Sesión 1
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Qumica Cuntica IFacultad de Qumica - UNAM
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Jorge R. Martnez [email protected]
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Horas y Crditos5 horas de clase a la semanaTotal de horas: 808 crditos6 crditos de teora: 48 horas2 crditos de prctica: 32 horasA partir de tomo de Helio ~ sesin 14.ClculosProyecto
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Sitio Web del cursohttp://cea.quimicae.unam.mx/Estru/Enlace: Qumica Cuntica I
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Programa(Ver liga en la pgina)Fundamentos de la mecnica cunticaProblemas bsicos de la mecnica cunticatomo de HidrgenoMomento angular y espnMtodos aproximadosDos electrones: Helio
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Programa (2)Sistemas de muchos electronesHartree-FockMas all de Hartree-Fock: la correlacin electrnicaTeora de funcionales de la densidadEspectroscopia molecular
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BibliografaLevine, Ira N., Quantum Chemistry, 6a ed, New Jersey, Prentice Hall, 2008.Atkins, P. W. y Friedman, R. S., Molecular Quantum Mechanics, 5a. ed, Oxford University press, 2010McQuarrie, Donald A. y Simon, John D., Physical Chemistry: A Molecular Approach, University Science Books, 1997.
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Bibliografa (2)Hanna, Melvin W. Mecnica cuntica para qumicos, Fondo Educativo Interamericano,1985.Lowe, John P., Quantum Chemistry, 3ra. ed, Academic Press, 2005.Pilar, Frank L. Elementary Quantum Chemistry, Second Edition Dover Publications, 2011
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Bibliografa (3)MacQuarrie, Donald. Quantum Chemistry. University Science Books; 2 edition, 2007
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EvaluacinExmenes parcialesExamen departamentalPrcticasProyecto (Gaussian u otros)Tareas
Exentos con seis de promedio
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IntroduccinQu es la Qumica Cuntica?
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Qu es la Qumica Cuntica?Es la teora actual de la Qumica
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Qumica CunticaEst basada en una teora ms general que es la Mecnica Cuntica.Es la teora fundamental de los fenmenos atmicos y moleculares.
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Repaso de matemticas(Basado en el Hanna)Sistemas de coordenadasDeterminantesNotacin de sumatoria y productoVectoresNmeros complejosOperadores
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Repaso de matemticas (2)Ecuaciones de valores propiosPropiedades de simetra de funciones y sus integralesProbabilidad
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Sistemas de coordenadasCoordenadas cartesianas (o rectangulares)Coordenadas esfricas polares (polares para los cuates)Coordenadas cilndricasCoordenadas elipsoidales confocales (elpticas para los cuates)
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Coordenadas cartesianasUn punto P(x,y,z) queda definido por tres distancias a lo largo de tres ejes perpendiculares
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Coordenadas cartesianas (2)Elemento de volumen y lmites de integracin para integrar sobre todo el espacio?
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Coordenadas cartesianas (2)Elemento de volumen y lmites de integracin para integrar sobre todo el espacio
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Coordenadas esfricas polaresUn punto P(r,,) queda definido por una distancia y tres ngulos
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Coordenadas esfricas polares (2)Elemento de volumen y lmites de integracin para integrar sobre todo el espacio?
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Coordenadas esfricas polares (2)Elemento de volumen y lmites de integracin para integrar sobre todo el espacio
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Tarea 1Usando las ecuaciones:x = r sen cosy = r sen senz = r cosdemuestre que (x2+y2+z2)=r2
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Coordenadas cilndricasUn punto P(,,z) queda definido por dos distancias y un ngulo
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Coordenadas cilndricas (2)Elemento de volumen y lmites de integracin para integrar sobre todo el espacio
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Coordenadas elipsoidales confocales P(,,)rArB00ABFocosUn punto P(,,) queda definido por las distanciasRy el ngulo zxy
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Coordenadas elipsoidales confocales (2)
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Coordenadas elipsoidales confocales (3) Elemento de volumen y lmites de integracin para integrar sobre todo el espacio
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Determinantes?
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DeterminantesArreglos cuadrados de N columnas y N renglonesN es el orden del determinante
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Evaluacin de determinantesTodo determinante tiene un valor numricoCmo se evala un determinante?
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Evaluacin de determinantesTodo determinante tiene un valor numricoPara evaluar un determinante se utiliza el mtodo de cofactores
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Menores y cofactoresEl menor del elemento aij es el determinante de orden (N-1) que queda al quitar el i-simo rengln y la j-sima columna del determinante original. Este determinante se designa como AijPara formar el cofactor se la asigna un signo de acuerdo a la posicin que tena aij: (-1)i+j
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Evaluacin del determinanteSe escoge un rengln o una columna y se forma el producto de cada elemento del rengln (o columna) por su cofactor y se suman todos los productos
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Tarea 2Evale por el mtodo de cofactores el determinante:
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Propiedades de los determinantesEl valor de un determinante cambia de signo cuando se intercambian dos renglones o dos columnasSi dos renglones son idnticos o dos columnas son idnticas, el determinante es cero
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Notacin de sumatoria y producto
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Tarea 3Sea ai la serie de los enteros pares empezando con ai = 2. Evale:
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VectoresMagnitud y direccin, v.g. fuerza, aceleracin, campo elctrico; etc.La magnitud es un escalarVectores unitarios: i, j, kRadio vectorr = xi + yj + zk
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Suma y resta de vectoresSiA = Axi + Ayj + AzkyB = Bxi + Byj + Bzkentonces:C = A + B = (Ax+Bx)i + (Ay+By)j + (Az+Bz)k, yD = A - B = (Ax-Bx)i + (Ay-By)j + (Az-Bz)k
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MagnitudDel radio vector:r = (x2 + y2 + z2)De cualquier vector, siA = Axi + Ayj + AzkA = (Ax + Ay + Az )
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Producto de vectores?
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Producto puntoProducto puntoA B ABcosA B = AxBx + AyBy + AzBz Si A B = 0, se dice que los vectores son ortogonales.
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Producto cruzProducto cruzA B n ABsenA B = -(B A)Regla de la mano derechaInterpretacin geomtrica del producto cruz
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Producto cruz (2)
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Tarea 4Sean:A = 4i + j + 3k y B = i - 3j - k EvaleA + BA BA BA BB A
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Derivacin de vectoresUn vector se deriva derivando sus componentes:
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Ecuaciones vectorialesSon en realidad un compendio de 3 ecuaciones escalares:Momento angularL = r p
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Tarea 5Escriba la ecuacin para cada una de las componentes del momento angular Lx, Ly y Lz en trminos de x, y y z, y de las componentes de momento lineal px, py y pz.
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Nmero complejos
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Nmero complejosEl valor absoluto o magnitud de un nmero complejo siempre es un real.Dos complejos son iguales son iguales sus partes reales y sus partes imaginariasLa suma de complejos es como la de vectores
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Frmula de EulerLeonhard Paul Euler (1707-1783)
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OperadoresTransformaciones
Regla de asociacin entre A y BAB
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OperadoresTransformaciones
Regla de asociacin entre A y BSi A nmeros y B nmeros: Funcin.AB
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OperadoresTransformaciones
Regla de asociacin entre A y BSi A nmeros y B nmeros: Funcin.Si A funciones y B nmeros: Funcional.AB
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OperadoresTransformaciones
Regla de asociacin entre A y BSi A nmeros y B nmeros: Funcin.Si A funciones y B nmeros: Funcional.Si A funciones y B funciones: Operador.AB
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Operadores: EjemplosA los operadores se les pone sombrero
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lgebra de operadoresSi
entonces
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lgebra de operadores (2)En general:
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Tarea 6Considere la funcin f(x,y) = x2 + y2 + 2xy y seanopere sobre f(x,y) primero conNote que el resultado es el mismo. Cul ser el resultado al operar sobre f(x,y) con el operador
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Tarea 7Sea y f(x) = x2 + 2x + 1. Demuestre que
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El conmutadorSi los operadores conmutan, el conmutador vale cero y a la inversa, si el conmutador es cero, los operadores conmutan.
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Operador Nabla
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Gradiente de fLa cantidad f, donde f es una funcin escalar, se conoce como el gradiente de fPor ejemplo, si f = x2 + y2 + z2, entonces:f = 2xi + 2yj + 2zk
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Complejo conjugado de un operadorSi un operador es complejo, su complejo conjugado se construye reemplazando i por i en todos los lugares donde aparezca i.
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Operadores linealesUn operador es lineal si
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Operador de Laplace o LaplacianoPierre-Simon Laplace (1749-1827)
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Laplaciano en esfricas
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Ecuaciones de valores propios(eigenvalores)Una ecuacin de la forma:(x) = a(x)Es una ecuacin de valores propios o eigenvalores. Donde: es un operador, es una funcin y a es un nmero (una constante).Cuando se cumple una ecuacin de este tipo, se dice que es funcin propia del operador y a a se le denomina valor propio.
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Ecuaciones de valores propios (2)El principal problema matemtico de la Mecnica Cuntica es encontrar la solucin y los valores a de estas ecuaciones de valores propios.En Mecnica Cuntica el operador casi siempre es un operador diferencial, por lo tanto, las ecuaciones que hay que resolver son ecuaciones diferenciales de valores propios.
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Un ejemplo
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Ecuaciones de valores propios (3)Lo bueno es que las soluciones matemticas de este tipo de ecuaciones ya se conocan mucho tiempo antes de que se desarrollara la Mecnica Cuntica.
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Tarea 8Demuestre que la funcin Ae-x es funcin propia del operador d2/dx2. Cul es el valor propio?
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FuncionesFuncin realy = x3 + 2x + 5Funcin complejaz = 3 sen x + 4i cos x
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Propiedades de simetra de algunas funcionesUna funcin es par:f(x) = f(-x)Una funcin es impar:f(x) = -f(-x)Ejemplos:y = x es un funcin impary = x2 es una funcin par
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y = x
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y = x2
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Tarea 9Diga cules de las siguientes funciones de x son pares y cuales impares: x3, x4, sen x, cos x, x sen x, x cos x.
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Unas reglitasPar x par = parPar x impar = imparImpar x par = imparImpar x impar = par
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Tarea 10Establezca la simetra de las siguientes funciones:tan xcos2 xcos x sen xf(x) sen x cuando f(x) es parf(x) sen x cuando f(x) es impar
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Integrales de funciones simtricasTodas las integrales entre lmites simtricos de funciones impares se anulan por simetra. Por ejemplo, la funcin seno:
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