high nonlinearity.

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The piecewise linear solution inherits some disadvantages of alinear perturbation method:

Just like any linear solution, it discards all information relativeto the possibility of unforeseen future shocks;

It does not capture precautionary behavior linked to thepossibility that a constraint may become binding in the future,as a result of shocks yet unrealized.

But it also inherits some great advantages:

It is computationally fast. It is applicable to models with a large number of state variableseven when the curse of dimensionality renders otherhigher-quality methods inapplicable.

It is general and application of our algorithm to differentmodels requires only minimal programming.

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conclusiones

conclusiones

Los mtodos de aproximacin estudiados en esta clase tomanun problema y lo aproximan a uno con solucin conocida.

El mtodo LQ toma un problema y le da forma cuadrtica a lafuncin de utilidad instatnea (o renta).

Los mtodos de perturbacin explotan la informacin de lasolucin no estocstica para aproximar los problemas usandola distribucin estndar como parmetro de perturbacin.

Ambos mtodos utilizan aproximaciones polinomiales de lasfunciones de poltica alrededor de un punto - son solucioneslocales (aunque pueden tener excelentes propiedades globales).

Son rpidos de implementar! lo que los vuelvenextremadamente populares.

El mtodo de perturbacin usando la varianza como parmetropresenta adems ventajas considerables sobre la perturbacindel problema LQ.

Las aproximaciones de orden mayor son interesantes paraestudiar problemas econmicos pero nos olbigan a ser cautos.

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Preguntas?

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MotivacinEl Mtodo LQMtodo de PerturbacinIntroduciendo IncertidumbreOrden MayorAplicacin 1: Choques de RiesgoMtodos locales vs. mtodos globalesConclusiones

Session 2 - Perturbation

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