Sesion 1 calculo

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Curso Funciones (Cálculo) Sesión 1. Concepto de función

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Concepto de función

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CursoFunciones (Cálculo)

Sesión 1. Concepto de

función

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Funciones (Cálculo)

Tema 1: Antecedentes históricos del concepto de función

Tema 2: Definición y características de funciónes.

Tema 3: Tipos de funciones.

Tema 4: Tarea

1

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Profesor Asignatura Semestre Fecha

Cálculo 4° 17-Feb-2012Concepto fundamental Concepto subsidiario Competencias disciplinares Competencias genéricas

Funciones • Definición de función• Dominio y contradominio de

una función

Determinar la importancia que tiene el triangulo en la geometría y

las múltiples aplicaciones

Capacidad de identificación de elementos fundamentales en torno al tema de discusión

Actividad Estrategia Didácticade la enseñanza

Tipo de actividad

Tiempo asignado

Producto de aprendizaje

Apertura Antecedentes históricos del concepto función

Discusión del tema

15 min Lista de posibles ejemplos de funciones en todos los ámbitos.

Desarrollo Mostrar algunos ejemplos de la vida real y deducir la definición de función

Uso del Laboratorio de Funciones

80 min Construcción de funciones a partir de las condiciones de definición

Cierre Planteamiento de problemas orientados a mostrar las aplicaciones de las funciones

Uso del Laboratorio de Funciones

10 min + 1:30 horas

Soluciones a los problemas planteados

Secuencia didáctica

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APERTURA

Antecedentes históricos del concepto de función

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Funciones

• El la vida cotidiana es común relacionar conjuntos de determinados objetos , por ejemplo artículos del supermercado con su costo en pesos para determinar cuanto podemos comprar.

• La relación entre el monto a pagar por el servició de telefonía celular y los minutos utilizados.

• La calidad del aprendizaje depende del tiempo y la calidad del estudio realizado

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Cálculo

• El concepto de relación y en especial el de función es uno de los más importantes de las matemáticas, ya que existe un gran número de aplicaciones que no sólo justifican su uso , si no que lo hacen necesario.

• Una de las ramas más importantes de las matemáticas como es el Cálculo infinitesimal o Cálculo, se apoya en el concepto de función para estudiar los límites, derivadas, integrales, series y para resolver situaciones de la vida cotidiana.

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Historia del concepto de función

FUNCIONES

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Siglo XVII

Galileo, Kepler y Descartes fueron los primeros en establecer la idea de función. Descartes fue uno de los primeros en asociar una curva con una expresión algebraica. Además introdujo el uso de las primeras letras del alfabeto a, b, c,… para las constantes y las últimas letras …, x, y, z para variables.

En esa época, las funciones se escribían en forma implícita y se utilizaba la siguiente notación para escribir , por ejemplo, la ecuación de la hipérbola :

xy=a

Kepler Galileo Descartes

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Siglo XVII

Hacia la segunda mitad de este siglo se usaban expresiones explícitas para las funciones. Matemáticos como: Barrow, Newton y Leibniz usaban dicha notación para las funciones.

Por ejemplo Newton escribía:

Fue Leibniz en 1673 quien primero empleó el término de función aunque no en el sentido actual.

NewtonLeibniz

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Siglo XVIII

Jean Bernoulli , discípulo de Leibniz, publicó un articulo en 1718 donde escribió:

“Una función de una variable es definida como una cantidad compuesta de alguna manera por unas variables y contantes.”

A lo que se refiere Bernoulli es que debe ser expresable con operaciones matemáticas.

Fue el primero que uso letras distintas a las de las variables para una función, por ejemplo: φ x

Esto denota que :

φ una función de x.

Jean Bernoulli

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Siglo XVIII

Fue Euler quien dio fama al concepto de función. En 1748 publicó un libro donde definió una función como:“Una función de una magnitud variable es cualquier expresión analítica formada con la cantidad variable y con números o cantidades constantes.”Las funciones se comenzaban a pensar más que una combinación de variables, como una asociación de valores.

Euler usó letras para denotar funciones f, g, h, indicando entre paréntesis las variables, Así, él escribía f(x) para indicar el valor que la función f asocia al punto x.

Euler

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Siglo XIX

En los inicios del siglo XIX la tendencia era hacia un concepto de función más amplio, de acuerdo a la definición de Euler.Fourier en su libro La thérice analytique de la chaleur publicado en 1822 escribió:

Una función general f(x) representa una sucesión de valores u ordenadas para cada uno de los cuales es arbitrario.

Las funciones que tenía en mente Fourier podrían ser discontinuas.

Fourier

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Siglo XIX

A mediados del siglo XIX otros matemáticos también aportaron para ampliar el concepto de función . Y así obtener una definición más actual de dicho concepto.

El matemático ruso Lobachevski en 1834 escribió: “La concepción general requiere que una función de x sea definida como un número dado para cada x y variando gradualmente con x. El valor de la función puede ser dado bien por una expresión analítica o por una condición que aporta un modo de examinar todos los números y elegir uno de ellos. La dependencia puede existir y resultar desconocida.”

.Lobachevski

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Siglo XIX

El matemático alemán Dirichlet en 1837 escribió:“Tomaremos dos valores fijos a y b y una cantidad variable x que toma todos los valores entre a y b. Si un único valor finito “y” corresponde a cada “x”, de tal manera que cuando x toma continuamente los valores entre a y b, y=f(x) también varía continuamente. “

Se le atribuye la definición formal de función, en el sentido moderno.

.

Dirichlet

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Galileo

Kepler

Descartes

Newton

Jean Bernoulli

Euler

Leibniz

Fourier

Lobachevski

Dirichlet

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DESARROLLO

Definición y características de funciónes.

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Posición del corredor está en función del tiempo.

El costo para una familia que va de viaje está en función del número de personas.

El salario de una persona esta en función de lo que trabaja.

Función

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Variables

Cuando hablamos de funciones o relaciones entre dos variables definimos a la x como variable independiente, la cual mediante una regla o correspondencia le asigna automáticamente un valor a y como variable dependiente, debido a esto se dice que y es una relación o función de x

x y

Variable independiente

Variable dependiente

Regla oCorrespondencia

(ecuación)

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Formas de representar una relación o una función

123

149

A B

y= x²

Gráfica

Sagital

Analítica

Se asocia cada elemento de un conjunto con su

correspondiente en el otro conjunto.

Representación de pares coordenados

en el plano cartesiano.

Igualdad que relaciona a los dos

variables que intervienen

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Definición

• Relación es cualquier conjunto de pares ordenados o cualquier correspondencia entre conjuntos.Función es una clase especial de relación para la cual hay sólo un valor de la variable dependiente y para cada valor de la variable independiente x.

1

2

3

4

4.00

8.00

12.00

16.00

función

1 5.00 3.0010.00 6.0015.00 9.0020.0012.00

relación

2

3

4

A B

A B

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Definición• Una función es una regla de

correspondencia donde a cada elemento de un conjunto A se le asigna uno y sólo un elemento de un conjunto B.

• Dominio: son todos los valores que puede tomar la variable independiente en una función.

• Rango o codominio: son todos aquellos valores de la variable dependiente.

• Argumento: es cualquier elemento del dominio.

• Imagen: valor que resulta de evaluar un argumento.

Conjunto A Conjunto B

1

2

3

4

4.00

8.00

12.00

16.00

función

DOMINIO CODOMINIO

ARGUMENTO

IMAGEN

x f f(x)

El elemento que f asocia con x se le denota por f(x)

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Función o no función

• Una función se caracteriza geometricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta su gráfica lo hace sólo en un punto.

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Laboratorio de funciones

Sqrt(-X^2+25)-Sqrt(-X^2+25)

No es función

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.5x^3+2X^2

es función

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Sqrt(x-1)-Sqrt(x-1)

No es función

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Clasificación de funcionesConstante Lineal

Cuadrática Cúbica

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Clasificación de funcionesPolinomial Racional

Irracional

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Clasificación de funcionesExponencial Logarítmica

Seno Tangente

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Situación

• Un alumno acostumbra ir a un ciber que esta cerca de su casa para rentar una computadora para chatear. El costo por hora es de $5.00 y los minutos se cobran en forma proporcional. El tiempo máximo que puede rentar al día es 8 horas .

• Determinar el dominio de la función , el rango y el intervalo de esta situación. f(x) = 5x f(x) = 5x

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5x

Codominio(0 , 40]

Dominio(0 , 8]

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Situación

• Abrieron un ciber y por inauguración tienen la promoción de $20.00 sin límite de tiempo.

• Determinar el dominio de la función , el rango y el intervalo de esta situación.

f(x) = 20

f(x) = 20

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20

Dominio(0 , +)

Codominio{ 20 }

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Situación• Una empresa de turismo quiere

hacer una promoción a grupos de turistas en sus viajes por la ciudad, para lo cual proponen lo siguiente; el costo del boleto por persona es de $20.00, pero si el grupo excede de 20 pasajeros les descontará $0.50 por persona.

• La empresa quiere saber cual es el número máximo de personas a los que les puede ofrecer esta promoción para obtener la mayor ganancia.

• f(x) = .5x²+10x+400f(x)= .5x²+10x+400

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-.5x^2+10x+400

Dominio(0 , +40]

Codominio[0 , 450]

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Situación• Un contratista debe entregar una

construcción lo más pronto posible teniendo en cuenta que:

• 1 obrero realiza dicha construcción en 30 días

• 2 obreros en 15 días• 3 obreros en 10 días• 4 obreros en 7.5 días, es decir, 7

días y la mitad de otro. • La situación esta dada por la

siguiente función:• f(x) = 30/x f(x) = 30/x

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30/x

Dominio[1 , +]

Codominio(0, 30]

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30/x

Dominio[1 , +)

Codominio(0, 30]

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Dada la siguiente expresión algebraica, indique si es función:

En caso de serlo, determine su dominio y codominio.

CIERRRE

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Tarea

• Elaborar una secuencia didáctica sobre el tema de funciones y analizar el ejercicio propuesto con el laboratorio de funciones.

Secuencia didáctica Aplicación Resolución