UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA Laboratorio de Métodos Computacionales

SERIES DE TAYLOR Y MACLAURINY ANÁLISIS DE ERRORES

OBJETIVOS

• Comprender los conceptos de función matemática y cálculo numéen series de potencias.

• Aplicar algoritmos iterativos para las series de Taylor y Maclaurin qvalor aproximado de una función . )(xf

• Valorar las series de potencias como medios de cálculo dematemáticas.

RECURSOS

• Algoritmos de la serie de Taylor y Maclaurin. • Computador • MS Visual C++ 6.0.

DURACIÓN DE LA SESIÓN • Una sesión(02 horas).

MARCO TEÓRICO

1. ERRORES.

Con los métodos de cálculo numérico, tratamos de dar solucione(que pueden ser exactas o aproximadas) a problemas matemáticossolución que aportemos sea aproximada, estaremos cometiendo unfundamental que éste sea lo más pequeño posible o por lo menos quque un determinado número (acotación del error), este fenómprincipalmente por dos razones, la primera el limite físico de rep

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PRÁCTICA

1 rico basado

ue hallen el

funciones

s numéricas . Cuando la error y será e sea menor eno se da resentación

1

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numérica que tienen los computadores, y la segunda es la posibilidad de alto costo computacional cuando se hacen los cálculos.

A. ERROR ABSOLUTO

Es el error que se comete cuando aproximamos con un valor un número que exactamente vale . La magnitud de este error viene dada por la diferencia de los valores exacto y aproximado.

xX

xX −=ξ (1.1)

B. ERROR RELATIVO

Es el cociente entre el error absoluto y el valor del número que pretendemos aproximar:

XxX

Xr

−==

ξξ

(1.2)

Cuando no conocemos el valor exacto del número podemos tomar como error relativo:

X

xxX

xr

−==

ξξ

(1.3)

El error relativo nos ofrece información sobre la relevancia del error cometido. Si expresamos el error relativo en tanto por ciento tendremos el error porcentual. Según la naturaleza de los errores estos pueden considerarse de distintos tipos:

C. ERRORES INICIALES:

Son los errores que se producen en la medición cuando obtenemos los datos.

D. ERROR DE TRUNCAMIENTO

Son los errores que se producen al considerar finitos procesos que son infinitos. Aparecen principalmente en los métodos iterativos. Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximar la suma de una serie infinita. Note que el error de truncamiento, a diferencia del error de redondeo, no depende directamente del sistema numérico que se emplee.

)(!

)(!3

)(!2

)()()()( )(32

afmhafhafhafhafxfxP mm

n ++′′′+′′+′+== L

(1.4)

Donde h ax −=

Que es el polinomio de Taylor de grado para la función alrededor de a . n )(xf

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1)1(

)()!1(

))(()( ++

−+

= mm

n axm

xfxR ξ

(1.5)

Que es el residuo o error de truncamiento asociado con )(xPn

)()()( xRxPxf nn +=

En el caso específico de que el polinomio de Taylor se conoce como el polinomio de Maclaurin y la serie de Taylor se conoce como la serie de Maclaurin.

0=a

E. ERRORES DE REDONDEO

Son los errores que se producen cuando consideramos un determinado número de cifras decimales inferior al número real de cifras decimales que tiene un determinado número.

2. SERIES DE POTENCIAS

Se puede considerar como la generalización de una función polinomial. Las series de potencias se pueden utilizar para calcular valores de funciones como

y )ln(,),( xexsen x x que no se pueden evaluar por medio de operaciones aritméticas convencionales para determinar valores de funciones racionales. Una serie de potencias en es una serie de la forma: ax −

LL +−++−+−+ nn axcaxcaxcc )()()( 2

210 (1.6)

Si es un número particular, la serie de potencias se convierten una serie infinita de términos constantes. x

Un caso especial se obtiene cuando y la serie se convierte en una serie de potencias en , la cual es:

0=ax

LL +++++=∑+∞

=

nn

n

nn xcxcxccxc 2

2100

(1.7)

Al abordar una serie infinita de términos constantes, nos interesa la cuestión de la convergencia o la divergencia de la serie. Al considerar una serie de potencias preguntamos. ¿para qué valores de converge la serie de potencias? Para cada valor de , para el cual converge la serie de potencias, la serie representa el número que es la suma de la serie. Por tanto, una serie de potencias define una función , con valores de función.

xx

f

∑+∞

=

=0

)(n

nn xcxf

(1.8)

Tiene como dominio todos los valores de para los cuales converge la serie de potencias. Es obvio que toda la serie de potencias es convergente para .

x0=x

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hay algunas series que nos son convergentes para otro valor de , y también hay series que convergen para todo valor de .

xx

0

!

m

(a′′′

(f

+!

2

+!

3

+!

2

3. SERIE DE TAYLOR

Se dice que una función es analítica en si se puede representar por medio de una serie de potencias en términos de dentro de un radio de convergencia,

)(xf 0=x )(xfx −= ah

0> xD >− a . Una de las condiciones necesarias para que la función sea analítica es que todas sus derivadas sean continuas, tanto en , como en alguna vecindad alrededor de este punto.

ax =

Un punto donde la función no es analítica recibe el nombre de punto singular. Si es diferenciable en todas partes en la vecindad de excepto en entonces es un punto singular. Los polinomios son analíticos en todas partes.

)(xf x 0x

0x

Si es analítica alrededor de , se puede representar de forma exacta en la vecindad de por medio de su serie de Taylor, que es una serie de potencias dada por:

f ax = )(xfax =

)()(!4

)6

)(2

)()()( )(432

afmhafhfhafhafhafxf m++′′′′++′′+′+= L

(1.9)

Donde axh −=

La serie de Taylor es única. Esto quiere decir que no existe otra serie de potencias en para representar . axh −= )x

4. SERIE DE MACLAURIN

El desarrollo de Taylor de una función alrededor de recibe el nombre de serie de Maclaurin. Por ejemplo, las serie de Maclaurin de la función es:

0=xxe

L++++==!4!32

1)(43 xxxxexf x

(1.10)

L++−==!7!53

)()(75 xxxxxsenxf

(1.11)

L++−==!6!42

)cos()(64 xxxxxxf

(1.12)

ACTIVIDADES DE LA PRÁCTICA 1. Encender el equipo de computo, si existe algún desperfecto o faltante en el

equipo comunicarlo inmediatamente.. 2. Al aparecer la solicitud de contraseña elegir el login usuario y digitar como

clave usuario. 3. Ingrese a su cuenta de usuario de red.

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4. Cree una carpeta que se llame Métodos Computacionales y dentro de ella una que se llame Práctica Nº 1.

5. Crear una carpeta bajo el nombre de Temporal en la unidad donde compile el programa.

6. Ejecute Visual C++ 6.0, de la caja de diálogo elegir C++ Source file. 7. Crear una aplicación que permita calcular el valor de una función matemática

haciendo uso de la serie de Taylor para calcular el valor de la función en y , con factores.

xexf =)(1=a 5.0=x n

8. Crear una aplicación que permita calcular el valor de una función matemática haciendo uso de la serie de Maclaurin para calcular el valor de la

función en , con n factores.

xexf =)(5.0=x

9. Muestre los resultados parciales de cada iteración por pantalla. 10. Almacene los resultados en un archivo tipo texto bajo el nombre de

PracticaN1.cvs. 11. Compile el programa. 12. Depure los errores. 13. Modificar la aplicación para que permita a los programas de la practica anterior

manejar el error como absoluto, relativo, de truncamiento y de redondeo, tanto para la serie de Taylor y Maclaurin haciendo uso de la misma función matemática.

14. Cambie la función anterior de por y repita todo el proceso. xexf =)( xxf ln)( =15. Ejecute los programas y luego compare los resultados arrojados por la

aplicación con los que debería arrojar. 16. Use el menú de depuración para hacer Trace y seguir la ejecución del programa. 17. Guarde el contenido de la carpeta Temporal en la carpeta Practica N° 1 de su

cuenta de red y elimine la carpeta temporal y vacíe la Papelera de reciclaje.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Repita el proceso de la series de Taylor y Maclaurin para con y ln)( =xf 2.1=x

, con n potencias o factores. 3=a

2. Analice matemáticamente las restricciones e inconvenientes de la aplicación de las series a ciertas funciones específicas-

3. Demuestre analíticamente cual es el número de términos significativo que debe tener la serie para hallar el resultado de una función en un valor específico.

CUESTIONARIO

1. ¿Qué es una función matemática ƒ(x)?. 2. ¿Qué es una serie de potencias?. 3. ¿Porqué hacemos uso de la series de potencias?. 4. ¿Cómo representa una serie de potencias a una función matemática?. 5. ¿Qué significa la convergencia?.

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6. ¿Porqué la serie de potencias es infinita?. 7. ¿Cuál es la diferencia entre la serie de Taylor y la de Maclaurin?. 8. ¿Si la serie de potencias es infinita como se calcula el valor de ƒ(x) para un x

determinado?. 9. ¿Cuáles son los límites numéricos que para el cálculo tienen las computadoras? 10. ¿Qué es el error relativo? 11. ¿Qué es el error absoluto? 12. ¿Cuál es la diferencia entre error relativo y absoluto? 13. ¿Porqué al hacer calculo numérico se tiene que trabajar con aproximaciones? 14. ¿Qué es el error de truncamiento y de redondeo? 15. ¿Cómo funciona la serie de Taylor como aproximación al resultado final? 16. ¿Cómo funciona la serie de Maclaurin como aproximación al resultado final? 17. ¿Cómo se calcula el residuo en el error de truncamiento?. 18. ¿Qué significado y valor tiene en el residuo del error de truncamiento?.

GLOSARIO

Averigüe el significado de los siguientes términos en el contexto de la práctica:

Función matemática, variable, convergencia, límite, derivada, serie, potencia, polinomio, serie infinita, dato, error, residuo, truncamiento, redondeo, aproximación, cifras significativas, numero racional, numero irracional, notación científica, términos significativos.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[ 1 ] Nakamura, Shoichiro; “Métodos Numéricos Aplicados con Software”; Prentice Hall Hispanoamericana S.A.;1ª Ed; 1992, México (Págs. 1 - 4).

[ 2 ] Mathews, John H., Fink, Curtís, D., “Métodos Numéricos con Matlab”, Prentice Hall, 1ª Ed. 2000, Madrid (págs 59 - 69).

[ 3 ] Leithold, Louis, “El Cálculo con geometría analítica”, Harper & Row Publishers 5ª Ed. 1987, México(Págs. 854 – 863, 1066 – 1077).

REFERENCIAS WEB

[W1] http://mailweb.udlap.mx/~ccastane/Analisis_Numerico_html/Lindley.html [W2] http://docentes.uacj.mx/gtapia/AN/default.htm

DOCUMENTOS ADJUNTOS Ninguno

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