7/24/2019 Series de Fourier con grficas

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Series de Fourier

Las series de Fourier son una representacin de una funcin peridicaf(x) como una suma infinita defunciones sinusoidales. De esta manera se pueden analizar funciones peridicas que de otra manera no

se podran analizar al descomponer la funcin en una combinacin de senos y cosenos.

Estas series se pueden aplicar en el anlisis de vibraciones, acstica, procesamiento de imenes yse!ales, entre otros.

"i una funcin peridica esf(x)con un periodo T=#L, entonces la serie de Fourierdef(x)es$

f(x)a

0

2+

n=1

[ancos( nxL)+bn sen( nxL)]Donde los coeficientes de Fourierse calculan$

a0=1

LL

L

f(x )dx an=1

LL

L

f(x )cos(nxL)

dxbn=1

LL

L

f(x )sen(nxL)

dx

Ejemplo: Desarrollar la serie de Fourier def(x)la cual es una funcin peridica definida como

f(x)={ 0,

7/24/2019 Series de Fourier con grficas

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an=cos(n)1

n2

=1(1)n

n2

bn=1

f(x )sen(nx )dx=1

0

(x )sen(nx)dx=0

sen(nx )dx1

0

x sen(nx)dx

bn=

[cos (nx )

n

]0

1

[xcos (nx )

n

+1

n0

cos (nx )dx

]0

=

[cos (nx )

n

+xcos (nx)

n

sen(nx )

n2

]0

bn=[cos(n)n + cos(n)n sen(n) n2 ][cos(0)n + 0cos(0)n sen(0) n2 ]

bn=cos (0)

n =

1

nLos coeficientes de Fourier se sustituyen en la serie de Fourier.

f(x)

4+

n=1

[( 1(1)n

n2 )cos (nx)+( 1n )sen(nx)]

Las sumas parciales de la serie de Fourier se puede e)presar como Sn(x ) . Las (rimeras cinco sumasparciales de este e*emplo son$

S1(x)=

4+2cos (x)

+sen(x) S

2(x)=

4+2cos (x)

+sen(x)+

sen(2x )2

S3(x)=

4+2cos (x)

+sen(x)+

sen(2x )2

+2cos(3x )

9 +

sen(3x)3

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S4(x )=

4+

2cos(x )

+sen(x )+sen(2x)

2 +

2cos (3x)9

+sen(3x)

3 +

sen(4x )4

S5(x)=

4+2cos (x)

+sen(x)+

sen(2x )2

+2cos(3x )

9 +

sen(3x)3

+sen(4x)

4+2cos (5x )

25 +

sen(5x)5

La siuiente rfica muestra el resultado de utilizar las primeras + sumas parciales de Fourier.