Sesion_3

FUNDAMENTOS DE

MCANICA CUNTICA

Recapitulemos

Qu sabemos hasta el momento acerca

de la estructura de la materia?

Modelos atmicos

Radiacin electromagntica

Todas las teoras basadas en conceptos de

la fsica clsica, que intentaban explicar lo

observado con la intensidad de la radiacin

en el cuerpo negro haban fallado.

Radiacin del cuerpo negro


Catstrofe del ultravioleta

En 1900, Max Planck

(1858-1947) abord el

problema del cuerpo

negro y dio una

explicacin radical para

este experimento.



En primera instancia Planck propuso una

ecuacin que se ajustara a los resultados

experimentales, basado solo en la

fenomenologa del sistema.

Propuso su ecuacin al observar que la

discrepancia con el experimento ocurra a altas

y no bajas frecuencias (catstrofe del

ultravioleta).


La ecuacin que encontr Planck fue la

siguiente:

=8

33

/ 1 (1)

Donde k es la constante de Boltzman y h fue

un parmetro utilizado por Planck para

ajustar sus resultados.


Mediante mediciones cuidadosas, encontr

para el parmetro h el valor de:

= 6.626 1034 2

Actualmente, h se conoce como la

constante de Planck.


Sin embargo, aunque su formula pareca

correcta, Planck ahora quera demostrarla

en trminos de propiedades fsicas.

l encontr que la nica manera de derivar

su ecuacin era si consideraba que la

energa de la radiacin era proporcional a

su frecuencia.


Y adems, esta energa deba ser irradiada en cantidades discretas (paquetes) de acuerdo a la relacin:

= , (3)

Donde h es la constante de Planck, la frecuencia y n un entero positivo (1, 2, 3, ).

Cada uno de estos paquetes de energa se denomina cuanto (del latn quantum, cantidad de algo).


Estas dos propuestas hechas por Planck,

estaban en completo desdn de la teora

clsica, pues:

En fsica clsica la intensidad de la radiacin

es proporcional al cuadrado de las amplitudes

e independiente de la frecuencia.

(2 +

2) (4)


Adems de acuerdo a la teora clsica, la

energa es una cantidad continua (puede

tomar cualquier valor), no solo ciertos valores

discretos ( = ).

Entonces, desde el punto de vista clsico, la

teora de Planck era imposible de entender, e

inicialmente no fue aceptada.


Las ideas de Planck acerca de la

cuantizacin de la energa, no tomaron

relevancia sino hasta 1905, cuando un tal

Albert Einstein explic el efecto fotoelctrico.

El efecto fotoelctrico fue observado por

primera vez por Heinrich Hertz, en 1887, mientras

estudiaba la radiacin electromagntica.

En este fenmeno, la luz de cierta frecuencia

puede lograr que un metal emita electrones

(fotoelectrones).

El efecto fotoelctrico


Placa metlica

De acuerdo con las ideas clsicas, los e- deban absorber la energa de la radiacin de poco a

poco, hasta que obtuvieran la energa

suficiente para vencer su atraccin al metal y

as salir del metal.

Es decir, lo que se esperara sera lo siguiente :


La emisin de los electrones no ser

instantnea.

Esta emisin debe darse para cualquier

frecuencia de la onda incidente.

La energa cintica de los fotoelectrones, solo

depender de la cantidad de radiacin

(intensidad), y no de la frecuencia.


Desafortunadamente este experimento

tampoco era explicable desde el punto de

vista de la teora clsica.

Pues, lo que en realidad se observaba era lo

siguiente:


La emisin de los electrones es instantnea.

Si se emplea radiacin con una frecuencia

inferior a una cierta frecuencia (frecuencia

umbral 0), no hay emisin de e-.

La frecuencia umbral depende del metal

utilizado.


La energa cintica de los electrones

depende de la frecuencia de la radiacin y

no de su intensidad.


En 1905, Albert Einstein

(1879-1955)parti de una

extraordinaria hiptesis

para explicar el efecto

fotoelctrico.


Tomando como punto de partida la teora

cuntica de Planck, Einstein propuso que la

radiacin deba estar constituida por

partculas, llamadas fotones, que transportaban la energa de forma discreta

(cuantos de energa).


Entonces, la energa de cada fotn viene

dada por :

= (5)

Suponiendo que la luz se comporta como

una partcula, al chocar con un e-, esta le

transmitir inmediatamente toda su energa.


Adems, la energa que la radiacin seda al

electrn, depender de su frecuencia.

*Electronvoltio(eV) es una unidad de energa

1 eV=1.60217x10-19 J



No hay

Cmo se explica la imagen anterior?

En primera instancia, sabemos que existe una

energa de unin entre los electrones y el

metal.

Entonces, para que un fotn pueda arrancar

electrones del metal se debe vencer esta

energa de unin.


La energa mnima que debe superarse para

que exista emisin de electrones se conoce

como funcin trabajo del metal (W).

La funcin trabajo se relaciona directamente

con la frecuencia umbral de la siguiente

manera:

= 0 (6)


Mientras ms grande sea la , ms energa se requiere para que los electrones dejen la

superficie del metal.

Si el metal se irradia con una luz de mayor

frecuencia que 0 , los electrones sern emitidos con una energa cintica ().


Finalmente, de acuerdo con Einstein, el

efecto fotoelctrico de los metales debe

obedecer la siguiente ecuacin:

= +

=1

22 + 0 (7)


Si se grafica la , en base a la siguiente ecuacin:

= 0 = 0 (8)

Se obtienen lneas rectas, cuya pendiente es

igual a la constante de Planck.


Modelo atmico de Bohr y

la vieja teora cuntica

La explicacin de Einstein del efecto

fotoelctrico, preparo el camino para

resolver otro misterio de la fsica del siglo XIX:

Los espectros de emisin de los tomos

Modelo atmico de Bohr

Espectro de emisin del H

En 1913, Niels Bohr (1885-

1962) desarrollo un modelo

atmico que resolva el

problema de la estabilidad

presente en el modelo de

Rutherford.


Solo para recordar: En el modelo

de Rutherford los tomos seran

inestables, pues los electrones

emitiran radiacin al estar sujetos

a una aceleracin.

Entonces perderan su energa

poco a poco, y eventualmente caeran hasta el ncleo.


Para plantear su modelo, Bohr se vali de tres

ideas desarrolladas anteriormente:

I. El hecho de que en el tomo existe un

ncleo donde se concentra casi toda la

masa (Rutherford).

II. La cuantizacin de la energa (Planck al

explicar la radiacin del cuerpo negro).


III. La naturaleza corpuscular (fotones) de la luz

(Einstein tras explicar el efecto fotoelctrico).

Para comenzar el anlisis del modelo de Bohr, es

conveniente partir de postulados mismos que

posteriormente sern analizarlos, para concluir si

estos describen a los sistemas planteados

(tomos).


I. Primer postulado:

Los electrones se mueven en orbitas

circulares alrededor del ncleo de carga Z+, estos estn sujetos a una fuerza de atraccin

Culmbica y su movimiento satisface las leyes

de Newton.

Postulados del modelo de

Bohr


Entonces, en el sistema tenemos:

Fuerza Culmbica de atraccin

con el ncleo:

= 2

2 (9)

Y la fuerza centrpeta que sigue

la segunda ley de Newton:

= 2

(10)

Debido a que el tomo esta en equilibrio ,

ambas fuerzas deben ser iguales:

2

=

2

2 (11)

despejando r, podemos llegar a una expresin

para el radio de la orbita de los elctrones:

= 2

2 (12)


Bohr

En principio, la ecuacin (11), implica que el radio de la orbita del electrn puede variar de 0 a .

II. Segundo postulado (cuantizacin del momento angular).

El momento angular del electrn est cuantizado, as, las infinitas rbitas dadas por l a ecuacin (11) solo son posibles aquellas en las que su momento angular es un mltiplo entero de /2 ().


Bohr

Momento lineal o cantidad de movimiento:

= (13)

Momento angular:

= = (14)


Bohr

Debido a que las orbitas son circulares, = 90

y por lo tanto 90 = 1. Entonces:

= = (15)

La hiptesis de Bohr establece que el

momento lineal est cuantizado en mltiplos

de la constante de Planck. Por ende:


Bohr

= =

2= (16)

donde = 1, 2, 3,

Si despejamos v, encontramos.

=

(17)

* = /2 = 1.055 10 34 ; se conoce como h barra y es muy utilizada en mecnica cuntica.


Bohr

Si sustituimos la ecuacin (17) en la (12):

=

17 ; =

2

2

(12)

Obtenemos:

= 2

22

22

(18)


Bohr

Resolviendo para r, llegamos a la expresin final

para las rbitas permitidas en el tomo de Bohr:

=22

2 (19)

Para la primer orbita del tomo de H (n=1), la

ecuacin sera la siguiente:

=2

2 (20)


Bohr

Calcular el radio de la primer rbita del tomo de H.

=2

2

=1

40 ; 0 = 8.8542 10

12 2/2

= 1.6022 1019 ; = 9.109 1031

Pequeo ejercicio

El valor para el primer radio de Bohr en el tomo de hidrgeno, es una constante muy utilizada en mecnica cuntica.

Se denota como 0 y se le llama radio de Bohr.

0 = 0.529 (21)

*1 = 10-10 m


Bohr

Entonces para cualquier tomo hidrogenoide

(solo un electrn), las orbitas permitidas pueden

ser conocidas por siguiente expresin.

=20

(22)


Bohr


Bohr

Para el tomo de H, el

valor se sus primera

cuatro orbitas son los

siguientes:

n=1, r1 = a0 = 0.529

n=2, r2 = 2.116

n=3, r3 = 4.761

n=4, r4 = 8.464

1.- La funcin trabajo para el Na metlico es 2.3 eV Cul es el valor de la longitud de onda umbral para este elemento? Y para el Platino, si su funcin trabajo es de 1.02 x10-18 J ?

2.- La longitud de onda umbral para el Rb es de 574 nm.

a) Calcula la funcin trabajo del Rb.

b) Cul es la energa cintica de los electrones emitidos? Si se irradia con luz de 400 nm y posteriormente de 220 nm.

Problemas

3.- Calcula el radio de la primer y segunda

orbita para los siguientes iones hidrogenoides:

He+, Ne9+ y U91+.

Problemas

Sesion_3

Documents

Transcript of Sesion_3