Sesion 7-2015-1 Vibracion Libre No Amortiguada
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Dinmica 2015-1
Sesin 07
Tema: Dinmica de los Sistemas Vibratorios
Vibraciones Libres No Amortiguadas
1
-
VIBRACIONES MECANICAS
Galileo Galilei (1564 1642), un astrnomo italiano, filsofo y profesor
de matemticas en las Universidades de Pisa y Padua, en 1609 se
convirti en el primer hombre en apuntar un telescopio hacia el cielo.
l escribi el primer tratado sobre la dinmica moderna en 1590. Sus
trabajos sobre las oscilaciones de un pndulo simple y la
vibracin de las cuerdas son de importancia fundamental en la
teora de las vibraciones.
(Cortesa de Dirk J. Struik, A Concise History of Mathematics (2 rev.
Ed.), Dover Publications, Inc., Nueva York, 1948.)
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TIPOS DE VIBRACIONES MECANICAS
1. VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS
2. VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS
3. VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS
4. VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS
Pitgoras. (Reproducido
con el permiso de L. E. Navia,
Pitgoras: Una bibliografa anotada,
Garland Publishing, Inc., Nueva York, 1990).
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Una vibracin libre no amortiguada es el movimiento
peridico de un cuerpo o de un sistema de cuerpos
conectados desplazados desde una posicin de
equilibrio.
El sistema bajo vibracin libre vibrar en una o ms de
sus frecuencias naturales, dependientes de la
distribucin de su masa y rigidez.
Las vibraciones no amortiguadas pueden continuar
indefinidamente debido a que los efectos de la friccin
son despreciados en el anlisis.
Vibracin libre no amortiguada
-
Analisis del movimiento vibratorio libre no
amortiguado:
En la figura observamos un cuerpo de masa m que oscila con respecto a un punto fijo con una amplitud x=A . La fuerza elastica del resorte que aplica al bloque es una fuerza conservativa . Ley de Hooke para resortes elasticos: Entonces el modulo de la fuerza disminuira hasta cero en el punto de equilibrio. Caso contrario ocurre con la velocidad que adquiere su maximo valor en el punto de equilibrio y es cero cuando la amplitud es maxima.
.F k x=
Superficie sin friccin
-
n
x
A
v
v v
v
v
x
( )nx ASen tw f= +
2n
t T
q pw = =
x n nv x A Cos tw w= =
2
x n na x A Sen tw w= = -
n nx aSen t bCos tw w= +
Otra forma de expresar X:
-
2x x n nF ma mx mA Sen tw w= = = -2
nx nnASen t Akx n tF Sek m ww w= = = -- -
2
nk mw=
2
n
k
mw =
n
k
mw =
-
Energia mecanica = cte
21
2KE mv=
21
2PEE Kx=
-
La energia mecanica se conserva:
*De la figura
2 21 1.2 2
m v kx
22.( . ) 1
2 2
m w AkA
0 0x A x A x xp c p cE E E E
= = = =+ = +
kw
m=
2
. ( )
.cos( )
( )
x A sen t
x A t
x A sen t
w j
w w j
w w j
= +
= +
= - +
2 21 1
2 2M xE mv Kx cte= + =
-
Animacin del movimiento.
-
Segunda ley de Newton:
Ecuacion diferencial del movimiento
Despejando la ecuacion (1)..
0 nwl w= = Frecuencia angular
.s n( . )t nx A e tw j= +
..,, A
2
0
.
. .
. 0
F m a
k x m x
x w x
S =
= -
+ =2.k w m=
-
Principio de Jean Dalembert
-
PROBLEMA 2 (3 puntos)
La barra delgada que pesa 15 N,
est en equilibrio en la posicin
horizontal. Si se hace descender
125 mm su extremo C y se suelta
a partir del reposo, determine:
a.- La ecuacin diferencial del
movimiento en funcin del ngulo
.
b.- La frecuencia natural.(rad/s)
c.- La mxima velocidad del
extremo C.(m/s)
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PROBLEMA 1 (3 puntos)
La barra delgada de peso despreciable soporta la carga donde q = 500 N/m, en
la posicin horizontal los resortes carecen de deformacin. Se sabe que K1=500
N/m, K2=620 N/m. Si se hace descender 125 mm su extremo C y se suelta a
partir del reposo, determine:
a.- La ecuacin diferencial del movimiento.
b.- La frecuencia natural.(rad/s)
c.- La mxima velocidad del extremo C.(m/s)
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Utilizando los diversos mtodos conocidos hallar la ecuacin diferencial del movimiento del
problema dado:
1) Principio de Jean Dalembert
1) Mtodo de Rayleigth
2) Mtodo por impulso y cantidad de movimiento angular
3) Mtodo por la segunda ley de newton
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METODO DE LA ENERGIA MECANICA Si sobre un cuerpo o sistema actan solo fuerzas conservativas y fuerzas que
no trabajan entonces se cumple la Conservacin de la Energa Mecnica la
que permanece constante con respecto a un sistema de referencia. Por lo tanto:
Lo que implica:
Denominado mtodo de Rayleigh
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PROBLEMA 02
El carrete de 50 libras est unido a dos resortes. Si el carrete se desplaza
una pequea cantidad y se suelta, determine el periodo natural de
vibracin. El radio de giro del carrete es Kg = 1.2 pies. El carrete rueda sin
deslizarse.
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RESULTADOS PROBLEMA 2
Rpta VARIABLE EXPRESION NUMERICO UNIDADES EVALUACION (no llenar)
a
b n rad/s
c VC m/s
PROBLEMA 2 (3 puntos)
La barra delgada que pesa 15 N, est en equilibrio en la posicin horizontal.
Si se hace descender 125 mm su extremo C y se suelta a partir del reposo,
determine:
a.- La ecuacin diferencial del movimiento.
b.- La frecuencia natural.(rad/s)
c.- La mxima velocidad del extremo C.(m/s)
-
L
L
A
B C
-
Las masas de las barras AB y OD
son de 2 y 4kg , la rigidez de cada
resorte es K=300 N/m. y la
elongacin de los resortes es de
0.1m en la posicin representada.
El miembro oscila en un plano
vertical y la rapidez mxima del
punto D es 0.5 m/s.
01. Cual seria la frecuencia
del movimiento originado.(rad/s)
02. Hallar el periodo (s).
03. Calcule la magnitud de la
tensin mxima en los
resortes(N).
nw
O
-
Animacin del movimiento
-
N/mK 300=
kgmAB 2= kgmOD 4=
2.3333.1= mkgIOD
12
2LmI ABAB =
3=
2LmI CDOD
2.04166.0 mkgIAB =
ODAB+III =0
2
0 .375.1 mkgI =
A
B
-
Ecuacin diferencial del movimiento
0,25=x OI=OM1
Cos
Sen
37,1)5,0()()( SengmxKxxKx OD
375,1)5,0)(8,9(4)25,0(300)25,0(300 22
01,57375,1
sradn /4441,6375,1
1,57
sTn
n 975,02
-
0 ( )sen wt=q q 0 .cos( )w wt=q q
max 0.5 /DV m s=
00.5 (5.4452).cos(5.4452.0.945)= q
0 0.07757rad=q
0Td d x= + 00.1 0.25( )Td = + q
0.11939Td m=
max ( )TF K d=
max 300(0.11939) 35.817F N= =
-
RESULTADOS
6.4452 Rad/s
0.9750 s
35.8178 N
nw
T
maxF