SERIES INFINITAS

Gregory Batista

¿Que es una serie?

Una serie es una es la suma de los términos de una sucesión. Esta se representa con el termino de an como la siguiente figura siendo N el valor final de la serie. Las series infinitas es donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.

an= ∑Ni=1 ai

Series infinitas

una aplicación importante de la sucesión

infinita es la representación de las sumas

infinitas. Informalmente si {an } es una

sucesión infinita, entonces:

∑∞n=1 = a1 + a2 + a3 +…+ an

A esto se le llama una serie infinita. Los

números a1 , a2 , a3 , an son los términos

de la serie.

Sucesión de sumas parciales.

Para encontrar la suma de una serie infinita, se debe considerar la siguiente sucesión de las sumas parciales.

S1= a1

S2= a1 + a2

S3= a1 + a2 + a3

Sn= a1 + a2 +a3 + … + an

Continuación sucesión de

sumas parciales. La sucesión de sumas parciales Sn Para las

series.

, , , etc.

La serie es convergente si su sucesión es de su sucesión nos da un resultado =S tomando como S que es la suma de la serie si S no existe entonces se dice que la serie es divergente.

Un ejemplo de las sumas parciales seria

Continuacion sumas

parciales. Por fracciones parciales el termino

general “a” a la n de la serie se

puede escribir

de tal modo la suma parcial n-esima

de la serie toma todos los numeros

reales.

Definición de serie convergente y

divergente.

Dada una serie infinita la n-esima

suma parcial esta dada por :

Si la sucesión de la suma parcial es { sn } converge a

S, entonces la serie es convergente esto significa

que sn tiende a un limite infinito.

Una serie divergente es una serie por lo cual los

términos individuales no tienden a cero. Un

ejemplo cuyos términos se aproximan a cero es la

serie armónica.

∑∞n=1 = an

Sn= a1 + a2 +a3 + … + an

Serie geométrica

Una serie geométrica

es una serie en la cual

cada termino se

obtiene multiplicando

el anterior por una

constante, a la cual

llamamos razón. La

razón Z, es

convergente, solo si

|z|<1, a:

Serie geométrica

continuacion Todo decimal repetido es una serie

geométrica convergente. Exprese el

decimal repetido 0.121212 como un

cociente de enteros 12/100 +12/10

000+ 12/1 000 000= 0.121212.

Serie armonica

La serie armónica se define como una serie infinita.(serie divergente)

Puesto que la longitud de onda de los armonicos de la cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie.

Serie armonica

También sabemos que es la suma por

los recíprocos de todos lo números

reales .

Serie alternada

Es una serie donde los terminos

alteran el signo. Esta serie es

convergente.

Ejemplo: