SERVICIO NACIONAL DE APRENDIZAJE SENA GUÍA DE APRENDIZAJE

SISTEMA INTEGRADO DE GESTIÓN Proceso Gestión de la Formación Profesional Integral

Procedimiento Ejecución de la Formación Profesional Integral

Versión: 01

Fecha: 09/10/2014

Código: F004-P006-GFPI

Programa de Formación: Diseño de acciones de formación complementaria.

Código: 03000063 Versión: 1

Nombre del Proyecto: Fortalecimiento en razonamiento cuantitativo para la articulación con la media.

Código: 280301022

Fase del proyecto: Ejecución

Actividad (es) del Proyecto:

Actividad (es) de Aprendizaje:

Identificar diferentes modelos matemáticos para la resolución De problemas en un contexto real.

Analiza r la información o verificar el dominio de los procesos a partir de información cuantificable.

Concluir sobre situaciones cuantitativas asociadas a problemas en contexto teniendo en cuenta la información suministrada y conocimiento matemático asociado.

Resultados de Aprendizaje: Resolver problemas cotidianos y de contexto real cuantificable usando operaciones y procedimientos que apliquen las matemáticas básicas.

Competencia: efectuar mediciones de superficies y contornos de acuerdo con planos y especificaciones técnicas.

Duración de la guía ( en horas): 15

Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números, ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la0circunferencia.

Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.

Expresiones algebraicas comunes:

GUÍA DE APRENDIZAJE Nº 2

1. IDENTIFICACIÓN DE LA GUIA DE APRENDIZAJE

2. INTRODUCCIÓN

Guía de Aprendizaje

Página 2 de 5

El doble o duplo de un número: 2x, El triple de un número: 3x, El cuádruplo de un número: 4x, La mitad de un número: x/2., Un tercio de un número: x/3, Un cuarto de un número: x/4, Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,.., Un número al cuadrado: x2, Un número al cubo: x3, Dos números consecutivos: x y x + 1, etc…

Las ecuaciones ocupan un lugar importante en el estudio de las matemáticas, pues proporcionan una herramienta útil y cómoda para resolver múltiples problemas que, sin ellas, se resuelven de forma más complicada. Los problemas pueden resolverse por métodos aritméticos y algebraicos. En muchos casos la resolución aritmética es más sencilla, pero en muchos otros es mucho más fácil plantear una ecuación para resolverlo.

3.1 Actividades de Reflexión inicial. Analizar la aplicabilidad del algebra en la vida cotidiana. Analice y discuta con sus compañeros de grupo, la importancia de las ecuaciones algebraicas en el contexto real y como se aplicarían en su vida profesional.

En grupos de tres responde la pregunta: ¿Para que se utiliza el álgebra en la vida cotidiana?

3.2 Actividades de contextualización e identificación de conocimientos necesarios para el aprendizaje.

Utilizar los conocimientos previos de matemáticas para iniciar una etapa de exploración del pensamiento variacional.

3.2.1 Resuelve el juego propuesto por el instructor. (Anexo 1 sesión 1) 3.2.2 Después de la instrucción del instructor resuelve en tríos el taller de paso de lenguaje natural al algebraico y viceversa. (Anexo 2 sesión 1 )

3.3 Actividades de apropiación del conocimiento (Conceptualización y Teorización).

Identificar las características de las expresiones, clasificación, operación con polinomios algebraicas y resolución de problemas aplicando ecuaciones de primer y segundo grado .

3.3.1 Leer el anexo 3 y resolver los ejercicios propuestos para afianzar tus conocimientos de las enseñanzas de algebra trabajadas hasta el día de hoy. (Anexo 3 sesion1).

3.3.2 Resuelve el crucinúmero de operaciones con polinomios (Anexo 4 sesión 2) 3.3.3 Recordar los conceptos previos para desarrollar ecuaciones de primer y segundo grado.

Criptonumero. (Anexo 5 sesion2) 3.3.4 Desarrollar guía de ecuaciones lineales y gráficas. (Anexo 5 sesión 3) 3.3.5 Leer la guía de resolución de problemas de ecuaciones de primer grado y resolver los

problemas de aplicación. (Anexo 6 sesión 3 ) 3.3.6 Resolver los problemas de aplicación de segundo grado. (Anexo 7 sesión 4 ) 3.3.7 Con el fin de reforzar sus conocimientos resuelve 5 de los puntos la actividad de forma individual

a manera de informe para entregar el próximo lunes. (Anexo 8 )

3. ESTRUCTURACION DIDACTICA DE LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Guía de Aprendizaje

Página 3 de 5

Juego de lógica aplicando expresiones algebraicas.

Taller de traducción de lenguaje natural al algebraico y viceversa.

Guía de características y operaciones algebraicos.

Crucinúmero de aplicación con operaciones algebraicas.

Decodificador para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

Guía de resolución con ecuaciones de primer grado.

Guía de resolución con ecuaciones de segundo grado.

Actividad de refuerzo de resolución de problemas.

3.4 Actividades de transferencia del conocimiento.

3.4.1 Aplicar el teorema de Pitágoras y de Thales en la solución de situaciones de la vida cotidiana.

Realice la lectura del anexo 9. (Sesión 5)

Resuelva los ejemplos de forma grupal con la asesoría del instructor aclarando las dudas que hayan surgido al momento de la lectura.

Identifique y escriba la aplicabilidad que tienen esta clase de teoremas en la vida cotidiana.

Resuelva el “taller” prueba saber que se presenta en la última página del anexo 9.

El instructor propondrá una situación problema para cada grupo con el fin de que sea resuelta y expuesta en un tiempo no mayor a 5 minutos por los pequeños grupos.

3.5 Actividades de evaluación.

Evidencias de Aprendizaje Criterios de Evaluación Técnicas e Instrumentos de

Evaluación

Evidencias de Producto: Resolución de juego de lógica

Taller de lenguaje natural.

Guía de características.

Crucinúmero.

Criptonúmeros.

Talle de resolución de problemas ecuaciones de primer grado.

Problemas de ecuaciones de segundo grado.

Actividad de refuerzo.

Analiza la información matemática

de un contexto real teniendo en

cuenta los conocimientos

asociados a los datos cuantitativos.

Resuelve problemas de contexto

real mediante el uso de diferentes

métodos matemáticos de solución.

Listas de chequeo

4. RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE

Guía de Aprendizaje

Página 4 de 5

Expresión algebraica: es una combinación de números y letras asociados mediante operaciones aritméticas.

Clasificación de expresiones algebraicas: pueden ser monomios de un término, binomios de dos términos, trinomios de tres términos y polinomios de más de tres términos.

Términos semejantes: son aquellos que tienen la misma parte literal.

Fracción algebraica: es el cociente indicado de dos polinomios, donde el divisor es diferente de 0.

Factorizar: Transformar un polinomio en un conjunto de polinomios.

Ecuación lineal: su mayor exponente es uno.

Ecuación cuadrática: significa encontrar el valor o los valores de las incógnitas que hacen verdadera la igualdad.

Variable: es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado dentro de un determinado grupo.

Incógnita: En una expresión o ecuación matemática, cantidad que no se conoce y se debe averiguar, que, generalmente, se representa por una de las letras iniciales o finales del alfabeto.

Coeficientes: Es un factor multiplicativo vinculado a un monomio. Dado un divisor del monomio, el coeficiente es el cociente del monomio por el divisor. Así el monomio es el producto del coeficiente y el divisor.

Lógica: Es la disciplina que estudia métodos de análisis y razonamiento; utilizando el lenguaje de las matemáticas como un lenguaje analítico

Teorema: Proposición matemática demostrable a partir de axiomas o de proposiciones ya demostradas.

Triangulo rectángulo: En geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90-grados.

Rectas paralelas: Dos rectas que no se cruzan en ningún punto del plano.

Segmentos: Un segmento de recta es una porción o parte de una línea que esta acotada por dos puntos.

Pitágoras: Pitágoras de Samos fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética.

Bibliografía: • Hipertexto grado noven editorial Santillana. • Precalculo editorial Thomson. • Algebra intermedia editorial Pearson.

Webgrafía: www.vitutor.com/ecuaciones/1/ecua4contenidos.html

htpp//descartes.cnice.mec.es/Descarte1/4a eso/Ecuación de segundo grado/Ecua seg.html#probl.

Anagarciaazcarate.wordpress.com

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

https://www.google.com.co/search?newwindow=1&q=TEOREMA%20DE%20PItagoras&rct=j

http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_1.html

http://calculo.cc/temas/temas_trigonometria/trian_semejante/problemas/p_tales.html

5. GLOSARIO DE TERMINOS

6. BIBLIOGRAFÍA/ WEBGRAFÍA

Guía de Aprendizaje

Página 5 de 5

Nombre Cargo Dependencia Firma Fecha

Autores Andrea Carolina Tejero Ruiz.

Cristofer Bolaños Scalante

Carlos Andrés Varela García.

Orlando Morales Muñoz.

Instructor

- CENIGRAF

- Cafam los

Naranjos

Octubre 09

del 2014

Asesoría

Pedagógica

Revisión

Aprobación

7. CONTROL DEL DOCUMENTO (ELABORADA POR)

Anexo1

JUEGO PIRAMIDE

3 jugadores: dos jugaron y el tercero será el juez.

Objetivo: llegar a la sima de la pirámide resolviendo las ecuaciones.

Inicio: uno de los jugadores lanza un dado hasta obtener uno, luego resuelve la ecuación y

vuelve a lanzar el dado, el número obtenido debe ser la respuesta de la ecuación dada,

sino logra el número adecuado continua el siguiente jugador, el juez verifica los

resultados.

m*m*m=27

8/4x=2 11=m+m-1

2x+x=6 Y*Y=9

3+x=4x

z=-8+5

2x+1=x+2

(x+x)/2=3 5x-2x=3

x+x=8 2x-3=7 3x/2=6

x*4=8 x/3=1 x+3=9

9

1

Anexo 3

Características de los polinomios.

Polinomios

Un polinomio es así:

Están conformados por:

Literales o variables: son las letras del alfabeto que se utilizan para representar números

que se desconocen inicialmente.

Coeficientes: son los números que acompañan a las letras.

Constantes: son números que aparecen solos dentro del polinomio.

Exponentes: son los números que se encuentran en la parte superior de una letra.

Los polinomios se pueden combinar por medio de las operaciones.

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

4x2

+2x2 + 2x + 2= 6 x

2 +2x+2

La diferencia consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

2x2

− 2x – 2−2x+2x=2x2 −2x−2

Multiplicación de polinomios

Producto de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

Producto de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Producto de polinomios

1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

2 Se suman los monomios del mismo grado.

(4x2

+ 1)*(2x2

+ 1) =8x4+ 4x

2 + 2x

2+1=8x

4+ 6x

2 +1

División de polinomios

P(x) / Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo . Si el polinomio no es

completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del

divisor.

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado a nterior y

lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer

monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo

restamos al dividendo.

Repetimos el proceso anterior hasta que el grado del resto sea menor que el

grado del divisor, y por tanto no se puede continuar dividiendo.

Estos son polinomios:

3x

x - 2

3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5

Grado

El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable.

Ejemplo:

El grado es 3 (el mayor exponente de x)

Ejercicios:

Escribe 5 polinomios ordenados.

Identifica cada parte de los polinomios que escribió.

Suma el primer polinomio con el segundo.

Resta el tercer polinomio con el cuarto.

Multiplica el primer polinomio con el quinto.

Anexo 4

CRUCINÚMERO

Resuelve el crucinúmero:

A B C

1

2

3

Horizontales:

x4 − 3x

5 + 2x

2 + 5

1. Encuentra el grado del polinomio.// Encuentra el coeficiente principal.//

escribe la constante.//

2. Resuelve 4x + 1=5// Reemplazar x por 3 en el polinomio 2x2 − 2x – 2

//Remplazar x por 1 en el polinomio 4x2 – 1.

3. Multiplicar el polinomio (4x2 – 1) * x

2 Encontrar el grado del

polinomio// el coeficiente principal del polinomio// la constante del

polinomio.

Verticales:

A. Solucionar la ecuación: 2x+4=14// Solucionar la ecuación 3z -

2z=1//Resuelve la ecuación 1/2x + 4=12.

B. x3 − 6x

2 + 4 encuentra el grado del polinomio.// x

2 + 1 reemplazar por 3

// solucionar la ecuación 2x+2x=16.

C. Indicar el grado del polinomio x3 + x

5 + x

2 // 8x-5x=9// constante del

polinomiox3 + x

5 + x

2

ANEXO 2

NOMBRE_____________________________________________________________________

Traducción del lenguaje cotidiano al algebraico

1. Coloree la expresión algebraica y su correspondiente expresión verbal de un mismo

color. Como se muestra en el ejemplo.

Expresión verbal Expresión algebraica

El triple de un número Un número cualquiera

El producto de dos

números diferentes

La suma de dos números

diferentes El cubo de un número

cualquiera

La quinta parte de un

número.

La mitad de la diferencia

de dos números

cualesquiera

¿Cuál es el número que

agregado a 3 suma 8?

¿Cuál es el número que

disminuido de 20 da por

diferencia 7?

Cuatro veces la suma de

dos números

cualesquiera

Traducción de un lenguaje algebraico a un lenguaje cotidiano

2. Escriba en frente de cada expresión algebraica el enunciado, como se muestra en el

ejemplo.

La suma de dos números cualquiera dividida entre su diferencia

3. Escriba la expresión algebraica que corresponda.

3.1 El doble de un número cualquiera._________________________________________

3.2 El triple de un número cualquiera disminuido en 2.____________________________

3.3 El doble de un número cualquiera aumentado en 5. ___________________________

3.4 La quinta parte de un número aumentado en 8._______________________________

3.5 La diferencia entre un número y 8._________________________________________

3.6 La diferencia de dos números cualquiera es 6.________________________________

3.7 La suma de dos números diferentes es 15.___________________________________

3.8 El doble de un número dividido en otro._____________________________________

3.9 El producto de 3 números aumentados en 2._________________________________

3.10 La tercera parte de un número aumentado en 5 ____________________________

4. Halle la ecuación y diga cuánto dinero tiene cada uno.

5. Halle la ecuación y diga cuales son las edades.

Anexo 5

Actividad uno: resuelve mental mente.

X + 8 = 18 x - 2= 8 6 + 3 – x = 12 12 – 4 + x = 22

¿Qué valor tiene x en cada caso?

Esta etapa sería un aprestamiento mental, el cual podría durar algunos minutos, la intención es

que entiendan que x es un número que tengo que encontrar, que es un buen juego de lógica.

Actividad dos: Aplica la teoría

Despeja la siguiente ecuación a través de la tabla. Una vez desarrollada esta primera parte utiliza

el valor final de la incógnita y remplázalo por uno de los símbolos que lo representa.

Ejemplo

4x - 6 = 6 + x

4 es la letra D

-x+4x - 6 =6

3x-6 =6

3x =6+6

3x =12

x =12/3

x =4

A es 1

B es 2

C es 3

De esta manera

sucesivamente.

D A

Desarrolla:

A) . 9x − 8 = 37

B) . 3x-5=2(x+7)

C) . 2x+9=41

D) .6 =25

𝑥+ 1

E) . 5x+9=59

F) . 45

𝑥− 9 = 0

G) .3(2x-3)=15

H) .2x-2=x+3

I) .2𝑥2 + 4 = 54

J) .x(x+2)2=117

K) .x2-50=391

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es

toda expresión de la forma:

ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.

Estos casos se resuelven mediante la

siguiente fórmula:

Fórmula

Ejemplo: x2 + 1x -2=0

a=1 b=1 c=-2

𝑥 =−(1) ± (1)2 − 4(1)(−2)

2(1)

𝑥 =−(1) ± 1 + 8

2

𝑥 =−(1) ± 9

2

𝑥 =−1± 3

2

𝑥1 =−1 + 3

2= 1

𝑥2 =−1 − 3

2= −2

Una de las respuestas es 1 el cual representa

en nuestra actividad la letra A

l)x2-5x+6=0

Ya tienes pistas suficientes cual es el

título que tiene el tema de hoy.

Actividad dos

Mira la teoria y repressenta las funciones

Tenemos la siguiente función: y = 1.5 x + 3

la pendiente es 3/2, cuando aumentamos x en una unidad “y” aumenta en 3/2 de unidad, b =

3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3.

Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano

cartesiano.

Funciones cuadráticas

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado que se escribe : f(x) =

ax2 + bx + c

a, b y c = números reales diferentes a cero.

Si a>0 el vértice de la parábola estará en la parte inferior y si o a<0 el vértice estará en la

parte superior de la parábola.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola de la cual el eje de simetría es paralelo

al eye de las “y”.

Modificaciones en la función, si sumamos o restamos dentro del paréntesis la parábola se

mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente, Si restamos o sumamos en la

función fuera del paréntesis la parábola se mueve hacia abajo o hacia arriba.

Para obtener la raíces de la ecuación seguimos estos pasos:

1. Igualar la ecuación a cero.

2. Factorizar la ecuación.

3. Igualar cada factor a cero y obtener las raíces.

Para graficar la función seguimos estos pasos:

1. Con el valor de “a” determinar si la parábola abre hacía arriba o hacía abajo.

2. Obtener los puntos de intersección, los del eje “x” se obtienen con las raíces de la ecuación,

para obtener las intersecciones en “y” igualamos la x a cero.

3. Obtener el vértice de la función, el punto “x” de la coordenada del vértice se obtiene con

la fórmula -b/2a y el punto “y” se obtiene sustituyendo x en la función.

4. Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva.

Desarrolla.

1 Para dibujar la gráfica de una función lineal basta hacer una tabla de valores con dos valores,

pero podemos tomar tres para orientarnos mejor. Completa las siguientes tablas de valores

correspondientes a las funciones lineales señaladas en cada caso.

Completa la tabla de valores de la función lineal y = 3x

x y

1

0

-1

-2

Completa la tabla de valores de la función lineal y = −5x

Representa las funciones cuadráticas

1y = −x² + 4x − 3

2y = x² + 2x + 1

3y = x² + x + 1

x y

1

0

-1

-2

ANEXO 6

RESOLUCION DE PROBLEMAS - ECUACIONES DE 1°

Ecuaciones de la forma ax + b = c.

Recuerda que para despejar x:

1. Lo que está sumando pasa al otro miembro restando, y viceversa.

2. Lo que está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo, y viceversa.

Una ecuación de primer grado puede tener:

Una única solución: ej. x+2 = 5, sólo tiene como solución x=3 ; (3 + 2 = 5)

Infinitas soluciones: (realmente es una identidad), ej. 2x + 4 = 2(x+2)

Ninguna solución: ej. x + 1 = x + 3

Ecuaciones con paréntesis:

Se eliminan los paréntesis aplicando la propiedad distributiva.

Se pasan a un miembro los términos con x y a otro los términos sin x.

Se simplifican ambos miembros y se despeja la incógnita x.

Ecuaciones con denominadores:

Se eliminan los denominadores reduciendo todos los términos a común denominador.

Se eliminan los paréntesis.

Se continúa igual que antes.

A la hora de resolver problemas mediante una ecuación de primer grado se deben tener en cuenta los

siguientes pasos:

1.- Entender el problema: debemos leer detenidamente el enunciado del problema, para entender bien tanto lo que

en él se describe como la pregunta que se nos plantea. ¿De qué datos disponemos? ¿Cómo podemos relacionarlos?

¿Hemos resuelto algún problema similar anteriormente? ¿Qué expresiones y cálculos matemáticos vamos a necesitar?

2.- Planificar: tenemos que buscar la incógnita adecuada y relacionarla con los datos conocidos. A continuación,

planteamos la ecuación, para lo cual hay que expresar en lenguaje algebraico la información proporcionada (de la

misma forma que lo has hecho al principio de la unidad).

3.- Realizar los cálculos: resolvemos la ecuación.

4.- Comprobar: comprobamos que la solución obtenida es correcta y conforme al enunciado y a la situación del

problema planteado. Revisamos todo el proceso.

Ejemplo:

El peso de una paella es igual a 0,8 kg más el peso de su mitad.

Determinar mediante el planteamiento y resolución de una ecuación el peso de dicha paella.

Resolución del problema:

Primero:

Determinamos cuántas incógnitas (datos para determinar) tiene el problema. Observamos que es una sola incógnita, el peso de la paella. Por tanto:

x = peso de la paella en kilogramos

Segundo

Traducimos la condición que nos dan a una ecuación: x = 0,8 + x/2

Tercero

Ahora basta con resolver la ecuación: x = 0,8 + x/2 => 2x = 1,6 + x => 2x - x = 1,6 => x = 1,6 Por tanto la solución es: el peso de la paella es de 1,6 kg

Finalmente

Comprobamos que su cumple el enunciado: 0,8 + 1,6/2 = 0,8 + 0,8 = 1,6 (correcto)

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Problema 1.Si el lado de un cuadrado aumenta 4 cm el perímetro vale 52 cm. ¿cuánto mide el lado del primer

cuadrado?

Problema 2.La base de un rectángulo es el doble de su altura. ¿ cuales son sus dimensiones si el perímetro mide 30

cm? ¿Cuánto mide el área del rectángulo?

Problema 3. El perímetro de una finca rectangular es 480 m. ¿Cuánto miden el largo y el ancho?, el largo mide 5x y

el ancho x.

Problema 4. Si al triple de un número le restas dicho número, resulta 30. ¿Cuál es ese número?

Problema 5. La suma de un número natural y el siguiente es 13. Averigua mentalmente cuáles son estos números.

Después plantea una ecuación y resuelve con ella el problema planteado.

Problema 6. La suma de un número con su mitad es igual a 45. ¿Cuál es ese número?

Problema 7. Ana pregunta a Sergio la edad que tiene y Sergio contesta: la mitad de mis años, más la tercera parte,

más la cuarta parte, más la sexta parte de mis años suman los años que tengo más 6. ¿Cuántos años tiene Sergio?

Problema 8. El doble de un número menos siete es igual a 8. ¿Cuál es ese número?

Problema 9. Un número más el doble del anterior es igual a 19. ¿Cuáles son los números?

Problema 10. Calcula la cantidad de colesterol en mg recomendada por persona y día sabiendo que la suma de su

quinta parte y su sexta parte es 40 mg menor que su mitad.

Problema 11. La medida de los tres lados de un triángulo son tres números consecutivos. Si el

Perímetro del triángulo es 12 cm, ¿cuánto mide cada lado?

ANEXO 7

RESOLUCION DE PROBLEMAS - ECUACIONES DE 2°

La ecuación cuadrática a una ecuación polinómica, que tiene como mayor exponente el número 2. La ecuación cuadrática tiene la forma: 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥+𝑐 =0

Ejemplos de ecuación cuadrática:

* 8𝑥2+ 9𝑥−10 =20

* 2𝑥2 + 8=15

* 3𝑥2− 4𝑥=0

* 2𝑥2−6𝑥+5=0

Es importante tener en cuenta para este último ejemplo que: a=2 (a es el coeficiente de la 𝑥2), que b=-6 (b es el coeficiente de la x)

y c=5 (c es el valor constante).

Ecuaciones cuadráticas disfrazadas

Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:

Disfrazadas Qué hacer En forma estándar a, b y c

x2 = 3x -1 Mueve todos los

términos a la izquierda x2 - 3x + 1 = 0 a=1, b=-3, c=1

2(x2 - 2x) = 5 Desarrolla paréntesis 2x2 - 4x - 5 = 0 a=2, b=-4, c=-5

x(x-1) = 3 Desarrolla paréntesis x2 - x - 3 = 0 a=1, b=-1, c=-3

5 + 1/x - 1/x2 = 0 Multiplica por x2 5x2 + x - 1 = 0 a=5, b=1, c=-1

Forma de solucionar una ecuación cuadrática:

Caso primero: ecuación cuadrática de la forma 𝑎𝑥 donde 𝑎 pertenecen a los números reales.

La 𝑎 pasa a dividir quedando 𝑥

, y para eliminar la raíz cuadrada y terminar de despejar la x hallo la raíz

cuadrada a ambos lado de la igualdad, final mente 𝑥 √

.

Caso segundo: ecuación cuadrática de la forma 𝑎𝑥 𝑏𝑥 donde 𝑎 𝑏 pertenecen a los números reales.

Factorizo la x (factor común) quedando x(ax + b) = 0, luego la x pasa a dividir con 0 (cero) lo que indica

que se cancela y queda una ecuación simple de primer grado ax + b =0.

Caso tercero: ecuación cuadrática completa de la forma 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 donde a, b, y c son números que

pertenecen a los números reales. Para solucionar este tipo de ecuaciones uso la una formula llamada la fórmula de la cuadrática que es:

𝑥 𝑏 √𝑏 𝑎𝑐

𝑎

Y reemplazo cada uno de los valores en la fórmula para así hallar los posibles valores de x, que puede

presentarse de las siguientes maneras: un número real, dos reales, un imaginario o dos imaginarios.

Podemos encontrarnos numerosas situaciones en las que aparecen ecuaciones con x2 o x elevado a otro exponente,

ecuaciones con x tanto en el numerador como en el denominador de una fracción, ecuaciones con x dentro de una raíz

cuadrada o de otro índice, ...,Si nos metemos en temas más profundos, como en economía o en estudios de la

dinámica de poblaciones, podemos encontrarnos con ecuaciones donde aparecen logaritmos, exponenciales, etc.

A la hora de resolver problemas mediante una ecuación de primer segundo grado se deben tener en

cuenta que:

Los distintos pasos que se indicaron para poder afrontar la resolución de problemas mediante ecuaciones de primer

grado son también válidos para aquellos que se necesiten resolver pero mediante ecuaciones de segundo grado.

Muchos de estos problemas suelen estar basados en aspectos geométricos como el área, ya que, como sabes, las

unidades de medidas son cuadráticas (m2, cm2, etc, es decir obtenidas por el producto de dos dimensiones).

También se debe tener en cuenta que, como generalmente las ecuaciones de segundo grado dan generalmente dos

soluciones, tendrán que comprobar si sólo vale como solución una de ellas o las dos.

Ejemplo 1:

Se quiere realizar un toldo estampado como el de la figura. Su superficie

total es de 12m2 y una de sus partes es de forma cuadrada.

Conteste las siguientes cuestiones:

a) Cuánto mide el lado de la parte cuadrada del toldo?

b) Cuánto mide cada lado del toldo?

Tendrás que utilizar para resolver este problema tus conocimientos de geometría

y lo que has aprendido sobre las operaciones con polinomios

Resolución del problema:

Primero:

Los lados del toldo miden x+2 y x+3, por tanto al ser el área total 12 m2, tenemos que (x+2)(x+3)=12

Segundo:

Realizamos el producto y simplificamos.(x+2)(x+3)=12 => x2+5x+6=12 => x2+5x+6-12 = 0=> x2+5x-6 = 0

Tercero:

Resolvemos la ecuación x2+5x-6 = 0, y obtenemos como soluciones x=1, x=-6

Cuarto:

Observamos las dos soluciones y determinamos cuál de ellas es la válida. Como vemos de ellas la solución válida

es x=1 ya que la otra es negativa y no tiene sentido una longitud para los lados del toldo que sea negativa.

Por tanto el lado del cuadrado del toldo mide 1 m y las dimensiones del toldo serán por tanto 1+2=3 m y 1+3=4 m.

Quinto:

Comprobamos que la solución es correcta, para ello vemos que efectivamente el área total del toldo es 3·4=12 m2

23

Ejemplo 2.

Si la diagonal de un cuadrado mide 23cm encontrar la longitud del lado y el área del cuadrado.

Representaciones:

lado del cuadrado: x

Área del cuadrado: x2

Diagonal del cuadrado: 23cm

Aplicamos el teorema de Pitágoras y la ecuación quedaría: Ecuación: x2

+x2 =232

sumamos términos semejantes.2x2= 529

dividimos entre dos la ecuación 𝑥 2 =264,5

sacamos raíz a ambos términos. 𝑥 = 16,26 Por lo tanto la magnitud del lado es

x = 16,26 cm y el área es x2= 264,5

Estudiante de cafam si desea continuar con su estudio personal en casa, el siguiente es un link donde encontrara

problemas resueltos y por resolver para que recuerde y refuerce sus conocimientos.

http://www.vitutor.com/ecuaciones/1/ecua4_Contenidos.html

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Los siguientes problemas se plantean mediante una ecuación de segundo grado, aunque luego al resolverla pueda dar lugar a una ecuación de primer grado en algún caso.

Problema 1.- Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos. Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, se cumple: (x+2)2 = (x+ 1)2 + x2.

Problema 2.- Un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1 cm. cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm . Calcular las dimensiones y el área del rectángulo inicial. (Sugerencia: Realiza un dibujo del problema).

OJO. La solución de los dos problemas anteriores se encuentran en : http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/4a_eso/Ecuacion_de_segundo_grado/Ecua_seg.htm#probl

Pero no vas a encontrar los procedimientos, verifica tus resultados.

Problema 3. A mi hermana le dijo su amiga que el número de su casa era curioso: se había dado cuenta de que al cuadrado de dicho número era igual a nueve más ocho veces dicho número. Ayuda a mi hermana a calcular el número

de la casa de su amiga.

Problema 4. La base de un rectángulo es 7m más larga que la altura. Su área mide 494m2. Calcular las dimensiones del rectángulo.

Problema 5.En un triángulo rectángulo, el cateto más pequeño mide 8 cm menos que la hipotenusa y 7 cm menos que el otro cateto. Calcula la longitud de sus tres lados.

Problema 6. El perímetro de un terreno rectangular es de 350m. Sabiendo que el largo del terreno es el triple de su ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?¿Cuál es el área del terreno?. Redondea a dos cifras decimales.

Problema 7. Si el lado de un cuadrado aumenta 4 cm, el perímetro vale 52 cm. ¿Cuál es el lado del primer cuadrado?

Problema 8. La altura de un triángulo es 2 cm menor que la base, su área es de 684 cm2. Cuáles son las medidas de la base y de la altura de dicho triángulo?

Problema 9. El área de un piso rectangular es de 209 m2, el piso tiene 8m de largo que de ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del piso?

Problema 10. Calcula la medida del largo y el ancho de un terreno rectangular sabiendo que su área es de 2244,50

m2 y que su largo es el doble de su ancho.

ANEXO 8

ANEXO 9

TEMA

TEOREMA DE PITÁGORAS Y TEOREMA DE THALES

PRESENTACIÓN

Son unas herramientas matemáticas que sirven para el desenvolvimiento de problemas cotidianos que influyen ángulos y triángulos rectángulos.

CONTENIDO TEMÁTICO

Teorema de Pitágoras Establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el

lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, lo que conforman

el ángulo recto). Por tanto como se muestra en las siguientes figuras:

Según las figuras anteriores el teorema de Pitágoras se puede definir como el

cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos en

un triangulo rectángulo. Se tiene:

Donde las letras respectivas representan:

Ejemplo:

1. Utilizando el teorema de Pitágoras encontrar los lados correspondientes

que hacen falta:

Utilizando la ecuación respectiva se deba hallar la hipotenusa que se

denota por la letra c, por tanto se realiza el siguiente proceso

reemplazando los valores respectivos se tiene:

Entonces se completa los valores del triangulo rectángulo con sus tres valores

respectivos por tanto a=3, b=4 y c=5.

2. Utilizando el teorema de Pitágoras encontrar los lados correspondientes

que hacen falta:

Ahora en el segundo ejemplo se tiene la hipotenusa y el cateto adyacente y me

están pidiendo el cateto opuesto, se utiliza el proceso aritmético adecuado por

tanto se tiene:

Por tanto se demuestra los valores de la parte superior, y se realiza el mismo

proceso para hallar el cateto adyacente.

TEOREMA DE THALES

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos

determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos

correspondientes en la otra. Como se muestra en la figura

Teorema De Thales En Un Triángulo

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de

los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos

lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Ejemplos:

1. Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

Utilizando el teorema se encuentra el valor de x, por tanto se tiene:

2. Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Utilizando el teorema se encuentra los valores a y de b, por tanto se tiene:

Ahora se encuentra el valor de b de la siguiente manera:

EVALUACIÓN -Prueba Saber-

Según la explicación descrita en contenido temático responder las siguientes preguntas

1. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos en un triangulo rectángulo, lo anterior es la definición de:

a. Teorema de Pitágoras b. Teorema de THALES c. Teorema de newton d. Teorema de Leibniz. 2. Una ciudad se encuentra 18km al oeste y 10 km al norte de

otra. ¿Cuál es la distancia real lineal entre las dos ciudades? a. 20,591 km b. 25 km c. 20km d. 21km

3. Según el siguiente triangulo rectángulo encontrar el lado que

hace falta y escoger la respuesta correcta:

a. 11,18m b. 12m c. 11,90m d. 11,00 m

4. Utilizando el teorema de THALES encontrar el valor de x según corresponda:

a. 9cm b. 10cm c. 9,6cm d. 9,9cm

5. Utiliza el teorema de THALES para encontrar x.

a. 3,59cm b. 4,00cm c. 3,8 cm d. 3,1 cm

Aplicación Del Teorema De Pitágoras En La Cotidianidad

En la cotidianidad se aplica este teorema en diversos campos del conocimiento e

incluso para resolver problemas de diario vivir, cuando un problema represente

una figura geométrica es recomendable y necesario dibujarlo. A esta

representación gráfica se le llama figura de análisis. Conviene en ella volcar los

datos e incógnitas. A partir de este dibujo resulta más sencillo elaborar un plan

para organizar la solución. Por tanto se tiene:

1. La longitud reglamentaria de una mesa de ping-pong es de 2,74m. se sabe

que la diagonal es, aproximadamente, de 3,14m., determinen el ancho

reglamentario de una mesa de ping-pong.

Si observamos el dibujo, vemos dos triángulos rectángulos. Sólo nos detendremos en uno de ellos. De allí sacamos los datos:

un cateto (b)= 2,74 m

hipotenusa (a)= 3,14 m

otro cateto (c)= ancho de la mesa, que es nuestra incógnita.

Por tanto aplicaremos el teorema de Pitágoras para encontrar el ancho de la mesa:

Por tanto de la ecuación anterior se despeja el cateto c.

Por tanto el ancho de la mesa de pingpong mostrado en la imagen es de 1,53 m.

https://sites.google.com/site/439matematica/pitagoras-en-la-vida-diaria

Aplicación Del Teorema De Thales En La Cotidianidad

Has pensado alguna vez como es posible medir ciertas alturas, a las cuales no

podemos llegar con una escalera u otro instrumento. Thales fue un gran filósofo y

matemático griego. Cuenta la leyenda que en su recorrido por el mediterráneo se

encontró con un faraón de Egipto que lo invitó a pasar una temporada en su

palacio. Juntos pasaban largos días hablando de Matemática y Astronomía. Una

mañana, haciendo una recorrida por el lugar, pasaron por la pirámide de Keops.

En grupos de dos o tres personas responder la siguiente pregunta:

— ¿Qué hizo Thales de Mileto para averiguar la altura de esta gran pirámide?

1. Las rectas a, b y c son paralelas hallar la longitud de x.