Sèries temporals discretes amb aplicacions

IntroduccioEl proces INAR(1)El proces INAR(2)El proces INMA(1)El proces INMA(2)

Aplicacio a la serie de FurthAplicacio a la serie d’ingressos per grip

Series temporals discretes amb aplicacions

David Morina Soler

David Morina Soler Series temporals discretes amb aplicacions



Contingut

1 Introduccio

2 El proces INAR(1)

3 El proces INAR(2)

4 El proces INMA(1)

5 El proces INMA(2)

6 Aplicacio a la serie de Furth

7 Aplicacio a la serie d’ingressos per grip




Introduccio

Les series temporals de recomptes apareixen quotidianament.

Normalment, aquestes series consisteixen en una successio denombres enters no negatius, i alguns aspectes de la modelitzaciocontınua resulten inadequats per a aquests casos.L’analisi classica de series temporals resulta inadequada, perqueassumeix normalitat en les variacions aleatories de la serie.




Introduccio

Les series temporals de recomptes apareixen quotidianament.Normalment, aquestes series consisteixen en una successio denombres enters no negatius, i alguns aspectes de la modelitzaciocontınua resulten inadequats per a aquests casos.

L’analisi classica de series temporals resulta inadequada, perqueassumeix normalitat en les variacions aleatories de la serie.




Introduccio

Les series temporals de recomptes apareixen quotidianament.Normalment, aquestes series consisteixen en una successio denombres enters no negatius, i alguns aspectes de la modelitzaciocontınua resulten inadequats per a aquests casos.L’analisi classica de series temporals resulta inadequada, perqueassumeix normalitat en les variacions aleatories de la serie.




Comentarem alguns casos especials de models coneguts cominteger-valued autoregressive (INAR) i moving average processes(INMA).

Finalment, els resultats teorics s’aplicaran a un parell de casosconcrets: El conjunt de dades conegut com Furth data i unrecompte dels ingressos en un centre hospitalari per causesatribuıbles a la grip, que evidenciara el problema de l’estacionalitaten aquest context.




Comentarem alguns casos especials de models coneguts cominteger-valued autoregressive (INAR) i moving average processes(INMA).Finalment, els resultats teorics s’aplicaran a un parell de casosconcrets: El conjunt de dades conegut com Furth data i unrecompte dels ingressos en un centre hospitalari per causesatribuıbles a la grip, que evidenciara el problema de l’estacionalitaten aquest context.




El proces INAR(1)

Un proces INAR(1) {Xt , t ∈ Z} es defineix per

Xt = a ◦ Xt−1 + Wt ,

amb Wt una successio de variables aleatories independents iidenticament distribuıdes, amb distribucio de Poisson de parametreλ.

Es molt semblant al proces gaussia AR(1), definit per

Xt = a · Xt−1 + Wt




El proces INAR(1)

Un proces INAR(1) {Xt , t ∈ Z} es defineix per

Xt = a ◦ Xt−1 + Wt ,

amb Wt una successio de variables aleatories independents iidenticament distribuıdes, amb distribucio de Poisson de parametreλ. Es molt semblant al proces gaussia AR(1), definit per

Xt = a · Xt−1 + Wt




El proces INAR(1)

L’operador binomial thinning es pot definir per

a ◦ Xt−1 ≡ Y1,t−1 + Y2,t−1 + . . .+ YXt−1,t−1 =

Xt−1∑i=1

Yi ,t−1, (1)

amb els Yi ,t−1 variables aleatories i.i.d. amb distribucio deBernoulli amb P(Yi ,t−1 = 1) = a i P(Yi ,t−1 = 0) = 1− a.




El proces INAR(1)

Els processos INAR(1) es poden englobar en una classe mes ampliade processos autorregressius lineals de primer ordre (CLAR(1)),que inclouen molts models no gaussians AR(1) de gran utilitat.

Un model INAR(1) es pot interpretar com un proces de naixementi mort o be com una cua infinita.




El proces INAR(1)

Els processos INAR(1) es poden englobar en una classe mes ampliade processos autorregressius lineals de primer ordre (CLAR(1)),que inclouen molts models no gaussians AR(1) de gran utilitat.Un model INAR(1) es pot interpretar com un proces de naixementi mort o be com una cua infinita.




Estimacio dels parametres

Metode dels moments:

Pel model INAR(1), suposant quesegueix una llei Poisson (λ), l’estimador de Yule-Walker de aes l’autocorrelacio mostral de primer ordre, i l’estimador de λes (1− aYW )X .





Metode dels moments: Pel model INAR(1), suposant quesegueix una llei Poisson (λ), l’estimador de Yule-Walker de aes l’autocorrelacio mostral de primer ordre, i l’estimador de λes (1− aYW )X .




Maxima versemblanca:

Els estimadors anomenats conditionalleast square (CLS) van ser introduıts per Klimko i Nelson al1978, i per al cas d’un model INAR(1), suposant de nou lleiPoisson (λ), venen donats per

aCLS =(T − 1)

∑Tt=2 XtXt−1 −

∑Tt=2 Xt

∑Tt=2 Xt−1

(T − 1)∑T

t=2 X2t−1 − (

∑Tt=2 Xt−1)2

λCLS = (T − 1)−1

(T∑t=2

Xt − aCLS

T∑t=2

Xt−1

)




Maxima versemblanca: Els estimadors anomenats conditionalleast square (CLS) van ser introduıts per Klimko i Nelson al1978, i per al cas d’un model INAR(1), suposant de nou lleiPoisson (λ), venen donats per

aCLS =(T − 1)

∑Tt=2 XtXt−1 −

∑Tt=2 Xt

∑Tt=2 Xt−1

(T − 1)∑T

t=2 X2t−1 − (

∑Tt=2 Xt−1)2

λCLS = (T − 1)−1

(T∑t=2

Xt − aCLS

T∑t=2

Xt−1

)




El proces INAR(2)

El proces INAR(2) es una extensio natural de l’INAR(1), i esdefineix com

Xt = a1 ◦ Xt−1 + a2 ◦ Xt−2 + Wt , (2)

amb Wt una sequencia de variables aleatories independents iidenticament distribuıdes, amb distribucio de Poisson de parametreλ i ◦ es l’operacio que s’ha definit abans. Hi ha maneresalternatives de definir els processos INAR(2).




El proces INAR(2)


Xt = a1 ◦ Xt−1 + a2 ◦ Xt−2 + Wt , (2)

amb Wt una sequencia de variables aleatories independents iidenticament distribuıdes, amb distribucio de Poisson de parametreλ i ◦ es l’operacio que s’ha definit abans.

Hi ha maneresalternatives de definir els processos INAR(2).




El proces INAR(2)


Xt = a1 ◦ Xt−1 + a2 ◦ Xt−2 + Wt , (2)

amb Wt una sequencia de variables aleatories independents iidenticament distribuıdes, amb distribucio de Poisson de parametreλ i ◦ es l’operacio que s’ha definit abans. Hi ha maneresalternatives de definir els processos INAR(2).





Els estimador de Yule-Walker es poden deduir de lesautocorrelacions de primer i segon ordre:

ρ(k) =(T − k)−1

∑Tt=k+1(Xt − X )(Xt−k − X )

T−1∑T

t=1(Xt − X )2, k = 1, 2

Si assumim que el proces es un INAR(2) i segueix una llei dePoisson, l’equacio diferencial de segon ordre que hem vist quecomplia la ACF d’aquest model ens dona els estimadors deYule-Walker de a1 i a2:

a1 = ρ(1); a2 = ρ(2)− ρ(1)2




En aquest cas, l’estimador de λ es pot calcular a partir del’esperanca d’aquest model, i es

λ = (1− a1 − a2)X




El proces INMA(1)

Els dos models anteriors es basen en el fet que un proces {Xt} espot representar a partir d’un nombre finit de valors del passatd’aquest proces. Suposem que tenim unes dades que podemmodelitzar per un proces INAR(p), amb p = 1, 2. Aleshores, ladistribucio marginal de Xt es la mateixa que la de

∞∑i=1

cj ◦Wt−j + Wt

on cj = aj si p = 1 i c1 = a1, cj = a1cj−1 + a2cj−2, j = 2, 3, . . . sip = 2.




Suposant que el proces segueix una llei de Poisson de parametre λ,la mitjana i la variancia del proces venen donats perE[Xt ] = Var(Xt) = (1 + b)λ.





Els estimadors de Yule-Walker es poden obtenir a partir del’esperanca del model que hem vist:

b =ρ(1)

1− ρ(1); λ =

X

1 + b




El proces INMA(2)

El proces INMA(2) es una extensio dels processos INMA(1), ambestructura

Xt = b1 ◦Wt−1 + b2 ◦Wt−2 + Wt ,

on els parametres bi ∈ [0, 1], per i = 1, 2. S’assumeix que lesoperacions bi ◦Wt−i es realitzen de manera independent, i = 1, 2entre elles i tambe de manera independent en el temps.




Els moments d’aquest proces sonE[Xt ] = Var(Xt) = λ(1 + b1 + b2), i la seva ACF es

ρ =

{ ∑2−ki=0 bibi+k

1+b1+b2si k = 1, 2

0 si k > 2

amb b0 = 1.





A partir de l’esperanca del model que hem vist, es poden deduir elsestimadors de Yule-Walker per al cas dels models INMA(2),suposant que segueixen llei de Poisson(λ):

b1 =ρ(1)− 1 + [(1− ρ(1))2 + 4ρ(1)ρ(2)]1/2

2ρ(2)

b2 =ρ(1) + 2ρ(2)− 1 + [(1− ρ(1))2 + 4ρ(1)ρ(2)]1/2

2(1− ρ(2))

λ =X

1 + b1 + b2




Figura: Dades de Furth




Figura: Ingressos per grip




La funcio d’autocorrelacio i la funcio d’autocorrelacio parcialindiquen que un model INAR(2) pot resultar adequat per aaquestes dades:




Figura: Funcio d’autocorrelacio




Figura: Funcio d’autocorrelacio parcial




MOLTES GRACIES!!!


Sèries temporals discretes amb aplicacions

Education

Transcript of Sèries temporals discretes amb aplicacions