Separata de Aritmetica Con Ejercicios

ARITMETICA ACADEMIA PREUNIVERSITARIA

Prof. F. Alberto Quispe Ayala 1

TEORIA DE CONJUNTOS

1. NOCION DE CONJUNTO

Un conjunto es la reunin, coleccin o agrupacin de objetos que tienen caractersticas similares. A estos objetos se les denomina ELEMENTOS de un conjunto. Para simbolizar conjuntos se emplean las letras maysculas A, B, C, y sus elementos separados por coma o punto y coma, y encerrados entre llaves, por ejemplo:

Per} del tosdepartamen {LosC

0}{2,6,8,9,1B

s}e,i,{c,A

2. DETERMINACION DE CONJUNTOS

A) Por extensin: Un conjunto esta determinado por extensin cuando se observa todos y cada uno de los elementos del conjunto, enumerndolos o indicndolos en forma sobre entendida:

Ej.: u}o,i,e,{a,C

25,36}{1,4,9,16,B

{1,2,3,4}A

B) Por comprensin: Un conjunto esta

determinado por comprensin cuando sus elementos se caracterizan mediante una propiedad o caracterstica comn. Ej.: De los ejemplos anteriores

}vocalunaesx/x{C

}6xNx/x{B

}4xNx/x{A

2

OJO:

No todo conjunto de puede expresar por

comprensin y extensin a la vez.

En general:

)spropiedade(

ticasCaracteris

elemento

delformaConjunto

3. RELACION DE PERTENENCIA:

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de el. Adems se dice que pertenece )( a dicho conjunto, en caso

contrario no pertenece () a dicho conjunto.

OJO: La relacin de pertenencia se da entre un elemento y

un conjunto sabiendo que un elemento puede tener

forma de conjunto.

4. RELACION ENTRE CONJUNTOS

A) INCLUSION: Se dice que B est incluido en el conjunto A, si todos los elementos de B pertenecen al conjunto A. Esta denotado por )AB( .

Se lee: B esta incluido en A B esta contenido en A B es subconjunto de A

Ejemplo:

Sea: 6} 5, 4, 3, 2, {1, A 5} 4, {3, B

Luego )AB(

Pero )BA(

Observacin: Todo conjunto esta incluido en si

mismo. Todo conjunto es subconjunto de si

mismo El conjunto vaco esta incluido en todo

conjunto Sea n(A) el nmero de elementos del

conjunto A, entonces: Nmero de subconjuntos

)A(n2Adessubconjuton

Nmero de subconjuntos propios

12Adepropiosssubconjuton )A(n

A

B

3

6

2

54

1



B) Conjuntos iguales: Dos conjuntos son iguales (=) si tienen los mismos elementos sin importar el orden.

ABBABA

C) Conjuntos diferentes: Dos conjuntos

son diferentes si uno de ellos por lo menos tiene un elemento que no posee el otro.

ABBABA

D) Conjuntos comparables: Dos

conjuntos son comparables slo cuando uno de ellos esta incluido en el otro.

ABBA .

E) Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos

son disjuntos cuando no tienen ningn elemento en comn.

F) Conjuntos equivalentes: Dos conjunto

son equivalentes cuando tienen la misma cantidad de elementos.

)B(n)A(nBA

5. CLASES DE CONJUNTOS:

A) Conjunto finito: Es aquel cuya cantidad de elementos es limitada; es decir se puede contar desde el primero hasta el ltimo.

B) Conjunto Infinito: Cuyo nmero de

elementos es ilimitado. 6. CONJUNTOS ESPECIALES:

A) Conjunto Nulo o vaco: Conjunto que no tiene elementos. Este conjunto tiene la particularidad de ser subconjunto de todo conjunto

B) Conjunto Unitario: Tambin llamado

Singleton, es aquel que tiene un solo elemento.

C) Conjunto Universal (U): Es aquel

conjunto que contiene todos los dems

conjuntos, simbolizado por la letra U. No existe un conjunto universal absoluto.

D) Conjunto Potencia o conjunto de

partes: Conjunto formado por todos los subconjunto que es posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que es potencia del conjunto A. Ej.: Sea c} b, {a,A entonces los

subconjuntos de A son: c},b;{a;c},{b;c},{a;b},{a;{c},{b},{a},

OJO: El conjunto vaci es subconjunto de todo conjunto

Entonces

} c};b;{a;c};{b;c};{a;b};{a;{c};{b};{a}; {=P(A)

Luego el nmero de elementos del conjunto potencia de A es:

n(A)2 = Ade ossubconjunt =#n[P(A)]

7. REPRESENTACIN GRAFICA DE

CONJUNTOS: Los conjuntos se pueden graficar por medio de: A. Diagrama de Venn-Euler B. Diagrama de Lewis-Carroll C. Diagrama Sagital

8. CONJUNTOS DE NMEROS: Veamos el

siguiente grafico:

C

R

Q

Z

N

Imaginarios

Irracionales

Fraccionarios

Negativos Cero

(0)Positivos

Donde: C=Conjunto de los nmeros complejos R=Conjunto de los nmeros reales Q=Conjunto de los nmeros racionales Z=Conjunto de los nmeros enteros N=Conjunto de los nmeros naturales



9. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

A) Unin ( AUB ): La unin de dos

conjuntos A y B es el conjunto formado por la agrupacin de todos los elementos de A con todos los elementos de B.

}BxAx/x{AUB

U

A B

Propiedades:

BUAAUB

)AUB(A

)AUB(B

AAUA

AAU B) Interseccin: )BA( La interseccin

de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. (Elementos comunes a ambos). Simblicamente se define:

}BxAx/x{BA

U

A B

Propiedades:

ABBA

ABA

BBA

)BA()BA( AAA

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS: DISTRIBUTIVAS:

)CA()BA()CB(A

)CA()BA()CB(A

DE ABSORCION:

A)BA(A

A)BA(A

AUB)B'A(A

BA)B'A(A

C) Diferencia (A-B): La diferencia de dos

conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B. Simblicamente se define:

}BxAx/x{BA

U

A B

Propiedades:

ABBA

A)BA(

B)BA(

A)BA()BA(

D) Diferencia Simtrica: ( BA ): La

diferencia simtrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos. Simblicamente se define:

)}BA(x)BA(x/x{BA

U

A B

Propiedades:

ABBA



)BA()BA( Si BABABA

AA

AA

E) Complemento de un conjunto

(A),( CA ): Conjunto cuyos elementos pertenecen al universo pero no al conjunto A. Simblicamente se define:

}AxUx/x{AC

Propiedades:

U'AA

'AA

A)''A(

)'U(U)'(

U

A

PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS:

'B'A)'BA(

'B'A)'BA(

El cardinal de un conjunto es el nmero de elementos que tiene dicho conjunto:

0)(n

)A(n)B(n)A(n)BA(n B

)CBA(n)CB(n

)CA(n)A(n

)C(n)B(n)A(n)CBA(n

B

10. PAR ORDENADO: Es un conjunto que

tiene dos elementos (no necesariamente diferentes), en la cual interesa el orden de estos, llamados tambin componentes. Se denota (a;b)

11. PRODUCTO CARTESIANO: Dados

dos conjuntos A y B diferentes del vaco, se denomina producto cartesiano de A y B (AxB), en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a;b) tal que las primeras componentes pertenecen al conjunto A y las segundas componentes al conjunto B. Simblicamente se define:

}BbAa/)b;a{(AxB

n(AxB)=n(A).n(B)

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Dado el siguiente conjunto: A={1;2;{2;a};{2;1;b}}. Seale cul de las siguientes proposiciones es verdadera: a) {1;2}A b) {2;a} A c) {2}A d) {{2;1;b}} A e) {a;b}A Solucin:

a) {1;2}A Falso. b) {2;a} A Falso c) {2}A Falso d) {{2;1;b}} A Verdadero e) {a;b}A Falso

2. Dados los conjuntos:

U={1;2;3;;14;15}

A={1;3;5;;13;15} B={2;4;6;12;14} C={1;2;5;6;9;10;13;14}

Determinar ]'A)C'B[(

a) b) {1;2;3} c) {4;8;12} d) {13;14;15} e) {1;15}

Solucin:



Del grfico podemos deducir que:

}12;8;4{]'A)C'B[(

3. Dados:

A={2;2;3;3;4;4} y B={1;2;3;5;6;7} Se dice que A y B son: a) Disjuntos b) Equivalentes c) Comparables d) Iguales e) diferentes

Solucin:

A={2;3;4} y B={1;2;3;5;6;7} No son disjuntos, porque tienen interseccin de elementos. No son equivalentes porque B tiene ms elementos que A. No son comparables porque uno no contiene al otro. No son iguales porque no tienen los mismos elementos. Son diferentes ya que hay por lo menos un elemento de A que no pertenece a B

4. En un saln de clases de 47 alumnos se

sabe que 30 les gusta Matemtica, a 20 les gusta Lenguaje y a 25 les gusta Ingles. A 14 les gusta Matemtica y Lenguaje, a 13 Matemtica e Ingles y a 15 les gusta Lenguaje e Ingles. Si a 12 alumnos les gusta los 3 cursos. A cuantos alumnos no les gusta ninguno de los cursos mencionados?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Solucin:

Reemplazando las letras obtenemos:

L=20 M=30

I=25

3

15

9

3

112

2

47

x

La suma de todos los valores debe ser 47, entonces sumando tenemos:

47x915312312 47x45

2x

5. Si el conjunto A{a+b; a+2b-3; 12 } es unitario, calcular (a+3b)

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20 e) 17

Solucin:

Como el conjunto es unitario se cumple: )(...................12ba

Tambin ba3b2a 3b Luego en : 9a No piden: 3.39b3a 18b3a

6. Se hizo una encuesta a 160 alumnos de la

academia CIES sobre la preferencia de 4 cursos: Aritmtica, algebra, fsica y qumica, obtenindose los siguientes datos: Ninguno que prefiere fsica simpatiza con qumica. 22 slo con aritmtica 20 slo con lgebra. 20 slo con fsica. 20 con aritmtica y qumica, pero no lgebra. 6 slo con fsica y lgebra. 4 con aritmtica y fsica. 24 con qumica y lgebra 28 solo qumica. Cuntos prefieren slo aritmtica y lgebra, si a todos por lo menos les gusta un curso?

a) 1 b) 12 c) 13 d) 14 e) 16

Solucin:



Graficamos de la siguiente manera:

A Al

F

Q

4

2420

22 20

6

X

20

28

160x28202420202264 16x

7. Dados los conjuntos:

}o,i,a,s,r,p,m,e{A , }p,m,b,c,s{B ,

}a,t,p,s,n,m,r{C Cuntos elementos

tiene el conjunto potencia de D?. Sabiendo que: )CBA(U}C)AUB{(D

a) 128 b) 256 c) 334 d) 424 e) 512 Solucin:

}p,s,m,b,c,r,a,o,i,e{AUB

}b,c,o,i,e{C)AUB(

}s,p,m{CBA

Entonces:

)CBA(U}C)AUB{(D

}s,p,m{U}b,c,o,i,e{D

}s,p,m,b,c,o,i,e{D

2562)]D(p[n8)D(n 8

8. En un momento dado de una fiesta se

observo que el nmero de varones que no bailaban era el doble del nmero de personas que estaban bailando y adems el nmero de damas que no bailaban es al nmero de varones como 2 es a 5. Si en total asistieron 104 personas. Cuntas personas no bailaban? a) 14 b) 78 c) 38 d) 24 e) 56 Solucin:

Hacemos el siguiente grafico:

Varones Damas

BAILAN

NO BAILAN

n n

a b

Segn los datos del problema y el grafico: n4a)n2(2a

5

2

an

b

)n4n.(

5

2b n2b

Pero: 104ban2 104n2n4n2 13n Por lo tanto:

7813.6n6n2n4ba

9. Se entrevist a un grupo de x personas acerca de la preferencia por las marcas de lapiceros A, B o C, obtenindose los siguientes resultados. 2 no prefieren ni A ni B ni C. 2 prefieren A, B y C 7 solo prefieren C 5 solo prefieren B 16 prefieren B o C pero no A 10 prefieren A y C 10 prefieren A pero no B 3 prefieren A y B pero no C Cunto vale x? a) 13 b) 23 c) 33 d) 43 e) 53 Solucin:

A B

2

27

42

8

53

UC

78225432X 33X

10. Se tienen tres conjuntos A, B y C cuyos

nmeros cardinales son consecutivos, adems se sabe que:



448)]C(P[n)]B(P[n)]A(P[n . Hallar el

nmero de elementos que puede tener como mximo el conjunto potencia de

AUBUC .

a) 212 b) 213 c) 214

d) 215 e) 216

Solucin:

Por dato

x)A(n , 1x)B(n ; 2x)C(n

Luego:

x2)]A(P[n , 1x2)]B(P[n , 2x2)]C(P[n

Por dato

448)]C(P[n)]B(P[n)]A(P[n

448222 2x1xx

448)221(2 2x

6x 22 6x Nos piden el mximo nmero de elementos del potencia de AUBUC , es

decir A, B y C deben ser disjuntos, entonces: )C(n)B(n)A(n)AUBUC(n

876)AUBUC(n

21)AUBUC(n

)AUBUC(n2)]AUBUC(P[n

212)]AUBUC(P[n

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si }}1{;2;1;b;a{A , hallar el nmero de

elementos de P(A) a) 7 b) 8 c) 32 d) 13 e) 31

2. Si A= }x1x2/Rx{ 2 , B= y

C= }1x/Rx{ .Determinar C)BA( C

a) B b) C(A) c) BA

d) BAC e) A

3. Si }60xNx/x{A y

}Ann/1n{B , hallar la suma de los

elemento del conjunto B a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

4. Hallar )]A(P[n ; si:

}Zb,aba90ba/)b,a{(A 222

a) 3 b) 4 c) 8 d) 2 e) 1

5. El conjunto

}33xx/Nx{}48xx/Nx{A 22 es

igual a: a) {1; 3} b) {-3; 1; 3} c) {1; 6} d) {1; 3; 6} e) {1}

6. Dados los conjuntos

}02x01x/x{U 22 ,

}UenestnqueNaturales{A ,

}UenestnqueesIrracional{B y

}UenestnqueEnteros{C . Hallar

)CBA( ccc

a) b) {1} c) U

d) }2;2{ e) N.A.

7. Si }4x3x/Nx{A , hallar el

nmero de elementos de P(A) a) 0 b) 2 c) 6 d) 5 e) 1

8. De tres estaciones de radio A; B y C que pueden ser recibidas en una ciudad de 300 familias, se obtuvo la informacin siguiente:

1800 familias escuchan A.

1700 familias escuchan B.

1200 familias escuchan C.

1250 familias escuchan A y B.

700 familias escuchan A y C.

600 familias escuchan B y C.

200 familias escuchan A; B y C. Cul es el nmero de familias que no escuchan a A pero escuchan B o C? a) 1200 b) 600 c) 650



d) 400 e) 550 9. Durante todos los das del mes de Julio,

Susana escuchaba msica o vea televisin. Si escuchaba msica 21 noches y vea televisin 15 noches. Cuntas noches escuchaba msica y vea televisin? a) 3 b) 6 c) 4 d) 5 e) 10

10. De 50 estudiantes encuestados: 20

practican solo ftbol, 12 practican ftbol y natacin, y 10 no practican ninguno de

estos deportes. Cuntos practican natacin y cuantos solo natacin? a) 32 y 20 b) 12 y 8 c)8 y 4 d) 20 y 8 e) 30 y 12

11. En una reunin de profesores de

ciencias: 47 ensean matemtica, 40 ensean slo fsica y 4 no ensean ninguno de estos cursos. Cuntos profesores integraban la reunin? a) 83 b) 70 c) 100 d) 91 e) 87

SISTEMA DE NUMERACIN

NUMERACIN es la parte de la aritmtica cuyo objetivo consiste en expresar y escribir los nmeros. Es decir que es un conjunto de reglas y principios para representar cualquier cantidad. 1. PRINCIPIOS DEL ORDEN: Toda cifra en el numeral

tiene un orden, por convencin se enumera de derecha a izquierda.

1

2

1

5735

5

4

3

ORDEN

(UNIDADES)

(UNIDAD DE MILLAR)

(MILLAR)

(CENTENAS)

(DECENAS)

DE LA BASE: Es un numeral referencial

que nos indica como se agrupan las unidades de un orden cualquiera para

formar la unidad colectiva del orden

inmediato superior. )n(abcd donde n es

la base del numeral DE LAS CIFRAS: Las cifras son nmeros

naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base en la cual son empleados o utilizados.

)n(abcd

nd;nc;nb;na

2. PRINCIPALES SISTEMAS DE

NUMERACION: 3. NMERO CAPICA:

Nmero cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales Se leen igual por ambos lados. Ej. 44, 343, 67876, etc. En general:

.etc;atinaanitalaval;abba;aba;aa

4. DESCOMPOSICIN POLINMICA DE

UN NMERO: Es expresarlo como la suma de los valores relativos da cada una de las cifras de dicho nmero.

Sea: )n(cifrasm

xyz...abcN ;

Descomponiendo polinmicamente se tiene:

zyn.....cnbnanN 13m2m1m

Ej. 34x24x14x33123 23)4(

BASE

SISTEMA CIFRAS

DISPONIBLES

2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 20

Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Eptal Octal Notario Decimal Undecimal Duodecimal Vigesimal.

0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,3,4,5 0,1,2,3,4,5,6 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7,8 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,..(19)



5. DESCOMPOSICIN EN BLOQUES:

Se llamara bloque a un grupo de cifras.

Ej: Descompongamos )n(abcd en bloques:

)n(2

)n()n( cdn.ababcd

6. PROPIEDADES:

El mayor numeral de x cifras de base n.

1n)1n)...(1n( x)n(cifrasx

xana1

v ecesx

)n(a1

a1

ap...nmm1

)a(p1

n1

7. CONVERSION DE NMEROS A

DIFERENTES BASES:

A) CASO 1: De base n a base 10 Tenemos dos formas de conversin:

Por descomposicin polinmica.

Por mtodo de Ruffini

Ej. Convertir )5(321 al sistema decimal:

Por descomposicin polinmica:

15X25X3321 2)5(

86321 )5(

Por mtodo de Ruffini:

3 2 1

5

3

15

17

85

86

86321 )5(

B) CASO 2: De base 10 a base n

Se convierte por medio de las divisiones sucesivas Ej. Convertir 329 al sistema quinario: Por divisiones sucesivas:

329 5

0

3

2

30

10

513

25

565

2965

4

)5(2304329

C) CASO 3: De base n a base m

donde 10mn .

El primer paso, es convertir de base n a base 10

El segundo paso, es convertir el nmero obtenido a base m.

BASE n BASE mBASE 10

DESCOMPOSICION

POLINMICA

DESCOMPOSICION

POLINMICA

DIVISIONES

SUCESIVAS

DIVISIONES

SUCESIVAS

8. REGLAS PRCTICAS: Todas las cifras son menores que la

base: CIFRA < BASE

Si un nmero se expresa en dos

sistemas distintos, se cumple que:

A NMERO MAYOR BASE MENOR

A NMERO MENOR BASE MAYOR

9. CONVERSION DE SISTEMAS EN LOS

NMEROS MENORES QUE LA UNIDAD:

A) CASO 1: De base n a base 10

4321)n( dncnbnanabcd,0



Ej: Convertir )4(32,0 a base 10

21

)4( 4x24x332,0

2)4( 4

2

4

332,0

16

2

4

332,0 )4(

875,032,0 )4(

B) CASO 2: De base 10 a base n

Ej. Convertir: 0,390625 a base 4 Se multiplica solo la parte decimal 0,390625x4 = 1,5625 0,5625x4 = 2,25 0,25x4 = 1,00

)4(121,0390625,0

10. CONVERSIN DE DECIMAL A

FRACCION EN DIFERENTES SISTEMAS

Nmero decimal exacto:

)n(

)n()n(

1000

abcabc,0

Nmero decimal peridico puro:

)n(

)n()n(

)1n)(1n)(1n(

abc...abcabcabc,0

Nmero decimal peridico mixto:

)n(

)n()n()n(

000)1n)(1n(

abcabcde...abcdedede,0

11. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIN:

A) DE BASE n A BASE kn :

Dado el nmero en base n se le separa en grupos de k cifras a partir de la derecha

Ej. Expresar )2(10011101 a base 8

Vemos que 328 ; se separa en grupo de 3 cifras

Base 2: )2(532

10101110

Base 8: )8(235

B) DE BASE kn A BASE n:

Dado el nmero en base kn de cada cifra se obtiene k cifras al convertirse a base n:

Ej. Convertir: )8(235 a base 2

3 2 5

011 010 101

)2()8( 10011101235

12. TABLA DE NUMERACIN



1ra

CLA

SE

8va C

LA

SE

7m

a C

LA

SE

6ta

CLA

SE

5ta

CLA

SE

4ta

CLA

SE

3ra

CLA

SE

2da C

LA

SE

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

ord

en

ord

en

ord

en

ord

en

ord

en

ord

en

ord

en

ord

en

unidad

decena

centena

unidad

decena

centena

unidad

decena

centena

unidad

decena

centena

unidad

decena

centena

unidad

decena

centena

unidad

decena

centena

unidad

decena

centena

unidad

de millar

De milln

De millar

de millon

De billn

De trilln

De millar

de billn

De millar

de trilln

1er

Periodo

De m

illar

2do P

eriodo

mill

ones

3er

Periodo

bill

ones

4to

Periodo

trill

ones

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Calcular

5

56

120

240122 y expresarlo

como un nmero en base 3. a) 12002 b) 21002 c) 10201 d) 10210 e) 20012 Solucin:

Llevamos ambos nmeros del numerador y el denominador al sistema decimal:

3505251120

7005452240

5026261122

2

5

2

5

2

6

Reemplazando los valores obtenidos en la expresin inicial tenemos:

10035

7050

120

240122

5

56

Expresamos a 100 en base 3:

100 3

3

3

11

33

33

1

9

10

9

1

3

3

3

0

9

2 3

0



310201100

2. En un sistema de base x se

tiene: 3527-63 La base x es igual a: a) 10 b) 2 c) 9 d) 8 e) 5 Solucin:

Se tiene:

xxx 352763

Por descomposicin polinmica:

5x37x23x6 x = 9

3. Se tiene un nmero de 2 cifras, si se agrega un 2 a la izquierda del nmero se convierte en un nmero igual a 5 veces el nmero original. Hallar la suma de las cifras de dicho nmero. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10

Solucin:

ab5ab2

ab5ab200

ab4200

ab50 La suma de cifras es: 5+0=5

4. El nmero b76a es igual a 338 veces la suma de sus cifras, entonces a+b vale: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10

Solucin:

)b67a(388b76a

)13ba(388b60700a1000

13.388b388a388b60700a1000 4284b387a612 9/

07

476b43a68

0by7a

7ba

5. Hallar: ab . Si )ba(aab

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10

Solucin:

)ba(aab Por Desc. Polin.

)ba(aba10

)ba(a)ba(a9

)ba()ba(aa9

)1a)(ba(a.3.3

Por identificacin de factores: 4a31a 8ba2bbaa3 Nos piden: 448ab

6. Si: 242aaaaa )k( . Hallar (a+k)

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10

Solucin:

Se tiene:

242aaaaa )k(

24211111a )k( Por Desc. Polin.

121.2)1kkkk(a 1234

Por identificacin de factores: 3ky2a

Nos piden: 532ka

7. Hallar a+b. Si )13()8( 2bab4a

a) 4 b) 8 c) 6 d) 7 e) 10

Solucin:

Descomponiendo polinomicamente:

213.a13.bb8.48.a 22 2a13b169b32a64 b16830a51

26

b5610a17

2by6a

826ba



8. Si: 828aa

v ecesa

a1

a1

. Hallar a.

a) 4 b) 5 c) 9 d) 7 e) 10

Solucin:

828aa

v ecesa

10a1

a1

Por propiedad:

828aa )a.a10(

828aa )2a10(

Por Desc. Polin.

828a)a10(a 2

92.9)1a10(a 2

)119(9)11a(a 22

Por identificacin de factores: 9a

9. Si )b(12110b0b . Hallar b.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 10

Solucin:

)b(12110b0b

Por Desc. Polin.

bbb2bb101 234

234 bb2bb100 Simplificando

bb2b100 23

)1b2b(b100 2

22 )1b(b5.4

Por identificacin de factores: 4b

10. Como se expresa en el sistema de base

(n+2), el nmero )n(148

a) 412 b) 154 c) 564 d) 732 e) 104

Solucin:

8n4n148 2)n(

44n4n148 2)n(

4)2n(0)2n(1148 2)n(

)2n()n( 104148


1. Convertir

a. )7(3645 a base 8

b. )8(1236 a base 5

c. )6(345 a base 4

d. )4(3211 a base 7

e. )2(1001110 a base 7

f. )5(34243 a base 6

2. Convertir:

a. )2(1001110 a base 16

b. )5(10430 a base 25

c. )6(2431 a base 36

d. )36(978 a base 6

e. )49(6565 a base 7

f. )2(1001110 a base 32

3. Convertir:

a. )4(323,0 a base 10

b. )6(354,0 a base 10

c. )9(768,0 a base 10

d. )3(112,0 a base 10

e. 534,0 a base 3

f. 232,0 a base 5

g. 765,0 a base 7

h. 989,0 a base 2

4. Si )2x()y( pyxp x+y+p=24, hallar el valor

de x a) 6 b) 4 c) 3 d) 7 e) 8

5. Durante una fiesta a la que asistieron xy

hombres y yx mujeres, en un momento



dado el nmero de hombres que no bailan, es de (2x-y) y el nmero de mujeres que no bailan es la suma de las cifras del total de las mismas. Hallar el nmero de asistentes a) 88 b) 154 c) 77 d) 99 e) 165

6. Hallar e+d, si )8()6( 211abc y

)8()6( adecba

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

7. Si )4()6( xyyz)4a(a)4a( , hallar x+y+z

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9

8. Efectuar )5()5()5( 323434214434334

a) 314431(5)

b) 224431(5)

c) 214431(5)

d) 314134(5)

e) 214331(5)

9. )9()n( 8x)1x(7)1x(x Si, hallar n+x

a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

10. Hallar na , ann)1n(n )8(

a) 1 b) 8 c) 32 d) 63 e) N. A.

11. Un nio nace en ab19 y cumple b

aos en el ao ba19 . Hallar su edad en el ao 2010 a) 11 b) 16 c) 18 d) 21 e) 36

12. Si )2n()n( ccabc , c+n=12 y

nnc20n , calcular la suma de las cifras

de )n(cba en base 10

a) 12 b) 11 c) 8 d) 14 e) 15

13. El mayor numeral de 3 cifras en base

n excede al de la base (n-3) en 513 unidades. Hallar el valor de n a) 10 b) 13 c) 9 d) 8 e) 7

CUATRO OPERACIONES Al estudiar los nmeros, se observa que determinados valores se modifican segn la aplicacin que se les da, este proceso origina un valor final que reemplaza a los iniciales. Esto ocurre en un conjunto de nmeros sealado debidamente. Se conoce con el nombre de cuatro operaciones a una parte de la aritmtica que comprende el estudio de las operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin, en el conjunto de los nmeros naturales y luego por extensin en el conjunto de nmeros enteros. Una operacin aritmtica ser: DIRECTA: O de composicin, cuando sealados dos nmeros cualesquiera, se obtiene un tercer nmero como nico resultado de dicha operacin. INVERSA: O de descomposicin, cuando conocido el resultado de una operacin

directa y uno de los nmeros que intervino en dicha operacin, se halla el otro numero. 1. ADICION: Operacin que tiene por

finalidad reunir varias cantidades en una sola.

sumandosn

n4321 a...aaaaS

Donde S es la suma total 2. RESTA O SUSTRACCION: Operacin

inversa a la suma.

Sustraendo

Minuendo

DiferenciaM S = D

PROPIEDADES:

M+S+D=2M



Si: mnpcbaabc , Se cumple que:

n=9 y m+p=9

3. MULTIPLICACIN: Operacin donde dada dos cantidades multiplicando y multiplicador, se halla una tercera llamada producto.

A x B = P

Donde: A es el multiplicando B es el multiplicador P es el producto

4. DIVISION: En una divisin se identifican

los siguientes elementos: dividendo, divisor, cociente y residuo

D d

q

r

Donde D: Dividendo d: divisor q: cociente r: residuo ALGORITMO DE EUCLIDES: A la divisin tambin la podemos expresar de la siguiente forma:

D = d x q + r

CLASES DE DIVISION:

DIVISION EXACTA: Cuando el residuo es cero

D=d.q r=0

DIVISION INEXACTA

POR DEFECTO:

D=d.q+r donde: 0



Sea: osmintern

n321 t,...,t,t,t una progresin

aritmtica, entonces la suma ser:

2

n).tt(t...tttS n1n321

2

)1n(nn...321S

sumandosn

2

sumandosn

n)1n2(...531S

)1n(nn2...642Ssumandosn

6

)1n2)(1n(nn...321S

sumandosn

2222

2

sumandosn

3333

2

)1n(nn...321S

8. CONTEO DE CIFRAS:

Para calcular la cantidad de cifras usadas en una serie de nmeros del 1 hasta N se usa la formula siguiente:

cifrask

N1 11...11k)1N(CF

Donde k es la cantidad de cifras que tiene N

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Juana acude al mercado llevando a vender cierto nmero de naranjas. Al primer cliente le vende la sexta parte de lo que tiene y al segundo los 4/5 de los que le queda. Si an le quedan 20 naranjas. Cuntas tena inicialmente?

a) 100 b) 125 c) 130 d) 180 e) 120

Solucin:

Sea x= # de naranjas iniciales

Le vende Le queda

Al 1er cliente x

6

1

x

6

5

Al 2do cliente

)6

5(

5

4x

)

6

5(

5

1x

Segn datos:

120x20)x6

5(

5

1

2. Gaste los 7

2 de lo que no gast y an me

queda S/.45 ms de lo que gast. Cunto tena?

a) 27 b) 72 c) 81 d) 108 e) 180

Solucin:

Gaste=x No gast=y

x=7

2y;

tambin y=x+45, Reemplazando:

y=7

2y+45y=63,

de donde x=18 Tena:

x+y=63+18=81



3. Hallar un nmero que excede en 23, en tanto que es excedido por 39.

a) 30 b) 31 c) 32 d) 29 e) 28

Solucin:

x-23=39-x 2x=62 x=31

4. En una granja hay 30 animales, entre

gallinas y conejos. Si se cont 74 patas en total. Cuntas ms son las gallinas respecto al nmero de conejos?

a) 7 b) 13 c) 16 d) 17 e) 12

Solucin:

#Gallinas:x, con 2 patas #Conejos:y, con 4 patas Entonces:

23x;7y14y20

74y4x2

60y2x2

74y4x2

30yx

x-y=23-7=16

5. Trinidad juega al tiro al blanco, con la condicin de que por cada tiro que acierte recibir 5 soles y pagar 2 soles por cada uno de los que falle. Despus de 18 tiros ha recibido 55 soles. Cuntos tiros acert?

a) 5 b) 12 c) 13 d) 7 e) 9

Solucin:

Acierta: x, recibe +5 soles. No acierta: y, pierde -2 soles

5y;13x

910x7

55y2x5

36y2x2

55y2x5

18yx

6. En una jaula donde hay conejos y gallinas

pueden contarse 132 cabezas y 420 patas. Cuntos animales hay de cada clase?

a) 10 y 25 b) 54 y 78 c) 98 y 34 d) 13 y 22 e)200 y 32

Solucin:

#Conejos: x #Gallinas: y

54y;78x

1560x2

420y2x4

264y2x2

420y2x4

132yx

Hay 78 conejos y 54 gallinas.

7. Con 450 litros de vino se llenan 580

botellas de 5/7 y 5/6 litros de capacidad. Cuntas botellas de 5/7 litros hay?

a) 300 b) 280 c) 288 d) 140 e) 120

Solucin:

Sean: x= # de botellas de 5/7 litros de capacidad y= # de botellas de 5/6 litros de capacidad Del enunciado:

450y6

5x

7

5580yx



90y6

1x

7

1580yx

3780y7x6

580yx

Sumando ambos miembros:

3780y7x6

)580(7y7x7

.280x280x

8. 120 personas viajan en un tren cuya tarifa es 86 soles en primera clase y 50 soles en segunda clase. Si se llega a recaudar 8952 soles. Cuntas personas viajaban en primera clase?

a) 48 b) 60 c) 72 d) 36 e) 84

Solucin:

Sea: x= # de personas que viajan en primera clase y= # de personas que viajan en segunda clase Del enunciado:

)2........(4296y25x43

)1..(..........x120y

8592y50x86

120yx

Reemplazando (1) en (2):

4296)x120(25x43

4296x253000x43 1296x18

72x

9. Si m y n son enteros positivos y

n.m =10, cul de los siguientes nmeros no puede ser un valor de m+n?

a) 25 b) 52 c) 101 d) 50 e) 29

Solucin:

Del dato: n.m =10m.n=100 Las posibilidades son: 100.1=100m+n=100+1=101

50.2=100m+n=50+2=52

25.4=100m+n=25+4=29

5.20=100m+n=5+20=25

Entonces: m+n no puede ser 50.

10. Hallar la cantidad de paginas que tiene un libro sabiendo que para enumerar sus ultimas 26 paginas se emplearon la misma cantidad de tipos que se empleo en las primeras 25 hojas.

a) 2215 b) 1012 c) 1014 d) 1350 e) 1429

Solucin:

25 hojas son 50 pginas, entonces por simple inspeccin se han usado 91 cifras. Es decir que en las 26 ltimas pginas se han usado 91 cifras. Sea m la cantidad de paginas de a cifras y Sea n la cantidad de paginas de a+1 cifras Entonces

26nm y

91n)1a(m.a

De este ultimo:

91nanam 91n)nm(a

Pero 26nm

Entonces:

91na26



Dando valores adecuados:

3a ; 13n 13m

Luego n=13 es la cantidad de pginas de a+1=4 cifras, como son las ltimas. Seran: 1000, 1001, , 1012 (ltima pgina).

Entonces el libro tiene 1012 pginas

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. La diferencia de dos nmeros es 305. Si al

mayor le quitamos 20 y al menor le aumentamos 85, la nueva diferencia es:

a) 350 b) 200 c) 240 d) 180 e) 879

2. La suma del minuendo, sustraendo y

diferencia de una sustraccin es 19456 y el minuendo es el cudruplo del sustraendo. Hallar el sustraendo.

a) 2432 b) 1216 c) 3648 d) 608 e) 398

3. Hallar el mayor nmero entero que al

dividirlo entre 70 se obtengan un cociente que es la raz cuadrada del resto.

a) 602 b) 632 c) 532 d) 624 e) 1

4. La diferencia de dos nmeros es 832, su

cociente es 17 y el residuo es el ms grande posible. Hallar la suma de los nmeros.

a) 881 b) 993 c) 934 d) 890 e) 930

5. La suma de dos nmeros es 74 y su

cociente es 9, dando un residuo de 4. Cul es el nmero menor?

a) 9 b) 8 c) 5 d) 7 e) 6

6. El cociente de una divisin entera es 11 y

el resto es 39. Hallar el dividendo si es menor que 500. Dar como respuesta el nmero de soluciones posibles

a) 1 b) 4 c) 3 d) 5 e) 2

7. En el primer ao bisiesto de la dcada de

los 90 la edad de un padre era ac aos(a>c) y la de su hijo era a aos.

En el siguiente ao bisiesto la edad del padre fue 5 veces la edad de su hijo. Hallar la suma de las cifras de la edad del padre en el ao 2006.

a) 4 b) 8 c) 9 d) 11 e) 12

8. Se arrojan 3 dados: al doble de lo que

sali en el primero se le suma 8 puntos y todo se multiplica por 5. Al resultado se le suma lo que sali en el segundo dado y todo se multiplica por 10, y a lo obtenido se le suma lo que sali en el tercer dado obtenindose al final 856 puntos. Hallar la suma del puntaje obtenido por los tres dados.

a) 8 b) 12 c) 14 d) 15 e) 18

9. Entre dos personas tienen 284 soles. Si

una de ellas diera 76 soles a la otra las dos tendran igual cantidad de dinero. Cunto dinero tuvo cada uno inicialmente?

a) 60 y 136 b) 60 y 212 c) 66 y 142 d) 66 y 218 e) 208 y 284

10. Hallar 1 1 1 1

....2 6 18 54

S

a) 0,60 b) 0,70 c) 0,75 d) 1,0 e)

11. Una persona concurre a un hipdromo a

apostar a la carrera de caballos. En cada carrera que acierta gana S/. 250,00 y si no acierta pierde S/. 150,00. Despus de 24 carreras, su capital ha aumentado en S/. 3200,00. Cuntas carreras acert?

a) 7 b) 14 c) 17 d) 18 e) 21



TEORIA DE LA DIVISIBILIDAD

DIVISIBILIDAD: Parte de la teora de los nmeros que estudia las condiciones que debe cumplir un nmero entero para ser dividido exactamente entre otros. 1. Divisor:

Se denomina divisor de un nmero, a cualquier valor que lo divide exactamente mediante una divisin entera. Ejemplo: Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6,12 Divisores de 15: 1, 3, 5,15

2. Divisibilidad de un nmero: Un nmero entero A es divisible entre otro entero B (mdulo), si al dividir A entre B resulta una divisin exacta (cociente entero y residuo cero).

El cero (0) siempre es mltiplo de todo

entero positivo. Un nmero entero negativo puede ser

mltiplo de un nmero entero positivo. 3. Multiplicidad de nmeros:

Se dice que un nmero entero es mltiplo de otro entero positivo llamado modulo, si el primero es el resultado de multiplicar el segundo por otro factor entero. Si A es mltiplo de B lo representaremos como: A=KB donde K={,-2,-1,0,1,2}

BA (Notacin de Leibnitz) Si un nmero entero no es divisible entre cierto modulo (divisor), se puede representar como un mltiplo del modulo ms cierto residuo por defecto:

rBArk.BA

Se dice que un nmero B (mdulo) es divisor o divide a A cuando esta contenido un nmero entero y exacto de veces.

4. Principios de la divisibilidad

AAA

AAA

AAA .

AA .k

AA n)(

z....b.a)z)...(b)(a(oooo

nnnn

Si o

c.b.aNc.b.aN

)b;a(MCMN

b

aN

r)b;a(MCMN

rb

raN

Si a una cantidad n se le multiplica por

una fraccin irreducible y el resultado es un nmero entero, entonces n es el mltiplo del denominador. Sea

Zm,n yb

af (fraccin irreducible).

Si o

bnmn.b

a



Principio de Arqumedes:

Dados dos nmeros enteros cuyo producto es divisible por un cierto modulo, si uno de tales nmeros no admite divisores comunes con el modulo, aparte de la unidad, entonces el otro nmero ser divisible por dicho modulo. Ej.:

Si oo

7a7a5

Si ooo

5a5a335a21

Todo nmero es mltiplo de la base en

la cual esta escrito mas la ltima cifra

dnabcd

dnnnabcd

dn.cn.bn.aabcd

o

)n(

ooo

)n(

23)n(

5. Divisibilidad aplicada al Binomio de

Newton

Zksira)ra( ko

ko

impareskra

pareskra)ra(

ko

ko

ko

6. Criterios de divisibilidad:

Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permite anticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral. Divisibilidad por 2:

Un nmero es divisible por dos cuando termina en cifra par o cero

Divisibilidad por n2 :

Es divisible por n2 si sus n ultimas cifra son ceros o forman un nmero que

sea divisible por n2 Divisibilidad por 5:

Un nmero es divisible por 5 cuando termina en cifra 5 o cero

Divisibilidad por n5 :

Es divisible por n5 si sus n ultimas cifras son ceros o forman un nmero que

sea divisible por n5 Divisibilidad por 3 o 9:

Un nmero es divisible por 3 o 9 cuando la suma de sus cifras es mltiplo de 3 o 9 respectivamente.

Si o

3abcd entonces o

3dcba

Si o

9abcd entonces o

9dcba

Divisibilidad por 11: Cuando la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar con la suma de las cifras de orden par deber ser cero o mltiplo de 11.

Ej.: Si o

11abcdefg

1111111

11gfedcbao

011)fdb(gecao

Divisibilidad por 7:

Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2,-1 respectivamente, deber ser 0 mltiplo de 7.



13213231

7hgfedcbao

o

7hg3f2)ed3c2(b3a

Divisibilidad por 13

Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1,-3-4,-1,3,4,1, respectivamente, deber ser mltiplo de 13.

o

13abcdefgh

13413413

13hgfedcbao

13a3bc4d3)ef4g3(h

Divisibilidad por 33 Y 99:

Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1 y 10 respectivamente, deber ser mltiplo de 33 o 99.

o

33abcdefgh

1101101101

33gfedcbao

33gf10ed10cb10a

Respectivamente:

o

99abcdefgh

1101101101

99gfedcbao

99gf10ed10cb10a

7. RESTOS POTENCIALES:

Son todos los residuos que dejan las potencias sucesivas enteras y positivas de un nmero N (diferente de cero) al ser divididos entre otro m (modulo).

Potencias sucesivas

Resultados en funcin de m

Restos potenciales

0N 1N 2N 3N 4N

1mo

1

o

rm

2

o

rm

3

o

rm

4

o

rm

1

1r

2r

3r

4r

PROBLEMAS RESUELTOS

1. abN , es un nmero de 2 cifras si a es el doble de b, entonces N es simultneamente mltiplo de:

a) 11 y 3 b) 3 y 5 c) 2 y 4 d) 3 y 9 e) 3 y 7 Solucin:

Planteamos que:

7N

3N

b73b21b10b2bb2N

2. Si:

45abba . Calcular: a+2b. a) 9 b) 7 c) 13 d) 17 e) 6



Solucin:

45abba

5abbay9abba

Criterio del 9:

9abba

9b2a2 ( ) Tambin:

5abba a=5 (ya que no puede ser cero) Reemplazando en ( ):

2(5)+2b=

9 2b=18-10 b=4 Nos piden: a+2b=5+2(4)=13.

3. Un cerrajero cuenta las llaves que tiene

por decenas, por docenas y de a quince en cada caso le sobran 7 llaves, la cantidad exacta de llaves que tiene es mayor que 500 y menor que 600. Cuntas llaves tena el cerrajero? a) 599 b) 587 c) 573 d) 547 e) 531 Solucin:

Sea el nmero de llaves igual a x, entonces segn los datos:

710x

, 712x

, 715x

7)15;12;10(MCMx

760x

Segn datos:

600x500

600760500

6007540500 547x

4. Se conoce que:

1703a6 . Hallar a.

a) 9 b) 1 c) 13 d) 17 e) 6

Solucin:

Cuando no se conoce algn criterio de divisibilidad lo podemos resolver descomponiendo:

1703a6 Descomponiendo en bloque:

1700a6003

17a100)217(

17a)217(2

217a2

117a

1a

5. El nmero de la forma:

99432ab8 . Hallar a-b

a) -9 b) -7 c) -6 d) 17 e) 6

Solucin:

Aplicando el criterio del 99

110110110

99234ba8

9923.104b10a8.10 Ordenando

993280ab10

99116ba

991799ba

1799ba

82ba

Entonces: 2ay8b

682ba

6. Al convertir 479423 al sistema de base 3. Cules son las 2 ultimas cifras?. Dar la suma. a) 3 b) 7 c) 4 d) 11 e) 2

Solucin:



)3(xyz...ab479423

Por descomposicin en bloques:

)3(

2)3( yz3.x...ab479423

)3(yz9479423

Aplicando el criterio del 9

)3(yz9324974

)3(

yz929

)3(yz929

Entonces:

)3(yz2

)3()3( yz02

2zy0y

220zy

7. Cuntos de los nmeros de 1 a 720 son

mltiplos de 3 o mltiplos de 4 pero no de 5? a) 945 b) 742 c) 413 d) 288 e) 625

Solucin:

4o

5o

3o

2403

720)3(#720,...,9,6,3:3

1804

720)4(#720,...,12,8,4:4

1445

720)5(#720,...,15,10,5:5

6012

720)12(#720,...,36,24,12:12

4815

720)15(#720,...,45,30,15:15

3620

720)20(#720,...,60,40,20:20

1260

720)60(#720,...,180,120,60:60

Ubicando los datos en el grafico:

4o

5o

3o

72

122436

9648144

Se tiene que los mltiplos de 3 o 4 pero no de 5 son: 144+48+96=288

8. Al dividir un nmero formado por 26 cifras

a seguida de 26 cifras 4 entre 7, el resto fue 5. Hallar a:

a) 4 b) 7 c) 13 d) 1 e) 6

Solucin:

El nmero es de la forma:

57444...444aaa...aaacif26.cif26

574...4444aa...aaacif24.cif3.cif24

Criterio de divisibilidad del 7

1321321321321321

..

57444...44444aaaa...aaaa

.cif24cif3.cif24

Los grupos de 24 se eliminan, entonces queda:

57412a2a

57a16

57a16 4a

9. El nmero de la forma bbc0aa al ser dividido entre 4, 9 y 25 deja como residuo 2, 4 y 7 respectivamente. Hallar a: a) 6 b) 7 c) 1 d) 7 e) 2

Solucin:

24bbc0aa



49bbc0aa

725bbc0aa

Hacemos las siguientes conversiones:

822577525bbc0aa

8242804bbc0aa

Entonces:

82)25,4(MCMbbc0aa

82100bbc0aa

Luego:

82bc Reemplazando:

490882aa

Criterio de divisibilidad del 9

492880aa

49a2

29a

2a

10. Sabiendo que el nmero de la forma:

45b23a4 es divisible entre 99. Cul ser el residuo de dividir dicho nmero entre 7?

a) 9 b) 5 c) 13 d) 17 e) 6

Solucin:

Criterio del 99

1101101101

9954b32a4

99540b302a104

9981ba10

8199ab

18ab 8by1a

Remplazando:

r74123845

Criterio del 7

1321321

r75483214

r7512163624

r7521

r757

5r

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Hallar un nmero capica de 4 cifras que

sea mltiplo de 105

a) 7557 b) 5775 c) 3553 d) 5335 e) 5555

2. Hallar le residuo de dividir 1n152 n2 entre 9, para n natural. a) 1 b) 2 c) 4 d) 0 e) 3

3. Cual es la suma de las cifras que debe sustituir al 2 y 3 del nmero 52103, para que sea divisible por 72? a) 12 b) 15 c) 17

d) 10 e) 30

4. Si

56b53ab2 , hallar a.b a) 20 b) 81 c) 56 d) 10 e) 30

5. Hallar a+b, sabiendo que el nmero

ba1a es mltiplo de 63. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 7

6. Si

11abc ,

8cba ,

9acb , hallar a+b+c



a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21

7. Cuantos mltiplos de 2 y mltiplos de 7 pero no de 15 hay entre 45000 y 120000? a) 5357 b) 3571 c) 5337 d) 5000 e) 3750

8. Cuantos mltiplos de 13 que terminan en 5, hay entre 800 y 1000? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

9. Si el numeral 04a5 es mltiplo de 7, hallar

el valor de 2a a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 18

10. Si

9bb1aa1 y ba , hallar a+b mximo a) 8 b) 17 c) 15 d) 23 e) 91

11. En el sistema de base 7 la cifra de las

unidades del nmero 251457 es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1

12. Si el nmero 10192 se escribe en base 7. En que cifra termina? a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

13. Cual es el resto de dividir A.B entre 5, si: A=484848(200 cifras) y B=848484(300 cifras) a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

14. Cuantos mltiplos de 11 existen en la siguiente sucesin: 103, 104, 105, , 4095 a) 360 b) 361 c) 362 d) 363 e) 364

PROPIEDADES DE LOS NMEROS

1. NUMERO PRIMO O PRIMO ABSOLUTO: Son nmeros que admiten nicamente dos divisores, siendo estos la unidad y el mismo. Ej.: 2, 3, 5, 7, etc.

2. NMERO COMPUESTO: Son nmeros que admiten ms de dos divisores. Ej.: 4, 6, 8, 10, 12,etc.

3. LA CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NMERO COMPUESTO N ES:

1CDCDCD primoscompuestosN

4. NMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI):

Es cuando un conjunto de dos o ms nmeros admiten como nico divisor comn a la unidad. Ej.: 4 y 9, 8 y 15, etc.

NOTAS: Todo nmero primo mayor que 3

siempre es de la forma 16o

: lo contrario no siempre se cumple.

Algunos nmeros primos descubiertos

por matemticos son:

Lucas: 12127 que tiene 39 cifras

Algo probablemente cierto, pero aun no demostrable: Todo nmero par, es la suma de los nmeros primos

Fermat: 12n2

Formulas del calculo de nmeros

primos: 41nn2 valida nicamente

para Zn y 40n



5. REGLA PARA DETERMINAR SI UN

NMERO ES PRIMO O NO:

Se extrae la raz cuadrada aproximadamente del numeral dado y aplicando la multiplicidad por cada uno de los nmeros primos menores o iguales a dicha aproximacin: Ej.: El nmero 139 es primo?

6. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMTICA:

Todo entero positivo mayor que uno, se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre si, elevados a ciertos exponentes, esta descomposicin es nica. Llamada tambin DESCOMPOSICION CANONICA

OJO: No confundir con la descomposicin polinmica que vimos en

sistema de numeracin.

Sea N un nmero mayor que 1, entonces dicho nmero lo podemos expresar de la siguiente manera:

...C.B.AN Donde: A, B, C;; Factores primos

...,,, ; Exponentes

Ej.: Descomponer en sus factores primos el nmero 360.

5.3.2360 23

7. DIVISORES DE UN NUMERO N Cantidad de divisores de un nmero:

Es igual al producto de los exponentes de sus factores primos previamente aumentados en la unidad.

)....1)(1)(1()N(CD

Suma de divisores de un nmero

.....1C

1C.

1B

1B.

1A

1A)N(SD

111

Producto de los divisores de un

nmero:

)N(CDN)N(PD

Suma de las inversas de los divisores

de un nmero:

N

)N(SD)N(SID

8. INDICADOR DE UN NMERO O

FUNCIN DE EULER

Es la cantidad de nmeros enteros positivos menores que un nmero dado y primos con l. Sea el nmero N descompuesto cannicamente

...C.B.AN

C

11.

B

11.

A

11.N)N(

9. MXIMO COMN DIVISOR

Se llama MCD de un conjunto de dos o ms nmeros enteros positivos, al entero que cumple dos condiciones: Es un divisor comn de todos Es el mayor posible

10. DETERMINACIN DEL MCD Por descomposicin Cannica:

El MCD es igual al producto de los factores primos comunes elevados a los menores exponentes posibles. Ej.: Sea

2322 5.3.2By5.3.2A

Entonces

5.3.2MCD 2



Por descomposicin simultneamente: El MCD es el producto de los factores comunes extrados a los nmeros hasta que sean PESI.Se busca solo los factores comunes. Ej.: Hallar el MCD de 12 y 18

Algoritmo de Euclides o Divisiones sucesivas: Es un procedimiento que se utiliza para calcular el MCD de solo 2 nmeros. Su desarrollo se fundamenta en la teora de la divisin.

1q 4q 5q3q2q

A B

4r2r1r1r 2r 3r

5r4r

3r

cocientes

residuos

11

221

4432

4

rq.BA

rq.rB

rq.rr

r)B;A(MCD

11. MNIMO COMN MLTIPLO

Se llama MCM de un conjunto de dos o ms nmeros enteros positivos, al entero que cumple dos condiciones: Es un mltiplo de todos Es el menor posible

12. DETERMINACIN DE MCM Por descomposicin Cannica:

El MCM es igual al producto de los factores primos comunes elevados a los mayores exponentes posibles.

Ej.: Sea 2322 5.3.2By5.3.2A

entonces 223 5.3.2MCM

Por descomposicin simultneamente:

El MCM es el producto de los factores comunes multiplicados con los respectivos PESI.

Ej.: Hallar el MCD de 24, 18, 30

13. PROPIEDADES DEL MCD Y MCM: Si A y B son PESI, entonces:

MCD(A,B)=1 Si A y B son PESI, entonces:

MCM(A,B)=A.B El producto de dos enteros positivos

siempre es igual al producto de su MCM y el MCD. Es decir:

B.A)B;A(MCD).B;A(MCM

Sea B KyKA Donde: y

son primos entre si (PESI). Entonces:

..K)B;A(MCM

K)B;A(MCD

Sea p)B,A(MCM y q)D,C(MCM ,

entonces:

)q,p(MCM)D,C,B,A(MCM

Sea p)B,A(MCD y q)D,C(MCD ,

entonces:

)q,p(MCD)D,C,B,A(MCD

Si un conjunto de enteros positivos se

reemplazan dos o ms de ellos por su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto de dichos enteros no es alterado. Es decir:

)]D;C(MCM);B;A(MCM[MCM)D;C;B;A(MCM

))C;B(MCM);B;A(MCM(MCM)C;B;A(MCM

)]D;C(MCD);B;A(MCD[MCD)D;C;B;A(MCD

))C;B(MCD);B;A(MCD(MCD)C;B;A(MCD

14. CASOS ESPECIALES: MCD(a;a+b)=MCD(a;b)



Si a y b son primos entre si entonces

MCD(a+b; a-b)= 1 2

MCD(a,b)=MCD(a b;m), Donde m=MCM(a,b)

MCD(a,b,a+b)=2d

)ba(b.a ,

Donde d=MCD(a,b)

)C;B;A(MCD.n)Cn;Bn;An(MCD

)C;B;A(MCM.n)Cn;Bn;An(MCM

n

)C;B;A(MCD)

n

C;

n

B;

n

A(MCD

n

)C;B;A(MCM)

n

C;

n

B;

n

A(MCM

1p)1p;1p(MCD )h;k(MCDhk

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Cuntos divisores tiene 24? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

Solucin:

Descomponiendo cannicamente:

3.224 3 Luego aplicamos la formula para la cantidad de divisones:

8)24(CD

)11)(13()24(CD

2. Si x12 tiene 63 divisores compuestos. Calcule x a) 6 b) 2 c) 8 d) 9 e) 10

Solucin:

Sea x12N Descomponiendo

xx2x2 3.2)3.2(N

)1x)(1x2()N(CD

2CDP

Se sabe:

1CDCD)N(CD CP

Reemplazando:

1632)1x)(1x2(

66)1x)(1x2(

6.11)1x)(1x2(

Identificando factores: 61x 5x

3. Hallar x si: x162.6N tiene 40 divisores: a) 6 b) 7 c) 2 d) 9 e) 10

Solucin:

Descomponiendo cannicamente:

x4 )3.2.(2.3N

x4x 3.2.2.3N

1x41x 3.2N Entonces: )11x4)(11x()N(CD

)2x4)(2x(40

)1x2)(2x(240

)1x2)(2x(20

)1x2)(2x(5.4

Identificando factores: 51x2y42x

De ambos 2x

4. Si k2k 1313N , tiene 75 divisores compuestos. Hallar k



a) 4 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

Solucin:

k2k 1313N

k2k 1313.13N

)113(13N 2k

168.13N k

7.3.2.13N 3k Entonces: )11)(11)(13)(1k()N(CD

)1k(16)N(CD

Se sabe que:

1CDCD)N(CD CP

Reemplazando los datos: 1754)1k(16

80)1k(16

4k

5. Cuantos ceros debe tener: 00...2000N

para que el resultado tenga 56 divisores. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

Solucin:

cerosn

00...0002N

n1nnn 5.2)5.2.(210.2N

)1n)(11n()N(CD

)1n)(2n(56

)1n)(2n(7.8

Identificando factores: 1n7y2n8

De ambos 6n

6. Se tienen 3 rollos de tela que miden 2442m. 2772m, y 3300m de longitud. Se quiere sacar rollos ms pequeos todos de

igual longitud. Cuntos de estos rollos como mnimo se podrn obtener en total?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

Solucin:

Sea L la longitud de los rollos de tela que se cortan. L es divisor de 2442, 2772, 3300 L es el mayor posible, ya que nos piden la mnima cantidad Entonces: )3300,2772,2442(MCDL

66L Luego:

3766

2442)1.(ped#

4266

2772)2.(ped#

5066

3300)3.(ped#

El mnimo nmero de rollos es

37+42+50=129

7. El cociente de dos nmeros es igual a su MCD. Si su MCM es igual a 81. El menor de dichos nmeros es:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

Solucin:

Planteando se tiene:

)B,A(MCDB

A .(1)

81)B;A(MCM ..(2)

A y B se pueden expresar como:

.dBy.dA

Entonces segn las propiedades en (1) se tiene:



dd

d

d ..(3)

Por otro lado en (2): 81)B;A(MCM

81d

Reemplazando en (3) 81..d.d

81)d( 2

9d

9B , el menor.

8. La suma del MCD con MCM de dos

nmeros es 612. Si la razn de los nmeros es 11/3. Hallar la suma de los nmeros.

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

Solucin:

612)B,A(MCM)B,A(MCD

Entonces: 612dd

612)1(d .( )

Por otro lado:

3

11

3

11

d

d

3

11

B

A

Como 11 y 3 son Pesi se deduce que:

3y11

Reemplazando en ( ) 612)1(d

612)3.111(d

18d Luego 19811.18dA 543.18dB

Nos piden: 25254198BA

9. Dos nmeros naturales son entre si como 5 es a 9. Si su MCM es 945. Cunto vale el menor de dichos nmeros?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

Solucin:

9

5

9

5

d

d

9

5

B

A

Como 5 y 9 son Pesi se deduce que:

9y5 .( )

Por otro lado:

945)B,A(MCM

945..d

Reemplazando ( ) 9459.5.d 21d El menor es 1055.21dA

10. Dados 2n 4.3A , n2 4.3B .Hallar n sabiendo que el MCM de A y B es 1728 y n es mayor que 2. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 Solucin:

Descomponiendo A y B:

4n2n 2.34.3A

n22n2 2.34.3B Luego:

n2n 2.3)B,A(MCM

17282.3 n2n

63n2n 2.32.3 3n




1. Cuantos divisores de 820 son divisibles entre 4 a) 3 b) 5 c) 2 d) 6 e) 4

2. Hallar el nmero de divisores compuestos

de 2020 a) 320 b) 820 c) 858 d) 840 e) 885

3. Hallar un nmero entero N, sabiendo que admite solo 2 divisores primos y que el nmero de divisores es 6 y la suma de dichos divisores es 28. a) 10 b) 49 c) 36 d) 14 e) 12

4. El nmero m21m1m 7.6.4 posee 70 divisores que son mltiplos de 2 pero no de 8. Cuntos de sus divisores son mltiplos de 21? a) 254 b) 487 c) 865 d) 216 e) 465

5. Cuntos ceros se debe poner a la

derecha del 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos? a) 6 b) 8 c) 9 d) 5 e) 4

6. El MCM de 2541 y un nmero N es 99099 y se sabe que N tiene 24 divisores. Hallar la suma de las cifras de N. a) 29 b) 18 c) 21 d) 17 e) 15

7. Si el MCD(A;B)=24 y el MCM(A;B)=130, Cuntos divisores tendr AxB? a) 32 b) 40 c) 16 d) 36 e) 81

8. Los nmeros M y N tienen 9 y 10 divisores respectivamente. Si ambos tienen los mismos divisores primos Cual es el menor valor que puede tomar el MCD(M;N)? a) 10 b) 13 c) 12 d) 18 e) 15

9. Si 1410 21.40A , 35 35.60B , 24 14.80A , calcular el nmero de divisores de MCD(A;B;C) a) 165 b) 150 c) 128 d) 180 e) 120

10. Sean A y B dos nmeros que tienen los mismos divisores primos, sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. Cuntos divisores tendr el

)B;A(MCD 55 ?

a) 300 b) 310 c) 319 d) 330 e) 341

11. Cuntos de los siguientes nmeros

son primos absolutos en base 7?

)7()7()7()7( 25;61;31;13

a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) 2

12. Hallar K, si

MCD(210K;300K;420K)=1200 a) 6 b) 5 c) 40 d) 90 e) 30

NMEROS FRACCIONARIOS

adormindeno

numerador

b

af

1. CLASIFICACIN: Se puede clasificar: Por comparacin de sus trminos:



Fracciones propias: Son aquellas

cuyo valor es menor que uno o tambin aquella en la que el numerador es menor que el

denominador es decir: 1b

a

Ej.: .etc,13

7,

7

2,

5

3

Fracciones impropias: Son aquellas cuyo valor es mayor que uno, o tambin, aquella en la que el numerador es mayor que el

denominador, es decir: 1b

a

Ej.: .etc,13

15,

7

9,

3

4

Fracciones iguales a la unidad: Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o tambin en la que el numerador y el denominador son

iguales, es decir: 1b

a

Ej.: .etc,13

13,

9

9,

4

4

Por su denominador:

Fracciones ordinarias o comunes: Son aquellas cuyo denominador es diferente a una potencia de 10. Es

decir b

a; si: Nn,10b n

Ej.: etc,7

4,

3

14,

17

5

Fracciones Decimales: Son aquellas cuyo denominador es una

potencia de 10. Es decir: b

a;

Nn,10b n

Ej.: etc,1000

4,

100

14,

10

5

Por la comparacin de los

denominadores:

Fracciones homogneas: Son aquellas cuyos denominadores son

iguales. Ej. etc,13

4,

13

14,

13

5

Fracciones heterogneas: Son aquellas cuyos denominadores son

diferentes. Ej.: etc,11

4,

15

14,

10

5

Por la relacin de los divisores de sus

trminos

Fracciones reductibles: Son aquellas fracciones donde numerador y denominador se pueden simplificar.

Ej.: etc,50

25

2

1

10

5

Fracciones irreductibles: Son aquellas fracciones donde los trminos son PESI.

etc,17

4,

13

14,

10

3

NOTA: Se llama fraccin equivalente, cuando una fraccin tiene el mismo valor que la otra pero sus trminos son diferentes:

Ej.: 2

1

10

5

Se llama nmero mixto, a aquel que tiene parte entera y parte fraccionaria.

Ej.: .etc,13

73,

7

21,

5

34

2. MCD Y MCM DE NMEROS

FRACCIONARIOS: El MCD de varias fracciones irreductibles

es igual al MCD de los numeradores entre el MCM de los denominadores.

El MCM de varias fracciones irreductibles es igual al MCM de los



numeradores entre el MCD de los denominadores.

3. NMERO DECIMAL: Representacin

lineal de una fraccin. Consta de dos partes: parte entera y parte decimal. Ej.: 14,356

decimalparteenteraparte

356,14

4. CLASIFICACIN DE LOS NMEROS

DECIMALES: Nmero decimal exacto: Cuando tiene

un nmero limitado de cifras. Ej.: 0,2; 0,356; etc.

Nmero decimal inexacto: Cuando tiene un nmero ilimitado de cifras. Ej.: 0,333; 0,324444 Los nmeros decimales inexactos pueden ser:

Peridico puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente despus de la coma decimal.

Ej.: 3,0...3333,0

...8787,0

Peridico mixto: Cuando el periodo empieza de una cifra (o grupo) despus de la coma decimal. Ej.: 0,3424242

0,45366666 5. CONVERSIN DE DECIMALES A

FRACCIN :

Nmeros decimales exactos: La fraccin ser igual al nmero formado por las cifras decimales divididos entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales.

1000

abcabc,0

Ej: 20

7

100

3535,0

Nmeros decimales inexactos:

Peridico puro: La fraccin esta dada por el nmero formado por las cifras del periodo divido entre tantos nueves como cifras tenga el periodo.

999

abc...abcabc,0

Ej: 11

4

33

12

99

36...363636,0

Peridico mixto: La fraccin esta dada por el nmero formado por todas las cifras de la parte decimal menos la parte no peridica entre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no peridica.

990

aabc...abcbcbc,0

Ej:

180

37

900

185

900

20205...205555,0

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Los 12

7de un curso son varones. Cul es

el nmero de alumnos del curso, si en l hay 15 mujeres? a) 23 b) 36 c) 20 d) 25 e) 30 Solucin:

Sea: h: # hombres

m: # mujeres x=total de personas

Entonces:

xmh

x15x12

7

x12

515



36x

2. El valor de la expresin

12

79

55,0

3

1

es:

a) 0,666 b) 0,36 c) 0,6 d) 0,25 e) 0,3 Solucin:

6,03

2

18x7

12x7

12

718

7

12

718

1096

12

79

5

2

1

3

1

12

79

55,0

3

1

3. Si ...6060,0d;60,0c;6,0b;6,0a

,

la ordenacin correcta es: a) b



varones son solteros, mientras que los 5

3

de los mismos son casados. Cul es el nmero de docentes? a) 80 b) 90 c) 60 d) 70 e) 50

Solucin:

Solteros Casados Total

Varones 12

3

1

5

3x

3

1x

Mujeres 3

2x

Total x

Del cuadro tenemos que:

12+

3

1

5

3x=

3

1x x=90

7. Hallar una fraccin equivalente 0,222

cuyo numerador est comprendido entre 15 y 35 y su denominador entre 50 y 75.

a) 72

16 b)

9

2 c)

9

4

d) 27

8 e)

45

10

Solucin:

72

16

8x9

8x2

9

22,0...222,0

8. Simplificar:

2

11

3

11

3

3

11

2

11

2

2F

a) 8,2 b) 25,2 c) 5,2

d) 75,2 e) 57,2

Solucin:

3

83

4

92

2

2

13

4

3

3

22

3

2

2

2

11

3

11

3

3

11

2

11

2

2F

4

11

4

32

3

174

17

2F

75,2F

9. Hallar: 2666,391666,0E

a) 52,7 b) 65,8 c) 77,8

d) 97,8 e) .A.N Solucin:

12

11

900

825

900

91916691,0

3

11

3

2

9

66,3 33

2

3

11

12

11E

2

3

11

32

11E

22

32

113

32

11211E

4

33

3.4

11.9E

25,8E



10. Calcular el valor de x

20xx

21

20

21

12

21

6

21

2

212

a) 17 b) 20 c) 24 d) 18 e) N.A.

Solucin:

20xx

21

20

21

12

21

6

21

2

212

....()

Factorizando 21 de la ecuacin () :

20xx

1

20

1

12

1

6

1

2

121

2

Factorizamos 2xx , luego :

20)1x(x

1

20

1

12

1

6

1

2

121

....(1)

Escribamos la ecuacin (1) teniendo en cuenta el penltimo sumando:

20)1x(x

1

x)1x(

1

20

1

12

1

6

1

2

121

Escribamos cada uno de las fracciones:

2

1 ,

6

1 ,

20

1, .....,

x)1x(

1

y

)1x(x

1

Como una suma de fracciones parciales:

20)1x

1

x

1()

x

1

1x

1()

4

1

3

1()

3

1

2

1()

2

11(21

20)1x

1

x

1()

x

1

1x

1()

4

1

3

1()

3

1

2

1()

2

11(21

Entonces simplificando:

201x

1121

20x


1. Si los radios de una sucesin de crculos son 1, , 1/8, cm. La suma de las reas de tales crculos ser:

a) 2cm75,0 b) 2cm08,4

c) 2cm...333,1 d) 2cm2

e) 2cm075,2

2. Se derriten tres pedazos de hielos tales

que el volumen del segundo es los 3/7 del volumen del primero y los 6/13 del volumen del tercero. Si la diferencia entre los volmenes de los dos ltimos trozos es de 50 decmetros cbicos y si el agua se dilata en 1/9 de su volumen al congelarse. Cuntos litros de agua se obtendr en esta operacin?

a) 1458 litros b) 1528 litros c) 1653 litros d) 1485 litros e) 1576 litros

3. Restar 1/3 de 1/2; 1/4 de 1/3 y 1/5 de 1/4; sumar las diferencias, multiplicar las mismas; dividir la suma por el producto; hallar la tercera parte del cociente y extraer la raz cuadrada del resultado. Entonces se obtiene una cantidad que con denominador 11 genera una fraccin: a) D. exacta b) Entera c) P. Pura d) P mixta e) Impura



4. A y B pueden hacer una obra en tres das, B y C en 4 y A con C en 5 das, En cuantos das puede hacerla A trabajando solo?

a) 8

18 Das b)

17

17 das c)

16

16 das

d) 10 das e) 10

110 das

5. Resolver: 77777

22222

...636363,63

...272727,7S

a) 1 b) 1/2 c) 3/4 d) 0,4 e) 0,8

6. Dados los nmeros 6

5bba,o

y

18

6a5ab,o

. Hallar la cifra del periodo que

resulta al sumarlos. a) 3 b) 6 c) 5 d) 4 e) 7

7. Calcular el valor de

100x99

1...

5x4

1

4x3

1

3x2

1

2

11S

a) 1,75 b) 1,99 c) 1,89 d) 1,87 e) 1,57

8. El periodo de una fraccin de denominador 11 es de dos cifras que se diferencian en 5 unidades, hallar la suma de los trminos de dicha fraccin, si es la menor posible. a) 14 b) 17 c) 15 d) 13 e) 12

9. Sea A7/9 y B=14/15. Los 7

63 del MCD(A;B)

equivale a la cantidad de fluido que una llave desaloja de un tonel en una hora. Y los 1/140 del MCM(A;B) equivale a la cantidad de fluido, que otra llave llena el tonel en media hora. Si ambas llaves se abren sincrnicamente, pasado 3 horas que parte del tonel es ocupado por fluido a) 1/2 b) 2/3 c) 3/10 d) 4/5 e) 4/11

10. Hallar la fraccin propia irreducible, sabiendo que una fraccin equivalente a la suma de las fracciones de numerador la unidad y denominador los trminos de la fraccin, tiene como producto de trminos 1890. Dar como respuesta la suma de sus trminos. a) 15 b) 10 c) 17 d) 12 e) 7

RAZONES Y PROPORCIONES

1. RAZONES:

Es la comparacin matemtica de dos cantidades. Es decir es el resultado de compara dos cantidades por medio de una diferencia o por medio de un cociente. TIPOS:

RAZON ARITMETICA: Es la razn por diferencia

a c =r

Antecedente Consecuente = Razn

RAZON GEOMETRICA: Es la razn por cociente.

kb

a

uenteseccon

eantecedentRazn geomtrica

2. PROPORCIONES:

Es la igualdad de dos razones. Es decir, es la comparacin de dos razones iguales ya sean aritmticas o geomtricas.

3. PROPORCION ARITMETICA:

Es la igualdad de dos razones aritmticas dadas, sabiendo que:

a-b=r y c-d=r Entonces la proporcin aritmtica ser:

a-b=c-d Donde:

a y d : extremos b y c : medios



a y c : antecedentes b y d : consecuentes

4. TIPOS DE PROPORCIN ARITMTICA:

P.A. CONTINUA: Los trminos medios son iguales.

a-b=b-c Donde:

b : Media aritmtica o diferencial

c : tercera diferencial

P. A. DISCRETA: Los cuatro trminos son diferentes.

a-b=c-d

Donde: d : cuarta diferencial de a, b y c

5. PROPORCION GEOMETRICA:

Es la igualdad de dos razones geomtricas dadas sabiendo que:

kb

a y k

d

c

d

c

b

a

Donde:

a y d: extremos b y c : medios a y c : antecedentes b y d : consecuentes 6. TIPOS DE PROPORCIN

GEOMTRICA:

P.G. CONTINUA: Cuando los trminos medios son iguales. Es decir:

c

b

b

a

Donde: b : media proporcional o geomtrica a, c: tercera proporcional

P.G. DISCRETA: Cuando todos los trminos son diferentes. Es decir:

d

c

b

a

Donde: d: cuarta proporcional

7. PROPIEDADES DE LA PROPORCIN

GEOMTRICA

Si : d

c

b

a es una proporcin geomtrica.

Entonces:

d

dc

b

ba

c

dc

a

ba

dc

dc

ba

ba

cd

c

ab

a

db

db

ca

ca

d

c

b

a

db

ca

8. SERIE DE RAZONES GEOMTRICAS

EQUIVALENTES

Es la igualdad de dos o ms razones geomtricas. Sea:

;kb

a;....;k

b

a;k

b

a

n

n

2

2

1

1



Entonces:

kb

a...

b

a

b

a

b

a

b

a

n

n

4

4

3

3

2

2

1

1

Donde:

n321 a,...a,a,a : Antecedentes

n321 b,...b,b,b : Consecuentes

K= constante de proporcionalidad Se cumple que:

kb...bbb

a...aaa

n321

n321

n

n321

n321 kb.....b.b.b

a.....a.a.a

n

n

n

n

3

n

2

n

1

n

n

n

3

n

2

n

1 kb...bbb

a...aaa

REGLA DE TRES

La regla de tres puede ser: Simple o compuesta. 1. REGLA DE TRES SIMPLE:

Intervienen tres cantidades conocidas (datos) y una desconocida (incgnita). Puede ser Directa o inversa.

R3S DIRECTA:

Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son directamente proporcionales. Mtodo 1: Aplicando la definicin de magnitud directamente proporcional.

A

BCx

x

C

B

A

Mtodo 2: Una vez planteado el problema la multiplicacin ser en aspa.

A

B

C

x

Ax=BC A

BCx

R3S INVERSA: Es el resultado de comparar 2 magnitudes que son inversamente proporcionales Mtodo 1: Aplicando la definicin de magnitud inversamente proporcional.

C

ABxx.CB.A

Mtodo 2: Una vez planteado el problema la multiplicacin ser en sentido paralelo.



A

B

C

x

AC=Bx B

ACx

MTODO PRCTICO: Si las cantidades proporcionales van de ms a ms o de menos a menos, la regla es directa; si van de menos a ms o de ms a menos, la regla es inversa. Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro dato. Si es R3SI; se multiplican los datos del supuesto y se dividen entre el otro dato del problema

2. REGLA DE TRES COMPUESTA:

Es cuando al dar una serie de n valores correspondientes a n magnitudes y una segunda serie de n-1 valores correspondientes a las magnitudes mencionadas. La finalidad de la regla de 3 compuesta es determinar el valor desconocido de la segunda serie de valores. Mtodo 1: Ley de los signos Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma magnitud estn en una misma columna. Se compara la magnitud donde se encuentra la incgnita con las dems magnitudes con el siguiente resultado

Si son directamente proporcionales: arriba (-) y abajo (+)

Si son inversamente proporcionales: arriba (+) y abajo (-)

El valor de la incgnita esta dado por un quebrado donde el numerador es el producto de los trminos que tiene (+) y el denominador es el producto de los trminos que tienen (-) Mtodo 2: De las rayas Las magnitudes se pueden clasificar en 3 partes: 1 Causa o accin: Realizadores de la obra o accin y condiciones que tiene para realizarla. Ej: Obreros, maquinas, animales, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc. 2 Circunstancias: Condiciones en el tiempo para realizarla. Ej.: das horas diarias, raciones diarias, etc. 3 Efecto: La obra en, si lo realizado y los inconvenientes o condiciones que pone el medio para la realizacin del trabajo. Ej. Las medidas de la obra, dificultades, resistencia del medio, etc.

accin circunstancia efecto

Serie 1

Serie 2

Hombres

Animales

Maquinas

Habilidad

Das

Rapidez

caractersticas

h/d, raciones

Trabajo realizado

Medida de la obra

dificultades

Finalmente, se igualan los productos de los valores que se encuentran en una misma raya.

3. RELACIN ENTRE LAS MAGNITUDES

MS CONOCIDAS:

N de obreros DP obra

N de obreros IP eficiencia

N de obreros IP das



N de obreros IP horas diarias

Velocidad IP tiempo

N de obreros DP dificultad

N de dientes IP n de vueltas

Obra DP das

Obra DP horas por da

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Repartir 720 proporcionalmente a 2, 3 y 4. Uno de los nmeros es

a) 315 b) 320 c) 330 d) 335 e) 340

Solucin:

Sea k la constante de proporcionalidad entonces: 720k4k3k2 720k9 80k Entonces las cantidades sern: 16080.2k2 24080.3k3 32080.4k4

2. Repartir 780 inversamente proporcional a

los nmeros 6, 9,12. Uno de los nmeros es:

a) 115 b) 320 c) 330 d) 135 e) 180

Solucin:

780k12

1k

9

1k

6

1

78036

k3k4k6

2160k Entonces las cantidades sern:

3602160.6

1k

6

1

2402160.9

1k

9

1

1802160.12

1k

12

1

3. La relacin entre dos nmeros es de 11 a

14. Si a uno de ellos se le suma 33 y al otro se le suma 60, entonces ambos resultados serian iguales. Hallar el menor de los nmeros

a) 79 b) 89 c) 99 d) 126 e) 106

Solucin:

k14

k11

B

A

La mayor cantidad se le suma al menor que es A, entonces: 33B60A 33k1460k11 Resolviendo 9k El menor es 999.11k11A



4. La suma de 4 trminos de una proporcin geomtrica continua es 405. Hallar la diferencia de sus extremos

a) 315 b) 320 c) 330 d) 335 e) 340

Solucin:

Sea la P.G.C.:

Separata de Aritmetica Con Ejercicios

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