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5/12/2018 Sentences - slidepdf.com

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Programaciónlineal.

Equipo #5:

HumbertoBeatriz Gómez ÁlvarezJuan Francisco Galindo

Parga



ÍNDICE:

}}Programación lineal.Programación lineal.}Simplex.

}Simplex Dual.

}}Variantes del método simple.Variantes del método simple.}Soluciones optimas.

}Soluciones optimas no acotadas.



Pr ogr amación lineal

} La pr ogr amación lineal (PL) es una

téc

nica

ma

temática d

e ´optimizac

iónµse entiende un método que tr ata dema ximizar o minimizar un objetivo; por

ejemplo, ma ximizar las utilidades ominimizar los costos.



} La PL es una técnica muy potente y con

multitud de aplicaciones.

Industr ia militar

petr oler aSector deser vicios

Sector deeconomí a



} En todo pr oblema de pr ogr amaciónlineal hay que tomar decisiones. Estas ser epr esentan con variables de decisionesX; que se utiliza en el modelo de PL.

} La estr uctur a básica de un pr oblema deeste tipo es ma ximizar o minimizar lafunción objetivo, satisfaciendo al mismotiempo un gr upo de condiciones

restrictivas o restricciones.



Forma canonícaForma canoníca

variablesde

decisiones

función

objetivo

condicionesrestrictivas o

restricciones



¿Que es la función objetivo?

} Es la r epr esentación matemática de la metaglobal for mulada en función de las var iables.

} E jemplo:}

Metas como el nivel de utilidades, los ingr esostotales, el costo total, los niveles de

contaminación y el r endimiento por centualsobr e la inver sión.

}Deter minar el numer o de unidades que hay quefabr icar de cada pr oducto, con el objetivo dema ximizar la apor tación total a los costos y a lasutilidades



¿Que son las condicionesr estr ictivas o r estr icciones?} Repr esenta condiciones que es pr eciso satisfacer

cuando se deter mina los niveles de las var iablesde decisión.

} E jemplo: al ma ximizar las utilidades obtenidas dela pr oducción y venta en gr upo de pr oductos, lasr estr icciones obtenidas de la pr oducción y venta en gr upo de pr oductos, escasos r ecur sos demano de obr a, la poca mater ia pr ima y la

limitada demanda de los pr oductos.} Las r estr icciones se r epr esentan con ecuaciones o

desigualdades (de tipo y/o )



E jemplo:} Un dietista esta planeando el menú de la cena de uncomedor univer sitar io. Se ser vir án tr es alimentos

pr incipales, todos ellos con distinto contenidonutr icional. El dietista quier e suministr ar por lo menos lar ación mínima diar ia de tr es vitaminas en la cena. Enla tabla se sintetiza el contenido vitamínico por onza

de cada tipo de alimento, el costo de una onza decada alimento y la r ación mínima diar ia de las tr esvitaminas. Puede seleccionar se cualquier

combinación de los 3 comestibles a condición deque el tamaño de la por ción total sea de 9 onzas por

lo menos



Alimentovitaminas Costo por

onza $1 2 3

1 50 mg. 20 mg. 10 mg. 0.10

2 30 mg. 10 mg. 50 mg. 0.15

3 20 mg. 30 mg. 20 mg. 0.12

Ración diar ia mínimo 290 mg. 200 mg. 210 mg.

El pr oblema r adica en deter minar el numer o de onzas de cada alimento, el objetivo minimizar costos satisfaciendo la r ación de 3vitaminas, y la r estr icción impuesta al tamaño mínimo de cada por ción.



} FUNCIÓN OBJETIVO:Deber á r epr esentar el costo total de la comida,

dicho costo es igual a la suma de los costos.

}} Z = 0.10 XZ = 0.10 X11 + 0.15 X+ 0.15 X22 + 0.12 X+ 0.12 X33


onza $1 2 31 50 mg. 20 mg. 10 mg. 0.10

2 30 mg. 10 mg. 50 mg. 0.15

3 20 mg. 30 mg. 20 mg. 0.12





onza $1 2 3

1 50 mg. 20 mg. 10 mg. 0.10

2 30 mg. 10 mg. 50 mg. 0.15

3 20 mg. 30 mg. 20 mg. 0.12


} RESTRICCIONES:} Se desea pr opor cionar por lo menos la r ación mínima(RDM) de

cada una de las vitaminas por lo cual habr á tr es r estr icciones.} Mg de 1 + Mg de 2 + Mg de 3 RDM

50 X1 + 30 X2 + 20 X3 29050 X1 + 30 X2 + 20 X3 290

20 X1 + 10 X2 + 30 X3 20020 X1 + 10 X2 + 30 X3 20010 X1 + 50 X2 + 20 X3 21010 X1 + 50 X2 + 20 X3 210

} La r estr icción de que el tamaño de la por ción sea menos de 9onzas se expr esa así :

X1 + X2 + X3 9X1 + X2 + X3 9



For mulación integr al del pr oblema

Minimice: Z = 0.10 XZ = 0.10 X11 + 0.15 X+ 0.15 X22 + 0.12 X+ 0.12 X33

} Su jeto a:

50 X1 + 30 X2 + 20 X3 29050 X1 + 30 X2 + 20 X3 29020 X1 + 10 X2 + 30 X3 20020 X1 + 10 X2 + 30 X3 20010 X1 + 50 X2 + 20 X3 21010 X1 + 50 X2 + 20 X3 210

X1 + X2 + X3 9X1 + X2 + X3 9

X1,X2,X3 0X1,X2,X3 0



Solución del pr oblema con WINQSB



Intr oducción de los datos delas var iables



Var iables llenas



Solución del pr oblema



Solución gr

afica



Resultado expr esado enmétodo gr afico



EL METODO SIMPLEX



George Dantzing en 1947

El método simplex pr evé un sistema r ápido yefectivo par a r esolver pr oblemas depr ogr amación lineal.

Es la técnica empleada en las aplicacionespr ácticas y per mite r esolver una gr ancantidad de pr oblemas de r eal impor tanciaindustr ial.



}Este método llega a la soluciónóptima la función objetivo por

medio de iter aciones o pasos

sucesivos.}Finalmente, este método

pr opor ciona un indicador que

deter mina el punto en el cual selogr a la solución óptima.



} Requisitos par a r esolver el meto simplex:

}1-todas las r estr icciones debenfor mular se como ecuaciones.

}2- La constante del miembr oder echo no puede ser negativa par a una r estr icción.

}3- todas la var iables están

r estr ingidas a valor es no negativos



CASO DE MAXIMIZACION

Dado el siguiente programa lineal en forma general:

Max (z) = c1x1 + c2x2 + .........+ cnxn

s.a.

a11x1 + a12x2 + .......+ a1nxn e b1

a21x1 + a22x2 + .......+ a2nxn e b2 .................................................

................................................

am1x1 + am2x2 + .......+ amnxn e bm

x u 0 (j=1,n)



Max (z) = c1x1 + c2x2 + .........+ cnxn + 0 x n+1 +0 x n+2+...+0 x n+m s.a.

a11x1 + a12x2 + .......+ a1nxn + x n+1 = b1

a21x1 + a22x2 + .......+ a2nxn + x n+2 = b2

.................................................

................................................

am1x1 + am2x2 + .......+ amnxn + x n+m = bm

x u 0 (j=1,n+m)



}Cabe indicar que las var iables de holgur a son nonegativas. Además, en la función objetivo, loscoeficientes asociados a estas var iables tomas elvalor cer o, ya que no deben afectar el valor de lafunción en caso de ser positivas.

}Así mismo en las r estr icciones estr uctur ales, loscoeficientes de las var iables de holgur a son 1 ypositivo.



PROBLEMA DE PLANEACION DE PRODUCCION

La Cia. ALFA fabr ica ar tí culos par a el hogar y manufactur a dospr oductos: A y B. Ambos sufr en 3 pr ocesos en el mismo or den que

son:

} Maquinado} Ar mado} Monta je

La disponibilidad de minutos diar ios de cada pr oceso es: 160,120 y

280 minutosr

espectivamente.El pr oducto A r equier e 2 , 1 y 4 minutos de maquinado, ar mado ymonta je r espectivamente; mientr as que el pr oducto B, necesita 2, 2

y 2minutos de maquinado, ar mado y monta je r espectivamente.

El ger ente de pr oducción debe decidir que cantidad de cadapr oductodebe manufactur ar se con el objeto de hacer el mejor empleo de

losmedios limitados de pr oducción, sabiendo que la ganancia por

cadaunidad del pr oducto A es $10 y del pr oducto B es de $15.



Las var iables de decisión son:

} x1: númer o de unidades del pr oducto A que se va a pr oducir /dí a

} x2: númer o de unidades del pr oducto B que se va a pr oducir /dí a

El pr ogr ama lineal es:

Ma x Z = 10 x 1 + 15 x 2

s.a.2x 1 + 2x 2 e 160 x 1 + 2x 2 e 120

4 x 1 + 2x 2 e 280

x 1, x 2 u 0



Ma x Z = 10 x1

+ 15 x2

+ 0 x3

+ 0 x4

+ 0 x5

s.a.

2x 1 + 2x 2 + x 3 = 160

x 1 + 2x 2 + x 4 = 120

4 x 1 + 2x 2 + x 5 = 280

x 1, x 2, x 3, x 4 x 5 u 0



Tablero Nº 1

c j 10 15 0 0 0

c i x k b i X 1 X 2 x 3 x 4 x 5 5

0 x 3 160 2 2 1 0 0 80

0 x 4 120 1 (2) 0 1 0 60

0 x 5 280 4 2 0 0 1 140

Z 0 0 0 0 0 0c j ± z j 10 15 0 0 0

Z = 7 ci . bi el cual representa el valor de la función

objetivo.

Z j = 7 ci . a i j

Min 5 = min (bi / a i j) donde a ij > 0



Tablero Nº 2

c j 10 15 0 0 0

c i x k b i X 1 X 2 x 3 x 4 x 5 5

0 x 3 40 (1) 0 1 -1 0 40

15 x 2 60 1/2 1 0 ½ 0 120

0 x 5 160 3 0 0 -1 1 53.3

Z 900 7.5 15 0 7.5 0

c j ± z j 2.5 0 0 -7.5 0



Tablero Nº 3

c

j 10 15 0 0 0

c i x k B i X 1 X 2 x 3 x 4 x 5

10 x 3 40 1 0 1 -1 0

15 x 2 40 0 1 -1/2 1 0

0 x 5 40 0 0 -3 2 1

Z 1000 10 15 2.5 5 0

c j ± z j 0 0 -2.5 -5 0



CASO DE MINIMIZACIONDos fabr icas de papel pr oducen 3 tipos difer entes de

papel

de ba jo gr ado, medio gr ado y alto gr ado. Se tiene uncontr ato de venta par a pr oveer : 16 ton. de ba jo gr ado, 5ton. de medio gr ado y 20 ton. de alto gr ado.La fabr ica 1, pr oduce 8 ton de ba jo gr ado, 1 ton de

mediogr ado y 2 ton de alto gr ado en un dí a de oper ación. La

fabr ica 2 pr oduce 2 ton de ba jo gr ado, 1 ton de mediogr ado y 7 ton de alto gr ado por dí a de oper ación.

Los costos de oper ación son de $1000/dí a par a la fabr ica1

y de $2000/dí a par a la fabr ica 2.¿Cuantos dí as debe tr aba jar cada fabr ica a fin de

cumplir con el mencionado contr ato de venta en la for ma máseconómica?



Sean las var iables de decisión:

x1 = númer o de dí as de tr aba jo de la fabr ica 1

x2 = númer o de dí as de tr aba jo de la fabr ica 1

Min (z) = 1x1 +2x2s.a.

8x1 +2x2 u 16

1x1 +1x2u

52x1 +7 x2 u 20

x1, x2 u 0



Se sustr aen 3 var iables de exceso:

Min (z) = 1x1 +2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5

s.a.

8x1 +2x2 - x3 = 16

1x1 +1x2 - x4 = 5

2x1 +7 x2 - x5 = 20

x1, x2, x3, x4, x5 u 0



} Par a el caso de minimización, se pr opone unamodificación a par tir de esta etapa del simplex.Esta consiste en hacer que las var iablesestr uctur ales puedan tomar un valor nulo en lasecuaciones pr ecedentes, en for ma tal que las

var iables de exceso, pe

r maneciendo positivas,satisfagan dichas ecuaciones. Esto se logr a

intr oduciendo además de las var iables de exceso,las llamadas ´variables artificialesµ ( j)



Min (z) = 1x1 +2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + MP1 +M P2 +MP3

s.a.

8x1 + 2x2 - x3 +P1 = 16

1x1 + 1x2 - x4 +P2 = 5

2x1 + 7 x2 - x5 +P3 = 20

x1, x2, x3,x4 ,x5, P1 , P2, P3 u 0



Tablero 1

c j 1 2 0 0 0 M M M

ci xk bi X1 X2 X3 X4 X5 P1 P2 P3 5

M P1 16 (8) 2 -1 0 0 1 0 0 2

M P2 5 1 1 0 -1 0 0 1 0 5

M P3 20 2 7 0 0 -1 0 0 1 10

Z 41M 11M 10M -M -M -M M M M

c j - z j 1-

11M

2-

10M

M M M 0 0 0



Tablero 2c j 1 2 0 0 0 M M M


1 X1 2 1 2/8 -1/8 0 0 1/8 0 0 8

M P2 3 0 6/8 1/8 -1 0 -1/8 1 0 4M P3 16 0 (52/8

)

2/8 0 -1 -2/8 0 1 2.26

Z 2+19

M

1 2/8+

58/8

M

1/8+

3/8M

-M -M 1/8-

3/8M

M M

c j - z j 0 6/8 -

58/8M

-1/8

+3/8M

M M -1/8

+11/8

M

0 0



Tablero 3

c j 1 2 0 0 0 M M M


1 X1

72/52 1 0 -7/52 0 2/52 7/52 0 -2/52 36

M P2 60/52 0 0 5/52 -1 (6/52

)

-5/52 1 -6/52 10

2 X2 32/13 0 1 2/52 0 -8/52 -2/52 0 8/52

Z 328/5

2

+60M

/52

1 2 -3/52

+

5M/5

2

-M -

14/5

2

+6M/52

3/52 -

57M/5

2

0 14/52 -

58M/52

c j - z j 0 0 3/52

-5M/5

2

M 14/5

2 -6M/5

2

-3/52

+57M/5

2

0 -

14/52+58M/52



Tablero 4

c j 1 2 0 0 0 M M M

ci xk bi X1 X2 X3 X4 X5 P1 P2 P3

1 X1 3 1 0 -8/6 -1/6 0 8/6 1/6 00 X5 12 0 0 5/6 -1/6 1 -5/6 1/6 -1

2 X2 2 0 1 2/6 1/6 0 -2/6 -1/6 0

Z 7 1 2 -4/6 -1/6 0 4/6 1/6 0

c j

- z j

0 0 4/6 1/6 0 M-

4/6

M-

1/6

M



EL METODO SIMPLEX DUAL



}Como sabemos, el método simplex es un

algor itmo iter ativo que iniciando en una soluciónbásica factible per o no óptima, gener a soluciones básicas factibles cada vez mejor eshasta encontr ar la solución óptima (sí esta existe).Per o sur ge la posibilidad de usar otr o esquema

igualmente iter ativo, que como contr apar te delsimplex, comienza en una solución básica óptima, per o no factible y mantiene la inmejor abilidad mientr as busca la factibilidad.

} El nuevo algor itmo fue desarr ollo en 1954 por C. E.

Lemke y se conoce con el nombr e de MétodoDual-Simplex.



} Las reglas para el método símplex

dual son muy parecidas a las del

método símplex. De hecho, una vez

que se inician, la única diferencia

entre ellos es el criterio para elegirlas variables que entran y salen y la

regla para detener el algoritmo.



For mulación del pr oblema dual

1. El sentido de la optimizacion es siempr eopuesto de los corr espondientespr oblemas pr imar ios y duales.

2. El numer

o de var

iables en el pr

imar

iosiempr e es igual al de las r estr iccionesque hay en el dual. El numer o der estr icciones en el pr oblema pr imar iosiempr e es igual al de las var iables del

dual.



3. El coeficiente de la función objetivo par a la j-esima var iable del pr oblema pr imar io es igual

al coeficiente de la función objetivo par la r estr icción j-esima del dual.

4. La constante del miembr o der echo par a la j-esima r estr icción del pr oblema pr imar io es igual

al coeficiente de la función objetivo par a la i-esima var iable dual.

5. Los coeficientes de a en el pr oblema pr imar ioson la tr anspuesta de los de dual. Es decir los

coeficientes der englón del p

r oblema p

r ima

r iose convier ten en los coeficientes de columna

dual y ala inver sa.



E jemplo:F.O.

Min. Z = 4X1 + 12X2 + 18X3

S.A.X1 + 3X3 3

2X2 + 2X3 5

X1, X2, X3 0



Solución:

} PASO 1: Conver tir el pr oblema deminimización en uno de ma ximización. La función objetivo se multiplica por -1

F.O. Ma x. Z = - 4X1 - 12X2 - 18X3

} Las r estr icciones se multiplican por -1

S.A.- X1 - 3X3 -3

- 2X2 - 2X3 -5

X1, X2, X3 0



} PASO 2: Se convier ten las inecuaciones

en ecuaciones.F.O. Z + 4X1 + 12X2 + 18X3 = 0

S.A.- X1 - 3X3 + S1 = -3

² 2X2 - 2X3 + S2 = -5

} PASO 3: Se deter minan las var iablesbásicas y no básicas.

·Básicas: S1 y S2

· No Básicas: X1, X2 y X



PASO 4: Elabor ar la tabla inicial del

simplex

PASO 5: Deter minar la var iable que sale (fila pivote)

Es el númer o más negativo de la solución de lasr estr icciones = fila de S2



} PASO 6: Deter minar la var iable que entr a

(columna pivote)

Razón = Coeficiente de Z / coeficiente fila pivote.

Razón Mayor = Columna X2 (-12 / 2)



} PASO 7: Elabor ar la nueva tabla del simplex

a) Nueva fila pivote = Fila pivote / elementopivote

0 -2 -2 0 1 -5 Fila Pivote

-2 -2 -2 -2 -2 -2 Elemento Pivote

0 1 1 0 -0,5 2,5 Nueva Fila Pivote

} b) Nuevas filas = fila anter ior - coeficiente dela columna pivote x nueva fila pivote.



R\ El valor mínimo se alcanza para un X2 = 3/2 y X3 = 1, para un Z = 36



EJEMPLO PROBLEMA NOACOTADO:



Gr acias por su atención !!!

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