Separata o3 - Corr.

7/15/2019 Separata o3 - Corr.

1/31

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIN Y CAPACITACIN PERMANENTE 2010 II FASEMejores maestros, mejores estudiantes

PROGRAMA BSICO - DCN ASPECTOS ESPECFICOS - MATEMTICA--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

41

Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultneamente varias ecuaciones linealespara hallar las soluciones comunes a todas ellas. Tambin resultan muy tiles en geometra (lasecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar laposicin relativa de estas figuras geomtricas en el plano o en el espacio).

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los ms antiguos de la matemtica y tieneuna infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de seales, anlisis estructural, estimacin,prediccin y ms generalmente en programacin lineal as como en la aproximacin de problemas nolineales de anlisis numrico.

1.1 DEFINICIN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALESEs un conjunto de ecuaciones con dos o ms incgnitas de tal modo que se verifiquen simultneamentepara ciertos valores asignados a sus incgnitas. Podemos escribir de forma tradicional as:

un sistema as expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incgnitas, donde aij son nmeros reales,llamados coeficientes del sistema, los valores bm son nmeros reales, llamados trminosindependientes del sistema, las incgnitas xj son las variables del sistema, y la solucin del sistemaes un conjunto ordenado de nmeros reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incgnitas x1, x2, ... ,xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema.

Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notacin matricial tiene esta forma:

PAGO DEL TELEFONO

En una famil ia se hizo una jun ta para pagar el mes vencid o detelfono . Si cada m iem br o ap or ta S/. 20 falt ara S/. 10, en cam bio s icada m iembro apo rta S/. 22 sob rara S/. 4. Lueg o:De cuntos m iem bros consta la fam i l ia?Qucan t idad es el pag o de telfono?Si cad a m iem bro d ier a S/. 21 fal tara o sob rara d iner o?Fundamente su respuesta

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESSESIN 3.1

III UNIDAD: ECUACIONES, INECUACIONES Y FUNCIONES
http://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_estructuralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_estructuralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1ales


2/31



42

Donde:Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensin mn formada por los coeficientes del sistema,y la designamos por A.

Designamos por X a la matriz columna formada por las incgnitas. Denotamos por B a la matriz columna formada por los trminos independientes.

Y llamamos matriz ampliada de dimensin m(n+1) a la matriz que se obtiene al aadir a la matriz delsistema (= matriz de coeficientes) la columna de los trminos independientes, y la denotamos por A*, esdecir

1.2 CLASESDE SISTEMAS DE ECUACIONES

De acuerdo al tipo de ecuaciones

Sistemas Lineales.- Son aquellos sistemas donde cada una de las ecuaciones son de primergrado absoluto.Ejemplo:

4

36215

yx

yx

Sistema no Lineal.- Es aquel sistema donde, al menos una de las ecuaciones es no lineal.Ejemplo:

3

122

yx

yxyx

Es un sistema polinomial de grado superior.

De acuerdo a la solucin

Atendiendo a sus soluciones:

Atendiendo a sus trminos independientes:

Para un sistema de ecuaciones de 2x2 ilustramos la clasificacin de stos:


3/31



43

EJEMPLO 1: Sistema con solucin nica: Considrese el sistema

5

7

yx

yx

EJEMPLO 2: Sistema con un nmero infinito de soluciones: Considrese el sistema

1422

7

yx

yx

EJEMPLO 3: Sistema sin solucin: Considrese el sistema

1322

7

yx

yx

1.3 DISCUSIN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (s.e.l):

Generalmente, para la discusin de un sistema de ecuaciones lineales, utilizamos el Teorema deRo uch-Frben iu s.

Un s.e.l. es comp atible si, y slo si, el rango de la matr iz de coeficientes es igual al rango d e lamatr iz ampliada con la colum na de los trmin os in dependient es. Si estos rang os s on d ist into s elsistema es incomp at ib le.

Es decir, la condicin necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incgnitastenga solucin es que r(A) = r(A*),

forma a1x + b1y = c1

a2x + b

2y = c

2

P R O P I E D A D

2

1

2

1

b

b

a

a 2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a 2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a

SISTEMA DE ECUACIONES

LINEALES

Compatible Incompatible

Determinado Indeterminado

Unica

solucin

Nmero infinitode

soluciones

Sin

solucin

se clasifica

presenta presenta

No admite

solucin


4/31



44

Si el nmero de incgnitas n es igual al rango h, la solucin es nica. Si el nmero de incgnitas n es mayor que el rango h, el sistema tiene infinitas

soluciones. Si el sistema es compatible, el rango del sistema indica el nmero de ecuaciones

linealmente independientes.

Para los sistemas indeterminados la solucin puede hallarse despejando k incgnitas principales enfuncin de (n-h) incgnitas denominadas parmetros y que pueden tomar cualquier valor (grados delibertad).

Ejemplo:

1.4 MTODOS DE RESOLUCIN DE S.E.L:

Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones. Obviamente, un sistema se puederesolver cuando es compatible, es decir, lo primero que debemos hacer es discutirel sistema (teoremade Rouch-Frbenius) para averiguar su compatibilidad.

Mtodos directos :

Mtodo de Gauss (por reduccin) Mtodo de Gauss-Jordan (por eliminacin)

Mtodo de Cramer (por determinantes) Mtodo de matriz inversa

Mtodos iterativos :

Mtodo de Jacobi Mtodo de Gauss-Seidel

En esta oportunidad estudiaremos el mtodo de Gauss para resolver un sistema de ecuacioneslineales. Como ejemplo ilustrativo vamos a resolver el mismo sistema por varios de stos mtodos paraapreciar mejor sus diferencias.


5/31



45

MTODO DE GAUSS

Karl Gauss (1777-1855). Naci en Brunswick, Alemania, uno de sus grandes aportes fue su famosomtodo de eliminacin para resolver sistemas de ecuaciones. Este mtodo consiste en disminuirecuaciones e incgnitas hasta llegar a una sola ecuacin con la menor cantidad posible de incgnitas. Elotro mtodo de Gauss es de la matriz aumentada, que mediante algunas operaciones elementales por

filas puede llevarse equivalente en una matriz escalonada (el nmero de ceros aumenta de fila a fila).

1.4.1 MTODO DE GAUSS (POR REDUCCIN)

Dado un sistema de "m" ecuaciones con "n" incgnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya1 ecuacin tenga n incgnitas, la segunda n-1, la tercera n-2, y as sucesivamente hasta llegar a laltima ecuacin, que tendr una sola incgnita. Hecho esto, resolvemos la ltima ecuacin, acontinuacin la penltima, y as hasta llegar a la primera. Es decir, el mtodo de Gauss consiste entriangular la matriz de coeficientes.

OPERACIONES ELEMENTALES DE RENGLN

i. Multiplicar (o dividir) un rengln por (entre) un nmero distinto de cero.

ii. Sumar el mltiplo de un rengln a otro rengln

iii. Intercambiar dos renglones.

REDUCCIN POR RENGLONES

Al proceso de aplicar las operaciones elementales de rengln con el propsito de simplificar unamatriz aumentada se le llama reduccin por renglones.

NOTACIN

1. ii cRR significasustityase el i-simo rengln por el i-simo rengln multiplicado por c.

2. ijj cRRR significasustityase el j-simo rengln por la suma del j-simo rengln y el i-

simo rengln multiplicado por c

3. ji RR significaintercmbiense los renglones i y j.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema compatible determinado


6/31



46

1.4.2 MTODO DE GAUSS JORDAN (POR ELIMINACIN)

Es una variante del mtodo de Gauss, y resulta ser ms simple al final del proceso, ya que no es precisodespejar las variables pues la solucin se obtiene directamente.

Se basa en diagonalizarla matriz de coeficientes.

Ejemplo:

1.4.3 MTODO DE CRAMER (POR DETERMINANTES)

Es aplicable si el sistema tiene igual nmero de ecuaciones que de incgnitas n = m y el determinantede la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, un sistema de Cramer es, por definicin,compatible determinado y, por tanto, tiene siempre una solucin nica.

El valor de cada incgnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinante de lamatriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i deldeterminante anterior por la columna de los trminos independientes.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema compatible determinado


7/31



47

1. En un parque se observa que el nmero de bancas excede en 11 al nmero de rboles adems si se

plantaran 8 rboles ms y se quitaran 13 bancas, entonces el nmero de rboles seran el doble delnmero de bancas. Cul es el nmero de bancas?.

2. Se vende 12 litros de leche adulterada con un peso de 12,42 kg. Si un litro de leche pura pesa 1,04kg. Cuntos litros de agua se emplearon en la adulteracin?.

3. En un saln de clase, si los alumnos se sientan de 3 en 3 se quedaran de pie 8 alumnos. En cambiosi se sientan de 4 en 4; una carpeta quedara vaca. Halla el nmero de alumnos.

4. Resuelve el sistema:

423

24654

18642

321

321

321

xxx

xxx

xxx


301272

24654

18642

321

321

321

xxx

xxx

xxx


401272

24654

18642

321

321

321

xxx

xxx

xxx

7. Problema sobre administracin de recursos. Un Departamento Gubernamental de Pescaproporciona tres tipos de alimentos a un lago en el que habitan peces de tres especies. Cada pez dela especie 1 consume, por semana, un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume, por semana, un promedio de 3unidades del alimento 1, 4 unidades del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. El consumo semanalpromedio por ejemplar de la especie 3 es de 2 unidades del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5

unidades del alimento 3. Cada semana se vierten en el lago 25 000 unidades del alimento 1, 20 000unidades del alimento 2 y 55 000 unidades del alimento 3. Si se supone que toda esta comida seconsume, cuntos ejemplares de cada especie pueden coexistir en el lago?.

8. Un turista que fue a Europa gast $ 30 al da por hospedaje en Inglaterra, $ 20 al da en Francia y $20 al da en Espaa. En cunto a alimentos, el turista gast $ 20 diarios en Inglaterra, $ 30 diarios enFrancia y $ 20 diarios en Espaa. Adems, por conceptos varios el turista gast $ 10 diarios en cadauno de los pases mencionados. A su regreso, el registro de gastos del viajero indicaba un total de $340 por hospedaje, $320 por alimentos y $140 por gastos varios. Calcula el nmero de das que elviajero estuvo en cada uno de los tres pases o bien muestre que el registro es incorrecto ya que lascantidades gastadas son incompatibles unas con otras.

TALLER DE PROBLEMAS


8/31



48

1. Un tren con 120 pasajeros tiene que recorrer 150 km. Los pasajeros de primera clase pagan 8cntimos por kilmetro y los de segunda 4 cntimos por kilmetro. Cuntos pasajeros viajaban enprimera clase, si despus del viaje se ha recaudado 1020 soles?.

2. Con 60 monedas en total, una de 5 soles y otras de 2 soles se quiere pagar una deuda de 204 soles.Cuntas monedas de cada clase se tienen respectivamente?.

3. Dos vendedores llevaron en total 180 naranjas al mercado Modelo, uno de ellos tena ms naranjasque el otro pero recibi en la venta la misma cantidad de dinero que el otro. Una vez vendidos todaslas naranjas dijo al segundo vendedor:si yo hubiera llevado al mercado las mismas naranjas que t,habra recibido 15 soles. El segundo vendedor contesta: si yo hubiera llevado las naranjas quellevaste t, habra obtenido como producto de la venta 20/3 de soles. Cuntas naranjas ms llevoun vendedor con respecto al otro?.

4. Utilice la eliminacin de Gauss Jordan o la eliminacin gaussiana a fin de hallar todas lassoluciones, si hay alguna, de los sistemas dados:

I)

10372

44

1132

321

321

321

xxx

xxx

xxx

II)

31416

6452

9663

321

321

321

xxx

xxx

xxx

III)

1836

454

7

321

321

321

xxx

xxx

xxx

PROBLEMAS DE EXTENSIN


9/31



49

2.1 DESIGUALDADES

La correspondencia entre los nmeros reales y los puntos de una recta pueden usarse para dar unainterpretacin geomtrica de la relacin de orden entre los nmeros reales.

La relacin a < b significa que sobre una recta numrica el punto A corresponde al nmero a, quese encuentra a la izquierda del punto B correspondiente al nmero b.

Tambin usaremos los smbolos siguientes:

>, que se lee Es mayor que

0 5. )()( bababa

2. Un nmero Ra se llama negativo si a b b < a 7. a < b c (a < b) (b c)

4. )()( bababa

PROBLEMA

Cul es la negacin de la

proposicin: Para todo x de un

cierto conjunto, x2> 0?

INECUACIONES LINEALES Y CUADRTICASSESIN 3.2


10/31



50

TEOREMAS:

Rdcba ;;;

1. ac a>c 8. Si ac0 ac>bc 9. ab -b 10. tiene el mismo signo de a

6. Si a>b y c


11/31



51

a}R/x{x;a[

a}R/x{xa];-

R}R/x{x;-

CONJUNTO SOLUCIN DE UNA INECUACIN

Se llama conjunto solucin de una inecuacin a todos los nmeros reales que la verifiquen, es decir, quedichos nmeros reales dan la desigualdad en el sentido prefijado.

RESOLUCIN DE UNA INECUACIN

El resolver una inecuacin consiste en hallar un conjunto solucin; es decir, encontrar el intervalo dondeestn los valores que puede tomar la incgnita para que verifique la inecuacin.

2.3 INECUACION LINEAL CON UNA INCGNITA

Las inecuaciones de primer grado en una incgnita, son de la forma:

ax+b >0 ax+b


12/31



52

Despejando

- 2x+ 1 x- 3

- 2x-x - 3 - 1

- 3x - 4

x - 4 : (- 3)

x 3

4

Aplicando propiedades

-2x+ 1 x- 3

-2x+ 1 + (-x) x- 3 + (-x)

[-2x+ (-x) ] + 1 [x+ (-x) ] - 3

-3x+ [ 1+ (-1 ) ] - 3 + (-1 )

-3x - 4

-3

1(-3)x -

3

1(-4)

x 3

4

Representacin grfica:

= [3

4, + >

c) 274)4(3 xxx

Respuesta:_________________

d) 5x - 4(x+5) < x 24

Respuesta:_________________

e) 11352 x

Respuesta:_________________

f) Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vaca y el peso de lacarga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales,cunto puede pesar, como mximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?

Solucin:

En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simblico, llamamos x al peso de cadacajn y planteamos la siguiente inecuacin:

Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones no es menor que 415 kg

875 - 4.x 415


13/31



53

Una forma de resolver la inecuacin es seguir los siguientes pasos:

Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4x - 460

Multiplicamos a ambos miembros por -4

1(Observacin: por teorema, al multiplicar por un

nmero negativo, cambia el sentido de la desigualdad)

x 115 Grficando (como el peso es mayor que cero: x >0)

C.S.= 0 ax+by+c < 0

a, b y c

Cada par de valores (x,y) que satisfacen la inecuacin es una solucin de la inecuacin.

Pasos para trazar la grfica del conjunto solucin de una inecuacin lineal

1. Se traza la recta de la ecuacin ax + by + c = 02. Se despeja la incgnita y en la inecuacin.

3. Se sombrea el semiplano correspondiente a la desigualdad correspondiente al paso anterior.

Observacin

Si la inecuacin tiene el smbolo:

> o


14/31



54

Ejemplo:

Trazar la grfica de la inecuacin 2x - 3y + 6 > 0

Resolucin:

1. Trazamos la grfica de la ecuacin2x - 3y + 6= 0, hallando los puntos de corte a los ejes:

Para x = 0 y = 2 (0 ; 2)

Para y = 0 x = -3 (-3 ; 0)

Se traza la recta discontinua (frontera), que no forma parte de la solucin.

2. Despejamos la incgnita y en la inecuacin:y < (2/3)x + 2

3. Sombreamos la parte inferior de la frontera (por 0 ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c 0 ax2 + bx + c 0

Donde a; b; c R; a 0

Resolucin de una inecuacin cuadrtica. Por medio de la naturaleza de las races primero se

resuelve la ecuacin ax2 + bx + c= 0, y de acuerdo a la naturaleza de las races se presentan trescasos:

1ro. Se verifica que "a" sea mayor que cero, si a < 0 entonces se cambia el signo a todos lostrminos de la desigualdad, multiplicando por "-1" a ambos miembros, ejemplo:

Resolver: -2x2 + 7x - 3 >0

1

3

-3

X

2

4

-1

-2

Y

-3

-1-2 1 2 3 4

Frontera


15/31



55

Multiplicando por -1: (-1).(-2x2 + 7x - 3) < 0.(-1) (por teorema B.5)

2x2 - 7x + 3 < 0

2do. Se calcula el discriminante ( acb 42 ) para ver el tipo de races, se pueden presentarlos siguientes casos:

Caso I: > 0

En este caso el trinomio siempre ser factorizable en los reales, para su resolucin se emplearel mtodo de los puntos crticos.

Procedimiento:1) Se descompone el trinomio en dos factores lineales, al igualar cada factor a cero se hallan

los puntos crticos, si el trinomio no fuera factorizable en los racionales los puntos crticos sehallarn mediante la frmula general de la ecuacin de segundo grado.

2) Se ubican los puntos crticos en la recta numrica dividindola en 3 intervalos los cualestendrn signos alternados a partir de la derecha empezando por (+).

3) Luego si se pide resolver:

P(x) > 0; o P(x) 0, el conjunto solucin sern los intervalos positivo.P(x) < 0; o P(x) 0, el conjunto solucin ser el intervalo negativo.

Ejemplo, Resolver: 2

p(x)

x 2x 15 0

Resolucin:1) Factorizando: (x - 5)(x + 3) 0

Puntos crticosx 5 0 x 5

x 3 0 x 3

2) Ubicando los puntos en la recta real:

P(x) 0, el conjunto solucin3) Luego comosern las zonas positivas

x ; 3 5,

Caso II: = 0En este caso el trinomio es un cuadrado perfecto y tiene una raz doble (un solo punto crtico).Dicho trinomio ser siempre 0, recordar que:

Raa ,02

Ejemplo: Resolver: x2 - 6x + 9 > 0

Resolucin:

1) Factorizando: (x - 3)2 > 0Punto crtico: x - 3 = 0 x = 3

2) En la recta numrica:

3) Luego, como P(x) > 0, la solucin ser:

x R - {3} (x = 3 no verifica)


16/31



56

Caso III: En este caso el trinomio no es factorizable en los reales pues posee races imaginarias, este

trinomio sera siempre positivo y su conjunto solucin puede ser R o segn sea la forma de lainecuacin:

Ejemplo: Resolver: 9x2 + 6x + 2 0

Resolucin:

= 62 - 4(9)(2) = -36 < 0

Entonces el trinomio ser siempre (+)

Conjunto solucin: x ;

1. Un comerciante dispona de una cantidad de dinero para comprar un cierto nmero de objetos igualesentre si. Pensaba comprarlos a 50 soles cada uno pero le faltaban ms de 48 soles, despus penscomprarlos a 40 soles cada uno y le sobraban ms de 152, por ltimo los compr a 30 soles cada unoy le sobraron menos de 372 soles. Cul fue el nmero de objetos comprados?.

2. En una caja hay un nmero de lpices tal que su doble disminuido en 86, es mayor que 200; se sacan17 lpices y quedan menos que la diferencia entre 200 y la mitad de los lpices que habaprimeramente. Cul era el nmero de lpices?.

3.Halla los valores enteros de x e y que satisfacen el sistema.

5x 3y > 2

2x + y < 11

y>3

4. Resuelve las siguientes inecuaciones:

I.

II.

III.

IV.

TALLER DE PROBLEMAS

Teorema Del Trinomio Positivo

El trinomio: ax2 + bx + c ser positivo

Para todo "x" Rsiempre que:

a>0 0


17/31



57

5. Resuelve:

I. Si73

1,5,9)1(

x

entoncesx A qu intervalo pertenece?

II. Si:132,2,1)5,2(

xxentoncesx A qu intervalo pertenece?

III. Si: 32,1,3

1

1

1 2

xxentonces

xpertenece al intervalo:

6. Resuelve las inecuaciones:

I.

II. 06582 xx

III.08x5x2

1. Un ebanista hace un nmero de sillas y vende 70, quedndole por vender ms de la mitad. Hacedespus 8 sillas y vende 38, con lo cual le quedan menos de 42 que vender. Cuntas sillas hahecho?.

2. Halla un nmero de dos cifras, sabiendo que el doble de la cifra de las decenas restado de las cifrasde las unidades es mayor que 5 y la diferencia entre 14 veces la cifra de las unidades y la cifra de lasdecenas es menor que 12. Cul es el nmero?

3. Representa grficamente el conjunto solucin de las siguientes inecuaciones:

I) II)



18/31



58

3.1 ECUACIONES EXPONENCIALES

La incgnita se encuentra en el exponente. Para resolverlas aplicamos las siguientes propiedades:

Si tienen la misma base: igualamos los exponentes cbaa cb

Si tienen el mismo exponente: igualamos las bases caca bb Potencias. Aplicamos sus propiedades para descomponer las ecuaciones exponenciales:

Producto: si nos encontramos con una suma de exponentes, ponemos el producto cbcb aaa .

Cociente: si nos aparece una diferencia de exponentes, ponemos el cocientec

bcb

a

aa

Potencia de potencia: si nos aparece un producto en el exponente cbcb aa )(.

Ecuaciones exponenciales que se reducen a ecuaciones de primer grado

En cada uno de los siguientes ejercicios encontrar el valor de x:

1. 10242 1 x

2. 7222 11 xxx

3. 11733311

xxx

Ecuaciones exponenciales que se reducen a ecuaciones de segundo grado

En cada uno de los ejercicios encontrar el valor de x:

4. 032042 13 xx

5. 055.652 xx

3.2 ECUACIONES LOGARTMICAS

Una ecuacin logartmica es aquella ecuacin trascendente donde, por lo menos, una incgnita estafectada del operador logartmico.

Aplicamos las propiedades de los logaritmos:

MNMN aaa .logloglog

MNMN aaa /logloglog

m

aa NNm loglog

MNMN aa loglog

Si se tiene la siguiente ecuacin: NM bb loglog

ECUACIONES EXPONENCIALES, LOGARTMICAS Y

TRIGONOMTRICASSESIN 3.3


19/31



59

Se realiza el siguiente procedimiento:

I. Debemos garantizar la existencia del logaritmo: )10()00( bbNM

II. Hallamos los posibles valores de la incgnita haciendo: M = N

III. La solucin se obtendr de la interseccin de los valores obtenidos en I y II:

C.S. = I II

Ejemplo:

1. Resolver: )3(log)12(log xx xx

Resolucin:

I. )

II.

III. C.S. = I II =

3.3 ECUACIONES TRIGONOMTRICAS

Son igualdades condicionales donde la incgnita se encuentra afectado por un operador trigonomtrico(sen, cos, tan, etc.) y se verifican para determinados valores admisibles.

Ejemplos:

senx + cosx = 1 si es ecuacin trigonomtrica

tgx + sec2x = 3 si es ecuacin trigonomtrica

3x + tgx = 2 No es ecuacin trigonomtrica

Identidades Trigonomtricas

ECUACIN TRIGONOMTRICA

ELEMENTAL:

FT(ax+b) = N NO ELEMENTAL


20/31



60

Valor Principal (VP). Es el valor que asume el argumento de la ecuacin trigonomtrica elemental.

y est comprendido en el siguiente intervalo:

Expresin General (EG).

Funcin Trigonomtrica Expresin General EG

sen y csc

cos y sec

tan y cot

Tipos de solucin:

Solucin Principal.- Es el menor valor no negativo que asume la incgnita Solucin General.- Es el conjunto de todos los valores que asume la incgnita.

Ejemplo:

1. Resolver:2

1

3xsen (Ecuacin trigonomtrica elemental)

Resolucin:

I. Valor principal:6

pV

II. Expresin general:6

)1(3

kk

x

Despejando x, tenemos:

= , (

FT = N


21/31



61

2. Resolver (Ecuacin trigonomtrica No elemental)Resolucin:

Reduciendo (multiplicando por )

Se sabe que:

. Ecuacin trigonomtrica elemental

I. Valor principal: Vp =

II. Expresin general:

, (

3. Si: 3 + 3cotx = 4 Cul podra ser el valor de x/3?Resolucin:

Al resolver la ecuacin trigonomtrica, tenemos:

Recordando de lgebra el tema de Productos Notables, por "Diferencia de Cuadrados", tenemos:

Tratemos de ajustar la ecuacin trigonomtrica para tener una expresin matemtica similar a laanterior:


22/31



62

Notamos que la ctgx toma 2 valores, un valor positivo y otro negativo.

Calculemos los ngulos que cumplen estas condiciones, nos restringiremos a ngulos de

Se sabe:

El problema nos pide calcular:

Segn las alternativas del problema x/3 = 20

FUNCION SENO

FUNCION COSENO
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:FunTriR100.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:FunTriR100.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/94/FunTriR010.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/94/FunTriR010.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/94/FunTriR010.svghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/94/FunTriR010.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:FunTriR100.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:FunTriR100.svg


23/31



63

1. Resuelve: )4(log)16(log 72

7 xx

2. Resuelve: 1)1(log)3(log 55 xx

3. Resuelve: 2)2(log)7(log 66 xx

4. Resuelve el sistema: x + y = 65 . (1)

3loglog yx (2)

5.Si:

2

23 log))(log2)(log(log xyxx xxx

Calcula el valor de y

b

NN

a

a

blog

loglog

6. Simplifica la expresin, sabiendo que: Z > X > Y > 0

)(log)(log)(log xzzyyx cba cbaE

7. Calcula x en:

cbacba acxcbxbax cba )(log)(log)(log

8. En la ecuacin logartmica: 9log3log 2log xx x Halla el producto de valores de x.9. Interpreta todas las soluciones de la ecuacin:

xx coscos2 2 ; en el intervalo 2,0

10. Interpreta todas las soluciones de la ecuacin:

05tan3 senxx ; en el intervalo 2,0

11. Interpreta todas las soluciones de la ecuacin:

2cos2 xsenx ; en el intervalo 2,0

12. Utilice esta identidad trigonomtrica

PROBLEMAS DE APLICACIN


24/31



64

1. Calcula el valor positivo de x si se conoce que: 2log3 y y 49log

22

3

yx

2.Calcula el valor de x en: 0))(log(loglog 234 x

3. En la ecuacin: xxxx 50loglog5log5log )1( Halla x.

4. Encuentra la mayor solucin de la ecuacin:

385)(log....)(log)(log)(log 21023222 xxxx

4.1 INTRODUCCIN

La programacin lineal es una tcnica de optimizacin queconsiste en la maximizacin o minimizacin de una funcinlineal, llamada funcin objetivo, sujeta a restriccionestambin lineales.Un programa lineal puede ser resuelto en forma grfica oen forma analtica. El mtodo geomtrico (o grfico) tiene lavirtud de ser fcilmente comprensible y adems permitevisualizar algunas propiedades de un programa lineal. Sinembargo desde un punto de vista prctico, el mtodo grficono es aplicable, por cuanto est limitado a programas quetengan un mximo de tres variables, y por otro lado losproblemas prcticos de programacin lineal, normalmentetienen decenas, centenas e incluso miles de variables, lo

cual implica la necesidad de usar mtodos analticos.

4.2 SOLUCION DE UN PROGRAMA LINEAL

El Mtodo Geomtrico (MTODO GRFICO)Este mtodo consiste en delinear sobre el primer cuadrante (debido a la condicin de nonegatividad) la regin de soluciones factibles; y luego graficando sobre ella la funcin objetivo, seubica el programa o programas ptimos.

INTRODUCCIN A LA PROGRAMACIN LINEALSESIN 3.4



25/31



65

Minimizar C= 20x+40y funcin objetivoSujeta a:

Restricciones

Maximizar G= 134m+20b funcin objetivoSujeta a:

Restricciones

DEFINICIONES BASICAS

Del grfico:

Definiciones ElementosRegin factible.- Es aquella que cumple con todaslas restricciones y las condiciones de nonegatividad.

Se caracteriza por ser convexa.

S: regin sombreada.

Solucin factible.- Es cualquier punto de la reginfactible.

P1, P2 y otros puntos que pertenecena S.

Solucin bsica.- Es aquella que se encuentra enla interseccin de rectas o en la interseccin conlos ejes coordenados.

1, 2, 3, ,8, 9

Solucin bsica factible.- Es una solucin bsicaque pertenece a la regin factible

1, 2, 5, 7 y 8

Solucin bsica factible degenerada.- Es lasolucin factible bsica, en la que una o msvariables bsicas toman el valor de cero

1, 2 y 8

Solucin ptima o programa ptimo.- Es lasolucin factible que maximiza o minimiza lafuncin objetivo(segn el caso)

7

X

Y

S

1

2

4

3

5 6

7

8 9

P1 P2


26/31



66

1. Una compaa fabrica 2 modelos de cafetera grande tamao comercial: normal y de lujo. Los

componentes de estas cafeteras se procesan en 2 mquinas diferentes I y II. Para fabricar unaunidad del modelo normal se necesita 1 hora de la mquina I y 1 hora de la mquina II, para fabricaruna unidad del modelo de lujo se necesitan 2 horas en la mquina I y 5 horas en la mquina II. En elperiodo de horario de trabajo hay 20 horas de tiempo de la mquina I y 35 horas de la mquina IIdisponibles. La compaa puede vender todas las unidades que produzcan con un beneficio de $ 10para el modelo normal y $ 30 por unidad del modelo de lujo. Cuntas unidades de cada modelodebe programar la compaa en la produccin para maximizar los beneficios a obtener?.

2. Una compaa manufacturera fabrica los productos 1 y 2; y es suficientemente afortunada como paravender lo que puede producir actualmente.Cada producto requiere un tiempo de manufacturacin en los 3 departamentos y la disponibilidad deuna cantidad fija de horas hombre por semana en cada departamento; tal como se muestra en elcuadro siguiente:

Tiempo de manufacturacin (horas)Departamento A Departamento B Departamento C

Producto 1 2 1 4Producto 2 2 2 2H-Hdisponible/semana

160 120 280

El problema consiste en decidir qu cantidad de cada producto debe manufacturarse con el objeto dehacer el mejor empleo de los medios limitados de produccin, sabiendo que la ganancia por cadaunidad del producto 1 es S/. 1.00 y del producto 2 es S/. 1. 50.

3. Una compaa produce 2 tipos de sombreros, cada sombrero del tipo I requiere 2 veces el tiempo de

labor que los del tipo II. Si todos los sombreros que la compaa puede producir son de un total de500 sombreros por da. El mercado limita las ventas a 150 para el tipo I y a 250 para el tipo II. Asumirque las utilidades por cada sombrero son de $ 8 para el tipo I y $ 5 para el tipo II. Determina elnmero de sombreros de cada tipo que deben producirse para maximizar las ganancias.

4. El carpintero Jos junto con sus hermanos construyen dos tipos de sillas: uno de metal y otro demadera, que luego vendern en la feria dominical de Huancayo. Uno de los problemas que se lepresenta es la escasez de tiempo, que solo le permite elaborar a lo ms 40 sillas de ambos tipos. Elotro problema es el capital que poseen para invertir en materiales es de a lo ms S/. 600, incluida lamano de obra. Teniendo en cuenta la siguiente tabla de datos:

MATERIAL Costo de materiales por silla Ganancia unitaria

METAL S/. 30 S/. 25

MADERA S/. 12S/. 15

Halla cuntas sillas de cada tipo debe producir para obtener la mxima ganancia y cul ser dichaganancia.

TALLER DE PROBLEMAS


27/31



67

1. Una estacin local de televisin se enfrenta a un problema. Se sabe que el programa A, con 20

minutos de msica y 1 minuto de comerciales tiene un auditorio de 30 000 televidentes, mientrasque el programa B con 10 minutos de msica y un minuto de comerciales es visto por 10 000televidentes. El patrocinador insiste que sus comerciales se transmitan por lo menos 6 minutos a lasemana, y por otro lado la estacin no puede brindar ms de 80 minutos de msica por semana.Cuntas veces debe transmitirse cada programa a la semana para obtener el mximo nmero detelevidentes?.

2. Un fabricante produce un artculo en dos presentaciones A y B, usando las materias primas m1 y m2.Diariamente se necesita por lo menos 18 kg de m1 y 12 kg de m2; y como mximo 34 horas de manode obra. Se requiere 2 kg de m1 para cada artculo A y 1 kg de m1 para cada artculo B. Para cadaartculo A y B se requiere 1 kg de m 2. Adems en la fabricacin de un artculo de A se emplean 3horas y 2 horas en un artculo de B. Cuntos artculos de cada modelo deben producirse paramaximizar la utilidad y cul es sta utilidad mxima? (U = 5x + 3y)

3. Fabricacin de planeacin de la produccin. La compaa Bata Aerobics produce dos modelosde escaladoras para ejercicios aerbicos. La fabricacin de cada modelo de lujo requiere 10 librasde plstico y 10 minutos de trabajo. La produccin de cada modelo estndar requiere 16 libras deplstico y 8 minutos de trabajo. La ganancia por cada modelo de lujo es $ 40 y $ 30 por cadamodelo estndar. Si se dispone de 6 000 libras de plstico y 60 horas de trabajo para la produccindiaria de escaladoras, cuntas unidades de cada modelo hay que producir para maximizar lasganancias?.

INTRODUCCIN

Como sabemos, una descripcin matemtica de un fenmenode la vida real, dada en trminos como por ejemplo, de unafuncin o de una ecuacin es lo que constituye un modelomatemtico. El consumo continuo de un producto en elmercado, el descenso significativo del nmero de fumadoresentre dos fechas en una poblacin en particular, la expectativade vida de una persona al nacer, el costo de la reduccin deproductos contaminantes en una determinada zona, lanecesidad de realizar pronsticos sobre la variacin a futuro delPIB en un pas determinado, son ejemplos de fenmenos realesque se pueden modelar matemticamente por una funcin. Lafinalidad del modelo es comprender el fenmeno y, quiz, hacerpronsticos acerca de su comportamiento.

5.1 MODELO MATEMTICO

Es la descripcin de un hecho o fenmeno del mundo real, conel objetivo de entender ampliamente el fenmeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.

El proceso para elaborar un modelo matemtico es el siguiente:

1. Encontrar un problema del mundo real.2. Formular un modelo matemtico acerca del problema, identificando variables (dependientes e

independientes).

MODELOS EXPONENCIALES, LOGARTMICOS Y TRIGONOMTRICOS

SESIN 3.5



28/31



68

3. Aplicar los conocimientos matemticos que se posee para llegar a conclusiones matemticas.4. Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales. Si los datos son diferentes,

se reinicia el proceso.

Es importante mencionar que un modelo matemtico no es completamente exacto con problemas

de la vida real, de hecho, se trata de una idealizacin.

5.2 MODELOS EXPONENCIALES, LOGARTMICOS Y TRIGONOMTRICO

Llamamos modelos exponenciales a aquellas situaciones que, despus de haber sido examinadasmatemticamente, se representan por medio de una funcin exponencial. Sirven de modelo afenmenos tan dispares como la evolucin de poblaciones, desintegracin radiactiva, intereses decapital, etc.

Las funciones inversas de las exponenciales se denominan logartmicas, stos varan muylentamente, lo que les hace ser escala numrica adecuada para medir fenmenos naturales que

implican nmeros muy grandes, tales como la intensidad del sonido, movimientos ssmicos, ladatacin de restos arqueolgicos, etc.

Las modelos de funciones trigonomtricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturalespara analizar fenmenos peridicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente elctrica alterna,cuerdas vibrantes, oscilacin de pndulos, ciclos comerciales, movimiento peridico de los planetas,ciclos biolgicos, etc. En aplicaciones de las funciones trigonomtricas relacionadas con fenmenosque se repiten peridicamente, se requiere que sus dominios sean conjuntos de nmeros reales.Para la obtencin de valores de las funciones trigonomtricas de nmeros reales con unacalculadora por ejemplo, se debe usar el modo radin.

1. La poblacin de una nacin crece cada ao en (1/100) de lo que era el ao precedente.Datos: log1,01=0,00432 y log3=0,47712.

Al completar la tabla, En cuntos aos lograr ser dos veces ms que la inicial?

2. Samuel compr hace cinco aos un terreno en Satipo. Sus amigos le dijeron que haba hecho unaestupenda inversin, pues en esa zona el valor de los lotes cada ao es 1,3 veces el del aoanterior. En la actualidad podra vender el terreno por 60 000 soles. (considerar 2010 como aoactual).

a) Completa la tabla:

aos 2005 2006 2007 2008 200920102011 2012 ...

miles de soles 60

aos 0 1 2 3 n

poblacin x 3x

TALLER DE PROBLEMAS


29/31



69

b) Cunto le cost a Samuel?.c) Si lo hubiera vendido hace dos aos. Cunto dinero le hubieran dado?.d) Dentro de cuntos aos podr vender el terreno por 120 000 soles?.

3. Si en un anlisis de una botella de leche se encuentran 500 organismos (bacterias), un da despusde haber sido embotelladas y al segundo da se encuentran 8000 organismos. Cul es el nmero de

organismos en el momento de embotellar la leche? Si se sabe que la razn de crecimiento dependede la poblacin presente en periodo de procrear, considerando las tasas de natalidad y de muerte.

4. El odo humano percibe un rango enorme de intensidades sonoras ), entre un umbral

y sonidos del orden de billones de veces ms intensos, como muestra la siguiente tabla:

Intensidad aproximada dealgunos sonidos

Vatios/m2 db

Umbral de audicin 0

Susurros 27

Conversacin normal 65

Trfico muy intenso 89

Martillo neumtico 95

Umbral del dolor 120

Reactor (poscombustin) 149

Pero al crecer la intensidad geomtricamente, la sensacin percibida lo hace de formaaproximadamente aritmtica. Por eso se introdujo la escala de medida en belios y decibelios (en

honor de A. G. Bell, el inventor del telfono), en la cual un sonido de intensidad I tiene, por definicin,

un nivel deintensidad de

As, el sonido umbral corresponde a 0 decibelios y un trfico muy intenso a:

Decibelios

Apl icacin:Calcula el nivel en decibelios de cada apartado de la tabla anterior y compara tus

resultados.

5. Un depsito suministra agua a una comunidad. Durante los meses de verano la demanda D(t) de

agua, en m3/s est dada por en la cual t es el tiempo en das y t=0corresponde al inicio del verano.


30/31



70

a) Cul es la mxima demanda de agua? Si .b) Al cabo de cuntos das la demanda de agua ser mxima.

1. Existen procesos que exhiben un comportamiento exponencial como por ejemplo, los modelos decrecimiento de poblacin o desintegracin radiactiva. La siguiente tabla presenta datos sobre elnmero de habitantes (en miles) en una determinada ciudad cosmopolita de acuerdo a los censosrealizados en cada dcada desde 1900 hasta 2000. Aqu x = 0 representa el ao 1990, el x = 1representa el ao 1910 y as sucesivamente. Se desea predecir el nmero de habitantes que tendrla ciudad al comienzo de cada una de las tres primeras dcadas del siglo XXI.

Observacin:

Se sabe que la funcin que modela los crecimientos de poblacin es una funcin exponencial de la

forma bxaey , donde a>0 y b>0. Observe que si tomamos logaritmo neperiano en ambos

miembros de la ecuacin, obtenemos la ecuacin bxay lnln , lo que indica que si la variable

dependiente y es una funcin exponencial de x, entonces ln y es una funcin lineal de x. De modoque un ajuste lineal entre las variables x y ln y nos dar un ajuste exponencial entre la variable x y lavariable y.

Cul es el nmero de habitantes que tuvo y tendr la ciudad al comienzo del

a) ao 2010?

b) ao 2020?

c) ao 2030?

2. El carbono-14 o radiocarbono es un istopo radioactivo del carbono que se produce regularmente enla atmsfera bajo la influencia de las radiaciones solares. Tiene un perodo de desintegracin de 5568 aos, esto quiere decir que a los 5 568 aos el carbono-14 se ha reducido a la mitad, a los 11136 aos a la cuarta parte, y as sucesivamente hasta su total desaparicin.

En la actualidad, en 1 g de carbono atmosfrico se producen 15 desintegraciones cada segundo,debidas al carbono-14 que contiene (actividad del carbono = 15 des./g. s). Mientras que un animal oplanta est vivo, la actividad del carbono que contiene es la misma de la atmsfera, pues se



31/31



encuentra en intercambio continuo con ella. Cuando muere, el carbono-14 de un cuerpo se desintegrasin que nada lo reponga.

a) Completa la siguiente tabla, que muestra la evolucin del nmero de desintegraciones producidasen 1g de carbono extrado de un animal o planta, segn los perodos de 5 568 aos producidosdespus de su muerte:

nm. perodos desde

la muerte

0 1 2 3 4 5 6 ..... x

nm. desintegraciones

por gramo y segundo

15 7,5

b) Acabamos de encontrar unos restos arqueolgicos, y en el laboratorio, con un contador GEIGER,

se ha medido una actividad de 0,23 des./g. s . Cul es su antigedad?

c) Y si la actividad es de 0,117 des./g. s?

Bibliografa

VENERO V., Armando. (1993) Matemtica Bsica. Editorial San Marcos .Lima .Per. TAYLOR y WADE. (1978). Matemticas Bsicas. Editorial LIMUSA S.A. Mxico. LAZARO CARRION, Moiss. (1993), Matemtica Bsica. Edit. MOSHERA. Lima. TAYLOR y WADE. (1978). Matemticas Bsicas. Editorial LIMUSA S.A. Mxico. CARRANZA, Csar y otros. (1992). Matemtica Bsica. Concytec. PINZON, lvaro.(1973). Conjuntos y estructuras. Editorial HARLA S.A. Mxico. ROJO, Armando O. (1978) lgebra, Edit El Ateneo, Buenos Aires-Argentina, 395pp. AYRES, Frank Matemticas Financieras. (1971) Edit. McGraw Hill 1. Mxico. 232 pp. RAFFO LECCA, Lucio (1998) Matemticas Financieras. Edit. Mundigraf. Lima Per.256 pp.

Separata o3 - Corr.

Documents

Transcript of Separata o3 - Corr.