UNIDAD 3UNIDAD 3Medidas de DispersiónMedidas de Dispersión

Lic. José Gregorio Alvarado Pérez

c. Medidas de dispersión

• Una vez que se ha localizado el “centro” con las medidas de

tendencia central, la investigación en busca de información a partir

de los conjuntos de datos se dirige ahora a las medidas de

dispersión. Estas medidas incluyen el rango, la varianza y la

desviación estándar. Estos valores numéricos describen la cantidad

de dispersión, o variabilidad, que se encuentra entre los datos. Las

medidas de dispersión son:

1. Rango

2. Desviación Respecto a la media

3. Varianza

4. Desviación estándar

c.1. Rango

DEFINICIÓN

• Es la diferencia entre las proporciones de datos de mayor valor

(max) y de menor valor (min).

FÓRMULA DEL RANGO

OBTENCIÓN DEL RANGO

Rango= Máximo – Mínimo

Rango= Máx – Min = 8 – 3 = 5

c.1. Rango

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL RANGO

c.2. Desviación respecto a la media

DEFINICIÓN

• Una desviación de la media, x – media, es la diferencia entre el valor

x y la media.

• Cada valor individual de x se desvía de la media por una cantidad

igual a (x – media). Esta desviación (x – media) es cero cuando x es

igual a la media. La desviación (x – media) es positiva si x es mayor

que la media y, negativa si x es menor que la media.

c.2. Desviación respecto a la media

OBTENCIÓN DE LA DESVIACIÓN RESPECTO A LA MEDIA

• Considere la muestra 6, 3, 8, 5, 3. Al usar la fórmula para obtener la

media se encuentra que la media es 5. Luego, cada desviación, se

encuentra restando 5 de cada valor x.

Datos X 6 3 8 5 3

Desviación X – media 6 - 5 3 - 5 8 - 5 5 - 5 3 - 5

Resultado 1 -2 3 0 -2

c.2. Desviación respecto a la media

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DESVIACIÓN RESPECTO A LA MEDIA

c.2. Desviación respecto a la media

• Para describir el valor “Promedio” de estas desviaciones podría

usarse la desviación media, la suma de desviaciones divida entre n.

sin embargo, como la suma de las desviaciones, Σ(x – media), es

exactamente cero. Debido a quela desviación media siempre es

igual a cero, no es un estadístico de utilidad.

• La suma de desviaciones Σ(x – media), siempre es cero debido al

efecto de neutralización entre las desviaciones de los valores x

menores que la media (que son negativos) y los valores x mayores

que la media (que son positivos). Este efecto de neutralización

puede eliminarse si se hace algo para que todas las desviaciones

sean positivas.

c.2. Desviación respecto a la media

• Una forma de eliminar el efecto de neutralización positivo-negativo

es elevar al cuadrado cada una de las desviaciones; todas las

desviaciones al cuadrado serán valores no negativos (positivos o

cero). Las desviaciones al cuadrado se utilizan para determinar la

varianza.

c.3. Varianza de la muestra

DEFINICIÓN

• La varianza de la muestra, s2, es la media de las desviaciones al

cuadrado utilizando como divisor a n – 1.

FÓRMULA DE LA VARIANZA DE LA MUESTRA

c.3. Varianza de la muestra

NOTAS

• Para encontrar la media se usa la suma de todas las x.

• En el supuesto de que se use el valor exacto de la media, la suma de

las desviaciones, Σ(x – media), siempre es cero. Aplique este hecho

para comprobar sus cálculos.

• Si usa un valor redondeado de la media, entonces Σ(x – media), no

siempre es cero. No obstante, estará razonablemente próxima a

cero.

c.3. Varianza de la muestra

OBTENCIÓN DE LA VARIANZA DE LA MUESTRA

• Calculando la varianza de 6, 3, 8, 5, 3 aplicando la fórmula anterior.

Paso 1. Encuentra Σx

Paso 2. Encuentre la

media

Paso 3. Encuentre cada

x - media

Paso 4. Encuentra Σ(x –

media)2

Paso 5. Varianza de la muestra

6

X= 25/5= 5

6 – 5 = 1 (1)2= 1

s2 = 18/4 = 4.5

3 3 – 5 = -2 (-2)2= 48 8 – 5 = 3 (3)2= 95 5 – 5 = 0 (0)2= 03 3 – 5 = -2 (-2)2= 4

Σx= 25 media = 5 Σ(x-media) = 0 Σ(x-media)2 = 18 s2 = 4.5

c.3. Varianza de la muestra

MÉTODO DE ATAJO

• El numerador de la varianza de la muestra, Σ(x – media)2, a menudo

se denomina “suma de cuadrados de x” y se simboliza SC(x), así la

fórmula puede expresarse como:

c.3. Varianza de la muestra

• Las fórmulas de la varianza pueden modificarse a otras formas para

aplicarlas más fácilmente en diversas situaciones. Por ejemplo,

suponga que se tiene la muestra 6, 3, 5, 8, 2. La varianza de esta

muestra se calcula en la siguiente tabla:

Paso 1. Encuentra Σx

Paso 2. Encuentre la

media

Paso 3. Encuentre cada

x - media

Paso 4. Encuentra Σ(x –

media)2

Paso 5. Varianza de la muestra

6

X= 24/5= 4.8

6 – 4.8 = 1.2 (1.2)2= 1

s2 = 22.80/4 = 5.7

3 3 – 4.8 = -1.8 (-1,8)2= 45 5 – 4.8 = 3.2 (3.2)2= 98 8 – 4.8 = 0.2 (0.2)2= 02 2 – 4.8 = -2.8 (-2.8)2= 4

Σx= 24 media = 24 Σ(x-media) = 0Σ(x-media)2 =

22.80s2 =5.7.

c.3. Varianza de la muestra

• El procedimiento aritmético para este ejemplo puede volverse más

complicado porque la media contiene dígitos diferentes de cero del

punto decimal. No obstante, la “suma de cuadrados de x”, el

numerador de la fórmula puede volverse a escribir como: