7/21/2019 Series de Fourier

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SERIES DE FOURIER

Definición :

Sea   f   una función seccionalmente continua en el intervalo− p, p , la serie de Fourier de f es la serie trigonométrica :

 f  x     a0

2 

n1

∑   an cos  n x

 p    b n sin  n x

 p

Donde :

a0 

  1

 p  − p

 p

 f  xdx

an     1 p  

− p

 p

 f  xcos   n x p   dx

bn     1 p  

− p

 p

 f  xsin   n x p   dx

∀n  ∈   ℕ. Las costantes   an   y   bn   se llaman los coeficientes de Fourier de la serie.

Otra forma equivalente de representar esta serie es:

 x  ∈   0,T  ,   f  x     a0

2 

n1

∑   an cosn0 x   b n sinn0 x  , donde   0     2

T 

an     2T  0

T 

 f  xcosn0 xdx ,   n     0,1,2,3,...   bn     2T  0

T 

 f  x sinn0 xdx,

n     1,2,3,. . . .

1

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Series de Fourier cuando   f  es función par .

Si la función f  es par,    f − x     x , se tiene que:

a0     2 p 

0

 p

 f  xdx ,   an     2 p 

0

 p

 f  xcos   n p   x dx,   bn    0 ,   ∀n  ∈   ℕ

Luego   f  x     a0

2 

n1

∑   an cos  n

 p   x   , serie cosenoidal

Series de Fourier cuando   f  es función impar .

Si la función   f   es impar ,    f − x    − f  x  , se tiene que:

a0    an    0,   bn     2 p 

0

 p

 f  x sin   n p   x dx,   ∀n  ∈   ℕ

Luego   f  x  

n1∑   bn sin   n p   x

Ejercicio.- Pruebe que si   f  x   1 , -1x0

 x , 0x1es represetada por 

la serie de Fourier 

34 

n1

∑   1n2

2 −1n − 1cosn x −   1

n   sinn x

2

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