Separata Io 2009 Ii

ASOCIACIÓN UNIVERSIDAD PRIVADA SAN JUAN BAUTISTA FACULTAD COMUNICACIÓN Y CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

Escuela Profesional de Administración de Negocios - PEA Curso – Investigación de Operaciones

Ing. Flor Galarreta Rios 1

CAPÍTULO I: GENERALIDADES SOBRE LOS MODELOS CUANTITATIVOS 1. Definición

Disciplina que ayuda en la toma de decisiones, mediante la aplicación de un enfoque científico a problemas de gestión empresarial que involucran factores cuantitativos:

- Disciplina: Conjunto completo de conocimientos y técnicas con fundamento científico. - Toma de decisiones: Brindan un análisis y recomendaciones, con base en los factores

cuantitativos del problema como insumo. - Enfoque científico: Se intentará emplear el método científico realizando una

investigación sistemática que incluya la recopilación de datos, el desarrollo y prueba de las hipótesis del problema (en forma de modelo matemático) y la aplicación de la lógica en el análisis siguiente.

- Factores cuantitativos: Como cantidades de producción, costos, cantidades disponibles de recursos necesarios y otros. Al incorporar estos factores en un modelo matemático y aplicar procedimientos matemáticos para resolver el problema, se tiene una forma poderosa para analizar problemas administrativos.

Un modelo es una abstracción, simplificación de un problema de decisión de negocios, que se lograr si se incluye sólo los elementos importantes y se omiten los no esenciales. El proceso de modelado es creativo; es un proceso evolutivo que comienza con un simple “modelo verbal” para definir la esencia del problema y gradualmente evoluciona hacia modelos matemáticos cada vez más completos. El modelo matemático de un problema de negocios es el sistema de ecuaciones y las expresiones matemáticas relacionadas que describen la esencia del problema. El proceso de desarrollar y resolver modelos, es esencial porque nos permite hacer inferencias sobre la situación real. Ejemplo:

- Hacer inferencias sobre cuanta utilidad se ganará si se vende una cantidad específica de un producto particular.

- El modelo de una máquina es más fácil y menos costosa de construir y estudiar que una máquina de tamaño real, y reducen el riesgo asociado al experimentar con una situación real.

El éxito de un procedimiento cuantitativo depende en gran medida de la precisión con que se expresa el objetivo y las restricciones en términos de ecuaciones o relaciones matemáticas.

2. Relación entre la solución de problemas y toma de decisiones

• Solución de problemas: Es el proceso de identificar la diferencia entre un estado real de cosas y el deseado y tomar las acciones para resolver dicha diferencia.

• Toma de decisiones: Es un proceso a través del cual, cuando se afronta un problema, se selecciona un plan de acción específico o solución, a partir de un conjunto de posibles cursos de acción. La fase de análisis del proceso de toma de decisiones puede tomar las formas básicas:

- Análisis cualitativo: Se basa en el juicio y la experiencia, incluye la “sensación” intuitiva en relación con el problema, es más un arte que una ciencia. Se aplica habilidades inherentes que por lo general se incrementa con la experiencia.

- Análisis cuantitativo: Se concentrará en los hechos o datos cuantitativos asociados con el problema y desarrolla expresiones matemáticas que describan los objetivos, los límites y otras relaciones que existan dentro del problema.

Se debe encontrar el equilibrio apropiado entre los factores cualitativos y cuantitativos, para evitar consecuencias negativas al tomar una decisión, ejemplo: el ánimo y el liderazgo puede ser afectado por una mala decisión. Las decisiones pueden caracterizarse por tomarse bajo certidumbre o incertidumbre, dependiendo de si los

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factores principales se consideran conocidos o no. La toma de decisiones bajo incertidumbre involucra el uso de probabilidades para expresar la posibilidad de eventos inciertos.

3. Tipos de modelos: Nos apoyamos en una serie de medios (modelos que son instrumentos

de simulación del proyecto) que permitan conocer las dificultades de un proyecto antes de que se construya. Según T. Woodson, existen tres tipos de modelos: a. Modelos icónicos.- Forman un código técnico de transmisión de información universal

basado en la ciencia y el arte del dibujo y en las normas de símbolos y líneas. Contribuyen al planteamiento y resolución de problemas, mediante la representación visual permitiendo el establecimiento de relaciones entre elementos y la síntesis de éstos que conduzca a la construcción (icónica) del conjunto. Tienen un nivel de abstracción bajo en comparación con los modelos analógicos (nivel medio de abstracción) y con los modelos simbólicos (nivel alto). Entre los principales tenemos: - Especificaciones. Mediante palabras o por coordenadas (descriptivo), o mediante

dibujo (más concreto y con menor posibilidad de error). - Visualización y síntesis. El dibujo permite la ampliación o la reducción de un

elemento por medio de las escalas: situación, orden, proporción, disposición, sombras, aspectos estéticos, etc. A partir de un grupo de elementos se puede sintetizar un conjunto, o bien, a partir de un conjunto determinar sus componentes.

- Determinación de dimensiones. Necesaria para la medición, valoración y construcción.

- Método gráfico para el cálculo. Interpolación, extrapolación, ratios, cálculos trigonométricos, operaciones con vectores, ábacos y nomogramas, integración o diferenciación y optimización.

- Modelos a escala. Permite realizar ensayos, comprobar el funcionamiento o estudiar una distribución de componentes.

b. Modelos Analógicos.- Se utilizan para simular el comportamiento de un sistema, de

difícil estudio directo, mediante otro sistema que pueda reproducir las características y circunstancias del primero en condiciones más sencillas. Permiten:

- Simular el comportamiento, operando en el modo deseado y en tiempo real o artificial.

- Determinar resultados numéricos, realizando un control cuantitativo de las interacciones entre componentes.

- Utilizar diversos fenómenos que sugieren nuevas áreas de investigación. - Intercambiar variables y parámetros, a voluntad.

Definir el Problema

Identificar alternativas Determinar los criterios

Evaluar alternativas Escoger una alternativa Implementar la decisión

Evaluar los resultados

Análisis cualitativo

Análisis cuantitativo

Resumen y Evaluación

Toma de decisiones

Solución De

Problemas Análisis del problema

Toma de Decisiones

Relación entre soluciones de problemas y toma de decisiones

Decisión

Estructura del problema






Precisan, para su utilización, de la comprobación, de la homogeneidad dimensional y del cumplimiento de reglas de semejanza entre el modelo y el objeto del proyecto. La simulación con modelos analógicos aumenta la posibilidad de respuestas correctas y se pueden aplicar siempre que existan disponibles los equipos específicos necesarios, ejemplos.

- Estudio del comportamiento aerodinámico de un vehículo en el túnel de viento. Dejando fijo el vehículo, se simula su movimiento haciendo circular aire a la velocidad deseada.

- Resolución de problemas numéricos mediante modelos analógicos de cálculo: calculadora, computador, etc.

- Resolución de sistemas mecánicos, térmicos, eléctricos, hidráulicos, etc., mediante analogías (problemas térmicos por medio de un sistema analógico eléctrico, por ejemplo).

- Programación de proyectos, representando el proceso de fabricación mediante métodos como PERT, CPM, etc.

c. Modelos simbólicos.- Son las representaciones matemáticas. Abstracciones abreviadas de las partes relevantes y cuantificables de un problema; están limitados por la capacidad de resolución de las técnicas matemáticas conocidas y por los conocimientos de dichas técnicas que posea el proyectista. Sus características son:

- Se utiliza la máxima generalización para resolver un problema. - Economía de esfuerzos, al usar símbolos y expresiones muy simplificadas. - Se apoyan en axiomas y leyes consistentes en sí mismos. - Se alcanzan resultados numéricos. - Deben comprobarse los resultados.

La preparación de un modelo matemático comprende los siguientes pasos: - Determinar todas las variables del sistema y asignar símbolos a cada una de ellas. - Asumir simplificaciones y eliminar las variables de menor importancia. - Identificar las variables, los parámetros, las constantes y las condiciones de contorno. - Agrupar las expresiones y ecuaciones iniciales de estructura, comportamiento y

rendimiento. Las ecuaciones representan condiciones de estado, de flujo o de suma de componentes.

- Reducir y simplificar la expresión a una forma en que queden definidos los más importantes aspectos del sistema.

Un modelo simbólico se considera que está bien construido cuando tiene las siguientes cualidades:

- Realismo en la elaboración de predicciones. - Mínima complejidad para las características del sistema (el menor número de términos

y máxima sencillez matemática). - Términos independientes para acciones o fenómenos separados. - Directa manejabilidad de la expresión, es decir, susceptible de manipular con

operaciones conocidas. - Facilidad en la sustitución de situaciones de control conocidas.

4. Métodos cuantitativos Probabilidad estadística • Las probabilidades son útiles cuando se trabaja en un ambiente de incertidumbre. • Estadísticas son métodos poderosos para la toma de decisiones cuando la información

es limitada. • Usos: Muestreos, estrategias gerenciales, reemplazo de elementos que fallan con el

tiempo.






Pronósticos • Responsabilidad inevitable de la gerencia con referencia a hechos históricos. • Curvas: - Regresión y correlación. • Series de tiempo. Teoría de la decisión • Decisiones bajo riesgo en condiciones donde pueden aplicarse probabilidades respecto

del futuro. • Árboles de decisión es el método efectivo de combinar conceptos probabilísticas y

valores esperados (o utilidades) para problemas con incertidumbre y muchas opciones. • Análisis de costo – volumen – utilidad condiciones de incertidumbre respecto del

comportamiento del costo y demanda. • Teoría de juegos para problemas con incertidumbre. Modelos de inventarios • Control de los costos totales del inventario. • Reducen el costo total de adquisición de los inventarios, del almacenamiento y

procesamientos de de éstos y evitan que la compañía se quede sin inventarios. • Cantidad económica y óptima. Programación lineal • Útil cuando debe hacerse una elección entre numerosas opciones. • Se usa cuando se requiere determinar combinaciones óptimas de los recursos

destinados a lograr algún objetivo. • Métodos gráficos y simples analíticos y uso del computador. • Algoritmos de propósitos especiales: Métodos del Transporte y asignación. • Programación entera, dinámica y metas. • Producción masiva y continua. Simulación.- Estudio del estado del problema bajo condiciones probabilísticas con uso

extensivo de medios computacionales. Teorías de colas • Estudia la llegada errática a algún servicio de capacidad limitada. • Los modelos permiten calcular la longitud de las futuras colas, tiempo promedio por

cada persona que espera, servicios ocupados y facilidades requeridas adicionales. • Producción por lotes y series. Redes • Permiten enfrentar las complejidades de grandes proyectos. • Reducen significativamente el tiempo necesario para planear y producir productos

complejos. • Técnicas usadas: PERT, CPM, PERT/costo y programación con limitación de recursos. • Producción única y proyectos. Análisis de markov • Permite predecir cambios en el tiempo cuando la información acerca del

comportamiento de un sistema es conocido. • Permite conocer la preferencia de los consumidores en el tiempo. Uso de gráficas • Permite un mejor análisis y ayuda en las exposiciones. • Facilita el convencimiento. • “Una buena gráfica dice más que mil palabras”.






5. Usos y ventajas de los modelos cuantitativos.- ayudan a tomar decisiones. • Estratégicas: Son decisiones de una sola vez que involucra políticas con consecuencias

a largo plazo. El modelo debe incluir todos los aspectos importantes del problema y que los datos sean los más exactos posible. Ejemplo: - ¿Debería reemplazarse un sistema existente con un nuevo sistema recién propuesto? - ¿Debería cambiar su política de administración? Ejemplo ¿Debería de reordenar

inventarios a intervalos de tiempo regulares en lugar de cada vez que el nivel caiga por debajo de alguna cantidad especificada?

• Operacionales: Son decisiones que implica cuestiones de planeación de corto plazo que generalmente deben hacerse repetidamente, ejemplo: - ¿Cómo puede la empresa programar de la manera más eficiente la fuerza de trabajo

semanalmente? - ¿Cuál es el plan de producción mensual óptimo? - ¿Cuál es el plan del embarque más efectivo en costos para distribuir productos desde

las plantas hasta los mercados al por menor? Sin importar si se requiere de una decisión estratégica u operacional, proporcionan los siguientes beneficios: - Cuando el problema es complejo y no se puede desarrollar una buena solución sin el

auxilio del análisis cuantitativo. - Es un método para determinar la mejor manera de lograr un objetivo y como asignar

recursos escasos. - Una forma de evaluar el impacto de un cambio propuesto o un nuevo sistema sin el

costo y tiempo de llevarlo a cabo primero. - Cuando el problema es muy importante y está involucrado gran cantidad de dinero, y

se desea análisis cualitativo y cuantitativo completos, antes de intentar llegar a una decisión.

- El problema de nuevo y no se tiene experiencia previa en la cual apoyarse. - Una forma de evaluar la fortaleza de la solución óptima al hacer preguntas de

sensibilidad. - El problema es repetitivo y para dar recomendaciones de decisión de tipo rutinario, se

ahorra tiempo y esfuerzo apoyándose en procedimientos cuantitativos. 6. El proceso de decisión (Gaither, Frazier)

FASES ELEMENTOS

Formulación

- Definir la situación de decisión y la tarea del análisis. - Determinar quien va ha tomar la decisión. - Identificar el sistema. - Identificar el objetivo del sistema. - Establecer las medidas de costo y efectividad. - Listar los factores claves y los supuestos.

Búsqueda - Identificar las opciones. - Coleccionar y listar los datos relevantes. - Identificar y dar prioridad a los datos relevantes y los faltantes.

Evaluación (análisis

cuantitativo)

- Establecer el criterio para el análisis cuantitativo. - Desarrollar los modelos de costo y efectividad. - Conducir un análisis básico. - Conducir un análisis de sensibilidad.

Evaluación (análisis subjetivo)

- Identificar los factores subjetivos. - Discutir cada factor. - Evaluar el impacto de los factores subjetivos de las opciones.

Interpretación - Interpretar el análisis cuantitativo. - Interpretar los factores subjetivos.






- Desarrollar una presentación de los factores cuantitativos y subjetivos (opciones ordenadas y con orden de prioridad).

Decisión - Se toma la decisión.

Implementación y verificación

- Establecer planes de acción. - Organizar como sea necesario. - Desarrollar herramientas de medición. - Asegurar sistemas de realimentación.

CAPÍTULO II: PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Definición. Es un enfoque de solución de problemas para tomar decisiones. Es un proceso

de optimización para asignar recursos escasos (tiempo, dinero o materiales) de forma que se maximice o minimice una función objetiva. Se usa en la mezcla de productos.

Su filosofía es pensar en función de optimizar el objetivo dentro de un conjunto de restricciones en situaciones reales de decisiones. Si se produce dos o más productos utilizando recursos limitados, se desearía determinar cuantas unidades de cada producto debe producir, para maximizar la utilidad global, dadas sus limitaciones de recursos.

2. Problemas de programación lineal en administración de producción y de

operaciones.

Tipo de decisión

Objetivo Variables de decisión Restricciones

¿Cuál es el principal objetivo

administrativo?

¿Qué información necesitamos para

lograr nuestro objetivo?

¿Qué factores limitan para lograr nuestro objetivo?

1. Mezcla de productos

Seleccionar la mezcla de productos o servicios que brinde el máximo de utilidades para el período de planeación.

Cuánto producir y poner en el mercado de cada servicio durante el período de planeación.

Mercado. Cantidad máxima de producto demandado y el mínimo que permitirá la política.

Capacidad. Cantidad máxima de recursos disponibles (personal, materiales o máquinas, servicios públicos, efectivo, espacio de planta).

2. Mezcla de ingredientes

Seleccionar una mezcla de ingredientes principales que conforman los productos finales que de cómo resultado el mínimo de costo de operación para el período de planeación.

Cuánto utilizar de cada materia principal o ingrediente en el período de planeación.

Mercado. Cantidad de productos finales demandados.

Tecnología. Relación entre ingredientes y sus productos finales.

Capacidad. Cantidad máxima de ingredientes y de capacidad de producción disponible.

3. Transporte

Seleccionar el plan de distribución de las fuentes a los destinos con el mínimo costo

Cuánto de cada producto embarcar de cada una de las fuentes a cada uno de los

Requerimientos de destino. O el mínimo o la cantidad exacta de productos requeridos en cada uno de los destinos.






de embarque durante el período de planeación.

destinos durante el período de planeación.

Capacidad de la fuente. O cantidad exacta o máxima de productos disponibles en cada una de las fuentes.

4. Plan de producción

Seleccionar la cantidad de productos o servicios a producirse tanto durante el tiempo ordinario como en el tiempo extra de la mano de obra, durante cada uno de los meses del año a fin de minimizar los costos por mano de obra y de tener inventario.

Cuánto producir en mano de obra ordinaria y extraordinaria durante cada mes del año.

Mercado. Cantidad de productos demandados cada mes.

Capacidad. Cantidad máxima de productos que se pueden fabricar con mano de obra en tiempo ordinario y extra y la maquinaria durante cada mes.

Espacio de inventarios. Capacidad máxima de almacenamiento de cada mes.

5. Asignación

Asignar proyectos a equipos de tal forma que el costo total de todos los proyectos se minimice durante el período de planeación.

A qué equipo se asigna cada proyecto.

Cada proyecto debe asignarse a un equipo y cada equipo debe asignarse a un proyecto.

3. Construcción de modelos de programación lineal.- En la formulación del modelo se

describe cada tipo de problema, mediante las siguientes preguntas: - ¿Cuál es el objetivo principal de la administración? - ¿Qué información necesitamos para lograr nuestro objetivo? - ¿Qué factores limitan el logro de nuestro objetivo?

A. Terminología común a utilizar en la formulación del modelo: De manera convencional

se utilizar ciertos símbolos para denotar los distintos componentes de un modelo que se enumeran junto con su interpretación para el problema general de asignación de recursos a actividades. Ejemplo.

Los términos claves son: - Recursos, en donde “m” representa el número de tipos de recursos que se pueden usar

como: dinero y tipos especiales de maquinaria, equipo, vehículos y personal. - Actividades, en donde “n” representa el número de actividades como: inversión de

proyectos especiales, publicidad en un medio determinado y el envío de bienes de cierta fuente a cierto destino. La determinación de la asignación de recursos incluye elegir los niveles de las actividades que lograrán el mejor valor posible de la medida global de efectividad.

Z = Valor de la medida global de efectividad. Xj = Nivel de actividad j (para j = 1,2,3,………,n). Cj = Incremento en Z obtenido al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j. bi = Cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1, 2, 3, . . .

,m). aij = Cantidad de recurso i consumido por cada unidad de la actividad j.






B. Procedimiento para formular el problema. El objetivo es convertir la descripción

cualitativa del problema a una forma matemática que puede resolverse; la formulación del problema implica el siguiente procedimiento.

a. Definir las variables de decisión: Representan aquellas selecciones que están bajo el

control de quien toma decisiones. ¿Qué es lo que se pretende decidir?, definir específicamente cada variable de decisión cuyos valores no se conocen y una vez determinadas proporcionan la solución al problema; se le da un nombre simbólico que es un nombre descriptivo que ayuda a la comprensión del significado de la variable. Por lo tanto, es importante seleccionar un nombre simbólico que le recuerde la cantidad que la variable de decisión representa. Entre los criterios generales para identificar las variables de decisión tenemos: - ¿Qué elementos afectan los costos y/o ganancias (o, en general, el objetivo global)? - ¿Qué elementos puede elegir y/o controlar libremente? - ¿Qué decisiones tiene que tomar? - ¿Qué valores, una vez determinados, constituyen una solución para el problema? El modelo establece el problema en términos de toma de decisiones sobre los niveles de las actividades, por lo que X1, X2,………,Xn se llaman variables de decisión. Deben existir cursos de acción alternos y opciones para elegir, por ejemplo: Si se produce tres productos diferentes, se puede decidir como asignar entre ellos sus limitados recursos de producción (de mano de obra, maquinaria, etc.). Sino existieran alternativas de los cuales elegir, no sería necesaria la programación lineal. Póngase en la posición de alguien que tiene que implementar su solución y luego pregúntese que información se requiere.

b. Identificación de los datos del problema: Hay que proporcionar los valores reales para

las variables de decisión que ha identificado. En problemas determinísticos, se requiere conocer (o obtener) estos valores en el momento de formular el problema. A diferencia de las variables de decisión, cuyos valores se pueden controlar, no se pueden controlar directamente los valores de los datos.

c. Identificación de la función objetivo.- ¿Qué es lo que se intenta maximizar o

minimizar? Expresar el objetivo organizacional global en forma matemática usando las variables de decisión y los datos conocidos del problema. Se desarrolla en tres etapas:

- Identificación de establecer el objetivo en forma verbal. - Donde sea adecuado, descomponer el objetivo en una suma, diferencia o producto de

cantidades individuales. - Expresar las cantidades individuales matemáticamente usando las variables de decisión y

otros datos conocidos en el problema. Identificar los parámetros que acompañan a cada variable de decisión. Todos los problemas buscan maximizar las ganancias o el valor presente y minimizar alguna cantidad (los costos o desperdicios).

d. Escribir las restricciones. ¿Qué factores limitan los valores de las variables de decisión?

Su objetivo es maximizar las ganancias. La función objetivo le dice que mientras más grande sea el valor de las variables, más grande será la ganancia. Pero el mundo real pone un límite en los valores que puede asignar a estas variables. Las restricciones son condiciones que las variables de decisión deben satisfacer para constituir una solución






“aceptable”. Estas restricciones por lo general surgen de: Limitaciones físicas, Restricciones externas, Restricciones lógicas sobre variables individuales, Restricciones impuestas por la administración, Restricciones implicadas entre variables.

Restricciones de no negatividad (limitaciones lógicas): Los valores de estas variables de decisión deben ser no negativas, esto es, cero o positivas. Tales restricciones implícitas de las que usted está consciente deben hacer explícitas en la formulación matemática. Son limitaciones que restringen las soluciones permisibles para las variables de decisión. Se expresan matemáticamente:

= Significa que la función tiene que ser igual a un valor determinado. ≥ Impone un límite inferior a alguna función de las variables de decisión ejemplo: puede

especificar que la producción de cierto producto debe exceder o igualar a la magnitud de la demanda.

≤ Impone un límite superior a cierta función de las variables de decisión y se emplea con más frecuencia en maximización, ejemplo: puede especificar el número máximo de clientes a los cuales es posible atender, o bien, el límite de capacidad de una máquina. Como comprobación de la consistencia, hay que asegurarse de utilizar la misma unidad de medida en ambos lados de cada restricción y en la función objetivo.

e. Región factible. Es la colección de todas las soluciones factibles definidas por las

restricciones que representa todas las combinaciones permisibles de las variables de decisión. La meta del que toma decisiones es encontrar, la mejor solución posible. Solución: Es cualquier conjunto de valores específicos para las variables de decisión (X1, X2,……., Xn), aunque sea sólo una posibilidad deseable o ni siquiera permitida. Solución factible es aquella para la que todas las restricciones se satisfacen. Solución no factible es una solución para la que al menos una restricción se viola. Solución óptima es una solución factible que proporciona el valor más favorable de la función objetivo. El valor más favorable significa el valor más grande si la función objetivo debe maximizarse, mientras que el valor más pequeño si la función objetivo debe minimizarse.

f. Parámetros. La función objetivo y las restricciones son funciones de las variables de

decisión y los parámetros. Un parámetro (coeficiente o constante dada), es un valor que no se puede controlar y que no cambiará cuando la solución sea complementada, se conocen con certidumbre. Los valores de Cj, bi y aij (para i = 1,2,…..,m yj = 1,2,……...,n) son las constantes de entrada al modelo. Las Cj, bi y los aij también se conocen como parámetros del modelo.

g. Linealidad. La función objetivo y las ecuaciones de restricción son lineales, implica

divisibilidad o sea, proporcionalidad y aditividad (no puede haber en ella productos ni potencias). Ejemplo: Las ganancias obtenidas con la producción de dos artículos es: 2X1 + 3X2

• Principio de proporcionalidad implica que una unidad de X1 contribuye con S/. 2.00 a

las ganancias y que dos unidades contribuyen con S/. 4.00, independientemente de la cantidad de X2 producida. Así mismo, cada unidad de X2 contribuye con S/. 3.00 sin importar que se trate de la primera o de la décima unidad producida.

• Principio de aditividad significa que el valor total de la función objetivo es igual a las ganancias de X1 más las ganancias de X2.






h. No negatividad las variables de decisión deben ser positivas o cero. Para que una formulación de programación lineal sea formalmente correcta, tiene que mostrar una restricción ≥ o ≤ para cada variable de decisión.

C. Forma estándar del modelo Matemático. De manera formal, el modelo de

programación lineal comprende un proceso de optimización donde se selecciona valores no negativos para un conjunto de variables de decisión X1, X2,……,Xn de forma que se maximice o minimice la función objetivo.

Datos para un modelo de programación lineal que maneja la asignación de recursos a actividades

Recurso Consumo de recurso por unidad de actividad Cantidad de

recursos disponibles

Actividad 1 2 … N

1 a11 a12 … a1n b1 2 a21 a22 … a2n b2

… … … … …

…

M aml am2 … amn bm Contribución a Z por unidad de actividad

C1

C2

… Cn

Ahora se puede formular el modelo matemático para el problema general de asignar recursos a actividades. En particular este modelo consiste en elegir valores de X1, X2,……..,Xn para:

Z(máx.min) = C1X1 + C2X2+…+CnXn

Sujeta a las restricciones de la forma: a11X1 + a12X2 + …+ a1nXn ≤ b1 donde: C1, aij y bi son constantes a21X1 + a22X2 + …+ a2nXn ≤ b2 y X1 ≥ 0, X2 ≥ 0,…,Xn ≥ 0

am1X1 + am2X2 + …+ amnXn ≤ bm

Dependiendo del problema, también puede plantearse las restricciones con signos de igualdad (=) o signos de mayor o igual (≥). La función que se desea maximizar, C1, X1 + C2X2 + …+CnXn, se llama función objetivo. Por lo general, se hace referencia a las limitaciones como restricciones. Las primeras m restricciones (aquellas con una función de todas las variables ai1X1+ai2X2+…+ainXn, en el lado izquierdo) a veces reciben el nombre de restricciones funcionales. De manera parecida, las restricciones Xj ≥ 0 se conoce como restricciones de no negatividad (o condiciones de no negatividad).

En resumen, las condiciones de programación lineal son: - Los recursos deben ser limitados. - Debe existir una función objetivo. - Debe existir una relación lineal en las restricciones y en la función objetivo. - Los recursos y los productos deben ser homogéneos (son idénticos) los productos que

se obtienen de una máquina, o son igual de productivas todas las horas disponibles de un trabajador.

- Para la programación lineal normal, las variables deben ser divisibles y no negativas.






4. El proceso del análisis de la investigación de operaciones INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (ANÁLISIS DE OPERACIONES) 5. Problemas sobre maximización ABC y minimización XYZ

Problema 1. La empresa ABC, como parte de su proceso estratégico debe determinar para el próximo año la mezcla de productos a manufacturar. Produce dos líneas principales de productos para la industria de la construcción comercial: una línea de sierras circulares portátiles para uso pesado y una línea de sierras de mesa de precisión. Las dos líneas comparten una misma capacidad de producción y se venden a través de los mismos canales de ventas. Aunque dentro de la línea de productos existe alguna diversidad, la utilidad promedio es de S/. 900.00 por cada sierra circular y de S/. 600.00 por cada sierra de mesa. La capacidad de producción está limitada de dos maneras: capacidad de fabricación y capacidad de ensamble. Todos los meses está disponible un máximo de 4000 horas de capacidad de fabricación; cada sierra circular requiere dos horas y cada sierra de mesa una hora. Hay disponible al mes un máximo de 5000 horas de capacidad de ensamble y cada sierra circular requiere 01 hora y cada sierra de mesa requiere 02 horas. El departamento de comercialización estima que existirá en el mercado para el año próximo una demanda máxima de 3500 sierras al mes para ambas líneas de productos combinados. ¿Cuántas sierras circulares y cuántas sierras de mesa deberán producirse mensualmente el próximo año para maximizar la utilidad?

Problema 2. La empresa XYZ está desarrollando un plan estratégico a largo plazo para adquirir chatarra para sus operaciones de fundición. La fundición puede comprar chatarra

ü Visitas ü Conferencias ü Observación ü Investigación ü Definir usos ü Definir objetivos ü Definir limitaciones ü Herramientas ü Interrelaciones ü Modelos matemáticos ü Soluciones conocidas ü Investigación ü Datos internos-externos ü Hechos ü Opiniones ü Programas de computación ü Pruebas ü Limitaciones ü Verificaciones ü Formas de comportamiento ü “vender” la idea ü Involucrar a la administración ü Brindar explicaciones

OBSERVAR EL AMBIENTE DEL

PROBLEMA

ANALIZAR Y DEFINIR EL PROBLEMA

DESARROLLAR UN MODELO

SELECCIONAR LOS DATOS INICIALES

APROPIADOS

PREVEER UNA SOLUCIÓN (DECISIÓN)

IMPLEMENTAR LA SOLUCIÓN

Suficiente información y apoyo para seguir adelante Aclara la necesidad y naturaleza de la solución requerida Modelo que debe usarse bajo ciertas restricciones definidas del entorno Suficientes datos para operar y probar el modelo Solución que apoya los objetivos de la organización actual “propiedad” de la administración para apoyar la operación al más largo plazo del modelo

RESULTADOS PASOS ACTIVIDADES

PASOS

UN ENFOQUE PARA LA TOMA DE DECISIONES

1

2

3

4

5

6






en cantidades ilimitadas de dos fuentes. A y B, y la recibe todos los días en carro de ferrocarril. La chatarra se funde y el plomo y el cobre se extrae para uso de los procesos de fundición. Cada carro de ferrocarril de chatarra de la fuente A rinde una tonelada de cobre y una de plomo y cuesta S/.10,000.00. Cada carro de ferrocarril de chatarra de la fuente B rinde una tonelada de cobre y dos de plomo y cuesta S/. 15,000.00. Si en el futuro predecible la fundición necesita 2.5 Tn de cobre y un mínimo de 4 Tn de plomo al día ¿Cuántos carros de ferrocarril de chatarra deben comprarse diariamente de la fuente A y del a fuente B para minimizar el costo de chatarra a largo plazo?

6. Identificación de los problemas de programación lineal

Es fundamental tener la capacidad de identificar problemas para los que existen soluciones apropiadas de programación lineal ¿Cuáles son las características de los problemas adecuados para una solución de programación lineal? Entre las características básicas tenemos: - Debe existir un objetivo único bien definido. - Deben existir cursos de acción alternos. - E logro total del objetivo debe quedar restringido por recursos escasos o por otras

limitaciones. - El objetivo y cada una de las restricciones deben quedar expresados como funciones

matemáticas lineales.

Cómo identificar un problema de programación lineal de una mezcla de productos: Empresa “ABC” 1.¿Existe o no un objetivo gerencial único? Sí: Maximizar la utilidad del año. 2. ¿Existen cursos alternos de acción gerencial? Sí. Se puede producir en el año Sierras

circulares o sierras de mesa, o cualquier mezcla de las dos líneas de productos. 3. ¿El logro total del objetivo está restringido por recursos escasos o por alguna otra

limitación? De ser así, ¿cuál es la naturaleza de las restricciones? Sí: La utilidad está limitada por la cantidad máxima de horas de fabricación disponibles por mes, por la cantidad máxima de horas de ensamble disponible mensualmente, y por la demanda mensual máxima del mercado.

¿Cómo identificar un problema de programación lineal para una mezcla de ingredientes? Empresa “XYZ” 1. ¿Existe un objetivo gerencial único? Sí. Minimizar los costos diarios de comprar chatarra

de la cual se podrá extraer cobre y plomo. 2. ¿Existen cursos alternos de acción gerencial? Sí. Se puede comprar toda su chatarra ya

sea sólo de la fuente A o B, o puede elegir cualquier combinación de cantidades de chatarra de ambas fuentes.

3. ¿Está restringido el logro total del objetivo por recursos escasos u otras restricciones? De ser así. ¿Cuál es la naturaleza de estas restricciones? Sí. Los costos diarios están restringidos por la cantidad mínima de plomo y de cobre que se requiere cotidianamente.

7. Procedimiento para formular el problema de programación lineal

1. Definir el objetivo. 2. Definir las variables de decisión. 3. Escribir la función matemática del objetivo (función objetivo) 4. Escribir las restricciones

a. Con una o dos palabras describir cada una de las restricciones b. Escribir el lado derecho (LD) de cada restricción, incluyendo las unidades de medida c. Escribir ≤, = o ≥ para cada restricción. d. Escribir todas las variables de decisión en el lado izquierdo de cada restricción e. Escribir en cada restricción el coeficiente de cada variable de decisión.

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA de la EMPRESA “ABC”






1. Definir el objetivo.- La empresa “ABC” busca maximizar la utilidad mensual. El problema es de maximización.

2. Definir las variables de decisión.- ¿Qué decisiones específicas debe tomar “ABC” para maximizar la utilidad? Necesita definir las variables de decisión las cuales una vez determinado sus valores, se habrá resuelto el problema.

X1 = número de sierras circulares a fabricar cada mes. X2 = número de sierras de mesas a fabricar cada mes. 3. Escribir matemáticamente la función objetivo.- si tenemos en cuenta que: Z = C1 X1 + C2 X2 (Modelo matemático) =è Z = 900 X1 + 600 X2

Donde: La función objetivo es: Z = 900 X1 + 600 X2- Esto sugiere que debemos seleccionar valores

de las variables de decisiones X1 y X2 que den como resultado el valor máximo para Z. 4. Escribir matemáticamente las restricciones. a. Escribir una descripción con una o dos palabras para cada restricción.- Hay tres

factores que limitan “ABC” para tener utilidades infinitas; es decir: Las horas de fabricación disponibles por mes, las horas de ensamble disponibles mensualmente y la demanda del mercado para las sierras todos los meses. Por lo tanto: La fabricación, el ensamble y el mercado son términos que definen cada una de estas restricciones.

b. Escribir el lado derecho de cada restricción.- El lado derecho (LD) de cada restricción es la cantidad máxima (≤), la cantidad exacta (=) o la cantidad mínima (≥) de cada una de las restricciones. Para la empresa “ABC”, la cantidad máxima de capacidad de fabricación es de 4000 horas mensuales, la cantidad máxima de capacidad de ensamble es de 5000 horas por mes y la demanda máxima del mercado es de 3,500 sierras mensuales.

c. Escribir ≤, = o ≥ para cada restricción.- todas las restricciones para este caso son del tipo ≤, o sea son cantidades máximas. En otras palabras: - La capacidad de ensamble que utilizarán X1 y X2 deberá ser menor que o igual a 4000

horas mensuales. - La capacidad de ensamble que utilizarán X1 y X2 deberá ser inferior o igual a 5000 horas

por mes. - La cantidad de sierras vendidas deberá ser igual o menor a 3,500 cada mes.

d. Escribir todas las variables de decisión en el lado izquierdo de cada restricción. En este caso sólo tenemos dos variables de decisión. Si una variable de decisión en particular no aparece en una restricción, esto se resuelve en el siguiente paso, al asignar un coeficiente cero a la variable de decisión correspondiente a dicha restricción.

e. En cada restricción escribir el coeficiente de cada variable de decisión.- veamos la restricción de fabricación ¿cuál es el coeficiente de X1 y X2 en esta restricción?

- El coeficiente de X1, es la cantidad de horas de fabricación por unidad de X1. En otras palabras, es la cantidad de horas de fabricación que se utilizan en la manufactura de cada sierra circular; es decir, 2 horas.

- El coeficiente de X2 es la cantidad de horas de fabricación que se utilizan en la fabricación de cada sierra de mesa; es decir, una hora.

- Los coeficientes de X1 y X2 en la restricción de ensamble son 1 y 2. - Y los coeficientes de X1 y X2 en la restricción de la demanda son 1 y 1.

8. Solución de problemas de programación 8.1 Soluciones gráficas de programación lineal.- Procedimiento:

Z = La utilidad total mensual, y está en función de X1 y X2, o sea que la utilidad mensual depende de cuantas sierras circulares (X1) y sierras de mesa (X2) se fabrican por mes.

C1 y C2 = Utilidad de cada sierra circular y de cada sierra de mesa.

900 = Utilidad para cada sierra circular 600 = Utilidad para cada sierra de mesa 900X1 = Utilidad mensual de sierras circulares 600X2 = Utilidad mensual de sierras de mesa






1. Formular la función objetivo y las restricciones. 2. Dibujar la gráfica con la variable X1 en el eje horizontal y la variable X2 en el eje vertical. 3. Trazar cada una de las restricciones como si fueran líneas o igualdades. 4. Delinear el espacio de la solución factible. 5. Circular los puntos de la solución potencial. Se trata de las intersecciones entre

restricciones o ejes en el perímetro interior (minimización) o exterior (maximización), o del espacio de la solución factible.

6. Reemplazar cada uno de los valores de los puntos de solución potencial de las dos variables de decisión en la función objetivo y determinar Z.

7. Seleccionar el punto de solución que optimice Z. SOLUCIÓN GRÁFICA “EMPRESA ABC” 1) Formular la función objetivo y las restricciones a. Formular las variables de decisión X1 = Cantidad de sierras circulares a fabricar por mes. X2 = Cantidad de sierras de mesa a fabricar por mes. b. La función objetivo y las restricciones es: Z(max) = 900 X1 + 600 X2 2X1 + X2 ≤ 4000 (horas de fabricación) X1 + 2X2 ≤ 5000 (horas de ensamble) X1 + X2 ≤ 3500 (sierras para mercado) 2) Dibujar la gráfica a. Trazar las funciones de las restricciones. b. Delinear el espacio de la solución factible. c. Circular los puntos de la solución potencial en el perímetro del espacio de la solución

factible. d. Reemplazar los valores de los puntos de las variables de decisión en la función objetivo y

determinar Z.

- Punto A: X1 = 0; X2 = 2,500 è Z(max) = 900 X1 + 600 X2 : 900(0) + 600(2500); Z(max) = 1´500,000

- Punto B: X1 = 1000; X2 = 2000 è Z(max) = 900 X1 + 600 X2 : 900(1000) + 600(2000);

Z(max) = 2´100,000

- Punto C: X1 = 2000; X2 = 0 è Z(max) = 900 X1 + 600 X2 : 900(2000) + 600(0); Z(max) = 1´800,000

e. Seleccionar la solución que optimice Z.- Para maximizar Z, la solución óptima es el

punto B, donde: X1 = 1000 sierras circulares a fabricar por mes. X2 = 2000 sierras de mesa a fabricar por mes. Z = S/. 2´100,000 en utilidades al mes.

SOLUCIÓN GRÁFICA DEL PROBLEMA EMPRESA “XYZ” 1. Formular la función objetivo y las restricciones

a. Definir las variables de decisión X1 = Carros de ferrocarril con chatarra adquiridos por día de la fuente A. X2 = Carros de ferrocarril con chatarra adquiridos por día de la fuente B. b. Formular la función objetivo y las restricciones:

A

X2

X2

1000

2000

3000

4000

1000 2000 3000 4000 5000

2X1 + X2 ≤ 4000

X1 + X2 ≤ 3500

X1 + 2X2 ≤ 5000






Z(min) = 10,000 X1 + 15,000 X2 sujeta a las restricciones

X1 2X2 ≥ 4 (Toneladas de plomo) X1 + X2 ≥ 2 ½ (Toneladas de cobre)

2. Dibujar la gráfica a. Trazar las funciones de las restricciones.- Como ambas restricciones son ≥, todos los

valores posibles de X1 y X2 deben ocurrir por fuera de ambas restricciones, hacia fuera del origen. El punto D no es factible, porque viola la primera restricción. De manera similar, el punto E viola la segunda restricción. Aunque cualquier punto dentro del espacio de la solución factible satisface todas las restricciones, sólo los puntos A, B y C son candidatos para la solución óptima, ya que ocurren en las intersecciones de las restricciones o de los ejes y están sobre el perímetro interno del espacio de la solución factible. Los puntos A, B y C son tres soluciones potencialmente óptimas al problema “XYZ”: A: X1 = 0; 2 = 2,5 B: X1 = 1; X2 = 1,5 C: X1 = 4; X2 = 0

b. Reemplazando los valores de los puntos de solución de las dos variables de

decisión en la función objetivo Z: - Punto A: X1 = 0 y X2 = 2,5 èZ(min) = 10,000 X1 + 15,000 X2 : 10,000 (0) + 15,000 (2,5); Z(min) = 37,500 - Punto B: X1 = 1; X2 = 1,5 è Z(min) = 10,000 X1 + 15,000 X2 : 10,000 (1) + 15,000 (1,5); Z(min) = 32,500 - Punto C: X1 = 4; X2 = 0 è Z(min) = 10,000 X1 + 15,000 X2 : 10,000 (4) + 15,000 (0); Z(min) = 40,000 c. Selección de la solución que optimice a Z.- Para minimizar a Z, la solución óptima es el

punto B, donde: X1 = 1 carro de ferrocarril con chatarra de la fuente A por día. X2 = 1,5 carros de ferrocarril con chatarra de la fuente B por día. Z = 32,500 dólares de costo total diario de chatarra.

Las soluciones gráficas son un buen punto para empezar a resolver problemas de programación lineal, porque los conceptos aprendidos pueden aplicarse directamente a los demás métodos prácticos de solución que se tratarán a continuación.

CAPÍTULO IV: MÉTODO SIMPLEX 1. Definición.- Es una herramienta analítica más común para la resolución de modelos de

programación lineal. Es un algoritmo (conjunto de instrucciones), iterativo (procedimiento de solución sistemático que repite una serie de pasos fijos) con lo cual se examinan los puntos en las esquinas de una manera metódica hasta conseguir la solución óptima.

2. Esencia del Método Simplex - El análisis gráfico nos permite comprender la lógica del método simplex, enfocando la

atención en los puntos vértices. - Comienza en el punto vértice inicial: Z = 0 y continua sistemáticamente evaluando otros

puntos vértices, para mejorar la función objetivo en cada iteración. - Una mejora consiste en un incremento de las ganancias o la disminución del costo.






3. Procedimiento para solucionar los problemas de programación lineal mediante el algoritmo simples, se sigue el siguiente procedimiento. 1. Formular la función objetivo y las restricciones. 2. Convertir las restricciones a igualdades.

2.1 Agregar las variables de holgura para convertir cada una de las restricciones en una igualdad (=).

2.2 Agregar las variables artificiales a las restricciones que originalmente eran ≥ 0 = para producir una solución inicial.

3. Preparación de la primera tabla – solución inicial 3.1 Establecer la primera tabla, la solución inicial que aparezcan todas las variables en

la función objetivo y en las funciones de restricción. 3.2 Verificar la optimalidad de la solución. Si es óptima detenerse; de lo contrario

continuar 3.3 Construir la tabla para simplificar el manejo de las ecuaciones y de la función

objetivo 4. Construcción de la segunda tabla

4.1 Seleccionar variable a introducir para mejorar la solución 4.2 Seleccionar variable para salir de la solución 4.3 Efectuar operaciones de fila para completar la nueva solución 4.4 Volver al paso 3.3 y continuar, hasta lograr la optimalidad

3.1 Solución al problema de maximización: Empresa “ABC” 1. Formular la función objetivo y ecuaciones de restricción Preparación y solución del

modelo 1.1 Determinar las variables de decisión

• ¿Qué es lo que se pretende decidir? X1 = cantidad de sierras circulares a fabricar por mes • Definir específicamente cada variable de decisión X2 = cantidad de sierras de mesa a fabricar por mes

1.2 Determinar función objetivo:

• ¿Qué es lo que se intenta maximizar o minimizar? Maximizar la utilidad de la empresa “ABC” è Z(max) = 900x1 + 600x2 • Identificar los parámetros de cada variable de decisión.

1.3 Determinar las restricciones:

¿Qué factores limitan los valores de las variables de decisión? 2x1 + x2 ≤ 4000 (horas-fabricación) Identificar las restricciones o los parámetros de cada variable de decisión. x1 + 2x2 ≤ 5000 (horas-ensamble) x1 + x2 ≤ 3500 (sierras-mercado)

2. Convertir las restricciones a igualdades:

2.1 Agregar variables de holgura para convertir a cada una de las restricciones en una igualdad (=). • Una variable de holgura nos indica los recursos no utilizados, que no generan

utilidad, pero se suman a la función objetivo con coeficiente de utilidad igual a cero. - Horas de fabricación sin utilizar: 2x1 + x2 + s1 = 4000 - Función objetivo: Z(max) = 900x1 + 600x2






- Restricciones: 2x1 + x2 + s1 = 4000 x1 + 2x2 + s2 = 5000

x1 + x2 + s3 = 3500 El lado izquierdo de cada restricción es menor que o igual al lado derecho a. 2x1 + x2 + s1 ≤ 4000 (Horas - fabricación)

Si la expresión debe ser una igualdad (=), agregamos una variable de holgura S1 para absorber la holgura entre el valor del lado izquierdo y el lado derecho de la restricción. S1 tomará el valor 0 si el lado izquierdo es exactamente igual a 4000, y un valor de 4000 si X1 y X2 son iguales a 0 cuando X1 y X2 asumen valores superiores a 0, el valor de S1 se reducirá correspondientemente, de manera que el lado izquierdo de la expresión sea exactamente igual a 4000.

El subíndice 1 en S1 indica que está en la variable de holgura de la primera restricción. Si al final del proceso S1 toma algún valor específico, automáticamente sabremos que S1 corresponderá a la segunda restricción: horas de ensamble sin utilizar.

b. La segunda restricción se convierte en una igualdad al agregar una variable de holgura S2 al lado izquierdo x1 + 2x2 + s2 = 5000 (horas - ensamble).

c. La tercera restricción se convierte en una igualdad al agregar una variable de holgura S3 al lado izquierdo. x1 + x2 + S3 = 3500 (sierras - mercado)

Tenemos ahora el problema de programación lineal

Z(max) = 900x1 + 600x2

Restricciones 2x1 + x2 + s1 = 4000 (horas – fabricación) x1 + 2x2 + s2 = 5000 (horas - ensamble)

x1 + x2 + s3 = 3500 (sierras - mercado) 2.2 Agregar las variables artificiales a las restricciones.- como todas las restricciones de este

problema son ≤, no se requieren variables artificiales. 3. Solución del Método Simplex 3.1 Establecer la primera tabla – solución inicial Primera Tabla Sale variable positiva más pequeña. Cj Mezcla

(solución) Cantidad

(LD) 900 600 0 0 0

φ X1 X2 S1 S2 S3 0 S1 4000 2 1 1 0 0 4000/2 = 2000 0 S2 5000 1 2 0 1 0 5000/1 = 5000 0 S3 3500 1 1 0 0 1 3500/1 = 3500

Z 0 0 0 0 0 0 (C-Z) 900 600 0 0 0 Entra variable positiva más grande 3.2 Preparación de la segunda tabla. Procedimiento: Segunda tabla Cj Mezcla

(solución) Cantidad

(LD) 900 600 0 0 0

φ X1 X2 S1 S2 S3 900 X1 2000 1 ½ ½ 0 0 2000/½ = 4000






0 S2 3000 0 3/2 - ½ 1 0 3000/3/2 = 2000 0 S3 1500 0 ½ - ½ 0 1 1500/½ = 3000 Z 1800,000 900 450 450 0 0 (C-Z) 0 150 -450 0 0

Entra variable positiva más grande 3.3 Preparación de la tercera tabla. Tercera tabla Cj

Mezcla (solución)

Cantidad (LD)

900 600 0 0 0 φ X1 X2 S1 S2 S3

900 X1 1000 1 0 2/3 -1/3 0 600 S2 2000 0 1 -1/3 2/3 0 0 S3 500 0 0 -1/3 -1/3 1 Z 2´100,000 900 600 400 100 0 (C-Z) 0 0 -400 -100 0 La solución de la tercera tabla es:

X1 = 1000 sierras circulares a fabricarse mensualmente. X2 = 2000 sierras de mesa a fabricarse mensualmente. S1 = 0 horas de fabricación sin utilizar por mes. S2 = 0 horas de ensamble sin utilizar por mes. S3 = una demanda en el mercado insatisfechas de 500 sierras mensuales. Z = $ 2´100,000 de utilidad mensual.

- Verificar si la solución es óptima.- Como todos los valores de la fila (C-Z) son ceros y

negativos decimos que la solución es óptima. La solución gráfica del problema ABC identifica tres puntos de solución: A, B y C. Cada una de estas soluciones primero se identificó como la intersección de dos restricciones y después, cada una de ellas se reemplazó en la función objetivo para determinar el valor de Z. Finalmente se seleccionó la solución óptima (utilidad máxima).

La solución por el método simplex sigue el mismo proceso general, con una sola excepción: La primera tabla empieza con Z=0, cada cuadro siguiente, mostrará Z con valores más elevados (utilidades progresivamente más elevadas). Esta progresión, hacia mejores soluciones es la única diferencia conceptual del método simplex en relación con el proceso general del método gráfico.

PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN 1. Conversión de la función objetivo.- Para entender cómo convertir un programa lineal

cuya función objetivo debe ser minimizada, a uno equivalente cuya función objetivo debe maximizarse: Por ejemplo, considere el conjunto de números (10,15,7,9). • El número más pequeño de este conjunto es 7, el tercer elemento. • Multiplicando al conjunto por (-1), tenemos (-10,-15,-7,-9), el número más grande de

este conjunto es -7, el tercer elemento.

En ambos casos, el mismo elemento produce el mejor valor (a pesar de que un elemento es el negativo del otro). En otras palabras, encontrar el número más pequeño de un conjunto es equivalente a: • Multiplicar cada elemento del conjunto por -1 y después encontrar el elemento más

grande. • Multiplicar el elemento encontrado en el paso anterior por -1.






Este mismo enfoque reutiliza para convertir una función objetivo de minimización a una equivalencia de maximización. Es decir, cada coeficiente de la función objetivo es multiplicado por -1 para crear un problema equivalente de maximización. Considerando el problema en estudio Z(max) = - 10,000x1 – 15,000x2 al multiplicar la función objetivo por (-1) del problema de minimización se han transformado a un problema de maximización.

2. Conversión de restricciones de desigualdad a restricciones equivalentes. a. Conversión de lados derechos negativos.- Para crear una restricción de forma estándar

que tenga el lado derecho no negativo, se debe multiplicar ambos lados por -1; ejemplo: -3x – 2x2 – 2x3 ≥ -15 3x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 15 Observar que el signo ≥ ha cambiado a ≤. De igual manera si la restricción original del LD ≤ fuera negativo, después de multiplicarla por -1, deberá obtener una restricción ≥. Si la restricción original es una igualdad, la nueva restricción que se obtiene cuando se multiplica por -1 sigue siendo una restricción de igualdad.

b. Restricción del tipo ≤: 7x1 + 7x2 ≤ 49 Se agrega una variable de holgura, para que

absorba la diferencia en la que 7x1 + 7x2 pueda ser menor que 49: 7x1 + 7x2 + S1 = 49. c. Restricción del tipo ≥: x2 ≥ 2

• Se resta una variable de excedente para que consuma el exceso de x2, o sea, lo que pasa de 2: x2 – S1 = 2.

• En este caso debe agregarse otra variable artificial para no violar las restricciones de no negatividad: x2 – S1 + A1 = 2. Considerando: x2 – S1 = 2

El método simplex comienza por hacer todas las variables reales iguales a cero, entonces: x2 = 0 à entonces S1 = -2 que viola la restricción de no negatividad. No importa el hecho de que x2 = 0 viola la restricción original. En términos algebraicos es legítimo. La variable artificial opera para mantener todas las variables no negativas cuando x2 es menor que 2. Si x2 = 0, entonces S1 = 0 x2 – S1 + A1 = 2 à A1 = 2 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Estudia los cambios producidos por la variación de un parámetro del modelo manteniendo todos las demás constantes o fijos. Estos cambios pueden ser una variación en el coeficiente de una de las variables de la función objetivo o de una de las restricciones (LD). Sensibilidad del LD Al variar el LD (o restricción) nos interesa saber cuanto variará el valor de la variable objetivo. Precio sombra.- El precio sombra de una restricción es la razón de cambio del valor óptimo de la función objetivo ante el aumento del LD de dicha restricción (Es decir el cambio por aumento unitario del LD); mientras los demás datos permanecen sin cambios. En el ejemplo de la empresa ABC el precio sombra de 400 para la capacidad de producción nos indica que el beneficio se incrementará en 400 si se aumenta una hora la capacidad de producción de la empresa. Este valor del precio sombra es fijo para un determinado rango de variación del LD. El informe de Sensibilidad Solver nos muestra el manejo de variación del LD en el siguiente cuadro.






SENSIBILIDAD 1

Nombre Valor igual Costo reducido

Coeficiente Objetivo

Incremento permisible

Decremento permisible

sierra circular 1000 0 900 300 600 Sierra de mesa 2000 0 600 1200 150

RESTRICCIONES

Nombre Valor igual Precio sombra

Restricción Lado derecho

Incremento permisible

Decremento permisible

Cap.de producción 4000 400 4000 1500 1500 Cap. de ensamble 5000 100 5000 1500 3000 Demanda 3000 0 3500 1E+30 500

Observamos que el LD se puede incrementar en 1500 ó reducir en 1500 para un precio sombra de 400. SENSIBILIDAD DE COEFICIENTE DE FUNCIÓN OBJETIVO Si se cambia el coeficiente de una variable en la función objetivo, manteniendo los demás datos constantes, pueden afectar o no el valor óptimo de las variables de decisión. Es decir, en este análisis se determina dentro de qué rango puede variar el coeficiente de una variable en la función objetivo sin variar la solución óptima alcanzada. En nuestro ejemplo, de acuerdo al informe de sensibilidad observamos que para la variable sierras circulares tenemos un incremento permisible de 300 y un decremento permisible de 600. Esto significa que el precio de la sierra circular puede disminuir a 600 o aumentar a 1500 y la solución óptima hallada de 1000 sierras circulares y 2000 sierras de mesa seguirá vigente. Es decir, este análisis nos muestra en cuanto puede aumentar o disminuir el precio sin variar la solución óptima. COSTO REDUCIDO.- Se define como cuanto tiene que cambiar el coeficiente de una variable de decisión en la función objetivo, para obtener un valor óptimo positivo. Para modelos que tengan restricciones de no negatividad el costo reducido es el precio sombra de la restricción de no negatividad para una variable de decisión. En nuestro ejemplo el costo reducido de ambas variables de decisión es cero puesto que ambos tienen valores positivos (mayor que cero). VI) EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE En general, un problema de transporte consta de: 1. Un conjunto de m puntos de suministro. El punto de suministro i abastece a lo sumo a Si

unidades. 2. Un conjunto de n puntos de demanda que reciben suministros. El punto de demanda j debe

recibir por lo menos dj unidades del bien enviado. 3. Cada unidad producida en el punto de suministro i enviada al punto de demanda j incurre

en un costo variable Cij. 4. Xij variables de decisión son el número de unidades invocadas del punto de suministro i al

punto de demanda j. Entonces: Un problema de transporte se formula:

min ∑=

=

mi

i 1∑

=

=

nj

j 1

cij xij

sujeto a

∑=

=

=≤nd

jiij niSx

1

),.....,3,2,1( Restricción de suministros.






∑=

=

=≥mi

ijij njdx

1),........,3,2,1( Restricción de demanda.

xij ≥ 0 (i = 1,2,……. m; j = 1,2,…….,n) Si un problema tiene las restricciones anteriores y es un problema de maximización, entonces

aún es un problema de transporte sí: ∑∑=

=

=

=

=nj

jj

mi

idSí

11

Entonces el suministro total es igual a la demanda total, y se dice que el problema es uno de transporte equilibrado cuando el suministro total excede a la demanda total, un problema de transporte se soluciona creando un punto de demanda ficticia igual a la cantidad de suministro en exceso. Dado que no son envíos reales a estos puntos de demanda ficticios se le asigna un costo cero. Cuando el suministro total es menor que la demanda total, entonces el problema no tiene una solución factible. Muchos modelos de inventario se modelan como problemas de transporte equilibrado. El

siguiente es un ejemplo de transporte equilibrado y su solución en EXCEL-SOLVER. PROBLEMA DE DISTRIBUCIÓN DE PROTRAC: ENVÍO DE MOTORES DIESEL DE LOS PUERTOS A LAS PLANTAS. PROTRAC tiene cuatro plantas de montaje en Europa. Éstas se encuentran en Leipzig, Alemania (1); Nancy, Francia (2); Lieja, Bélgica (3); Tilburg, Países Bajos (4). Los motores empleados por estas plantas se fabrican en Estados Unidos, se embarcan a los puertos de Ámsterdam (A), Amberes (B) y El Havre (C) y de allí se trasportan a las plantas para su ensamblado. Estos datos han sido introducidos a una hoja de cálculo Excel constituido por 3 bloques: En el primer bloque se encuentran los costos cij de transportar los motores de los puertos a las ciudades. El segundo contiene las variables de decisión xij las cuales tenemos que encontrar. El tercer bloque representa la cij xij, es decir, el costo total de transporte de un puerto a una ciudad específica. VII) PROBLEMA DE ASIGNACIÓN Un problema de asignación es un problema de transporte equilibrado en el que los suministros y las demandas son iguales a 1. Se caracteriza porque se conoce el costo de asignar cada punto de suministro a cada punto de demanda. En general, el problema consiste en determinar la asignación óptima de “n” agentes u objetos “indivisibles” a “n” tareas. El problema de asignación puede ser formulado como:

max ó min Z = ∑∑==

n

j

n

i 11

cij xij

Sujeto a: ∑=

n

j 1

xij = 1 ; i = 1, 2,…………….n

i debe ser asignado a una y solamente una j.

∑=

n

i 1xij = 1 j = 1,2,………….,n

Xij = 0 ó 1 para todas la xij cij = coeficiente de costo de j por i. MODELOS DE RED. EL PROBLEMA DEL TRANSBORDO. Una red es un conjunto de nodos unidos por flechas o arcos y representan una secuencia de origen y destino. Un problema de transporte, de asignación o de transbordo son casos






especiales de modelos de red. Las variables de decisión xij denotan el “flujo” del nodo i al nodo j y está representado por una flecha o arco que conecta dos nodos con un costo cij. Un problema de transbordo se puede formular como: Min ∑ ij cij xij Sujeto a: njLxx jkjkljk .....,,.........2,1==− ∑∑ 0 ≤ xij ≤ uij, para todo (i,j) de la red

Se considera que la suma ∑ ij cij xij en la función objetivo incluye todas las flechas de la red.

Por tanto, el objetivo consiste en minimizar el costo total del flujo. VIII) TOMA DE DECISIONES En los últimos años el análisis de decisión se ha convertido en una técnica importante tanto en los negocios como en la industria y el gobierno. El análisis de decisión proporciona una metodología racional para tomar decisiones cuando el futuro es incierto. Permite que un gerente haga una elección óptima entre varias alternativas, tomando en cuenta el valor de adquirir datos experimentales con el fin de reducir la "incertidumbre". Se presenta un marco de referencia para tomar decisiones cuando:

1. No es factible la experimentación y; 2. Es posible la experimentación, lo que conduce a la disponibilidad de datos muestra.

El criterio de optimidad que se usa para seleccionar entre varias alternativas será la minimización del costo esperado. Entre los problemas que se consideran en este capítulo, están los siguientes: ¿Cuál es la decisión que minimiza el costo esperado, dado el resultado de un experimento (sí, en efecto, se lleva a cabo un experimento)? Siguiendo la política óptima, ¿cuál es el costo esperado? Si se lleva a cabo, un experimento, ¿valdrá la pena?; es decir, ¿la disminución en el costo esperado será mayor que el costo del experimento? Por último, ¿cuál es la cantidad máxima de dinero que podría gastarse con el fin de eliminar toda la incertidumbre"?. EJEMPLO 1. Considérese el problema siguiente. Una compañía petrolera es propietaria de ciertos terrenos en los que se pretende existe petróleo. La compañía clasifica esos terrenos en cuatro categorías, en términos del número total de barriles que se espera obtener del pozo, es decir, un pozo de 500,000 barriles, un pozo de 200,000 barriles, un pozo de 50,000 barriles, o bien, un pozo seco. La compañía se encara al problema de decidir si realiza la perforación, alquila, incondicionalmente la tierra a un perforador independiente, o bien, alquila incondicionalmente la tierra a una tasa que dependa de la cantidad de petróleo que se produzca. El costo de perforación de un pozo productor es $100,000 y el costo de perforación de un pozo seco es de $75,000. Para los pozos productores, la utilidad por barril de petróleo es de $1.50 (después de deducir todos los costos de producción). Bajo el acuerdo de un alquiler incondicional, la compañía recibe $45,000 por los terrenos, mientras que bajo el acuerdo de un alquiler condicional, la compañía recibe 50 centavos por cada barril de petróleo extraído, siempre que la tierra rinda 200,000 o 500,000 barriles; en caso contrario, nada recibe. En la tabla se muestran las utilidades posibles para la compañía petrolera. Pozo de 500,000

barriles Pozo de 200,000

barriles Pozo de 50,000

barriles Pozo seco






Perforar el pozo 650,000 200,000 -25,000 -75,000

Alquilar incondicionalmente 45,000 45,000 45,000 45,000 Alquilar condicionalmente 250,000 100,000 0 0

Toma De Decisiones Sin Experimentación Antes de buscar una solución para el problema antes mencionado, vale la pena plantear un marco de referencia general para la toma de decisiones. Quien toma las decisiones, debe elegir una acción a de un conjunto A de acciones posibles. En el ejemplo de la perforación del pozo petrolero, el conjunto A consta de los tres puntos a1, a2, a3, que corresponden a realizar la perforación, alquilar incondicionalmente los terrenos y alquilar condicionalmente los terrenos, respectivamente. Al tomar una acción, quien toma las decisiones debe darse cuenta de sus consecuencias, lo cual, por lo común, también será una función del estado de la naturaleza. Un estado de la naturaleza θ una representación de la situación del mundo real al cual se aplicará la acción. Generalmente, los estados de la naturaleza son una enumeración, dentro del modelo según algún conjunto de índices, de representaciones alternativas posibles del fenómeno físico que se está estudiando. El conjunto de valores posibles que puede tomar θ se denotará por Θ . En él ejemplo de la perforación del pozo petrolero, Θ consta de cuatro puntos, θ 1, θ 2, θ 3, θ 4, correspondiendo θ 1 la obtención de un pozo de 500,000 barriles, θ 2 a un pozo de 200,000 barriles, θ 3 a un pozo de 50,000 barriles y θ 4 a un pozo seco. Con bastante frecuencia, los estados de la naturaleza se caracterizan por un parámetro de una familia de distribuciones de probabilidad. En el contexto del ejemplo de la perforación del pozo petrolero, los rendimientos potenciales podrían concebirse como el valor esperado de la variable aleatoria, producción de petróleo, que tiene cierta forma supuesta de distribución de probabilidad. Así entonces, una representación del modelo de este problema de perforación del pozo petrolero es: la producción de petróleo en el lugar es una variable aleatoria con un valor esperado desconocido. La compañía desea expresar aproximadamente este valor esperado por medio de uno de cuatro valores: 500,000 barriles 200,000 barriles, 50,000 barriles y ningún barril seco. Por tanto, los estados de la naturaleza se convierten en estos valores posibles del valor esperado de la variable aleatoria, producción de petróleo. Con el fin de medir las consecuencias de una acción de quien toma las decisiones se supondrá que existe una función de pérdida I (a, θ ), la cual refleja la pérdida de tomar la acción a, cuando el estado de la naturaleza es θ , y que está definida para cada combinación de a y θ . Si el problema se plantea en términos de ganancias, una ganancia se puede mencionar como una pérdida negativa. Generalmente la función de pérdida se mide en términos monetarios, aunque se pueden usar otras funciones de "utilidad". Nótese que se supone que I (a, θ ) es una función únicamente de a y θ . A partir de la tabla se obtiene con facilidad la función de pérdida para el ejemplo de la perforación del pozo petrolero y se da en la tabla.

Estado de la naturaleza θ 1: Pozo de 500,000 barriles

2: Pozo de 200,000 barriles

3: Pozo de 50,000 barriles 4: Pozo seco

Acción a1: Perforar el pozo -650,000 2-00,000 25,000 75,000 a2: Alquilar incondicionalmente -45,000 -45,000 -45,000 -45,000

a3: Alquilar condicionalmente -250,000 -100,000 0 0

Aunque, en este ejemplo, la función de pérdida se obtiene con facilidad directamente de la acción y del estado de la naturaleza, en ocasiones la pérdida depende del resultado de una






variable aleatoria cuya distribución de probabilidad depende del estado verdadero de la naturaleza. Por ejemplo, ocurriría esto en el ejemplo de la perforación del pozo petrolero, si se expresara la "utilidad" directamente en términos de la variable aleatoria, producción de petróleo. Entonces la pérdida sería una variable aleatoria y, por consiguiente, /(a, θ ) se debe interpretar como el valor esperado de la pérdida en la que se incurre, cuando se toma la acción a y el estado verdadero de la naturaleza es θ . De donde, incluso aquí la función de pérdida depende únicamente de a y θ . En general, al plantear el problema, si el estado de la naturaleza se define con tanta amplitud que la observación de su valor resuelve toda la incertidumbre pertinente para la decisión a la mano, entonces siempre se puede expresar la pérdida como una función (determinística) de θ y de la acción a. Si éste no es el caso, lo que significa que la observación de θ todavía dejaría cierta incertidumbre por lo que tasa a las últimas consecuencias de una acción dada a, la función de pérdida l (a, θ ) se calcula como la pérdida esperada, dado el estado θ y la acción a.

Criterio Minimax Si se conociera el estado verdadero de la naturaleza, resultaría sencillo hacer la elección de la acción correcta, es decir, la acción que tenga la pérdida mínima. Por desgracia, en general no se conoce el estado verdadero de la naturaleza y no es sencillo elegir una "acción correcta". En el ejemplo de la perforación del pozo petrolero, si θ = θ 1, un pozo de 500,000 barriles, la mejor acción es realizar la perforación, mientras que si θ = θ 4, un pozo seco, la mejor acción es alquilar incondicionalmente. Este planteamiento de la teoría de la decisión tiene la apariencia de la teoría de juegos, siendo los dos jugadores quien toma las decisiones y la naturaleza. Las "acciones" corresponden a las estrategias puras de quien toma las decisiones y los estados de la naturaleza corresponden a las estrategias puras de la naturaleza. La matriz de resultados de la teoría de juegos es análoga a la tabla de pérdidas.

Un procedimiento para obtener soluciones para los problemas de la teoría de juegos es a través del principio minimax. Este principio propone a quien toma las decisiones que encuentre la pérdida máxima para cada una de sus acciones y que elija aquella que tenga la menor pérdida máxima.

De manera análoga, el oponente de quien toma las decisiones, la naturaleza en este caso, debe hallar la pérdida mínima que corresponde a quien toma las decisiones, para cada uno de sus estados posibles, y presentara quien toma las decisiones aquel estado de la naturaleza que maximice esta pérdida mínima. Si estos valores de la pérdida son iguales, se dice que el juego tiene un "valor". Si un juego tiene un "valor" y cada jugador sigue su estrategia óptima, quien toma las decisiones puede tener la seguridad de que su pérdida nunca será mayor que este valor. Además, si quien toma las decisiones sigue su estrategia óptima y la naturaleza se desvía de la propia, la pérdida para quien toma las decisiones sólo puede decrecer. Desgraciadamente, en este contexto no siempre existe un valor. Sin embargo, si existe en el ejemplo de la perforación del pozo petrolero. Aplicando el criterio minimax, quien toma las decisiones debe elegir la acción a2 y tener la seguridad de que su pérdida no será mayor que –45,000. Análogamente, la naturaleza debe elegir el estado θ = θ 3 o bien, θ = θ 4 y puede tener la seguridad de que la pérdida de quien toma las decisiones será al menos 45,000. Por tanto, de hecho este "juego" tiene un valor, y la estrategia minimax para quien toma las decisiones es alquilar incondicionalmente. Un teorema fundamental en la teoría de juegos afirma que si se pueden aplicar estrategias mixtas, y se sigue el principio minimax, el juego siempre tiene un valor. Una estrategia mixta para quien toma las decisiones es una distribución de probabilidad definida sobre el espacio de acciones. La elección real de la estrategia depende del resultado






de un artificio aleatorio que tiene una distribución de probabilidad asociada al espacio de acciones.

En consecuencia, elegir una estrategia mixta es equivalente a elegir una distribución de probabilidad. De manera análoga, una estrategia mixta para la naturaleza es una distribución de probabilidad definida sobre los estados posibles de la naturaleza. Las estrategias puras son sólo casos especiales de estrategias mixtas, en donde la probabilidad asignada a la acción elegida es 1 y 0 para las otras.

Puesto que tanto la acción como el estado de la naturaleza son variables aleatorias, la pérdida en la que se incurra también es una variable aleatoria y, una vez más, el criterio es' la "pérdida esperada".

No obstante, aun cuando el principio minimax tiene algunas propiedades atractivas, rara vez se usa en los juegos contra la naturaleza, por que es un criterio extremadamente conservador en este contexto. Las acciones que se toman aplicando este principio suponen que la naturaleza es un oponente consciente, quien desea infligir a quien toma las decisiones tanto "daño" como le sea posible. Generalmente, la naturaleza no es un oponente malévolo y es improbable que quien toma las decisiones tenga que cuidarse de ello.

CRITERIO DE BAYES En la sección anterior se señaló 'que' el principio minimax propone que se proceda como si la naturaleza seleccionara una distribución de probabilidad, definida sobre los estados posibles de la naturaleza, que sea lo "menos favorable" para quien toma las decisiones. También se hizo notar que este es un punto de vista muy conservador, porque no existe razón alguna para esperar que la naturaleza aplique esta distribución. De hecho, en algunas situaciones, quien toma las decisiones en realidad tendrá cierta información previa acerca de θ , lo que contradice esta suposición en relación con lo que hará la naturaleza. Cuando esto sucede, evidentemente quien toma las decisiones debe tomar en cuenta esta información. Por lo común, esta información se puede traducir en una distribución de probabilidad, que actúa como si el estado de la naturaleza fuera una variable aleatoria, en cuyo caso esta distribución se conoce como distribución a priori. Con frecuencia las distribuciones a priori son subjetivas, en el sentido de que pueden depender de la experiencia o intuición de un individuo. Por ejemplo, en el problema de la perforación del pozo petrolero, la compañía ha tenido cierta experiencia con pozos en áreas geográficas semejantes y ha concluido Que aproximadamente el 10% de los resultados son pozos de 500,000 barriles, el 15% son pozos de 200,000 barriles, el 25% son pozos de 50,000 barriles y el 50% son pozos secos. Por consiguiente, estos datos se pueden expresar en la distribución a priori. P{ θ = θ 1} = P θ (l) = 0.10 P{ θ = θ 2} = P θ (2) = 0.15 P{ θ = θ 3} = P θ (3) = 0.25 P{ θ = θ 3} = P θ (4) = 0.50. Un procedimiento para utilizar la distribución a priori con el fin de ayudar en la selección de una acción es el criterio de Bayes. El principio de Bayes indica a quien toma las decisiones que seleccione aquella acción (llamada procedimiento de decisión de Bayes) que minimice la pérdida esperada. La pérdida esperada /(a) se evalúa con respecto a la distribución apriori que se define sobre los estados posibles de la naturaleza. l(a1) = E[l(a1,θ )] = -650,000(0.10) – 200,000(0.15) + 25,000(0.25) + 75,000(0.50) = -$51,250 l(a2) = E[l(a2,θ )] = -45,000(0.10) – 45,000(0.15) - 45,000(0.25) -45,000(0.50) = -$45,000






l(a3) = E[l(a3,θ )] = -250,000(0.10) – 100,000(0.15) = -$40,000 De donde, el principio de Bayes conduce a seleccionar la acción a1 es decir, realizar la perforación y la pérdida esperada asociada es de -$51,250 (utilidad). Resulta interesante especular respecto a si quien debe tomar las decisiones pudo haber mejorado esta pérdida esperada; haciendo uso de una estrategia mixta, en lugar de una estrategia pura (dado que la naturaleza está aplicando la estrategia mixta que se especificó mediante la distribución a priori). Puede demostrarse que quien toma las decisiones no puede mejorar su posición aplicando estrategias mixtas, de modo que le basta considerar únicamente estrategias puras.

Toma de decisiones con experimentación Anteriormente, se supuso que Quien toma las decisiones debía hacerlo sin experimentación. Sin embargo, se puede llevar a cabo cierta experimentación (posiblemente con un costo), los datos que se obtengan a partir de esta experimentación deben incorporarse en el proceso de toma de la decisión. Por ejemplo, regresando al ejemplo de la perforación del pozo petrolero. Supóngase que es posible obtener sondeos sísmicos a un costo de $12,000. Esta información conduce a cuatro clasificaciones sísmicas posibles, denotadas por (1), (2), (3) y (4). La clasificación (1) denota que existe definitivamente una estructura geológica cerrada en el sitio (un resultado muy favorable si se desea la presencia de petróleo); la clasificación (2) denota que probablemente existe una estructura cerrada en el sitio; la clasificación (3) denota que existe una estructura no cerrada (un informe relativamente desfavorable); la clasificación (4) denota que no existe estructura alguna en el sitio (una condición desfavorable). Con base en exámenes pasados de áreas geológicas semejantes (100 exámenes de ese tipo), se obtienen los datos que se presentan en la tabla. Los valores entre paréntesis en cada celda pueden interpretarse como probabilidades condicionales, dado el estado de la naturaleza, por ejemplo, si el pozo es de 200,000 barriles, entonces 3/16 puede interpretarse como la probabilidad condicional de que la lectura sísmica se clasifique como (2) (probablemente una estructura cerrada en el sitio); si el pozo es seco, entonces 15/48 se puede interpretar como la probabiIidad condicional de que la lectura sísmica se clasifique como (3) (una estructura no cerrada en el sitio); etc. Antes de seguir con el ejemplo, se analizará un método general para incorporar estos datos. Denotemos por X la información de la que puede disponerse mediante la experimentación obtenida a partir de una muestra aleatoria. Entonces X es una variable aleatoria y puede concebirse como una función de los datos de la muestra; por ejemplo, X puede denotar la media de una muestra, el máximo de la muestra, un vector de las observaciones de la muestra, la tercera observación en una muestra, etc.






Quien toma las decisiones debe elegir una regla, o estrategia, que fije un procedimiento para tomar decisiones, que le establezca la forma y cantidad de experimentación y qué acción debe tomar para cada valor posible que pueda tomar X. Denótese esta función que debe elegirse como d[x], de modo que si la variable aleatoria X toma el valor x, entonces a = d[x) seria la acción que debe tomarse, Entonces quien toma las decisiones tiene interés en elegir una función d, dentro de todas las funciones posibles de decisión, que sea, en cierto sentido, óptima. (De hecho, parte del problema aquí es elegir una buena definición de trabajo para el término óptima) Para evaluar una función de decisión, deben analizarse cuidadosamente sus consecuencias. Dado que la acción a tomar, a, es una función del resultado de la variable aleatoria X, entonces d[x] también es una variable aleatoria, y la pérdida asociada con esa acción también depende del resultado de esta variable aleatoria. Entonces una medida apropiada de las consecuencias de tomar la acción a = d[x], cuando el estado verdadero de la naturaleza es ó, está dada por el valor esperado de la pérdida. Esta cantidad se conocerá como función de riesgo, R(d, θ ), es decir, R(d, θ ) = E[/(d[X], θ )] En donde la esperanza se toma con respecto a la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, y la función de perdida incluye el costo de la experimentación. Considérese ahora la manera de aplicar este procedimiento al ejemplo de la perforación del pozo petrolero. Supóngase que se va a evaluar la siguiente regla de decisión, d1. Si la lectura sísmica se clasifica como (1) tómese la acción a1; si la lectura sísmica se clasifica como (2) o (3), tómese la acción a3; y si la lectura sísmica se clasifica como (4), tómese la acción a2; es decir: d1 [X] = a1, para x =1 d1 [X] = a2, para x =4 d1 [X] = a3, para x =2 o x = 3

R(d1, θ 1) = - 650,000 ( 7

12 ) – 45,000(0) – 250,000 ( 4

12 + 1

12 ) + 12,000 = - $471,333

R(d1, θ 2) = - 200,000 ( 9

16 ) – 45,000( 2

16 ) – 100,000 ( 3

16 + 2

16 ) + 12,000 = - $137,375

R(d1, θ 3) = 25,000 ( 11 24 ) – 45,000(

4 24 ) + 0(

6 24 +

3 24 ) + 12,000 = $15,958

R(d1, θ 4) = 75,000 ( 9

48 ) – 45,000( 11 48 ) + 0 (

13 48 +

15 48 ) + 12,000 = $15,750

Por lo tanto, es evidente cómo se evalúa la función de riesgo para un procedimiento dado de decisión. La función de riesgo proporciona un medio para definir la "optimidad". Podría definirse una función de decisión óptima como aquella que minimice el riesgo para todo valor de 8. Sin embargo, es obvio que posiblemente no siempre exista una función de decisión óptima (en este sentido) y, de hecho, en la mayor parte de los casos no existe. En consecuencia, la definición anterior resulta inadecuada. Por consiguiente, en la sección que sigue se considera otra definición de optimidad.

Procedimientos de Bayes Aun cuando se disponga de datos, no se tiene una definición mejor de "procedimientos óptimos". Con datos, todavía es posible aplicar un criterio minimax o una función minimax de decisión, pero también adolece de las mismas desventajas que se tienen cuando no se cuenta con datos; es decir, se supone que la naturaleza actuará como un oponente consciente y que enfrenta a quien toma las decisiones con la distribución menos favorable de θ .






Si quien toma las decisiones tiene cierta información preliminar acerca de los estados de la naturaleza que pueden describirse en términos de una distribución a priori, entonces se puede aplicar el principio de Bayes a la función de riesgo. Si los estados, de la naturaleza son discretos, el riesgo de Bayes correspondiente a una función de decisión d y una distribución de probabilidad a priori de θ , Pθ (k), esta dado por: B(d) = ∑R(d, k)Pθ (k) El riesgo de Bayes proporciona otro medio para definir Ia optimidad, para las reglas de decisión que aplican el principio de Bayes. EI principio de Bayes pide a quien toma las decisiones que seleccione aquella función d (llamada procedimiento de decisión de Bayes) que minimice B(d). En seguida se presenta un método para hallar los procedimientos de decisión de Bayes. Cuando no se disponía de datos, el procedimiento de Bayes seleccionó aquella acción que minimizaba la pérdida esperada; esta esperanza se evaluó con respecto a la distribución a priori de θ . Ahora que se dispone de datos, se cuenta con información adicional acerca del estado de la naturaleza. Por ejemplo, si los datos sísmicos se clasifican como (4), esta es una evidencia de que no se tendrá un pozo de 500,000 barriles y que probablemente no será un pozo de 200,000 barriles. De donde, después de observar los datos experimentales, debe actualizarse la distribución a priori, aplicando la información más reciente respecto a la distribución de probabilidad del estado de la naturaleza. Esa información actualizada se conoce como distribución a posteriori de θ , dados la distribución a priori y los datos X = x. La distribución a posteriori de θ es simplemente la distribución condicional de θ . En el ejemplo de la perforación del pozo petrolero, se puede calcular la distribución a posteriori, por medio de los métodos que se analizan posteriormente en esta sección. Supóngase que las lecturas sísmicas se clasifican como (3) (el sitio geográfico tiene una estructura no cerrada). Para obtener el procedimiento de Bayes, se calcula la pérdida esperada con respecto a la distribución a posteriori de θ , dado X = 3 para el procedimiento de Bayes selecciona la acción a2 (puesto que ésta minimiza la pérdida esperada), lo cual implica que la compañía debe alquilar incondicionalmente el terreno.

k θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 x

1 0.166 0.240 0.327 0.267 2 0.129 0.108 0.241 0.522 3 0.039 0.087 0.146 0.728 4 0 0.107 0.238 0.655

lh(a1) = E[l(a1, θ )] = - 650,000(0.039) – 200,000(0.087) + 25,000(0.146) + 75,000(0.728) + 12,000 = -$27,500 lh (a2) = E[l(a2,θ )] = - 45,000 + 12,000 = -$33,000 lh (a3) = E[l(a3,θ )] = -250,000(0.039) – 100,000(0.087) + 12,000 = -$6,450 Por consiguiente, se ve que los datos experimentales cambian la acción de quien toma las decisiones. Sin contar con la experimentación, el procedimiento de Bayes fue perforar el pozo, mientras que la información obtenida a partir de los datos sísmicos condujo a que la compañía alquile incondicionalmente el terreno. De paso, aun cuando les obtuvo para todos los valores de x, sólo era necesario obtener los valores para x = x3. De hecho, este método para calcularlos procedimientos de Bayes tiene la importante ventaja de que sólo se requiere calcular la d[x] óptima para el único punto correspondiente al






resultado del experimento. Aplicando la fórmula básica para B(d), el hallar el procedimiento de Bayes requiere la determinación de la función de decisión óptima completa, lo cual es generalmente más difícil. Árbol De Decisión Un método alternativo para el análisis presentado es utilizando los árboles de decisión. Un árbol de decisión es un 'método gráfico para expresar, en orden cronológico, las acciones alternativas de que dispone quien toma las decisiones y las selecciones determinadas al azar. Los árboles de decisión constan de bifurcaciones (nodos) y ramas. Existen dos tipos de bifurcaciones, bifurcaciones de decisión representadas por cuadrados y bifurcaciones de probabilidad representadas por círculos. Las ramas son rectas que emanan de las bifurcaciones, sean de decisión o de probabilidad. Cuando quien toma las decisiones encuentra una bifurcación de decisión, debe elegir una de las ramas alternativas para recorrerla. Cuando quien toma las decisiones encuentra una bifurcación de probabilidad, no tiene control sobre cuál rama debe recorrer, en lugar de ello, su trayectoria queda determinada por eventos aleatorios cuyas probabilidades son las asociadas con las ramas que emanan de la bifurcación de probabilidad. Por ejemplo, en la figura se da el árbol de decisión para el problema de la perforación del pozo petrolero, y se insta al lector a que consulte esta figura al leer el análisis subsiguiente. En un principio, quien toma las decisiones puede elegir entre utilizar sondeos sísmicos o no utilizarlos. Cualquiera de las dos acciones trae consigo ciertas consecuencias. Si se toma la decisión de no hacer uso de sondeos sísmicos, tiene que seguir la trayectoria adecuada, llegando a una bifurcación (nodo) con las ramas marcadas: perforar, alquilar incondicionalmente y alquilar condicionalmente el sitio. Quien toma las decisiones debe elegir una de estas ramas para continuar. Si elige perforar, debe recorrer la trayectoria apropiada, llegando a una bifurcación con las ramas marcadas: pozo de 500,000 barriles, pozo de 200,000 barriles, pozo de 50,000 barriles y pozo seco. La elección de la rama por la cual debe continuar es un evento aleatorio. Dependiendo del resultado de este evento aleatorio, se llega a un punto terminal. De manera análoga, si se toma la decisión inicial de pagar por sondeos sísmicos, quien toma las decisiones debe seguir la trayectoria apropiada, llegando a una bifurcación con las ramas marcadas: estructura definitivamente cerrada, estructura probablemente cerrada, estructura no cerrada, sin estructura. La elección de la rama sobre la cual debe continuarse es un evento aleatorio. Si, aleatoriamente, los datos revelan una estructura no cerrada, entonces se elige esta rama, llegando a una bifurcación con las ramas marcadas: perforar, alquilar incondicionalmente y alquilar condicionalmente el sitio. Quien toma las decisiones debe elegir una de estas ramas sobre la cual continuar. Si elige perforar tiene que seguir por la rama apropiada, llegando á una bifurcación con las ramas marcadas: pozo de 500,000 barriles, pozo de 200,000 barriles, pozo de 50,000 barriles y pozo seco. Una vez mas, la elección de la rama sobre la cual debe continuarse es un evento aleatorio. Dependiendo del resultado de este evento aleatorio, se llega a un punto terminal. En esta forma se puede completar todo el árbol. En el análisis anterior se presentó un método gráfico para representar el problema de la decisión. Sin embargo, nada se dijo acerca de cómo elegir la trayectoria óptima para recorrerlo. Básicamente, se requieren los cálculos descritos en las primeras secciones de este capitulo, a saber, hallar probabilidades a posteriori, probabilidades marginales y riesgos de Bayes. Para cada trayectoria que se puede seguir, se especifica la pérdida en el punto terminal. Trabajando hacia atrás, desde cada punto terminal hasta la bifurcación más cercana (una bifurcación de probabilidad), se coloca una pérdida en esa bifurcación, siendo éste el






costo esperado que se toma con respecto a las probabilidades asociadas' a las ramas. Estas probabilidades representan la probabilidad del estado de la naturaleza, indicado por la rama terminal, que Se le está eligiendo, dada la trayectoria seguida hasta la última bifurcación.

Por ejemplo, para sin datos sísmicos, trayendo la de perforar, la probabilidad de la rama del pozo de 500,000 barriles es precisamente la probabilidad a priori de que el pozo sea uno de 500,000 barriles, es decir, 0.1. Para datos sísmicos, estructura no cerrada, trayectoria de perforar, la probabilidad de la rama del pozo de 500,000 barriles es precisamente la probabilidad a posteriori de que el pozo sea uno de 500,000 barriles, dada la lectura sísmica que se clasifico como una estructura no cerrada, es decir, 0.039. Una vez más, trabajando hacia atrás, la bifurcación contigua es una de decisión. La pérdida asociada con esta bifurcación es la pérdida mínima sobre las ramas asociadas con ese nodo. Sobre la trayectoria de sin datos sísmicos, -51,250 representa el mínimo de –51,250; -






45,000; - 40,000, y está asociado con la acción de perforar, de donde, esta es la mejor acción a tomar, dado que quien toma las decisiones se encuentre en esa bifurcación. El símbolo ( X ) con el que se cruza las otras dos ramas elimina las acciones alquiler incondicional y alquiler condicional de toda consideración posterior en esa trayectoria. Análogamente, sobre la trayectoria de datos sísmicos, estructura no cerrada, - 45,000 representa el mínimo de 15,500; -45, 000 y –18, 450, y está asociado con la acción de alquilar incondicionalmente. De donde, ésta es la mejor acción a tomar, dado que quien toma las decisiones se encuentre en esa bifurcación. El símbolo (x) con el que se cruza las otras dos ramas elimina las otras dos acciones de toda consideración posterior sobre esa trayectoria. La bifurcación siguiente sobre la trayectoria de datos sísmicos es una de probabilidad. La pérdida asociada con esta bifurcación es el costo esperado que se toma con relación a las probabilidades asociadas con las ramas. Estas probabilidades representan la probabilidad (incondicional) de que se obtenga la lectura sísmica indicada por la rama, dada la trayectoria seguida hasta esta bifurcación. Para la trayectoria de datos sísmicos, la probabilidad de que la lectura sísmica conduzca a la rama de estructura no cerrada es precisamente la probabilidad incondicional de que se clasifique como una estructura no cerrada, es decir, 0.215. Por último, la bifurcación inicial tiene una perdida asociada a ella de – 65,984. Este es el mínimo de .- 51,250; que está asociado a la rama de sin datos sísmicos, y –65,984, que está asociado a la rama de datos sísmicos (y que se obtuvo sumando el costo de tomar sondeos sísmicos, 12,000; a los –77,984 asociados a la rama). De donde, se elimina la rama de sin datos sísmicos, y el procedimiento óptimo es seguir la trayectoria de datos sísmicos, que conduce a una utilidad esperada de 65,984, la cual, por supuesto, es la solución, obtenida con anterioridad. Nuevamente, vale la pena hacer notar que los cálculos requeridos al aplicar el análisis del árbol de decisión son idénticos a los que se requirieron utilizando los métodos analíticos descritos con anterioridad.

Ejemplo Del Carnaval Se programa un carnaval para realizarlo en una ciudad. en una fecha dada. Las utilidades que se obtengan dependen en gran parte del estado del tiempo. En particular, si el tiempo es lluvioso, el carnaval pierde $15,000; si está nublado, el carnaval pierde $5,000; y si hay sol, el carnaval obtiene una utilidad de $10,000. EI carnaval tiene que montar equipo para su espectáculo, pero puede cancelar éste antes de montar el equipo. Esta acción produce una pérdida de $1 000. Además, incurriendo en un costo adicional de $1,000, el carnaval puede posponer su decisión de hacer el montaje hasta el día anterior a la ejecución programada del espectáculo. En esta ocasión, se puede obtener el boletín meteorológico local. La Oficina Meteorológica ha recopilado datos basados en sus predicciones; se da esta recopilación. Además, la Oficina Meteorología ha recopilado una distribución a priori del estado del tiempo. En particular, las probabilidades de lluvia, nubes y sol son 0.1; 0.3 y 0.6, respectivamente. Se analizará este ejemplo usando primero un análisis de árbol de decisión. se muestra el árbol de decisión no evaluado, y es una representación gráfica del problema de decisión.1

Probabilidad de que el pronostico sea lluvia Nublado Sol

Lluvia (PLl) 0.7 0.2 0.1 Nublado (PN) 0.2 0.6 0.2 Sol(PS) 0.1 0.2 0.7






Nótese que la parte inferior del árbol representa el caso de "sin datos", mientras que en la parte superior se utiliza la información adicional obtenida de la "experimentación". La primera bifurcación de decisión enfrenta a quien toma las decisiones con la elección entre la utilización o no del boletín meteorológico (bifurcación 1). Si la elección es no tomar en cuenta la información meteorológica, quien toma las decisiones se ve conducido por la trayectoria inferior que lo lleva a la bifurcación de decisión (bifurcación 2) con las ramas marcadas instalar y no instalar (cancelar). La selección de una de estas ramas conduce hacia una bifurcación de probabilidad (ya sea la bifurcación 3 o la bifurcación 4). La elección de la rama sobre la cual debe continuarse es un evento aleatorio y, dependiendo del resultado de este evento aleatorio, se llega a uno de los puntos terminales, lluvia, nublado o sol. Asociada a cada uno de estos puntos terminales se tiene una consecuencia monetaria.

Si, en la bifurcación inicial de decisión (bifurcación 1), quien toma las decisiones elige utilizar la información meteorológica, es conducido por la trayectoria que lo lleva a la bifurcación (bifurcación 5) con las ramas marcadas: pronóstico de lluvia, pronóstico de nublado, pronóstico de sol. La elección de la rama sobre la cual debe condicionarse es un evento aleatorio. Si (aleatoriamente) la Oficina Meteorológica pronostica un día soleado, entonces se elige esta rama y se llega a una bifurcación de decisión (bifurcación 11) que tiene las ramas subsiguientes idénticas a las que se describieron para la bifurcación 2. En este análisis se ha con5iderado un método gráfico para representar el problema de decisión y no se ha hecho referencia alguna a cómo elegir la trayectoria óptima para






recorrerlo. La determinación de la trayectoria óptima requiere de cálculos semejantes a los descritos para el ejemplo de la perforación del pozo petrolero. En particular, se requiere la distribución a posteriori de los estados de la naturaleza (lluvia, nublado o sol), dado el pronóstico del tiempo. Se da esta distribución a posteriori y, posteriormente en esta sección, se presentarán los detalles. Se necesitan estas probabilidades a posteriori para la evaluación del árbol de decisión, se encuentra el árbol de decisión evaluado para el ejemplo del carnaval. Para cada trayectoria posible que puede seguirse, se especifica la Pérdida en el punto terminal. Trabajando hacia atrás, a partir de cada punto terminal, hacia la bifurcación más cercana (una bifurcación de probabilidad), se coloca una pérdida en esa bifurcación, siendo éste el costo esperado, tomado con respecto a las probabilidades asociadas a las ramas. Estas probabilidades representan la probabilidad del estado de la naturaleza, indicado por la rama terminal, que se está eligiendo, dada la trayectoria que se siguió hasta la última bifurcación. Por ejemplo, para la trayectoria uno utilizar el boletín meteorológico instalar, la probabilidad de llegar a la rama de sol es precisamente la probabilidad a priori, de que se tenga un día soleado, es decir, 0.6(sobre la rama se muestra esta probabilidad). El costo esperado en la bifurcación es -$3,000 (una utilidad). Para la trayectoria "utilizar el boletín meteorológico pronóstico de sol- instalar, la probabilidad de llegar a la rama de sol es precisamente la probabilidad a posteriori de que se tenga un día soleado, dado el pronóstico del tiempo de tener un día soleado, es decir, 0.857 (sobre la rama se muestra esta probabilidad a posterior). El costo esperado en la bifurcación 12 es -$7,655 (una utilidad). Trabajando hacia atrás, a partir de la bifurcación 12, se llega a la bifurcación 11, una bifurcación de decisión. La bifurcación 14 también conduce hacia esta bifurcación de decisión, la pérdida asociada con la bifurcación 11es la pérdida mínima sobre las (dos) ramas que emanan de esa bifurcación. La pérdida de -$7,655 representa el mínimo de -$7,655 y $1,000, y está asociada a la acción de instalar. De donde, ésta es la mejor acción a tomar, dado que quien toma las decisiones se encuentre en la bifurcación 11. El símbolo (x) que cruza la otra rama, la elimina de toda consideración posterior sobre esa trayectoria. Una vez más, trabajando hacia atrás, a partir de la bifurcación 11, se llega a la bifurcación 5, una bifurcación de probabilidad. La pérdida asociada con esta bifurcación es el costo esperado, tomado con respecto a las probabilidades asociadas a 1as ramas. Estas probabilidades representan la probabilidad (incondicional) de que se obtenga el pronóstico meteorológico indicado por la rama, dada la trayectoria que se siguió hasta esa bifurcación. Para la trayectoria "utilizar el boletín meteorológico", la probabilidad de que el pronóstico del tiempo sea de sol es simplemente la probabilidad incondicional de que el pronóstico requiera sol, es decir, 0.49. A aparece la probabilidad sobre la rama apropiada y, posteriormente en esta sección, se analizará su cálculo. El costo esperado en la bifurcación 5 es -$3,563 ( -7,655(0.49) + -5(0.32) + 1,000(0.19), continuando el trabajo hacia atrás, a partir de la bifurcación 5, se llega a la bifurcación 1, la bifurcación inicial, de decisión. La bifurcación 2 también conduce hacia esta bifurcación inicial de decisión. La pérdida asociada con la bifurcación 1 es la pérdida mínima sobre las (dos) ramas que emanan de esa bifurcación. La pérdida de -$3,000 representa el mínimo de –3,000 y –2,563 (después de sumar el costo de $1,000, por el uso del boletín meteorológico), y está asociado con la acción que requiere pasar por alto el boletín meteorológico






De hecho, la decisión óptima es prescindir del boletín meteorológico y montar el carnaval, lo que conduce, a una utilidad esperada de $3,000. Aunque no valiera la pena incurrir en un costo de $1,000, a fin de utilizar el boletín meteorológico, resultaría apropiado un costo de $563 o menos. Por último, ¿cuánto es lo mas que estarían dispuestos a pagarlos organizadores del carnaval con el fin de obtener algún tipo de información acerca del estado del tiempo? La pérdida esperada con información perfecta está dada por

E(lP) = 1,000(0.1) + 1,000(0.3) – 10,000(0.6)= - $5,600 De modo que cierto tipo de información puede conducir a -un ahorro potencial, y quien toma las decisiones estaría dispuesto a pagar un "costo" por la información perfecta hasta de -3,000 + 5,600 = $2,600.



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