Serie Matemática Tun Tun El Infinito. ¿Sabemos qué significa el infinito? ¿Sabemos qué...

Serie Matemática Tun Serie Matemática Tun TunTun

El InfinitoEl Infinito


¿Sabemos qué significa el infinito? ¿Sabemos qué significa el infinito?


Podemos suponer que el infinito es un Podemos suponer que el infinito es un número grande, muy grande; en realidad, número grande, muy grande; en realidad, el número más grande que pueda existir.el número más grande que pueda existir.

El Infinito no es un númeroEl Infinito no es un número

El infinito no es ni un número grande ni El infinito no es ni un número grande ni absolutamente ninguna clase de número.absolutamente ninguna clase de número.

El Infinito no es un númeroEl Infinito no es un número

El infinito no es el número más grande que El infinito no es el número más grande que pueda existir, puesto que ese número no pueda existir, puesto que ese número no existe.existe.

Acercándonos al InfinitoAcercándonos al Infinito

538 personas han pagado su entrada para 538 personas han pagado su entrada para ir al circo.ir al circo.

Usted quiere dejarle instrucciones por Usted quiere dejarle instrucciones por escrito a un niño inteligente escrito a un niño inteligente para que se para que se ocupe de contar las 538 personas.ocupe de contar las 538 personas.


Supongamos que hay una determinada Supongamos que hay una determinada puerta por la cual debe salir toda la puerta por la cual debe salir toda la concurrencia en fila india. concurrencia en fila india.


El niño sólo tendrá que asignar a cada El niño sólo tendrá que asignar a cada persona cada uno de los distintos números persona cada uno de los distintos números enteros en el orden natural. Usted podría enteros en el orden natural. Usted podría escribir: escribir:

1, 2, 3, etcétera.1, 2, 3, etcétera.


La palabra "etcétera" significa que hay que La palabra "etcétera" significa que hay que seguir contando hasta que toda la gente seguir contando hasta que toda la gente termine de salir, y que la última persona termine de salir, y que la última persona que salga habrá recibido el número 538.que salga habrá recibido el número 538.

Usted puede pedirle al niño que anote Usted puede pedirle al niño que anote todos los números desde el 1 hasta el 538. todos los números desde el 1 hasta el 538.

Sin duda que esto sería Sin duda que esto sería insoportablemente aburrido.insoportablemente aburrido.


Pero como el niño es inteligente usted le Pero como el niño es inteligente usted le escribe: escribe:

"Contarás así: 1,2,3,..., 536, 537, 538"."Contarás así: 1,2,3,..., 536, 537, 538".

El niño entenderá que la línea de puntos El niño entenderá que la línea de puntos indica un espacio en blanco que debe llenarse indica un espacio en blanco que debe llenarse con todos los enteros desde el 4 hasta el 535con todos los enteros desde el 4 hasta el 535

en orden y sin ninguna omisión.en orden y sin ninguna omisión.


Pero si usted no sabe cuál va a ser el total Pero si usted no sabe cuál va a ser el total de la concurrencia. Puede ser 538 o 427 o de la concurrencia. Puede ser 538 o 427 o 651.651.

Usted podría escribirlo así: Usted podría escribirlo así:

"Debes contar: 1, 2, 3, ..., n - 2, n - 1, "Debes contar: 1, 2, 3, ..., n - 2, n - 1, n" . n" .


El niño listo entenderá queEl niño listo entenderá que

nn

representa algún número entero representa algún número entero desconocido pero bien definido.desconocido pero bien definido.


Supongamos usted encomienda a este Supongamos usted encomienda a este niño contar el número de personas que niño contar el número de personas que ingresan por la puerta, salen por la puerta ingresan por la puerta, salen por la puerta de atrás, dan la vuelta a la carpa y de atrás, dan la vuelta a la carpa y vuelven a ingresar por la primera puerta.vuelven a ingresar por la primera puerta.


Imagínese que tanto los hombres que Imagínese que tanto los hombres que caminan como el muchacho que cuenta no caminan como el muchacho que cuenta no se pueden cansar jamás se pueden cansar jamás y están y están dispuestos a pasarse una eternidad dispuestos a pasarse una eternidad haciendo lo mismo.haciendo lo mismo.


La tarea sería interminable. Jamás llegaría La tarea sería interminable. Jamás llegaría a haber una última persona ni se podría a haber una última persona ni se podría llegar al último entero. llegar al último entero.


¿Cómo escribiríamos las instrucciones?¿Cómo escribiríamos las instrucciones?

Podemos escribir: Podemos escribir:

"Contarás así: 1,2,3, y así "Contarás así: 1,2,3, y así indefinidamente".indefinidamente".


La frase "y así indefinidamente" se puede La frase "y así indefinidamente" se puede escribir en forma abreviada así: escribir en forma abreviada así:

∞∞


La expresión La expresión "1, 2, 3,..., "1, 2, 3,..., ∞∞""

Se debe leer:Se debe leer:

"uno, dos, tres, y así indefinidamente""uno, dos, tres, y así indefinidamente" o o

"uno, dos, tres, y así ilimitadamente“."uno, dos, tres, y así ilimitadamente“.


Pero generalmente se la lee: Pero generalmente se la lee: "uno, dos, "uno, dos, tres, y así hasta el infinito".tres, y así hasta el infinito".


No es correcto decir No es correcto decir "y así hasta el "y así hasta el infinito"infinito" por que podríamos pensar que el por que podríamos pensar que el infinito es un número infinito es un número y que una vez que y que una vez que hayamos llegado hasta él podemos hayamos llegado hasta él podemos detenernos.detenernos.


El infinito no es ni un número grande ni El infinito no es ni un número grande ni absolutamente ninguna clase de número.absolutamente ninguna clase de número.

El infinito no es el número más grande que El infinito no es el número más grande que pueda existir, puesto que ese número no pueda existir, puesto que ese número no existe.existe.


El infinito no es un número.El infinito no es un número.


El infinito no es un número.El infinito no es un número.

Entonces ¿qué es el infinito?Entonces ¿qué es el infinito?


El infinito es una cualidad:El infinito es una cualidad:

La cualidad de interminable.La cualidad de interminable.


La sucesión de los números enteros desde La sucesión de los números enteros desde el 1 en adelante constituye un ejemplo de el 1 en adelante constituye un ejemplo de "conjunto infinito". "conjunto infinito".


Entonces ya sabemos que el Entonces ya sabemos que el ∞∞ no es un no es un número, pero puede intervenir en ciertas número, pero puede intervenir en ciertas operaciones aritméticas. operaciones aritméticas.

Restando dosRestando dos

3 - 2 = 13 - 2 = 1


17 - 2 = 1517 - 2 = 15


4875 - 2 = 48734875 - 2 = 4873


3 - 2 = 13 - 2 = 1

17 - 2 = 1517 - 2 = 15

4875 - 2 = 48734875 - 2 = 4873


Ahora restemos dos a una serie Ahora restemos dos a una serie interminable de números:interminable de números:

3, 4, 5,..., ∞.3, 4, 5,..., ∞.

¿Cuál es el resultado?:¿Cuál es el resultado?:


Ahora restemos dos a una serie Ahora restemos dos a una serie interminable de números:interminable de números:

3, 4, 5,..., ∞.3, 4, 5,..., ∞.

¿Cuál es el resultado?:¿Cuál es el resultado?:

∞ ∞ - 2 = ∞- 2 = ∞


∞ ∞ - 2 = ∞- 2 = ∞

∞ ∞ - 35 = ∞- 35 = ∞

∞ ∞ - 1 000 000 = ∞- 1 000 000 = ∞

∞ ∞ - n = ∞- n = ∞

Pares e ImparesPares e Impares

Aquí tenemos los números enteros pares: Aquí tenemos los números enteros pares:

2, 4, 6,..., 2, 4, 6,..., ∞∞


Aquí tenemos los números enteros pares: Aquí tenemos los números enteros pares:

2, 4, 6,..., 2, 4, 6,..., ∞∞

Y aquí los números enteros impares: Y aquí los números enteros impares:

1, 3, 5,..., 1, 3, 5,..., ∞∞


Bien, ahora tenemos aquí al conjunto de los Bien, ahora tenemos aquí al conjunto de los números enteros, es un conjunto infinito:números enteros, es un conjunto infinito:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 11 ...... ∞1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 11 ...... ∞


Si tachamos los números pares nos quedarán Si tachamos los números pares nos quedarán los números impares ¿no es cierto?los números impares ¿no es cierto?

A los números enteros (que son infinitos) les A los números enteros (que son infinitos) les hemos quitado los números pares (infinitos)hemos quitado los números pares (infinitos)

Nos quedan los números impares ¡otro infinito!Nos quedan los números impares ¡otro infinito!

∞ ∞ - ∞ = ∞ - ∞ = ∞

DemócritoDemócrito


Qué sucede si uno corta un trozo de Qué sucede si uno corta un trozo de madera en dos trozos, entonces de nuevo madera en dos trozos, entonces de nuevo corta uno de esos trozos en dos y continúa corta uno de esos trozos en dos y continúa haciendo esto?. haciendo esto?.


Qué sucede si uno corta un trozo de Qué sucede si uno corta un trozo de madera en dos trozos, entonces de nuevo madera en dos trozos, entonces de nuevo corta uno de esos trozos en dos y continúa corta uno de esos trozos en dos y continúa haciendo esto?. haciendo esto?.

¿Se podría hacer esto hasta el infinito?¿Se podría hacer esto hasta el infinito?


Demócrito afirmaba que NO, por que se Demócrito afirmaba que NO, por que se llegaba a partículas pequeñísimas llegaba a partículas pequeñísimas llamadas átomos.llamadas átomos.

Y Aristóteles negaba la existencia de los Y Aristóteles negaba la existencia de los átomos.átomos.


El mundo se olvidó de los átomos de El mundo se olvidó de los átomos de Demócrito.Demócrito.

Y el mundo se aferró a las falsas ideas de Y el mundo se aferró a las falsas ideas de Aristóteles Aristóteles durante unos dos mil años.durante unos dos mil años.

AristótelesAristóteles Para Aristóteles el Universo era finito, es decir el Para Aristóteles el Universo era finito, es decir el

Universo tenía un fin.Universo tenía un fin.

AristótelesAristóteles

También afirmaba que la Tierra era el También afirmaba que la Tierra era el centro del Universo.centro del Universo.

AristótelesAristóteles

Y la Iglesia Católica creía en Aristóteles.Y la Iglesia Católica creía en Aristóteles.

Giordano BrunoGiordano Bruno

Giordano Bruno no Giordano Bruno no era matemático ni era matemático ni científico.científico.


Pero creía en un Pero creía en un Universo infinito, Universo infinito, escribió escribió "Sobre el "Sobre el Universo infinito y Universo infinito y los Mundos"los Mundos" (1584). (1584).


Llevado a la Llevado a la Inquisición, fue Inquisición, fue torturado durante torturado durante 9 años para 9 años para obligarlo a aceptar obligarlo a aceptar que el Universo era que el Universo era finito. finito.


No cambió su No cambió su opinión y fue opinión y fue quemado en la quemado en la hoguera en el año hoguera en el año 1600. 1600.

Galileo GalileiGalileo Galilei

Galileo Galilei Galileo Galilei también creía en el también creía en el infinito, pero ¡no infinito, pero ¡no quería morir en la quería morir en la hoguera como hoguera como Giordano Bruno! Giordano Bruno!


Galileo Galilei Galileo Galilei trataba de no trataba de no hablar sobre ese hablar sobre ese tema.tema.


Pero igual la Iglesia Católica llevó a Galileo Pero igual la Iglesia Católica llevó a Galileo Galilei a la Inquisición.Galilei a la Inquisición.


Y la Iglesia condenó a arresto domiciliario Y la Iglesia condenó a arresto domiciliario de por vida a Galileo.de por vida a Galileo.

La Iglesia contraatacaLa Iglesia contraataca

Muerto Giordano Bruno y encerrado Muerto Giordano Bruno y encerrado Galileo la Iglesia se envalentona y prohíbe Galileo la Iglesia se envalentona y prohíbe hablar del Infinito (1649).hablar del Infinito (1649).

La Iglesia contraatacaLa Iglesia contraataca

Menos mal que los matemáticos no Menos mal que los matemáticos no hicieron caso a la Iglesia.hicieron caso a la Iglesia.

Leibniz Leibniz

Leibniz pensó Leibniz pensó mucho sobre lo mucho sobre lo infinitamente infinitamente pequeño.pequeño.

Leibniz Leibniz

Y Leibniz desarrolló Y Leibniz desarrolló del Cálculo del Cálculo Diferencial e Diferencial e Integral (Análisis Integral (Análisis matemático).matemático).

El paraíso de CantorEl paraíso de Cantor

Desde su niñez Desde su niñez Cantor demostró Cantor demostró talento para la talento para la matemática y matemática y escogió la escogió la matemática como matemática como profesión.profesión.


En 1867 obtuvo su En 1867 obtuvo su doctorado doctorado Universidad de Universidad de Berlín. Fue profesor Berlín. Fue profesor en la Universidad en la Universidad de Halle.de Halle.


En el año 1874 En el año 1874 Cantor publicó sus Cantor publicó sus ideas sobre el ideas sobre el infinito. Cantor infinito. Cantor descubrió los descubrió los números números transfinitos.transfinitos.


Llamó a estos Llamó a estos números Alef:números Alef:

אא


Estos son los números transfinitos:Estos son los números transfinitos:El infinito de los enteros es El infinito de los enteros es alef-ceroalef-ceroEl infinito de los puntos es El infinito de los puntos es alef-unoalef-uno El infinito de las curvas es El infinito de las curvas es alef-dosalef-dos


Y hemos llegado al final.Y hemos llegado al final.

Nadie ha descubierto otro infinito que Nadie ha descubierto otro infinito que pueda corresponder a pueda corresponder a alef-tres alef-tres (y ni hablar (y ni hablar de alef-treinta o alef-tres-millones).de alef-treinta o alef-tres-millones).

El símbolo El símbolo ∞∞ El símbolo infinito que usamos para el infinito lo El símbolo infinito que usamos para el infinito lo

usó por primera vez por John Wallis en 1655.usó por primera vez por John Wallis en 1655.

La cinta de MoebiusLa cinta de Moebius

El infinito entre tus manos.El infinito entre tus manos.


Esta es una "cinta sin fin" Esta es una "cinta sin fin"


Si cortamos una Si cortamos una cinta de Moebius cinta de Moebius ¿qué obtenemos?¿qué obtenemos?

¡Hágalo usted ¡Hágalo usted mismo!mismo!


ReciclarReciclar

Figuras imposiblesFiguras imposibles

Serie Matemática_3Serie Matemática_3

FinFin


Barranca, noviembre de 2007Barranca, noviembre de 2007

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